estatistica AFRF2005 prova resolvida

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EU VOU PASSAR Espaço Jurídico – Recife – PE 
 
 
AFRF – 2005 Estatística – Prof. Weber Campos 
O Professor Weber Campos é professor de Estatística e Matemática Financeira do 
Espaço Jurídico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão) Para dados agrupados representados por uma curva de freqüências, as diferenças entre os 
valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação 
entre essas medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica. 
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. 
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana. 
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda. 
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. 
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média. 
 
Sol.: 
 A ESAF cometeu dois enganos nesta questão: 1º) A questão é de Assimetria e este assunto não está 
mais presente no edital do concurso de AFRF, e 2º) há duas alternativas corretas na questão. 
 
 Vamos à solução! 
 
 Numa distribuição assimétrica negativa temos a seguinte relação entre as medidas da média ( X ), 
mediana (Md) e moda (Mo). 
 
X < Md < Mo 
 
 Verificando as alternativas B e C, concluímos que ambas estão corretas! 
 
 
2ª Questão) Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores de seu 
principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua 
participação no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores 
com idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou 
que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuição: 
 
Idade (X) Freqüência Porcentagem 
 40 20 25 -ו 18
 30 15 30 -ו 25
 20 10 35 -ו 30
 10 5 40 -ו 35
Total 50 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte critério de 
decisão: 
se a diferença X - 25 for maior que o valor 
n
xσ2 , 
então a campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a 
campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado. 
 
a) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que 
n
xσ2 =1,53. 
 
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b) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que 
n
xσ2 =1,64. 
 
c) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 é maior que 
n
xσ2 =1,41. 
 
d) A campanha não surtiu efeito, pois X -25=0 é menor que 
n
xσ2 =1,53. 
 
e) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,5 é maior que 
n
xσ2 =1,41. 
 
 
Sol.: 
 Para saber se a campanha surtiu efeito devemos efetuar o cálculo de duas medidas: X e xσ . Mas 
o que significam os símbolos X e xσ ? A ESAF esqueceu de defini-los. O símbolo X já é bem conhecido 
nosso, aparece em diversas provas e livros, ele significa a média aritmética. Mas o símbolo xσ , que 
normalmente representa o desvio padrão populacional, não é tão conhecido e a ESAF tinha o dever de 
informar. 
 Pela primeira vez a ESAF apresentou uma distribuição de freqüências em que as amplitudes das 
classes não são todas iguais. A primeira classe tem amplitude 7, enquanto as demais têm amplitude 5. 
Isso interfere um pouco na solução da questão, como mostraremos adiante. 
 
 Vamos ao cálculo da média aritmética X . 
 
 A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula: 
n
xf
X ii∑= , 
onde: os xi são representados pelos pontos médios das classes (PMi). 
 os fi são as freqüências absolutas simples das classes. 
 n é o tamanho da amostra. 
 
 Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos imediatamente 
passar aos passos do cálculo da Média. 
 
1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi) 
 
Idade (X) fi xi (=PMi) 
 21,5 20 25 -ו 18
 27,5 15 30 -ו 25
 32,5 10 35 -ו 30
 37,5 5 40 -ו 35
Total 50 
 
2) Neste passo, poderíamos aplicar a fórmula da média aritmética, porém a construção da coluna fi.xi 
exige multiplicações um pouco trabalhosas, assim usaremos a variável transformada para facilitar esses 
cálculos. Além do mais, essa variável transformada vai simplificar bastante o cálculo do desvio padrão. 
 
 A obtenção da variável transformada normalmente é feita pela subtração da variável X por um 
ponto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da classe. Porém 
nesta questão nem todas as classes tem a mesma amplitude. Então faremos somente a subtração por um 
ponto médio da distribuição. 
 Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediárias da 
distribuição, então escolheremos o ponto médio da segunda classe, e chamaremos a variável transformada 
de Z. A coluna zi será construída abaixo. 
 
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Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 
 6- 21,5 20 25 -ו 18
 0 27,5 15 30 -ו 25
 5 32,5 10 35 -ו 30
 10 37,5 5 40 -ו 35
Total 50 
 
 
3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z . 
 
Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 fi.zi 
 120- 6- 21,5 20 25 -ו 18
 0 0 27,5 15 30 -ו 25
 50 5 32,5 10 35 -ו 30
 50 10 37,5 5 40 -ו 35
Total 50 -20 
 
4) Efetuaremos o cálculo do Z : 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
n
zf
Z ii
.
 Z =
50
20−
 Z =-0,4 
 
5) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , podemos obter X . 
 
 A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte: 
Z = X – 27,5 
 
 A relação entre as médias de Z e X é obtida, simplesmente, substituindo-se X por X e Z por Z , 
devido às propriedades da média aritmética. Teremos: 
Z = X – 27,5 
 
 Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z = - 0,4, teremos: 
 
 X = Z + 27,5 X = -0,4 + 27,5 X = 27,1 
 
 Já obtemos a média aritmética X ! Para sabermos qual é a alternativa correta, temos que calcular 
a diferença: ( X – 25). Essa diferença é igual a: 
( X – 25) = (27,1 – 25) = 2,1 
 
 Com este resultado, somente as alternativas A e C podem estar corretas. Para descobrir a única 
alternativa correta teremos que proceder ao cálculo do desvio-padrão da variável X. 
 
 Vamos ao cálculo do desvio padrão populacional ( xσ ). 
 
 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Desta forma, procederemos primeiramente ao 
cálculo da variância. 
 Fórmula da variância populacional: Vx = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ⋅
−⋅∑ ∑ n
xf
xf
n
ii
ii
2
21 
 
 
 Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformada Z=X-27,5 
para facilitar os cálculos da variância. Ou seja, primeiramente encontraremos a variância de Z para depois 
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obtermos a variância de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3º passo do cálculo da média, acrescentando 
a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto das colunas zi e fizi. 
Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi–27,5 fi.zi fi.zi2 
 720 120- 6- 21,5 20 25 -ו 18
 0 0 0 27,5 15 30 -ו 25
 250 50 5 32,5 10 35 -ו 30
 500 50 10 37,5 5 40 -ו 35
Total 50 -20 1470 
 
 Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ): 
 
 VZ = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ⋅
−⋅∑ ∑ n
zf
zf
n
ii
ii
2
21 VZ = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−
50
201470
50
1 2
 VZ = [ ]146250
1
 
 
 VZ = 29,24 
 
 A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte: 
Z = X – 27,5 
 
 Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se altera ao 
somarmos ou subtrairmos uma constante, daí a variância de X é igual a variância de Z: 
VX = 29,24 
 
 Ao invés de calcularmos o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância, é melhor elevarmos 
ao quadrado a seguinte expressão dada no enunciado: 
n
xσ2 
 Elevando ao quadrado, teremos: 
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
n
xσ = 
n
x
24σ
 
 
 O termo 2xσ que aparece no numerador é a própria variância, da qualjá sabemos quanto é seu 
valor. Assim, teremos: 
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
n
xσ = 
n
x
24σ
 = 
50
24,294 ⋅
 = 2,34 
 
 Já sabemos que as possíveis alternativas corretas são a A e a C. A alternativa A afirma que 
n
xσ2 =1,53. Para que esta alternativa seja a correta é necessário que o quadrado de 1,53 seja igual a 
2,34. Vamos testar! 
(1,53)2 = 2,34 
 
 Teste positivo! Então a alternativa correta é a alternativa A! 
 
 
3ª Questão) Considerando-se os dados sobre os preços e as quantidades vendidas de dois produtos em 
dois anos consecutivos, assinale a opção correta. 
Produto I Produto II Ano 
P11 Q11 P21 Q21 
1 40 6 40 2 
2 60 2 20 6 
 
a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o 
índice de Paasche indica uma redução de 50%. 
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b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 para o preço relativo do produto 1 e 
240 para o preço relativo do produto 2. 
c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o 
índice de Paasche indica uma redução de 75%. 
d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para o preço relativo do produto 1 e 
80 para o preço relativo do produto 2. 
e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o 
índice de Paasche indica uma redução de 25%. 
 
Sol.: 
 Esta é um questão de Números Índices que envolve o cálculo dos índices de Laspeyres e Paasche 
de preço. Frequentemente a ESAF coloca o cálculo desses índices em suas provas, então esta questão não 
deve ter sido surpresa para os candidatos. 
 
 As fórmulas de Laspeyres e Paasche de preço têm a mesma forma, mudando somente os subscritos 
das quantidades dos produtos. O índice de Laspeyres é conhecido como método da época base, portanto 
consideraremos as quantidades da época base. O índice de Paasche é conhecido como método da época 
atual, portanto consideraremos as quantidades da época atual. 
 
 A época base é o ano 1 e a época atual é o ano 2, pois os índices indicados nas alternativas da 
questão mostram a evolução de preços do ano 1 para o ano 2. 
 
 Fórmula de Laspeyres de preço: 
 La = 
∑
∑
⋅
⋅
)(
)(
11
12
qp
qp
 
 
 Fórmula de Paasche de preço: 
 Pa = 
∑
∑
⋅
⋅
)(
)(
21
22
qp
qp
 
 
 Cálculo do Laspeyres de preço: 
 La=
11.11
1212
anonoIIdeqdeanonoIIdepreçoanonoIdeqdeanonoIdepreço
anonoIIdeqdeanonoIIdepreçoanonoIdeqdeanonoIdepreço
×+×
×+×
 
 
 Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Laspeyres, obteremos: 
 
 La = 
240640
220660
×+×
×+×
 = 
2464
2266
×+×
×+×
 = 
32
40
 = 
4
5
 = 1,25 = 125% 
 
 Este resultado indica que houve um aumento de preços de 25% (=125%-100%). 
 
 Cálculo do Paasche de preço: 
 Pa=
21.21
2222.
anonoIIdeqdeanonoIIdepreçoanonoIdeqdeanonoIdepreço
anonoIIdeqdeanonoIIdepreçoanonoIdeqdeanonoIdepreço
×+×
×+×
 
 
 Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da fórmula de Paasche, obteremos: 
 
 Pa = 
640240
620260
×+×
×+×
 = 
6424
6226
×+×
×+×
 = 
32
24
 = 
4
3
 = 0,75 = 75% 
 
 Este resultado indica que houve uma variação de preços de -25% (=75%-100%), ou seja, uma 
redução de 25%. 
 
 De acordo com estes resultados dos índices de Laspeyres e Paasche a alternativa correta é a 
alternativa E. 
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4ª Questão) Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, registraram-se os 
seguintes salários mensais (em salários mínimos): 
Identificação do casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Salário do marido (Y) 30 25 18 15 20 20 21 20 25 27 
Salário da esposa (X) 20 25 12 10 10 20 18 15 18 23 
Sabe-se que: 
 
 
Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos homens e os salários das 
mulheres. 
a) 0,72 
b) 0,75 
c) 0,68 
d) 0,81 
e) 0,78 
 
Sol.: 
 Esta questão é uma simples aplicação da fórmula do Coeficiente de Correlação (r) que é dada por: 
 
 r = 
( )( )
( ) ( )
n
Y
Y
n
X
X
n
YX
YX
i
i
i
i
ii
ii
2
2
2
2 ∑∑∑∑
∑∑∑
−⋅−
−
 
 
 
 Substituindo os valores fornecidos na questão dentro da fórmula da correlação, teremos: 
 
 r = 
( )( )
( ) ( )
10
2215069
10
1713171
10
2211713940
22
−⋅−
−
 
 
 Resolvendo, vem: 
 
 r = 
10
488415069
10
292413171
10
377913940
−⋅−
−
 
 
 r = 
1,488450691,29243171
1,37793940
−⋅−
−
 
 
 r = 
9,1849,246
9,160
⋅
 
 
 r = 
9,1849,246
9,160
⋅
 
 
 
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 r ≅ 
45652
161
 
 
 Neste ponto, temos que calcular a raiz quadrada de 45652. Vamos achá-la na base da tentativa: 
 1002 = 10.000 (< 45652) 
 2002 = 40.000 (< 45652) 
 2102 = 44.100 (< 45652) 
 2202 = 48.400 (> 45652) 
 
 Daí, a raiz quadrada de 45652 é um valor entre 210 e 220. Usaremos esses dois valores para 
encontrarmos o coeficiente de correlação (r): 
 
 Usando o valor de 210 como raiz quadrada de 45652, teremos: 
 r = 
210
161
 r = 766,0 
 
 Usando o valor de 220 como raiz quadrada de 45652, teremos: 
 r = 
220
161
 r = 73,0 
 
 A partir destes dois resultados, concluímos que o coeficiente de correlação linear está entre 0,73 
e 0,766, e, portanto, a alternativa correta é a alternativa B. 
 
 
 
5ª Questão) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) 
e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn): 
 
a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. 
b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais. 
c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. 
d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. 
e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. 
 
Sol.: 
 Considero esta questão como a mais fácil da prova, pois bastava conhecer a propriedade conjunta 
das médias aritmética, geométrica e harmônica para acertar a questão. Esta propriedade já havia sido 
exigida recentemente na prova de Fiscal da Bahia, elaborada pela FCC, mas na ESAF nunca havia sido 
cobrada. E eu sempre aviso em sala de aula, que não é importante saber as fórmulas da média geométrica 
e harmônica, pois nunca foram objeto de prova, mas sim a propriedade conjunta dessas médias. 
 
 A propriedade de que lhes falo é a seguinte: 
 
 Para um conjunto de valores positivos a média aritmética é maior ou igual a média geométrica 
que por sua vez é maior ou igual a média harmônica. E a igualdade só ocorre se os n valores forem todos 
iguais. 
 
 Portanto, a alternativa correta é a D. 
 
 
 
 
 
6ª Questão) De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de determinada 
área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte 
estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média 
(Limite Inferior - LI) deverão passar por treinamento específico para melhorar seus desempenhos; 
aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior 
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- LS) serão promovidos a líderes de equipe. 
 
Indicador Freqüência 
 10 2 -ו 0
 20 6 -ו 2
 240 6 -ו 4
 410 8 -ו 6
 120 10 -ו 8
Total 800 
 
Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos 
Humanos. 
a) LI = 4,0 e LS = 9,0 
b) LI = 3,6 e LS = 9,4 
c) LI = 3,0 e LS = 9,8 
d) LI = 3,2 e LS = 9,4 
e) LI = 3,4 e LS = 9,6 
 
Sol.: 
 Aqui ocorre mais um erro da ESAF, a 2ª classe da distribuição de freqüências é 2 4 -ו e não 2 6 -ו 
como está escrito acima. 
 
 Para encontrarmos a alternativa correta devemos obter a média e o desvio padrão da distribuição. 
Usaremos a variável transformadana obtenção dessas duas medidas. 
 
 Vamos ao cálculo da média aritmética X . 
 
 A média aritmética de uma distribuição de frequências com classes é dada pela fórmula: 
n
xf
X ii∑= , 
onde: os xi serão representados pelos pontos médios das classes (PMi). 
 os fi são as freqüências absolutas simples das classes. 
 n é o tamanho da amostra. 
 
 Nesta questão, já foi fornecida a coluna de freqüências fi. Desta forma, podemos imediatamente 
passar aos passos do cálculo da Média. 
 
1) Faremos a coluna dos pontos médios (PMi) 
 
Indicador fi xi (=PMi) 
 1 10 2 -ו 0
 3 20 4 -ו 2
 5 240 6 -ו 4
 7 410 8 -ו 6
 9 120 10 -ו 8
Total 800 
 
2) Construção da coluna da variável transformada Z. 
 
 Como todas as classes possuem a mesma amplitude, então faremos o cálculo usual da variável 
transformada, ou seja, a variável transformada Z é obtida pela subtração da variável X por um ponto 
médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da classe. 
 Sempre é aconselhável escolhermos um ponto médio de uma das classes intermediárias da 
distribuição, então escolheremos o ponto médio da terceira classe. 
 
Indicador fi xi 
(=PMi) 
zi=xi-5 
 2 
 2- 1 10 2 -ו 0
 1- 3 20 4 -ו 2
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 0 5 240 6 -ו 4
 1 7 410 8 -ו 6
 2 9 120 10 -ו 8
Total 800 
 
3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a média Z . 
Indicador fi xi 
(=PMi) 
zi=xi-5 
 2 
fi.zi 
 
 20- 2- 1 10 2 -ו 0
 20- 1- 3 20 4 -ו 2
 0 0 5 240 6 -ו 4
 410 1 7 410 8 -ו 6
 240 2 9 120 10 -ו 8
Total 800 610 
 
 
4) Efetuaremos o cálculo do Z : 
 
n
zf
Z ii∑= . Z =
800
610
 Z = 0,7625 
 
 
5) Da relação entre Z e X, e do valor de Z , obteremos o X . 
 
 A relação que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte: 
Z = X – 5 
 2 
 A relação entre as médias de Z e X é facilmente obtida, simplesmente substituindo-se X por X e Z 
por Z , devido às propriedades da média aritmética. Teremos: 
Z = X – 5 
 2 
 Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z =0,7625, teremos: 
 X = 2. Z + 5 X = 2 . 0,7625 + 5 X = 6,525 
 
 Acabamos de encontrar a média aritmética X ! Esta medida deve ser o ponto médio do intervalo 
de limite inferior LI e limite superior LS. Por esse motivo, as alternativas C e D já podem ser descartadas. 
 
 
 Passaremos ao cálculo do desvio padrão da distribuição. 
 
 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Portanto, primeiramente procederemos ao cálculo 
da variância. Pelo enunciado da questão notamos que a distribuição não é uma amostra e, portanto, 
usaremos a fórmula da variância populacional: 
Vx = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ⋅
−⋅∑ ∑ n
xf
xf
n
ii
ii
2
21 
 
 Assim como no cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável transformada Z=(X-5)/2 
para facilitar os cálculos de obtenção da variância. Ou seja, primeiramente encontraremos a variância de 
Z para depois obtermos a variância de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3º passo do cálculo da média, 
acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto das colunas zi e fizi. 
 
Indicador fi xi 
(=PMi) 
zi=xi-5 
 2 
fi.zi 
 
fi.zi2 
 
 40 20- 2- 1 10 2 -ו 0
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 20 20- 1- 3 20 4 -ו 2
 0 0 0 5 240 6 -ו 4
 410 410 1 7 410 8 -ו 6
 480 240 2 9 120 10 -ו 8
Total 800 610 950 
 
 Efetuaremos o cálculo da variância de Z (VZ): 
 VZ = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
800
610950
800
1 2
 VZ = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
8
3721950
800
1
 VZ = [ ]125,465950800
1
− 
 
 VZ = 800
75,484
 
 
 A relação que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte: 
Z = X – 5 
 2 
 Pela propriedade da soma e subtração da variância, temos que a variância não se altera ao 
somarmos (ou subtrairmos) uma constante. E pela propriedade do produto e divisão, temos que ao 
multiplicarmos (ou dividirmos) uma distribuição por uma constante, a variância ficará multiplicada (ou 
dividida) pelo quadrado da constante. Daí, a relação entre as variâncias de X e de Z é a seguinte: 
VZ = VX 
 (2)2 
 Segue-se que: VX = 4.VZ 
 O valor de VX é igual a: VX = 4. 800
75,484
 = 
200
75,484
 = 2,42 
 
 O desvio padrão de X é igual a raiz quadrada de 2,42. O valor desta raiz está entre 1,5 e 1,6, assim 
consideraremos que o desvio padrão é aproximadamente 1,55. 
 
 O limite superior, de acordo com o enunciado da questão, é: 
LS = X + 2.dp 
 Substituindo os resultados que encontramos, teremos: 
LS = X + 2.dp = 6,525 + 2 . 1,55 = 9,625 
 
 O limite inferior, de acordo com o enunciado da questão, é: 
LI = X - 2.dp 
 Substituindo os resultados que encontramos, teremos: 
LI = X - 2.dp = 6,525 - 2 . 1,55 = 3,425 
 
 A alternativa que traz os valores corretos para os limites inferior e superior, com uma casa 
decimal, é a alternativa E! 
 
 
 
7ª Questão) Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos 
para os produtos A e B: 
 
Produto A 39 33 25 30 41 36 37 
Produto B 50 52 47 49 54 40 43 
 
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos: 
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3% 
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3% 
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3% 
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3% 
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1% 
 
EU VOU PASSAR Espaço Jurídico – Recife – PE 
 
 
AFRF – 2005 Estatística – Prof. Weber Campos 
Sol.: 
 O coeficiente de variação é obtido pela divisão do desvio padrão pela média aritmética, ou seja: 
X
dpCV = 
 Essa é a terceira questão da prova em que precisamos efetuar o cálculo da média e do desvio 
padrão. 
 
 Cálculo do CV do produto A. 
 
1) Cálculo da média dos pedidos do produto A. 
 
39 33 25 30 41 36 37 
 
 Usaremos a fórmula da média para um conjunto de valores: 
n
x
X i∑= 
 
 Daí, 
7
37364130253339 ++++++
=AX = 34,4 
 
2) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto A. 
 
 Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para encontrarmos o 
desvio padrão. 
 Subtrairemos os valores do produto A por uma constante, isso não afetará o valor da variância e 
simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para ser essa constante. Veja 
abaixo os valores do produto A em ordem crescente. 
 
25 30 33 36 37 39 41 
 
 Subtraindo todos os valores pela constante 33, obteremos: 
-8 -3 0 3 4 6 8 
 
 De acordo com o enunciado, não há dúvidas de que os dados apresentados não são de uma 
amostra, e, portanto, usaremos a fórmula da variância populacional: 
Vx = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
− ∑∑ n
x
x
n
i
i
2
21 
 Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios:∑ ix e ∑ 2ix . 
 
Xi Xi2 
-8 64 
-3 9 
0 0 
3 9 
4 16 
6 36 
8 64 
10 198 
 
 Daí: Vx = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
7
10198
7
1 2
 = 26,24 
 
 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente 5,1. 
 
EU VOU PASSAR Espaço Jurídico – Recife – PE 
 
 
AFRF – 2005 Estatística – Prof. Weber Campos 
3) Cálculo do CVA 
 O CVA é dado por: 
A
A
A
X
dpCV = 
 
 Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: 
4,34
1,5
=ACV 
 Resolvendo, vem: %8,14148,0 ==ACV 
 
 
 
 Cálculo do CV do produto B. 
 
1) Cálculo da média dos pedidos do produto B. 
 
50 52 47 49 54 40 43 
 
 Daí, 
7
43405449475250 ++++++
=BX = 47,9 
 
2) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto B. 
 
 Primeiro calcularemos a variância e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para encontrarmos o 
desvio padrão. 
 Subtrairemos os valores do produto B por uma constante, isso não afetará o valor da variância e 
simplificará os cálculos. Escolheremos um valor intermediário do conjunto para ser essa constante. Veja 
abaixo os valores do produto B em ordem crescente. 
 
40 43 47 49 50 52 54 
 
 Subtraindo todos os valores pela constante 47, obteremos:-7 -4 0 2 3 5 7 
 
 Usaremos novamente a fórmula da variância populacional: 
Vx = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
− ∑∑ n
x
x
n
i
i
2
21 
 Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios:∑ ix e ∑ 2ix . 
 
Xi Xi2 
-7 49 
-4 16 
0 0 
2 4 
3 9 
5 25 
7 49 
6 152 
 
 Daí: Vx = 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
7
6152
7
1 2
 = 21 
 
 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Daí, o desvio padrão é aproximadamente 4,6. 
 
3) Cálculo do CVB 
 
EU VOU PASSAR Espaço Jurídico – Recife – PE 
 
 
AFRF – 2005 Estatística – Prof. Weber Campos 
 O CVB é dado por: 
B
B
B
X
dpCV = 
 
 Substituindo os valores da média e do desvio padrão, teremos: 
9,47
6,4
=BCV 
 Resolvendo, vem: %6,9096,0 ==BCV 
 
 
 
 Resultados: O CVA = 14,8% e o CVB = 9,6% 
 
 Para esses valores de Coeficiente de Variação não há alternativa correta nesta questão. Só 
acharíamos a alternativa B (gabarito da ESAF) se tivéssemos usado a fórmula da variância amostral, porém 
nada na questão indicava que os conjuntos representavam uma amostra. 
 Se a ESAF tiver humildade, ela deve admitir o erro nesta questão e portanto anulá-la.