7 - AULA 6 - MECÂNICA TÉCNICA

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Capítulo 6 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção/ Engenharia Ambiental 
Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Treliça Simples 
 A treliça é uma estrutura de elementos delgados ligados entre si 
pelas extremidades. 
 Geralmente os elementos de uma treliça são de madeira ou de aço e 
em geral são unidos por uma placa de reforço com mostrado na 
figura. 
•Os membros normalmente usados em construções consistem de 
escoras de madeira ou barras de metal. 
 
A treliça mostrada na Figura a seguir é um exemplo típico de 
treliça de telhado. 
TRELIÇAS SIMPLES 
Como esse peso atua no mesmo plano da treliça, as análises das forças 
desenvolvidas nos membros da treliça serão bidimensionais. 
As treliças planas são aquelas que se distribuem em um plano e 
geralmente são utilizadas em estruturas de telhados e pontes. 
No caso de uma ponte, o peso no tabuleiro é primeiro transmitido 
para as longarinas, depois para as vigas de piso e, finalmente, para os 
nós das duas treliças laterais. 
TRELIÇAS SIMPLES 
Assim como no telhado, o peso da ponte de treliça também é coplanar. 
TRELIÇAS SIMPLES 
PRESSUPOSTOS PARA PROJETO 
Projeto de Treliças 
 Hipóteses: 
 1) Todas as cargas são aplicadas aos nós, 
normalmente o peso próprio é desprezado 
pois a carga suportada é bem maior que o 
peso do elemento. 
 
 2) Os elementos são ligados entre si por 
superfícies lisas. 
 Devido as hipóteses simplificadoras, os elementos de uma treliça 
atuam como barras de duas forças. 
• Se uma força tende a alongar o elemento, é chamada de força de tração. 
• Se uma força tende a encurtar o elemento, é chamada de força de 
compressão. 
Elemento de Duas Forças 
 
TRELIÇA SIMPLES 
Se os três membros são conectados por pino em suas 
extremidades, eles formam uma treliça triangular que será rígida. 
Unir dois ou mais membros e conectá-los a um novo nó D forma 
uma treliça maior. 
TRELIÇA SIMPLES 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
 Desenhe o diagrama de corpo livre de um nó tendo pelo menos 
uma força conhecida e no máximo duas forças desconhecidas. (Se 
esse nó estiver em um dos suportes, então pode ser necessário 
primeiro calcular as reações externas no suporte.) 
 
 Use um dos métodos descritos acima para estabelecer o sentido de 
uma força desconhecida. 
 
 Usando os resultados calculados, continue a analisar cada um dos 
outros nós. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
 Oriente os eixos x e y de modo que as forças no diagrama de corpo livre 
possam ser facilmente decompostas em suas componentes x e y e, 
depois, aplique as duas equações de equilíbrio de força ΣFx = 0 e ΣFy = 0. 
Resolva para as duas forças de membro desconhecidas e verifique seu 
uso correto. 
 
 Lembre-se de que um membro sob compressão ‘empurra’ o nó e um 
membro sob tração ‘puxa’ o nó. Além disso, certifique-se de escolher um 
nó que tenha pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças 
desconhecidas. 
A análise é realizada a partir do diagrama de corpo livre de cada nó que compõe a 
treliça. 
• São válidas as equações de equilíbrio da estática. 
Método dos Nós 
 
∑Fx=0 
∑Fy=0 
∑M=0 
A análise é realizada a partir do diagrama de corpo livre de cada nó que compõe a 
treliça. 
• São válidas as equações de equilíbrio da estática. 
Método dos Nós 
 
∑Fx=0 
∑Fy=0 
∑M=0 
Método da Seções 
•O método das seções é utilizado para se 
determinar as forças atuantes dentro de um 
elemento da treliça. 
• Esse método baseia-se no princípio de que se um 
corpo está em equilíbrio, qualquer parte dele 
também está. 
• O método consiste em seccionar o elemento que 
se deseja analisar na treliça e aplicar as equações de 
equilíbrio na região seccionada. 
 
Exemplo: Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça 
mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou 
compressão. 
Equações de Equilíbrio no Nó B 
Equações de equilíbrio nó C. 
Equações de equilíbrio nó A. 
Representação dos esforços nos elementos da treliça. 
Exercício 2 
 2) Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça mostrada na 
figura e indique se os elementos estão sob tração ou compressão. 
Cálculo das Reações de Apoio 
Equações de equilíbrio nó A. 
Equações de equilíbrio nó D. 
Equações de equilíbrio nó C. Representação dos esforços 
nos elementos da treliça. 
Quando precisamos encontrar a força em 
apenas alguns membros de uma treliça, 
podemos analisar a treliça usando o 
método das seções. 
Este método se baseia no princípio de que 
se uma treliça está em equilíbrio, então 
qualquer segmento dela também está em 
equilíbrio. 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
Por exemplo, considere os dois membros de treliça mostrados no lado 
esquerdo dessa Figura: 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
•Claramente pode-se ver que 
o equilíbrio requer que o 
membro sob tração (T) esteja 
sujeito a um ‘puxão’; 
•Enquanto o membro Sob 
compressão (C) está sujeito a 
um ‘empurrão’. 
•O método das seções também pode ser usado para ‘cortar’ ou seccionar 
os membros de uma treliça inteira. 
 
•Como apenas três equações de equilíbrio independentes (ΣFx = 0, ΣFy = 
0, ΣMO = 0) podem ser aplicadas ao diagrama de corpo livre de qualquer 
segmento, então, tentaríamos escolher uma seção que, em geral, 
passe por não mais que três membros em que as forças são 
desconhecidas. 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
Por exemplo, considere a treliça na Figura abaixo: 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
• As forças nos membros BC, GC e GF devem ser determinadas, seção aa é a apropriada. 
Os diagramas de corpo livre dos dois segmentos são mostrados nas 
Figuras a seguir: 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
OS membros BC e GC são considerados sob tração, GF sob compressão; 
As forças F BC, F GC e F GF podem ser obtidas aplicando as três equações de equilíbrio 
Ao DCL; 
As 3 reações de apoio D x, D y e E x precisarão ser conhecidas. 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
•A soma dos momentos em torno de C produz solução direta para FGF, já que FBC e 
FGC criam um momento zero em torno de C; 
•Mesmo modo FBC pode ser obtido a partir da soma dos momentos em torno 
de G; 
•Finalmente, FGC pode ser encontrado diretamente a partir de uma soma de forças 
na direção vertical, já que FGF e FBC não possuem componentes verticais. 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
Ao aplicar as equações de equilíbrio, devemos considerar 
cuidadosamente maneiras de escrever as equações a fim de produzir 
uma solução direta para cada uma das incógnitas, em vez de precisar 
resolver equações simultâneas. 
 
Como no método dos nós, há duas maneiras em que podemos 
determinar o sentido correto de uma força de membro desconhecida: 
 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
 O sentido correto de uma força de membro desconhecida pode, em 
muitos casos, ser determinado ‘por observação’. Em casos mais 
complicados, o sentido de uma força de membro desconhecida 
pode ser assumido. 
 
 Sempre considere que as forças de membro desconhecidas na seção 
de corte são de tração, ou seja, ‘puxam’ o pino. 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
Exemplo – Membros de força Zero. 
Utilizando o método dos nós, determine os elementos de força nula da treliça 
para telhados mostrada na figura abaixo. Considere que todos os nós estejam 
conectados por pinos. 
Procure os nós que apresentam 3 elementos para os quais 2 são colineares. Temos: 
Nó G: 
ΣFy = 0 
FGC = 0. 
Nó D: 
ΣFx= 0 
FDF = 0. 
+ 
ΣFy= 0 
FFC cos θ = 0. 
Nó F: 
•Como θ ≠ 90º; FFC = 0 . 
Se o Nó B for analisado: 
Diagrama de corpo livre 
 
 Decida sobre como ‘cortar’ ou seccionar a treliça através dos 
membros onde as forças devem ser determinadas. 
 
 Antes de isolar a seção apropriada, pode ser necessário primeiro 
determinar as reações de apoio da treliça. Se isso for feito, então as 
três equações de equilíbrio estarão disponíveis para resolver as 
forças de membro na seção. 
PROCEDIMENTOSPARA ANÁLISE 
Diagrama de corpo livre 
 
 Desenhe o diagrama de corpo livre do segmento da treliça 
seccionada que possui o menor número de forças agindo. 
 
 Use um dos dois métodos descritos anteriormente para estabelecer 
o sentido das forças de membro desconhecidas. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
Equações de equilíbrio 
 
 Os momentos devem ser somados em torno de um ponto situado na 
interseção das linhas de ação de duas forças desconhecidas, de 
modo que a terceira força desconhecida possa ser determinada 
diretamente pela equação de momento. 
 
 Se duas das forças desconhecidas são paralelas, as forças podem 
ser somadas perpendicularmente à direção dessas forças 
desconhecidas para determinar diretamente a terceira força 
desconhecida. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
Por exemplo: 
MEMBROS DE FORÇA ZERO 
De modo semelhante, considere o diagrama de corpo livre 
do nó D: 
MEMBROS DE FORÇA ZERO 
•A partir dessas observações, podemos concluir que, se apenas dois 
membros formam um nó de treliça e nenhum peso externo ou reação 
de suporte é aplicado ao nó, os dois membros só podem ser membros 
de força zero. 
•O peso sobre a treliça na figura é, portanto, sustentado por apenas cinco 
membros. 
MEMBROS DE FORÇA ZERO 
(1) 
(2) 
(4) 
(5) 
(3) 
O diagrama de corpo livre do pino no nó D é mostrado na figura a seguir: 
MEMBROS DE FORÇA ZERO 
• Orientando o eixo y ao longo dos membros DC e DE e o eixo x ao 
longo do membro DA, podemos ver que DA é um membro de força 
zero. Note que esse também é o caso para o membro CA: 
MEMBROS DE FORÇA ZERO 
A treliça mostrada na figura abaixo, portanto, é adequada para 
sustentar o peso P. 
MEMBROS DE FORÇA ZERO 
Determine a força nos elementos GE, GC e BC da treliça mostrada na figura. Indique se 
estão sob T ou C 
Exemplo - Método das Seções