AULA 05aa

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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Eimi Veridiane Suzuki
CONVERSA INICIAL
Seja bem-vindo a aula sobre resistência dos materiais. Estudaremos aqui flexão, a deformação e a tensão
causada por esse esforço. Ainda sobre o tema flexão, vamos saber mais sobre flexão assimétrica e elementos
compostos; por último, aprenderemos sobre vasos de pressão de paredes finas.
TEMA 1 – DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO DE UM ELEMENTO RETO
Quando uma carga é aplicada a uma barra, uma deformação possível é que ela se curve. Ou seja: ela pode
fletir. Antes de falarmos de deformação por flexão, conheceremos o conceito de flexão pura.
1.1 FLEXÃO PURA
A flexão pura ocorre quando o único esforço interno presente na barra é o momento fletor. A Figura 1
mostra um exemplo de uma viga que está em flexão pura.
Figura 1 – (a) Viga que está em flexão pura e (b) seu diagrama de momento fletor
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
1.2 DEFORMAÇÕES
Quando uma barra se deforma por flexão, ela se curva no sentido longitudinal, como pode ser visto na
Figura 2. A parte de cima da barra está sofrendo compressão, enquanto a parte de baixo está sendo tracionada.
Sempre existirá uma linha que não estará nem em tração, nem em compressão. De fato, essa linha será a
transição entre a parte tracionada e comprimida. Essa linha é chamada de linha neutra (Figura 3).
Figura 2 – Elemento reto antes e depois da deformação por flexão
Fonte: Hibbeler, 2015.
Figura 3 – Linha neutra
Fonte: Beer et al., 2015.
Com base na linha neutra mostrada na Figura 3, vamos chamar de y a menor distância entre a linha neutra
e um ponto qualquer da barra; já o ρ é o raio do arco, e seu inverso é a curvatura (κ).
O quanto um pedaço da barra vai se deformar depende da distância que esse pedaço tem do eixo neutro
(y). A deformação longitudinal pode ser achada pela seguinte equação:
A maior distância possível a partir da linha neutra é chamada de c, e esse é o pedaço que vai sofrer maior
deformação.
1.3 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Gere; Goodno, 2015):
Determine a deformação normal máxima  produzida em um cabo de aço com diâmetro d = 1,6 mm
quando ele está fletindo sobre um tubo cilíndrico de raio R = 500 mm (observe a figura).
Solução:
O cabo de aço tem seção circular, ou seja, ele é simétrico e sua linha neutra estará passando bem pelo
meio.
A partir da Figura 3, podemos ver que:
Se queremos a deformação máxima, y = c.
TEMA 2 – TENSÃO DE FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO
No tema anterior vimos deformação causada pela flexão – Figura 4(a) – e que a linha neutra separa a parte
da viga que está sendo comprimida da parte tracionada. A Figura 4(b) e a Figura 4(c) mostram a distribuição de
tensão de uma seção da viga.
Figura 4 – Deformação e distribuição de tensão em barra
Fonte: Hibbeler, 2015.
Podemos também ver na Figura 4 que, quanto mais afastado da linha neutra, maior é a tensão; ainda
observando a Figura 4, vemos que a tensão varia em y, mas não em z. Para calcular essa tensão usamos a
seguinte equação:
Para a tensão máxima, usamos y = c.
Essas fórmulas são usadas quando a seção transversal é simétrica em relação a um dos eixos e, quando o
momento é perpendicular a esse eixo, o elemento deve ser reto.
2.1 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Beer et al., 2015):
Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no (a) ponto A e (b)
ponto B.
Solução:
Primeiramente, temos de localizar a linha neutra. Observando a direção do momento e como a figura é
simétrica em torno do eixo do momento, a linha neutra está na metade da altura.
Agora, vamos descobrir o momento de inércia; o momento de inércia de um retângulo é tabelado, mas
esse retângulo é vazado. Portanto:
(a)  Tensão no ponto A:
O (C) indica compressão.
(b)  Tensão no ponto B:
O (T) indica que a tensão é de tração.
Exemplo 2 (Hibbeler, 2015):
A peça feita de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determine a tensão de flexão criada nos
pontos B e C na seção transversal.
Solução:
Primeiro, devemos encontrar a linha neutra. O momento gira ao redor do eixo horizontal, e a figura não é
simétrica ao redor de uma linha horizontal. Vamos calcular o centroide nesse sentido.
Podemos dividir a figura em três partes: a horizontal superior e as duas verticais.
Agora sabemos que a linha neutra está a uma altura de 32,5 mm a partir da base. Calcularemos o momento
de inércia, dividindo a figura da mesma maneira.
Para o B, a distância da linha neutra até B, ou seja, y será:
Calculando a tensão em B:
Para o C y será:
Calculando a tensão em B:
TEMA 3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA
Para usar a equação da tensão de flexão, a seção transversal deve ser simétrica em relação a um dos eixos,
e o momento deve ser perpendicular a esse eixo. E quando isso não acontece? A resposta é: chamaremos de
flexão assimétrica. Podemos ver alguns exemplos na Figura 5.
Figura 5 – Casos de flexão assimétrica
Fonte: Beer et al., 2015.
Na flexão assimétrica, como o momento não está alinhado a um eixo, devemos decompor o momento e
usar o princípio da superposição.
Onde y e z são medidas do eixo até o ponto analisado.
Na Figura 6, podemos ver como decompomos o momento e analisamos cada um separadamente, e então
somamos os resultados. A Figura 6 também mostra como fica a distribuição de tensão para o exemplo
mostrado. A mesma figura também mostra que o ângulo entre o momento e o eixo principal z é chamado de θ.
Este ângulo θ é usado para achar a orientação da linha neutra.
Onde α é o ângulo entre o eixo principal e a linha neutra.
Figura 6 – Decomposição do momento e princípio da superposição para a flexão assimétrica
Fonte: Hibbeler, 2015.
3.1 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Hibbeler, 2015):
Se o momento interno resultante que age na seção transversal da escora de alumínio tiver valor M = 520
N.m., e for direcionado como mostra a figura, determine a tensão de flexão nos pontos A e B. A localização y do
centroide C da área da seção transversal da escora também deve ser determinada. Especifique, ainda, a
orientação do eixo neutro.
Solução:
Vamos chamar o ângulo entre a parte negativa do eixo z e o momento M de β.
Vamos decompor o momento:
O Mz é negativo pois o estará na parte negativa do eixo z.
Agora, vamos achar o centroide. No eixo z, ele é simétrico, então estará na metade, mas em y, teremos de
calcular. Para isso, vamos dividir a figura em três partes, duas com 200 mm de altura e 20 mm de base, e uma
com 360 mm de base e 20 mm de altura. Como na figura  está a partir de cima,  será a distância do centro da
figura até o ponto mais alto.
Agora calculamos Iy e Iz usando o teorema dos eixos paralelos:
Vamos achar a tensão no ponto A:
Vamos achar a tensão no ponto B:
Por último, devemos encontrar a orientação da linha neutra. O ângulo θ é entre M e a parte positiva do eixo
principal z.
Exemplo 2 (Beer et al., 2015):
O momento M atua em um plano vertical, e é aplicado a uma viga orientada conforme a figura. Determine
(a) o ângulo que a linha neutra forma com a horizontal e (b) a tensão de tração máxima da viga.
Solução:
Como a figura está inclinada, vamos usar os eixos y’ e z’ que estão alinhados à figura. Como os momentos
de inércia já são dados, vamos diretamente à linha neutra.
Sabemos que α’ é um ângulo que inicia em z’ positivo e vai em direção a y’ positivo, mas queremos que
inicie no z verdadeiro.
Temos que decompor M:
Para encontrar a tensão máxima, vamos testar os quatro vértices. Vamos achar as coordenadas dos pontos
em relação à y’ e z’.
Ponto A:
Ponto B:
Ponto D:
Ponto E:
As tensões máximas ocorrem nos pontos B e E, mas como em B a tensão é negativa, ou seja, de
compressão, e o problema pede a maior tensão de tração, a resposta será 61,4483 MPa no ponto E.
TEMA 4 – BARRAS CONSTITUÍDAS DE MATERIAL COMPOSTO
Até agora trabalhamos com vigas ou barras constituídas de apenas um material. Quando uma barra possui
mais de um material, ela é chamada de elemento composto, e o cálculo de sua tensãoé feita de maneira
diferente da que vimos.
Para calcular um elemento composto, usamos o método da seção transformada. Com ele, vamos pegar o
módulo de elasticidade dos dois materiais e achamos o fator de transformação (n).
Esse fator de transformação vai ser usado para mudar, apenas para os cálculos, a largura de um dos
materiais. A Figura 7 ilustra como funciona esse método. Na Figura 7(a), podemos ver uma viga composta de
dois materiais: o material rígido 1 e o material menos rígido 2. Como são dois materiais diferentes, a linha
neutra não vai passar pelo centro geométrico da seção transversal.
Figura 7 – Elemento composto, método da seção transformada
Fonte: Hibbeler, 2015.
A Figura 7(b) ilustra a deformação (ε) dessa viga vista da lateral. Como essa deformação não pode ser
mudada, não mexeremos com a altura da viga. Para compensar o fato dos materiais serem diferentes,
aumentamos [Figura 7(e)] ou diminuímos [Figura 7(f)] a largura de um dos materiais multiplicando o valor da
base da viga por n, transformando a viga em uma viga de material único.
Com a viga sendo de um só material, e com a nova seção transversal, podemos achar a posição da linha
neutra e calcular o valor da tensão com essa equação ( já vista anteriormente):
Para o material transformado, a tensão ainda terá de ser multiplicada pelo fator de transformação.
4.1 VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Um caso específico de elemento composto que é muito comum na engenharia é o concreto armado [Figura
8(a)]. Em uma viga deste material, o concreto vai suportar as tensões de compressão, e o aço vai suportar as
cargas de tração. Por isso, nesse caso, a seção transformada ficará como na Figura 8(b). Para achar a linha
neutra, usamos a equação:
Figura 8 – (a) Seção transversal de uma viga de concreto armado; (b) seção transversal transformada; (c) tensões
no concreto e força resultante no aço
Fonte: Beer et al., 2015.
A área transformada de aço é encontrada com a equação:
O momento de inércia será:
4.2 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Hibbeler, 2015):
A viga composta é feita de aço A-36 (A) unido a latão vermelho C83400 (B), e tem seção transversal
mostrada na figura. Se a tensão de flexão admissível para o aço for (σadm) aço = 180 MPa e, para o latão,
(σadm) lat = 60 MPa, determine o momento máximo M que pode ser aplicado à viga.
Solução:
Vamos transformar a viga em um só material: o aço. Olhando as propriedades dos materiais listados – ao
final do livro de Hibbeler (2015) – acharemos os módulos de elasticidade.
Vamos transformar o latão em aço mudando a seção transversal:
Desenhando a seção transversal transformada:
Agora, com a seção transversal transformada, vamos calcular o momento de inércia. Para isso, precisamos
achar . Vamos dividir a figura em duas partes de aço e uma de latão transformada.
Para o aço:
Para o latão – como ele teve a seção transformada:
O maior momento fletor admissível será o menor valor, ou seja, 58,7917 kN.m.
Exemplo 2 (Beer et al., 2015):
A viga de concreto reforçado mostrada na figura está submetida a um momento fletor positivo de 175
kN.m. Sabendo que o módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto, e de 200 GPa para o aço. Determine
(a) a tensão no aço e (b) a tensão máxima no concreto.
Solução:
Vamos organizar os dados:
diâmetro=25 𝑚𝑚=0,025 𝑚
𝑏=300 𝑚𝑚=0,3 𝑚
𝑑=540−60 𝑚𝑚=0,48 𝑚
𝑀=175 𝑘𝑁.𝑚
𝐸aço=200 𝐺𝑃𝑎
𝐸concreto=25 𝐺𝑃𝑎
𝜎aço=?
𝜎concreto=?
Vejamos como fica a seção transformada:
Vamos descobrir a área de aço transformada em concreto:
Agora vamos descobrir o valor de x:
Calculando o momento de inércia:
Agora calcularemos a tensão máxima no concreto – negativa, pois o concreto está sob compressão.
A tensão no aço transformado:
Então multiplicaremos pelo fator de transformação:
TEMA 5 – VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS
Vasos de pressão são estruturas projetadas para conter líquidos gases sob pressão. Suas paredes são
consideradas finas quando o raio dividido pela espessura da parede é igual ou maior do que 10.
5.1 VASOS ESFÉRICOS
Vamos imaginar um vaso de pressão esférico, como o da Figura 9. A pressão interna deverá ser maior do
que a pressão externa, já que contém os gases líquidos sob pressão.
Figura 9 – Vaso de pressão esférico
Crédito: Haris120297/Shutterstock.
Como é uma esfera, a tensão vai ser uniforme em toda a parede (Figura 10). Portanto, uma única equação
pode ser usada para calcular a tensão em qualquer ponto do vaso.
Figura 10 – Tensões em um vaso de pressão esférico
Fonte: Beer et al., 2015.
Onde:
p é a pressão interna;
r é o raio interno; e
t é a espessura da parede.
5.2 VASOS CILÍNDRICOS
Os vasos de pressão podem ser também cilíndricos, como mostra a Figura 11. Como exemplos desse tipo
de vaso, há os tanques de ar comprimido e os extintores de incêndio. 
Figura 11 – Vaso de pressão cilíndrico
Crédito: Haris120297/Shutterstock.
Nos vasos de pressão cilíndricos há tensões diferentes nas duas diferentes direções, uma na direção
circunferencial e, outra, na direção longitudinal. Chamaremos de σ1 a tensão na direção circunferencial, e, σ2, a
tensão longitudinal (Figura 12).
Figura 12 – Tensões em um vaso de pressão cilíndrico
Fonte: Beer et al., 2015.
5.3 EXEMPLOS
Exemplo 1 (Beer et al., 2015)
Um vaso de pressão esférico, com diâmetro externo de 750 mm, deve ser fabricado com um aço com limite
de tensão σL = 400 MPa. Sabendo que desejamos um coeficiente de segurança de 4 e que a pressão
manométrica pode alcançar 4,2 MPa, determine a menor espessura de parede que deve ser usada.
Solução:
Vamos organizar os dados:
𝜎𝐿=400 𝑀𝑃𝑎
𝑑=750 𝑚𝑚=0,75 𝑚
𝐹𝑆=4
𝑝=4,2 𝑀𝑃𝑎
𝑡=?
Como é dado o diâmetro externo, e na equação pede-se o raio interno, vamos descobrir o valor do raio
interno.
Agora, vamos calcular a tensão admissível.
Vamos substituir todos os dados encontrados na fórmula da tensão para vasos de pressão esféricos.
Exemplo 2 (Hibbeler, 2015):
O tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 2 mm e diâmetro interno de 40 mm. Calcule a
pressão que o gelo exerceu sobre a parede interna do tubo para provocar a ruptura mostrada na figura. A
tensão máxima que o material pode suportar na temperatura de congelamento é σmáx = 360 MPa. Mostre como
a tensão age sobre um pequeno elemento de material imediatamente antes de o tubo falhar.
Solução:
Esse tipo de ruptura ocorre pela tensão na direção circunferencial.
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos os temas flexão, tensão e deformação por flexão. Aprendemos também sobre flexão
assimétrica: vimos como calcular a tensão por flexão quando a viga, ou barra, é composta por mais de um
material e, por fim, vimos vasos de pressão de paredes finas.
Foram estudados exemplos dos assuntos apresentados, mas, para melhor fixar o conteúdo, faça mais
exercícios dos assuntos desta aula.
REFERÊNCIAS
BEER, F. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.