Exemplos Resolvidos Aula 05 - CCE1612 Modelagem e Simulação em Engenharia Civil

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CCE1612 – MODELAGEM E SIMULAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
AULA 05 – EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
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1ª QUESTÃO: 
Dada a estrutura abaixo composta por barras, determine os deslocamentos e a reação de apoio, sabendo que 
duas cargas axiais estão sendo aplicadas nos nós B e C. 
 
SOLUÇÃO: 
• Nó 1 
f1 = f1
1 = k1u1 − k1u2 
• Nó 2 
f2 = f2
1 + f2
2 = − k1u1 + k1u2 + k2u2 − k2u3 = − k1u1 + (k1 + k2)u2 − k2u3 
• Nó 3 
f3 = f3
2 = − k2u2 + k2u3 
 
{
F1
F2
F3
} = [
k1 −k1 0
−k1 k1 + k2 −k2
0 −k2 k2
] x {
u1
u2
u3
} 
 
Aplicando as condições de contorno: 
 
{
F1
F2
F3
} = [
k1 −k1 0
−k1 k1 + k2 −k2
0 −k2 k2
] x {
u1
u2
u3
} 
 
E1 = 70 GPa = 70 x 10
6 kN/m2 = E2
 
A1 = 600 mm² = 600 x 10
-6 m² 
A2 = 500 mm² = 500 x 10
-6 m² 
k1 =
EA1
l1
=
70 x 106 x 600 x 10−6
5,00
= 8.400 kN/m2 
 
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k2 =
EA2
l2
=
70 x 106 x 500 x 10−6
2,00
= 17.500 kN/m2 
 
{
75
50
} = [
25.900 −17.500
−17.500 17.500
] x {
u2
u3
} 
 
Resolvendo através de um sistema, obtemos os deslocamentos dos nós 2 e 3: 
• u2 = 0,01488 m; 
• u3 = 0,01774 m. 
 
Cálculo da reação do nó 1: 
• Nó 1 
f1 = f1
1 = k1u1 − k1u2 = 8.400 x 0,00 − 8,400 x 0,01488 = 124,99 kN 
 
2ª QUESTÃO: 
L1 = 10; E1A1 = 50; L2 = 10; E2A2 = 100; L3 = 10√2; E3A3 = 400√2 
Barra 1: Ø = 0°; Ø = 90°; Ø = 45° 
 
 
[k] =
EA
L
[
 
 
 
 
cosϕ² cosϕsenϕ
cosϕsenϕ senϕ²
−cosϕ² −cosϕsenϕ
−cosϕsenϕ −senϕ²
−cosϕ² −cosϕsenϕ
−cosϕsenϕ −senϕ²
cosϕ² cosϕsenϕ
cosϕsenϕ senϕ² ]
 
 
 
 
 
 
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Barra 1 
[k1] =
50
10
[
 1 0
 0 0
−1 0
 0 0
−1 0
 0 0
 1 0
 0 0
] 
[k1] = [
 5 0
 0 0
−5 0
 0 0
−5 0
 0 0
 5 0
 0 0
] 
 
Barra 2 
[k2] =
100
10
[
0 0
0 1
 0 0
 0 −1
0 0
0 −1
0 0
0 1
] 
 
[k2] = [
0 0
0 10
0 0
0 −10
0 0
0 −10
0 0
0 10
] 
 
Barra 3 
[k3] =
400√2
10√2
[
 
0,5 0,5
0,5 0,5
−0,5 −0,5
−0,5 −0,5
−0,5 −0,5
−0,5 −0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
] 
 
[k3] = [
 
20 20
20 20
−20 −20
−20 −20
−20 −20
−20 −20
 20 20
 20 20
] 
 
 
 
 
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{
F3x
F3y
} = [
20 20
20 30
] {
u3x
u3y
} 
 
Resolvendo através de um sistema (multiplicando a primeira linha por -1), obtemos os deslocamentos do nó 
3: 
−20u3x − 20u3y = −5
20u3x + 30u3y = 3
 
u3y = −
2
10
= −0,20 
u3x =
5 − 20 𝑥 (−0,20)
20
= 0,45