Suppose that f is defined slightly to the left and slightly to the right of x = a. If lim x→a g(x) = 0 and f is bounded, show that lim x→a f(x)g(x)...

Para demonstrar que lim x→a f(x)g(x) = 0, podemos usar o fato de que f é limitada, ou seja, existe um número M tal que |f(x)| ≤ M para todo x. Então, dado ε > 0, podemos escolher δ > 0 de modo que |g(x)| < ε/M sempre que 0 < |x - a| < δ. Assim, temos: |f(x)g(x)| ≤ M|g(x)| < M(ε/M) = ε Portanto, lim x→a f(x)g(x) = 0. Para concluir que lim x→0 |x|^r sen(1/x) = 0 para todo r > 0 racional, podemos usar o fato de que a função f(x) = |x|^r é limitada perto de x = 0. Então, podemos escrever: |x|^r sen(1/x) = f(x)g(x) onde g(x) = sen(1/x) se x ≠ 0 e g(0) = 0. Como g é limitada perto de x = 0, podemos aplicar o resultado anterior para concluir que lim x→0 f(x)g(x) = 0, ou seja, lim x→0 |x|^r sen(1/x) = 0.