Aplicações da Algebra Linear nas Engenharias

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UNIVERSIDADE PAULISTA- UNIP 
 
ANTONIA PAMELA PEREIRA OLIVEIRA - F313FB5 - EB1A12 
CAIQUE SOUZA SILVA - F280AA-5 - EB1A12 
DJONE RIBEIRO MORAES - N548711 - EB1A12 
IGOR MENDES DA SILVA - N678HA-5 - EB1A12 
NOAH MARTINS DE BARROS - N662AD5 - EB1A12 
PEDRO MARTINIS MARQUES - N594870 - EB1A12 
RICARDO GOMES DA SILVA - T463IB2 - EB1A12 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR EM PROBLEMAS NA ÁREA DA 
ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMPINAS 
2020 
1 
 
APRESENTAÇÃO DAS IMPORTANTES APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA LINEAR NA 
ENGENHARIA 
 
OLIVEIRA, Antonia; SILVA, Caíque; MORAES, Djone; da SILVA; Igor; de BARROS, 
Noah; MARQUES, Pedro; SILVA, Ricardo; 
Orientador: WASQUES, Vinícius. 
 
RESUMO 
Este trabalho discutiu-se sobre a importância de apresentar as aplicações sobre 
estudos que envolvem Álgebra Linear nos cursos de Engenharia, principalmente 
nos cursos de Engenharia Elétrica, através de métodos de escalonamento 
utilizando-se as Leis de Kirchnoff e na Engenharia Civil com o equilíbrio de 
estruturas metálicas, tendo os problemas resolvidos através de resolução matriciais, 
contendo dados numéricos, permitindo-se sua resolução manualmente. Durante a 
pesquisa, notou-se que, em problemas reais, em geral, são apresentadas 
dimensões maiores e que necessitam-se de auxílio de ferramentas e softwares 
computacionais apropriados para serem realizadas seus cálculos da fórmula exata, 
sem ocorrer erros de cálculo. 
 
 
Palavras Chave: Álgebra linear; Engenharia; Sistemas Lineares. 
 
ABSTRACT 
This work discussed the importance of presenting applications on studies involving Linear 
Algebra in Engineering courses, mainly in Electrical Engineering courses, using 
scheduling methods using Kirchnoff's Laws and in Civil Engineering with the balance of 
metallic structures, having the problems solved through matrix resolution, containing 
numerical data, allowing its resolution manually. During the research, it was noted that, in 
real problems, in general, larger dimensions are presented and that the aid of appropriate 
computational tools and software is required to perform their calculations of the exact 
formula, without any calculation errors. 
 
2 
 
 
Key words: Linear algebra; Engineering; Linear systems. 
 
3 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO _________________________________________________ 4 
2. OBJETIVO ____________________________________________________ 5 
3. DESENVOLVIMENTO ___________________________________________ 6 
3.1. MÉTODOS ________________________________________________ 6 
3.1.1. ESCALONAMENTO ______________________________________ 6 
3.1.2. EQUAÇÕES MATRICIAIS _________________________________ 7 
3.1.2.1. MATRIZ QUADRADA ___________________________________ 8 
3.1.2.2. RÉGRA DE CRAMER ___________________________________ 9 
3.2. APLICAÇÕES _____________________________________________ 11 
3.2.1. CIRCUITOS ELÉTRICOS _________________________________ 11 
3.2.2. ESTRUTURAS METÁLICAS ______________________________ 12 
4. CONCLUSÕES _______________________________________________ 18 
5. BIBLIOGRAFIA _______________________________________________ 19 
 
 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A Álgebra Linear tem crescido muito nas últimas décadas e tem ligação direta com 
várias áreas das ciências exatas, humanas e biológicas. Na modelagem de situações que 
necessitam avaliar a tendência dos dados reais, codificação e criptografia, 
implementação de algoritmos para a criação de softwares, no cálculo estocástico em 
finanças, tem-se nesses alguns exemplos do papel essencial desta ciência em nossa 
sociedade que se torna cada vez mais tecnológica. 
Nos cursos de engenharia de modo geral tem-se nos primeiros semestres um 
núcleo comum de disciplinas básicas da área da Matemática, entre elas, Álgebra Linear, 
Geometria Analítica e Cálculo Diferencial e Integral. Os profissionais da área necessitam 
da formação de competências para sua atuação, das quais, construir modelos para 
descrever e analisar situações, testar hipóteses, analisar e otimizar processos, que 
constituem habilidades adquiridas no estudo dessas grades curriculares. 
As aplicações de Álgebra Linear na Engenharia estão presentes em: 
•Equações lineares em decisões gerenciais; circuitos eletrônicos e exploração de 
petróleo, entre outros. 
•Álgebra matricial em computação gráfica. 
•Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos. 
•Espaços vetoriais em sistemas de controle. 
•Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos, entre outros. 
Dentre suas aplicações, traremos o conhecimento no campo da Engenharia 
Elétrica e Engenharia Civil. A Engenharia Elétrica com a presença de equações lineares 
em circuitos elétricos (por meio do escalonamento), já a Engenharia Civil através de 
projetos de estruturas metálicas (utilizando equações matriciais). 
 
5 
 
 
2. OBJETIVO 
 
A criação deste trabalho tem como principal objetivo, através de pesquisas 
acadêmicas, apresentar situações de problemas na área da Engenharia que possam ser 
resolvidos com Álgebra Linear pelos métodos de Escalonamento, que consiste em 
converter a matriz aumentada do sistema dado, numa matriz escalonada, aplicando uma 
sequência de operações denominados de operações elementares (tais operações são 
escolhidas de forma que a solução do sistema não seja alterada); e Equações Matriciais 
que abrange grande campo de possibilidades para a resolução de seus problemas, 
contudo, traremos abordagens com Matrizes Quadradas e Regra de Cramer 
(determinantes). 
Com este conceito esperamos elucidar muitas dúvidas a respeito deste assunto 
essencial na formação acadêmica dos estudantes. 
 
6 
 
3. DESENVOLVIMENTO 
 
A Álgebra Linear é um campo das Ciências Exatas que tem grande importância no 
desenvolvimento do nosso mundo. Suas aplicações são essenciais quando o assunto é 
desenvolver novas tecnologias. Abrange um campo vasto de execuções práticas. Dentre 
elas estão os métodos de escalonamento e equações matriciais. 
Os profissionais do campo da Engenharia normalmente adquirem contato com a 
Álgebra Linear nos primeiros anos de graduação. A Engenharia Elétrica tem aplicações 
lineares em circuitos elétricos, já a Engenharia Civil, a aplicabilidade está presente na 
construção de estruturas metálicas. 
 
3.1. MÉTODOS 
3.1.1. ESCALONAMENTO 
 
Conhecido como Escalonamento, o Método de Eliminação de Gauss, 
apresenta os maiores índices de aplicação na solução de sistemas lineares. 
Ele consiste em converter a equação aumentada em escalonada. Fazendo o 
uso sequencial de operações elementares, que são escolhidas de forma que não 
haja alteração na solução do problema. 
Dentre essas operações estão: 
● Multiplicar ou dividir uma equação por um número real não nulo; 
● Substituir uma equação pela soma ou subtração dela com uma outra, 
mantendo a outra equação em questão; 
● Trocar duas equações entre si. 
Quando aplicamos o sistemas de escalonamento a resolução da equação 
fica mais simples e o nível de dificuldade fica mais baixo. Um exemplo é o seguinte 
sistema presente na Figura 01, a seguir: 
Figura 1 - Sistema de Escalonamento em Equações Lineares 
 
Fonte:1 https://www.dm.ufscar.br/~yolanda/vga/ga1.pdf 2020 
https://www.dm.ufscar.br/~yolanda/vga/ga1.pdf
7 
 
Para resolver a equação, utilizou-se o método de substituição de “trás para 
frente”. Sendo z=6/2 (2 é o número com a incógnita, então passa dividindo), que 
resulta em z=3. Com a obtenção do valor de z, substituiu-se o valor nas linhas acima 
localizadas. Na segunda linha foi substituído o valor encontrado de z e obtemos a 
equação y+4*3=13, chegando ao resultado y=1. Já na primeira linha, com os valores 
das incógnitas substituídos, encontrou-se o resultado de x, sendo igual a 4. 
Quando encontramos uma equação que não se encontra no formado de 
escada, devemos executar o processo de escalonamento com as etapas a seremconsideradas de acordo com cada situação, até podermos utilizar o método de 
substituição das incógnitas de “trás para frente”. 
Um exemplo a seguir, na Figura 02: 
Figura 2 - Sistema Linear com três equações 
 
Fonte:2 http://r1.ufrrj.br/mntpeaf/wp-content/uploads/2016/06/SISTEMAS-LINEARES.pdf 2020 
A resolução para tal problema sucedeu-se da seguinte forma: Somou-se a 
linha 2 com a linha 1 e o resultado foi considerado como a nova segunda equação 
(2y+3z=1). Em seguida, subtraiu-se a linha 1 da linha 3 e a solução permaneceu 
como a terceira equação. Logo após, a subtração da linha 3 é feira pela linha 2, e a 
nova equação que permanecerá no lugar, é a resultante da apuração desses 
passos. 
Com a execução das medidas citadas no parágrafo acima, temos um sistema 
escalonado. A primeira linha constituindo uma equação de ordem x+y+z=1, a 
segunda 2y+3z=1 e a terceira z=1. Assim temos o valor de cada letra. A letra z 
comportando o número 1, y com -1 e x de valor igual a 1 positivo. 
 
3.1.2. EQUAÇÕES MATRICIAIS 
 
As Equações Matriciais são fruto da relação entre Matrizes e Sistemas 
Lineares. Ela também é uma das formas mais utilizadas para resolver problemas no 
http://r1.ufrrj.br/mntpeaf/wp-content/uploads/2016/06/SISTEMAS-LINEARES.pdf
8 
 
campo das ciências exatas. Tendo assim, alguns fatores em comum com o sistema 
de Escalonamento. 
Devemos levar em consideração que existem vários tipos de matrizes e 
através de estudos dirigidos, conseguimos encontrar métodos de resoluções para 
algumas delas. 
Vejamos exemplos: 
 
3.1.2.1. MATRIZ QUADRADA 
 
Um sistema com m equações e n incógnitas será representado da seguinte 
forma, presente na Figura 03: 
Figura 3 - Sistema de Equação Matricial 
 
Fonte:3 http://www.ipb.pt/~balsa/teaching/1011/M1/cap3_aula.pdf 2020 
 
Na intenção de entender e resolver uma equação matricial, os seguintes 
passos devem ser avaliados: 
● As matrizes e os sistemas trabalham em conjunto; 
● A equação matricial ax=b representa o sistema: 
1. a sendo a matriz dos coeficientes; 
http://www.ipb.pt/~balsa/teaching/1011/M1/cap3_aula.pdf
9 
 
2. b sendo o vetor de termos independente do 
sistema; 
3. x sendo o vetor das incógnitas. 
● Se a equação ax=b for resolvida, o sistema também pode ser 
resolvido; 
● Conseguimos resolver o sistema quando o número de equações é 
igual ao número de incógnitas (m=n), sendo assim, matrizes 
quadradas. 
Resolvendo a Equação Matricial: 
● Se a matriz for quadrada, existe uma matriz inversa a ela (AA-¹ = A-
¹A=1) 
Sendo assim: 
Ax = b 
<=>A-¹Ax = A-¹b 
<=>Inx = A-¹b 
● O valor da multiplicação da matriz inversa (A-¹xb) é igual a solução do 
sistema; 
● A solução do problema é encontrado quando calculamos A-¹. 
 
3.1.2.2. RÉGRA DE CRAMER 
 
A regra de Cramer consiste em chegar a solução do sistema de equações 
através de determinantes. 
● Sendo Ax=b, em que o número de equações é equivalente ao de incógnitas 
e o detA é diferente de 0, temos: 
X=detAx/detA 
X=detAy/detA 
X=detAz/detA 
● Ax, Ay e Az são componentes da Matriz A, com suas colunas substituídas 
pela Matriz B. 
Aplicando a regra em um exemplo presente na Figura 04: 
 
10 
 
Figura 4 - Sistema Linear não homogêneo 
 
Fonte: 1 file:///C:/Users/Ant%C3%B4nia/Downloads/SISTEMAS-LINEARES.pdf 2020 
● Conseguiremos determinar as incógnitas se, ao utilizarmos o “método de 
Cramer”, escolhermos valores para os determinantes de Ax, Ay, e Az. Sendo 
obtidos ao substituirmos a coluna de interesse pela coluna dos termos 
independentes k. 
A representação matricial do problema: 
 
1 1 1 x 6 
4 2 -1 y = 5 
1 3 2 z 13 
 
Como é uma matriz de ordem 3, para encontramos o determinante devemos 
seguir os seguintes passos: 
● Copiar as duas primeiras colunas ao final da matriz (lado direito); 
● Multiplicarmos as diagonais principais (lado superior esquerdo em direção 
ao lado inferior direito), somando o resultado de todas; 
● Multiplicarmos as diagonais secundarias (lado superior direito em direção 
ao lado inferior esquerdo), somando o resultado de todas; 
● Subtrairmos o valor das diagonais secundarias do valor das diagonais 
principais (dtprincipais – dtsecundárias). 
 
No caso de Ax, o detA será 8. 
● A coluna dos termos independente k, será substituída no lugar de Ax. 
Tendo o seguinte esquema: 
6 1 1 6 1 
5 2 -1 5 2 
13 3 2 13 3 
 
http://../Ant%C3%83%C2%B4nia/Downloads/SISTEMAS-LINEARES.pdf
11 
 
Dp1=6x2x2=24/ Dp2=1x-1x13=-13/ Dp3=1x5x3=15 
Dp1+Dp2+Dp3=24-13+15=26 
Ds1=1x2x13=26/ Ds2=6x-1x3=-18/ Ds3=1x5x2=10 
Ds1+Ds2+Ds3=26-18+10=18 
Dps-Dss=26-18=8 
DetA(Ax)=8 
 
● Seguindo esse mesmo raciocínio, temos que DetA(Ay)=35 e DetA(Az)=24. 
 
3.2. APLICAÇÕES 
3.2.1. CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
● Sistema de equação linear utilizando sistema de escalonamento em um 
circuito elétrico de Leis de Kirchhoff - Lei das malhas 
1. = Lei das Malhas (KVL): A some das tensões em uma malha é sempre 
zero! 
 
 
 
2. = Resistores em serie as tensões se divide. 
 
-V + ix.R1 + ix.R2 = 0 
KVCL a = i1 + i2 + 4 = 0 
KVCL b = -10 + 2.i1 – 1.i2 = 0 
 
 
i1 + i2 = - 4 (i) 
12 
 
2i1 – i2 = 10 (ii) 
(i) + (ii) = 
3i1 = 6 
i1=6/3 =2 
i1= 2 A 
 
2 + i2 = -4 
i2 = -4 – 2 
i2 = -6 A 
 
i2 = 10 – 4 
-i2 = - 6 A 
 
 
 
3. = Soma das correntes nos nós = 0 
 
2 + 4 - 6 = 0 
 
 
4. = Soma das tensões na malha = 0 
 
2.2 + 6.1 
-10 + 4 + 6 = 0 
 
3.2.2. ESTRUTURAS METÁLICAS 
 
13 
 
Considerando a estrutura metálica, solicitada com 500 N no ponto B, 
determinar os esforços em cada barra e se as barras estão sendo tracionadas ou 
comprimidas. 
 
 
O modelo matemático usado nesta situação consiste em isolar os elementos 
da treliça indicando os efeitos causados pela solicitação e analisar o equilíbrio de 
cada nó. 
Neste problema as equações foram escritas de forma a aplicar os assuntos 
tratados neste trabalho - Sistemas Lineares. Dessa forma, aplicando a metodologia 
apresentada tem-se que: 
 Nó A, figura (a): terá quatro forças atuantes, as duas reações de apoio, Ax 
e Ay, uma vez que é apoio fixo e as reações das barras BA e CA no nó A, FBA e 
FCA. 
Nó B, Figura (b): terá três forças atuantes, as reações das barras BA e BC 
no nó B, FBA e FBC, e a força externa de 500N. ˆ 
Nó C, Figura (c): terá três forças atuantes, uma reação de apoio Cy e as 
reações das barras BC e AC no nó C, FCA e FBC, respectivamente. 
 
14 
 
Forças atuantes no nó A (a), nó B (b) e nó C (c) 
 
Nesse modelo foi considerado que a barra BC está empurrando o nó B, isto 
é, foi suposto que a barra BC está sobre compressão. De forma análoga, a barra 
BA está puxando o nó A, isto é, foi suposto que a barra BA está sobre tração. Os 
mesmos efeitos foram considerados no nó C. 
Os sentidos das forças em cada nó, devido ao efeito de compressão ou 
tração considerados em cada barra, poderá ser adotado de forma aleatória, uma 
vez que o sentido correto da força será verificado na solução do sistema linear. 
De forma geral, quando uma barra está empurrando o nó significa que este 
elemento está sobre compressão, e quando está puxando o nó é porque este 
elemento está sobre tração. 
Adotando a orientação para o sistema de eixos convenientes, tem - se as 
seguintes equações: 
 
Nó A: 
 
● +→ ΣFx = 0 
−Ax + FAC = 0 (1° equação) 
 
● + ↑ ΣFy = 0 
−Ay + FBA = 0 (2° equação) 
 
Nó B: 
 
15 
 
cos(45°) = (FBCX/FBC) 
FBCX = cos(45°)FBC 
 
● +→ ΣFx = 0 
500 – FBCX = 0 
500 − cos(45°)FBC = 0 (3° equação) 
 
cos(45°) = (FBCY/FBC) 
FBCY = cos(45°)FBC 
 
● + ↑ ΣFy = 0 
−FBA + FBCY = 0 
−FBA + cos(45°)FBC = 0 (4° equação) 
 
Nó C: 
 
cos(45°) = (FBCX/FBC) 
FBCX = cos(45°)FBC 
 
● +→ΣFx = 0 
−FCA + FBCX = 0 
−FCA + cos(45°)FBC = 0 (5° equação) 
 
 
Sen(45°) = (FBCY/FBC) 
FBCY = sen(45°)FBC 
 
● + ↑ ΣFy = 0 
16 
 
Cy – FBCY = 0 
Cy − sen(45°)FBC = 0 (6° equação)Desse modo, tem-se o Sistema Linear Escalonado com 6 equações e 6 
incógnitas: 
−Ax +FCA 
= 0 
 −Ay +FBA 
= 0 
 −FBA +0, 
71FBC = 0 
 −FCA +0, 
71FBC = 0 
 Cy −0, 
71FBC = 0 
 0, 
71FBC = 500 
 
Na forma matricial tem-se: 
-1 0 0 1 0 0 AX 0 
0 -1 1 0 0 0 AY 0 
0 0 -1 0 0 0,71 FBA = 0 
0 0 0 -1 0 0,71 FCA 0 
0 0 0 0 1 -0,71 CY 0 
0 0 0 0 0 0,71 FBC 500 
 
Das equações do sistema linear se obtém os valores das incógnitas: 
−Ax +FCA = 0 -> AX = 500N 
 −Ay +FBA = 0 -> AY = 500N 
 −FBA +0, 71FBC = 0 -> FBA = 500N 
 −FCA +0, 71FBC = 0 -> FCA = 500N 
 Cy −0, 71FBC = 0 -> CY = 500N 
 0, 71FBC = 500 -> FBC = 704,2N 
 
Como a solução do sistema não apresentou nenhuma incógnita negativa 
significa que os sentidos adotados (tração e compressão) em cada barra está 
correto. Os esforços nas barras são de tração (BA e CA) e compressão (BC ). 
17 
 
 
 
18 
 
 
4. CONCLUSÕES 
 
Concluímos que a Álgebra Linear tem um papel de grande importância em 
diversas áreas do conhecimento, principalmente no campo das Engenharias. Focando 
suas aplicações na Engenharia Elétrica e Engenharia Civil, obtivemos o conhecimento 
de sua atuação e eficácia em cada uma. Possibilitando uma resolução com menor grau 
de dificuldade, promovendo os métodos de Escalonamento e Equações Matricicais. Vale 
ressaltar que em problemas reais, geralmente as dimensões sāo maiores e necessitam 
do auxílio de ferramentas e softwares computacionais apropriados para a realização dos 
cálculos de fórmula exata, sem ocorrer erros de grande escala. 
 
 
 
19 
 
5. BIBLIOGRAFIA 
 
ALGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES. ALGEBRA LINEAR com aplicações. 
Disponível em: 
www.file:///D:/Facul.%20Engenharia%20Civil%201semestre/APS/Leon(Algebra%2
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APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR NA ENGENHARIA. APLICAÇÃO DE 
ÁLGEBRA LINEAR NA ENGENHARIA. Disponível em: 
file:///D:/Facul.%20Engenharia%20Civil%201semestre/APS/art2127.pdf. Acesso 
em: 14 mai. 2020. 
CAPÍTULO 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. Capítulo 3 - Sistemas de 
Equações Lineares. Disponível em: 
http://www.ipb.pt/~balsa/teaching/1011/M1/cap3_aula.pdf. Acesso em: 12 mai. 
2020. 
SISTEMAS LINEARES E ESCALONAMENTOS. Sistemas Lineares e 
Escalonamentos. Disponível em: 
file:///D:/Facul.%20Engenharia%20Civil%201semestre/APS/ga1.pdf. Acesso em: 
14 mai. 2020. 
SISTEMAS LINEARES. SISTEMAS LINEARES. Disponível em: 
http://r1.ufrrj.br/mntpeaf/wp-content/uploads/2016/06/SISTEMAS-LINEARES.pdf. 
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APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES NA 
ENGENHARIA. APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES 
NA ENGENHARIA. Disponível em: http://petengenhariasifba.com.br/wp-
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2020.