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201 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
(Resolução no Final) 
 
 
1) O número de vértices de um dodecaedro formado por triângulos é 
 
(a) 6 
(b) 8 
(c) 10 
(d) 15 
(e) 20 
 
 
 
 
 
2) O número de diagonais de um prisma octogonal regular é 
 
(a) 30 
(b) 32 
(c) 36 
(d) 40 
(e) 60 
 
 
 
 
 
3) (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação de um sólido. 
 
 
 15 
 
 
 
 
 8 
 
 8 12 
 12 
 
 
 O volume desse sólido, de acordo com as medidas indicadas, é 
 
(a) 180 
(b) 360 
(c) 480 
(d) 720 
(e) 1440 
15 
202 
 
4) Na figura, M é o ponto médio da aresta. Qual a probabilidade de um ponto escolhido 
ao acaso na superfície do cubo pertencer à região sombreada? 
 
 
 
 
 
 
(a) 1/3 
(b) 1/6 
(c) 1/8 
(d) 1/10 
(e) 1/12 
 
 
 
5) (UFRGS) Na figura, O é o centro do cubo. Se o volume do cubo é 1, o volume da 
pirâmide de base ABCD e vértice O é 
 
 C 
 
 D 
 
 O B 
 
 
 A 
 
 
 
6) (UFRGS) Um cubo e um hexágono regular estão representados na figura abaixo. Os 
vértices do hexágono são pontos médios das arestas do cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o volume do cubo é 64 cm3, então a área da região sombreada é 
 
(a) 62 
(b) 410 
(c) 68 
(d) 610 
(e) 123 
 
 
M 
 
(a) 1/2 
(b) 1/3 
(c) 1/4 
(d) 1/6 
(e) 1/8 
203 
 
7) (VUNESP) Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10 cm de profundidade, 4 
cm de diâmetro no topo e tem aí colocadas duas conchas semiesféricas de sorvete, 
também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos 
afirmar que 
 
(a) não transbordará. 
(b) transbordará. 
(c) os dados são insuficientes. 
(d) os dados são incompatíveis. 
(e) todas as afirmações anteriores são falsas. 
 
 
 
 
 
8) (UFRGS) Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo 
de aresta 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume do octaedro é 
 
(a) 2/3 
(b) 4/3 
(c) 2 
(d) 8/3 
(e) 10/3 
 
 
 
9) (VUNESP) Uma esfera E está inscrita em um cubo e outra F está circunscrita a esse 
mesmo cubo. Então a razão entre os volumes de F e de E é igual a 
 
(a) 3 
(b) 23 
(c) 33/2 
(d) 33 
(e) 43/3 
 
 
 
 
 
204 
 
10) (UFGRS) Na figura abaixo está representada a planificação de um prisma hexagonal 
regular de altura igual à aresta da base. 
 
 
 
 
 
 
 
Se a altura do prisma é 2, seu volume é 
 
(a) 4√3. 
(b) 6√3. 
(c) 8√3. 
(d) 10√3. 
(e) 12√3. 
 
 
 
11) Um copinho cônico circular reto de 10 cm de altura contém sorvete, conforme a 
figura. Quer-se dividir igualmente o sorvete entre duas pessoas segundo um corte reto 
paralelo à base. A que distância do vértice deve ser feito o corte? 
 
(a) 5 cm 
(b) 5,5 cm 
(c) 53 cm 
(d) 5 22 cm 
(e) 5 34 cm 
 
 
 
 
 
 
 
12) No Mottola, um copo de cafezinho tem o formato da figura, onde os diâmetros dos 
círculos das bases medem 3cm e 5 cm e a altura mede 5 cm. A alternativa que contém o 
valor mais próximo da capacidade do copo, em ml, é 
 
(a) 8 
(b) 16 
(c) 32 
(d) 64 
(e) 128 
 
 
 
 
 
205 
 
13) (UFRGS) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, 
causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 
cm, o volume do sólido é de 
 
(a) 6,5 cm3 
(b) 10 cm3 
(c) 15 cm3 
(d) 25 cm3 
(e) 37,5 cm3 
 
 
14) (PUC) Um cubo de aresta 2a é secionado por um plano conforme a figura abaixo. O 
volume do sólido que foi retirado é 
 
 
 
 2a 
 
 
 2a 
 
 2a 
(a) a3/6 
(b) a3 – 3 
(c) a33/6 
(d) a33/12 
(e) 8a3/3 
 
 
15) (UFGRS) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto 
com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o 
volume das esferas é 
 
(a) 1/5. 
(b) 1/4. 
(c) 1/3. 
(d) 1/2. 
(e) 2/3. 
a 
a a 
206 
 
16) Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo com as seguintes 
dimensões internas: 50cm de comprimento, 30cm de largura e 40cm de altura. Esse 
aquário contém água até a altura de 30 cm. Deseja-se colocar nesse aquário objetos 
cilíndricos maciços e idênticos de densidade maior do que a densidade da água. Sabendo-
se que a altura e o diâmetro desses cilindros medem 10 cm e considerando π = 3,14, 
a quantidade máxima desses objetos que pode ser colocada no aquário, de modo que a 
água nele contida não transborde, é 
 
(a) 15 
(b) 16 
(c) 19 
(d) 20 
(e) 21 
 
 
 
 
17) (FFFCMPA)Uma esfera metálica de raio 3 cm é colocada dentro de um recipiente 
cilíndrico que contém água, cujo raio da base é de 6 cm. Supondo que não haja 
transbordamento de água, pode-se afirmar que o nível da água sobe 
 
(a) 3 cm 
(b) 2,5 cm 
(c) 2 cm 
(d) 1,5 cm 
(e) 1 cm 
 
 
 
 
18) (FFFCMPA) Duas esferas tangentes estão presas por um fio a uma haste vertical, 
tocando-a, como mostra a figura. O ponto A, onde o fio é preso à haste, e os centros B e 
C das duas esferas estão alinhados. Sendo d(B,C) = 2d(A,B), a razão entre o volume da 
esfera menor e o volume da esfera maior é 
 
(a) 1/27 
(b) 1/16 
(c) 1/9 
(d) 1/8 
(e) 1/4 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
207 
 
19) (UFRGS) Na figura abaixo, P é o centro da face superior de um cubo. A pirâmide de 
base hachurada tem um de seus vértices em P. 
 
 P 
 
 
 
 
 
 
 Se o volume da pirâmide é 1, então o volume do cubo é 
(a) 2 
(b) 3 
(c) 4 
(d) 6 
(e) 8 
 
 
20) (UFRGS)A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, constituído com 
madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo 
três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1, abaixo. 
 
 
 
O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, abaixo. 
 
 
O volume do sólido obtido é 
 
(a) 198. 
(b) 204. 
(c) 208. 
(d) 212. 
(e) 216. 
208 
 
21) (UFGRS)A figura abaixo representa um prisma reto de base hexagonal regular. 
 
 
 
Considere as seguintes planificações. 
 
 
 
 
 
Quais delas podem ser planificações do prisma? 
 
(a) Apenas I. 
(b) Apenas II. 
(c) Apenas I e II. 
(d) Apenas II e III. 
(e) I, II e III. 
 
 
209 
 
22) (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação de uma pirâmide de base 
quadrada com AB = 6 cm, sendo ADV triângulo equilátero. 
 
 
 
 
 D C 
 
 V 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
O volume da pirâmide é 
 
(a) 123 
(b) 273 
(c) 363 
(d) 723 
(e) 1083 
 
23) (UFRGS) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas 
semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura abaixo.O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4 dm, e o volume de 
uma esfera de raio r é 
4
3
𝜋𝑟3. 
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em 
litros, é 
 
(a) 50. 
(b) 60. 
(c) 70. 
(d) 80. 
(e) 90. 
210 
 
24) (UFRGS) Considere a figura abaixo, que representa a planificação de um cubo. 
 
 
 
 Qual dos cubos apresentados nas alternativas pode corresponder ao desenho da 
planificação? 
 
 
 
 
 
 
 
211 
 
25) (UFRGS) Observe o sólido S formado por 6 cubos e representado na figura abaixo 
 
 
 
 Dentre as opções a seguir, o objeto que, convenientemente composto com o 
sólido S, forma um paralelepípedo é 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
(e) 
 
(e) 
 
 
 
212 
 
Resolução 
 
 
1) Em 12 triângulos há 123=36 lados. Cada aresta do dodecaedro é a união de 2 lados 
de triângulos. 
 
 
 
 
 Logo, há 18 arestas. 
 
 
F=12 e A=18 V + F = A + 2 V + 12 = 18 + 2 V=8 
 
 
2) Como uma diagonal do prisma não pode estar contida em um face, com uma 
extremidade no vértice A há apenas 5 diagonais (AB, AC, AD, AE, AF). 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para cada um dos 8 vértices da base superior há 5 diagonais: Total: 85=40. 
 
 
3) 
 
 
 15 
 
 
 
 
 8 
 15 
 8 12 
 12 
 
 
 O retângulo de lados 15 e 8 será a base do sólido. 
 
 Dobrando nos lados indicados e unindo os lados de comprimento 12, temos: 
 
 
Cada aresta do sólido é comum a 
dois lados de triângulos. 
B 
C 
D 
E F 
Dobra 
Dobra 
Dobr
a 
Emenda 
213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É uma pirâmide retangular de base B=158 altura 12. 
 
.480
3
12815
3





HB
V 
 
4) 
 
 
 
 
 
 A área do triângulo sombreado é a metade da área do quadrado, face do cubo. 
 No cubo há 6 faces. Logo, a área total do cubo corresponde à área de 12 triângulos 
sombreados. 
 Portanto, a chance de escolher um ponto no triângulo é 1 em 12, ou seja, 1/12. 
 
 
5) C 
 
 D 
 
 O B 
 
 
 A 
 
 
6) O volume do cubo de aresta a é a3. Se a3=64, então a=4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No triângulo retângulo da figura com vértices ABC, temos: 
 
 x2=22+22 x2 = 4 + 4 x2 = 8 x=22 
 
M 
12 
8 
15 
M 
O volume da pirâmide de 
base ABCD e vértice em O é um 
terço do volume do semicubo. 
Logo, o seu volume é um sexto do 
volume do cubo. Se o volume do 
cubo é 1, então o volume da 
pirâmide é 1/6. 
2 
2 
A 
x B 
C 
214 
 
A região sombreada é um hexágono regular de lado x, formado por 6 triângulos 
equiláteros de lado x. 
 
 
 
 
 
 
 
A sua área é 
 
312
4
38
6
4
322
6
4
3
6
2
2

x
A . 
 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O quadrado de lado ℓ=√2 e área B=(√2)2=2 é a base da pirâmide superior. 
 
A altura da pirâmide superior é H=1. 
Logo, o volume da pirâmide superior 
3
2
3
12
3





HB
V . 
O octaedro é formado por duas pirâmides destas. 
Logo, o seu volume é 
3
4
3
2
3
2
V 
 
10 
 
2 
 
 
As duas semiesferas formam uma esfera de raio 2, cujo 
volume é 
32
3
32
2
3
4
3
4 33 

 rV . 
O copinho é um cone de raio 2 e altura 10, cujo volume 
é 
40
3
40
3
102
33
22







 HrHB
V . 
Como o volume do sorvete é menor do que o volume do 
copinho, quando derreter não transbordará. 
 Visão Superior 
 1 1 
1 
 
1 
 
1 
 
1 
 1 
 
1 
 
1 
 
1 
 
√2 
 
215 
 
9) Vamos supor que a aresta do cubo seja 1. A diagonal da base será 𝐴𝐵 = √2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo ABC, temos: (2r)2 = AB2 + BC2 
 
(2𝑅)2 = (√2)
2
+ 12 4R2 = 2 + 1 4R2 = 3 R2 = 3/4 𝑅 =
√3
2
 
 
No cubo inscrito, o lado coincide com o diâmetro: 2r = 1 r=1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝐹
𝑉𝐸
=
4𝜋𝑅3
3
4𝜋𝑟3
3
=
𝑅3
𝑟3
= (
𝑅
𝑟
)
3
= (
√3
2
1
2
)
3
= (√3)
3
= 3√3 
 
 
 
 
10) No prisma hexagonal regular a altura igual à aresta da base. Ambas valem 2. 
 
 
 
 
 
 
 A base é um hexágono regular de lado 2. 
 
 
 
 
 
 
Logo, o volume do prisma é 312236  HBV . 
A 
B 
C 
1 
1 
2R 
B 
H=2 
2 
2 
Este hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros 
de lado 2. 
Sua área vale 36
4
34
6
4
3
6
2


B 
216 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10002
1 3x
 
 
 
 
 
 
 
 
12) 
 
 
5
3
5

h
h
 5h = 3h+15 2h=15 
 
 
 h=15/2=7,5. 
 
 
 
 
 
 
13) O volume do sólido é o mesmo volume do líquido deslocado, ou seja, o do cilindro 
assinalado, de raio 5 e altura 1,5. 
 
 
 
 
 O volume deste cilindro é .5,375,1522   HrV 
10 
x 
V 2V 
3
3
102
x
V
V
 
x3=500 
333 451254500 x . 
12,5 
5 
5 
3 
h 
77,81
3
5,12)5,2( 2
2 



V 
 
66,17
3
5,7)5,1( 2
1 



V 
 
V2 – V1 = 81,77-17,66 =64,11 
 
 
1,5 
 
5 
 
217 
 
14) 
 
 
 2a 
 
 
 2a 
 
 2a 
 Para uma melhor visualização vamos seccionar em outro lado, ou ainda, vamos 
virar o cubo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
222
2aaahb
B 



 
 
 
15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas: 
 
2
1
8
4
3
8
3
4
3
3

r
r


 
 
b=a 
h=a 
O seu volume é 
 
63
2
3
3
2
a
a
a
HB
V 



 
base 
B 
Volume do Cilindro: BH = r24r = 4r3. 
 
Volume das duas esferas: 
3
8
3
4
2
33 rr 
 
 
Volume do Cilindro não ocupado pelas esferas: 
 
3
4
)
3
2
1(4
3
4
24
3
3
3
3 rr
r
r



 
 
 
 
a 
a a 
a 
a a 
a 
H=a 
O sólido retirado é 
uma pirâmide não 
reta com altura H=a e 
base triangular. 
r 
2r 
2r 
4r 
218 
 
 
16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume do cilindro: V1=r
2H = 5210=2510. 
Volume da parte do aquário que está sem água: V2= 503010. 
 
A quantidade de cilindros será .20
60
1025
103050
2
1 



V
V
 
Se  fosse 3, daria 20. Como  é um pouco mais que 3, dá um pouco menos do que 20. 
Pelas alternativas, sem necessitar efetuar contas, observamos que é 19. 
 
 
 
17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O volume da esfera é 𝑉 =
4𝜋𝑅3
3
=
4𝜋33
3
= 36𝜋 
 
 O Volume do líquido deslocado, que corresponde a um cilindro, é 
 
V = R2h = 36h. Para que os volumes sejam iguais, h=1. 
 
50 
30 
30 
10 
10 
5 
6 63 
h 
219 
 
18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os triângulos ABD e ACE são semelhantes: 
3𝑥
𝑥
=
𝑅
𝑟
 
Logo, R = 3r 
 
A razão entre o volume V1 da esfera menor e o volume V2 da esfera maior é 
 
𝑉1
𝑉2
=
4𝜋𝑟3
3
4𝜋𝑅3
3
=
𝑟3
𝑅3
=
𝑟3
(3𝑟)3
=
𝑟3
27𝑟3
=
1
27
 
 
 
 
 
 
 
 
19) 
 P 
 
 
 
 
 
 
 Se a base da pirâmide coincidisse com a base do cubo, então o volume do cubo 
seria 3 vezes o volume da pirâmide. 
 
 Como a base da pirâmide é metade da base do cubo, então o volume do cubo é 6 
vezes o volume da pirâmide, ou seja, 6×1 = 6. 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
x 
2x 
r 
R 
D 
E 
3x 
220 
 
20) 
 
 
 
Cada pirâmide retirada tem altura H=3 e como base B um triângulo retângulo, 
conforme a figura: 
 
 
 
 3 Desta forma, B = (3×3) /2 = 9/2 
 
 
 
 
 3 
 
 
 O volume de cada pirâmide retirada é V = (B×H)/3 = (9/2)×3/3 = 9/2. 
 
 O volume do sólido é o volume do cubo, descontadas 4 destas pirâmides: 
 
 63– 4×9/2 = 216 – 18 = 198. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
221 
 
21) 
 
 
Considere as seguintes planificações. 
 
 
 
 
 
 
(F) (I) Não pode ser, uma vez que na planificação, os pentágonos estão ligados e no 
sólido, as bases estão distantes. 
 
(V) (II) Ligando-se os lados esquerdo e direito do retângulo central na planificação, 
obtemos a superfície lateral do cilindro. Os pentágonos da planificação formarão as 
bases do cilindro. 
 
(V) (III) Mesmo argumento do item (II). 
 
 
222 
 
22) 
 
 D C 
 
 V 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 V 
 
 
 
 
 H 
 
 6 D C 
 
 M 
 3 
 
 
 A 6 B 
 
 A base B a pirâmide é um quadrado de lado 6, logo a sua área é 36. 
 
 Sendo o triângulo ADV equilátero, AM=3 e AV=6. 
 
 A altura H da pirâmide é um cateto do triângulo retângulo AMV. 
 
 Por Pitágoras, 62 = 32 + H2 36 = 9 + H2 H2 = 27 
 
𝐻 = √27 = 3√3 
 
O volume da pirâmide é 𝑉 =
𝐵×𝐻
3
=
36×3√3
3
= 36√3. 
 
 
 
 
 
 
 
223 
 
23) 
 
 
 
 
24) 
 
 
 
Ao fechar a figura, os segmentos a e b irão coincidir e uma extremidade será o ponto P, 
situada no vértice do quadrado sombreado com a parte clara. 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
P 
a coincide com b P 
P no vértice do quadrado 
sombreado com parte clara. 
O diâmetro do cilindro é 4, logo o raio é 2. 
Se a altura é 4, então o volume do cilindro é V1 = R
2H = ×22×4 = 
16. 
As duas semiesferas formam uma esfera de raio 2 e volume 
V2 = 
4
3
𝜋𝑟3 =
4
3
𝜋 × 23 =
32𝜋
3
. 
Assim, o volume do reservatório é V1 + V2 = 16 + 32/3  48 + 32 
= 80 
224 
 
25) Para formar um paralelepípedo, é necessário um “L” idêntico ao da base para 
sobrepô-lo. Além disto, no “meio” do “L” é necessário ter um prisma com 2 cubos, 
idêntico ao da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
(e) 
 
(e) 
 
 
 
“L” da base 
Prisma com 2 cubos 
Prisma com 2 cubos 
no meio do L 
L idêntico ao da base 
225 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1) B 
2) D 
3) C 
4) E 
5) D 
6) E 
7) A 
8) B 
9) D 
10) E 
11) E 
12) D 
13) E 
14) A 
15) D 
16) C 
17) E 
18) A 
19) D 
20) A 
21) D 
22) C 
23) D 
24) A 
25) A 
 
226