ESTATÍSTICA ( IV )

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Curso ESTATÍSTICA
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE IV
Iniciado 20/03/23 11:37
Enviado 20/03/23 11:45
Status Completada
Resultado da
tentativa
2,5 em 2,5 pontos
Tempo
decorrido
7 minutos
Resultados
exibidos
Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários,
Perguntas respondidas incorretamente
 Pergunta 1
 0,25 em 0,25 pontos
(FGV-2022) Suponha que X, uma variável aleatória
discreta, assuma a seguinte distribuição de
probabilidade:
O valor de K e o valor esperado de X são,
respectivamente,
Resposta
Seleciona
da:
e.
1/
2
e
9/
4.
Respostas: a. 0 e
3/
4.
b. 1/4
e
3/
2.
c. 1/2
e
3/
4.
d. 1/2
e
3/
2.
e.
1/
2
e
9/
4.
F
e
e
d
b
a
c
k
d
a
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e
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p
o
s
t
a
:
Resposta: E
Comentário: Quando a probabilidade
de todos os possíveis resultados
de uma variável aleatória discreta
é expressa como uma taxa
percentual, o resultado do
somatório das probabilidades deve
ser igual a 100%. Quando é
expresso na forma unitária, o
somatório das probabilidades deve
ser igual a 1. Portanto, somando
as probabilidades expostas na 2ª
coluna da tabela do enunciado,
temos a equação a seguir:
Isolando o K, temos:
Logo, sabemos que K = ½.
O valor esperado E(X), de uma
variável discreta aleatória X, é
calculado pela média ponderada
dos valores xi assumidos pela
variável, em que os pesos são as
probabilidades unitárias p(xi):
No contexto do enunciado, temos
o cálculo descrito a seguir:
 Pergunta 2
 0,25 em 0,25 pontos
(FGV-2022) Planeja-se selecionar quatro pessoas, com
reposição, de uma pequena população composta por
vinte pessoas, das quais dez foram acometidas por
certa doença. Se X é a variável aleatória que contará o
número de pessoas, entre as quatro, que foram
acometidas pela referida doença, então a probabilidade
de X ser igual a 2 é igual a:
Resposta
Seleciona
da:
a
.
0
,
3
7
5
.
Respostas:
a
.
0
,
3
7
5
.
b.
0
,
4
2
5
.
c.
0
,
4
7
5
.
d.
0
,
5
.
e.
0
,
5
2
5
.
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t
a
:
Resposta: A
Comentário: A questão aborda uma
situação tratada como uma
distribuição binomial. A
distribuição binomial é uma
distribuição discreta de
probabilidades que se aplica
sempre que o processo de
amostragem tem as seguintes
características:
● Em cada tentativa, há apenas dois
resultados possíveis, chamados
de sucesso e fracasso, que são
mutuamente exclusivos. No
contexto, há apenas a
possibilidade de a pessoa ser
acometida pela doença ou não ser
acometida, e a ocorrência de uma
exclui a outra.
● Os eventos de uma série de
tentativas são independentes. No
contexto, a amostra é selecionada
com reposição, o que torna os
eventos independentes entre si.
● O processo é estacionário, ou seja,
a probabilidade de sucesso não
varia entre uma tentativa e outra.
Chamando de p a probabilidade
de sucesso de uma pessoa ser
acometida pela doença, a
probabilidade de fracasso q nessa
mesma tentativa é dada por:
Pelo contexto, p (probabilidade de
a pessoa ser acometida pela
doença) é dado por:
Nesse caso, temos q
(probabilidade de uma pessoa
não ser acometida pela doença)
dado como:
Ou seja, temos dois resultados
possíveis e mutuamente
exclusivos. O número 1, na
expressão acima, indica a
probabilidade de ocorrência de
100%.
A probabilidade P(X) de termos X
sucessos em N tentativas é dada
pela seguinte expressão:
Escrevendo explicitamente o
binômio CN,X, temos:
No contexto, calcularemos a
probabilidade de termos X = 2
pessoas acometidas pela doença
em N = 4 tentativas (quantidade
de pessoas da amostra).
Dessa forma, a probabilidade de
haver 2 pessoas entre as 4
selecionadas que foram
acometidas pela doença é de
0,375, ou 37,5%.
 Pergunta 3
 0,25 em 0,25 pontos
(IADES/2018) A variável normal padronizada Z é dada por
Z = (X - µ)/σ, em que X é uma variável que tem
distribuição normal de média µ e variância σ², conforme
a figura apresentada.
Considerando uma variável X que tem distribuição normal
de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25, assinale a
alternativa que indica a probabilidade p(15 < X < 16,2).
Dado: Tabela – Áreas de uma distribuição normal
padrão em relação à média.
Resposta
Seleciona
da:
d.
0
,
7
6
9
8
.
Respostas: a.
0
,
1
1
5
1
.
b.
0
,
2
3
0
2
.
c.
0
,
3
8
4
9
.
d.
0
,
7
6
9
8
.
e.
0
,
8
8
4
9
.
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Resposta: D
Comentário: Temos, no contexto da
questão, uma distribuição normal
de probabilidades. Isso significa
que as probabilidades seguem
uma curva gaussiana, conforme
exposto na figura do enunciado. A
área abaixo da curva vale 1.
Podemos converter os valores X da
distribuição em valores
padronizados z, subtraindo o valor
de X da média e dividindo o
resultado pelo desvio-padrão.
Usando a simbologia empregada
na questão, temos a seguinte
expressão:
Pela expressão, é possível deduzir
que, em z = 0, temos um valor de
distribuição igual ao valor médio,
ou seja, X = µ. A um desvio-padrão
da média, para o lado positivo da
curva, temos z = 1 e, nesse caso,
temos X = µ + σ. A um
desvio-padrão da média, para o
lado negativo da curva, temos z =
–1 e, nesse caso, temos X = µ – σ.
Essa correspondência pode ser
vista na figura a seguir, em que os
valores (em preto) do eixo
horizontal correspondem aos
valores de z, com a
correspondência de X descrita logo
a seguir (em azul):
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F.
Introdução à Estatística. Rio de
Janeiro: LTC, 2017, p. 245.
Note que a área de z = 1 em relação à
média (ponto z = 0) é igual à área
de z = –1 em relação à média
(ponto z = 0). Logo, valores
simétricos em relação ao ponto
central correspondem à mesma
medida de área e,
consequentemente, à mesma
probabilidade, conforme ilustrado a
seguir:
Para sabermos quanto vale a área de
z = 1 até z = –1, basta que
somemos as áreas destacadas nas
figuras anteriores, ou
multipliquemos 0,3413 por 2.
Voltando aos dados do enunciado,
sabemos que a variável X tem
distribuição normal de média µ =
15,6 e variância σ² = 0,25. Para
encontrarmos o valor do
desvio-padrão σ, basta
calcularmos a raiz quadrada da
variância, conforme exposto a
seguir:
Podemos, então, calcular o valor de z
para 15 e para 16,2, que são os
limites do intervalo da
probabilidade a ser calculada na
questão: P(15 < X < 16,2).
Para P = 15, temos:
Para P = 16,2, temos:
Pela tabela, sabemos que P(z = 1,2) =
0,3849. Para sabermos o valor da
probabilidade pedida, basta que
multipliquemos esse valor por 2,
por se tratar de regiões simétricas
no gráfico.
 Pergunta 4
 0,25 em 0,25 pontos
(PUC-PR/2019) O tempo médio de resolução de uma
questão de Estatística de um concurso público é,
normalmente, distribuído, com média de 5 minutos e
desvio-padrão de 1 minuto. Nessas condições, em que
os dados são, normalmente, distribuídos, qual é, então,
a probabilidade de que um candidato leve mais de 6
minutos para resolver uma questão de Estatística?
(Considere P(z=1) = 0,3413).
Resposta
Seleciona
da:
a.
0
,
1
5
8
7
.
Respostas: a.
0
,
1
5
8
7
.
b.
0
,
3
4
1
3
.
c.
0
,
6
5
8
7
.
d.
0
,
6
8
2
6
.
e.
0
,
8
4
1
3
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Resposta: A
Comentário: Temos, no contexto da
questão, uma distribuição normal
de probabilidades. Isso significa
que as probabilidades de tempo de
resolução de uma questão de
Estatística no concurso seguem
uma curva gaussiana.
Pelos dados entregues, temos média
de tempo de resolução x̅ = 5 min,
com desvio-padrão σ = 1 min. A
probabilidade que queremos
calcular é que o candidato leve
mais do que 6 minutos para
resolver uma questão. Desse
modo, queremos saber o valor de
P(>6).
O enunciado também nos entrega um
valor de probabilidade para uma
distribuição normal padrão,
correspondente a z = 1. Podemos
converter os valores x da
distribuição em valores
padronizados z, usando a seguinte
expressão:
Pela expressão, é possível deduzir que, em
z = 0, temos um valor de distribuição igual
ao valor médio, ou seja, x = x̅. A um
desvio-padrão da média, para o lado
positivo da curva, temos z = 1. Nesse caso,
temos x = x̅ + σ. Essa correspondência
pode ser vista na figura a seguir, em que os
valores(em preto) do eixo horizontal
correspondem aos valores de z, com a
correspondência de x descrita logo a seguir
(em azul):
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução
à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245.
Na questão, o tempo de x = 6 min,
corresponde a x̅ + σ, ou z = 1, conforme
demonstrado a seguir:
Pela tabela de áreas sob uma distribuição
normal padrão em relação ao valor médio,
podemos notar que, quanto maior é o valor
de z, mais o valor da área se aproxima de
0,5. Por exemplo, para z = 3,09, que é o
valor mais alto disponível na tabela a
seguir, temos P(z=3,09) = 0,4990.
O valor de 0,5 também pode ser
inferido ser pela figura: já que a
área total corresponde a 1, a área
correspondente de 0 até o infinito
corresponderá à metade disso, ou
seja, 0,5. Isso significa que, para x
tendendo ao infinito, temos P(z→∞)
= 0,5 em relação ao valor médio
(em que z = 0).
Logo, para sabermos P(>6),
queremos saber qual é o valor da
área entre z = 1 e z → ∞. Para isso,
basta que façamos a subtração do
valor de P(z→∞) = 0,5 do valor de
P(z=1) = 0,3413.
 Pergunta 5
 0,25 em 0,25 pontos
(CESPE-CEBRASPE/2022) Uma população de 100.000
indivíduos foi segmentada em faixas etárias, conforme
mostra a tabela a seguir. Um levantamento estatístico
será efetuado por amostragem, sorteando-se
aleatoriamente 30, 60 e 10 indivíduos que se
encontram, respectivamente, nas faixas etárias I, II, III.
Nessa situação hipotética, o desenho amostral descrito
caracteriza-se como uma amostragem aleatória.
Resposta
Seleciona
da:
b. Estratificada.
Respostas: a. Simples com
reposição.
b. Estratificada.
c. Sistemática.
d. Por
conglomerados.
e. Simples sem
reposição.
F
e
e
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b
a
c
k
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a
r
e
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p
o
s
t
a
:
Resposta: B
Comentário: A população foi dividida
em subgrupos, levando em
consideração a faixa etária dos
indivíduos. Cada um desses
subgrupos é um estrato, ou seja,
um subgrupo homogêneo em
relação a alguma característica
(nesse caso, a idade).
Posteriormente, foi feita uma
amostragem aleatória simples de
dentro de cada estrato. Esse
procedimento leva o nome de
amostragem aleatória estratificada.
 Pergunta 6
 0,25 em 0,25 pontos
(INSTITUTO AOCP/2018) Um biólogo pretendia determinar
o tamanho médio de um tipo de vegetação rasteira.
Para isso, realizou coletas ao acaso, tendo todas as
plantas a mesma chance de serem escolhidas entre
todas aquelas possíveis e que apresentavam,
aparentemente, o mesmo tamanho. Qual foi o método
de amostragem utilizado por esse biólogo?
Resposta
Seleciona
da:
b. Amostragem aleatória
simples.
Respostas: a. Amostragem estratificada.
b. Amostragem aleatória
simples.
c. Amostragem sistemática.
d. Amostragem por
conglomerados.
e. Amostragem intencional.
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d
b
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p
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s
t
a
:
Resposta: B
Comentário: Na amostragem aleatória
simples, todos os elementos de
uma população têm igual
probabilidade de serem
selecionados para a amostra. No
contexto, a população era
composta por plantas da
vegetação rasteira que tinham a
mesma chance de serem
escolhidas.
 Pergunta 7
 0,25 em 0,25 pontos
Considere uma amostra aleatória de 25 elementos, retirada
de uma população infinita, distribuída de forma normal.
Sabe-se que a média amostral tem valor 51,3, com
desvio-padrão igual a 2. Nesse caso, se o nível de
confiança é de 95%, o limite inferior do intervalo de
confiança para a média populacional será:
Resposta
Seleciona
da:
a
.
5
0
,
5
2
.
Respostas:
a
.
5
0
,
5
2
.
b.
5
2
,
0
8
.
c.
5
4
,
1
8
.
d.
5
6
,
2
0
.
e.
5
8
,
4
5
.
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p
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a
:
Resposta: A
Comentário: Conforme vimos, um
nível de confiança de 95% para
uma população, normalmente,
distribuída implica z = 1,96.
Considerando que a população é
infinita, calculamos o erro amostral
c em função de z = 1,96, do
desvio-padrão populacional σ = 2
(aproximado pelo desvio-padrão
da amostra) e do número de
elementos da amostra n = 25. A
fórmula é apresentada a seguir:
O cálculo, portanto, segue o formato a
seguir:
A probabilidade do intervalo de
confiança da média populacional μ
é dado considerando a média
amostral x̅ e o erro amostral c,
como:
Logo, o limite inferior do intervalo
de confiança da média
populacional é 50,516. Quando
aproximado para duas casas
decimais, chegamos ao valor
50,52.
 Pergunta 8
 0,25 em 0,25 pontos
(Adaptado de: CESPE-CEBRASPE/2022) O coeficiente de
correlação linear de Pearson dá uma medida do grau de
correlação entre duas grandezas, além de fornecer o sinal
dessa correlação, que diz se os dados são direta ou
inversamente relacionados.
O coeficiente de correlação linear de Pearson é representado
por r e pode ser calculado pela expressão a seguir:
Na equação:
Na simbologia, temos o que segue:
• xi é o um valor qualquer da variável x.
• yi é o um valor qualquer da variável y, correspondente a xi.
• n é o número de pares de dados.
Nesse contexto, considere oito pares de valores das variáveis
x e y, tais que:
É correto afirmar que:
Respo
st
a
S
el
ec
io
n
a
d
a:
b.
O coeficiente de correlação de Pearson
para os valores apresentados será
positivo, o que indica que a
regressão linear será representada
por uma reta crescente.
Respo
st
as
:
a.
O coeficiente de correlação de Pearson
para os valores apresentados será
negativo, o que indica que a
regressão linear será representada
por uma reta decrescente.
b.
O coeficiente de correlação de Pearson
para os valores apresentados será
positivo, o que indica que a
regressão linear será representada
por uma reta crescente.
c.
O coeficiente de correlação de Pearson
para os valores apresentados será
negativo, o que indica que a
regressão linear será representada
por uma reta crescente.
d.
O coeficiente de correlação de Pearson
para os valores apresentados será
nulo, o que indica que a regressão
linear será representada por uma
reta horizontal.
e.
O coeficiente de correlação de Pearson
para os valores apresentados será
positivo, o que indica que a
regressão linear será representada
por uma reta decrescente.
Fe
e
d
b
a
c
k
d
a
r
e
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p
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s
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a
:
Resposta: B
Comentário: Usando os dados do
enunciado, vamos calcular o
coeficiente de correlação linear de
Pearson para n = 8, já que se trata
de 8 pares de valores x e y. Nesse
caso, temos o que segue:
Nesse caso, temos um coeficiente de
correlação linear positivo e próximo
de 1, o que indica que há uma forte
correlação direta entre os valores de
x e os valores de y. Essa correlação
se dará num formato crescente, já
que o resultado é positivo.
 Pergunta 9
 0,25 em 0,25 pontos
O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar
dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b,
em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da
função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da
variável x.
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto
de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax +
b, os coeficientes angular e linear dessa reta ajustada são
dados, respectivamente, por:
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos
incertezas σ = 1 para a variável y.
x y
1 2
2 4
3 6
4 7
Nesse caso, qual o valor de Δ?
Resposta
Seleciona
da:
e
.
2
0
.
Respostas: a
.
8
.
b
.
9
.
c
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1
2
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1
7
.
e
.
2
0
.
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Resposta: E
Comentário: Vamos começar
calculando Sσ, sabendo que σ =
1 e que n = 4, já que há 4 pares
de valores xy.
Usando a tabela de dados,
vamos calcular Sx
e Sx2, usando colunas auxiliares
para facilitar os cálculos. Os
somatórios de interesse são
feitos na última linha.
x
i
yi
x
i
2
1 2
1
1
2 4
2
4
3 6
0
9
4 7
8
1
6
Já podemos calcular Δ, conforme
exposto a seguir:
 Pergunta 10
 0,25 em 0,25 pontos
O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar
dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b,
em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da
função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da
variável x.
Paraincertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto
de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax +
b, os coeficientes angular e linear dessa reta ajustada são
dados, respectivamente, por:
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos
incertezas σ = 1 para a variável y.
x y
1 2
2 4
3 6
4 7
Nesse caso, qual o valor do coeficiente a, que representa o
coeficiente angular?
Resposta
Seleciona
da:
d
.
18
,
9
.
Respostas: a.
12
,
3
.
b.
14
,
8
.
c.
16
,
2
.
d
.
18
,
9
.
e.
23
,
1
.
Feed
b
a
c
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a
r
e
s
p
o
s
t
a
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Resposta: D
Comentário: Vamos começar
calculando Sσ, sabendo que σ =
1 e que n = 4, já que há 4 pares
de valores xy.
●