ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - Eletromagnetismo

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ELETROMAGNETISMO 
 
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Engenharia Elétrica 
 
 
Atividade contextualizada 
Ondas eletromagnéticas são formas específicas de movimento causado pelas perturbações 
em meios. Esses meios podem ser qualquer tipo de material, inclusive o próprio vácuo. As 
perturbações são causadas devido as oscilações do campo eletromagnético, sendo este formado 
por campos elétricos e campos magnéticos. Essa oscilação se dá sempre de maneira perpendicular 
uma a outra – em outras palavras, a oscilação do campo elétrico é sempre perpendicular à oscilação 
do campo magnético. Dentre muitas propriedades, as ondas eletromagnéticas propagam apenas 
energia e ela vem do campo eletromagnético. 
Em eletromagnetismo avançado, o campo eletromagnético é escrito como um tensor cujos 
componentes são justamente os campos elétricos e magnéticos. Matematicamente, o campo 
eletromagnético é dado na seguinte forma tensorial: 
 
 𝐹𝜇𝑣 =
[
 
 
 
 
 
 0
𝐸𝑥
𝑐
𝐸𝑦
𝑐
𝐸𝑧
𝑐
−
𝐸𝑥
𝑐
0 𝐵𝑧 −𝐵𝑦
−
𝐸𝑦
𝑐
−𝐵𝑧 0 𝐵𝑥
−
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑦 −𝐵𝑥 0 ]
 
 
 
 
 
 
 𝐹𝜇𝑣 =
[
 
 
 
 
 
 0 −
𝐸𝑥
𝑐
−
𝐸𝑦
𝑐
−
𝐸𝑧
𝑐
𝐸𝑥
𝑐
0 𝐵𝑧 −𝐵𝑦
𝐸𝑦
𝑐
−𝐵𝑧 0 𝐵𝑥
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑦 −𝐵𝑥 0 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
A energia transportada pelo campo eletromagnético é dada pelo produto escalar 𝐹𝜇𝑣𝐹𝜇𝑣. 
Dessa forma, determine o valor desse produto escalar. Apresente um arquivo com todos os cálculos 
realizados e o resultado final. Você pode criar os cálculos pelo Word ou anexar a imagens dos 
cálculos, desde que estejam totalmente claros. 
 
 
 Analisando a proposta da atividade iremos desenvolver os cálculos: 
Podemos notar que as matrizes fornecidas para determinar a energia transportada pelo 
campo eletromagnético, tem a forma covariante e contravariante, ela também tem a propriedade 
antissimétrico. 
 
 𝐹𝜇𝑣 =
[
 
 
 
 
 
 0
𝐸𝑥
𝑐
𝐸𝑦
𝑐
𝐸𝑧
𝑐
−
𝐸𝑥
𝑐
0 𝐵𝑧 −𝐵𝑦
−
𝐸𝑦
𝑐
−𝐵𝑧 0 𝐵𝑥
−
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑦 −𝐵𝑥 0 ]
 
 
 
 
 
 
 𝐹𝜇𝑣 =
[
 
 
 
 
 
 0 −
𝐸𝑥
𝑐
−
𝐸𝑦
𝑐
−
𝐸𝑧
𝑐
𝐸𝑥
𝑐
0 𝐵𝑧 −𝐵𝑦
𝐸𝑦
𝑐
−𝐵𝑧 0 𝐵𝑥
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑦 −𝐵𝑥 0 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o valor desse produto escalar, sendo: 
𝐹𝜇𝑣𝐹
𝜇𝑣 
 
Logo: 
𝐹𝜇𝑣𝐹
𝜇𝑣 =
[
 
 
 
 
 
 (
𝐸𝑥
2
𝑐2
+
𝐸𝑦
2
𝑐2
+
𝐸𝑧
2
𝑐2
) (
𝐸𝑦
𝑐
𝐵𝑧 −
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑦) (−
𝐸𝑥
𝑐
𝐵𝑧 +
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑥) (
𝐸𝑥
𝑐
𝐵𝑦 −
𝐸𝑦
𝑐
𝐵𝑥)
(−
𝐸𝑦
𝑐
𝐵𝑧 +
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑦) (
𝐸𝑥
2
𝑐2
− 𝐵𝑧
2 − 𝐵𝑦
2) (
𝐸𝑥
𝑐
𝐸𝑦
𝑐
+ 𝐵𝑦𝐵𝑥) (
𝐸𝑥
𝑐
𝐸𝑧
𝑐
+ 𝐵𝑧𝐵𝑥)
(
𝐸𝑥
𝑐
𝐵𝑧 −
𝐸𝑧
𝑐
𝐵𝑥) (
𝐸𝑥
𝑐
𝐸𝑦
𝑐
+ 𝐵𝑦𝐵𝑥) (
𝐸𝑦
2
𝑐2
− 𝐵𝑧
2 − 𝐵𝑥
2) (
𝐸𝑦
𝑐
𝐸𝑧
𝑐
+ 𝐵𝑧𝐵𝑦)
(−
𝐸𝑥
𝑐
𝐵𝑦 +
𝐸𝑦
𝑐
𝐵𝑥) (
𝐸𝑥
𝑐
𝐸𝑧
𝑐
+ 𝐵𝑧𝐵𝑥) (−
𝐸𝑦
𝑐
𝐸𝑧
𝑐
+ 𝐵𝑧𝐵𝑦) (
𝐸𝑧
2
𝑐2
− 𝐵𝑦
2 − 𝐵𝑥
2)]
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o valor da soma da diagonal principal para obter o resultado da energia 
transportada pelo campo: 
 
𝐹𝜇𝑣𝐹
𝜇𝑣 = (
𝐸𝑥
2
𝑐2
+
𝐸𝑦
2
𝑐2
+
𝐸𝑧
2
𝑐2
) + (
𝐸𝑥
2
𝑐2
− 𝐵𝑧
2 − 𝐵𝑦
2) + (
𝐸𝑦
2
𝑐2
− 𝐵𝑧
2 − 𝐵𝑥
2) + (
𝐸𝑧
2
𝑐2
− 𝐵𝑦
2 − 𝐵𝑥
2) 
Reduzindo temos: 
𝐹𝜇𝑣𝐹
𝜇𝑣 = 2((
𝐸𝑥
2
𝑐2
+
𝐸𝑦
2
𝑐2
+
𝐸𝑧
2
𝑐2
) − (𝐵𝑥
2 + 𝐵𝑦
2 + 𝐵𝑧
2)) 
Logo: 
 
𝐹𝜇𝑣𝐹
𝜇𝑣 = 2(𝐵2 −
𝐸2
𝐶2
) 
 
Obs.: Este resultado revela que a quantidade 𝐵2 −
𝐸2
𝐶2
 é invariante sob transformações de Lorentz. 
 
 Mas uma vez concluindo mais uma atividade contextualizada e tendo a certeza de que a 
cada novas pesquisas e novos desafios adquirimos mais conhecimento técnico para nossa 
formação profissional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias. 
 
Palma, Tiago Domingues. Um estudo sobre tensores de segunda ordem. Universidade Estadual Paulista. 2018. 
Disponível em: https://igce.rc.unesp.br/Home/Pos-Graduacao44/programasdepos/palma_td_me_rcla.pdf . Acesso 
em: 23 de fev. 2023. 
Dr. Marco André Argenta. Mecânica do Contínuo. UFPR. 2020. Disponível em: 
http://www.estruturas.ufpr.br/material/mecanicaContinuo/propriedadesTensores.html . Acesso em: 22 de fev. 2023. 
Professor Ricardo Avelino Gomes. Transformações de Lorentz. Curso de relatividade espacial. 2022. Disponível 
em: https://www.youtube.com/watch?v=d2Xps48j0QE . Acesso em: 22 de fev. 2023. 
Prof. Marcos Menezes. Eletromagnetismo II. UFRJ. 2020. Disponível em: 
https://www.if.ufrj.br/~marcosgm/eletro2/notas_de_aula/cap12.3-atualizado.pdf . Acesso em: 23 de fev. 2023. 
Física Universitária. Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz | Aula 05 - Quadrivetores. USP. 2017. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=XSdoDFdoaE8 . Acesso em: 24 de fev. 2023. 
Fernando Deeke Sasse. Componentes covariantes e contravariantes. Teoria da Relatividade Geral. 2015. Disponível 
em: https://www.youtube.com/watch?v=DwJSoCUMP5E . Acesso em: 24 de fev. 2023. 
Rosimar Gouveia. Eletromagnetismo, Toda Materia. 2017. Disponível em: 
https://www.todamateria.com.br/eletromagnetismo/ . Acesso em: 23 de fev. 2023. 
 
 
https://igce.rc.unesp.br/Home/Pos-Graduacao44/programasdepos/palma_td_me_rcla.pdf
http://www.estruturas.ufpr.br/material/mecanicaContinuo/propriedadesTensores.html
https://www.youtube.com/watch?v=d2Xps48j0QE
https://www.if.ufrj.br/~marcosgm/eletro2/notas_de_aula/cap12.3-atualizado.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=XSdoDFdoaE8
https://www.youtube.com/watch?v=DwJSoCUMP5E
https://www.todamateria.com.br/eletromagnetismo/