8 - AULA 7 - MECÂNICA TÉCNICA

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Capítulo 9 
 
Centroide por Área Composta 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção 
Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
• Discutir o conceito do centro de gravidade e o 
centroide. 
• Mostrar como determinar o local do centro de 
gravidade e centroide para um sistema de partículas 
discretas e um corpo de forma arbitrária. 
Objetivos do Capítulo 
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E 
CENTROIDE DE UM CORPO 
 Centro De Gravidade 
 
Um corpo é composto de uma 
série infinita de partículas de 
tamanho diferenciado, e assim, 
se o corpo estiver localizado 
dentro de um campo 
gravitacional, então cada uma 
das partículas terá um peso dW. 
 Centro de gravidade 
 
Esses pesos formarão um sistema 
de forças aproximadamente 
paralelas, e o resultante desse 
sistema é o peso total do corpo, que 
passa por um único ponto chamado 
centro de gravidade, G. 
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E 
CENTROIDE DE UM CORPO 
 Centro de Gravidade 
Imagine que o corpo está fixo 
dentro do sistema de coordenadas e 
esse sistema é girado em 90° em 
torno do eixo y. 
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E 
CENTROIDE DE UM CORPO 
Portanto, o local do centro de gravidade G com relação aos eixos x, y, 
z torna-se: 
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E 
CENTROIDE DE UM CORPO 
CENTRO DE MASSA DE UM CORPO 
Para estudar a resposta dinâmica 
ou movimento acelerado de um 
corpo, é importante localizar o 
centro de massa Cm do corpo. 
•Esse local pode ser determinado substituindo dW = g dm nas equações mostradas 
anteriormente. 
•Como g é constante, ele é removido, e portanto, 
 
 
 
CENTRO DE MASSA DE UM CORPO 
Se o corpo na figura ao lado é 
composto 
de um material homogêneo, então sua 
densidade r (rho) será constante. 
Portanto, um elemento diferencial de 
volume dV tem uma massa dm = r dV. 
 
Substituindo isso nas equações 
anteriormente apresentadas e 
removendo r, obtemos fórmulas 
que localizam o centroide C ou 
centro geométrico do corpo; a saber, 
 
 
 
CENTROIDE DE UM VOLUME 
Se o corpo na figura ao lado é composto 
de um material homogêneo, então sua 
densidade r (rho) será constante. 
Portanto, um elemento diferencial de 
volume dV tem uma massa dm = r dV. 
 
 
 
Substituindo isso nas equações 
anteriormente apresentadas e 
removendo r, obtemos fórmulas 
que localizam o centroide C ou 
centro geométrico do corpo; a saber, 
 
 
 
CENTROIDE DE UM VOLUME 
Essas equações representam 
um equilíbrio dos momentos do 
volume do corpo. 
 Portanto, se o volume possui 
dois planos de simetria, então 
seu centroide precisa estar ao 
longo da linha de interseção 
desses dois planos. 
CENTROIDE DE UM VOLUME 
Exemplo: 
 
CENTROIDE DE UMA ÁREA 
Se uma área se encontra no plano x–y e estiver ligada pela curva y = f(x), 
como mostra a figura abaixo, então seu centroide estará nesse plano e 
pode ser determinado a partir de integrais semelhantes às equações 
anteriormente apresentadas, a saber, 
 
Por exemplo, se uma faixa vertical for usada, a área do elemento é 
dA = y dx, e seu centroide está localizado em 
Se considerarmos uma faixa horizontal, então dA = x dy, e seu 
centroide está localizado em 
CENTROIDE DE UMA ÁREA 
CENTROIDE DE UMA LINHA 
Se um segmento de linha (ou vara) se 
encontra dentro do plano x–y e pode ser 
descrito por uma linha curva y = f (x) 
(figura ao lado), então seu centroide é 
determinado a partir de: 
 
 
 
 
PONTOS IMPORTANTES 
 O centroide representa o centro geométrico de um corpo. 
 Esse ponto coincide com o centro de massa ou centro de 
gravidade somente se o material compondo o corpo for 
uniforme ou homogêneo. 
 
 As fórmulas usadas para localizar o centro de 
gravidade ou o centroide simplesmente representam 
um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas as 
partes do sistema e o momento do ‘resultante’ para o 
sistema. 
 Em alguns casos, o centroide 
está localizado em um ponto 
que não está no objeto, 
como no caso de um anel, 
onde o centroide está no seu 
centro. 
 Além disso, esse ponto 
estará em qualquer eixo de 
simetria para o corpo 
(figura ao lado). 
PONTOS IMPORTANTES 
Elemento diferencial 
 
 Selecione um sistema de coordenadas apropriado, especifique os 
eixos de coordenadas e depois escolha um elemento diferencial 
para integração. 
 
 Para linhas, o elemento é representado por um segmento de linha 
diferencial com comprimento dL. 
 
 Para áreas, o elemento geralmente é um retângulo com área dA, 
tendo um comprimento finito e largura diferencial. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
Elemento diferencial 
 
 Para volumes, o elemento pode ser um disco circular de volume 
dV, com um raio finito e espessura diferencial. 
 
 Localize o elemento de modo que ele toque no ponto arbitrário (x, 
y, z) na curva que define o limite da forma. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
Comprimento e braços do momento 
 
 Expresse o comprimento dL, área dA ou volume dV do elemento 
em termos das coordenadas descrevendo a curva. 
 
 Expresse os braços do momento para o centroide ou 
centro de gravidade do elemento em termos das coordenadas que 
descrevem a curva. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
Integrações 
 
 Substitua as formulações para e dL, dA ou dV nas 
equações apropriadas. 
 
 Expresse a função no integrando em termos da mesma variável 
que a espessura diferencial do elemento. 
 
 Os limites da integral são definidos a partir dos dois locais 
extremos da espessura diferencial do elemento, de modo que, 
quando os elementos são ‘somados’ ou a integração é realizada, a 
região inteira é coberta. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
 
Capítulo 9 
 
Centroide por Área 
Composta 
CORPOS COMPOSTOS 
Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas ‘mais 
simples’ conectados, que podem ser retangulares, triangulares, 
semicirculares etc. 
 
Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes 
componentes e, desde que o peso e a localização do centro de gravidade de 
cada uma dessas partes sejam conhecidos, podemos então eliminar a 
necessidade de integração para determinar o centro de gravidade para 
o corpo inteiro. 
O resultado são fórmulas: 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
PARTES COMPOSTAS 
 
 Usando um esboço, divida o corpo ou objeto em um número finito 
de partes compostas que possuem formas mais simples. 
 
 
 Se um corpo composto tem um furo, ou uma região geométrica 
sem material, então considere o corpo composto sem o furo e 
considere o furo como uma parte composta adicional de peso ou 
dimensão negativo. 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
BRAÇOS DO MOMENTO 
 
 Estabeleça os eixos de coordenadas no esboço e determine as 
coordenadas do centro de gravidade ou centroide de 
cada parte. 
SOMATÓRIOS 
 
PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 
 Determine aplicando as equações de centro 
de gravidade ou as equações de centroide 
correspondentes. 
 
 Se um objeto é simétrico em relação ao eixo, o centroide 
do objeto se encontra nesse eixo. 
 
Exemplo: Localize o centroide do fio mostrado na figura abaixo. 
• O fio é dividido em 3 segmentos: 
Obs.: 188,5 = 2πR / 2 = metade do círculo! 
• 60 = distância do braço, vai do eixo (0,0) de origem até o centro de cada figura! 
• x~ (mm) =0 , Não corta o eixo x! 
• - 38,2 mm = ȳ = 2R/p 
• - 10 mm = corta oe eixo z em – 10 mm. 
Assim: 
Exemplo 2) Localize o centroide da área da placa mostrada abaixo: 
Exemplo 2) Localize o centroideda área da placa mostrada abaixo: 
Assim: