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Aula 8 – Estática III 
 
UNIDADE 3 – APROFUNDAMENTO 
 
 
 
 
 
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Unidade 3 – Aprofundamento 
 
Aula 8: Estática III 
 
Para que se decida tanto a forma quanto as dimensões adequadas a uma barra, torna-se 
necessário conhecer a influência das propriedades geométricas da seção no seu 
comportamento. Para tanto, esta aula se concentra na determinação de algumas grandezas e 
propriedades de uma área plana. 
 
1. Figuras Planas 
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se 
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se 
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que 
formam essas seções transversais. 
A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada barra 
prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de 
seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção 
transversal. 
 
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ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
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As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
• Área (A); 
• Momento Estático (M); 
• Centro de Gravidade (CG); 
• Momento de Inércia (I); 
• Módulo de resistência (W;) 
• Raio de giração (i). 
2. Área 
A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos 
complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de formas 
geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). 
A unidade de área é [L]² (unidade de comprimento ao quadrado). 
A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e 
das tensões de transversais ou de corte. 
3. Momento Estático 
Momento estático de um elemento de uma superfície plana (dA) em relação a um eixo 
é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixo considerado. Logo: O momento 
estático do elemento em relação ao eixo x será: 
M’x = y . dA 
O momento estático do elemento em relação ao eixo y será: 
M’y = x . dA 
 
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Momento estático de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos 
momentos estáticos, em relação ao mesmo eixo, dos elementos que formam a superfície 
total. Logo, o momento estático da superfície em relação ao eixo x será: 
Mx = Σ y . dA 
O momento estático da superfície em relação ao eixo y será: 
My = Σ x . dA 
Momento estático é uma grandeza escalar com dimensão M = [L]³, podendo ser 
positivo, negativo ou nulo. É utilizado para a determinação das tensões transversais que 
ocorrem em uma peça submetida à flexão. O Momento Estático de uma superfície 
composta por várias figuras conhecidas é a somatória dos Momentos Estáticos de cada 
figura. 
Exemplo: Determinar o Momento Estático das figuras abaixo: 
 
Como visto em aula anterior, o Centro de Gravidade (CG) de um retângulo é o ponto 
médio de suas seções. No próximo tópico será retomado o assunto, mas, com os estudos 
que já temos, é possível resolver a questão: 
Utilizando as equações do momento estático, temos: 
M1,X = yCG1 . A1 
M2,X = yCG2 . A2 
M3,X = yCG3 . A3 
Como: 
MX = ∑ y . A 
Então: 
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MX = M1,X + M2,X + M3,X 
MX = (yCG1 . A1) + (yCG2 . A2) + (yCG3 . A3) 
Analogamente, se tivéssemos um elemento vazado da figura abaixo o resultado seria 
descrito por: 
 
MX = M1X – M2X 
Pois deveria ser “descontada” a parcela faltante do sólido em questão. 
4. Centro de Gravidade pela Massa 
A definição de centro de gravidade é importante para se entender a estabilidade de 
um corpo. Analogamente ao centro de massa, que corresponde a uma média ponderada 
das massas das partículas que formam um determinado corpo, o centro de gravidade é um 
ponto de aplicação do peso total de um corpo. Entenda-se peso total como sendo a soma 
vetorial de todas as forças gravitacionais que agem em cada partícula constituinte do corpo. 
O cálculo do centro de gravidade (xCG) de um corpo é feito de maneira simples quando 
consideramos que a aceleração da gravidade que atua em um corpo é constante em todos 
os pontos do mesmo. Nesta situação o centro de gravidade coincide como o próprio centro 
de massa (xCM) com segue a baixo: 
xCG = xCM = 
x1 . m1 + x2 . m2 + x3 . m3 + ⋯ + xn . mn 
m1 + m2 + m3 + ⋯ + mn
 
∴ xCG = 
∑ xi . mi
n
i=1
∑ mi
n
i=1
 
Onde xi e mi são a coordenada e massa de cada partícula do corpo. É importante notar 
que a rigor a aceleração da gravidade varia com a altitude, mas para objetos comuns com 
essa variação é bem sutil podemos desprezá-la. 
Outra consideração importante a se fazer é que dependendo da simetria do corpo o 
centro de gravidade coincide com o centro geométrico do corpo. Para corpo com 
geometrias mais complexas podemos determinar o centro de gravidade do corpo 
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suspendendo o mesmo por pontos diferentes e a cada suspensão são traçadas linhas 
verticais de forma que a interseção entre essas linhas determina o centro de gravidade 
(figura). 
 
O centro de gravidade é importante também na estabilidade dos corpos. Nos 
automóveis quanto mais baixo for o seu centro de massa e quanto maior for a área de apoio 
do carro em relação ao chão, maior é sua estabilidade. Isso permite o carro percorrer 
curvas com uma determinada inclinação sem que o mesmo tombe. Para que isso ocorra a 
reta vertical que passa pelo centro de massa do um corpo deve sempre passar pela base de 
apoio, conforme a figura. 
 
Exemplo: Uma viga uniforme de comprimento L e massa M repousa sobre dois apoios 
deparados por uma distância D, localizados em pontos equidistantes do centro de gravidade 
da viga. Roberto quer ficar em pé na extremidade direita da viga. Qual deve ser a sua massa 
m para que a viga permaneça em repouso? 
Resolução: 
Na figura a baixo temos o esquema do problema. Vamos considerar a origem do 
sistema como sendo o ponto C (centro geométrico da viga). Para que a viga permaneça em 
equilíbrio o centro de massa do sistema deve ficar delimitado pelas bases de apoios. Na 
situação mais extrema de equilíbrio o centro de massa deve ficar exatamente na vertical 
que passa pelo apoio da direita (D/2 em relação à origem). Temos então: 
XR = L/2 (coordenada do CM de Roberto); 
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XV = 0 (coordenada do centro de massa da viga); 
XCG = D/2 (coordenada do centro de gravidade do sistema). 
 
xCG = 
∑ xi . mi
n
i=1
∑ mi
n
i=1
 
xCG = 
(M . 0) + (m .
L
2
)
M + m
 
xCG = 
m
M + m
 .
𝐿
2
 
𝐷
2
= 
m
M + m
 .
𝐿
2
 
m = 
D . m
L − D
 
5. Centro de Gravidade pela Área 
Como na seção anterior, o Centro de Gravidade também pode ser definido utilizando-
se as dimensões do corpo ao invés de sua massa. Os artifícios físicos e matemáticos 
envolvidos neste conceito não serão tradados aqui por envolverem cálculo diferencial e 
integral (aprendidos no ensino superior nas disciplinas de cálculo) e conceitos aprofundados 
em Resistência dos Materiais, também de ensino superior. Na verdade, a demonstração que 
vem sendo dada até agora será para o desenvolvimento do próximo tópico, que será 
Momento de Inércia. Existem “2 Momentos de Inércia”: Momento de Inércia de Massa, que 
é aplicado a problemas de rotação e dinâmica dos corpos rígidos, e o Momento de Inércia 
de Área, que se utiliza em dimensionamento de estruturas que são sujeitas à deformação. 
Para o aluno, é suficiente saber que a expressão apresentada a seguir também é válida para 
se achar ascoordenadas do CG, e é baseada nas equações do Momento Estático. 
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de 
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cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o 
peso do corpo. 
Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação 
ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as 
resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro 
de Gravidade (CG). 
 
Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada por 
uma única força P. Esta força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu baricentro, ou 
cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da 
superfície. 
Sendo CG o centro de gravidade de uma superfície plana de área A definido pelo par 
ordenado (x,y) tem-se as seguintes expressões: 
MX = yCG . A e MY = xCG . A 
As expressões exprimem o chamado teorema dos momentos estáticos e possibilitam 
determinar centro de gravidade da superfície plana, ou seja: 
yCG = MX/A e xCG = MY/A 
Onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
MX = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
MY = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = Área da Figura. 
São Propriedades do Centro de Gravidade pela Área: 
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• O momento estático de uma superfície em relação a qualquer eixo 
baricêntrico (que passe pelo CG) é nulo; 
• Se existe um eixo de simetria na peça, então o CG está contido neste eixo. 
5.1. Centro de Gravidade de Área Composta 
Qualquer polígono pode ser decomposto em retângulos ou triângulos, cujos CG’s 
podem ser facilmente determinados. 
 
O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por: 
xCG = 
∑ xi .Ai
n
i=1
∑ Ai
n
i=1
 e yCG = 
∑ xi .𝐴i
n
i=1
∑ Ai
n
i=1
 
Exemplo: Determinar o Centro de Gravidade da Figura hachurada abaixo: 
 
1º Passo: Encontrar a Área que se deseja 
A = A1 – A2 – A3 → A = (8 . 15) – (6 x 4) – (4 . 3) → A = 84 cm² 
2º Passo: Encontrar os momentos estáticos das seções 
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M1,X = yCG1 . A1 → M1,X = 7,5 . (8 . 15) → M1,X = 900 cm³ 
M2,X = yCG2 . A2 → M2,X = 10 . (6 . 4) → M2,X = 240 cm³ 
M3,X = yCG3 . A3 → M3,X = 3,5 . (3 . 4) → M3,X = 42 cm³ 
3º Passo: Calcular o momento estático da seção hachurada 
MX = M1,X – M2,X – M3,X 
MX = 900 – 240 – 42 
MX = 618 cm³ 
4º Passo: Encontrar o yCG, já que o xCG é evidente = 4 
yCG = MX/A → yCG = 618/84 → yCG = 7,36 cm 
6. Momento de Inércia de Massa 
A primeira lei de Newton afirma que todos os corpos devem permanecer em 
movimento ou em repouso a menos que uma força altere esse estado do corpo (princípio 
da inércia). Isto é válido para qual quer corpo, seja ele uma partícula ou um corpo rígido de 
dimensões não desprezíveis. O princípio da inércia é válido ainda para os corpos em 
rotação, um corpo que gira em torno de um eixo deve permanecer girando a menos que 
uma força atue sobre ele, costuma-se chamar essa propriedade de inércia rotacional. Da 
mesma forma que em um movimento linear a inércia do corpo depende de sua massa, no 
movimento de rotação ela dependerá da massa e também de como essa massa se distribui 
no corpo em relação ao eixo de rotação. 
Um corpo rígido em rotação possui associado a ele uma energia cinética K em razão da 
velocidade vi de cada partícula de massa mi que forma esse corpo: 
K = 
1
2
 . m1 . v1
2 + 
1
2
 . m2 . v2
2 + ⋯ + 
1
2
 . mn . vn
2 → K = ∑
1
2
 . mi . vi
2
n
i=1
 
A grande dificuldade de se trabalhar com a equação acima é que para cada partícula 
temos uma velocidade diferente de forma que é mais conveniente substituir vi = ωri uma 
vez que a velocidade angular de cada partícula é a mesma, senão o corpo não seria rígido. A 
grandeza ri representa a distância entre cada partícula e o eixo de rotação do corpo. 
Portanto: 
K = ∑
1
2
 . mi(ωri
2) = 
1
2
 . (∑ mi . ri
2) . ω2 
Essa grandeza entre parênteses é o que se define como momento de inércia: 
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I = ∑ mi . ri
2 
Note que quanto maior o momento de inércia do corpo maior será sua energia cinética 
de rotação, ou seja, maior será o trabalho realizado para desacelerar ou acelerar esse corpo 
caso ele esteja em repouso. É importante notar ainda que um corpo pode ter um número 
infinito de momentos de inércia já que pode existir um número infinito de eixos de rotação. 
Desta forma é conveniente conhecer um teorema chamada de Teorema dos eixos paralelos 
que afirma mostra uma relação entre o momento de inércia em relação ao centro de massa 
ICM de um corpo de massa “m” e o Momento de Inércia IP em relação a um eixo paralelo ao 
primeiro e a uma distância “d” do mesmo. 
IP = ICM + md² 
OBS: Para o cálculo do momento de inércia é necessário o conhecimento do cálculo 
diferencial e integral, que não é do objetivo do curso. Abaixo segue uma tabela com 
momentos de inércia de alguns corpos: 
 
Exemplo: Três massas esféricas (A = 200 g, B = 400 g e C = 450 g) são colocadas nos 
vértices de um triangulo de lados AB = 30 cm, BC = 40 cm e CA = 50 cm. Determine o 
momento de inércia em relação ao um eixo imaginário que passa pelo centro da esfera A e 
seja perpendicular ao plano do desenho. 
 
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Resolução: 
I = ∑ mi . ri
2 = mA . rA
2 + mB . rB
2 + mC . rC
2 
I = 0,2 . 02 + 0,4 . 0,42 + 0,45 . 0,52 
I = 0,17 Kgm² 
 
 
 
 
 
 
 
Baseado e adaptado de 
Marcio Varela. Edições sem 
prejuízo de conteúdo.