Relatório 1 corrigido

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Alcance de um projétil 
Fernanda Mahler Gomide 
Julia Maria de Souza Silva 
Lucas Menezes Santos 
Pedro Henrique Magnabosco do Nascimento 
Instituto de Ciências Agrárias – Universidade Federal de Uberlândia 
Av. João Naves de Ávila, 2121 – Santa Mônica – 38400-902 – Uberlândia – MG - Brasil 
e-mail: pedro.magnabosco@ufu.br 
 
Resumo. Neste relatório, apresentamos nossas análises sobre as medições 
referentes ao alcance horizontal de um projétil ao ser lançado de uma rampa. 
Foram utilizadas regras estatísticas para definir o quão bem as medições 
representam o alcance real do projétil na situação. Observou-se que o tamanho da 
amostra 
 
1. Introdução 
Ao realizarmos uma medição o valor de uma grandeza pode-se realizar apenas uma ou 
várias medidas repetidas adotando que possam haver erros. A física nos traz um conceito muito 
importante: "Não se pode medir uma grandeza física com precisão absoluta”, ou seja, as 
medições dessas grandezas são aproximações e devem ser incluídos os possíveis erros, ou 
melhor dizendo, desvios (TOGINHO et al., 2009). 
A ciência experimental é implicada na análise de resultados de medições que são 
relacionadas a grandezas físicas e também estão sujeitas a erros sistemáticos ou aleatórios. 
Corriqueiramente, tais resultados são expressos por um conjunto de números definidos para que 
sejam compreensíveis a qualquer pessoa (NAGASHIMA, 2018). 
Dentro da física não há um valor verdadeiro, pois todos os valores são suscetíveis a 
incerteza. Nesse sentido deve se interligar os desvios (ou erros) a qualquer mensuração de 
medida. Aqui a palavra erro não é tratada no seu sentido literal, pois os mesmos podem ser 
evitados, minimizados, mas não anulados (TOGINHO et al., 2009). 
Nesta prática experimental foram realizadas um conjunto de medições do alcance de um 
projétil com relação ao número de lançamentos. Após essas mensurações, os resultados foram 
organizados em um gráfico de frequência e sucessivamente equacionados nas fórmulas da 
média aritmética, desvio padrão e desvio da média, para que ficasse visível a diferença de 
resultados de acordo com a quantidade de lançamentos. 
Dessarte, este relatório está organizado da seguinte forma: na Seção 2, relatamos o 
procedimento experimental seguido na realização da experiência. A Seção 3 é reservada para a 
alcalde
Typewriter
Parabens, tirando alguns pequenos erros, o trabalho foi muito bem feito. 
alcalde
Typewriter
parece incompleto, faltou ainda incluir seu resultado principal.
 
 
análise de resultados, onde os dados colhidos das medições são organizados e compilados em 
um histograma, e posteriormente, são apresentados os cálculos das médias e seus respectivos 
desvios provenientes das medições. Por fim, na Seção 4, há uma dissertação acerca da 
conclusão obtida através desse experimento. 
 
2. Teoria 
Quando é realizado uma série de observações do mesmo objeto sob as mesmas 
condições, pode se obter diferentes resultados devido a erros experimentais. Tais erros podem 
ser divididos em dois grupos, os erros sistemáticos e os erros aleatórios. Os erros sistemáticos 
podem ser eliminados, ou seja, tem fontes identificáveis e prejudicam a exatidão da medida. 
Em contrapartida, os erros aleatórios são devidos aos fatores ambientais e aos métodos de 
observações, tendo como consequência a interferência na precisão da medida (LIMA et al., 
2012). 
A partir dessa série de observações, obtém-se uma série de dados que precisam ser 
compilados e sintetizados e para isso utiliza-se uma tabela de distribuição. Outro método 
importante na análise de dados é o histograma, que consiste em um gráfico de barras, tal que 
demonstra uma distribuição de frequências. 
No histograma, a base de cada uma das barras representa uma classe e a altura representa 
a quantidade ou frequência absoluta com que o valor de cada classe ocorre. A variabilidade está 
relacionada à largura da distribuição, quanto mais larga for a dispersão dos dados, maior é sua 
variabilidade (CRESPO, 2002) (LIMA et al., 2012). 
Posteriormente a isso, LIMA (2011) “o resultado de uma medição será, 
preferencialmente, a média de uma série de observações.” Um meio ainda mais condensado de 
representar um conjunto de dados é a média aritmética 𝑥 , o desvio padrão 𝜎𝑋 e o desvio padrão 
da média 𝛿𝑋. A média é um resultado da soma de todos os dados obtidos dividido pelo número 
de dados. 
𝑥 = 
1
𝑁
∑
𝑁
𝑖=1
𝑥𝑖 
(1) 
Consequentemente, LIMA (2011) “o desvio padrão é uma medida da variabilidade de 
uma série de medidas.” para avaliar o quanto o conjunto dos dados está se afastado da média 
usamos o desvio padrão. O desvio permite a medição da variabilidade de um conjunto de dados, 
isto é, quanto maior for a dispersão dos dados, maior será seu erro, e posteriormente, maior será 
alcalde
Typewriter
N 
 
 
o desvio padrão. Segundo Iwamoto et al. (2014) “o valor médio tem uma alta probabilidade de 
ser encontrado dentro de intervalo de valor. O número que melhor representa esse intervalo é 
dado pelo desvio padrão da média ou erro estatístico.” A fórmula do desvio padrão consiste na 
raiz de 1, ou melhor, de 100% sobre N que é o número de elementos, multiplicado pelo 
somatório vezes o valor individual subtraído do valor da média. 
𝜎𝑥 = √
1
𝑁
∑
𝑁
𝑖=1
(𝑥𝑖 − 𝑥)2 
(2) 
A equação do desvio padrão das médias é realizado pela raiz da probabilidade de 1 
dividido pela multiplicação dos números de elementos vezes o número de elementos menos 1, 
vezes o somatório do valor individual menos a média elevada ao quadrado. Essa fórmula pode 
ser simplificada pela divisão do desvio padrão pela raiz do número de elementos. 
𝛿𝑥 =
𝜎𝑥
√𝑁
= √
1
𝑁(𝑁 − 1)
∑
𝑁
𝑖=1
(𝑥𝑖 − 𝑥)
2
 
(3) 
3. Procedimento Experimental 
Nesta seção são descritos os procedimentos empregados para efetuar as medidas e são 
descritas as montagens experimentais utilizadas. Sempre deve lembrar de enumerar o material 
usado. Diagramas esquemáticos das experiências são bastante úteis pois facilitam a 
visualização. O texto não deve ser uma cópia do roteiro do experimento pois o mesmo não 
contém detalhes relevantes que somente podem ser percebidos durante a elaboração da 
experiência. Lembre-se que seu leitor deve ser capaz de reproduzir o experimento a partir da 
leitura desta seção. 
Para esse experimento utilizou-se uma rampa cujo o ponto mais baixo se encontra 
elevado em relação ao chão, uma esfera de tamanho compatível com a rampa e uma régua 
milimetrada cuja menor escala é de 1 milímetro. 
São realizados vários lançamentos (i), em cada um solta-se a esfera sempre do mesmo 
ponto da rampa e se mede o alcance x horizontal que a esfera percorre desde o ponto que 
abandona a rampa ao ponto que atinge o chão. Devido às irregularidades do meio e variações 
do ambiente, o alcance varia aleatoriamente de um lançamento para outro. 
 
 
 
4. Resultados e Discussão 
O valor exato da distância em um experimento está sujeito às incertezas instrumentais e 
estatísticas, que podem ser usadas para calcular o erro total em certa amostra. 
Δx = √(𝛿𝑥𝑖𝑛𝑠𝑡) 2 + (𝛿𝑥) 2 
A presença do erro total no resultado define a variação dessa medida, o que é essencial 
ao trabalhar em situação de alta precisão. 
O método de medição analógico utilizado tem como menor escala 1mm, ou seja, a 
menor escala que se pode medir com certeza é a de 1 mm, abaixo disso não há certeza. Por isso 
a incerteza instrumental (δxinst) é levada em consideração, e é igual a metade da menor escala 
do aparelho. 
δxinst = 
0,1
2
= 0,05 cm 
 
Assim, as medições possuem 3 algarismos significativos que devem ser levados em 
conta nos resultados seguintes. 
Calcular a incerteza estatística requer um processo mais complexo, para isso, seguindo 
o procedimento experimental foram recolhidas 4 amostras. As amostras tem tamanho de 50, 
20, 10 e 5 lançamentos e os resultados obtidos em centímetros estão dispostosnas tabelas a 
seguir. 
 
 
 
 
alcalde
Typewriter
A figura tem que ser identificada com um número e uma legenda que explique a figura. 
alcalde
Typewriter
(4)
alcalde
Typewriter
(5)
 
 
Tabela 1: Resultado das medições para N=50. 
i xi i xi i xi i xi i xi 
1 46,2 11 46,7 21 46,2 31 46,1 41 46,3 
2 46,3 12 46,1 22 46,3 32 46,2 42 46,3 
3 46,6 13 46,5 23 46,5 33 46 43 46,5 
4 46,3 14 46,7 24 46,6 34 46,6 44 46 
5 46 15 46,4 25 46,6 35 46,2 45 46,4 
6 46,9 16 46,3 26 46,6 36 46,7 46 46 
7 46,2 17 46,3 27 46,3 37 46,4 47 46,3 
8 46,4 18 46,8 28 46,4 38 46,2 48 46,5 
9 46,1 19 46,7 29 46,5 39 46,1 49 46,3 
10 46,5 20 45,9 30 46,4 40 46,4 50 46,4 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 1 (veja o gráfico incluído no final deste arquivo) mostra um exemplo 
dos dados reportados na tabela 1, da frequência dos valores de xi na amostra. 
Note que a escala no eixo do comprimento não permite desenhar a barra de 
erro dos dados colhidos, que é de 0,05 cm sendo a escala em centímetros. 
 
alcalde
Typewriter
unidades ? 
alcalde
Typewriter
(cm)
 
 
Tabela 2: Resultado das medições para N=20. 
i xi i xi i xi i xi 
1 46,2 6 46,9 11 46,7 16 46,3 
2 46,3 7 46,2 12 46,1 17 46,3 
3 46,6 8 46,4 13 46,5 18 46,8 
4 46,3 9 46,1 14 46,7 19 46,7 
5 46 10 46,5 15 46,4 20 45,9 
 
 
 
 
Tabela 3: Resultado das medições para N=10. 
i xi i xi 
1 46,2 6 46,9 
2 46,3 7 46,2 
3 46,6 8 46,4 
4 46,3 9 46,1 
5 46 10 46,5 
 
 
 
 
 
A figura 2 (veja o gráfico incluído no final deste arquivo) mostra um exemplo 
dos dados reportados na tabela 2, da frequência dos valores de xi na amostra. 
Note que a escala no eixo do comprimento não permite desenhar a barra de erro 
dos dados colhidos, que é de 0,05 cm sendo a escala em centímetros. 
 
A figura 3 (veja o gráfico incluído no final deste arquivo) mostra um exemplo 
dos dados reportados na tabela 3, da frequência dos valores de xi na amostra. 
Note que a escala no eixo do comprimento não permite desenhar a barra de erro 
dos dados colhidos, que é de 0,05 cm sendo a escala em centímetros. 
 
 
 
 
Tabela 4: Resultado das medições para N=5. 
i xi 
1 46,2 
2 46,3 
3 46,6 
4 46,3 
5 46 
 
 
 
 
 
 
Os histogramas nas últimas páginas do documento mostram a distribuição de frequência 
da amostra, é evidente que, nos casos apresentados, quanto maior a amostra mais a curva 
contínua se aproxima de uma distribuição normal, com centro próximo de 46,4 centímetros. 
Enquanto, nas amostras menores o valor exato procurado é mais incerto e não é visível 
graficamente. 
Uma medida que se aproxima melhor do valor real é a média da amostra, que leva todos 
os valores obtidos em considerando todos os valores obtidos. A média amostral é obtida pela 
equação 1 e a partir dela podemos obter o desvio padrão (equação 2) e o desvio padrão das 
médias (equação 3), como representado a seguir para as 4 amostras. 
 
● Para N=50 
�̅� =
1
50
∑ 𝑋𝑖
50
𝑖=1
 
 
 
A figura 4 (veja o gráfico incluído no final deste arquivo) mostra um exemplo 
dos dados reportados na tabela 4, da frequência dos valores de xi na amostra. 
Note que a escala no eixo do comprimento não permite desenhar a barra de erro 
dos dados colhidos, que é de 0,05 cm sendo a escala em centímetros. 
 
 
 
x̅=(1/50)(46,2+46,3+46,6+46,3+46,0+46,9+46,2+46,4+46,1+46,5+46,7+46,1+46,5+46,7+46,
4+46,3+46,3+46,8+46,7+45,9+46,2+46,3+46,5+46,6+46,6+46,6+46,3+46,4+46,5+46,4+46,1
+46,2+46,0+46,6+46,2+46,7+46,4+46,2+46,1+46,4+46,3+46,3+46,5+46,0+46,4+46,0+46,3+
46,5+46,3+46,4) 
x̅= 
2318,1
50
 = 46,364cm 
 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
x̅= 46,4 cm 
𝜎𝑥 = √
1
50
∑
50
𝑖=1
(𝑋𝑖 − 46,4)2 
𝜎x=√
1
50
√ (0,04+0,01+0,04+0,01+0,16+0,25+0,04+0+0,09+0,01+0,09+ 
0,09+0,01+0,09+0+0,01+0,01+0,16+0,09+0,25+0,04+0,01+0,01+0,04+0,04+0,04+0,01+0+0,
01+0+0,09+0,04+0,16+0,04+0,04+0,09+0+0,04+0,09+0+0,01+0,01+0,01+0,16+0+0,16+0,01
+0,01+0,01+0) 
𝜎x=√
2,62
50
= 0,22 cm 
 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
𝜎x= 0,2 cm 
𝛿𝑥 =
0,2
√50
= 0,028 cm 
 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
𝛿𝑥= 0 cm 
 
● Para N=20 
�̅� =
1
20
∑ 𝑋𝑖
20
𝑖=1
 
 
x̅=(1/20)(46,2+46,3+46,6+46,3+46,0+46,9+46,2+46,4+46,1+46,5+46,7+46,1+46,5+46,7+46,
4+46,3+46,3+46,8+46,7+45,9) 
 
 
 
x̅= 
927,9
20
 = 46,395cm 
 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
x̅= 46,4 cm 
𝜎𝑥 = √
1
20
∑
20
𝑖=1
(𝑋𝑖 − 46,4)2 
 
𝜎x=√
1
20
√ (0,04+0,01+0,04+0,01+0,16+0,25+0,04+0+0,09+0,01+0,09+0,09+ 
0,01+0,09+0+0,01+0,01+0,16+0,09+0,25) 
𝜎x=√
1,45
20
= 0,0725 cm 
 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
𝜎x= 0,1 cm 
𝛿𝑥 =
0,1
√20
= 0,022 cm 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
𝛿𝑥= 0 cm 
 
● Para N=10 
�̅� =
1
10
∑ 𝑋𝑖
10
𝑖=1
 
 
x̅=(1/10)(46,2+46,3+46,6+46,3+46,0+46,9+46,2+46,4+46,1+46,5) 
x̅= 
46,35
10
 = 46,35 cm 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos temos: 
x̅= 46,4 cm 
𝜎𝑥 = √
1
10
∑
10
𝑖=1
(𝑋𝑖 − 46,4)2 
 
 
𝜎x=√
1
10
√ (0,04+0,01+0,04+0,01+0,16+0,25+0,04+0+0,09+0,01) 
𝜎x=√
0,65
10
= 0,065 cm 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
𝜎x= 0,1 cm 
𝛿𝑥 =
0,1
√10
= 0,031 cm 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
𝛿𝑥= 0 cm 
 
● Para N=5 
�̅� =
1
5
∑ 𝑋𝑖
5
𝑖=1
 
 
x̅=(1/5)(46,2+46,3+46,6+46,3+46,0+46,9+46,2+46,4+46,1+46,5) 
x̅= 
231,4
5
 = 46,28 cm 
 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos temos: 
x̅= 46,3 cm 
𝜎𝑥 = √
1
5
∑
5
𝑖=1
(𝑋𝑖 − 46,3)2 
𝜎x=√
1
5
√ (0,04+0,01+0,04+0,01+0,16) 
𝜎x=√
0,19
5
= 0,038 cm 
 
Seguindo as regras de arredondamento para os algarismos significativos tem-se: 
𝜎x= 0,0 cm 
𝛿𝑥 =
0
√5
= 0 cm 
 
 
 
Como o desvio padrão das médias em todas amostras é igual a zero, e o erro instrumental 
é uniforme devido a padronização das medições, o erro total para todas as amostras é o mesmo. 
Δx = √(0,05) 2 + (0) 2 = 0,05 cm 
 
Os resultados obtidos nas quatro amostras, assim como o valor de x obtido estão 
apresentados na tabela 5. 
Apesar da grande diferença entre os tamanhos das amostras, a média amostral apresenta 
pouca variação. Somente para N=5 a média é diferente de 46,4 cm, sendo menor em 0,1 cm. A 
pequena variação é provavelmente devido à baixa precisão nas medidas que levou ao 
arredondamento dos resultados estatísticos. Não fora isso os resultados para a média amostral 
diminuíram milimetricamente junto com o tamanho da amostra. 
O desvio padrão diminuiu à medida que o tamanho da amostra diminuía, mais evidente 
em escalas menores, não consideradas após arredondamento. O desvio padrão da média foi 
igual a zero em todos os casos devido ao respeito aos algarismos significativos, ou seja, os erros 
estatísticos foram irrelevantes na medição, tendo incertezas apenas sobre o erro instrumental na 
escala empregada. 
A primeira amostra (N=50) apresentou histograma que se aproxima de uma distribuição 
normal dos dados, representando melhor a aleatoriedade de uma população de lançamentos 
infinitos. O desvio padrão diminui assim como a amplitude em amostras menores que 
envolviam medições próximas da média obtida. 
 
Tabela 5: Resultado da média amostral, desvio padrão, desvio padrão da média, erro total e 
resultado obtido para x em relação ao tamanho da amostra. 
 N=50 N=20 N=10 N=5 
x̅ 46,4 46,4 46,4 46,3 
𝜎x̅ 0,2 0,1 0,1 0 
δx̅ 0 0 0 0 
𝛥x̅ 0,05 0,05 0,05 0,05 
x 46,4±0,05 46,4±0,05 46,4±0,05 46,3±0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Gráfico da distância alcançada pelo projétil (xi) em 
centímetros como função da frequênciana amostra, para 
N=50. A precisão da medida é de 0,05 cm. 
 
Figura 2. Gráfico da distância alcançada pelo projétil (xi ) em 
centímetros como função da frequência na amostra, para 
N=20. A precisão da medida é de 0,05 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Gráfico da distância alcançada pelo projétil (xi) em 
centímetros como função da frequência na amostra, para N=10. 
A precisão da medida é de 0,05 cm. 
 
Figura 4. Gráfico da distância alcançada pelo projétil (xi) em 
centímetros como função da frequência na amostra, para N=5. A 
precisão da medida é de 0,05 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Gráfico comparativo da média das amostras. 
Figura 6. Gráfico comparativo do desvio padrão das 
amostras. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Conclusão 
Neste relatório, apresentamos o resultado do estudo do alcance de um projétil com 
relação às amostras de lançamentos, tendo essas variações de tamanho 5,10,20 e 50 
lançamentos. 
Através dos cálculos do desvio padrão comprovamos uma baixa variação, que aumenta 
de acordo com a quantidade de lançamentos, sendo com N=5 onde temos a menor variação e 
N=50 a maior. 
Em suma, nota-se que o erro total é uniforme em consequência do desvio padrão médio 
ser igual a zero para todas as amostras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Gráfico comparativo do desvio padrão das médias 
das amostras. 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2002. Acesso 
em 23 jun. 2021. Disponível em: 
https://www.academia.edu/15104473/Livro_Estat%C3%ADstica_F%C3%A1cil_Ant%
C3%B4nio_Arnot_Crespo_Ed_Saraiva. Acesso em: 23 jun. 2021. 
 
IWAMOTO, Wellington Akira et al. Guia e roteiro para Laboratório de Física 
Experimental. Uberlândia. 2014. Disponível em 
https://www.passeidireto.com/arquivo/17897104/apostilalabmec#pfa. Acesso em 23 
jun. 2021. 
 
LIMA, Paulo Junior et al. Desvio padrão da média e intervalos de confiança. In: 
Mecânica experimental: Subsídios para o laboratório didático. Porto Alegre: IF-
UFRGS, 2011. p. 30-33. No prelo. Disponível em 
http://www.if.ufrgs.br/cref/labmecanica/Lima_Jr_et_al_2013.pdf. Acesso em 23 jun. 
2021. 
 
LIMA, Paulo Junior et al. O laboratório de mecânica. Porto Alegre: IF-UFRGS, 2012. 
https://wp.ufpel.edu.br/nuclear/files/2017/04/texto4_desvio.pdf. Acesso em 23 jun. 
2021. 
 
NAGASHIMA, Haroldo Naoyuki. Laboratório de Física. Ilha Solteira. 2018. 82 p. 
Disponível em: 
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/fisicaequimica/apostila-de-
laboratorio-de-fisica-i-versao-agosto-de-2018.pdf. Acesso em: 25 jul. 2021. 
 
TOGINHO, Dari de Oliveira Filho et al. Catálogo de Experimentos do Laboratório 
Integrado de Física Geral: Medição e propagação de erros. Londrina: Eduel, 2009. 6 
p. Disponível em: http://www.leb.esalq.usp.br/leb/aulas/lce5702/medicao.pdf. Acesso 
em: 25 jul. 2021. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.academia.edu/15104473/Livro_Estat%C3%ADstica_F%C3%A1cil_Ant%C3%B4nio_Arnot_Crespo_Ed_Saraiva
https://www.academia.edu/15104473/Livro_Estat%C3%ADstica_F%C3%A1cil_Ant%C3%B4nio_Arnot_Crespo_Ed_Saraiva
https://www.passeidireto.com/arquivo/17897104/apostilalabmec#pfa
http://www.if.ufrgs.br/cref/labmecanica/Lima_Jr_et_al_2013.pdf
https://wp.ufpel.edu.br/nuclear/files/2017/04/texto4_desvio.pdf