3 - Tratamento Estatístico de Dados e Propagação de Erro

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Universidade do Estado Do Rio de Janeiro 
Instituto de Física 
Departamento de Física Teórica 
 
 
 
 
Experimento 3 - Tratamento Estatístico de Dados e Propagação de Erros 
Camille Tenorio - 201910133111 
Professor Rudnei Ramos 
Física V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro, _____ de ______________ de 2019 
1) Tratamento Estatístico de Dados e Propagação de Erro 
 
2) Objetivos da Experiência 
Este relatório tem por objetivo ambientar-se com a teoria de propagação de erros e 
tratamento de dados para a realização de experimentações mais precisas. 
O principal ponto analisado é o tempo por período de 100 oscilações, que fornece 
diferentes frequências em classes de tempos, que basicamente servem de dados para a 
elaboração do histograma, contendo a frequência e a curva de distribuição Gaussiana. 
 
3) Materiais Utilizados 
 
Kit do Laboratório de Física Experimental 
Massa, com (10 ± ) gramas 
Linha de Costura, com (100 ± 0,5) cm 
Cronômetro 
 
4) Esquema Experimental 
 
 
 
 
 
 
5) Procedimento Experimental 
 
Primeira Parte 
Utilizando o kit do laboratório, um fio de linha de costura medindo (100 ± 0,5) cm e 
uma massa de 10 gramas, montei o pêndulo simples proposto. 
Ao segurar o peso de modo a formar na extremidade fixa do fio um ângulo de 10º 
com a posição inicial Xo, iniciei o primeiro lançamento junto ao cronômetro. 
Após repetir mais 99 vezes essa medida obtendo um conjunto total de 100 medições 
do período do pêndulo, sempre soltando da mesma forma, obtive os seguintes valores: 
 
Nº do Lançamento Período do Pêndulo (T) (s) Desvio Médio ( ) (s)Tδ 
1 2,12 +0,08 
2 2,15 +0,11 
3 2,03 -0,01 
4 2,13 +0,09 
5 2,07 +0,03 
6 1,95 -0,09 
7 2,09 +0,05 
8 2,10 +0,06 
9 2,08 +0,04 
10 2,13 +0,09 
11 2,13 +0,09 
12 1,99 -0,05 
13 2,02 -0,02 
14 2,11 +0,07 
15 2,08 +0,04 
16 2,04 0 
17 2,11 +0,07 
18 2,00 -0,04 
19 2,03 -0,01 
20 1,90 -0,14 
21 2,12 +0,08 
22 1,96 -0,08 
23 2,04 0 
 
24 2,01 -0,03 
25 2,14 +0,10 
26 1,98 -0,06 
27 2,14 +0,10 
28 2,03 -0,01 
29 2,06 +0,02 
30 2,09 +0,05 
31 2,09 +0,05 
32 1,97 -0,07 
33 2,04 0 
34 2,11 +0,07 
35 2,11 +0,07 
36 2,10 +0,06 
37 2,03 -0,01 
38 2,03 -0,01 
39 2,00 -0,04 
40 2,11 +0,07 
41 2,11 +0,07 
42 2,06 +0,02 
43 2,12 +0,08 
44 1,99 -0,05 
45 2,01 -0,03 
46 2,13 +0,09 
47 1,96 -0,08 
48 1,95 -0,09 
49 2,06 +0,02 
50 2,10 +0,06 
 
51 2,06 +0,02 
52 1,91 -0,13 
53 2,07 +0,03 
54 1,94 -0,10 
55 2,05 +0,01 
56 2,01 -0,03 
57 2,08 +0,04 
58 2,13 +0,09 
59 2,01 -0,03 
60 2,04 0 
61 2,10 +0,06 
62 2,05 +0,01 
63 2,13 +0,09 
64 1,97 -0,07 
65 2,06 +0,02 
66 2,12 +0,08 
67 2,01 -0,03 
68 2,08 +0,04 
69 2,03 -0,01 
70 2,04 0 
71 1,96 -0,08 
72 2,05 +0,01 
73 1,96 -0,08 
74 2,05 +0,01 
75 2,04 0 
76 1,98 -0,06 
77 2,03 -0,01 
 
78 2,05 +0,01 
79 2,13 +0,09 
80 2,08 +0,04 
81 2,10 +0,06 
82 1,96 -0,08 
83 2,06 +0,02 
84 2,06 +0,02 
85 2,08 +0,04 
86 2,00 -0,04 
87 2,04 0 
88 1,93 -0,11 
89 2,15 +0,11 
90 2,00 -0,04 
91 2,06 +0,02 
92 2,03 -0,01 
93 1,99 -0,05 
94 2,13 +0,09 
95 1,94 -0,10 
96 2,02 -0,02 
97 1,97 -0,07 
98 1,96 -0,08 
99 2,02 -0,02 
100 2,07 +0,03 
<T> 2,04 0,05* 
 
<T> ​= = média dos valores obtidosX 
* 0,05 = esse valor foi calculado em módulo pela fórmula de ​desvio médio​ descrita mais à 
frente, se calculado fora do módulo o valor seria alterado e daria 0,007. 
 
Segunda Parte 
Após o procedimento anterior, calculei a probabilidade de ocorrência de cada 
resultado para a construção de um novo histograma. E então calculei a soma de todas as 
probabilidades. 
 
6) Coleta e Tratamento de Dados 
 
Primeira Parte 
● Fórmulas 
 
⟶ ​Média: 
, onde:X = N
X + X + ... + X1 2 N 
= médiaX 
= cada medidaXN 
N = número total de medidas 
 
⟶ ​Desvio: 
X Δ = XN − X 
= desvioXΔ 
= cada medidaXN 
= médiaX 
 
⟶ ​Desvio Médio: 
ΔX = N
ΔX + ΔX + ... + ΔX| 1 | | 2| | N | 
= ​desvio médioΔX 
= desvio obtido em cada medidaXΔ N 
N = número real de desvios obtidos 
 
⟶ ​Erro: 
X= , ondeX ± ΔX 
X= erro 
= média das medidasX 
= desvio médioΔX 
 
 
● Aplicação 
 
Média: X = N
X + X + ... + X1 2 N 
X = 100
2,12 + 2,15 + 2,03 + 2,13 + 2,07 + ... + 2,07 
, 4 X = 2 0 
 
 
Desvio​: X Δ = XN − X 
 
Aplicação da Fórmula do Desvio​ em cada medida ( )X Δ = XN − X 
1) 2,12 - 2,04 = + 0,08 26) 1,98 - 2,04 = -0,06 51) 2,06 - 2,04 = +0,02 76) 1,98 - 2,04 = -0,06 
2) 2,15 - 2,04 = + 0,11 27) 2,14 - 2,04 = +0,10 52) 1,91 - 2,04 = -0,13 77) 2,03 - 2,04 = - 0,01 
3) 2,03 - 2,04 = - 0,01 28) 2,03 - 2,04 = - 0,01 53) 2,07 - 2,04 = +0,02 78) 2,05 - 2,04 = +0,01 
4) 2,13 - 2,04 = +0,09 29) 2,06 - 2,04 = +0,02 54) 1,94 - 2,04 = -0,10 79) 2,13 - 2,04 = +0,09 
5) 2,07 - 2,04 = +0,02 30) 2,09 - 2,04 = +0,05 55) 2,05 - 2,04 = +0,01 80) 2,08 - 2,04 = +0,04 
6) 1,95 - 2,04 = -0,09 31) 2,09 - 2,04 = +0,05 56) 2,01 - 2,04 = -0,03 81) 2,10 - 2,04 = +0,06 
7) 2,09 - 2,04 = +0,05 32) 1,97 - 2,04 = -0,07 57) 2,08 - 2,04 = +0,04 82) 2,10 - 2,04 = +0,06 
8) 2,10 - 2,04 = +0,06 33) 2,04 - 2,04 = 0 58) 2,13 - 2,04 = +0,09 83) 2,06 - 2,04 = +0,02 
9) 2,08 - 2,04 = +0,04 34) 2,11 - 2,04 = +0,07 59) 2,01 - 2,04 = -0,03 84) 2,06 - 2,04 = +0,02 
10) 2,13 - 2,04 = +0,09 35) 2,11 - 2,04 = +0,07 60) 2,04 - 2,04 = 0 85) 2,08 - 2,04 = +0,04 
11) 2,13 - 2,04 = +0,09 36) 2,10 - 2,04 = +0,06 61) 2,10 - 2,04 = +0,06 86) 2,00 - 2,04 = -0,04 
12) 1,99 - 2,04 = -0,05 37) 2,03 - 2,04 = - 0,01 62) 2,05 - 2,04 = +0,01 87) 2,04 - 2,04 = 0 
13) 2,02 - 2,04 = -0,02 38) 2,03 - 2,04 = - 0,01 63) 2,13 - 2,04 = +0,09 88) 1,93 - 2,04 = -0,11 
14) 2,11 - 2,04 = +0,07 39) 2,00 - 2,04 = -0,02 64) 1,97 - 2,04 = -0,07 89) 2,15 - 2,04 = +0,11 
15) 2,08 - 2,04 = +0,02 40) 2,11 - 2,04 = +0,07 65) 2,06 - 2,04 = +0,02 90) 2,00 - 2,04 = -0,04 
16) 2,04 - 2,04 = 0 41) 2,11 - 2,04 = +0,07 66) 2,12 - 2,04 = +0,08 91) 2,06 - 2,04 = +0,02 
17) 2,11 - 2,04 = +0,07 42) 2,06 - 2,04 = +0,02 67) 2,01 - 2,04 = -0,03 92) 2,03 - 2,04 = - 0,01 
18) 2,00 - 2,04 = -0,02 43) 2,12 - 2,04 = +0,08 68) 2,08 - 2,04 = +0,04 93) 1,99 - 2,04 = -0,05 
19) 2,03 - 2,04 = - 0,01 44) 1,99 - 2,04 = -0,05 69) 2,03 - 2,04 = - 0,01 94) 2,13 - 2,04 = +0,09 
20) 1,90 - 2,04 = -0,14 45) 2,01 - 2,04 = -0,03 70) 2,04 - 2,04 = 0 95) 1,94 - 2,04 = -0,10 
21) 2,12 - 2,04 = +0,08 46) 2,13 - 2,04 = +0,09 71) 1,96 - 2,04 = -0,08 96) 2,02 - 2,04 = -0,02 
22) 1,96 - 2,04 = -0,08 47) 1,96 - 2,04 = -0,08 72) 2,05 - 2,04 = +0,01 97) 1,97 - 2,04 = -0,07 
23) 2,04 - 2,04 = 0 48) 1,95 - 2,04 = -0,09 73) 1,96 - 2,04 = -0,08 98) 1,96 - 2,04 = -0,08 
24) 2,01 - 2,04 = -0,03 49) 2,06 - 2,04 = +0,02 74) 2,05 - 2,04 = +0,01 99) 2,03 - 2,04 = - 0,01 
25) 2,14 - 2,04 = +0,10 50) 2,10 - 2,04 = +0,06 75) 2,04 - 2,04 = 0 100) 2,07 - 2,04 = +0,02 
 
Desvio Médio: ΔX = N
ΔX + ΔX + ... + ΔX| 1 | | 2| | N | 
 ΔX = 100
0,08 + 0,11 + −0,01 + 0,09 + ... + 0,03| | | | | | | | | | 
 ΔX = 100
0,08 + 0,11 + 0,01 + 0,09 + ... + 0,03 
 , 5 ΔX = 0 0 
 
Erro: 
X = X ± ΔX 
, 4 , 5 X = 2 0 ± 0 0 
 
 
● Histograma 
Histograma é um modo de representação de um conjunto de dados em uma medida. 
Ele é construído lançando-se no eixo horizontal (⟶) valores para certa grandeza, que esteja 
sendo medida, e no eixo vertical ( ￪ ) a frequência com que tal valor ocorre durante a 
realização daquela medida. 
O histograma do experimento realizado está na folha milimetrada anexada no final do 
relatório. 
As classes para a representação do histograma tiveram corte de 0,05 segundos 
 
Corte Frequência 
1,90 一 1,95 7 
1,96 一 2,00 18 
2,01 一 2,05 29 
2,06 一 2,10 25 
2,11 一 2,15 22 
 
Segunda Parte 
 
● Fórmulas 
 
⟶ ​Probabilidade de ocorrência 
N º total de dados (ou eventos)
N º de vezes que o resultado foi obtido 
 
 
 
⟶ ​Variância: 
σ2 =
∑
 
 
δi
2
(N − 1) , ​onde 
= variância σ2 
= somatório das medidas (no caso o somatório das medidas do experimento é 204,71)∑
 
 
 
= desvio δ 
N = número total de medidas obtidas 
 
⟶ ​Desvio Padrão, ondeσ = ± √σ2 
= desvio padrão σ 
= variância σ2 
 
 
● Aplicação 
 
Probabilidade de ocorrência: N º total de dados (ou eventos)
N º de vezes que o resultado foi obtido 
 
Cálculo da Probabilidade de Ocorrência​ de cada resultado obtido 
N º total de dados (ou eventos)
N º de vezes que o resultado foi obtido 
1,90: = 0,01%1100 2,03: = 0,09%
9
100 
1,91: = 0,01%1100 2,04: = 0,07%
7
100 
1,92: - 2,05: = 0,05%5100 
1,93: = 0,01%1100 2,06: = 0,08%
8
100 
1,94: = 0,02%2100 2,07: = 0,03%
3
100 
1,95: = 0,02%2100 2,08: = 0,06%
6
100 
1,96: = 0,06%6100 2,09: = 0,03%
3
100 
1,97: = 0,03%3100 2,10: = 0,05%
5
100 
1,98: = 0,02%2100 2,11: = 0,06%
6
100 
1,99: = 0,03%3100 2,12: = 0,04%
4
100 
2,00: = 0,04%4100 2,13: = 0,08%
8
100 
2,01: = 0,05%5100 2,14: = 0,02%
2
100 
2,02: = 0,02%2100 2,15: = 0,02%
2
100 
 
Variância: σ2 =
∑
 
 
δi
2
(N − 1) 
 
Cálculo da Variância​ de cada resultado obtido 
σ2 =
∑
 
 
δi
2
(N − 1) 
1,90: 0,02 2,03: 0,0002 
1,91: 0,02 2,04: 0 
1,92: - 2,05: 0,0002 
1,93: 0,02 2,06: 0,0008 
1,94: 0,02 2,07: 0,001 
1,95: 0,01 2,08: 0,003 
1,96: 0,01 2,09: 0,004 
1,97: 0,008 2,10: 0,006 
1,98: 0,006 2,11: 0,008 
1,99: 0,004 2,12: 0,01 
2,00: 0,003 2,13: 0,01 
2,01: 0,001 2,14: 0,02 
2,02: 0,0008 2,15: 0,02 
 
Desvio Padrão: σ = ± √σ2 
 σ = ± √0, 080 
 , 9 σ = ± 0 0 
● Histograma 
O histograma da segunda parte do experimento realizado está na folha milimetrada 
anexada no final do relatório com o desvio de cada medida no eixo horizontal e a 
probabilidade correspondente no eixo vertical. 
 
 
 
7) Resultados e Conclusões 
 
● Resultado 
O valor do período do pêndulo neste experimento é (2,04 0,05) segundos± 
 
 
● Conclusão 
Após todas as medições, cálculos realizados e histograma criado cheguei a conclusão 
de que os dados do experimento nos levaram a resultados bem próximos do real, o que 
mostra que o período do pêndulo simples depende somente do comprimento do fio. Na 
linearização das grandezas físicas e na construção do histograma encontrei um erro, ao se 
observar os pontos da curva de distribuição normal de Gauss, observa-se que não segue como 
deveria pois o experimento não foi realizado sob condições controladas, podendo ser 
influenciado pelos erros de leitura das medidas, leitura de tempo, assim como as 
aproximações nos cálculos. 
Este erro deve-se a fatores que podem ter comprometido a exatidão do resultado da 
experiência como minha habilidade psicomotora para soltar a haste do pêndulo da mesma 
altura e acionar o cronômetro ao mesmo tempo. 
 
 
 
8) Respostas das Questões 
 
● Primeira parte 
 
1- Qual é o valor do período que tem maior probabilidade de ocorrer? Qual é o seu desvio? 
RESPOSTA: (2,03 0,01) segundos, seu desvio é -0,01.± 
 
2- Qual valor do período deve estar mais próximo do valor verdadeiro? 
RESPOSTA: (2,04 0)± 
 
 
● Terceira parte 
 
1- 
a) A+B= 1003 1± 
 A-B = 999 1± 
 
b) AxB= 2002 1± 
c) A/B = 500,5 1± 
 
 
2- Alternativa A 
Justificativa: Devido ao valor da medida, quanto maior o valor maior será o erro. 
 
 
3- 
a) desvio percentual de A= 0,09% 
b) desvio percentual do Sol = 0,02% 
c) a medida de A. ​Esse resultado representa a magnitude da diferença entre os valores 
aproximado e estimado. Isso começa a demonstrar quão distantes estão os resultados 
do que deveriam ser​. ​Logo, significa que este valor está 0,09% de “distância” do valor 
que deveria ser 
 
Exercícios: Faça os seguintes cálculos 
 
a) <v> = , ​onde (15,6 0,2) cm e sΔt
Δs s Δ = ± t 2, , ) Δ = ( 1 ± 0 2 
RESPOSTA: 
<v> = Δt
Δs 
<v>= 2,1
15,06 
<v>= (7,42 0,2)± 
<v>= (0,742 0,2) m/s± 
 
b) x= , onde t=(35,8 ± 0,5) s , a= (0,53 ± 0,03) m/ e = (10,2 ± 0,1) m/st atv0 + 2
1 2 s2 v0 
RESPOSTA: 
x= t atv0 + 2
1 2 
x=10,2 35,8 +× , 3[ 21 × 0 5 × (35, )8 2] 
x= 365,16 + , 3 281, 4[ 21 × 0 5 × 1 6 ] 
x= 365,16 + 79,[ 21 × 6 2] 
x= 365,16 + 339,63 
x= (704,7 0,2) m/± s2