Curso ESTATÍSTICA -Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE IV

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Curso ESTATÍSTICA 
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE IV 
Iniciado 10/04/23 01:01 
Enviado 10/04/23 01:22 
Status Completada 
Resultado da 
tentativa 
2,5 em 2,5 pontos 
Tempo decorrido 20 minutos 
Resultados 
exibidos 
Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, 
Perguntas respondidas incorretamente 
• Pergunta 1 
0,25 em 0,25 pontos 
 
(FGV-2022) Suponha que X, uma variável aleatória discreta, assuma 
a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
 
 
O valor de K e o valor esperado de X são, respectivamente, 
 
Resposta Selecionada: e. 
1/2 e 9/4. 
Respostas: a. 
0 e 3/4. 
 b. 
1/4 e 3/2. 
 c. 
1/2 e 3/4. 
 d. 
1/2 e 3/2. 
 e. 
1/2 e 9/4. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta: E 
Comentário: Quando a probabilidade de todos os 
possíveis resultados de uma variável aleatória discreta 
é expressa como uma taxa percentual, o resultado do 
somatório das probabilidades deve ser igual a 100%. 
Quando é expresso na forma unitária, o somatório das 
probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somando 
as probabilidades expostas na 2ª coluna da tabela do 
enunciado, temos a equação a seguir: 
 
 
 
 
Isolando o K, temos: 
 
 
 
 
 
Logo, sabemos que K = ½. 
 
O valor esperado E(X), de uma variável discreta 
aleatória X, é calculado pela média ponderada dos 
valores xi assumidos pela variável, em que os pesos são 
as probabilidades unitárias p(xi): 
 
 
 
No contexto do enunciado, temos o cálculo descrito a 
seguir: 
 
 
 
 
• Pergunta 2 
0,25 em 0,25 pontos 
 
(FGV-2022) Planeja-se selecionar quatro pessoas, com reposição, de 
uma pequena população composta por vinte pessoas, das quais dez 
foram acometidas por certa doença. Se X é a variável aleatória que 
contará o número de pessoas, entre as quatro, que foram 
acometidas pela referida doença, então a probabilidade de X ser 
igual a 2 é igual a: 
 
Resposta Selecionada: a. 
0,375. 
Respostas: a. 
0,375. 
 b. 
0,425. 
 c. 
0,475. 
 d. 
 
0,5. 
 e. 
0,525. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta: A 
Comentário: A questão aborda uma situação tratada 
como uma distribuição binomial. A distribuição 
binomial é uma distribuição discreta de probabilidades 
que se aplica sempre que o processo de amostragem 
tem as seguintes características: 
 
● Em cada tentativa, há apenas dois resultados 
possíveis, chamados de sucesso e fracasso, que são 
mutuamente exclusivos. No contexto, há apenas a 
possibilidade de a pessoa ser acometida pela doença 
ou não ser acometida, e a ocorrência de uma exclui a 
outra. 
● Os eventos de uma série de tentativas são 
independentes. No contexto, a amostra é selecionada 
com reposição, o que torna os eventos independentes 
entre si. 
● O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de 
sucesso não varia entre uma tentativa e outra. 
 
Chamando de p a probabilidade de sucesso de uma 
pessoa ser acometida pela doença, a probabilidade de 
fracasso q nessa mesma tentativa é dada por: 
 
 
 
Pelo contexto, p (probabilidade de a pessoa ser 
acometida pela doença) é dado por: 
 
 
Nesse caso, temos q (probabilidade de uma pessoa não 
ser acometida pela doença) dado como: 
 
 
 
Ou seja, temos dois resultados possíveis e mutuamente 
exclusivos. O número 1, na expressão acima, indica a 
probabilidade de ocorrência de 100%. 
A probabilidade P(X) de termos X sucessos em N 
tentativas é dada pela seguinte expressão: 
 
 
 
Escrevendo explicitamente o binômio CN,X, temos: 
 
 
 
No contexto, calcularemos a probabilidade de termos X 
= 2 pessoas acometidas pela doença em N = 4 
tentativas (quantidade de pessoas da amostra). 
 
 
 
 
Dessa forma, a probabilidade de haver 2 pessoas entre 
as 4 selecionadas que foram acometidas pela doença é 
de 0,375, ou 37,5%. 
 
• Pergunta 3 
0,25 em 0,25 pontos 
 
(IADES/2018) A variável normal padronizada Z é dada 
por Z = (X - µ)/σ, em que X é uma variável que tem distribuição normal 
de média µ e variância σ², conforme a figura apresentada. 
 
 
Considerando uma variável X que tem distribuição normal de média 
µ = 15,6 e variância σ² = 0,25, assinale a alternativa que indica a 
probabilidade p(15 < X < 16,2). 
 
Dado: Tabela – Áreas de uma distribuição normal padrão em relação 
à média. 
 
 
 
Resposta Selecionada: d. 
0,7698. 
Respostas: a. 
 
0,1151. 
 b. 
0,2302. 
 c. 
0,3849. 
 d. 
0,7698. 
 e. 
0,8849. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta: D 
Comentário: Temos, no contexto da questão, uma 
distribuição normal de probabilidades. Isso significa 
que as probabilidades seguem uma curva gaussiana, 
conforme exposto na figura do enunciado. A área 
abaixo da curva vale 1. 
Podemos converter os valores X da distribuição em 
valores padronizados z, subtraindo o valor de X da 
média e dividindo o resultado pelo desvio-padrão. 
Usando a simbologia empregada na questão, temos a 
seguinte expressão: 
 
 
 
Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos 
um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, X 
= µ. A um desvio-padrão da média, para o lado positivo 
da curva, temos z = 1 e, nesse caso, temos X = µ + σ. A 
um desvio-padrão da média, para o lado negativo da 
curva, temos z = –1 e, nesse caso, temos X = µ – σ. Essa 
correspondência pode ser vista na figura a seguir, em 
que os valores (em preto) do eixo horizontal 
correspondem aos valores de z, com a correspondência 
de X descrita logo a seguir (em azul): 
 
 
 
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à 
Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245. 
 
Note que a área de z = 1 em relação à média (ponto z = 
0) é igual à área de z = –1 em relação à média (ponto z = 
0). Logo, valores simétricos em relação ao ponto central 
correspondem à mesma medida de área e, 
consequentemente, à mesma probabilidade, conforme 
ilustrado a seguir: 
 
 
 
 
 
Para sabermos quanto vale a área de z = 1 até z = –1, 
basta que somemos as áreas destacadas nas figuras 
anteriores, ou multipliquemos 0,3413 por 2. 
Voltando aos dados do enunciado, sabemos que a 
variável X tem distribuição normal de média µ = 15,6 e 
variância σ² = 0,25. Para encontrarmos o valor do 
desvio-padrão σ, basta calcularmos a raiz quadrada da 
variância, conforme exposto a seguir: 
 
 
 
Podemos, então, calcular o valor de z para 15 e para 
16,2, que são os limites do intervalo da probabilidade a 
ser calculada na questão: P(15 < X < 16,2). 
 
Para P = 15, temos: 
 
 
 
Para P = 16,2, temos: 
 
 
 
Pela tabela, sabemos que P(z = 1,2) = 0,3849. Para 
sabermos o valor da probabilidade pedida, basta que 
multipliquemos esse valor por 2, por se tratar de 
regiões simétricas no gráfico. 
 
 
 
• Pergunta 4 
0,25 em 0,25 pontos 
 
(PUC-PR/2019) O tempo médio de resolução de uma questão de Estatística de um 
concurso público é, normalmente, distribuído, com média de 5 minutos e desvio-
padrão de 1 minuto. Nessas condições, em que os dados são, normalmente, 
distribuídos, qual é, então, a probabilidade de que um candidato leve mais de 6 
minutos para resolver uma questão de Estatística? (Considere P(z=1) = 0,3413). 
Resposta Selecionada: a. 
0,1587. 
Respostas: a. 
0,1587. 
 b. 
0,3413. 
 c. 
0,6587. 
 d. 
0,6826. 
 e. 
0,8413. 
Comentário 
da 
resposta: 
Resposta: A 
Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal 
de probabilidades. Isso significa que as probabilidades de tempo de 
resolução de uma questão de Estatística no concurso seguem uma 
curva gaussiana. 
Pelos dados entregues, temos média de tempo de resolução x̅ = 5 min, 
com desvio-padrão σ = 1 min. A probabilidade que queremos calcular é 
que o candidato leve mais do que 6 minutos para resolver uma 
questão. Desse modo, queremos saber o valor de P(>6). 
O enunciado também nos entrega um valor de probabilidade para 
uma distribuição normal padrão,correspondente a z = 1. Podemos 
converter os valores x da distribuição em valores padronizados z, 
usando a seguinte expressão: 
 
 
 
Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de 
distribuição igual ao valor médio, ou seja, x = x̅. A um desvio-padrão da 
média, para o lado positivo da curva, temos z = 1. Nesse caso, temos x 
= x̅ + σ. Essa correspondência pode ser vista na figura a seguir, em que 
os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de 
z, com a correspondência de x descrita logo a seguir (em azul): 
 
 
 
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245. 
 
Na questão, o tempo de x = 6 min, corresponde a x̅ + σ, ou z = 1, 
conforme demonstrado a seguir: 
 
 
 
Pela tabela de áreas sob uma distribuição normal padrão em relação 
ao valor médio, podemos notar que, quanto maior é o valor de z, mais 
o valor da área se aproxima de 0,5. Por exemplo, para z = 3,09, que é o 
valor mais alto disponível na tabela a seguir, temos P(z=3,09) = 0,4990. 
 
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
 
 
O valor de 0,5 também pode ser inferido ser pela figura: já que a área 
total corresponde a 1, a área correspondente de 0 até o infinito 
corresponderá à metade disso, ou seja, 0,5. Isso significa que, para x 
tendendo ao infinito, temos P(z→∞) = 0,5 em relação ao valor médio 
(em que z = 0). 
 
 
 
Logo, para sabermos P(>6), queremos saber qual é o valor da área 
entre z = 1 e z → ∞. Para isso, basta que façamos a subtração do valor 
de P(z→∞) = 0,5 do valor de P(z=1) = 0,3413. 
 
 
 
• Pergunta 5 
0,25 em 0,25 pontos 
 
(CESPE-CEBRASPE/2022) Uma população de 100.000 indivíduos foi 
segmentada em faixas etárias, conforme mostra a tabela a seguir. 
 
Um levantamento estatístico será efetuado por amostragem, 
sorteando-se aleatoriamente 30, 60 e 10 indivíduos que se 
encontram, respectivamente, nas faixas etárias I, II, III. 
 
 
 
Nessa situação hipotética, o desenho amostral descrito caracteriza-
se como uma amostragem aleatória. 
Resposta Selecionada: b. 
Estratificada. 
Respostas: a. 
Simples com reposição. 
 b. 
Estratificada. 
 c. 
Sistemática. 
 d. 
Por conglomerados. 
 e. 
Simples sem reposição. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta: B 
Comentário: A população foi dividida em subgrupos, 
levando em consideração a faixa etária dos indivíduos. 
Cada um desses subgrupos é um estrato, ou seja, um 
subgrupo homogêneo em relação a alguma 
característica (nesse caso, a idade). Posteriormente, foi 
feita uma amostragem aleatória simples de dentro de 
cada estrato. Esse procedimento leva o nome de 
amostragem aleatória estratificada. 
 
 
• Pergunta 6 
0,25 em 0,25 pontos 
 
(INSTITUTO AOCP/2018) Um biólogo pretendia determinar o 
tamanho médio de um tipo de vegetação rasteira. Para isso, realizou 
coletas ao acaso, tendo todas as plantas a mesma chance de serem 
escolhidas entre todas aquelas possíveis e que apresentavam, 
aparentemente, o mesmo tamanho. Qual foi o método de 
amostragem utilizado por esse biólogo? 
 
Resposta Selecionada: b. 
Amostragem aleatória simples. 
 
Respostas: a. 
Amostragem estratificada. 
 b. 
Amostragem aleatória simples. 
 c. 
Amostragem sistemática. 
 d. 
Amostragem por conglomerados. 
 e. 
Amostragem intencional. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta: B 
Comentário: Na amostragem aleatória simples, todos 
os elementos de uma população têm igual 
probabilidade de serem selecionados para a amostra. 
No contexto, a população era composta por plantas da 
vegetação rasteira que tinham a mesma chance de 
serem escolhidas. 
 
• Pergunta 7 
0,25 em 0,25 pontos 
 
Considere uma amostra aleatória de 25 elementos, retirada de uma 
população infinita, distribuída de forma normal. Sabe-se que a 
média amostral tem valor 51,3, com desvio-padrão igual a 2. Nesse 
caso, se o nível de confiança é de 95%, o limite inferior do intervalo 
de confiança para a média populacional será: 
 
Resposta Selecionada: a. 
50,52. 
Respostas: a. 
50,52. 
 b. 
52,08. 
 c. 
54,18. 
 d. 
56,20. 
 e. 
58,45. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta: A 
Comentário: Conforme vimos, um nível de confiança de 
 
95% para uma população, normalmente, distribuída 
implica z = 1,96. Considerando que a população é 
infinita, calculamos o erro amostral c em função de z = 
1,96, do desvio-padrão populacional σ = 2 (aproximado 
pelo desvio-padrão da amostra) e do número de 
elementos da amostra n = 25. A fórmula é apresentada 
a seguir: 
 
 
 
O cálculo, portanto, segue o formato a seguir: 
 
 
 
A probabilidade do intervalo de confiança da média 
populacional μ é dado considerando a média amostral 
x̅ e o erro amostral c, como: 
 
 
 
Logo, o limite inferior do intervalo de confiança da 
média populacional é 50,516. Quando aproximado para 
duas casas decimais, chegamos ao valor 50,52. 
 
• Pergunta 8 
0,25 em 0,25 pontos 
 
(Adaptado de: CESPE-CEBRASPE/2022) O coeficiente de correlação linear de Pearson dá 
uma medida do grau de correlação entre duas grandezas, além de fornecer o sinal dessa 
correlação, que diz se os dados são direta ou inversamente relacionados. 
O coeficiente de correlação linear de Pearson é representado por r e pode ser calculado 
pela expressão a seguir: 
 
 
 
 
 
Na equação: 
 
 
 
 
 
Na simbologia, temos o que segue: 
 
• xi é o um valor qualquer da variável x. 
 
• yi é o um valor qualquer da variável y, correspondente a xi. 
• n é o número de pares de dados. 
 
Nesse contexto, considere oito pares de valores das variáveis x e y, tais que: 
 
 
 
 
É correto afirmar que: 
Resposta 
Selecionada: 
b. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados 
será positivo, o que indica que a regressão linear será representada 
por uma reta crescente. 
Respostas: a. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados 
será negativo, o que indica que a regressão linear será representada 
por uma reta decrescente. 
 
b. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados 
será positivo, o que indica que a regressão linear será representada 
por uma reta crescente. 
 
c. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados 
será negativo, o que indica que a regressão linear será representada 
por uma reta crescente. 
 
d. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados 
será nulo, o que indica que a regressão linear será representada por 
uma reta horizontal. 
 
e. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados 
será positivo, o que indica que a regressão linear será representada 
por uma reta decrescente. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta: B 
Comentário: Usando os dados do enunciado, vamos calcular o 
coeficiente de correlação linear de Pearson para n = 8, já que se trata de 
8 pares de valores x e y. Nesse caso, temos o que segue: 
 
 
 
 
Nesse caso, temos um coeficiente de correlação linear positivo e 
próximo de 1, o que indica que há uma forte correlação direta entre os 
valores de x e os valores de y. Essa correlação se dará num formato 
crescente, já que o resultado é positivo. 
 
 
• Pergunta 9 
0,25 em 0,25 pontos 
 
O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a 
uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear 
da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x. 
 
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais 
pode ser escrito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e 
linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por:Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y. 
 
xi yi 
1 21 
2 42 
3 60 
4 78 
 
 
Nesse caso, qual o valor de Δ? 
Resposta Selecionada: e. 
20. 
Respostas: a. 
8. 
 b. 
9. 
 c. 
12. 
 d. 
17. 
 e. 
20. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta: E 
Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que 
n = 4, já que há 4 pares de valores xy. 
 
 
 
Usando a tabela de dados, vamos calcular Sx 
e Sx2, usando colunas auxiliares para facilitar os cálculos. Os 
somatórios de interesse são feitos na última linha. 
 
 
xi yi xi2 
1 21 1 
2 42 4 
3 60 9 
4 78 16 
 
 
 
 
 
Já podemos calcular Δ, conforme exposto a seguir: 
 
 
 
• Pergunta 10 
0,25 em 0,25 pontos 
 
O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a 
uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear 
da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x. 
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais 
pode ser escrito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e 
linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por: 
 
 
 
 
 
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y. 
 
xi yi 
1 21 
2 42 
3 60 
4 78 
 
 
Nesse caso, qual o valor do coeficiente a, que representa o coeficiente angular? 
 
Resposta Selecionada: d. 
18,9. 
Respostas: a. 
12,3. 
 b. 
14,8. 
 c. 
16,2. 
 
 d. 
18,9. 
 e. 
23,1. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta: D 
Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que 
n = 4, já que há 4 pares de valores xy.