CALCULO DE MULTIPLAS VARIAVEIS - NOITE - RESOLUCAO

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GABARITO - AVALIAÇÃO AV01 
Disciplina: Cálculo de Múltiplas variáveis 
Turma: 1001 
1 
 
 
QUESTÕES: 
QUESTÃO 02 (0,75 PONTO) 
Determine a intensidade da força componente F, figura abaixo. Escrever a memória de 
cálculo na folha resposta 
 
a) F = 240 N 
b) F = 285 N 
c) F = 245 N 
 
d) F = 345 N 
e) F = 445 N 
 
RESOLUÇÃO 
 
Como podem ver na figura acima, o ângulo α será 45 graus, uma vez que é paralelo ao 
ângulo entre a força F e o eixo y; já o ângulo β será 60 graus porque o ângulo entre o eixo 
x com o eixo y dá 90 graus, como a força de 200N está a trinta graus do eixo x, para 
completar os 90 graus, faltam 60 graus. 
Lembrando que a soma de todos os ângulos internos de um triangulo são 180 graus, então, 
o ângulo entre a força de 200N e a força F são 75 graus. 
Utilizando a lei dos senos, temos que: 
𝐹
𝑠𝑒𝑛(60)
=
200𝑁
𝑠𝑒𝑛(45)
 
𝐹 = 
200 ∙ 𝑠𝑒𝑛(60)
𝑠𝑒𝑛(45)
=
200 ∙ √3 2⁄
√2
2
⁄
=
200√3
2
∙
2
√2
=
200 ∙ √2√3
2
= 245𝑁 
Alternativa correta: C - CASA 
QUESTÃO 01 (0,25 PONTO) 
Vetores possuem características que os diferenciam de um escalar, por exemplo. Assinale 
a alternativa correta a respeito de vetores: 
a) Possui intensidade, força e sentido. d) Possui força, comprimento e direção. 
β = 60° 
α = 45° 
F 200 N 
GABARITO - AVALIAÇÃO AV01 
Disciplina: Cálculo de Múltiplas variáveis 
Turma: 1001 
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b) Possui comprimento, direção e 
sentido. 
c) Possui sentido, direção e 
intensidade. 
e) Possui direção, torque e 
comprimento. 
ALTERNATIVA CORRETA: C – CASA 
Força, comprimento e torque são grandezas físicas que podem descrever um vetor, porém 
não são elementos suficiente e tão pouco somente eles. 
QUESTÃO 03 (0,75 PONTO) 
A transposição da regra da cadeia serve para auxiliar quando uma equação diferencial 
parcial precisa ser resolvida. A respeito da transposição da regra da cadeia, assinale a 
alternativa correta. 
f) O procedimento de resolução é executar a derivada parcial entre a função em relação 
a variável auxiliar e em seguida a derivada parcial entre a variável auxiliar com as 
variáveis da função, ou seja, 
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 – Alternativa correta 
a) A parcela que pode ser derivada diretamente precisa ser substituída por uma variável. 
b) A variável auxiliar é derivada pela função, 
𝜕𝑢
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
. 
c) Realiza-se a soma entre as derivadas parciais da função com a variável auxiliar e da 
auxiliar com as variáveis da função. 
d) É uma operação que envolve realizar a derivada parcial duas vezes da função 
auxiliadora, quando a função for em relação a duas ou mais variáveis. 
QUESTÃO 04 (0,75 PONTO) 
Assinale a alternativa correta quanto a solução de 𝑓(𝑥,𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(4,2)
𝑥2+𝑦2−2𝑥𝑦
2𝑥𝑦
. Escrever 
a memória de cálculo na folha resposta 
a) 𝑓(𝑥,𝑦) = 0 
b) 𝑓(𝑥,𝑦) = −2 
c) 𝑓(𝑥,𝑦) = −1 
d) 𝑓(𝑥,𝑦) = 1 
e) 𝑓(𝑥,𝑦) = 2 
 
RESOLUÇÃO 
𝑓(𝑥,𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(4,2)
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦
2𝑥𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(4,2)
42 + 22 − 2 ∙ 4 ∙ 2
2 ∙ 4 ∙ 2
=
16 + 4 − 16
16
=
−4
16
=
−1
4
 
ALTERNATIVA CORRETA: ANULADA 
QUESTÃO 05 (1,0 PONTO) 
Dados os vetores abaixo, determine o produto vetorial �⃗� × 𝑎 . 
𝑎 = −22𝑗 + 4�⃗� e �⃗� = 7𝑖 + 17𝑗 + 12�⃗� 
 
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Disciplina: Cálculo de Múltiplas variáveis 
Turma: 1001 
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QUESTÃO 06 (1,5 PONTO) 
Dada a equação diferencial 𝑤 = 𝜋𝑟 + 2cos(𝑠) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 𝜋. Determine a solução da 
equação. 
 
RESOLUÇÃO 
�⃗� = [
𝑖 𝑗 �⃗� 
7 17 12
0 −22 4
]
𝑖 𝑗 
7 17
0 −22
| 
 
Diagonal principal – diagonal secundária 
�⃗� = {(17 ∙ 4 ∙ 𝑖 ) + (12 ∙ 0 ∙ 𝑗 ) + (7 ∙ (−22) ∙ �⃗� )} − {(17 ∙ 0 ∙ �⃗� ) + [12 ∙ (−22) ∙ 𝑖 ] + (4 ∙ 7 ∙ 𝑗 )} 
�⃗� = [(68 ∙ 𝑖 ) + (0 ∙ 𝑗 ) + (−154 ∙ �⃗� )] − [(0 ∙ �⃗� ) + (−264 ∙ 𝑖 ) + (28 ∙ 𝑗 )] 
�⃗� = (∙ 68 + 264)𝑖 + (0 − 28)𝑗 + (−154 − 0)�⃗� 
�⃗� = 332𝑖 − 28𝑗 − 154�⃗� 
RESOLUÇÃO 
• Solução para variável r: 
𝜕𝑤
𝜕𝑟
=
𝜕
𝜕𝑟
𝜋𝑟 +
𝜕
𝜕𝑟
2cos(𝑠) +
𝜕
𝜕𝑟
𝑠𝑒𝑛(2𝑡) +
𝜕
𝜕𝑟
𝜋 
𝜕𝑤
𝜕𝑟
= 𝜋𝑟 ln(𝜋) + 0 + 0 + 0 = 𝜋𝑟 ln(𝜋) 
• Solução para variável s: 
𝜕𝑤
𝜕𝑠
=
𝜕
𝜕𝑟
𝜋𝑟 +
𝜕
𝜕𝑟
2cos(𝑠) +
𝜕
𝜕𝑟
𝑠𝑒𝑛(2𝑡) +
𝜕
𝜕𝑟
𝜋 
𝜕𝑤
𝜕𝑠
= 0 − 2sen(s) + 0 + 0 = −2sen(s) 
• Solução para variável t: 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑟
𝜋𝑟 +
𝜕
𝜕𝑟
2cos(𝑠) +
𝜕
𝜕𝑟
𝑠𝑒𝑛(2𝑡) +
𝜕
𝜕𝑟
𝜋 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 0 + 0 + cos(2t) + 0 = cos(2t) 
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Disciplina: Cálculo de Múltiplas variáveis 
Turma: 1001 
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QUESTÃO 07 (2,0 PONTOS) 
Dada a equação diferencial 𝑓 = √3𝑟 − 𝑠 + sen(2𝑡2). Determine a solução da equação. 
Lembrando que você precisa utilizar a regra da cadeia e a regra da soma para obter a 
solução da equação. 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
𝑓 = √3𝑟 − 𝑠 + sen(2𝑡2) 
• Substituir 3𝑟 − 𝑠 por u, portanto, 𝑢 = 3𝑟 − 𝑠 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
= √𝑢 + sen(2𝑡2) →
𝜕𝑓
𝜕𝑢
= 𝑢1/2 + sen(2𝑡2) = 
1
2
𝑢
1
2
−1 + 0 =
1
2
𝑢−1/2 
• Utilizando a regra da cadeia para a variável r, temos que: 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
1
2
𝑢−
1
2 ∙
𝜕
𝜕𝑟
3𝑟 − 𝑠 =
1
2
𝑢−
1
2 ∙ 3 =
3
2√3𝑟 − 𝑠
 
• Utilizando a regra da cadeia para a variável s, temos que: 
𝜕𝑓
𝜕𝑢
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑠
=
1
2
𝑢−
1
2 ∙
𝜕
𝜕𝑠
3𝑟 − 𝑠 =
1
2
𝑢−
1
2 ∙ (−1) = −
1
2√3𝑟 − 𝑠
 
 
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Disciplina: Cálculo de Múltiplas variáveis 
Turma: 1001 
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RASCUNHO