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SISTEMAS
ESTRUTURAIS II
SISTEMAS 
ESTRUTURAIS II
Sistem
as Estruturais II
Felipe Corres Melachos Felipe Corres Melachos 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
A cadeira da tecnologia da construção engloba a viabilização construtiva das idea-
ções projetuais do arquiteto e urbanista, de modo a integrar as disciplinas dos siste-
mas estruturais e prediais em uma edi� cação funcional, confortável, sustentável e 
acessível. Essa integração de todos os componentes de uma edi� cação, entretanto, 
compreende um processo iterativo, de tentativa e erro, diretamente proporcional à 
experiência projetual e conhecimento técnico do pro� ssional em cada uma das disci-
plinas construtivas.
Entre essas disciplinas, os sistemas estruturais envolvem justamente a concepção 
formal-estrutural das edi� cações: o arranjo e ajuste contínuo de seus elementos geo-
métricos constituintes durante o processo de projeto. A associação dessas formas 
geométricas em estruturas tem como objetivo principal atingir o equilíbrio estático 
interno e externo da edi� cação proposta – e são denominadas tipologias estruturais. 
Essas tipologias estruturais apresentam características, semelhanças e diferenças, 
especialmente no que diz respeito ao encaminhamento de esforços, materiais passí-
veis de serem utilizados na execução, natureza de suas vinculações e vãos livres que 
podem vencer.
Aproveite essa jornada e preste atenção às novas tecnologias de fabricação digital 
e ferramentas de design digital, bem como no desenvolvimento de novos materiais 
construtivos! Estudar sistemas estruturais hoje signi� ca testemunhar a quebra de 
paradigmas estabelecidos há décadas!
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© Ser Educacional 2020
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Jânyo Diniz 
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Felipe Corres Melachos 
DP Content
DADOS DO FORNECEDOR
Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, 
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
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Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - A estrutura: cargas atuantes nas estruturas
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
As estruturas na arquitetura............................................................................................... 13
Conceituação aplicada à arquitetura .......................................................................... 13
Concepção formal-estrutural na arquitetura .............................................................. 17
Tipologias estruturais ..................................................................................................... 22
Cargas atuantes nas estruturas ......................................................................................... 26
Tipos de cargas ................................................................................................................ 26
Características das cargas ............................................................................................ 30
Sintetizando ........................................................................................................................... 35
Referências bibliográficas ................................................................................................. 38
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Concepção e fundamentação – estruturas em pórtico e cascas
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 40
Estruturas em pórtico........................................................................................................... 41
Concepção e fundamentação ....................................................................................... 41
Materiais e pré-dimensionamento .............................................................................. 47
Estruturas em arco ............................................................................................................... 53
Concepção e fundamentação ....................................................................................... 53
Materiais e pré-dimensionamento .............................................................................. 59
Sintetizando ........................................................................................................................... 65
Referências bibliográficas ................................................................................................. 67
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Sumário
Unidade 3 - Concepção e fundamentação: estruturas em placas e cascas 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 69
Estruturas em placas ........................................................................................................... 70
Materiais e pré-dimensionamento ............................................................................... 77
Estruturas em cascas........................................................................................................... 82
Materiais e pré-dimensionamento ............................................................................... 86
Sintetizando ........................................................................................................................... 91
Referências bibliográficas ................................................................................................. 93
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Sumário
Unidade 4 - Concepção e fundamentação de estruturas em membranas, estaiadas 
e pênseis
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 96
Estruturas estaiadas e pênseis .......................................................................................... 97
Concepção e fundamentação ....................................................................................... 97
Materiais e pré-dimensionamento ............................................................................. 106
Membranas tensionadas................................................................................................... 109
Concepçãoe fundamentação ..................................................................................... 110
Materiais e pré-dimensionamento ............................................................................. 116
Sintetizando ......................................................................................................................... 120
Referências bibliográficas ............................................................................................... 121
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A cadeira da tecnologia da construção engloba a viabilização construtiva 
das ideações projetuais do arquiteto e urbanista, de modo a integrar as discipli-
nas dos sistemas estruturais e prediais em uma edifi cação funcional, confortá-
vel, sustentável e acessível. Essa integração de todos os componentes de uma 
edifi cação, entretanto, compreende um processo iterativo, de tentativa e erro, 
diretamente proporcional à experiência projetual e conhecimento técnico do 
profi ssional em cada uma das disciplinas construtivas.
Entre essas disciplinas, os sistemas estruturais envolvem justamente a con-
cepção formal-estrutural das edifi cações: o arranjo e ajuste contínuo de seus 
elementos geométricos constituintes durante o processo de projeto. A asso-
ciação dessas formas geométricas em estruturas tem como objetivo principal 
atingir o equilíbrio estático interno e externo da edifi cação proposta – e são 
denominadas tipologias estruturais. Essas tipologias estruturais apresentam 
características, semelhanças e diferenças, especialmente no que diz respeito 
ao encaminhamento de esforços, materiais passíveis de serem utilizados na 
execução, natureza de suas vinculações e vãos livres que podem vencer.
Aproveite essa jornada e preste atenção às novas tecnologias de fabricação 
digital e ferramentas de design digital, bem como no desenvolvimento de no-
vos materiais construtivos! Estudar sistemas estruturais hoje signifi ca testemu-
nhar a quebra de paradigmas estabelecidos há décadas!
Apresentação
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Dedico este trabalho a minha família, a todos os docentes e pesquisadores 
de arquitetura e urbanismo e a todos os operários da construção civil de 
nosso país. Dedico, também, aos familiares e às vítimas da Covid-19 neste 
desafi ador ano de 2020.
O professor Felipe Corres Melachos 
é Doutor em Arquitetura e Urbanismo 
(2020) com dupla titulação, pela Univer-
sidade Presbiteriana Mackenzie e pela 
Università degli Studi di Ferrara (Uni-
fe). Tem mestrado (2014) e graduação 
(2011) em Arquitetura e Urbanismo pela 
Universidade Presbiteriana Mackenzie. 
Sua prática profi ssional é enriquecida 
pela docência, pesquisas acadêmicas 
e publicações no âmbito dos sistemas 
estruturais e projetos de Arquitetura e 
Urbanismo.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/9240325806927160
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 10
O autor
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A ESTRUTURA: 
CARGAS ATUANTES 
NAS ESTRUTURAS
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender o conceito de estrutura no âmbito da arquitetura;
 Conhecer e analisar os tipos e características de cargas atuantes nos 
sistemas estruturais das edificações.
 As estruturas na arquitetura
 Conceituação aplicada
à arquitetura
 Concepção formal-estrutural 
na arquitetura
 Tipologias estruturais
 Cargas atuantes nas estruturas
 Tipos de cargas
 Características das cargas
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 12
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As estruturas na arquitetura 
O tópico inicial desta unidade debruça-se sobre a essência da cadeira dos 
sistemas estruturais: o conceito de estruturas. Para melhor explorar os predi-
camentos intrínsecos ao conceito de estruturas na construção civil, este item 
foi dividido em três subtópicos: “Conceituação aplicada à arquitetura”, “Con-
cepção formal-estrutural na arquitetura” e “Tipologias estruturais”.
No primeiro subtópico, fi cam estabelecidas defi nições consagradas para o 
conceito de estruturas a partir de uma percepção holística até, fi nalmente, che-
garmos ao âmbito de nosso interesse: os sistemas estruturais na arquitetura e 
urbanismo. No segundo item (“Concepção formal-estrutural na arquitetura”), 
procede-se a uma análise sobre o surgimento da estrutura no projeto arquite-
tônico propriamente dito, sob o ponto de vista de seus elementos constituintes 
e atores envolvidos no processo.
No terceiro, por fi m (“Tipologias estruturais”), faz-se um apanha-
do dos agrupamentos de sistemas estruturais de maior dissemi-
nação na construção civil. Antes do estabelecimento 
de taxonomias estruturais arbitrárias, esse tópico é 
importante exatamente por apresentar tais tipolo-
gias estruturais, levando em conta os elementos 
construtivos responsáveis pelo encaminhamento 
de cargas e sua forma geométrica.
Conceituação aplicada à arquitetura
O conceito de estruturas está imbuído em virtualmente todas as áreas de co-
nhecimento do mundo. Uma simples consulta ao dicionário revela a multiplicidade 
de facetas que a defi nição pode assumir conforme a óptica de sua interpretação. 
O Michaelis Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa (2020), por exemplo, apresen-
ta 20 acepções para o termo “estrutura”, sendo sete delas interdisciplinares:
1. Organização e disposição das partes ou dos elementos essen-
ciais que formam um corpo.
2. Arranjo de partículas ou componentes de uma substância ou 
corpo; textura.
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3. Modo de construção de algo; formação [...]
5. Parte de algo que determina sua disposição de espaço e lhe dá 
sustentação; armação [...]
7. Organização das partes de algo de caráter genérico.
8. Parte essencial de algo (ideia, pensamento, teoria etc.) [...]
20. V esquema, acepção 1 (ESTRUTURA, 2020).
Nota-se, portanto, que essa definição inicial trata o conceito como um eixo 
de organização de um corpo e seus componentes. Mesmo nessas acepções ge-
néricas, entretanto, a lógica de estrutura como sistema de construção ou cons-
tituição já aparece no terceiro sentido apresentado. A questão da sustentação, 
certamente presente nas associações suscitadas pelo conceito de estruturas 
no senso comum, aponta na quinta acepção. 
 Dessa forma, não é de surpreender-se que as acepções específicas do 
verbete “estrutura” nos domínios da construção civil e da arquitetura agluti-
nem os conceitos de sistema organizacional dos elementos que constituem a 
sustentação das edificações: “4 CONSTR Esqueleto ou armação de uma edifi-
cação [...] 17 ARQUIT Maneira como as diversas partes de uma edificações são 
organizadas entre si”.
Nessa mesma linha de raciocínio, Almeida (2015) define estrutura como um 
arranjo de elementos conectados entre si e que resultam em um sistema em equi-
líbrio estático e dinâmico. Ao aplicarmos tal definição ao nosso redor, torna-se 
possível verificarmos que existe uma série de elementos que podem ser classifi-
cados como estruturas, como por exemplo: os navios, para os engenheiros navais, 
na Figura 1 (a); os carros, para os engenheiros mecânicos, na Figura 1 (b); o mobi-
liário, para os arquitetos e designers de interiores, na Figura 1 (c); e as edificações, 
para os arquitetos e engenheiros civis, na Figura 1 (d).
EXPLICANDO
Na física, entende-se que um corpo está em equilíbrio quando a soma de 
todas as forças que atuam sobre este corpo é nula. Um corpo está em 
equilíbrio estático quando, além de estar em equilíbrio, está parado: por 
exemplo, uma fruteira na mesa de jantar. O mesmo ocorre em relação ao 
equilíbrio dinâmico, com uma diferença que, ao invés de estar parado, 
o corpo está em equilíbrio e movimento uniforme, como um corredor de 
marcha atlética nas olimpíadas.
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Figura 1. Existem estruturas construídas em diversas áreas do conhecimento: fragatas como as da Organização do 
Tratado do Atlântico Norte (OTAN), retratadas na imagem (a), são estruturas de alta complexidade concebidas na en-
genharia naval. Ao passo que essa mesma complexidade pode estar igualmente presente em escalas menores e quase 
artesanais, como nos automóveis esportivos, a exemplo da Lamborghini Gallardo LP 560-4 (b), e na cadeira Barcelona 
(c). Na arquitetura, há edifícios que explicitam seus elementos estruturais: o Centro Empresarial das Nações Unidas 
(CENU), na capital de São Paulo, é um exemplo (d). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A
C
B
D
No âmbito da arquitetura e construção civil, a estrutura pode ser entendida 
como o agrupamento de elementos geométricos constituintes que sustentam 
uma edificação. Esses elementos geométricos constituintes, por sua vez, têm 
como função primordial o encaminhamento das cargas, que acometem a edi-
ficação rumo ao solo. 
Sabe-se que, pela força da gravidade, o encaminhamento mais direto das 
forças ao solo dá-se pela vertical. Assim, quanto mais direto manifestar-se esse 
encaminhamento de cargas, menor será o volume de elementos geométricos 
responsáveis pela sustentação da edificação.
O Palazzo Ducale, em Veneza , mostrado na Figura 2 (a), apresenta colunas 
mais esbeltas no primeiro pavimento do que no pavimento térreo, pois o enca-
minhamento vertical de forças foi diluído de três colunas no primeiro pavimen-
to para duas colunas no pavimento térreo. Nesse caso, diz-se que houve uma 
transição estrutural feita pelos arcos situados entre os dois pavimentos que 
recebem as forças das colunas do primeiro pavimento e as transferem para 
colunas mais robustas no pavimento térreo. 
Da mesma maneira, quando existem mais elementos estruturais para rea-
lizar o encaminhamento de esforços, suas dimensões tornam-se menores. O 
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Museu de Arte Contemporânea de Niterói (MAC), visto na Figura 2 (b) e proje-
tado por Oscar Niemeyer em 1991, consequentemente, exprime um pilar rela-
tivamente robusto, já que esse elemento constitui a única alternativa para as 
cargas atuantes na edificação chegarem até ao solo.
No caso do Museu de Arte de São Paulo (MASP), apresentado na Figura 2 (c) 
e projetado por Lina Bo Bardi em 1958, o vão livre de 70 metros culmina em um 
encaminhamento de forças não lineares, que, somado aos poucos apoios, tam-
bém suscita pilares robustos. No Eden Project (Figura 2-d), de Cornwall (Reino 
Unido), projetado por Nicholas Grimshaw em 2001, observa-se a utilização de 
domos geodésicos de geometria amigável ao encaminhamento das cargas por 
elementos e materiais incrivelmente leves.
ASSISTA
O processo de execução do Eden Project foi repleto de 
desafios. Ao mesmo tempo que a escolha de seu sistema 
estrutural e suas fundações foram vitais para lidar com um 
terreno muito desgastado, a instalação de todos os módu-
los estruturais só foi possível graças à sua leveza. Confira 
mais sobre este incrível projeto no vídeo The Eden Project, 
produzido por Nicholas Grimshaw, autor da obra.
Figura 2. Encaminhamento de forças e linearidade. O encaminhamento de forças linear é bastante distribuído no Palazzo 
Ducale (a), em Veneza, e produz elementos estruturais mais esbeltos, ao passo que a presença de um único apoio no MAC 
de Niterói (b) suscita um apoio relativamente robusto. Se no MASP (c), em São Paulo, o vão de 70 metros e os poucos pila-
res para receberem as cargas culminam em enormes apoios em suas laterais, a utilização de geometria otimizada e mui-
tos módulos estruturais no Eden Project culminam em apoios esbeltos (d). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A B
C D
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Diante da pluralidade de elementos geométricos passíveis de serem utili-
zados como elementos estruturais na arquitetura, é importante observar que 
seu arranjo mais usual ocorre no encaminhamento de forças por meio do sis-
tema laje – viga – pilar. Nesse sistema, o encaminhamento da carga “q” (Figura 
3) vai de lâminas horizontais (lajes) para barras horizontais (vigas), que, por sua 
vez, encaminham para barras verticais (pilares).
Antes de chegarem ao solo, tais cargas são encaminhadas para as fundações. 
A conformação geométrica e construtiva dessas fundações varia, entre outros 
aspectos, conforme a natureza do solo, ocorrência e nível de lençóis freáticos 
subjacentes e a magnitude das cargas das edifi cações. No exemplo da Figura 
3, as fundações ilustradas são as sapatas isoladas: lâminas posicionadas direta-
mente abaixo dos pilares e utilizadas como alternativas para fundações rasas.
Figura 3. Diagrama de sistema estrutural laje – viga – pilar, este constitui um dos elementos estruturais mais utilizados: 
as lâminas horizontais (lajes), barras horizontais (vigas) e barras verticais (pilares). Fonte: Fadesp, 2015, p. 13.
Viga
Viga
Pilar Pilar
Pilar
Pilar
Sapata
Sapata
Laje
Sapata
Sapata
Concepção formal-estrutural na arquitetura
Perante as variações estruturais apresentadas, é natural indagar-se acerca 
de qual seria a melhor solução estrutural; o célebre engenheiro civil Yopanan 
Rebello (2000, p. 25) responde a essa pergunta de maneira brilhante:
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Então, qual a melhor solução estrutural?
Para responder à pergunta, é necessária a formulação de uma 
outra melhor: melhor em relação a quê?
A mais fácil de construir? A mais bonita? A mais econômica?
A melhor estrutura na verdade não existe.
As múltiplas soluções estruturais expostas na Figura 2 têm, de fato, pontos 
positivos e negativos. O MASP, visto na Figura 2 (c), não é, seguramente, a estru-
tura mais barata dessa relação, mas equaciona um dos principais objetivos pro-
jetuais de sua arquiteta, Lina Bo Bardi, que é o de promover uma área de convi-
vência sob o edifício capaz de receber manifestações culturais das mais variadas 
naturezas. Se a prioridade projetual de Lina Bo Bardi fosse a questão orçamentá-
ria, haveria uma chance considerável de seu vão livre ser repartido em módulos 
estruturais menores, delimitados por pilares também menores que os originais.
O sistema laje – viga – pilar (Figura 3) para estruturas de concreto armado, 
atinge um excelente custo-benefício para vãos livres até a ordem de oito metros 
de distância, culminando em sua ampla disseminação no globo para edificações 
produzidas em massa. No caso do Eden Project, visto na Figura 2 (d), todavia, a 
presença de pilares e o pé-direito possível dentro do espectro do sistema laje 
– viga – pilar não seriam condizentes com os objetivos do projeto: a criação de 
biomas de diversas partes do globo em cada redoma com condições climáticas 
mais próximas possíveis às originais de cada um.
Existe, ainda, uma substancial confusão em nossa sociedade em relação às 
atribuições profissionais de arquitetos e urbanistas e engenheiros civis, assim 
como ocorre em relação a arquitetos e urbanistas e designers de interiores. 
Tudo isso dá-se, em partes, graças à variação das atribuições de cada um des-
ses três profissionais no globo, mas é fundamental separar os conceitos de 
criação de estruturas e dimensionamento de estruturas.
Rebello enriquece tal noção apontando a forma como a inter-relação des-
ses elementos construtivos vai além do mero encaminhamento das cargas que 
acometem a edificação rumo ao solo e culminam em espaços onde ocorrem 
as atividades, isto é, pode-se afirmar que a estrutura dá forma ao espaço, bem 
como as aspirações de forma do arquiteto moldam a estrutura idealizada em 
um processo de retroalimentação e refinamento contínuo até o encerramento 
do projeto arquitetônico. Tendo em vista que forma e estrutura são indissociá-SISTEMAS ESTRUTURAIS II 18
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veis, é possível denominar a criação das estruturas na arquitetura como um 
processo de concepção formal-estrutural. 
O célebre engenheiro espanhol Eduardo Torroja (1960) ainda estabelece 
que a intenção ou conceito do arquiteto ou engenheiro por detrás da solução 
estrutural é o que realmente molda forma e estrutura. De maneira análoga, 
pode-se inferir que a criação das estruturas não necessariamente impacta sua 
materialização, e está calcada em preceitos qualitativos diretamente relaciona-
dos à razão de ser do projeto em mãos.
O dimensionamento estrutural é capaz de ser compreendido como um 
processo que gera a forma e dimensões exatas da estrutura previamente con-
cebida. A ferramenta de cálculo utilizada para o dimensionamento, técnicas 
construtivas e materiais utilizados na materialização do sistema estrutural de-
pendem, variam e partem de sua concepção formal-estrutural. 
Caso a concepção formal-estrutural inicial não leve em consideração as pro-
priedades dos materiais mais apropriados para sua geometria, todo o trabalho 
de sua materialização deverá ser refeito, e vice-versa. O arquiteto alemão Frei 
Otto concebeu a cobertura do Estádio Olímpico de Munique, visto na Figura 4 (a), 
na Alemanha, em 1972, tendo em vista as potencialidades estáticas e geométri-
cas das membranas tensionadas que experimentava havia anos. 
Ao trabalhar com membranas tensionadas na cobertura, Otto não podia 
usar esse sistema estrutural nos pilares, como mostrado na Figura 4 (b), do 
estádio, pois o tecido das membranas encaminha os esforços de tração da co-
bertura com grande capacidade, porém sucumbe aos esforços de compressão 
de maneira quase inversamente proporcional. A tração que acomete os tiran-
tes da cobertura em membrana tensionada é tamanha que, ao chegar ao solo, 
estes necessitam ser recebidos por elementos de concreto alinhados ao cami-
nhamento de esforços da cobertura, como vistos na Figura 4 (c).
CURIOSIDADE
As explorações do arquiteto Frei Otto com o sistema 
estrutural das membranas tensionadas renderam-lhe o 
prêmio Pritzker de 2015, pouco antes de seu falecimento. 
Suas contribuições resultaram no Institute of Lightweight 
Structures and Conceptual Design (ILEK), pertencente à 
Universidade de Stuttgart (Alemanha). 
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Figura 4. Detalhe da cobertura do Estádio Olímpico de Munique. A utilização das membranas tensionadas na cobertura (a) con-
cebida por Frei Otto revela uma consonância entre a geometria e as propriedades mecânicas do material utilizado no sistema es-
trutural. Os sistemas estruturais, entretanto, demandam algumas propriedades de materiais específicas, de modo que os pilares 
que sustentam a cobertura são metálicos (b). O empuxo acometendo os tirantes da cobertura é tamanho que estes precisam 
ser recebidos no solo com afloramentos das fundações em concreto armado (c). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A
B C
O rearranjo geométrico dos materiais que compõem os elementos estrutu-
rais, contudo, deve implicar consideráveis incrementos de sua resistência e rigi-
dez. Uma simples folha de papel dificilmente poderia absorver os esforços de 
compressão oriundos de um telefone celular sem sucumbir, mas seu rearranjo 
em rolos seria capaz de absorver esforços vindos de cargas muito maiores, exem-
plificado na Figura 5 (a). O arquiteto japonês Shigeru Ban levou esse conceito ao 
extremo, “engenheirando” materiais derivados do papelão ao longo de mais de 
30 anos de experimentação e produzindo estruturas e espaços incríveis deriva-
dos desse composto: como a Catedral de Papelão em Christchurch, Nova Zelân-
dia, exibida na Figura 5 (b).
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 20
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Figura 5. Estruturas derivadas do papel. O rearranjo geométrico consegue transformar materiais aparentemente frá-
geis em estruturas resistentes, como os depósitos industriais de papel (a) e até em obras de arquitetura consagradas, 
como a Catedral de Papelão (b), projetada pelo arquiteto Shigeru Ban (2012) na cidade de Christchurch, Nova Zelândia. 
Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A
B
Arquitetos e engenheiros conseguem criar estruturas indissociáveis, além 
de revestir essa ossatura em invólucros meramente superficiais, de acor-
do com suas premissas projetuais. O engenheiro uruguaio Eladio Dieste, por 
exemplo, projetou e construiu a Igreja de Cristo Obrero entre 1956 e 1958 no 
balneário de Atlántida (Uruguai). Nesse projeto, as ondulações das cobertura e 
laterais, exibidas nas Figuras 6 (a) e (b), são essenciais para conter os esforços 
de flambagem e compressão, respectivamente, sem a presença de pilares para 
obstruir a fruição do espaço religioso proposto. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 21
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 No caso do Museu Guggenheim de Bilbao, projetado por Frank Gehry em 1992, 
a estrutura interna do edifício, mostrada na Figura 6 (c) nem sempre 
segue a pele exterior de titânio, como visto na Figura 6 (d). Como o 
invólucro desse edifício nem sempre segue sua estrutura 
interna, a estruturação dessa pele demandou a execu-
ção de um sistema estrutural metálico dedicado à 
sustentação. Seu projeto e construção exigiram um 
software de última geração, bem como esforços de 
produção e logística hercúleos para sua viabilização.
Figura 6. Estruturas indissociadas e dissociadas da forma. As ondulações da cobertura (a) e laterais (b) da Igreja de Cris-
to Obrero, projetada e construída por Eladio Dieste entre 1956 e 1958, compreendem um exemplo claro de concepção 
formal-estrutural indissociada. O Museu Guggenheim de Bilbao (c), projetado por Frank Gehry em 1992, apresenta uma 
pele de titânio que transcende a forma gerada por sua ossatura original, gerando a necessidade da concepção de uma 
estrutura auxiliar para sua sustentação (d). Fonte: (a-b): Adobestock; (c-d): Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A B
C D
Tipologias estruturais
Existem diversos sistemas de classifi cação dos sistemas estruturais. Antes 
de tudo, é importante estabelecer que, ao referirem-se ao termo “tipologias 
estruturais”, estes escritos remetem aos arranjos de elementos geométricos, 
no qual o comportamento estático já é consagrado e testado em larga escala.
OBJETOS DE 
APRENDIZAGEM
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II 22
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O engenheiro Yopanan Rebello, nos livros A concepção estrutural e a ar-
quitetura (2000) e Bases para projetos estruturais (2007), parte de tipologias e 
elementos estruturais básicos, conhecidos como pilares, vigas, lajes, cabos e 
arcos. Essas tipologias elementares depois são associadas entre si para gerar 
estruturas de maior complexidade.
Arcos romanos sobrepostos e ladeados, por exemplo, deram vazão aos 
seus famosos aquedutos, como o de Segóvia, na Espanha, visto na Figura 7 (a). 
A associação concêntrica de arcos romanos sobrepostos e ladeados, por sua 
vez, resultou em famosas arenas esportivas, como de El Jem, na Tunísia, mos-
trada na Figura 7 (b). Se múltiplos arcos maiores forem rotacionados em torno 
de seus eixos centrais, no entanto, o resultado serão cúpulas grandiosas, como 
o Panteão de Roma, exposto na Figura 7 (c).
Tais associações de arcos na forma de cúpulas foram bastante utilizadas na 
arquitetura moderna nacional. Exemplos de sua aplicação incluem a Oca do 
Parque do Ibirapuera, em São Paulo, projeto de Oscar Niemeyer em 1951, visto 
na Figura 8 (a); o Auditório Celso Furtado, do Pavilhão de Convenções do Parque 
Anhembi, também em São Paulo, projetado pelo arquiteto Jorge Wilheim e pelo 
engenheiro Mario Franco entre os anos 1960 e 1970, mostrado na Figura 8 (b).
Figura 7. Associações estruturais resultantes dos arcos. Os arcos são a matriz geométrica de muitas tipologias estruturaisimportantes na história da arquitetura. Sua disposição lado a lado e sobreposição linear deram vazão aos aquedutos ro-
manos, como este de Segóvia, na Espanha (a). A disposição concêntrica e sobreposição desses arcos geraram os coliseus 
e arenas romanas, como a de El Jem, na Tunísia (b). Por fim, a rotação de múltiplos arcos de maior escala motivou cúpulas 
romanas de espacialidade impactante, como o Panteão de Roma (c). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A B
C
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Figura 8. Cúpulas na arquitetura moderna brasileira. Cúpula do Pavilhão Nogueira Garcez, também conhecido como Oca, 
projeto de Oscar Niemeyer, em São Paulo (a); Cúpula corrugada do Auditório Celso Furtado, no Parque Anhembi, também 
em São Paulo, projeto do arquiteto Jorge Wilheim e do engenheiro Mario Franco (b). A base das cúpulas necessita absor-
ver muito empuxo derivado dos arcos que compõem sua superfície, de modo que hoje são utilizados robustos anéis de 
compressão. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A B
Além de partir de tipologias elementares para definir tipologias estruturais 
mais complexas, Rebello (2000, 2007) utilizava-se dos materiais concreto arma-
do, madeira e aço para classificar sua tipologias estruturais. Heino Engel (2003), 
outro importante autor desta disciplina, contudo, classifica as estruturas em seu 
seminal livro Sistemas estruturais de acordo com o elemento responsável pelo en-
caminhamento de esforços até o solo; por exemplo, estruturas constituídas por 
arcos, como os aquedutos e arenas romanas das Figuras 7 (a) e 7 (b), denominadas 
por Engel como tipologias de forma ativa. O mesmo pode ser dito para estruturas 
estaiadas e pênseis, compostas sobretudo pela forma de seus cabos constituintes. 
As cascas do Panteão, na Figura 7 (c), da Oca, na Figura 8 (a) e do Auditório 
do Parque Anhembi, na Figura 8 (b) são classificadas como tipologias de super-
fície ativa. Nessas tipologias estruturais, a carga encaminha-se das leves cristas 
de suas cúpulas até os seus robustos embasamentos, responsáveis pela absor-
ção do empuxo pela sua superfície. As membranas tensionadas de Frei Otto 
no Estádio Olímpico de Munique (Figura 4) também podem ser consideradas 
como estruturas de superfície ativa por encaminharem os esforços de tração 
pela densa trama de cabos que constituem sua membrana de cobertura. 
Estruturas treliçadas, no caso da cobertura do Estádio de Baseball de Seatt-
le Safeco Field (Figura 9) são classificadas por Engel (2003) como tipologias de 
vetor ativo, pois seu encaminhamento de esforços ocorre por “decomposição 
vetorial, ou seja, através de uma subdivisão em forças unidirecionais (de com-
pressão e tração)” (p. 41, tradução nossa).
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Figura 9. Estruturas de vetor ativo. As estruturas treliçadas enquadram-se na tipologia de Engel como vetores ativos; 
a transmissão de cargas ocorre mediante a decomposição de vetores das diagonais das treliças. As estruturas treli-
çadas atingem vãos consideráveis, e a complexidade de suas articulações permite inclusive a execução de coberturas 
retráteis, como a do Estádio Safeco Field acima, projeto de NBBJ e 360 Architects, em 1996, em Seattle (EUA). Fonte: 
Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
Figura 10. Estruturas de seções ativas. Os pórticos do MAM, do Rio de Janeiro, constituem um dos exemplos mais 
notáveis de estruturas de seção ativa do planeta. A inclinação de seus apoios laterais e suas lajes internas atirantadas 
estabelecem elementos de alta qualidade de concepção formal-estrutural. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
Seguindo esse raciocínio, é natural concluir que as estruturas conformadas pelo 
sistema laje – viga – pilar sejam classificadas como tipologias de seção ativa, pois a 
essência do encaminhamento de esforços nessas estruturas dá-se pelas dimen-
sões nominais das seções dos pilares, vigas e lajes, isto é, quanto maior a seção 
do pilar, maior será o vão que sua área de influência poderá suportar. Os sistemas 
estruturais em pórtico também são classificados como pertencentes às seções ati-
vas, mas a natureza de suas vinculações possibilita vãos maiores que o sistema 
laje – viga – pilar, como pode ser observado no Museu de Arte Moderna do Rio de 
Janeiro (MAM-RJ) (Figura 10), projeto do arquiteto Affonso Eduardo Reidy em 1953.
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 25
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Por fim, edifícios altos classificam-se como estruturas de altura ativa, 
pois seu encaminhamento de esforços é ideali-
zado para suportar ventos e cargas de muitos 
andares sobrepostos por meio de sua altura. 
A projetação de estruturas de altura ativa é um 
desafio também no âmbito das fundações, e impõe a 
necessidade de monitoramento via satélite das mo-
vimentações dos edifícios graças ao vento em casos 
mais extremos.
Cargas atuantes nas estruturas
O segundo tópico desta unidade aborda alguns dos principais elementos 
qualitativos necessários à avaliação das ideações de concepção formal-estru-
tural geradas ao longo do processo de projeto: as cargas. Para melhor abordar 
tais conceitos, esta parte foi dividida em dois subtópicos: “Tipos de cargas” e 
“Características das cargas”.
No primeiro item, “Tipos de cargas”, tal qual explicita seu título, são delinea-
dos os tipos de carga que podem acometer os sistemas estruturais na arqui-
tetura e urbanismo. No segundo subtópico, “Características das cargas”, fi cam 
estabelecidas as propriedades de cada segmento taxonômico de cargas, bem 
como sua inter-relação com as vinculações, materialidade e geometria do siste-
ma estrutural em questão. 
Tipos de cargas
O conceito de carga nas estruturas é normatizado em território nacional 
pela defi nição presente na NBR 6120:2019 versão corrigida: 2019 – ações para 
o cálculo de estruturas de edifi cações. Nessa norma técnica, o conceito de car-
ga é defi nido como “ação externa em virtude da gravidade” (ABNT, 2019, p. 4). 
A essas ações, também é possível dar o nome de forças, de modo a sincronizar 
essa defi nição com a linha de raciocínio destes escritos: de que as estruturas 
podem, por certo, ser entendidas como veículos de encaminhamento de forças 
atuantes nas construções.
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II 26
SER_ARQURB_SEII_UNID1.indd 26 24/11/2020 10:44:52
DICA
As normas técnicas estão em constante revisão e atuali-
zação, portanto, é preciso estar atento para não embasar 
seu trabalho em documentos defasados. Uma boa prática 
de verificar se alguma norma está vigente ou não é por 
meio do catálogo da própria ABNT.
A NBR 6120:2019 versão corrigida: 2019 delineia, classifica e define as car-
gas atuantes nas estruturas, mas é fundamental mencionar a NBR 6123:1988 
versão corrigida 2:2013 – forças devido ao vento em edificações –, que des-
creve e especifica as particularidades 
das forças derivadas dos ventos nas 
construções. 
 A NBR 6120:2019 versão corrigida: 
2019 define essencialmente as cargas 
das edificações como permanentes 
ou variáveis. Como é possível deduzir, 
as cargas permanentes acometem a 
edificação ao longo de toda a sua vida 
útil, ao passo que as cargas variáveis 
ocorrem apenas ocasionalmente. No-
ta-se que a literatura correlata, como 
no caso de Rebello (2000, 2007), men-
ciona cargas variáveis costumeiramente como carga acidentais.
Entre as cargas permanentes, figuram-se:
1 - Peso próprio da estrutura;
2 - Peso específico dos materiais de construção; 
3 - Peso dos componentes construtivos.
O primeiro item (peso próprio da estrutura) consegue ser calculado utili-
zando as dimensões nominais de cada elemento estrutural, bem como o peso 
específico do material usado em sua execução. No item seguinte (peso espe-
cífico dos materiais de construção), diz respeito majoritariamente ao peso dosrevestimentos em geral e também é calculado mediante o peso específico apa-
rente de cada material conforme a tabulação na NBR 6120:2019 versão corrigi-
da: 2019 (Tabela 1).
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Material Peso específi co aparente (γap)
Blocos artifi ciais 
e pisos
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136) 14
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1) 12
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1) 14
Blocos cerâmicos maciços 18
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438) 5.5
Blocos de vidro 9
Blocos sílico-calcáreos 20
Lajotas cerâmicas 18
Porcelanato 23
Terracota 21
TABELA 1 – PESOS ESPECÍFICOS DOS BLOCOS ARTIFICIAIS 
E PISOS CONFORME A ABNT NBR 6120:2019 VERSÃO CORRIGIDA: 2019.
Blocos artifi ciais 
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
Blocos artifi ciais 
e pisos
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
Blocos artifi ciais 
e pisos
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
Blocos artifi ciais 
e pisos
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos de concreto celular autoclavado
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos maciços
Blocos de concreto celular autoclavado
Blocos de concreto vazados
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos maciços
Blocos de concreto celular autoclavado
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos maciços
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438)
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos maciços
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438)
(função estrutural, classes A e B, NBR 6136)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos maciços
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438)
Blocos cerâmicos vazados com paredes vazadas
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos maciços
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438)
Blocos de vidro
Blocos sílico-calcáreos
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
(função estrutural, NBR 15270-1)
Blocos cerâmicos maciços
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438)
Blocos de vidro
Blocos sílico-calcáreos
Blocos cerâmicos vazados com paredes maciças
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438)
Blocos de vidro
Blocos sílico-calcáreos
Blocos de concreto celular autoclavado
(Classe C25 – NBR 13438)
Blocos de vidro
Blocos sílico-calcáreos
Lajotas cerâmicas
14
Blocos de concreto celular autoclavado
Blocos sílico-calcáreos
Lajotas cerâmicas
12
Blocos sílico-calcáreos
Lajotas cerâmicas
Porcelanato
Blocos sílico-calcáreos
Lajotas cerâmicas
Porcelanato
14
Lajotas cerâmicas
Porcelanato
TerracotaTerracota
18
Terracota
5.55.5
9
20
18
23
Fonte: ABNT, 2019, p. 15. (Adaptado).
A NBR 6120:2019 versão corrigida:2019 estipula uma série de pesos específi -
cos para os mais diversos materiais e componentes construtivos. Para os mate-
riais omissos nas extensas relações de dados dessa normativa, recomenda-se 
a consulta das tabelas originais da norma como norte, e a verifi cação de dados 
com o próprio fabricante do material, bem como normativas estrangeiras indi-
cadas no próprio texto da norma. 
No que tange ao terceiro item (peso próprio dos componentes constru-
tivos), a NBR 6120:2019 versão corrigida:2019 designa que são aferidos os 
pesos de alvenarias (peso da espessura do revestimento por face em kN/
m2); divisórias e caixilhos (kN/m2); revestimentos de pisos e impermeabiliza-
ções (kN/m2); telhas (peso na superfície inclinada em kN/m2); telhados (peso 
na superfície horizontal em kN/m2); enchimentos (peso específi co aparente 
γap em kN/m3); forros, dutos e sprinkler (kN/m2); tubos de aço cheios d’água 
(N/m). A norma menciona a possibilidade de cargas permanentes derivadas 
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de materiais e armazenagem e empuxos e pressões hidrossanitários, mas 
não tabula seus valores como nos casos anteriores, fazendo sugestões para 
sua contemplação na forma de normativas estrangeiras e outras normati-
vas nacionais correlatas.
Em relação às cargas variáveis, a NBR 6120:2019 versão corrigida:2019 as 
separa como: cargas decorrentes do uso da edificação; forças horizontais va-
riáveis; cargas variáveis em coberturas; ações de construção; ações de veículos; 
helipontos; cargas em fábricas e armazéns; cargas diversas, como neve e gra-
nizo. Não obstante, a carga da chuva já é considerada como carga permanente 
e incluída nos pesos específicos médios dos materiais de construção e com-
ponentes construtivos. Por fim, é importante ressaltar que a NBR 6123:1988 
versão corrigida 2:2013 delineia e especifica as particularidades das forças de-
rivadas dos ventos nas construções como cargas variáveis.
A previsão média da ocupação das construções é uma tarefa tanto quanto 
traiçoeira quando verificamos a maneira pela qual a ausência de terrenos va-
gos nas centralidades das grandes cidade implica o reaproveitamento de edifi-
cações existentes e sua conversão a usos muitas vezes distintos do original: o 
chamado retrofit das edificações.
EXEMPLIFICANDO
Um exemplo marcante do conceito de retrofit de edifica-
ções em solo nacional é o Hotel Jaraguá. Inaugurado em 
1954 como um dos hotéis mais luxuosos da cidade para 
as festividades do IV Centenário, esse edifício já abrigou 
diversos usos. Seus sistemas estruturais sofreram grandes 
alterações no retrofit conduzido por Miguel Juliano em 2004, 
quando pilares foram retirados para fazer uma rua interna 
em seu pavimento térreo; o processo foi retratado em sua 
dissertação de mestrado “Jaraguá: um retrofit” (2006).
A NBR 6120:2019 versão corrigida:2019 também estipula valores de cargas 
acidentais para diversos elementos associados a vários usos, tabulados em 
extensas listagens. A Tabela 2 ilustra, de maneira simplificada, os valores da 
normativa referentes ao uso residencial. Recomenda-sea todos os acadêmicos 
de arquitetura que façam uso constante das informações da tabela que deu 
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origem a essa compilação ilustrativa: a “Tabela 10 – Valores característicos no-
minais das cargas variáveis”, localizada nas páginas 17 a 27 da NBR 6120:2019 
versão corrigida:2019.
Local Carga uniformemente distribuida (kN/m2)
Edifícios
Residenciais
Dormitórios 1,5
Sala, copa, cozinha 1,5
Sanitários 1,5
Despensa, área de serviço e lavanderia 2
Quadras esportivas 5
Salão de festas, salão de jogos 3
Áreas de uso comum 3
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
toque de materiais 0,1
Sótão 2
Corredores dentro de unidades autônomas 2,5
Corredores de uso comum 3
Depósitos 3
TABELA 2. VALORES CARACTERÍSTICOS NOMINAIS DE CARGAS VARIÁVEIS PARA 
EDIFÍCIOS RESIDENCIAIS CONFORME A NBR 6120:2019 VERSÃO CORRIGIDA: 2019
Edifícios
Residenciais
Edifícios
ResidenciaisResidenciais
Dormitórios 
Sala, copa, cozinha
Despensa, área de serviço e lavanderia
Dormitórios 
Sala, copa, cozinha
Despensa, área de serviço e lavanderia
Dormitórios 
Sala, copa, cozinha
Sanitários
Despensa, área de serviço e lavanderia
Sala, copa, cozinha
Sanitários
Despensa, área de serviço e lavanderia
Quadras esportivas
Salão de festas, salão de jogos
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
Sala, copa, cozinha
Sanitários
Despensa, área de serviço e lavanderia
Quadras esportivas
Salão de festas, salão de jogos
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
Despensa, área de serviço e lavanderia
Quadras esportivas
Salão de festas, salão de jogos
Áreas de uso comum
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
Despensa, área de serviço e lavanderia
Quadras esportivas
Salão de festas, salão de jogos
Áreas de uso comum
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
Corredores dentro de unidades autônomas
Despensa, área de serviço e lavanderia
Quadras esportivas
Salão de festas, salão de jogos
Áreas de uso comum
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
toque de materiais
Corredores dentro de unidades autônomas
Despensa, área de serviço e lavanderia
Salão de festas, salão de jogos
Áreas de uso comum
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
toque de materiais
Corredores dentro de unidades autônomas
Salão de festas, salão de jogos
Áreas de uso comum
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
toque de materiais
Sótão
Corredores dentro de unidades autônomas
Corredores de uso comum
1,5
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
toque de materiais
Sótão
Corredores dentro de unidades autônomas
Corredores de uso comum
1,5
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
Corredores dentro de unidades autônomas
Corredores de uso comum
Depósitos
1,5
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
Corredores dentro de unidades autônomas
Corredores de uso comum
Depósitos
2
Forros acessíveis para manutenção e sem es-
Corredores dentro de unidades autônomas
Corredores de uso comum
Depósitos
5
Corredores dentro de unidades autônomas
Corredores de uso comum
3
Corredores dentro de unidades autônomas
3
0,1
2,5
Fonte: ABNT, 2019, p. 15. (Adaptado).
A NBR 6120:2019 versão corrigida:2019 estipula cargas distribuídas e con-
centradas para variados componentes dos mais diversos usos das edifi cações. 
Alguns usos mais específi cos demandam a consulta de notas técnicas e tabelas 
adicionais para sua aferição adequada.
Características das cargas
Algo importante a considerar-se nessa análise é que existem várias manei-
ras para classifi car as cargas na construção civil, mas independentemente do 
viés taxonômico adotado, há certas características que precisam ser levadas 
em conta em sua análise. Talvez uma dessas principais características faça refe-
rência ao conceito de distribuição de carga nos componentes estruturais, uma 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 30
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característica diretamente relacionada à geometria desses componentes. As 
cargas atuantes nas estruturas, assim, podem ter o atributo de serem distri-
buídas sobre uma superfície, disseminadas sobre uma linha ou eixo, ou serem 
cargas concentradas ou pontuais.
Tal como é possível verificar na Figura 11 (a), as cargas distribuídas normal-
mente são representadas na literatura por setas distribuídas ao longo da su-
perfície acometida pelas cargas. Cargas com essas características são referidas 
também como cargas superficiais e, entre os exemplos mais comuns de cargas 
distribuídas, configuram-se o peso próprio de uma laje e o peso dos revesti-
mentos dos pisos dos ambiente, como na Figura 11 (b).
Figura 11. Exemplos de cargas distribuídas sobre superfícies. Representação gráfica usual de cargas distribuídas sobre 
superfícies (a). Revestimento de piso e seus materiais construtivos correspondentes também são considerados cargas 
distribuídas sobre uma superfície (b). Fonte: (b): Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
A
B
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 31
SER_ARQURB_SEII_UNID1.indd 31 24/11/2020 10:44:55
As cargas distribuídas sobre um eixo são usualmente representadas por setas 
alinhadas de modo unifilar no eixo de interesse , como visto na Figura 12 (a), sendo 
também denominadas como cargas lineares. Entre as carga lineares mais usuais, há 
o peso próprio de vigas, de parede e vedações sobre vigas e lajes, exemplificado na 
Figura 12 (b) e estantes de livros.
Figura 12. Exemplos de cargas distribuídas sobre eixos. Representação gráfica usual de cargas distribuídas sobre eixos 
(a). Vigas de concreto pré-moldado são um exemplo de carga linear, de modo que seu içamento e locação dependem 
da fixação dos equipamentos no eixo central da peça (b). Fonte: (b): Shutterstock. Acesso em: 17/08/2020.
Por fim, as cargas também são capazes de apresentar características de se-
rem concentradas em determinados pontos da geometria acometida. Tais cargas 
são normalmente representadas com uma única seta no ponto em que a carga 
BA
Figura 13. Exemplos de cargas concentradas. Representação gráfica usual de cargas pontuais (a). Exemplos de vigas apoia-
das em vigas como cargas pontuais e vigas apoiadas em pilares (b). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/09/2020.
A B
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 32
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está solicitando a peça, como na Figura 13 (a). Dentre os exemplos mais usuais de 
cargas com essa característica, estão pilares aterrissando em vigas, como os da 
Figura 13 (b), vigas apoiadas sobre outras vigas, luminárias, vasilhames ou equipa-
mentos particulares ao uso da edificação como bigornas e ferramentas em geral. 
As cargas nas edificações ainda podem ter diferentes características quanto 
à sua posição, sendo consideradas fixas, como na maior parte dos casos dos 
elementos estruturais, materiais de construção e componentes construtivos 
ou móveis. As cargas móveis são aquelas que mudam de posição na edificação, 
como no caso de automóveis no estacionamento ou os pêndulos de estabiliza-
ção utilizados em estruturas de altura ativa, suscetíveis a ventos e vibrações. Tais 
pêndulos são chamados amortecedores de massa sintonizado (AMS) (Figura 14).
As cargas das edificações ainda conseguem incorporar diferentes caracte-
rísticas em relação à sua variação no tempo. O peso próprio das estruturas é 
uma carga considerada estática, exatamente por não variar ao longo do tempo. 
As cargas dos ventos, por exemplo, por apresentarem ação variada ao longo da 
vida útil do edifício, são consideradas cargas dinâmicas. No entanto, tal como 
apontado por Almeida (2015), ressalte-se que algumas das cargas dinâmicas 
podem ser calculadas como estáticas de modo a simplificar seu cálculo estru-
tural e, assim, adquirem a característica de serem cargas pseudoestáticas.
Figura 14. Edifício Taipei 101. Tomada geral do edifício Taipei 101, projetado pelos arquitetos C. Y. Lee e C. P. Wang, 
em Taipei, Taiwan, em 1999 (a). Pênduloque estabiliza as ações dos ventos na estrutura (b): trata-se do segundo maior 
pêndulo passivo do mundo. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 17/09/2020.
A
B
Em conclusão, pelo fato de as cargas serem efetivamente forças, é ne-
cessário ter, em mente, que todas as cargas atuantes nas estruturas terão 
direção, sentido, intensidade e pontos de aplicação. O conceito de direção 
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e sentido está introduzido em nosso vocabulário cotidiano com conotações 
diferentes daquelas da física. 
Ambas as forças (azul e vermelha) na Figura 15 têm a mesma dire-
ção, sentidos opostos e intensidades diferentes. As forças, contu-
do, estão aplicadas em pontos diferentes em cada um 
dos casos. Todos as cargas permanentes e variáveis 
que atingem os edifícios têm direção, sentido, in-
tensidade e pontos de aplicação que precisam ser 
considerados na concepção formal-estrutural e di-
mensionamento final de suas dimensões nominais.
Figura 15. Propriedades das forças. Exemplos de direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação. Fonte: Almeida, 
2015, p. 21. (Adaptado).
3 N
8 N
OBJETOS DE 
APRENDIZAGEM
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Sintetizando
Esta unidade foi dividida em dois grandes tópicos: “As estruturas na arqui-
tetura” e “Cargas atuantes nas estruturas”. No primeiro tópico, abordou-se a 
essência da cadeira dos sistemas estruturais: o conceito de estrutura aplica-
do à arquitetura. Nesse primeiro tópico, também falamos sobre o processo 
de gerar estruturas dentro do projeto arquitetônico, bem como as formas e 
combinações geométricas mais usuais assumidas pelos sistemas estruturais. O 
segundo tópico versou especificamente sobre os tipos de cargas atuantes nos 
sistemas estruturais e as propriedades e características dessas cargas. 
O item “As estruturas na arquitetura” foi subdividido em três subtópicos: “Con-
ceituação aplicada à arquitetura”, “Concepção formal-estrutural na arquitetura” e 
“Tipologias estruturais”. No primeiro, fica estabelecido o conceito de estruturas 
aplicado à arquitetura mantendo algumas semelhanças com sua acepção genéri-
ca e constituindo um agrupamento de elementos geométricos responsáveis pela 
sustentação de uma edificação por meio da manutenção de seu equilíbrio. 
Da mesma maneira, ressalte-se que as estruturas nas construções po-
dem ser encaradas como mecanismos de encaminhamento de cargas ao solo. 
Quanto mais direto for o encaminhamento e mais opções de chegada ao solo, 
menores serão as dimensões nominais de seus elementos constituintes. 
No próximo subtópico – “Concepção formal-estrutural na arquitetura” –, 
discutiu-se que não há uma solução estrutural ideal para um projeto arqui-
tetônico, pois cada solução responde bem a alguns aspectos e não tão bem 
a outros. Presume-se, portanto, que o ideal é hierarquizar os elementos ar-
quitetônicos a serem priorizados na solução projetual resultante, para, assim, 
encontrar o sistema construtivo que melhor atende a tais prerrogativas. 
Depois, houve um questionamento quanto à diferença que existe entre a con-
cepção da estrutura e o seu cálculo; e que sua criação não implica sua materializa-
ção. Criar uma estrutura é, dessa forma, muito mais que criar meios de sustenta-
ção para uma construção, ou seja, é desenvolver formas e espaços. A criação das 
estruturas na arquitetura, logo, foi chamada de concepção formal-estrutural. 
As concepções formais-estruturais de arquitetos e engenheiros mundo afo-
ra são dependentes dos materiais utilizados e de seu arranjo geométrico. Tal 
argumento parte do princípio de que alterações na forma de materiais aparen-
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temente leves podem produzir estruturas surpreendentemente rígidas. Verifi-
cou-se ainda que há obras arquitetônicas em que os sistemas estruturais são 
amplamente evidenciados e indissociados dos espaços resultantes finais; ao 
passo que existem outras obras arquitetônicas icônicas em que a estrutura 
está ocultada por elementos estéticos de fachada ou decoração de interiores. 
Finalmente, no item “Tipologias estruturais”, foram apresentadas diversas 
estratégias de classificação de sistemas estruturais em tipologias estruturais; 
a definição ficou estabelecida como arranjos geométricos no qual o comporta-
mento estático é atestado e disseminado. Nessa etapa da unidade, apresen-
tou-se a maneira como os célebres engenheiros e autores Yopanan Rebello 
(2000, 2007) e Heino Engel (2003) classificam as tipologias estruturais. 
Yopanan Rebello optou por organizar as estruturas a partir de suas tipolo-
gias elementares e derivar estruturas mais complexas conforme associações 
entre si. A tipologia dos arcos, por exemplo, ao ser rotacionada em seu eixo 
central em diversas unidades, dá origem à tipologia das cúpulas. 
Heino Engel ordenou as tipologias estruturais em função de sua natureza de 
encaminhamento de esforços. Ficaram situadas, pois, as tipologias estruturais das 
formas ativas, seções ativas, vetores ativos, superfícies ativas e alturas ativas. Nes-
sas tipologias, forma, seções, vetores, superfícies e altura são os protagonistas no 
encaminhamento das cargas que acometem suas estruturas até o solo. 
O tópico “Cargas atuantes nas estruturas” foi dividido em dois subtópicos: 
“Tipos de cargas” e “Características das cargas”. No primeiro item, as cargas 
atuantes nas edificações foram classificadas conforme a NBR 6120:2019 ver-
são corrigida: 2019 –ações para o cálculo de estruturas de edificações. 
Nessa normativa, as cargas são essencialmente discriminadas como cargas 
permanentes ou variáveis. 
Como é possível deduzir pelos respectivos nomes, as cargas permanentes 
são constantes; ao passo que as cargas variáveis ou acidentais oscilam durante 
a vida útil da edificação. Dentre as cargas permanentes, estão incluídos o peso 
próprio das estruturas, o peso específico dos materiais de construção e o peso 
dos componentes construtivos. Esses valores são tabulados e devem ser con-
sultados no processo de concepção-formal de estruturas na arquitetura. 
As cargas variáveis são mais difíceis de prever por conta da crescente im-
previsibilidade no uso dos edifícios atualmente. Da mesma maneira que ocorre 
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com as cargas permanentes, as normas incluem tabulações para os valores dos 
elementos variáveis correspondentes a muitos usos arquitetônicos. 
Certas cargas classificadas como variáveis – o vento, por exemplo – exigem 
a consulta de normativas adicionais, como a NBR 6123:1988 versão corrigida 
2:2013 – forças devido ao vento em edificações. Em outros itens específicos, 
como cargas derivadas de armazenamento e tanques, é possível demandar a 
consulta de normativas técnicas estrangeiras indicadas nas normas nacionais. 
Finalmente, o item “Características das cargas” estabelece propriedades 
passíveis de serem incorporadas por ambas – cargas permanentes e variáveis. 
Nesse momento, abordou-se a distribuição geométricas das cargas, entre cargas 
distribuídas em superfícies (como o peso das lajes) e distribuídas lineares (como 
o peso das vigas), assim como cargas pontuais (como pilares apoiados em vigas).
Também foi apresentada a possibilidade de as cargas serem fixas (como os 
pilares das construções) ou móveis (como automóveis em estacionamentos). O 
subtópico encerrou-se apresentando a probabilidade de as cargas serem está-
ticas (como o peso próprio da estrutura da construção), isto é, sem variação ao 
longo do tempo, ou dinâmicas, como o vento. 
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CONCEPÇÃO E 
FUNDAMENTAÇÃO 
– ESTRUTURAS EM 
PÓRTICO E CASCAS
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender a concepção e fundamentação de estruturas em pórtico;
 Compreender a concepção e fundamentação de estruturas em arco.;
 Estruturas em pórtico
 Concepção e fundamentação
 Materiais e pré-dimensionamento
 Estruturas em arco
 Concepção e fundamentação
 Materiais e pré-dimensionamento
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Estruturas em pórtico
Inicialmente, esta unidade se debruça sobre os parâmetros necessários 
para a projetação e geometrização das estruturas em pórtico. Esta se tra-
ta de uma tipologia estrutural presente em obras icônicas da arquitetura 
moderna brasileira, como o Museu de Arte Moderna do Rio de Janeiro, pro-
jetado pelo arquiteto Aff onso Eduardo Reidy, em 1952, porém de dissemi-
nação cada vez mais rarefeita na construção civil contemporânea. Isto se 
dá, majoritariamente, em função da natureza das vinculações entre seus 
componentes estruturais. 
Também é importante ressaltar que a nomenclatura desta tipologia 
ocasionalmente acaba sendo usada de forma errada, como para descrever 
estruturas convencionais em pilar–viga–laje. Assim, este tópico visa tanto 
retifi car certos vícios de interpretação estrutural, quanto demonstrar as po-
tencialidades de sua aplicação na construção civil dos dias de hoje.
Desta maneira, no que diz respeito à sua concepção e fundamentação, 
fi cam estabelecidas as prerrogativas conceituais acerca do equilíbrio estáti-
co, além de propriedades geométricas das estruturas em pórtico. 
Já em relação a materiais e pré-dimensionamento, são lançadas possi-
bilidades de materialidades para esta tipologia estrutural, além de serem 
discriminadas estratégias para seu pré-dimensionamento a nível de estudo 
preliminar e anteprojeto. Esta seção, tem como objetivo, ensinar estudantes 
de arquitetura e jovens profi ssionais com estratégias consolidadas de deter-
minação da geometria dos componentes estruturais e, assim, dinamizar e 
dar mais confi ança a suas investidas projetuais iniciais. 
Concepção e fundamentação
As estruturas em pórtico são derivadas do arranjo de barras verticais e 
horizontais, denominadas pilares e vigas, respectivamente, em uma geo-
metria em formato de trave de gol, conhecidas na construção civil como ar-
quitraves. Entretanto, a natureza da vinculação entre estes pilares e vigas 
diferencia estas geometrias do sistema estrutural convencional de pilar-vi-
ga-laje (Figura 1a) das estruturas em pórtico (Figura 1b).
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EXPLICANDO
De acordo com o Dicionário Brasileiro de Arquitetura de Eduardo Corona e 
Carlos Lemos, o termo “arquitrave” pode ser definido como uma “[...] viga 
[...] que se apoia, em suas extremidades, em colunas ou pilares. Carac-
teriza o sistema arquitravado de envasaduras cujas vergas são planas e 
horizontais” (1972, p. 54-55). Portanto, é relativamente comum encontrar 
o termo “arquitravado” como sinônimo de uma estrutura em pórtico. 
Também é importante ressaltar que Corona e Lemos se utilizam do termo 
“envasadura” para alcunhar o vão resultante da arquitrave, isto é: o vão 
entre os pilares e a viga. 
É importante ressaltar que as vigas biapoiadas (a) e os pórticos (b) derivam 
da arquitrave, variando justamente na vinculação entre pilares e vigas. Assim, 
mediante cargas equivalentes (q), as deformações e volume dos componentes 
estruturais presentes variam em cada um destes sistemas estruturais.
Figura 1. Exemplos de viga biapoiada e pórtico. (Adaptado).
Pilares e vigas contendo vinculações articuladas, isto é, com possibilidade 
de giro, constituem estruturas denominadas vigas biapoiadas. Já vigas conecta-
das aos pilares de maneira rígida, isto é, sem permitir a ocorrência de giro, cons-
tituem estruturas em pórtico. Assim sendo, Yopanan Rebello define o pórtico 
como “toda estatura em que a ligação entre vigas e pilares é rígida” (2000, p. 169).
A Figura 1 indica que, para cargas equivalentes q, a deformação a > b. Isto 
significa que a rigidez dos vínculos em pórticos faz com que a deformação em 
vigas biapoiadas resultante da carga q, simbolizada na Figura 1a como a, seja 
maior que a mesma deformação em estruturas em pórtico, simbolizada na Fi-
gura 1b como b. 
q q
Viga biapoiada Pórtico
a b
A B
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EXEMPLIFICANDO
Vinculações articuladas são aquelas que permitem o giro e podem adquirir 
duas conformações: os apoios articulados moveis e os apoios articula-
dos fixos. Estruturas de vigas biapoiadas como o MUBE, projeto de Paulo 
Mendes da Rocha de 1987, possuem apoios articulados fixos em um lado e 
moveis no outro. Apoios articulados moveis travam apenas a movimentação 
vertical, permitindo o translado na horizontal. Já apoios articulados travam a 
movimentação vertical e horizontal, permitindo o giro. Por fim, apoios rígidos 
ou engastados travam a movimentação horizontal e vertical, além do giro.
Figura 2. Exemplo de vínculos rígidos ou engastes em escada fixada na parede. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 27/10/2020.
Consequentemente, por sofrerem deformações menores, as vigas de siste-
mas estruturais em pórtico tendem a ser menores que suas equivalentes nas 
estruturas de vigas biapoiadas. Entretanto, estruturas em pórtico encaminham 
não apenas esforços de compressão para seus pilares, como também esforços 
de momento fletor. À vista disso, os pilares das estruturas em pórtico tendem 
a ser mais volumosos que os pilares de estruturas biapoiadas, independente-
mente do sistema estrutural adotado. Logo, quanto mais rígida for a natureza 
das vinculações entre pilar e viga, mais volumosos serão os apoios, e vice-versa.
Tal como evidenciado na Figura 3, existem diversas configurações de pórti-
co. Estes últimos podem conter vários pilares (Figura 3a), ser sobrepostos em 
vários andares (Figura 2b) ou mesmo conter pilares e vigas anguladas (Figura 
3c). Todavia, dentre as configurações de estruturas em pórtico ilustradas na Fi-
gura 3, a variação de pórticos contendo múltiplos apoios é a mais antiga, datan-
do da antiguidade clássica e manifestando-se até a virada do século XIX para o 
século XX em diferentes roupagense estilos arquitetônicos. 
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Figura 3. Diferentes configurações de pórticos: contendo vários apoios (a), empilhados (b) e angulados (c). (Adaptado).
A teoria da resistência dos mate-
riais se consolidou entre os séculos 
XVIII e XIX, ao passo que a elabora-
ção de vínculos articulados capazes 
de resistir a esforços de grandes edi-
ficações se deu apenas nas décadas 
finais do século XIX e primeiras do sé-
culo XX. Assim, neste período, houve 
um aumento de estruturas em vigas 
biapoiadas em detrimento de estru-
turas em pórtico. 
Todavia, algumas edificações icô-
nicas foram e continuam sendo er-
guidas em pórtico. Um bom exemplo 
é o Museu de Arte de Moderna do Rio 
de Janeiro (Figura 4c), projeto de Af-
fonso Eduardo Reidy construído em 
1948, que é estruturado por pórticos 
angulados.
Outro exemplo marcante é a fa-
chada do edifício Acal (Figura 4d), 
construído em 1974, em São Paulo, e 
projetado por Pedro Paulo de Melo Saraiva, Sergio Fischer e Henrique Cam-
biaghi Filho. A fachada do edifício Acal constitui uma estrutura em pórticos 
empilhados e, devido à sua altura, estes pórticos da fachada tiveram que 
receber contraventamentos em sua diagonal para lidar com os momentos 
fletores resultantes. 
A B C
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Figura 4. Pórticos ao longo da história da arquitetura. Fonte: (a-c) Shutterstock. Acesso em: 27/10/2020.
Figura 4 (d). Fachada do edifício Acal. Fonte: VITRUVIUS, 2011, n.p.
A
B
C
D
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Dada a incidência das forças dos ventos em matizes horizontais, não é de se 
espantar que os pórticos sejam também utilizados em estruturas de grandes al-
turas, tal como demonstrou-se na fachada do edifício Acal. A absorção eficiente 
de cargas horizontais também faz com que estruturas em pórtico sejam adotadas 
em garagens verticais devido à natureza dos esforços de frenagem dos veículos. 
Outro ponto importante a ser salientado é que a absorção dos esforços nestas 
estruturas de pórtico se dá justamente através da área e altura das seções de vigas 
e pilares que a constituem. Assim sendo, dentro dos parâmetros taxonômicos de 
Engel (2003), as estruturas em pórtico podem ser classificadas como estruturas de 
seção ativa. 
O pórtico do templo de Erecteion, próximo à Acrópole de Atenas (Grécia), data 
do sec. V a. C. (a) e é famoso por conter pilares na forma de Cariátides, que susten-
tam o peso do templo com a aparente fragilidade das divindades gregas femininas. 
Já o pórtico de San Luca (b), em Bologna, foi erguido entre os séculos XVII e XVIII e 
contém 666 arcos e mais de 3,5 km de extensão. Ambos possuem vários apoios, 
ao passo que o pórtico do MAM (c) exemplifica um pórtico inclinado. Por fim, a 
estrutura do edifício ACAL (d), em São Paulo, exemplifica pórticos empilhados. 
Entretanto, independentemente de sua configuração, as estruturas em pórtico 
tendem a ser mais eficientes que as estruturas de vigas biapoiadas, ao menos no 
que diz respeito à absorção de esforços horizontais. Isto se dá, mais uma vez, pela 
diferença das vinculações entre pórticos e vigas biapoiadas.
Como pode ser verificado na Figura 5, dados parâmetros de vão, cargas horizon-
tais q e materiais construtivos equivalentes, as cargas horizontais nas vigas biapoiadas 
são absorvidas apenas pelos pilares, tendo em vista a desvinculação relativa entre 
pilares e vigas (Figura 5a). Já no caso das estruturas em pórtico, o que ocorre é uma 
assimilação conjunta entre pilares e vigas destes esforços horizontais (Figura 5b). 
9 9
Figura 5. Absorção dos esforços horizontais em estruturas de vigas biapoiadas e pórticos. (Adaptado).
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Materiais e pré-dimensionamento
O templo de Erecteion ilustra a maneira com que estruturas em pórticos 
são passiveis de ser executadas em pedra desde a antiguidade. De fato, a 
pedra, em suas mais variadas formas de manipulação, constituiu a variação 
predominante de estruturação de pórticos por quase dois mil anos. Existem 
exemplares extremamente extensos concebidos em pedra, como é o caso do 
Pórtico de San Luca em Bologna, que percorre mais de 3,5 km de extensão. 
Todavia, sistemas estruturais em pórtico contemporâneos são usual-
mente executados em concreto armado, aço ou madeira. Deve-se ressaltar 
entretanto que, independentemente do material utilizado, sistemas estru-
turais em pórtico demandam um volume maior de seus componentes estru-
turais, de modo a suportar a internalização dos giros de suas vigas. 
Devido ao maior volume de seus componentes estruturais, é natural ve-
rifi car questões de logísticas associadas à sua especifi cação enquanto tipo-
logia estrutural. Estas questões logísticas, por sua vez, podem incorrer na 
difi culdade de obter espaço para a concretagem de elementos tão grandes 
em concreto armado moldado in loco. Afi nal, a execução de estruturas em 
concreto armado in loco implica em sua moldagem e concretagem no pró-
prio local do canteiro de obras, suscitando uma área maior deste último.
Da mesma maneira, o transporte de peças volumosas de pórticos, seja 
em concreto armado pré-moldado, madeira ou aço, pode demandar tratati-
vas especiais com as autoridades de trânsito para sua chegada ao canteiro, 
envolvendo horários e rotas alternativas. Isso posto, pode-se afi rmar, en-
tretanto, que a principal difi culdade na determinação dos materiais cons-
trutivos a serem utilizados consiste na execução das ligações rígidas em 
estruturas de pórtico. 
No caso do concreto armado, esta ligação rígida ocorre natu-
ralmente durante a concretagem das peças, ao passo 
que, no caso da madeira e do metal, são necessá-
rias ligações cuidadosamente projetadas (Figura 
6). No caso da madeira laminada, também existe 
a possibilidade de realizar esta ligação por meio 
do processo de laminação.
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Figura 6. Ligações rígidas em metal e madeira. Pórticos em metal costumam ser equacionados por meio de soldas (a), 
e tanto o metal (b) quando a madeira (c) podem ser rebitados ou enrijecidos através de cantoneiras. Fonte: Shuttersto-
ck. Acesso em: 27/10/2020.
ASSISTA
A execução de estruturas em madeira laminada no Brasil está 
em processo incipiente, ao passo que sua utilização no exte-
rior abrange inclusive edificações de grandes alturas. Todavia, 
existem alguns pioneiros, como o engenheiro Hélio Olga. As-
sim, o vídeo disponibilizado discorre sobre a trajetória de Hélio, 
além de suas experiencias com laminação de madeira.
A
B
C
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Já no âmbito do pré-dimensionamento dos pórticos, é importante nos aten-
tarmos aos ábacos já consolidados de Engel (2003) e Rebello (2000). Na Figura 6, 
ocorre uma sistematização dos ábacos de pré-dimensionamento de Engel, em 
que os vãos passíveis de serem atingidos pelos pórticos ficam discriminados en-
tre vãos possíveis e ótimos. Na coluna dos vãos possíveis, ficam estabelecidos os 
parâmetros dimensionais máximos e mínimos para os limites estáticos de cada 
um dos materiais pré-elencados (concreto armado, aço e madeira).
Já o Quadro 1 indica que, independentemente do material elencado, os pór-
ticos em aço alcançam os maiores vãos possíveis e otimizados, em comparação 
ao concreto armado e à madeira. Para pórticos estruturados em aço, pórticos 
únicos, com múltiplos apoios e empilhados atingem respectivamente vãos pos-
síveis máximos de 80, 85 e 90 metros. Já para os vãos otimizados, os pórticos 
estruturados em aço chegam a 60, 65 e 70 metros para pórticos únicos, com 
múltiplos apoios e empilhados. Consequentemente, constata-se que a tipologia 
dos pórticos empilhadossão as que apresentam a maior possibilidade de vão a 
serem vencidos. 
Ainda de acordo com a figura supra-
citada, destaca-se que os vãos mínimos 
possíveis para todas as tipologias de 
pórticos e materiais relacionados cos-
tumam figurar por volta de 10 metros. 
No entanto, há exceções neste sentido, 
como no caso de vão mínimo possível 
de 7 e 8 metros, respectivamente, para 
pórticos únicos e com múltiplos apoios de concreto armado.
No que diz respeito aos vãos otimizados, o Quadro 1 sugere vãos mínimos de 
15 a 20 metros para madeira laminada e aço. Já os pórticos de concreto armado 
possuem vão mínimo da ordem de 10 metros para pórticos únicos e com múlti-
plos apoios e 15 metros para vãos mínimos de pórticos empilhados.
O Quadro 2 traz outro parâmetro de pré-dimensionamento para pórticos 
bastante difundido na comunidade cientifica: os ábacos do engenheiro Yopanan 
Conrado Rebello (2000). Diferentemente de Engel, que apenas trabalha com pa-
râmetros derivados do vão livre, este valioso conjunto de ábacos procura pré-di-
mensionar os parâmetros de espessura (D), altura livre (H) e vão livre (L). 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 49
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Tipologia de pórtico Material construtivo
Vão possível 
(m)
Vão ótimo 
(m)
Madeira 
laminada 10 a 50 15 a 40
Metal (aço) 10 a 80 15 a 60
Concreto 
armado 7 a 30 10 a 25
Madeira 
laminada 10 a 55 15 a 45
Metal (aço) 10 a 85 15 a 65
Concreto 
armado
8 a 55 10 a 25
Madeira 
laminada 15 a 60 20 a 50
Metal (aço) 15 a 90 20 a 70
Concreto 
armado 10 a 40 15 a 30
Pórticos empilhados
Madeira Madeira 
laminada
Madeira 
laminadalaminada
Metal (aço)Metal (aço)Metal (aço)
Concreto 
10 a 50
Concreto 
armado
10 a 50
Concreto 
armado
10 a 80
armado
Madeira 
laminada
10 a 80
Madeira 
laminada
15 a 40
10 a 80
Madeira 
laminada
Metal (aço)
15 a 40
7 a 30
laminada
Metal (aço)
15 a 40
7 a 30
Metal (aço)
15 a 60
10 a 55
Metal (aço)
15 a 60
10 a 5510 a 55
10 a 25
10 a 85
10 a 25
10 a 85
15 a 4515 a 4515 a 45
15 a 6515 a 65
Pórticos empilhadosPórticos empilhadosPórticos empilhadosPórticos empilhadosPórticos empilhadosPórticos empilhados
Concreto Concreto 
armado
Concreto 
armadoarmado
Madeira 
laminada
Madeira 
laminada
8 a 55
laminada
Metal (aço)
8 a 55
Metal (aço)Metal (aço)
15 a 60
Metal (aço)
Concreto 
armado
15 a 60
Concreto 
armado
10 a 25
Concreto 
armado
10 a 25
15 a 90
10 a 25
15 a 90
20 a 50
10 a 40
20 a 50
10 a 40
20 a 70
10 a 40
20 a 7020 a 70
15 a 3015 a 30
QUADRO 1. VÃOS MÁXIMOS E VÃOS OTIMIZADOS PARA PÓRTICOS ÚNICOS, COM 
MÚLTIPLOS APOIOS E EMPILHADOS, DEVIDAMENTE DISCRIMINADOS EM CONCRETO 
ARMADO, MADEIRA E AÇO
Fonte: ENGEL, 2003, p. 176. (Adaptado). 
Assim como nos preceitos de Engel, os ábacos de Rebello são discrimina-
dos por três principais materiais: concreto armado, aço e madeira 
laminada. Entretanto, diferentemente do primeiro, Rebello não 
diferencia em seus ábacos as possíveis tipologias de 
pórticos. Considera-se estaticamente viável as com-
binações de altura livre (H), vão livre (L) e espessura 
(D) destacadas em cinza. 
Da mesma maneira que em Engel, os pórticos 
estruturados em aço atingem maiores vãos no Qua-
Pórtico com múltiplos apoios
Pórtico único
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 50
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dro 2. Entretanto, os ábacos de Rebello 
não empregam a distinção entre vãos 
possíveis e vãos ótimos, se atentando 
apenas a combinações dos parâme-
tros já mencionados e que seriam es-
taticamente viáveis. 
Como os escritos de Engel são uma 
publicação de um livro mais antigo, é 
natural que estes vãos de aço sejam 
maiores em Rebello, chegando a atingir 
90 m ao invés dos 70 m para pórticos 
empilhados estipulados anteriormen-
te. Estes vãos maiores, entretanto, cul-
minam em espessuras de até 2,40 m 
para pórticos em aço.
O Quadro 2 também indica que 
pórticos de concreto armado e de ma-
deira laminada apresentam vãos livres 
muito semelhantes, da mesma manei-
ra que em Engel, chegando à ordem de 
36 m. Estes vãos são acompanhados 
por alturas semelhantes, que variam 
de 0,45 m (para ambos os materiais) 
até 1,50 m para o concreto armado e 
1,20 m para a madeira. 
Algo importante de se estabelecer para ambos os parâmetros de dimensio-
namento é que, embora mais novos, os ábacos de Yopanan Rebello refletem 
a realidade construtiva nacional. A verdade é que temos um grande caminho 
a percorrer no âmbito das estruturas em madeira, apesar de 
enormes reservas florestais e técnicas estabelecidas de en-
genharia florestal e manejo sustentável à disposição. As-
sim sendo, os ábacos de Engel apresentam vãos maiores 
para a madeira laminada, uma vez que apresentam pano-
ramas internacionais de pré-dimensionamento. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 51
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QUADRO 2. ÁBACOS RESULTANTES QUE INDICAM PARÂMETROS DIMENSIONAIS PARA 
PÓRTICOS ESTRUTURADOS EM CONCRETO ARMADO, AÇO E MADEIRA
Pórticos de Madeira
Espessura (D) em metros
0,45 0,60 0,90 1,20
15
12
9
6
3
0 4,5 9 13,5 18 22,5 27 31,5 36 40,5 45
Vão (L) em metro
15
12
9
0,45
6
3
0,600,60
4,5 9
0,90
13,5
0,90
13,5 18
1,20
22,522,5 2727 31,5 36 40,540,5 45
Fonte: REBELLO, 2000, p. 174-175. (Adaptado).
Pórticos de Concreto
Espessura (D) em metros
0,45 0,60 0,90 1,50
15,0
12,0
9,0
6,0
3,0
0 4,5 9 13,5 18 22,5 27 31,5 36 50,5
Vão (L) em metro
15,015,0
12,012,0
9,0
0,45
6,0
3,0
0,60
3,0
0,60
0 4,5
0,900,90
9 13,513,5
1,50
18 22,522,5 27 31,531,5 36 50,5
A
lt
ur
a 
 (H
) e
m
 m
et
ro
s
Pórticos de Aço
Espessura (D) em metros
0,60 0,90 1,20 1,50 2,1 2,40
30,0
24,0
18,0
12,0
6,0
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
Vão (L) em metro
30,0
0,60
30,0
24,024,0
18,0
0,90
18,0
0,90
12,0
6,0
0
1,201,20
18
1,50
27 36
2,1
45 54
2,402,40
63 7272 81 90
A
lt
ur
a 
 (H
) e
m
 m
et
ro
s
A
lt
ur
a 
 (H
) e
m
 m
et
ro
s
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Estruturas em arco
A segunda parte desta unidade explora os preceitos necessários para a projeta-
ção e geometrização das estruturas em arco. As estruturas em arco, assim como as 
estruturas em pórtico, estão presentes desde a antiguidade clássica, e deram origem 
a edifícios e marcos urbanos icônicos como o Gateway Arch, de Saint Louis, projetado 
pelo arquiteto fi nlandês Eero Saarinem, em 1947. Entretanto, ao contrário das estrutu-
ras em pórtico, as estruturas em arco apresentam maior disseminação na arquitetura 
do século XX e XXI.
O elemento geométrico do arco constitui um grande gerador de formas na arqui-
tetura, podendo dar vazão a estruturas mais complexas, como abóbadas e cúpulas. 
Todavia, as possibilidades desta matriz geométrica se expandiram consideravelmente 
com a consolidação do concreto armado enquanto sistema construtivo. É importante 
ressaltar que avanços na laminação de madeiras engenheiradas e na usinagem de li-
gas metálicas também corroboraram para estruturas em arcos grandiosas e esbeltas.
Assim, em relação à sua concepção e fundamentação, fi cam estabelecidas as pre-
missas conceituais sobre o equilíbrio estático e as propriedades geométricas das es-
truturas em arco. Já em relação a materiais e pré-dimensionamento, fi cam delineadas 
as diferentes aplicações de materiais para a tipologia estrutural dos arcos, assim como 
parâmetros consagrados em seu pré-dimensionamento para anteprojetos e estudos 
preliminares de arquitetura. 
Concepção e fundamentação
A plena compreensão das estruturas em arco parte de uma análise mais apro-
fundada de estruturas derivadas de cabos. Estes últimos, quando submetidos a um 
carregamento, assumem uma forma de equilíbrio condizente com o posicionamen-
to, quantidade e magnitude deste carregamento. 
Assim, a forma que o cabo adquire após deformar-se mediante carregamento e 
rumo ao equilíbrio é denominadafunicular. Isso posto, a Figura 7a indica a funicular 
de um cabo para um único carregamento, a Figura 7b indica a funicular de um cabo 
para dois carregamentos simétricos e a Figura 7c indica um tipo especial de funicu-
lar. Esta última é denominada catenária e caracteriza-se pela distribuição uniforme 
de carregamentos ao longo de seu comprimento.
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 53
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Figura 7. Comportamento de cabos mediante carregamentos. (Adaptado).
Figura 8. Comportamento de arcos mediante carregamentos. (Adaptado).
A literatura determina que estruturas em cabo apenas respondam a esfor-
ços de tração simples. Isto é relativamente fácil de se constatar com um sim-
ples barbante, que se torna rígido quando esticado e disforme ao ser compri-
mido em nossas mãos. Assim sendo, se invertermos as funiculares dos cabos 
da Figura 7, obteremos estruturas submetidas a compressão simples, como 
na Figura 8. A estas formas, resultantes do rebatimento das funiculares dos 
cabos correspondentes, damos o nome de arcos. 
ASSISTA
Em 2017, o Instituo Tomie Ohtake hospedou uma exposição 
sobre a obra do arquiteto catalão Antoni Gaudí, cujas es-
truturas são, em grande parte, derivadas de arcos de cate-
nária. Isso posto, o documentário disponibilizado Gaudí 
1900, do Instituto Brasiliana, ilustra o processo de projeto 
de Gaudí através deste rebatimento de funiculares.
Levando em consideração o conceito proposto, pode-se afirmar que a catenária 
de um cabo corresponde à deformação oriunda de seu peso próprio (Figura 7c). Da 
mesma maneira, o rebatimento da catenária de um cabo configura a forma de um 
arco submetido a esforços de compressão simples oriundos de seu peso próprio. 
A B C
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 54
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Projetar levando em conta o conceito de arcos de catenária promove es-
truturas de arcos eficientes, uma vez que sua estrutura estará submetida a 
esforços de compressão simples. Assim, a minimização de esforços de tração 
suscita uma demanda reduzida de material construtivo. 
No caso de arcos em concreto armado, por exemplo, a predominância de 
esforços de compressão suscita menos dispêndio de aço na armação. Nestes ca-
sos, o custo da obra cai consideravelmente. Comparativamente, arcos cujas for-
mas fogem da funicular correspondente a seus carregamentos suscitam estrutu-
ras mais volumosas. Em casos mais extremos, estes arcos mais robustos podem 
até atender o vão solicitado, mas cedem devido ao peso próprio da estrutura. 
Outro conceito muito importante relacionado às estruturas em arco são 
os esforços horizontais que surgem em suas bases, de dentro para fora, o que 
sugere seu colapso. A estes esforços horizontais, dá-se o nome de empuxo. 
A Figura 9a explicita estes esforços de empuxo a partir das setas horizontais 
saindo de cada base do arco. Desta maneira, a concepção de estruturas em 
arco deve controlar estes empuxos através da manipulação das relações entre 
flecha (grandeza simbolizada por f na Figura 9a) e vão (grandeza simbolizada 
por L na Figura 9a). Rebello (2000) estabelece que a relação entre flecha e vão 
de estruturas em arco deve respeitar a seguinte relação para evitar o colapso 
do arco devido ao empuxo: 1/10 < f/L < 1/5, em que f = flecha e L = vão.
Outro parâmetro importante de controle do empuxo atuante nos arcos se 
dá através da conformação de seus apoios. Se a estrutura em arco for respon-
sabilizada por responder pelos esforços de empuxo que a acometem por conta 
própria, sua estabilização demandará apoios robustos.
Esta situação é ilustrada na Figura 9b, que evidencia como estes apoios de-
vem ser alinhados com o encaminhamento das forças oriundas de seu peso 
próprio. As fundações de estruturas em arcos nesta configuração demandam 
fundações igualmente volumosas, sugerindo um cuidado para não interferir em 
elementos de infraestrutura urbana existentes no subsolo próximo à edificação. 
O consumo de material em pilares como os ilustrados na Figura 9b é co-
lossal, de modo que muitas estruturas em arco visam estratégias projetuais 
alternativas para neutralizar os esforços de empuxo. A Figura 9c ilustra uma 
possível saída para esta celeuma, em que o empuxo oriundo dos arcos é neu-
tralizado através de tirantes. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 55
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Os pilares certamente ficam mais esbeltos nesta alternativa, mas estes ca-
bos podem interferir com o pé direito e a visibilidade do espaço resultante. Isto 
pode ser um impeditivo para a adoção desta estratégia em projetos como os 
de ginásios esportivos, os quais possuem arquibancadas que seriam atraves-
sadas e inviabilizadas por cabos como os da Figura 9c.
Outro fator importante a ser considerado na estruturação de arcos é a 
flambagem, algo natural de se esperar devido ao comprimento e à esbeltez de 
estruturas em arco. Tendo em vista que o conceito de flambagem está ligado 
à perda de estabilidade de peças esbeltas mediante esforços de compressão, 
uma alternativa projetual para a resolução deste problema é o contraventa-
mento de arcos paralelos com barras verticais e diagonais (Figura 10a). Assim, 
evita-se que o arco flambe para fora de seu plano geométrico, mantendo sua 
forma condizente com suas funiculares. 
CITANDO
O Prof. Dr. Nilson Tadeu de Mascia concebeu em 2001 a apostila Flam-
bagem de Barras, uma referência ao conceito de flambagem em es-
truturas. Assim, neste material, o autor estabelece que “[...] uma peça 
pode ser tão delgada que submetida a uma ação compressiva atingirá 
o colapso por perda de estabilidade (flambagem), isto é, um Estado 
Limite Último.” (2017, p. 3).
Quando se trata da flambagem dentro do plano do arco, Rebello (2000) su-
gere aumentar a rigidez do arco a partir da dimensão vertical de sua seção 
transversal. Afinal, maiores seções têm maiores momentos de inércia ou mes-
mo maior resistência ao serem colocadas em movimento.
Figura 9. Modificação da forma de equilíbrio dos arcos mediante a presença de um carregamento no centro da estrutu-
ra (a), mediante a presença de dois carregamentos simétricos (b) e com cargas uniformemente distribuídas ao longo de 
seu comprimento (c). (Adaptado).
ƒ
Pilares Pilares
Tirantes
A B C
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 56
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Figura 10. Estratégias para combater a flambagem em estruturas de arcos. Fonte (b): Shutterstock. Acesso em: 28/10/2020. 
Todavia, sabe-se que arcos derivados do rebatimento das funiculares de 
suas catenárias possuem diferentes índices de compressão ao longo de seu 
comprimento. Por exemplo: no topo do arco, o esforço costuma ser mínimo. Já 
junto aos apoios os esforços costumam ser máximos, o que demanda grandes 
pilares para a absorção do empuxo, assim como ilustrado na Figura 9b. 
Hábeis arquitetos, como o finlandês Eero Saarinen, tiram partido destas 
problemáticas estáticas e as transformam em elementos de seu partido arqui-
tetônico. Saarinen projetou o Gateway Arch de Saint Louis (Figura 10b) em 1947, 
mas a obra ficou pronta somente em 1965. Para economizar dinheiro e mate-
rial construtivo e lidar com a questão da flambagem e do empuxo oriundos 
da grande altura da estrutura, assim como dar mais personalidade à solução 
arquitetônica, Saarinen optou justamente por alterar a seção transversal ao 
longo da obra. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 57
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O travamento com barras laterais e o contraventamento com barras diago-
nais constituem uma importante estratégia de travamento de estruturas em 
arco (a) quando lidando com a flambagem fora de seu plano. Quando a flam-
bagem ocorre dentro do plano do próprio arco, uma estratégia interessante é 
aumentar a seção transversal do arco (b). Entretanto, os níveis de compressão 
variam ao longo do arco, de modo que estes incrementos de seção não preci-sam ser constantes ao longo da estrutura, tal como no caso do Gateway Arch 
de Saint Louis.
Conciliando a concepção de estruturas em arco e sua viabilidade constru-
tiva, é importante evidenciar a existência de três categorias construtivas de 
arcos. A Figura 11 ilustra a possibilidade de arcos triarticulados (Figura 11a), 
biarticulados (Figura 11b) e engastados (Figura 11c). 
Figura 11. Estratégias para combater a flambagem em estruturas de arcos. (Adaptado). 
Ao analisar-se as articulações dos arcos, é importante constatar que seu núme-
ro máximo deve ser três, a fim de que a estrutura não se torne hipostática. Arcos 
triarticulados (Figura 11a e Figura 12a) oferecem facilidades em sua logística de 
transporte e execução, tendo em vista que podem ser desmontados em compo-
nentes menores. Assim, a presença de um maior número de articulações permite 
uma melhor adaptação a mudanças de forma oriundas de carregamentos excên-
tricos e, sobretudo, do vento. Entretanto, tamanha mobilidade se traduz em maior 
vulnerabilidade relativa à flambagem.
Arcos biarticulados (Figura 11b e Figura 12b), por sua vez, possuem menos mo-
bilidade, e assim lidam melhor com a flambagem. Entretanto, uma maior rigidez 
certamente se traduz em estruturas mais volumosas se comparadas às anterio-
res. Já os arcos engastados (Figura 11c e Figura 12c), também conhecidos como 
arcos biengastados, se utilizam de uma quantidade muito maior de material, e 
normalmente são alocados em situações de cargas extremas, como represas.
A B C
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 58
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Figura 12. Exemplos de arcos a partir de suas articulações: (a) Mercado de Santa Caterina, um exemplo de arcos 
triarticulados, (b) viaduto Santa Efi gênia, um exemplo de arcos biarticulados e (c) Hoover Dam, um exemplo de arcos 
engastados. Fonte: (a) Shutterstock. Acesso em: 28/10/2020; Fonte (b-c): Adobe Stock. Acesso em: 28/10/2020.
Materiais e pré-dimensionamento
Tanto arcos biarticulados como aqueles triarticulados costumam ser exe-
cutados em metal ou madeira. Assim, o concreto armado surge como uma op-
ção tanto para arcos biarticulados como para arcos biengastados. Isso posto, 
A
B
C
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 59
SER_ARQURB_SEII_UNID2.indd 59 24/11/2020 11:04:36
a adoção predominante de arcos triar-
ticulados ou biarticulados se dá pela 
possibilidade de movimentação de 
peças prontas para o canteiro de obra. 
Obras de arco costumam ter grandes 
vãos e, se a organização do canteiro 
de obras já representa um desafio, 
sua concretagem in loco muitas vezes 
se mostra inviabilizada. 
Ao passo que o concreto armado 
permite seções transversais molda-
das em virtualmente qualquer forma, 
seções circulares de aço e de madeira 
são mais difíceis de serem obtidas. As-
sim, independentemente do material 
construtivo empregado, costuma-se 
adotar seções retangulares para es-
truturas em arco.
A título de pré-dimensionamento 
de estruturas em arco, os ábacos de 
Engel (2003) são menos prestativos do 
que para estruturas em pórtico, posto que apresentam espectros máximos 
e mínimos para vãos possíveis e vãos ótimos idênticos para os três materiais 
usualmente adotados nesta tipologia estrutural: concreto armado, aço, e ma-
deira laminada. O autor ainda determina que os vãos máximos para arcos fi-
guram entre 15 e 100 metros, e os vãos ótimos ficariam entre 25 a 70 metros.
Já Yopanan Rebello (2000) apresenta o pré-dimensionamento 
de estruturas em arco a partir da altura de sua flecha (H), es-
pessura da seção (D) e vão livre (H) (Figura 13). En-
tretanto, além de apresentar ábacos para concreto 
armado e madeira laminada, o autor também evi-
dencia parâmetros de dimensionamento para 
arcos de metal de alma cheia (maciços) e arcos 
de aço treliçado.
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 60
SER_ARQURB_SEII_UNID2.indd 60 24/11/2020 11:04:39
Os ábacos de pré-dimensionamen-
to de Rebello não ultrapassam a marca 
dos 100 metros de Engel, com exceção 
dos arcos de aço de alma cheia, que 
atingem vãos livres na marca dos 150 
metros, com flechas de 18 metros e es-
pessuras de 1,20 metros. 
Os arcos treliçados de aço e os arcos de madeira laminada não ultrapassam 
a marca dos 81 metros de vão. Todavia, ao passo que os arcos treliçados che-
gam a esta marca com 18 metros de altura livre, os arcos de madeira laminada 
atingem a mesma marca com 30 metros de altura livre. Em contrapartida, à 
medida que os arcos treliçados atingem a espessura de 1,50 metros com ape-
nas 81 metros de vão livre, os arcos de madeira laminada já contam com a 
espessura de 1,50 metros com apenas 63 metros de vão livre. 
Já os arcos de concreto armado atingem vãos da ordem de 96 metros, mas 
contam com a maior espessura dentre todos os materiais analisados: 1,50 me-
tros. A espessura máxima dos arcos de aço de alma cheia, 1,20 metros, é atin-
gida em concreto armado a partir de vãos de 72 metros. 
A título de flechas, os arcos em concreto armado mostram-se mais altos que 
os arcos de aço, mas levemente menores que os arcos de madeira laminada. 
Arcos de concreto armado com 96 metros de vão chegam a 24 metros de altu-
ra, ao passo que arcos de madeira batem a marca dos 30 metros de flecha com 
apenas 81 metros de vão livre. 
H
L
D
Figura 13. Altura de flecha (H), espessura da seção (D) e vão livre (H). (Adaptado).
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 61
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QUADRO 3. REINTERPRETAÇÃO DOS ÁBACOS GERADOS POR REBELLO PARA ESTRUTURAS EM ARCO 
QUE LEVA EM CONSIDERAÇÃO OS PARÂMETROS DE FLECHA (H), ESPESSURA (D) E VÃO LIVRE (L)
Arco de Alma Cheia – Aço
Espessura (D) em metros
0,30 0,60 0,90 1,20
30,0
24,0
18,0
12,0
6,0
0 15,0 30,0 45,0 60,0 75,0 75,0 90,0 105,0 120,0 150,0
B Vão (L) em metro
Arco Treliçado – Aço
Espessura (D) em metros
0,30 0,60 0,90 1,20 1,50
15,0
12,0
9,0
6,0
3,0
0 9,0 18,0 27,0 36,0 45,0 54,0 63,0 72,0 81,0 90,0
C Vão (L) em metro
 Arco de Madeira 
Espessura (D) em metros
0,30 0,60 0,90 1,20 1,50
30,0
24,0
18,0
12,0
6,0
0 9,0 18,0 27,0 36,0 45,0 54,0 63,0 72,0 81,0 90,0
D Vão (L) em metro
30,0
0,30
24,024,0
18,018,0
12,012,0
0,60
6,0
0,60
0 9,09,0
0,90
18,0
0,90
18,0
1,20
27,0
1,50
36,0
1,50
36,0 45,045,0 54,0 63,063,0 72,072,0 81,081,0 90,090,0
15,0
12,012,0
9,0
0,30
9,0
6,0
0,30
6,0
0,60
3,0
0,60
0 9,09,0
0,90
18,0
0,90
18,0 27,0
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36,0 45,045,0
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54,054,0 63,063,0 72,072,0 81,081,0 90,090,0
30,030,0
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45,0 60,0 75,075,0
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II 62
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Arco de Concreto 
Espessura (D) em metros
0,6 0,9 1,2 1,5 1,8
30,0
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18,0
12,0
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0 12,0 24,0 36,0 48,0 60,0 72,0 84,0 96,0 108,0 120,0
E Vão (L) em metro
30,030,0
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24,0 36,0
1,5
36,0
1,5
48,0
1,8
48,0 60,060,0 72,072,0 84,084,0 96,096,0 108,0108,0 120,0120,0
Arco de Alma Cheia – Aço 
Espessura (D) em metros
0,30 0,60 0,90 1,20
30,0
24,0
18,0
12,0
6,0
0 15,0 30,0 45,0 60,0 75,0 75,0 90,0 105,0 120,0 150,0
B Vão (L) em metro
30,030,0
24,024,0
0,30
18,0
0,30
18,0
12,012,0
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0,60
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0,60
15,0 30,0
0,90
30,0 45,045,0 60,0 75,0
1,20
75,0 75,075,0 90,0 105,0105,0 120,0120,0 150,0150,0
Arco Treliçado – Aço 
Espessura (D) em metros
0,30 0,60 0,90 1,20 1,50
15,0
12,0
9,0
6,0
3,0
0 9,0 18,0 27,0 36,0 45,0 54,0 63,0 72,0 81,0 90,0
C Vão (L) em metro
15,015,0
12,0
0,30
9,0
0,30
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0,60
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0
0,90
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0,90
18,018,0 27,0
1,20
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36,0 45,0
1,50
45,0 54,054,0 63,0 72,072,0 81,081,0 90,090,0
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II 63
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Arco de Madeira
Espessura (D) em metros
0,30 0,60 0,90 1,20 1,50
30,0
24,0
18,0
12,0
6,0
0 9,0 18,0 27,0 36,0 45,0 54,0 63,0 96,0 81,0 90,0
D Vão (L) em metro
Arco de Concreto 
Espessura (D) em metros
0,6 0,9 1,2 1,5 1,8
30,0
24,0
18,0
12,0
6,0
0 12,0 24,0 36,0 48,0 60,0 72,0 84,0 96,0 108,0 120,0
E Vão (L) em metro
30,0
0,30
30,0
0,30
24,0
18,018,0
12,012,0
0,60
6,0
0
0,90
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18,0
1,20
18,0 27,0
1,50
27,0
1,50
36,0 45,045,0 54,054,0 63,063,0 96,096,0 81,0 90,090,0
30,030,0
24,0
18,0
0,6
18,0
12,0
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0,9
0
0,9
12,0 24,0
1,2
24,0 36,0
1,5
36,0
1,5
48,0
1,8
60,060,0 72,072,0 84,084,0 96,096,0 108,0108,0 120,0120,0
Fonte: REBELLO, 2000, p. 96-97. (Adaptado). 
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Sintetizando
Esta unidade foi dividida em dois grandes tópicos: estruturas em pórtico e 
estruturas em arco. Cada um destes tópicos abordou a concepção projetual e 
fundamentação teórica referente a cada uma destas tipologias estruturais, fo-
mentando importantes parâmetros de materialidade e pré-dimensionamento 
para auxiliar as investidas projetuais de acadêmicos de arquitetura. 
Primeiramente, vimos uma diferenciação entre sistemas estruturais de 
vigas biapoiadas e sistemas estruturais em pórticos. Constatamos que es-
truturas em pórticos possuem ligações rígidas entre vigas e pilares, ao pas-
so que estruturas em vigas biapoiadas possuem ligações articuladas entre 
vigas e pilares. 
Também foram abordadas as três principais configurações de estruturas 
em pórtico: os pórticos com múltiplos apoios ou sequenciados, os pórticos 
empilhados e os pórticos angulados. Por fim, esta seção também procurou 
evidenciar a maneira com a qual estruturas em pórtico absorvem esforços 
horizontais de maneira solidarizada entre vigas e pilares, ao passo que es-
truturas de vigas biapoiadas absorvem estes esforços predominantemente 
com os pilares. 
Em seguida, constatamos que estruturas em pórtico costumam ser execu-
tadas em concreto armado, madeira laminada e aço. Entretanto, foram feitas 
ressalvas com relação à dificuldade de executar ligações rígidas em estruturas 
de madeira laminada e de aço, ao passo que em estruturas de concreto arma-
do isto ocorre de maneira mais corriqueira durante a própria concretagem.
Também foram estabelecidos os parâmetros de pré-dimensionamento 
para pórticos em concreto armado, madeira laminada e aço de acordo com os 
preceitos de Engel e Rebello. Destacou-se que os parâmetros dimen-
sionais de Engel são globais, ao passo que os ábacos de Rebello 
refletem a realidade construtiva nacional, o que gera 
divergências, como no caso do dimensionamento de 
estruturas de pórtico em madeira laminada. 
Evidenciamos a importância de se trabalhar 
com o rebatimento de uma modalidade espe-
cial de funiculares, as catenárias, que culminam 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 65
SER_ARQURB_SEII_UNID2.indd 65 24/11/2020 11:04:43
em arcos com formas que suportam o peso próprio mediante compressão 
pura. A seguir, foram apresentados desafios usuais de estruturas em arco: 
o empuxo e a flambagem. Os esforços horizontais que tendem a abrir as 
bases do arco são denominados de empuxo, e pode-se combatê-los atra-
vés de pilares mais robustos ou de tirantes nas bases do arco. 
Já a questão da flambagem pode ser controlada mediante travamentos ho-
rizontais e contraventamentos na diagonal entre arcos paralelos, assim como 
na variação da seção transversal sem arcos isolados. Aqui foram apresentadas 
também relações de geometrização entre flecha e vão livre, de modo a minimi-
zar estes esforços de empuxo, assim como variações de arcos mediante suas 
vinculações: os arcos triarticulados, biarticulados e biengastados. 
Por fim, constatamos que há a possibilidade de construir estruturas em ar-
cos em concreto armado, madeira laminada e aço. Também foi apontado que 
a seção usual costuma ser a retangular, independente do material construtivo 
adotado. Nesta seção, vimos como os ábacos de Rebello subdividiram as estru-
turas em arco em “alma-cheia” e “treliçado”, demonstrando que este material 
consegue atingir vãos maiores e com menos material do que estruturas seme-
lhantes edificadas em madeira laminada e concreto armado. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 66
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Referências bibliográficas
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12s.). son. color. port. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=tM-
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ENGEL, H. Sistemas estruturais. Barcelona: Gustavo Gili, 2003.
Engenharia em Madeira – Soluções para o presente. Postado por MS Flo-
restal Online Reflore. (1h. 13min. 48s.) son. color. port. Disponível em: <https://
www.youtube.com/watch?v=dfaARk0uic8>. Acesso em: 17 out. 2020.
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MASCIA, N. T. Flambagem de barras. Campinas: Unicamp, 2017.
REBELLO, Y. C. A concepção estrutural e a arquitetura. São Paulo: Zigurate, 
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REBELLO, Y. C. Bases para projeto estrutural. São Paulo: Zigurate, 2007.
TORROJA, E. Razón y ser de los tipos estructurales. Madrid: Artes Gráficas 
MAG, S. L., 1960.
VITRUVIUS. Edifício Acal. 2011. Disponível em: <https://www.vitruvius.com.br/
revistas/read/projetos/11.129/4062>. Acesso em 19 out. 2020.
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 67
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CONCEPÇÃO E 
FUNDAMENTAÇÃO: 
ESTRUTURAS EM 
PLACAS E CASCAS
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender a concepção e fundamentação de estruturas em placas;
 Compreender a concepção e fundamentação de estruturas em cascas.
 Estruturas em placas
 Materiais e pré-dimensionamento
 Estruturas em cascas
 Materiais e pré-dimensionamento
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 69
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Estruturas em placas
As estruturas em placas são constituídas por lâminas cuja largura l e com-
primento L excedem consideravelmente a sua altura h, sendo usualmente de-
nominadas lajes no universo da construção civil. Algo importante de ser sa-
lientado sobre as placas é que seu peso próprio as solicita na forma de cargas 
normais a seu plano, tal como fi ca evidenciado na Figura 1.
L
h
l
Laje
Viga
Viga
VigasViga
Laje
b)
a)
c)
Figura 1. Distribuição do peso próprio em lajes, a principal conformação de estruturas em placa (a); laje em uma dire-
ção amparada por vigas nos vãos menores (b); laje de duas direções amparada viga nas quatro arestas (c). 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 70
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As estruturas em placas constituem um dos sistemas estruturais mais 
simples na construção civil contemporânea, sendo que a cobertura plana 
mais elementar que existe pode ser estruturada mediante o apoio de duas 
vigas paralelas em suas extremidades (Figura 1b). A esta solução, dá-se o 
nome de laje em uma direção, pois seu comprimento L é duas vezes maior 
que sua largura l. 
Em lajes em uma direção, o momento fletor na largura l (vão menor) é me-
nor do que no comprimento L (maior vão). Assim sendo, este arranjo geométri-
co dispõe as vigas ao longo do menor vão para que sejam submetidas ao menor 
momento fletor. Por exemplo, no caso de estruturas em concreto armado, a 
armadura certamente percorreria apenas o caminho do vão menor.
Quando o comprimento L (vão maior) não supera o dobro da largura l (vão 
menor), dá-se o nome à laje resultante de laje de duasdireções (Figura 1c). Caso 
esta laje fosse estruturada em concreto armado, suas armaduras estariam dis-
postas em ambas as direções. Tais lajes em concreto armado são muito mais 
difíceis de perfurar para executar rasgos de escadas, ao contrário do que ocor-
re com lajes em uma direção.
No caso de lajes apoiadas por duas vigas, é importante mencionar que, por 
questões arquitetônicas, estes apoios podem estar presentes no maior vão 
também. Neste caso, observa-se um esforço de compatibilização entre a arqui-
tetura e as demais disciplinas construtivas, visando à concretização da ideação 
arquitetônica original.
(A) (B)
Figura 2. Deformação abaulada de lajes apoiadas em duas vigas (a) e deformação cilíndrica de laje apoiada em quatro 
vigas (b). Fonte: SALVADORI, 2015, p. 204. (Adaptado).
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 71
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Algo importante de se relatar é que as estruturas em placas suportadas por 
duas vigas paralelas tendem a se deformar como arcos invertidos com bases 
nas vigas (Figura 2a). Já as estruturas em placa suportadas por quatro vigas 
tendem a se deformar como cúpulas invertidas. O esticar das placas acaba por 
enrijecê-las, fazendo sua espessura final relativamente esbelta – em compara-
ção a outros elementos estruturais, como as vigas, por exemplo.
Estas placas podem ser associadas de maneira contínua, dando origem a 
grelhas compostas por panos de laje, como no caso da Figura 3. Estas sequên-
cias de panos de lajes constituem um dos sistemas estruturais mais vistos na 
construção civil mundial, tendo em vista que sua face inferior plana permite 
a fixação de uma série de elementos de infraestrutura predial, como dutos e 
módulos de forro.
Figura 3. Sistema de vigas paralelas e perpendiculares permitem a associação contínua de múltiplas lajes e constituem 
exemplos recorrentes de edificações na contemporaneidade. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 06/11/2020. 
As estruturas em placas são sistemas estruturais que absorvem os esforços 
pela altura de sua seção, sendo incorporados à taxonomia das estruturas de 
seção ativa. Entretanto, o aumento da seção da placa pode até fazer o sistema 
lidar com as cargas oriundas do vão livre almejado, mas a faria sucumbir pelo 
seu peso próprio. 
Existem, todavia, alternativas de se manter à altura de sua seção, porém, 
reduzindo o peso próprio da laje como um todo. Isto se dá por meio de lajes 
nervuradas como as presentes no edifício da FAU-USP, projeto de Vilanova Ar-
tigas e Carlos Cascaldi, projetado e construído entre 1961 e 1969. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 72
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O conceito de laje nervurada reside no fato de que a flexão atuante nas 
placas comprime sua face superior e traciona sua face inferior. Assim sendo, 
as placas estruturadas enquanto lajes nervuradas concentram os elementos 
tracionados em aletas ou nervuras, e isto faz com que as nervuras da placa 
assegurem sua altura de seção, tornando-as mais leves.
Área comprimida
Área tracionada 
A B
C D
Figura 4. Exemplo icônico de laje nervurada na cobertura da FAU-USP (a); modelo de lajes nervuradas como sequências 
de vigas “T” (b) e lajes nervuradas em uma direção (c) e duas direções (d). Fonte: (a) Shutterstock. Acesso em: 06/11/2020; 
(b), (c) e (d) REBELLO, 2007, p. 162. (Adaptado). 
Estas lajes nervuradas são usualmente estruturadas em concreto armado, e 
no caso da FAU-USP, são constituídas por lajes de duas direções de 11 m por 11 m, 
formando uma modulação de dez lajes de comprimento por seis lajes de largura 
na cobertura do edifício. Lajes nervuradas como as da FAU-USP, armadas em duas 
direções, possuem nervuras em ambos os sentidos, sendo denominadas também 
como grelhas. Já lajes nervuradas de uma única direção costumam ter as nervu-
ras direcionadas em seu menor vão, justamente para absorver menores esforços 
de momento fletor. Todavia, existem casos em que a concepção espacial do proje-
to suscita o posicionamento destas vigas nos vãos maiores. 
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Existe também a possibilidade de elaborar estas placas nervuradas com 
elementos pré-fabricados. Neste caso, as nervuras são estruturadas ou em 
concreto armado ou em vigas treliçadas. O espaço entre estas nervuras pode 
ser preenchido por blocos cerâmicos ou por blocos de EPS (poliestireno ex-
pandido), popularmente conhecido como isopor, ou até mesmo por blocos 
cimentícios de forma semelhante às lajotas cerâmicas. 
Os painéis de EPS são muito mais leves que os blocos cerâmicos, mas 
custam mais caro. Essa leveza incorre em maior velocidade e facilidade de 
execução. Ambos os elementos podem ser utilizados para controlar a inércia 
térmica e o conforto acústico dos ambientes sob e sobre as placas. Estas lajes 
pré-fabricadas recebem um capeamento de concreto armado em suas faces 
superiores, de modo a reforçar sua resistência à compressão. 
Por fim, quando o objetivo são os vãos maiores, existe a possibilidade 
de substituir nervuras e blocos intersticiais por painéis de concreto alveo-
lar. Dentro do princípio de redução de peso próprio da estrutura, estes 
painéis alveolares mantêm a altura da seção da laje, mas possuem alvéo-
los que rasgam seu eixo longitudinal. Este alvéolos, verdadeiros buracos 
circulares na laje, viabilizam a passagem de elementos de instalações pre-
diais e estratégias para o conforto acústico dos pavimentos adjacentes ao 
pano de laje. 
Lajes em duas direções podem ser pareadas para formar uma grande es-
trutura reticulada, tal qual demonstrado na Figura 3 ou na grelha da FAU-USP 
da Figura 4a. Estas estruturas são classificadas como sistemas estruturais 
“democráticos” por Salvadori (2015), justamente por absorverem a carga, afli-
gindo uma viga em conjunto com as adjacentes.
Existe a possibilidade, ainda, de aproximar estas vigas que sustentam as 
redes de lajes a ponto de formarem uma única placa, a laje plana ou laje co-
gumelo. Naturalmente mais espessas que as placas convencionais, as lajes 
planas compreendem vãos menores. Todavia as lajes planas compreendem 
duas vantagens com relação às placas convencionais:
• Podem dispor seus pilares em qualquer localização, desde que respei-
tando uma distância média parecida entre seus apoios; 
• Permitem uma configuração mais livre, às vezes até sinuosa, de dese-
nho de laje. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 74
SER_ARQURB_SEII_UNID3.indd 74 24/11/2020 11:41:46
a)
b)
c)
d)
e)
Figura 5. (a) Absorção de esforços em placas reticuladas; (b) aproximação de vigas até a formação de placa contínua; (c) 
exemplo do caminhamento de forças em um laje cogumelo; (d) distribuição ideal de armadura e (e) corte esquemáti-
co indicando a presença do capitel nas lajes planas para contornar a punção. Fonte: (a) (b) SALVADORI, 2015, p. 200. 
(Adaptado); (c) Shutterstock. Acesso em: 06/11/2020. (d) REBELLO, 2000, p. 173. (Adaptado).
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 75
SER_ARQURB_SEII_UNID3.indd 75 24/11/2020 11:41:48
Porém, é importante ressaltar que esta liberdade de posicionamento de pi-
lares deve respeitar o encaminhamento vertical de forças, no caso de edifícios 
com múltiplos pavimentos. Ainda, as placas estruturadas como lajes planas ne-
cessitam superar o desafio da punção, pois existe “[o esforço] provocado pela 
possibilidade [do pilar] perfurá-la, como um agulha” (REBELLO, 2007, p. 173). 
Este fenômeno da punção se assemelha muito a um guarda-chuva dobra-
do, sendo que o bastão central faz o tecido impermeável se dobrar radialmente 
ao redor de si mesmo. Isso revela que o caminhamento de forças nestas situa-
ções ocorre de maneira concêntrica, logo, deveria ser emulado pelas vigas e/ou 
nervuras que compõem a placa.
Uma alternativa de projeto para estas placas, de modo a contornar o fenô-
meno da punção, se dá por meio da inserção de capiteis na porção superior 
dos pilares junto às lajes.O uso desta solução projetual promove também uma 
capacidade de lidar com vãos livres maiores. 
Dispor nervuras e armaduras nesta configuração geométrica radial, presu-
mida ideal, se apresenta muito caro e de difícil execução no canteiro de obras. 
Contudo, os resultados projetuais são impressionantes, e foram eternizados 
na produção do engenheiro italiano Pier Luigi Nervi (1891-1979), como no caso 
do Palazzo del Lavoro, em Turim (Itália), em 1961.
A título de lajes planas com capiteis, talvez um de seus exemplares mais icô-
nicos seja o Johnson Wax Building, projetado entre 1936 e 1939 pelo arquiteto 
norte-americano Frank Lloyd Wright, em Racine (Estados Unidos). Este projeto 
é marcante pelo fato de os fiscais de obra determinarem que Wright realizasse 
um teste de carga com este conjunto de coluna, capitel e laje cogumelo propos-
to – diante do ineditismo para o repertório popular. Dentre outros pontos im-
portantes deste projeto, destacam-se o layout fluido dos espaços de trabalho, 
agrupando todos os níveis hierárquicos de funcionários no mesmo salão, assim 
como as vedações translúcidas entre as lajes cogumelo circulares.
ASSISTA
O arquiteto norte-americano Frank Lloyd Wright possui 
uma das maiores trajetórias projetuais da história da 
arquitetura moderna, sendo considerado a matriz de 
tendências racionalistas organicistas que influenciaram 
arquitetos mundo afora. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 76
SER_ARQURB_SEII_UNID3.indd 76 24/11/2020 11:41:48
A B
Figura 6. Lajes cogumelo radiais de Pier Luigi Nervi no Palazzo del Lavoro (a) e lajes cogumelo com capitel de Frank 
Lloyd Wright no Johnson Wax Building (b). Fonte: (a) Shutterstock. Acesso em: 06/11/2020. (b) Wikimedia Commons. 
Acesso em: 06/11/2020. 
Por fi m, é importante ressaltar que também existe a possibilidade de as-
sociações entre lajes cogumelos e nervuradas, dando origem ao que conhe-
cemos como lajes planas. Nas lajes planas, os capiteis são achatados junto às 
nervuras, preenchendo-as também com concreto armado, e fazendo com que 
os esforços de punção sejam controlados. Ainda há mais uma possibilidade 
de associação estrutural, sendo que as vigas também são achatadas junto às 
nervuras, viabilizando uma redução de altura e manutenção de área da seção. 
Estas vigas são usualmente construídas com concreto armado protendido e 
são denominadas vigas-chatas. 
A título de contextualização teórica, é importante mencionar que Salomão e 
Marques (2017) se usam dos escritos de Pfeil (1980) para defi nir a protensão do 
concreto como “[...] um artífi cio que consiste em introduzir numa estrutura um 
estado prévio de tensões capaz de melhorar sua resistência mecânica ou seu com-
portamento, sob diversas condições de carga” (p. 1). Os elementos estruturais de 
concreto armado, submetidos à protensão, apresentam aproximadamente meta-
de da altura dos elementos que se utilizam de concreto armado tradicional. 
Materiais e pré-dimensionamento
As explorações conduzidas acerca da concepção e fundamentação das es-
truturas em placa demonstram que o principal material construtivo para sua 
execução média é o concreto armado. 
Para lajes comuns maciças em concreto armado, a NBR 6118 (2014) estabe-
lece que devemos respeitar os valores mínimos de seção:
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 77
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• 7 cm para lajes de cobertura (sem balanço);
• 8 cm para lajes de piso ou lajes de cobertura (com balanço); 
• 10 cm para lajes em balanço;
• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso inferior ou igual a 30 kN;
• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso maior que 30 kN;
• 16 cm para lajes cogumelo.
Para lajes maciças de concreto armado de uma direção, considera-se o vão 
menor para o cálculo da espessura da laje. Já para lajes maciças de concreto 
armado, considera-se como vão de cálculo a soma dos dois vãos da laje dividi-
dos por dois. 
Vão para cálculo = (1)
(vão maior + vão menor)
2
A título de pré-dimensionamento, foram elencados os ábacos correspon-
dentes de Yopanan Rebello (2000) devido à rapidez e caráter visual de sua con-
sulta. A Tabela 1 indica que lajes maciças de concreto armado podem possuir 
conjuntos de espessura e vão que variam de 5 cm de espessura para 1,5 m de 
vão livre até 15 cm de espessura para 15 m de vão. Independentemente do 
conjunto de espessuras e vãos livres indicados, é sempre importante se aten-
tar aos parâmetros mínimos de espessura estabelecidos na NBR 6118 (2014). 
Laje maciça de concreto armado
Es
pe
ss
ur
a 
(T
) e
m
 c
m
20,0
15,0
10,0
5,0
0 0,75 1,5 2,25 3,0 3,75 4,5 5,25 6,0 6,75
A Vão (L) em metros
TABELA 1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURA EM PLACAS DE 
CONCRETO ARMADO – PARTE 1
Fonte: REBELLO, 2000, p. 167. (Adaptado).
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As lajes cogumelo ou planas em concreto armado se dividem em seu pré- 
-dimensionamento entre a presença de capiteis ou não para controlar a punção. 
As lajes cogumelo ou planas sem capiteis admitem combinações de espessuras e 
vãos livres indo de 15 cm para 3,0 m de vão livre, até 25 cm para 7,5 m de vão livre.
Laje cogumelo sem capitel
Es
pe
ss
ur
a 
(T
) e
m
 C
M
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0 1,5 3,0 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0
 C Vão (L) em metros
Laje cogumelo com capitel
Espessura (T) em centímetros
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 m
et
ro
s
10,0 12,5 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0
1,50
1,20
0,90
0,60
0,30
0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5
 D Vão (L) em metros
TABELA 2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURA EM PLACAS DE 
CONCRETO ARMADO – LAJE COGUMELO
Fonte: REBELLO, 2000, p. 167. (Adaptado).
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Laje nervurada – concreto armado
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 c
m
75,0
60,0
45,0
30,0
15,0
0 3,0 6,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0
F Vão (L) em metros
Laje nervurada – concreto armado – caixão perdido
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 c
m
75,0
60,0
45,0
30,0
15,0
0 3,0 6,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0
G Vão (L) em metros
TABELA 3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURA EM PLACAS DE 
CONCRETO ARMADO – PARTE 2
Fonte: REBELLO, 2000, p. 166. (Adaptado).
 Já as lajes cogumelo com capitel admitem combinações mínimas de espes-
sura de laje, altura de capitel e vão livre da ordem de 12,5 cm de espessura, 30 
cm de capitel e 4,5 m de vão livre. A capacidade máxima deste sistema estrutu-
ral em placas reside na combinação de 35 cm, altura de capital de 1,5 m e vão 
livre de 12,0 m.
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As lajes nervuradas de concreto armado se dividem em seu pré-dimensio-
namento com relação à presença ou não de uma mesa, ou placa, em sua faca 
inferior. Quando existe esta mesa inferior, recebem o nome de lajes nervura-
das com caixão perdido, e costumam ser admitidas em casos de isolamento 
acústico ou para preservar um teto plano por questões estéticas. 
Na Tabela 3 vemos que o espectro de combinações de altura e vão para 
lajes nervuradas vai de alturas de 15 cm e vãos livres de 3 m até alturas de 
60 cm e vãos de 18 m. Ela também indica que o espectro de combinações de 
altura e vãos para lajes nervuradas de caixão perdido vai de alturas de 15 cm e 
vãos livres de 3 m até vãos de 18 metros com alturas de 45 cm. Nota-se que o 
capeamento inferior das lajes com caixão perdido permite uma altura de seção 
menor ao conjunto, ao solidarizar melhor esforços de tração.
É importante ressaltar que existem possibilidades de configurações de 
lajes derivadas da madeira e do metal, mas que seu pré-dimensionamento 
também está condicionado a ábacos de cargas e vãos livres de seus forne-
cedores. As lajes de madeira se utilizam de vigas secundárias dispostas ao 
longo do menor vão, que fazem as vezes das nervuras nas lajes nervuradas. 
Recomenda-se que o espaçamento destas vigas não ultrapasse os 60 cm paraevitar seu abaulamento. Sugere-se também vãos máximos de 4 m para vigas 
de madeira maciça e 9 m para vigas de madeira laminada, pois a laminada 
não possui falhas em suas fibras, o que pode comprometer a resistência aos 
esforços que acometem a laje. 
Da mesma maneira, existe a possibilidade de alocar painéis de laje como 
placas revestidas por um capeamento de concreto armado e suportadas por 
contraventamentos diagonais e vigas secundárias também metálicas. Da mes-
ma forma que as lajes pré-fabricadas, as lajes em steel deck derivam seu pré-
-dimensionamento de ábacos de seus fornecedores, correlacionando vão livre 
e sobrecarga. Seu espectro de espessura e vãos livres varia consideravelmen-
te de acordo com a liga metálica utilizada, assim como com 
o traço e a carga incidentes na laje. Entretanto, graças à 
resistência das vigas metálicas, tanto a tração quanto a 
compressão com leveza superior ao concreto armado 
consegue atingir modulações superiores às das lajes 
maciças de concreto armado.
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Estruturas em cascas
As geometrias que resistem aos 
seus carregamentos pela superfície, 
isto é, as estruturas que Engel (2007) 
denomina como superfícies ativas, 
são usualmente referidas como cas-
cas ou membranas na literatura cor-
relata. Utiliza-se o termo casca para 
superfícies ativas rígidas, que traba-
lham, sobretudo, à compressão, ao 
passo que se utiliza o termo mem-
brana para superfícies ativas não 
rígidas, que trabalham, sobretudo, à 
tração. Bechthold (2008) e Schodek 
(2014), importantes autores nesta 
área de estudo, usam os termos su-
perfícies estruturais rígidas, para as 
cascas, e superfícies estruturais não 
rígidas, para as membranas.
CONTEXTUALIZANDO
As estruturas em casca foram sumariamente associadas ao concreto 
armado até o início do século XXI, quando novas ferramentas de dese-
nho digital, fabricação digital e engenharia dos materiais suscitaram 
novas possibilidades. 
No decorrer do século XX, as cascas eram construídas a partir 
de formas geométricas de comportamento estrutural já conhe-
cido. Como pode ser visto na Figura 7a, o transla-
do horizontal de um arco gera uma abóboda de 
aresta, ao passo que uma única rotação de um 
arco, perpendicularmente a partir de seu eixo 
central, gera abóbadas de berço. Já a rotação 
contínua gera cúpulas. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 82
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(a)
(d)
(b)
(e)
Parábola
HipérboleHipérbole
Parábola
(f)
(c)
Figura 7. Geração de abóbodas de aresta (a), abóbadas de berço (b) e cúpulas (c) a partir de arcos; geração de parabo-
loides hiperbólicas a partir de parábolas (e) e hipérboles (f). Fonte: REBELLO, 2000, p. 146. (Adaptado). 
Ainda na Figura 7, fi ca demonstrada a possibilidade de geração de cascas 
a partir das seções cônicas. Por exemplo, o paraboloide hiperbólico, quando 
seccionado por planos verticais perpendiculares, gera parábolas. Quando esta 
geometria é seccionada por planos horizontais, são geradas hipérboles, que 
constituem algumas das principais cascas na arquitetura. 
As cascas podem ser consideradas estruturas anacrônicas. Existem cúpu-
las icônicas na antiguidade clássica, como o Pantheon e edifi cações tombadas 
da arquitetura moderna brasileira, como a Oca, no Parque do Ibirapuera, proje-
to de Oscar Niemeyer. Com relação às abóbadas, existem exemplos românicos, 
como as medievais abóbadas de aresta, da Universidade de Glasgow (Escócia), 
e obras racionalistas, como o Palazzo della Civiltà Romana, projetado e cons-
truído em Roma (Itália) por Giovanni Guerrini, Ernesto Bruno Lapadula e Mario 
Romano entre 1938 e 1943. 
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Exemplos marcantes de paraboloides hiperbólicas foram produzidos 
pelo arquiteto hispano-mexicano Felix Candela (1910-1997). Candela explo-
rou variações de paraboloides hiperbólicos a partir de intersecções com ou-
tras seções cônicas e segmentos de reta. Dentre suas obras mais famosas, 
figuram o Restaurante Los Manantiales, projetado em 1958 
na Cidade do México, o Pavilhão de Raios Cósmicos, proje-
tado em 1951 no campus da Universidade Autônoma do 
México, e o El Oceanográfico, projetado juntamente com 
Alberto Domingo e Carlos Lazaro. Este último projeto foi 
construído em Valência, Espanha. 
ASSISTA
A trajetória do arquiteto Felix Candela merece ser acom-
panhada de perto quando examinamos estruturas em 
casca. Sua trajetória foi marcada pela busca da forma 
ideal: um misto de eficiência estática, economia financei-
ra e elegância especial. 
Justamente por derivarem de arcos, muitas destas cascas apresentam 
desafios estruturais semelhantes. No caso das abóbodas de aresta, prefere-
-se que sua geometria geradora seja de arcos de catenária, e que as abóbo-
das possam se apoiar diretamente no solo ou em fundações, maximizando, 
assim, a atuação de esforços de compressão em sua superfície. 
Existe também a possibilidade das abóbodas de aresta se apoiarem 
em quatro apoios, mas, nesse caso, sua estabilidade depende muito de 
seu comprimento. Abóbadas demasiadamente longas tendem 
a ser afligidas pela compressão na parte superior e tração 
na parte inferior, comportando-se como vigas no eixo 
longitudinal. Estes fenômenos podem ser corrigidos pelo 
travamento dos arcos exteriores da abóbada com 
paredes sólidas, denominadas tímpanos. Em ca-
sos menos graves, Rebello (2000) ainda indica a 
possibilidade de instituir uma viga na base de 
cada arco externo da abóbada para estabilizar 
o sistema, eliminando deformações de borda e 
a ocorrência de flambagem. 
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Tímpano 
a b c
Figura 8. Abóbadas de aresta apoiadas em suas bases (a) e em pilares nos vértices dos arcos externos (b) e compli-
cações resultantes desta última confi guração geométrica (c). Estes efeitos podem ser sanados com o travamento das 
faces externas das abóbadas com tímpanos. Fonte: REBELLO, 2000, p. 139-140. (Adaptado).
No caso das cúpulas, também existe a preferência de se trabalhar com 
arcos de catenária para se obter uma superfície estrutural que trabalhe o 
peso próprio por meio da compressão. Esta geometria pode ser obtida por 
meio da secção ilustrada na Figura 
9a, em que a cúpula forma um ângu-
lo de 104º a partir da intersecção das 
semirretas que constituem o ângulo 
(que parte do centro da circunferên-
cia, gerando a cúpula) com as bases 
dos arcos da cúpula no solo. 
Esta geometria parte do princípio 
de que, ao cortarmos uma cúpula por 
planos horizontais e verticais, extrai-
remos círculos denominados para-
lelos e arcos denominados meridia-
nos, respectivamente (Figura 14b). A 
geometria gerada pela angulação de 
104º na Figura 14a assegura que os 
meridianos trabalhem exclusivamente 
sob compressão.
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 85
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104°
V
H
Figura 9. Confi guração geométrica ideal para manter os arcos meridianos (a) sob regime de compressão (b). Os círculos 
paralelos (b) derivados da secção horizontal das cúpulas auxiliam em sua absorção do empuxo, mas, muitas vezes, são 
necessários anéis de compressão volumosos, como no caso da Oca de São Paulo (c). Fonte: (a – b) REBELLO, 2000, p. 
139-143. (Adaptado); (c) MMBB. Acesso em: 06/11/2020. (Adaptado).
Os paralelos na Figura 14b são cruciais para o comportamento estrutu-
ral da cúpula, justamente por assegurarem que os arcos rotacionados não se 
abram devido ao empuxo. Entretanto, este empuxo é tanto que, muitas vezes, 
as cúpulas demandam apoios laterais enormes, como no caso do Pantheon, de 
Roma, ou soluções de fundação volumosas como os anéis de com-
pressão na Oca do Parque do Ibirapuera. Assim sendo, pode-se 
concluir quea execução de cascas em cúpulas demanda certa 
atenção para a presença de elementos de infraestrutura urba-
na no subsolo, pois eles podem ser afetados por suas fundações.
Materiais e pré-dimensionamento
Como verifi camos nas discussões deste tópico, a principal manifestação de 
materialidade em estruturas de cascas é o concreto armado, tanto no século XX 
quanto no século XXI. Alguns dos chamados artistas estruturais (BILLINGTON,
1985), como Eladio Dieste e Eduardo Torroja, chegaram a experimentar em cas-
cas com cerâmica armada, mas são exceções. 
(a) (b)
(c)
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O advento do século XXI também observou a chegada de novos materiais e 
ferramentas de design digital. Todavia, estes recursos foram muito mais apro-
veitados nas superfícies estruturais não rígidas, onde predominam os esforços 
de tração, como as membranas tensionadas e estruturas pneumáticas. 
Assim sendo, as prerrogativas de pré-dimensionamento de cascas deste 
subtópico partem das célebres explorações acadêmicas de Yopanan Rebello 
em A concepção estrutural e a arquitetura (2000). No âmbito das abóbadas múl-
tiplas de concreto armado, como no caso do Palazzo della Civiltà Romana, as 
combinações de espessura de casca, altura máxima de flecha e vão livre par-
tem de 6,25 cm de espessura, 1,5 m de altura e 12 m de vão livre. Os limites 
máximos destes parâmetros dimensionais para esta tipologia ficaram em 10 
cm de espessura, 4,5 m de flecha e incríveis 54 m de vão livre. 
A mesma análise feita para abóbadas de berço estruturadas em alvenaria 
indicam combinações mínimas de espessura, altura de flecha e vão livre da or-
dem de 20 cm de espessura, 3 m de flecha e 6 m de vão livre. Já os parâmetros 
máximos desta tipologia atingem 40 cm de espessura, 12 m de altura e apenas 
21 m de vão livre. Este comparativo deixa evidente a maneira na qual a armação 
do concreto consegue atingir maiores vãos livres sem necessitar subir sua flecha 
dramaticamente para conter os empuxos suscitados nesta tipologia estrutural. 
Abóbadas múltiplas – concreto armado
Espessura (T) em cm
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 m
et
ro
s
6,25 7,50 10,0
7,5
6,0
4,5
3,0
1,5
0 6,0 12,0 18,0 24,0 30,0 36,0 42,0 48,0 54,0
A Vão (L) em metros
TABELA 4. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE CASCAS – PARTE 1
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Fonte: REBELLO, 2000, p. 148. (Adaptado).
Abóbadas de alvenaria
Espessura (T) em cm
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 m
et
ro
s
20,0 30,0 40,0
15,0
12,0
9,0
6,0
3,0
0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0
 B Vão (L) em metros
O mesmo comparativo pode ser feito com relação a cúpulas estruturadas 
em concreto armado e em alvenaria. Cúpulas estruturadas em concreto arma-
do partem de combinações de espessura, flecha e vão livre de 5 cm, 3 m e 18 
m, respectivamente. Seus limites má-
ximos são 12,6 cm de espessura, 12 m 
de altura e 63 m de vão livre. Pode-se, 
todavia, alcançar 72 m de vão livre com 
um decréscimo de flecha para 9 m. 
As cúpulas em alvenaria mantêm 
sempre espessura média de 60 cm. 
Suas flechas partem de 6 m e chegam 
a 30 m. Já seus espectros de vão livre 
partem dos 12 m e chegam a 42 m. 
Mais uma vez, fica constatado o poder 
da armação do concreto para assegu-
rar um melhor desempenho e menor 
dispêndio de materiais para cascas em 
concreto armado. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 88
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Cúpula – concreto armado
Espessura (T) em cm
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 m
et
ro
s
5,0 7,5 10,0 12,6
18,0
12,0
9,0
6,0
3,0
0 9,0 18,0 27,0 36,0 45,0 54,0 63,0 72,0 81,0
 C Vão (L) em metros
Cúpula - alvenaria
Espessura (T) em cm
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 m
et
ro
s
≈ 
60,0
30,0
24,0
18,0
12,0
6,0
0 6,0 12,0 18,0 24,0 30,0 36,0 42,0 48,0 54,0
 D Vão (L) em metros
TABELA 5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE CASCAS – PARTE 2
Fonte: REBELLO, 2000, p. 148-149. (Adaptado).
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 89
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O pré-dimensionamento de cascas de forma mais complexa, como as para-
boloides hiperbólicas, demanda ferramentas de cálculo mais elaboradas. O di-
mensionamento nominal de sua geometria se dá, sobretudo, pelo método dos 
elementos finitos, entretanto, Rebello (2000) também disponibiliza ábacos sim-
plificados para sua geometrização. Assim sendo, de acordo com a 
Tabela 6, as paraboloides hiperbólicas em concreto armado po-
dem partir de espessuras de 7,5 cm, alturas de 1,5 m e vãos li-
vres de 6 m. Seus limites dimensionais máximos compreendem 
espessuras de 10 cm, alturas de 7,5 m e vãos livres de 48 m.
Paraboloide hiperbólico – concreto armado
Espessura (T) em cm
A
lt
ur
a 
(D
) e
m
 m
et
ro
s
7,5 10,0
7,5
6,0
4,5
3,0
1,5
0 6,0 12,0 18,0 24,0 30,0 36,0 42,0 48,0 54,0
 F Vão (L) em metros
TABELA 6. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE CASCAS – PARTE 3
Fonte: REBELLO, 2000, p. 149. (Adaptado).
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Sintetizando
Nesta unidade, foram analisadas possíveis conformações de distribuição 
de cargas e estruturação de placas por vigas laterais. Estas configurações 
estruturais foram desmembradas nas tipologias de lajes maciças, lajes ner-
vuradas, lajes em grelha e lajes pré-moldadas com diferentes possibilidades 
de elementos intermediários e vigotas, assim como lajes cogumelo com e 
sem capiteis. 
A seguir, ficou constatado que as estruturas em placas são majoritaria-
mente estruturadas em concreto armado. Inicialmente foram delineadas as 
prerrogativas de dimensionamento mínimo para lajes maciças de concreto 
armado e, posteriormente, fizemos uma reinterpretação gráfica referente 
às possíveis combinações de parâmetros dimensionais de espessura para 
vão livre de lajes maciças de concreto armado, lajes cogumelo com e sem 
capitel e lajes nervuradas com e sem caixão perdido. 
Também ficou estabelecido que existem possibilidades para desenvol-
ver panos de laje com madeira maciça e laminada, assim como com o aço, 
por meio do steel deck. Entretanto seus parâmetros de dimensionamento 
ficam relegados aos ábacos de cada fornecedor. Usualmente, estes ábacos 
reúnem dados de sobrecarga e os associam a vãos livres para determinar as 
dimensões nominais de cada componente estrutural. 
Na sequência, vimos como as estruturas em cascas são usualmente de-
rivadas das estruturas em arco, assim como das seções cônicas. Também 
se estabeleceu a definição de estruturas em casca como superfícies estru-
turais rígidas que trabalham, sobretudo, à compressão. Ainda observamos 
como arcos e seções cônicas podem ser associados geometricamente para 
formar abóbadas de aresta, abóbadas de berço, cúpulas e paraboloides 
hiperbólicos. Elas constituem as tipologias estruturais de cascas de maior 
disseminação. 
Foi analisado o comportamento destas principais tipologias em casca, 
ressaltando como sua derivação de geometrias de arcos suscita problemas 
em comum com os arcos. Isto é, prefere-se que abóbadas de arestas sejam 
apoiadas em suas bases laterais e que os arcos que as constituem sejam de-
rivados de arcos de catenária. Também se verificou como as cúpulas podem 
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maximizar a compressão atuante em suas superfícies por meio de relações 
de ângulos especiais. Estudamos como estas estruturas em cúpulas deman-
dam grandes apoios e fundações para conter seus esforços de empuxo, tal 
como ocorre com os arcos. 
Por fim, constatamos que existe a possibilidade de construir estruturas 
em cascas predominantemente em concreto armado, mas seus parâmetros 
de pré-dimensionamento foram comparados com equivalentes em alvena-
ria. Com a análise de ábacos, verificamos combinações de parâmetros di-
mensionais deespessura de casca, altura de flecha e vão livre, o que nos le-
vou a concluir que as cascas de concreto armado possuem um desempenho 
superior aos seus equivalentes em alvenaria, vencendo vãos maiores com 
espessuras muito menores.
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 92
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II 94
SER_ARQURB_SEII_UNID3.indd 94 24/11/2020 11:42:01
CONCEPÇÃO 
E FUNDAMENTAÇÃO 
DE ESTRUTURAS 
EM MEMBRANAS, 
ESTAIADAS E 
PÊNSEIS
4
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender a concepção e fundamentação de estruturas em membranas;
 Compreender a concepção e fundamentação de estruturas estaiadas;
 Compreender a concepção e fundamentação de estruturas pênseis.
 Estruturas estaiadas e pênseis
 Concepção e fundamentação
 Materiais e pré-dimensionamento
 Membranas tensionadas
 Concepção e fundamentação
 Materiais e pré-dimensionamento
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Estruturas estaiadas e pênseis
O tópico inicial desta unidade abor-
da as estruturas estaiadas e pênseis. 
Duas tipologias estruturais diferentes, 
porém, semelhantes, justamente por 
derivarem de associações discretas de 
cabos (REBELLO, 2000). Sabe-se que as 
estruturas derivadas dos cabos alcan-
çam os maiores vãos dentre as tipolo-
gias estruturais conhecidas, por meio 
da tração. Entretanto, estes sistemas 
necessitam de apoios rígidos em con-
creto armado, metal ou madeira para 
consolidarem sua sustentação.
De modo a melhor compreender esses sistemas estruturais, o presente 
tópico foi subdividido em dois: concepção e fundamentação e materiais e 
pré-dimensionamento.
O subtópico concepção e fundamentação visa conceituar e diferenciar as 
tipologias estruturais estaiadas e pênseis, apontando os principais elementos 
que caracterizam sua fundamentação estática. Já o subtópico materiais e pré-
-dimensionamento versa sobre as prerrogativas de materialização e pré-di-
mensionamento vigentes para essas tipologias. 
Concepção e fundamentação
O entendimento das estruturas estaiadas e pênseis, partem da estrutura-
ção dos cabos. Os cabos se deformam mediante a posição e quantidade dos 
carregamentos que os acometem, tal qual pode ser verifi cado na Figura 1 (EN-
GEL, 2003). O cabo apresenta resistência, apenas, à tração, e, mediante fi xação 
em uma barra rígida (através de anéis, como mostra a Figura 1a). Um carrega-
mento em seu ponto médio faria os anéis deslizarem rumo ao centro da barra 
(Figura 1b). Logo, constata-se que existe uma certa relação entre movimenta-
ção horizontal e fl echa, ou altura entre o cabo e a barra.
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A
C
B
D
E
T
F
T T
Flecha
Figura 1. As funiculares dos cabos. Fonte: REBELLO, 2000, p. 86-87. (Adaptado).
Explicando a Figura 1, temos os cabos fixados por anéis em barras (Figura 
1a), que deslizam rumo ao centro da barra, mediante carregamento (Figura 1b). 
Essas deformações de cabos, causadas por carregamentos, se chamam funicu-
lares. Temos funiculares com um carregamento (Figura 1c), com dois carrega-
mentos (Figura 1d) e com cargas uniformemente distribuídas ao longo do cabo 
(Figura 1e).
Seguindo a mesma lógica, um cabo com suas duas extremidades fixadas de 
maneira rígida em uma barra adquire uma deformação denominada funicular 
(Figura 1c), correspondente a seu tracionamento por seu único carregamento 
centralizado. A funicular de dois carregamentos simétricos pode ser contem-
plada na Figura 1d, ao passo que a Figura 1e representa uma modalidade espe-
cial de funicular: a catenária. 
As catenárias (Figura 1e) são especiais, pois representam a funicular de um 
cabo, mediante seu carregamento por cargas uniformemente distribuídas. Isto 
é, a funicular representa o carregamento de um cabo tracionado pelo seu peso 
próprio, da mesma maneira que ocorre na Figura 1a. 
T
F F
T T
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A
C
B
D
Hz Hz
f2 F
Pilar Pilar Pilar Pilar
Hi Hi
f1
F
Figura 2. O empuxo nos cabos. Fonte: REBELLO, 2000, p. 86-87. (Adaptado).
Explicando a Figura 2, temos que quanto maior a flecha, menor o empu-
xo (Figura 2a), e vice-versa (Figura 2b). Logo, enquanto a relação de flechas se 
manter em f1 > f2 (1), a relação de esforços horizontais (empuxos) se manterá 
em H1 < H2 (2). Dentre as estratégias mais consolidadas para combater o em-
puxo, se encontram a utilização de pilares robustos (Figura 2c) e tirantes asso-
ciados a pilares esbeltos (Figura 2d). 
Da mesma maneira, é importante ressaltar que existe uma relação inversa 
entre a flecha e o empuxo. Quanto maior a flecha, menor o empuxo (Figura 2a). 
Logo, quanto menor a flecha, maior o empuxo (Figura 2b). Sugere-se que a re-
lação ideal de flecha e vão, para estruturas derivadas dos cabos, siga a relação 
mostrada na equação (3), a fim de controlar o empuxo (REBELLO, 2000).
Em que:
• f é flecha do cabo;
• L é o vão livre do cabo.
Para contrapor essa questão, as estruturas derivadas dos cabos podem se 
utilizar de apoios robustos (Figura 2 (c)), que absorvem esforços de compres-
são simples e flexão, sendo soluções onerosas e de difícil logística construtiva. 
1
10
f
L
1
5
< < (3)
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Outra opção implica em pilares mais esbeltos (Figura 2d), que encaminham 
o empuxo para outro cabo, denominado tirante, que, por sua vez, encaminha 
os esforços rumo à fundação da estrutura. Não obstante,em ambos os casos, 
as fundações precisam ser volumosas, o que demanda bastante cuidado com 
as fundações de edifícios vizinhos e elementos de infraestrutura urbana.
CITANDO
O termo tirante está muito presente na literatura acerca de estruturas 
pênseis e estaiadas, sendo definido por Corona e Lemos (1972, p. 452) 
como uma “comprida barra de ferro com as extremidades ancoradas 
em paredes fronteiras, que absorve os empuxos laterais [...] impedindo o 
desmoronamento da construção”. 
Esta lógica de absorção de empuxos nos dá pistas sobre a conceituação e 
entendimento de estruturas estaiadas e estruturas pênseis. Estruturas pênseis 
são, usualmente, sustentadas por pendurais apoiados em cabos de aço curva-
dos, apoiados em torres ou apoios robustos (OLIVEIRA, 2012). 
Esse é o caso apresentado na Figura 2c, ou da ponte Golden Gate (Figura 3), 
construída em 1937, em São Francisco, EUA. A ponte possui um vão livre má-
ximo de 1280,2 metros. Também, existem exemplos nacionais icônicos desse 
tipo de ponte, como a Ponte Hercílio Luz, em Florianópolis. Ela foi inaugurada 
em 1926 e reaberta, após múltiplas interdições, em 2019. O vão livre máximo 
na Ponte Hercílio Luz é da ordem de 339 metros.
Figura 3. Ponte Golden Gate, em São Francisco, um exemplo de estrutura pênsil. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 12/11/2020.
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Figura 4. Exemplo de distribuição de forças de pontes pênseis.
A Figura 4 mostra um exemplo de distribuição de forças de pontes pên-
seis, em que a carga do tabuleiro é transmitida para os cabos curvados e, em 
seguida, para os pilares. Esses pilares podem absorver, em conjunto, a carga 
dos módulos estruturais subsequentes, ou encaminhar os esforços de empuxo 
para as fundações.
Como pode ser visto na Figura 4, nessas estruturas pênseis, a carga das 
lajes ou tabuleiro das pontes é transmitida para os cabos curvados principais 
a partir de cabos secundários. Estes cabos curvados principais, com a forma 
das funiculares de suas forças, encaminham sua carga e empuxos para apoios 
volumosos ou torres. 
Estas torres absorvem os esforços de compressão e empuxo referentes 
aos módulos estruturais adjacentes, no caso de estruturas com múltiplos 
módulos, como a ponte Golden Gate. Os cabos curvados dos módulos der-
radeiros encaminham os esforços para as fundações da estrutura, também 
significantemente grandes. 
No caso das estruturas pênseis, os cabos curvados são denominados cabos 
de crista, ao passo que os cabos que transmitem as cargas do tabuleiro para os 
cabos de crista, são chamados de cabos estabilizantes (REBELLO, 2000). 
Já as estruturas estaiadas são sustentadas por cabos retos, usual-
mente inclinados, apoiados em arcos ou pilares retos e/ ou 
angulados. Exemplos notáveis dessas estruturas incluem 
a ponte estaiada de São Paulo (Ponte Octavio Frias de 
Oliveira), construída em 2008, e a ponte Sundial, em Re-
dding, EUA, projetada por Santiago Calatrava, em 2004.
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A
B
Figura 5. Ponte Sundial (a) e ponte Octavio Frias de Oliveira (b). Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 12/11/2020. (Adaptado).
ASSISTA
Santiago Calatrava é um arquiteto, engenheiro e doutor, formado pelo 
prestigioso ETH de Zurique. É um dos atores mais importantes da cena 
da concepção estrutural contemporânea. Seus projetos permeiam inú-
meras tipologias estruturais, mas é no âmbito das estruturas estaiadas e 
da biomimética (a incorporação de elementos das estruturas animais na 
construção civil) que seu legado se impõe. Saiba um pouco mais sobre o 
arquiteto, assistindo a uma entrevista dada por ele (em inglês) ao portal de 
arquitetura ArchDaily.
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 102
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Da mesma maneira que ocorre com as estruturas pênseis, os esforços da 
laje (ou tabuleiro, no caso das pontes) é transmitido para apoios verticais. Entre-
tanto, a análise da Figura 6 indica que, ao contrário do que ocorre nas estrutu-
ras pênseis, os cabos curvos são suprimidos por cabos retos, porém inclinados. 
Posteriormente, estes esforços são encaminhados dos apoios verticais para as 
fundações volumosas, na mesma proporção que no caso das estruturas pênseis. 
Figura 6. Exemplo de distribuição de forças de pontes estaiadas.
A Figura 6 mostra um exemplo de distribuição de forças de pontes estaia-
das, em que a carga do tabuleiro é transmitida para os cabos retos inclinados, 
e, em seguida, para os apoios. Estes apoios encaminham seus esforços de em-
puxo e flexão para as fundações.
Existem possibilidades da derivação de estruturas estaiadas a partir de as-
sociações entre cabos e arcos. O estádio Moses Mabhida, projetado em 2009, 
em Durban, África do Sul, para a copa do mundo de futebol de 2010, é um 
exemplo claro destas possibilidades. Nesse projeto, não existe um tabuleiro de 
ponte a ser suspenso, mas sim uma grande cobertura tensionada. 
Os tirantes submetem os dois arcos da cobertura do estádio a tamanho 
esforço que eles se inclinam para dentro, se aterrando em robustas fundações 
para resistir ao empuxo. Dada a extensão e flecha dos arcos, eles se a apoiam 
entre si através de travamentos horizontais, que também combatem os esfor-
ços de flambagem, que naturalmente acometem estruturas deste porte. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 103
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No caso do pavilhão Quadracci, do Museu de Artes de Milwaukee, EUA, 
construído entre 1994 e 2001, e projetado por Santiago Calatrava, observa-se a 
utilização do tirante com outras geometrias. Se trata de um projeto emblemá-
tico, pois serve de entrada e anexo para o museu de artes, projeto do grande 
arquiteto finlandês Eero Saarinem em 1957. 
ASSISTA
O arquiteto finlandês Eero Saarinem (1910 – 1961) vem de uma renomada 
geração de arquitetos finlandeses, estando no patamar de nomes como 
Alvar Aalto (1898 – 1976). Ele trabalhou com coberturas atirantadas em 
pórtico e grandes cascas de concreto armado. Dentre seus projetos 
mais notáveis, está o Dulles Airport, em Washington DC, EUA, cuja 
cobertura é solidarizada por cabos de aço. Para saber mais sobre a 
trajetória deste notável arquiteto, assista o vídeo Eero Saarinem: shaping 
the future, postado pelo canal Newfields. 
Algo fantástico sobre a estrutura deste pavilhão, de Calatrava, 
é que a cobertura atirantada é móvel. Suas abas laterais, cujo 
comprimento varia de oito a 32 metros, se abrem e 
fecham como asas de pássaros, quando a veloci-
dade dos ventos do lago de Michigan supera 65 
Km/h. A estrutura também pode ser manipulada 
mecanicamente, sendo que a envergadura de 66 
metros de suas asas se abre durante o dia, quando 
o museu está aberto, e se fecha a noite.
As estruturas estaiadas também podem ser utilizadas para supor-
tar grandes cargas, inclusive cargas dinâmicas, como no caso da estação Santo 
Amaro da CPTM, em São Paulo. O projeto da plataforma da linha desta esta-
ção foi feito pelo arquiteto João Toscano, e sua inauguração se deu em 1986. 
Sua vedação entremeia elementos metálicos que visam o conforto acústico e 
térmico dos ocupantes da estação, e o desembarque dos estais no centro da 
plataforma revela a dimensão das fixações necessárias para sustentar uma es-
trutura deste porte. 
Outra dimensão de implementação de estruturas estaiadas se dá como apoio 
a outros sistemas estruturais principais. Isto pode ser evidenciado em uma so-
lução de acesso relativamente popularizada no Brasil: as marquises estaiadas.
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Figura 7. Derivações de estruturas estaiadas: estádio Moses Mabhida (a), pavilhão Quadracci do Museu de Artes de 
Milwaukee (b), estação Santo Amaro da CPTM (c) e marquise atirantada comum (d). Fonte: Adobe Stock; Shutterstock; 
DUM Engenharia. Acesso em: 12/11/2020. (Adaptado).A
B
C
D
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Materiais e pré-dimensionamento
Estruturas derivadas de cabos costumam ser destinadas a vãos livres consi-
deráveis. O mesmo pode ser dito de estruturas estaiadas, só que, nesse caso, 
existem exceções como as marquises. Nessas exceções, o que ocorre é que a 
estrutura, em si, pertence a outra tipologia. É o que ocorre nos pórticos em 
concreto armado do MAM do Rio de Janeiro, projeto de Aff onso Eduardo Reidy.
Figura 8. Tirantes como apoios em outros sistemas estruturais: MAM. Fonte: MIGLIANI, 2018; VASCONCELLOS, 2004, p. 256. 
(Adaptado).
A B
Os cabos que constituem os tirantes do MAM são de aço. Eles trabalham 
a tração na transmissão de cargas do mezanino para a viga do pórtico. Estes 
tirantes podem ser contemplados tanto no interior do projeto, quanto em seus 
cortes técnicos, vistos na Figura 8a e Figura 8b, respectivamente.
Tendo em vista que os cabos de estruturas estaiadas e pênseis trabalham 
exclusivamente a tração, é natural que sua composição seja dedicada, exclu-
sivamente, ao aço. Entretanto, a fl exão imposta aos elementos verticais das 
estruturas pênseis, ou nos elementos verticais e/ ou inclinados das estruturas 
estaiadas, costuma demandar elementos robustos de concreto armado ou pe-
ças mais esbeltas de aço. 
A diferença na composição destes elementos que recebem os ca-
bos em ambas estas tipologias estruturais, se justifi ca pelo 
fato de que o aço lida com esforços equivalentes aos do 
concreto armado com maior facilidade. O aço resiste a 
tração e compressão se utilizando de um único mate-
rial, resultando em peças mais leves e mais esbeltas. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 106
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No caso das estruturas pênseis, existe maior 
movimento no tabuleiro ou laje a ser sustenta-
da, de modo que são necessários contraven-
tamentos horizontais para sua estabilização. 
A materialidade destas vigas de travamento, 
varia de acordo com o partido e solução proje-
tual do tabuleiro. 
Entretanto, faz-se a ressalva de que o pesado tráfego rodo-
viário e/ ou ferroviário em tais estruturas, pode deteriorar mais 
rapidamente vigas de travamento executadas em madeira. A mesma preocu-
pação se dá com relação ao aço, no caso de regiões costeiras (embora sejam, 
justamente, as treliças metálicas os elementos que melhor asseguram o tra-
vamento dos tabuleiros destas estruturas). Consequentemente, as estruturas 
pênseis demandam uma manutenção considerável em suas ligações, e pode-
-se argumentar que isto induz a utilização do concreto armado em seus com-
ponentes estruturais não-tracionados. 
Já as estruturas estaiadas possuem maior rigidez, dispensando estas vigas 
de travamento. A ponte da estação Santo Amaro foi a primeira estrutura es-
taiada construída no Brasil, em 1998 (OLIVEIRA, 2012). Já as pontes pênseis, 
existem no Brasil há quase 100 anos, e isto acentua consideravelmente a de-
manda por sua manutenção. Todavia, um elemento de manutenção bastan-
te recorrente nas pontes estaiadas são suas ligações, que podem demandar 
apertos periódicos. 
Não existem parâmetros de consulta imediata para o pré-dimensionamen-
to de estruturas pênseis, mas os ábacos de Rebello nos indicam importantes 
prerrogativas sobre o potencial de sustentação dos cabos de crista, elemento 
central na sustentação das estruturas pênseis. Algo importante de se ressaltar 
é que estes ábacos de Rebello levam sempre em conta a realidade construtiva 
brasileira (REBELLO, 2000). 
Levando em conta os indicadores da Figura 9, pode-se concluir que as es-
truturas pênseis contemporâneas possuem combinações de flecha e vão livre, 
que se iniciam com alturas de três metros e comprimentos de 15 metros, res-
pectivamente. Os limites máximos para estes cabos ficam em alturas de 12 
metros para vãos livres de 120 metros de extensão. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 107
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Entretanto, sabe-se que estes cabos de aço podem chegar a vãos livres de qua-
se dois quilômetros, como ocorre na ponte japonesa Akashi Kaikyo, localizada em 
Kioto. Esta estrutura possui uma extensão total de 3,911 metros, e um vão livre má-
ximo de 1,991 metros de comprimento. No Brasil, a maior ponte pênsil é a já men-
cionada Ponte Hercílio Luz, com 339 metros de vão livre. Há, ainda, a possibilidade 
de vãos da ordem de 5,5 quilômetros, para linhas de transmissão (REBELLO, 2000). 
Cabos de aço
Fl
ec
ha
 e
m
 m
et
ro
 (D
)
15,0
12,0
9,0
6,0
3,0
0 15,0 30,0 45,0 60,0 75,0 75,0 90,0 106,0 120,0
B Vão (L) em metros
O diâmetro do cabo é da ordem do milésimo do vão.
L
D
Figura 9. Ábaco de pré-dimensionamento para estruturas derivadas dos cabos. Fonte: REBELLO, 2000, p. 91. (Adaptado).
QUADRO 1. DIAGRAMA PARA A INTERPRETAÇÃO DO ÁBACO PARA 
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE CABOS DE AÇO
Fonte: REBELLO, 2000, p. 91. (Adaptado).
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Algo importante de se mencionar, é que as pontes penseis são as de 
maior disseminação na construção civil mundial, em função de seus parâ-
metros de segurança projetuais e custos de construção. Além disso, seus li-
mites materiais ainda não foram plenamente esgotados (SALVADORI, 2011). 
A cada ano que passa, surgem novas pontes dessa tipologia estrutural, com 
vãos cada vez maiores. Curiosamente, isso ocorre cada vez mais na China. 
Heino Engel (2003, s. p.) apresenta parâmetros de pré-dimensionamento 
para estruturas derivadas dos cabos mais apropriados aos tirantes, sugerin-
do que seu vão mínimo limítrofe fi ca na casa dos 50 metros. Já para o espec-
tro de vãos ótimos para estruturas atirantadas, ele estipula uma variação de 
80,0 a 500,0 metros, mas sem estipular uma altura precisa.
A maior estrutura estaiada presente no mundo é a ponte Russky, locali-
zada em Vladivostok, Rússia, com um vão livre de 1,104 metros e um total de 
3100 metros de extensão. No Brasil, dentre as maiores destas estruturas, 
fi gura a ponte Newton Navarro, em Natal, que possui um vão livre estaiado 
de 500 metros e uma extensão total de 2713 metros. 
Constata-se que, dados os grandes vãos e complexidade de 
cargas que as afl igem, o dimensionamento de estruturas es-
taiadas e penseis se dá por ferramental de cálcu-
lo mais robusto, como o método dos elementos 
fi nitos. Estas análises computacionais visam 
neutralizar o principal inimigo das estru-
turas em cabo, o vento, pois correntes de 
vento mais acentuadas podem retirar o cabo 
de sua funicular. 
Membranas tensionadas
O presente tópico aborda as associações contínuas de cabos, isto é, cabos 
dispostos tão proximamente uns dos outros que formam uma superfície úni-
ca (REBELLO, 2000). Se trata de um assunto especial no âmbito dos sistemas 
estruturais, pois é justamente das membranas tensionadas que derivam as 
principais inovações em termos de materiais estruturais e software de design 
digital na concepção estrutural das primeiras décadas do século XXI. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 109
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Para melhor analisar este assunto, este tópico foi subdivido em dois subtópi-
cos iniciais: concepção e fundamentação e materiais e pré-dimensionamento. 
Neste primeiro subtópico são abordados parâmetros de estruturação e a com-
posição da tipologia estrutural das membranas tensionadas. Já no segundo sub-
tópico, são abordadas possibilidades de materiais construtivos e estratégias de 
pré-dimensionamento vigentes para estas estruturas tão peculiares. 
Concepção e fundamentação
As membranas tensionadas nada mais são do que a disposição con-
tínua de cabos, entremeados ortogonalmente entre si. O resultado são 
as superfícies estruturais não-rígidas, ou associação contínua de cabos 
(BECHTHOLD, 2008; REBELLO, 2000).
Tendo em vista que essas estruturas são derivadas dos cabos, elas pa-
decemdas mesmas dificuldades e se beneficiam das mesmas questões que 
eles: alcançam vãos livres consideráveis e com leveza, mas somente me-
diante a absorção da tração e correndo o risco de perder sua estabilidade 
em função do vento. 
Logo, para manter a sua forma ideal, derivada das funiculares de seus es-
forços, o importante nesta tipologia estrutural é zelar pelo seu enrijecimento, 
por meio de uma malha secundária de cabos. Dentre os arranjos mais usuais 
destas malhas de cabos secundários, fi guram o que vemos na Figura 10. 
Na Figura 10a, observa-se um arranjo que se utiliza de um cabo de crista, 
que muito se assemelha à confi guração de pontes pênseis. A diferença desse 
arranjo para as estruturas pênseis é que os cabos estabilizantes não estão 
suportando um tabuleiro, mas estabilizando a funicular do cabo de crista. 
Já a Figura 10b indica uma distribuição radial de cabos tracionados, que 
ficam ancorados em suas extremidades e estabilizados e mantidos em suas 
funiculares por anéis, também constituídos por cabos. 
A Figura 10c sugere uma configuração parecida com a anterior, com a 
diferença de que a chegada dos cabos radiais ao solo é interrompida por 
cabos de vale. Esta conformação viabiliza o recobrimento de áreas retangu-
lares (REBELLO, 2000). Todas as soluções da Figura 10 podem ser recober-
tas por membranas tensionadas. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS II 110
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A B
C
Cabo de crista
Cabos estabilizantes
Cabo de vale
Cabo de vale
Cabo de vale
Figura 10. Arranjos de cabos secundários para estruturas de membranas tensionadas. Fonte: REBELLO, 2000, p. 120-121. 
(Adaptado).
Na Figura 10a temos as configurações de arranjos de cabos secundários, se 
utilizando de cabos de crista, cabos de vale e cabos estabilizantes. Na Figura 
10b temos o ancoramento radial dos cabos. Na Figura 10c temos a distribuição 
radial de cabos, se utilizando de cabos de vale em uma base retangular.
É impossível analisar essas estruturas sem remeter às tendas de nômades 
beduínos (Figura 11a). Nessas estruturas estão presentes as mesmas prerro-
gativas das estruturas derivadas de cabos e das membranas tensionadas de 
hoje: a dependência de apoios rígidos nos quais atar os cabos e a deformação 
excessiva que vem com ventos mais fortes.
Embora estas tendas demonstrem o uso da tração por parte de constru-
tores em todo o mundo, foi em meados do século XX que o arquiteto alemão 
Frei Otto revolucionou a maneira de projetação e construção de estruturas de 
membranas tensionadas. Dentre suas edificações mais emblemáticas se en-
contram a cobertura para o Estádio Olímpico de Munique, concluído em 1972 
(Figura 11b). 
O arquiteto alemão Frei Otto (1925 - 2015) teve uma trajetória construtiva 
incrível, sendo laureado com o prêmio Pritzker, em 2015, a condecoração má-
xima no mundo da arquitetura. Sua produção implicou em experimentações 
com modelos e materiais construtivos diferentes, estabelecendo as membra-
nas tensionadas como uma tipologia estrutural legitima para grandes vãos. 
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Figura 11. Exemplos de membranas tensionadas: tenda nômade no deserto (a) e cobertura para o Estádio Olímpico de 
Munique (b). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 12/11/2020. (Adaptado).
Durante esta trajetória, Otto fundou o que hoje é denominado ILEK (Insti-
tute for lightweight structures and conceptual design). Dentre as experimen-
tações mais consagradas de Otto, figura sua análise de modelos de sabão (Figu-
ra 12a), em que ele buscava a superfície mínima (a menor área necessária para 
recobrir uma determinada superfície). 
DICA
O ILEK realiza pesquisas acadêmicas sobre diversas tipologias estruturais. 
Exemplos de suas pesquisas envolvem tecidos e materiais alternativos, o uso do 
concreto armado em fibra de plástico e finas cúpulas de vidro feitas para resistir 
à neve. Para saber mais, recomenda-se o acesso ao portal do ILEK e leitura de 
algumas de suas publicações (em inglês). 
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Nesse experimento de Otto, as estruturas tinham sua forma obtida por 
meio de modelos de sabão, conhecidos na comunidade acadêmica internacio-
nal como soap films, e modelos mais intricados (Figura 12b), em que existiam 
sensores de movimentação mediante aos carregamentos aos quais eram sub-
metidos. Se trata de um processo iterativo de obtenção de formas, em que, a 
partir da tentativa e erro, se reduzia o número de tentativas necessárias para 
se chegar à solução construtiva. 
Esta solução construtiva, por sua vez, era testada em modelos cada vez 
maiores até atingir a escala 1:1. Antes do estádio de Munique, foram testadas 
coberturas menores como o pavilhão alemão para a Expo 67 de Montreal. A 
solução de cobertura final foi recoberta com uma lona de polyester revestida 
por PVC, de modo a assegurar um certo grau de transparência (Figura 12c).
Mesmo diante de tamanha experimentação, nota-se a presença de enormes 
cabeçotes de fundação brotando do solo, justamente para arrefecer os esforços 
de empuxo oriundos dos tirantes (Figura 12c). É importante se atentar às intenções 
projetuais no subsolo, em função do volume destes componentes construtivos. 
Figura 12. Processo de projeto do Estádio Olímpico de Munique. Fonte: ZEXIN; MEI, 2017, p. 2; WENDLAND, 2003, p. 7; 
Shutterstock. Acesso em: 12/11/2020. (Adaptado).
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Ao longo do século XX, surgiram outras possibilidades de tramas de cabos 
tracionados, como as estruturas pneumáticas. A palavra pneumática quer dizer 
“ramo da Física que trata das propriedades físicas (peso, pressão, elasticidade 
etc.) do ar e dos outros gases” (PNEUMÁTICA, 2020). Já o termo pneumático fica 
definido como sendo um adjetivo relativo ao ar, à pneumática ou definindo 
algo que é movido ou acionado por ar comprimido (PNEUMÁTICO, 2020).
Uma análise mais aprofundada das definições desses termos revela que o 
conceito ainda não se difundiu plenamente no imaginário popular no que diz 
respeito à construção civil. Entretanto, fica claro que se trata de estruturas que 
são estruturadas (tracionadas) pela ação do ar. Existem duas variações tipoló-
gicas principais no que diz respeito às estruturas pneumáticas:
• As estruturas que são infladas por dentro, sob uma lona, tecido ou mem-
brana, tal qual mostrado na Figura 13a. Nesta variação tipológica, todo o espa-
ço interno gerado pela estrutura é pressurizado;
• As estruturas em que existe uma camada de ar entre as membranas que 
as compõem, tal qual mostrado na Figura 13b. Nesta variação tipológica, ape-
nas o espaço intersticial entre as membranas se encontra pressurizado. 
Figura 13. Variações de estruturas pneumáticas. Fonte: SCHODEK; BECHTHOLD, 2014, p. 386. (Adaptado).
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Figura 15. Exemplos das variações de estruturas pneumáticas (parte 2). Fonte: Adobe Stock; Shutterstock. Acesso em: 
12/11/2020. (Adaptado).
Figura 14. Exemplos das variações de estruturas pneumáticas (parte 1). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 12/11/2020. 
(Adaptado).
Nas Figuras 13a e 13c podemos ver estruturas pneumáticas infladas por 
dentro, por ar comprimido. Nas Figuras 13b e 13d vemos estruturas infladas 
por meio de uma camada de ar-comprimido entre a face interna e a externa da 
membrana que as recobre. Dentre as estruturas pneumáticas com camada de 
ar, existe a possibilidade da construção em paredes duplas (vista na Figura 13d) 
ou em costelas (vista na Figura 13e).
Exemplos de estruturas pressurizadas em todo o seu interior incluem qua-
dras esportivas de tênis indoor, muito populares no mundo todo (Figura 14a). 
Outro exemplo icônico dessa tipologia inclui o estádio Tokyo Dome (Figura 
14b), projetode Takenaka Corporation e Nikken Sekkei, em 1988. Seu interior é 
levemente pressurizado, e abriga uma capacidade de 44 mil pessoas.
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As estruturas pneumáticas podem ser pressurizadas nas camadas de pa-
redes internas, como no caso da Allianz Arena de Munique (Figura 15a). Este 
projeto dos arquitetos Herzog Meuron, de 2005, possui uma capacidade para 
75.000 expectadores, e sua fachada é composta por painéis costurados a cada 
0,2 mm, que se acendem independentemente. 
Existe, também, a possibilidade de estruturas pneumáticas compostas por 
costelas infl áveis, muito utilizados em estruturas efêmeras e hangares milita-
res (Figura 15b). A arquitetura efêmera é uma constante para ambas as mo-
dalidades de membranas tensionadas: as tensoestruturas convencionais e as 
estruturas pneumáticas. 
Por fi m, existe a possibilidade de se trabalhar com estruturas pressurizadas 
internamente, a fi m de se compor lajes e vigas pneumáticas. Este é o caso dos 
produtos da Tensairity (Figura 16), fornecedor italiano de soluções para pontes, 
coberturas e áreas para eventos temporários. 
Figura 16. Solução de ponte temporária da Tensairity. Fonte: Tensairity Solutions. Acesso em: 12/11/2020.
Materiais e pré-dimensionamento
Rebello (2000, s. p.) não dispõem de ábacos para estruturas de membra-
nas tensionadas, dado o ferramental de cálculo necessário para o compu-
to de sua geometria, determinada por métodos computacionais derivados 
dos elementos finitos. 
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Já Engel (2003, s. p.) se aventura a estipular espectros de vãos estaticamente 
viáveis e vãos ótimos para variações de estruturas em membranas tensionadas 
convencionais, também conhecidas como tensoestruturas e membranas pneu-
máticas (Quadro 2). 
Tipologia estrutural Diagrama da tipologia
Espectro de vãos 
estaticamente 
possíveis
 Espectro de 
vãos ótimos
Membrana 
tensionada 
convencional 
(tensoestruturas)
Cabos de crista e de vale
20 a 100 metros 50 a 70 metros
 Distribuição radial
20 a 150 metros 30 a 80 metros
Estruturas 
pneumáticas
Pressurização interna
10 a 300 metros 10 a 40 metros e 90 a 200 metros
Pressurização 
intra-camadas
10 a 70 metros 10 a 50 metros
Membrana 
tensionada 
Membrana 
tensionada 
convencional 
(tensoestruturas)
Membrana 
tensionada 
convencional 
(tensoestruturas)
tensionada 
convencional 
(tensoestruturas)
convencional 
(tensoestruturas)(tensoestruturas)
Cabos de crista e de valeCabos de crista e de valeCabos de crista e de valeCabos de crista e de valeCabos de crista e de valeCabos de crista e de valeCabos de crista e de valeCabos de crista e de vale
20 a 100 metros
 Distribuição radial
20 a 100 metros
 Distribuição radial
20 a 100 metros
 Distribuição radial
20 a 100 metros
 Distribuição radial
20 a 100 metros
 Distribuição radial Distribuição radial
20 a 150 metros
50 a 70 metros
20 a 150 metros
50 a 70 metros
20 a 150 metros
50 a 70 metros
20 a 150 metros
50 a 70 metros
20 a 150 metros
50 a 70 metros
30 a 80 metros30 a 80 metros30 a 80 metros30 a 80 metros
Estruturas 
pneumáticas
Estruturas 
pneumáticas
Estruturas 
pneumáticaspneumáticaspneumáticas
Pressurização internaPressurização internaPressurização internaPressurização internaPressurização internaPressurização internaPressurização interna
10 a 300 metros
Pressurização 
intra-camadas
10 a 300 metros
Pressurização 
intra-camadas
10 a 300 metros
Pressurização 
intra-camadas
10 a 300 metros
Pressurização 
intra-camadas
10 a 300 metros
intra-camadas
10 a 40 metros e
 90 a 200 metros
10 a 70 metros
10 a 40 metros e
 90 a 200 metros
10 a 70 metros
10 a 40 metros e
 90 a 200 metros
10 a 70 metros
10 a 40 metros e
 90 a 200 metros
10 a 70 metros
10 a 40 metros e
 90 a 200 metros 90 a 200 metros
 10 a 50 metros 10 a 50 metros 10 a 50 metros 10 a 50 metros 10 a 50 metros
QUADRO 2. PRERROGATIVAS DE PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 
EM MEMBRANAS TENSIONADAS
Fonte: ENGEL, 2003, p. 62. (Adaptado).
O Quadro 2 mostra os vãos estaticamente viáveis e ótimos para variações de 
membranas tensionadas convencionais e estruturas pneumáticas. A análise cuida-
dosa do Quadro 2 revela que tensoestruturas possuem vãos estaticamente viáveis 
de 20 a 100 metros e de 10 a 150 metros, para tensoestruturas derivadas de cabos 
de vale e de crista e tensoestruturas radialmente dispostas, respectivamente. 
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Quando o assunto são os vãos ótimos, as tensoestruturas com cabos de 
vale e de crista ficam entre 50 a 70 metros, ao passo que tensoestruturas de 
distribuição radial ficam entre 30 e 80 metros.
Já com relação às estruturas pneumáticas, as estruturas pressurizadas in-
ternamente apresentam vãos estaticamente viáveis de 10 a 50 metros, e apre-
sentam dois espectros de vãos ótimos: 10 a 40 metros e 90 a 200 metros de vão 
livre. Já as estruturas pressurizadas entre camadas de sua fachada apresentam 
vãos estaticamente possíveis entre 10 e 70 metros, com vãos ótimos ficando 
entre 10 a 50 metros.
Com relação à materialidade destas estruturas em membrana, evoluímos 
consideravelmente desde o naylon revestido de PVC, utilizado no estádio de 
Munique. Este ponto, aliás, foi um dos mais criticados pela comunidade arqui-
tetônica, pois as vedações se amarelaram rapidamente com o tempo. 
Não possuímos fornecedores brasileiros para estruturas de membranas 
tensionadas de grande porte, sendo que cada projeto, muitas vezes, traz con-
sigo uma variação de tecidos engenheirados para seu caso em especial, sendo 
muitas vezes tratados como segredos industriais. 
Todavia, hoje, as soluções mais uti-
lizadas em tensoestruturas incluem 
o polyester revestido por PVC, a fibra 
de vidro revestida por Teflon ou a fi-
bra de vidro revestida por silicone. Os 
revestimentos de PVC são baratos, 
resistentes ao fogo e facilmente costu-
rados. Entretanto, suas superfícies se 
descolorem rapidamente e acumulam 
bastante sujeira, apresentando vida 
útil limitada a um espectro de dez a 20 
anos. Já revestimentos de Teflon são mais resistentes à degradação, porém se 
desgastam mais facilmente (SCHODEK; BECHTHOLD, 2014). 
No âmbito das pneumáticas, os mesmos materiais podem ser utilizados, 
mas Bechthold (2008, s. p.) indica que se destacam, também, as membranas de 
ETFE (etileno tetrafluoroetileno), um plástico a base de flúor, e as membranas 
de THV (tetrafluoretileno), mais conhecido como Teflon. 
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Os colchões de ar em ETFE apresentam maior disseminação em função de 
suas propriedades, como maior translucidez e resistência mecânica em relação 
a alternativas como o PVC. As membranas de ETFE também podem ser recicla-
das e desenvolvidas com propriedades autolimpantes. 
Hoje, a engenharia dos materiais contribui ativamente com a arquitetura e 
a engenharia civil na geração de, cada vez mais, variações de ETFE, THV e PVC 
para serem utilizados em membranas tensionadas e estruturas pneumáticas, 
todos derivados de polímeros (os plásticos da construção civil). 
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Sintetizando
Esta unidade foi dividida em dois grandes tópicos: Estruturas estaiadas 
e pênseis e Membranas tensionadas. Cada um destes tópicos explorou a 
concepção estrutural e a fundamentação teórica referente a cada uma des-
tas tipologias estruturais, refletindo acerca de possíveis materiais a serem 
adotados e os parâmetros de pré-dimensionamento utilizados.
Ao longo da unidade foram diferenciados os conceitos de estruturas es-
taiadas e estruturas pênseis, no que diz respeito à sua configuração geomé-
trica e rigidez, e ficou estabelecida a maneira como estas estruturas deri-
vam doscabos. Foi explorada a natureza do encaminhamento de cargas em 
ambas as tipologias estruturais, assim como foram apontadas obras emble-
máticas de ambas as estruturas. 
As estruturas estaiadas e pênseis são, primariamente, utilizadas para 
grandes vãos, sendo que o material predominante de seu cabeamento é o 
aço, justamente por sua resistência à tração. Ficou claro que não existem 
parâmetros tão bem definidos para seu pré-dimensionamento, dada a com-
plexidade de seu comportamento estrutural. 
No tópico sobre membranas tensionadas ficou, mais uma vez, estabele-
cida a maneira como estas estruturas se utilizam de elementos estaiados e 
de cabos em sua configuração. Também foram apresentadas duas variações 
tipológicas dentro desta categoria: as tensoestruturas e as estruturas pneu-
máticas, derivadas do ar comprimido. 
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