Listas-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #2
1. Dada a func¸a˜o f(x) = (1 + x)/(1− x), deduza que:
f(1/(1 + x)) = (2 + x)/x, x 6= −1, 0
f(1/(1− x)) = (x− 2)/x, x 6= 0, 1
f(x)f(−x) = 1, x 6= −1, 1
2. Seja f : R→ R uma func¸a˜o que satisfaz a condic¸a˜o f(3x) = 3f(x), x ∈ R e f(9) = 45,
calcule f(1).
3. Um retaˆngulo tem 25 cent´ımetros quadrados de a´rea. Se um dos lados do retaˆngulo mede
x cent´ımetros, expresse o per´ımetro do retaˆngulo em func¸a˜o de x. Qual e´ o domı´nio da
func¸a˜o encontrada?
4. Considere um triaˆngulo de lados a e b. Expresse a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o do aˆngulo
x determinado pelos lados dados. Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
5. Um monte de areia tem a forma de um cone circular reto. Em seu ve´rtice, tem-se
um aˆngulo de pi/3. Exprima o volume do monte como func¸a˜o de sua altura. Exprima
tambe´m a altura do monte como func¸a˜o de seu volume. Encontre os domı´nios das
func¸o˜es encontradas.
6. Sa˜o dados um quadrado de lado a e um triaˆngulo equila´tero de lado a, ambos adja-
centes por um ve´rtice comum V cujos lados adjacentes esta˜o em uma mesma reta. A
justaposic¸a˜o desses dois lados e um dos outros treˆs lados do quadrado formam os cate-
tos de um triaˆngulo retaˆngulo. A hipotenusa de tal triaˆngulo cruza um outro lado do
quadrado e um outro lado do triaˆngulo, formando um triaˆngulo menor tendo V como
um dos ve´rtices. Exprima a a´rea deste triaˆngulo em func¸a˜o de a.
7. Encontre o domı´nio das func¸o˜es abaixo. Tente identificar qual e´ a imagem de cada uma.
f(x) = ||x| − x+ 5| g(x) = 1 + (−1)[x] h(x) = cos 3√x− 1 + sen√x− 1
f(x) =
√
x− 2
x
g(x) =
1√
2x− |x| h(x) =
√−x+ 1√
2 + x
f(x) =
√
x−
√
x2 − x− 2 g(x) =
√
|x| −
√
|x| − x2
8. Encontre a func¸a˜o f (incluindo o domı´nio dela) que satisfaz
f(x)− 3
f(x) + 3
= x.
9. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo:
f(x) = |bxc| g(x) = x− bxc
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10. Decida se a func¸a˜o dada e´ par, ı´mpar ou nem par nem ı´mpar.
f(x) = 5x3 + 7x g(x) =
√
x+ 2 + 1
|x| h(x) = x
4 + x
f(x) = x senx g(x) = x cosx, h(x) =
x+ 1
x2 + 1
11. Produto de func¸o˜es pares (com mesmo domı´nio e´ claro) e´ necessariamente par? Produto
de func¸o˜es ı´mpares e´ necessariamente ı´mpar? E o produto de uma ı´mpar por uma par?
12. Ache todas as func¸o˜es com domı´nio dado que sa˜o pares e ı´mpares simultaneamente.
13. Analise a periodicidade das func¸o˜es abaixo.
f(x) = x senx g(x) = cos2 x h(x) = sen
√
x ϕ(x) = bxc − x
14. Qualquer func¸a˜o com domı´nio sime´trico em relac¸a˜o a` origem 0 e´ soma de uma func¸a˜o
par com outra ı´mpar. Ratifique isso.
15. Se f : R→ R e´ uma func¸a˜o par tal que
f(x+ y) = f(x)f(y), x, y ∈ R
e f(x) 6= 0, x ∈ R, deduza que f(x)2 = 1, x ∈ R.
16. Se f : R→ R e´ uma func¸a˜o ı´mpar tal que
f(x+ y) = f(x)f(y), x, y ∈ R
e f(x) 6= 0, x ∈ R, deduza que f(x) = −(f(x))3, x ∈ R.
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