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Resistência Dos Materiais Mecânicos Exercício - Propriedades Geométricas de área 1 (MEC / 2009) A relação entre os momentos principais de inércia das seções transversais de dois elementos estruturais com mesma área vale 4. A relação entre os raios de giração destas seções transversais vale: A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 Resposta correta: B Solução: Raio de giração: 2 Considere uma estrutura que possui uma viga com seção reta retangular tal que a base b tem o dobro do comprimento da altura h. Considerando os eixos x' e y' que passam pelo centroide da figura, é correto afirmar que o produto de inércia da área em relação aos eixos x'y' Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior A) 0 B) C) D) E) Solução: Os eixos centroidais da seção retangular também são eixos de simetria. Assim, pelo teorema da simetria, o produto de inércia da seção em relação a esses eixos é nulo. 3 Um eixo circular maciço apresenta diâmetro D = 2R será utilizado em uma estrutura como elemento estrutural. Como parte do dimensionamento da estrutura, o engenheiro necessita determina o momento estático () da seção reta (ver figura) em relação ao eixo horizontal x. Dessa forma, a expressão que calcula esse momento estático ou de primeira ordem é: Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior A) B) C) D) E) Resposta correta: C Solução: 4 No dimensionamento de estruturas, várias propriedades geométricas de uma superfície devem ser determinadas. Os momentos de inércia principais são propriedades importantes. Supondo que para determinada seção reta esses momentos valem e . Nessa situação, o produto de inércia valerá: A) B) C) D) E) Resposta correta: E Solução: Quando os momentos de inércia são extremos (máximo / mínimo) são denominados de momentos principais. Nessa situação, o produto de inércia é nulo. 5 (EBSERH / 2016) Em um período de montagem de uma estrutura metálica, são realizadas diversas movimentações de cargas. Foi solicitado que o engenheiro mecânico elaborasse um plano de rigging para a elevação de uma estrutura com a geometria mostrada na figura a seguir, com espessura uniforme. Qual ponto (x, y) deverá ser o ponto de içamento da peça para que a sua carga esteja igualmente distribuída? Considere que o material possui densidade uniforme. A) (5,25; 4,24) B) (4,24; 5,25) C) (5,00; 5,00) D) (5,00; 4,00) E) (4,00; 5,00) Resposta correta: A Solução: 6 (DEMAE - GO / 2017 - adaptada) Para determinação das tensões máximas atuantes em seções transversais, são necessários cálculos de características geométricas da seção, como o momento de inércia e o centro geométrico da seção. A coordenada vertical do centro geométrico da seção pode ser expressa como: onde A é a área da seção transversal e y é distância medida na vertical. Isto posto, considere a seção ilustrada na figura. Para esta seção transversal, a coordenada vertical do centro geométrico da seção (ycg), em relação à base da seção, vale: A) 7,5 cm B) 10 cm C) 12,5 cm D) 15 cm E) 17,5 cm 7 Considere uma seção reta de um componente estrutural, conforme a figura a seguir. Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior O momento estático da seção triangular em relação ao eixo y () é: A) B) C) D) E) Resposta correta: A Solução: 8 Uma estrutura em equilíbrio em que parte dela é mostrada na figura. Suas dimensões estão descritas na figura. Tomando-se como base um eixo horizontal eixo x passando pela base da estrutura, determine o momento estático () da seção reta em relação a esse eixo. Imagem: Resistência dos Materiais, HIBBELER, R.C, 2010, p. 210. A) B) C) D) E) Resposta correta: D Solução: 9 (UFLA / 2016 - adaptada) Um parâmetro fundamental para o dimensionamento de uma peça sujeita a esforços de flexão é denominado momento de inércia. Considerando que a seção transversal de uma viga apoiada em suas extremidades (bi apoiada) possui as dimensões mostradas na figura (sem escala, em centímetros) e que o esforço que provoca flexão está representado pelo vetor F, o momento de inércia da seção (em relação ao eixo centroidal horizontal) a ser empregado na determinação da tensão atuante na peça, devido a F, tem valor inteiro de: A) B) C) D) E) Resposta correta: C Solução: Pela simetria, o eixo centroidal horizontal passa pelo ponto médio da altura do perfil, ou seja, 15,5 cm. Momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal: 10 Uma viga de seção reta constante é apresentada na figura. Considere que as dimensões estão em milímetros. Sejam os eixos centroidais ( e ), em destaque na figura. Determine o produto de inércia da seção em relação a esses eixos. Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior A) B) C) D) E) Solução: O produto de inércia do triângulo retângulo, em relação aos eixos centroidais ( e ), é igual a . Substituindo os valores: Exercício – Torção 1(CESGRANRIO / 2015) O eixo de saída de um motor elétrico possui três engrenagens dispostas conforme mostrado na figura abaixo. As engrenagens acionam sistemas mecânicos que requerem os torques , com os sentidos indicados. O torque máximo atuante no eixo decorrente do efeito exclusivo de torção situa-se na região entre a engrenagem A) 1 e o motor, e vale 5,5kN.m. B) 1 e a engrenagem 2, e vale 3,0kN.m. C) 1 e a engrenagem 2, e vale 5,5kN.m. D) 2 e a engrenagem 3, e vale 4,5kN.m. E) 2 e a engrenagem 3, e vale 5,5kN.m. Resposta correta: A Gabarito: 1 e o motor, e vale 5,5kN.m. Solução: Fazendo um "corte" na seção entre o motor e torque e, admitindo-se o equilíbrio, o torque interno atuante na seção é igual a . Qualquer outro "corte" feito, à direita terá menos torques a equilibrar. Logo, entre o motor e o o valor do torque interno é máximo. 2 Um eixo maciço de alumínio encontra-se engastado em uma estrutura e a outra extremidade livre. Considere o raio do eixo igual a 50mm e o torque aplicado na extremidade livre igual a 200N.m. Se a torção ocorre no regime elástico, qual dos gráficos (distância a partir do centro versus deformação cisalhante) melhor representa a deformação por cisalhamento ao longo do raio? A) B) C) D) E) Gabarito: Como c e são constantes para um dado carregamento e uma seção circular particular, temos que: Assim, são diretamente proporcionais (reta crescente passando pela origem). 3 (Questão 3.127 do livro Fonte: Resistência dos Materiais, BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.J., 1995, p. 298) Um torque de 1,2kN.m é aplicado a uma vazada de alumínio, que tem a seção mostrada na figura. Desprezando-se o efeito de concentração de tensões, determinar a tensão de cisalhamento na barra. A) 23,6MPa. B) 31,9MPa. C) 44,4MPa. D) 49,2MPa. E) 56,6MPa. Gabarito: 44,4MPa. Solução: A média = 4 (IF-PE / 2017) Calcule a tensão máxima de cisalhamento para eixo maciço de comprimento L e seção transversal constante de raio R, submetido a um torque T. Considere que o momento de inércia polar da seção transversal do eixo é igual a , e assinale a alternativa correta. A) B) C) D) E) Gabarito: Solução: 5 (Resistência dos Materiais, HIBBELER, R.C, 2010, p. 161 - adaptada) Um tubo quadrado de alumínio tem as dimensões mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85N.m A) 0,8MPa. B) 1,0MPa. C) 1,7MPa. D) 2.6MPa. E) 3,2MPa. Resposta correta: C Gabarito: 1,7MPa. Solução: A média = 6 Um tubo tem a seção na forma de um trapézio isósceles. As espessuras das bases são iguais a t e as espessuras dos lados não paralelos iguais a , sendo . O tubo está sujeito a um torque e permanece no regime elástico. Os pontos , mostrados na figura, estão sujeitos às tensões cisalhantes iguais a . É correto afirmar que: A) B) C) D) E) Resposta correta: D Gabarito: Solução: Para um dado torque T constante e como a área média é um valor constante para a seção apresentada, as grandezas e t são inversamente proporcionais. Assim quanto maior o valor de t, menor a tensão cisalhante média. Como em A e C as espessuras são constantes, . Analogamente para B e D. Ademais a espessura em A é maior que a espessura em B. Logo:7 (AL-MT / 2013) Uma barra de seção maciça circular de de diâmetro está rigidamente fixada em uma extremidade e livre em outra extremidade. Para que ocorra nesta barra uma tensão máxima cisalhante de , o momento de torção, em , a ser aplicado na sua extremidade livre é: A) B) 2 C) D) E) Resposta correta: A Solução: 8 (Questão 5.33 do livro Resistência dos Materiais, HIBBELER, R.C, 2010, p. 138) O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite 125kW quando o eixo está girando a 1500rpm. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5mm. A tensão de cisalhamento admissível do material é 50MPa. Fonte: Resistência dos materiais, HIBBELER, R.C, 2010, p. 138. A) 3,0mm. B) 3,5mm. C) 4,0mm. D) 4,5mm. E) 5,0mm. Resposta correta: A Gabarito: 3,0mm. Solução: Assim, 9 (SABESP / 2014) Para responder à questão, considere os dados a seguir. Dados: Momento de inércia polar do tubo: Módulo de elasticidade do material do tubo: O maior momento de torção que pode ser aplicado ao tubo da figura acima para que as tensões de cisalhamento sobre ele não excedam , em N.m, é de: A) 1.000 B) 4.000 C) 8.000 D) 18.000 E) 20.000 Resposta correta: B Gabarito: 4.000 Solução: 10 (Câmara de Fortaleza - CE / 2019) O eixo metálico da figura, com de diâmetro, está submetido ao momento de torção de . Considerando que o momento polar de inércia do eixo é , a tensão de cisalhamento no eixo devido à torção, em módulo, em , é A) 200. B) 450. C) 300. D) 350. E) 250. Resposta correta: A Gabarito: 200. Solução: Exercício - Flexão Pura 1 (CESPE / 2016) A figura precedente ilustra a situação em que uma viga prismática (barra de eixo reto e seção transversal constante), feita de material elástico linear, é submetida a uma força de 20 kN. O momento de inércia (I) da seção transversal da viga é dado por I = (b × h³)/12, em que b = 10cm e h = 30cm. O módulo de elasticidade do material da viga é 21.000 kN/cm². Após a deformação, as seções transversais da viga permanecem planas e os deslocamentos da linha elástica são de pequena amplitude. Na situação apresentada, o deslocamento vertical máximo da viga, em cm, é A) superior a 0,2 e inferior a 0,6. B) superior a 0,6 e inferior a 1,7. C) superior a 1,7. D) inferior a 0,02. E) superior a 0,02 e inferior a 0,2. Resposta correta: E Gabarito: superior a 0,02 e inferior a 0,2. Justificativa: Maior deslocamento, em módulo: 2 Considere que uma viga homogênea de seção circular de raio R está submetida à flexão. Em dada seção de estudo, o momento fletor tem intensidade M e a deformação máxima positiva é e1. A razão entre as deformações máxima e mínima é: A) +1 B) -1 C) -2 D) -1/2 E) +1/2 Resposta correta: B Gabarito: -1 Justificativa: Pela simetria da seção reta, as deformações máxima e mínima serão iguais em módulo. Contudo, uma deformação é de tração e a outra de compressão. Assim, a razão é igual a -1. 3 (MPE-AM / 2013) A viga simplesmente apoiada da figura possui vão de 6m e está submetida a uma carga uniformemente distribuída de 2 kN/m. Se a seção transversal da viga for retangular, com largura b = 10cm e altura h = 30cm, a tensão normal máxima de tração na flexão que atua na fibra inferior da viga é, em MPa, A) 4. B) 6. C) 8. D) 10. E) 12. Resposta correta: B Gabarito: 6. Justificativa: 4 (FGV / 2008) O valor da carga P que, aplicada no ponto central de uma viga biapoiada, provoca nesse ponto um deslocamento igual ao provocado por uma carga q uniformemente distribuída em todo o vão da viga é: A) B) C) D) E) Resposta correta: A Gabarito: Maior deslocamento, em módulo: (força na extremidade) (carregamento distribuído) 5 (CESGRANRIO / 2010 - adaptada). Uma viga engastada-livre é solicitada por uma força F em sua extremidade, conforme mostrado na figura. Considere uma seção interna da viga onde podem ser identificados dois pontos, R e S. O plano xz é o plano neutro da viga. Em relação ao estado de tensões atuantes nesses pontos tem-se que no ponto: A) R a tensão normal σ é máxima e a tensão cisalhante τ é nula. B) S a tensão cisalhante τ é nula e a tensão normal σ é máxima. C) S a tensão cisalhante τ é máxima e a tensão normal σ é nula. D) R a tensão normal σ e a tensão cisalhante τ são máximas. E) S a tensão cisalhante τ é zero e a tensão normal σ é nula. Resposta correta: C Gabarito: S a tensão cisalhante τ é máxima e a tensão normal σ é nula. Justificativa: Na linha neutra (LN) a tensão cisalhante é máxima e a tensão por flexão é zero. Como S pertence à linha neutra, tensão cisalhante é máxima e a tensão por flexão é zero. 6 A viga mostrada na figura apresenta seção reta constante e tem a forma de um retângulo de base b e altura h. Numa dada seção de estudo, o esforço cortante tem módulo V. Que expressão determina a tensão cisalhante num ponto localizado a uma distância de da linha neutra? A) B) C) D) E) Resposta correta: D Gabarito: Justificativa: A equação que determina a tensão cisalhante em qualquer ponto para uma seção retangular. Em que y é medido a partir da linha neutra. Para a questão, . Assim: 7 (INAZ do Pará / 2017) Ao fiscalizar uma obra, um engenheiro civil percebe que uma viga biapoiada de concreto armado apresenta fissuras, como demonstra a imagem. O engenheiro identificou corretamente que a natureza da fissura foi devido a: A) Retração térmica. B) Esforços de cisalhamento. C) Corrosão de armaduras. D) Esforços de flexão. E) Esforços de torção. Resposta correta: D Gabarito: Esforços de flexão. Justificativa: Devido ao carregamento, as fibras inferiores estão sujeitas ao efeito de tração. Se a estrutura apresentar pequenos defeitos superficiais, eles serão potencializados pela condição trativa da flexão. 8 (Petrobras / 2015) O perfil I mostrado na figura é utilizado como viga e estará sujeito à flexão, para a qual vale a relação , onde M é o momento fletor atuante na seção, c é a distância da linha neutra (LN) até a fibra mais externa, e I é o momento de inércia da área da seção transversal. O perfil é utilizado de tal modo que a linha neutra pode estar apoiada sobre o eixo x ou sobre o eixo y.A viga apresentará maior resistência à flexão se a linha neutra estiver sobre o eixo. A) x, porque B) x, porque C) y, porque D) y, porque E) x ou sobre o eixo y, pois Resposta correta: A Gabarito: x, porque Justificativa: A área está mais concentrada em torno do eixo y do que em torno do eixo x. Assim, O módulo resistente à flexão W é dado por: . Para os dois casos, o afastamento máximo da linha neutra é igual (a). Como , ou seja, a viga é mais resistente à flexão em torno de x. 9 (Prefeitura de Mauriti - CE / 2019) Um material elástico é empregado para confeccionar uma viga de 12cmlargura e seu carregamento segue indicado na figura a seguir. Considerando que o material apresenta tensão admissível de 12MPa, a altura mínima para essa viga é, aproximadamente, em cm: A) 25 B) 39 C) 45 D) 49 E) 55 Gabarito: 39 Justificativa: 10 Considere uma pequena viga biapoiada e com um carregamento vertical, tal que em dada seção, o esforço cortante seja igual a 5 kN. Seja a seção reta um retângulo de área 1000mm2. O local em que a tensão cisalhante é máxima e seu valor são apresentados corretamente na opção: A) Na face superior / 7,5MPa B) Na face inferior / 7,5MPa C) Na linha neutra / 7,5MPa D) Na face inferior / 5,0MPa E) Na linha neutra / 5,0MPa Resposta correta: C Gabarito: Na linha neutra / 7,5MPa Justificativa: Para uma seção retangular, (na linha neutra). Logo: Exercício - Flexão Obliqua, Composta e Flambagem 1 (CESGRANRIO / 2012) Em um projeto de um pilar cilíndrico sob compressão, com as extremidades engastadas, verificou-se a necessidade de multiplicar por quatro sua altura. Para ser mantido o valor da carga crítica de flambagem do pilar, seu diâmetro deve ser multiplicado por: A) 0,5 B) 1,41 C) 2 D) 4 E) 8 Resposta correta: C Gabarito: 2 Justificativa Assim: 2 (TCU / 2011 - adaptada) Em construções de edifícios, a concretagem é umaetapa em que se concentram recursos significativos, e que afeta diretamente a segurança, a funcionalidade e o custo da obra. O auditor deve conhecer como ela é projetada e executada para avaliar possíveis erros e suas consequências. A flexão em elementos estruturais é considerada composta quando, na seção transversal de uma viga, atuam conjuntamente: A) O momento fletor e o esforço cortante. B) O momento fletor e o esforço normal. C) Os esforços normal e cortante. D) O momento torçor e o esforço cortante. E) O momento torçor e o esforço normal. Resposta correta: B Gabarito: O momento fletor e o esforço normal. Justificativa: A flexão composta pode ser interpretada como a superposição da ação de uma flexão e de uma carga aplicada normalmente à seção reta. 3 (Prefeitura de Santo André / 2012 - adaptada). Considere a disciplina que estuda o assunto: Flexão Composta onde a distribuição de tensões em regime elástico em vigas que estão sujeitas somente ao momento fletor. Para o caso de a seção em estudo estar submetida a esforços de flexão e esforços normais, a tensão normal será obtida pela superposição dos efeitos, através da equação da figura abaixo. Nesta equação, é correto afirmar que: A) A primeira parcela fornece a tensão normal devido ao esforço à flexão, e a segunda e terceira parcelas, a tensão normal devido ao esforço normal na seção. B) A primeira parcela fornece a tensão normal devido ao esforço normal na seção, e a segunda e terceira parcelas, a tensão normal devido à flexão. C) A primeira parcela fornece a tensão normal devido ao esforço cortante na seção, e a segunda e terceira parcelas, a tensão normal devido à flexão. D) A primeira parcela fornece a tensão normal devido ao esforço normal na seção, e a segunda e terceira parcelas, a tensão normal devido ao esforço cortante. E) A primeira e a segunda parcelas fornecem a tensão normal devido ao esforço normal na seção, e a terceira parcela, a tensão normal devido ao esforço cortante. Resposta correta: B Gabarito: A primeira parcela fornece a tensão normal devido ao esforço normal na seção, e a segunda e terceira parcelas, a tensão normal devido à flexão. Justificativa: A flexão composta é a ação de uma flexão e uma carga aplicada normalmente à seção reta. Dessa forma, para se determinar a tensão em dado ponto A, deve-se calcular a tensão devido à tração/compressão e devido à flexão. Pelo teorema da superposição é só "adicionar" os efeitos. A equação é dada por: A primeira parcela é o efeito da carga normal e as demais, devido à flexão. 4 (CESGRANRIO / 2010 - adaptada). Uma placa de sinalização de peso P é fixada a uma coluna de seção transversal retangular através de dois parafusos, A e B, conforme ilustrado na figura. Considere a placa como um corpo rígido e a coluna como uma viga plana. O trecho BC da coluna está sujeito à solicitação por A) flexão pura, apenas. B) flexão simples, apenas. C) flexão simples combinada com carga axial. D) flexão pura combinada com carga axial. E) carga axial, apenas. Resposta correta: D Gabarito: flexão pura combinada com carga axial. Justificativa: Deslocando-se a carga P para a seção a b, deve-se considerar o efeito do momento provocado por P. Logo, é uma flexão composta, ou seja, flexão mais carga concentrada. 5 (Petrobras / 2010) Uma peça prismática de seção retangular está sujeita em uma de suas seções transversais à ação de dois momentos fletores, Mx e My atuantes, conforme indicado na figura acima. Considerando Mx = My, a maior tensão normal de tração, por efeito de flexão, ocorre no ponto A) R, porque o momento de inércia Ix > Iy. B) S, porque o momento de inércia Iy > Ix. C) M, porque, nesse ponto, ocorre a superposição de tensões normais de tração. D) P, porque, nesse ponto, a tensão normal de tração é maior que a tensão normal de compressão. E) N, porque, nesse ponto, ocorre a superposição de tensões normais de tração. Resposta correta: C Gabarito: M, porque, nesse ponto, ocorre a superposição de tensões normais de tração. Justificativa: O momento My traciona o ponto M, assim como Mx. Pelo teorema da superposição, a flexão normal trativa é máxima em M. 6 Um bloco retangular de 200mm de base e 800mm de altura tem uma força compressiva F = 40kN aplicada no eixo simétrico (800mm), distante x do centroide, conforme figura. Qual o valor máximo da distância x para que na seção retangular não atuem tensões compressivas superiores a 0,4MPa. A) 80mm B) 70mm C) 60mm D) 50mm E) 20mm Resposta correta: A Gabarito: 80mm Justificativa: Cálculo das tensões compressivas: Mas, Mas, e a tensão compressiva máxima é 0,4MPa. Logo: 7 No dimensionamento de estruturas mecânicas, vários são os fenômenos considerados: flexão, cisalhamento, torção etc. Uma viga utilizada em uma estrutura mecânica, mostrada na figura, está submetida a um carregamento tal que a torção seja nula. Fonte: https://pixabay.com/pt/ A respeito da situação descrita são feitas as seguintes afirmativas: I - A fim de que o efeito de torção na viga não ocorra, a força atua no centro de cisalhamento; II - Considerando uma viga com seção U e paredes finas, o centro de cisalhamento é determinado pela expressão ; III - Quaisquer que sejam as seções consideradas, o centro de cisalhamento sempre será um ponto fora da peça. São corretas: A) Apenas a afirmativa I. B) Apenas a afirmativa II. C) Apenas as afirmativas I e II. D) Apenas as afirmativas I e III. E) Apenas as afirmativas II e III. Resposta correta: C Gabarito: Apenas as afirmativas I e II. Justificativa: O centro de cisalhamento é o ponto em que a força deve ser aplicada para que a torção no elemento estrutural seja nula. Para uma viga de seção U em que as paredes têm dimensões desprezíveis em relação as demais dimensões, a distância do centro de cisalhamento à alma da viga independe da espessura e pode ser determinada pela expressão . Dependendo da seção reta da viga, o centro de cisalhamento pertence à peça, como uma cantoneira. 8 (FIOCRUZ / 2010) Duas barras B1 e B2 de mesmo comprimento são formadas pelo mesmo material com comportamento elástico-linear e possuem a mesma seção transversal. A barra B1 é engastada numa extremidade e livre na outra, e a barra B2 é engastada nas duas extremidades. A razão entre as cargas críticas de flambagem das barras B1 e B2 vale: A) 16. B) 4. C) 2. D) 1/4. E) 1/16. Resposta correta: E Gabarito: 1/16. Justificativa: As vinculações de e são tais que os comprimentos efetivos são: Substituindo na expressão para a carga crítica: 9 (TJ - GO / 2014) Um pilar de aço, com 3m de comprimento e extremidades rotuladas, está em equilíbrio e suporta uma carga de compressão. Sua seção transversal é retangular de 200mm x 400mm de dimensões. O maior índice de esbeltez desse pilar é: A) B) C) D) E) Resposta correta: C Gabarito: Justificativa: Relação entre momento de inércia, área e raio de giração: . Substituindo o menor valor de I, tem-se: Índice de esbeltez: 10 (Exercício 6.104 do livro Resistência dos Materiais, HIBBELER, R. C, 2010, p. 222 - adaptada) A viga tem seção transversal retangular. Se estiver sujeita a um momento fletor M = 3.500N.m direcionado, conforme a figura, determine a tensão de flexão máxima. A)1,8MPa B) 2,0MPa C) 2,5MPa D) 2,9MPa E) 3,2MPa Gabarito: 2,9MPa Justificativa: Projeções do momento M: Momentos de inércia: Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
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