cálculo várias variáveis_ ATIVIDADE 2 (A2) GRA1594 _

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GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-12552.01 Unidade 2
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Usuário HERIVELTON LEITE MATIAS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-12552.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 18/11/20 21:45
Enviado 18/11/20 22:41
Status Completada
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Pergunta 1
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resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções das variáveis  e , isto é,
  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio
da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida por meio
da expressão . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com
relação às variáveis  e , sabendo que  e . 
  
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial
de  com relação a  é: . Já a derivada parcial de  com
relação a  é: .
Pergunta 2
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no
cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse
caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto
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HERIVELTON LEITE MATIAS
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  do espaço tridimensional é expresso pela função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial
elétrico  no ponto . 
  
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na
direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o
vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e sua norma é
, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 3
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As derivadas parciais com relação a  e a  fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma
função de duas variáveis  quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No
entanto, é possível, também, determinar a derivada da função  com relação a qualquer direção diferente
das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. 
  
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por 
. Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função  no ponto  na
direção do vetor . 
  
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e
, que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor
gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos
de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional
procurada é .
Pergunta 4
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um
gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde  é uma constante dada, considere um gás com
o volume de  sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de  e a
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resposta:
pressão está decrescendo a uma taxa de  por segundo. 
  
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores.
(Use ). 
  
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde ,
temos . Pelas informações do enunciado, temos , ,
 e . Derivando a função  com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos:
, onde  e . Assim,
. Portanto, a temperatura está
diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
Pergunta 5
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resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é
derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar
quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos
escrever . Se  e  e . 
  
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
  
 
As variáveis  e  são as variáveis independentes.
As variáveis  e  são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável  depende das variáveis  e , pois
. No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis  e  e essas últimas não
possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis  e  são
as variáveis independentes.
Pergunta 6
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De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida
se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
  
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
  
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto P(0,1), assinale a
alternativa correta. 
  
 
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resposta:
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu vetor gradiente
são: ,  e . Assim,
. Temos ainda que vetor unitário na direção de  é o vetor
. Portanto, a derivada direcional é .
Pergunta 7
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resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a
função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente
em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da
função. 
  
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função  no ponto
P(1,2).
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A direção de maior crescimento é
. O vetor gradiente é  e, calculado no ponto P(1,2), é
. Sua norma é . Portanto, .
Pergunta 8
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resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor
gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a
função  represente uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em
graus Celsius,  e  medidos em ). 
  
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e
sua taxa de variação mínima. 
  
 
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor
gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é
mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a
temperatura é mínima).
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Terça-feira, 1 de Dezembro de 2020 19h19min12s BRT
Pergunta 9
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resposta:
Suponha que  seja uma função diferenciável de  e , tal que . No entanto,  e  são
funções de  expressas por  e . Para se obter a derivada de  com relação a variável 
 devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de  em relação a , isto é,
 , para quando . 
  
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que ,
onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 10
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resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou
variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os
valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde
a todos os valores que não zeraram o denominador. 
  
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
  
I - O domínio da função  é o conjunto . 
II - O domínio da função  é o conjunto . 
III - O domínio da função  é o conjunto . 
IV - O domínio da função  é o conjunto . 
  
  
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função  é o conjunto
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto
.
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