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Humanas / Sociais

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31/03/2023

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Trabalho de Conclusão de Curso - TCC

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✬ ✩
2.2 SEMÂNTICA DA LINGUAGEM PROPOSICIONAL
2.3.1 O SIGNIFICADO DAS FÓRMULAS
Newton José Vieira
UFMG
05 de agosto de 2007
✫ ✪
✬ ✩
Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Semântica da linguagem proposicional
• Semântica das fórmulas dada pela função de valoração
vi : F → {V , F}
i: interpreta cada variável proposicional como V ou F .
• vi(α) é a interpretação formal de α, V ou F .
vi depende dos significados de:
• Variáveis proposicionais ν:
– νi ∈ {V , F}.
• Conectivos:
– ⊤ e ⊥: funções de zero argumentos;
– ¬: função de um argumento;
– ∧,∨,→,↔: funções binárias;
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
✬ ✩
Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Exemplo
Variáveis proposicionais e proposições representadas (só na nossa cabeça):
p : a terra gira em torno do sol
q : Paris é a capital da França
r :
√
2 é um número racional
De maneira consistente com a realidade em que vivemos:
• pi = V ;
• qi = V ;
• ri = F .
Se na nossa “realidade” tudo que interessa pode ser expresso a partir destas três
proposições simples, então νi é irrelevante para ν diferente de p, q e r, mas é
considerado como sendo um dos dois valores: V ou F .
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
✬ ✩
Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Interpretações dos conectivos
• ⊤ é interpretado como ✒✑
✓✏
⊤ = V , e ⊥ como ✒✑
✓✏
⊥ = F ;
• ¬ é interpretado como ✒✑
✓✏
¬ : {V , F} → {V , F}, em que:
– ✒✑
✓✏
¬(V ) = F e ✒✑
✓✏
¬(F ) = V ;
• os outros são interpretados como φ : {V , F} × {V , F} → {V , F},
φ ∈ {✒✑
✓✏
∧, ✒✑
✓✏
∨, ✒✑
✓✏
→, ✒✑
✓✏
↔}, em que:
– ✒✑
✓✏
∧(x, y) = V se x = V e y = V , e ✒✑
✓✏
∧(x, y) = F nos outros três casos;
– ✒✑
✓✏
∨(x, y) = F se x = F e y = F , e ✒✑
✓✏
∨(x, y) = V nos outros três casos;
– ✒✑
✓✏
→(x, y) = F se x = V e y = F , e ✒✑
✓✏
→(x, y) = V nos outros três casos;
– ✒✑
✓✏
↔(x, y) = V se x = y, e ✒✑
✓✏
↔(x, y) = F se x 6= y.
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
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Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Interpretações dos conectivos em formato tabular
✒✑
✓✏
⊤
V
✒✑
✓✏
⊥
F
✒✑
✓✏
¬
V F
F V
✒✑
✓✏
∧ V F
V V F
F F F
✒✑
✓✏
∨ V F
V V V
F V F
✒✑
✓✏
→ V F
V V F
F V V
✒✑
✓✏
↔ V F
V V F
F F V
OBS: As funções booleanas serão usadas na forma infixada como os conectivos nas
fórmulas.
Ex: ✒✑
✓✏
¬V ✒✑
✓✏
→F ✒✑
✓✏
∨V significará ✒✑
✓✏
→(✒✑
✓✏
¬(V ), ✒✑
✓✏
∨(F , V )).
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
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Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Valoração lógica de uma fórmula
Definição recursiva de vi : F → {V , F} a partir de i:
• vi(ν) = νi para toda ν ∈ V;
• vi(⊤) = ✒✑
✓✏
⊤ = V e vi(⊥) = ✒✑
✓✏
⊥ = F ;
• se α ∈ F , então vi((¬α)) = ✒✑
✓✏
¬(vi(α));
• se α, β ∈ F , então
vi((α∧β)) = ✒✑
✓✏
∧(vi(α), vi(β)),
vi((α∨β)) = ✒✑
✓✏
∨(vi(α), vi(β)),
vi((α→β)) = ✒✑
✓✏
→(vi(α), vi(β)),
vi((α↔β)) = ✒✑
✓✏
↔(vi(α), vi(β)).
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
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Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Duas explicações para ✒✑
✓✏
→
• vi((p ∧ q) → p) tem quer ser V .
• sabe-se que para todo n, n > 2→n2 > 4.
Assim, deve-se ter vi(n > 2→n2 > 4) = V qualquer que seja n.
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
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Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Interpretação dos śımbolos da linguagem proposicional
Interpretação formal
NÍVEL CONCEITUAL: ✒✑
✓✏
¬
✻
¬
✒✑
✓✏
∧
✻
∧
✒✑
✓✏
∨
✻
∨
✒✑
✓✏
→
✻
→
✒✑
✓✏
↔
✻
↔
V
✻
⊤
F
✻
⊥
p0
i
✻
p0
p1
i
✻
p1
· · ·
· · ·
· · ·NÍVEL FORMAL:
O conjunto das interpretações espećıficas das variáveis proposicionais será referido
como a interpretação i.
• śımbolos lógicos: conectivos (interpretação formal fixa).
• śımbolos não lógicos: variáveis.
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
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Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Exemplo
Valoração lógica de (p → q) ↔ (¬p ∨ ⊥) para i tal que pi = V e qi = F :
vi((p → q) ↔ (¬p ∨ ⊥))
= (pi✒✑
✓✏
→qi)✒✑
✓✏
↔(✒✑
✓✏
¬pi✒✑
✓✏
∨✒✑
✓✏
⊥)
= (V ✒✑
✓✏
→F )✒✑
✓✏
↔(✒✑
✓✏
¬V ✒✑
✓✏
∨F )
= F ✒✑
✓✏
↔(F ✒✑
✓✏
∨F )
= F ✒✑
✓✏
↔F
= V
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
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Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
Afirmação no ńıvel formal
Quando se afirma no ńıvel formal: p ∧ (p → (q ∨ r)), afirma-se no ńıvel conceitual:
vi(p ∧ (p → (q ∨ r)) = V .
Com isto:
vi(p) = V e vi(p → (q ∨ r)) = V .
Consequentemente:
pi = V e qi e ri não podem ser ambos F .
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪
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Lógica Aplicada a Computação Cap. 2: Lógica Proposicional
FIM
c©2007 Newton José Vieira UFMG✫ ✪