1c Limite Por Caminhos

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Existência de Limite por Caminhos
Prof. Patricio Pérez
Licenciatura em Matemática / DMAT
April 24, 2022
Prof. Patricio patricioeada@yahoo.com.br Licenciatura em Matemática / DMAT
Existência de Limite por Caminhos 1
Introdução
Já aprendemos sobre o limite de funções de várias variáveis,
utilizando a definição. Porém, tem uma forma de estudar a
existência de tal limite considerando os chamados Caminhos.
A existência ou não do limite de uma função no ponto estudado
é uma informação importante para entender o comportamento
da função.
Como antes a maior parte do tempo definiremos os conceitos
para funções de duas variáveis, que evidentemente podem-se
generalizar para um número finito de variáveis.
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Observação
Para as funções de uma variável, a existência do limite de uma
função f , quando x tende ao ponto a depende dos chamados
Limites Laterais. Isto é, se:
lim
x→a+
f (x) = lim
x→a−
f (x)
Então, dizemos que lim
x→a
f (x) existe.
Se, lim
x→a+
f (x) 6= lim
x→a−
f (x), o limite não existe.
Neste caso, existem somente duas direções de aproximação ao
ponto a, pela direita ou pela esquerda.
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Já para funções de várias variáveis, existem infinitas formas de
(x, y) se aproximar de (a, b), pois esta aproximação é feita
dentro do disco D(δ).
Assim, para existir o limite da função f (x, y), o valor deste limite
deve ser sempre o mesmo independentemente da direção
tomada para aproximar o ponto (x, y) do ponto (a, b).
Portanto, se encontrarmos duas direções diferentes para as
quais os limites forem diferentes o limite não existirá.
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Definição
Formalizemos estas idéias da seguinte forma:
Se f (x, y) −→ L1 quando (x, y)→ (a, b) ao longo do caminho C1
e
se f (x, y) −→ L2 quando (x, y)→ (a, b) ao longo do caminho C2,
sendo L1 6= L2, então lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) não existe.
Evidentemente que, a definição anterior é aplicável para verificar
quando não existe um limite da função f (x, y), quando (x, y)
tende a qualquer ponto (a, b).
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Porém, pela facilidade das contas usaremos esta definição para
verificar a não exitência do limite quando (x, y) tende a (0,0).
Neste caso, os chamados caminhos serão trajetórias que
passam por (0,0), como por exemplo: os eixos coordenados; as
retas y = ax; as curvas y = xn; etc.
Exemplos
1.- Verifique para as funções f (x, y) dadas que o limite
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) não existe.
(a) f (x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
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Primeiramente vamos a considerar o caminho C1 como
sendo o eixo x. Assim y = 0, portanto temos que:
f (x,0) =
x2
x2
= 1, para todo x 6= 0. Isto é,
f (x, y) −→ 1, quando (x, y)→ (0,0) ao longo do eixo x.
Agora vamos a considerar o caminho C2 como sendo o eixo
y. Assim x = 0, portanto temos que
f (0, y) = −y
2
y2
= −1, para todo y 6= 0. Isto é,
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f (x, y) −→ −1, quando (x, y)→ (0,0) ao longo do eixo y.
Como 1 6= −1, temos que o limite não existe.
(b) f (x, y) =
x · y
x2 + y2
Primeiramente vamos a considerar o caminho C1 como
sendo o eixo x. Assim y = 0, portanto temos que
f (x,0) =
x · 0
x2
= 0, para todo x 6= 0. Isto é,
f (x, y) −→ 0, quando (x, y)→ (0,0) ao longo do eixo x.
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Agora vamos a considerar o caminho C2 como sendo o eixo
y. Assim x = 0, portanto temos que:
f (0, y) =
0 · y
y2
= 0, para todo y 6= 0. Isto é,
f (x, y) −→ 0, quando (x, y)→ (0,0) ao longo do eixo y.
Como não obtivemos um valor diferente vamos a considerar
um outro caminho. Neste caso, C3 como sendo a reta y = x,
portanto temos que,
f (x, x) =
x · x
x2 + x2
=
x2
2x2
=
1
2
, para todo x 6= 0. Isto é,
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f (x, y) −→ 12 , quando (x, y)→ (0,0) ao longo da reta y = x.
Como 0 6= 12 , temos que o limite não existe.
(c) f (x, y) =
x · y2
x2 + y4
Primeiramente vamos a considerar o caminho C1 como
sendo o eixo x. Assim y = 0, portanto temos que
f (x,0) =
x · 02
x2
= 0, para todo x 6= 0. Isto é,
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f (x, y) −→ 0, quando (x, y)→ (0,0) ao longo do eixo x.
Agora vamos a considerar o caminho C2 como sendo o eixo
y. Assim x = 0, portanto temos que
f (0, y) =
0 · y2
y4
= 0, para todo y 6= 0. Isto é,
f (x, y) −→ 0, quando (x, y)→ (0,0) ao longo do eixo y.
Como não obtivemos um valor diferente vamos a considerar
um outro caminho. Neste caso, C3 como sendo a reta y = x,
portanto temos que,
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f (x, x) =
x · x2
x2 + x4
=
x3
x2(1 + x2)
=
x
1 + x2
x→0−→ 0. Isto é,
f (x, y) −→ 0, quando (x, y)→ (0,0) ao longo da reta y = x.
Como novamente não obtivemos um valor diferente vamos a
considerar um outro caminho. Neste caso, C4 como sendo a
parábola x = y2, portanto temos que,
f (y2, y) =
y2 · y2
y4 + y4
=
y4
2y4
=
1
2
, para todo y 6= 0. Isto é,
f (x, y) −→ 12 , quando (x, y)→ (0,0) ao longo da parábola
x = y2.
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Como 0 6= 12 , temos que o limite não existe.
Observação
Da mesma forma que para funções de uma variável, uma
aplicação importante para o limite de uma função de várias
variáveis é o estudo da Continuidade da Função.
Este será o assunto da nossa próxima aula. !!!
QUE JESUS ILUMINE SUA VIDA. !!!
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