Projeto Controle_Final

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PROJETO DE CONTROLE I: PROJETO FINAL 
 
 
 
 
 
 
 
LUIZ RENATO FELIPPE 201521076 
MARCOS VINÍCIUS DA PURIFICAÇÃO FERREIRA 201720828 
RAFAELA VIOL VIDAL 201820815 
 
 
 
 
 
 
 
 
LAVRAS – MG 
2022 
 
 
LUIZ RENATO FELIPPE 
MARCOS VINÍCIUS DA PURIFICAÇÃO FERREIRA 
RAFAELA VIOL VIDAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE CONTROLE I: PROJETO FINAL 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto apresentado a disciplina de Controle 
1, do curso de Engenharia Mecânica da 
Universidade Federal de Lavras. 
 
Docente: Prof. Dr. Belisario Nina Huallpa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
LAVRAS – MG 
2022 
 
 
Sumário 
1. CONTEXTUALIZAÇÃO ........................................................................................... 1 
2. OBJETIVO .................................................................................................................. 2 
3. DESCRIÇÃO DO SISTEMA ..................................................................................... 3 
4. HIPÓTESES ................................................................................................................ 5 
5. DIMENSÕES E DADOS DE MATERIAL ............................................................... 6 
5.1. Dimensões ............................................................................................................... 6 
5.2. Pavimento ............................................................................................................... 6 
5.3. Barras ...................................................................................................................... 6 
6. MODELO TEÓRICO ................................................................................................. 8 
6.1. Modelo teórico no tempo ........................................................................................ 9 
6.2. Modelo teórico no domínio da frequência .............................................................. 9 
6.3. Diagrama de blocos ................................................................................................ 9 
6.4. Modelo numérico .................................................................................................... 9 
7. ESTABILIDADE DA PLANTA ............................................................................... 11 
8. PROJETO DE CONTROLADOR ........................................................................... 13 
8.1. Objetivos de projeto .............................................................................................. 13 
8.2. Absorvedor ............................................................................................................ 14 
 Considerações iniciais ................................................................................... 15 
 Metodologia de projeto .................................................................................. 15 
 Desenvolvimento analítico ............................................................................ 15 
 Resolução numérica ....................................................................................... 17 
 Resultados e discussões ................................................................................. 17 
8.3. PID em Frequência ............................................................................................... 18 
 Considerações iniciais ................................................................................... 18 
 Metodologia de projeto .................................................................................. 18 
 Resolução numérica ....................................................................................... 19 
 Resultados e discussões ................................................................................. 19 
8.4. Alocação de Polos ................................................................................................. 21 
 
 
 Considerações iniciais ................................................................................... 21 
 Metodologia de projeto para controlador ...................................................... 21 
 Resolução numérica vetor de ganho do controlador ..................................... 22 
 Controlador .................................................................................................... 22 
 Controlador-observador ................................................................................. 24 
9. MATERIAIS E INSTRUMENTOS ......................................................................... 30 
9.1. Materiais necessários para a implementação dos projetos .................................... 30 
10. CONCLUSÃO ............................................................................................................ 31 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 32 
APÊNDICE A – PROGRAMAS DO MATLAB ............................................................. 33 
 
 
 
1 
 
 
1. CONTEXTUALIZAÇÃO 
O controle de vibrações em estruturas e mecanismos é um desafio que sempre está presente 
durante o desenvolvimento de projetos estruturais. A maior parte das estruturas está sujeita a 
vibrações e que por muitas vezes além do seu efeito individual sob a estrutura, quando a 
frequência natural de vibração coincide com a frequência de excitação resulta em deflexões 
excessivas, levando à falha, fenômeno conhecido como ressonância (RAO, 2008). Conhecendo 
a entrada e as características do sistema, é possível calcular os parâmetros necessários para 
controla-lo, tais como frequência natural e rigidez. 
De posse destes parâmetros, pôde-se optar por um controle passivo, como um absorvedor de 
vibrações, onde se adiciona um grau de liberdade à estrutura para promover uma maior massa e 
rigidez ao sistema global, aumentando sua ordem e garantindo uma operação segura para a 
estrutura original, ou pode-se optar por controle ativo, através de controladores que diante de 
uma entrada oscilatória, atuam de forma a atenuar as deflexões sofridas pelo sistema, podendo 
estes controladores serem projetados via PID ou Alocação de Polos através do espaço de estados. 
Neste projeto foram explorados estes métodos de controle e podem ser observados com maior 
propriedade nos capítulos subsequentes. 
 
2 
 
2. OBJETIVO 
Este trabalho tem por objetivo identificar as frequências naturais de uma estrutura com um 
pavimento e aplicar estratégias de controle passivo, através de um amortecedor de vibrações, e 
estratégias de controle ativo, projetando controles via PID e Alocação de Polos. 
 
3 
 
3. DESCRIÇÃO DO SISTEMA 
O sistema inicialmente (Figura 1), foi atualizado para o sistema mostrado na Figura 2. Esta 
mudança foi feita para que seja possível voltar os esforços para métodos de controle e 
atenuação de vibração em vista da redução da complexidade do dimensionamento e 
descrição da estrutura em meios teóricos analíticos. O novo sistema é composto uma massa 
distribuída m em chapas de espessura não desprezível feitas em madeira, os pavimentos são 
separados por barras roscadas que possuem diâmetro externo conhecido feitas de aço não 
especificado, possuindo a mesma área de seção transversal - sendo esta circular -, possuindo 
uma distância conhecida até a base. A nomenclatura utilizada para descrever os parâmetros 
do sistema é 
• 𝑚: Massa do pavimento 
• 𝑑𝑒: Diâmetro externo das barras 
• 𝑑𝑝: Diâmetro primitivo das barras 
• 𝑑𝑖: Diâmetro interno da barra roscada 
• 𝑎: Largura do pavimento 
• 𝑏: Comprimento do pavimento 
• 𝑐: Espessura do pavimento 
• 𝑙: Comprimento da barra entre pavimentos 
• 𝐸: Módulo de elasticidade da barra [GPa] 
• 𝐼: Momento de inércia de área da barra [mm⁴] 
 
 
Figura 1: Desenho esquemático da bancada anterior. 
4 
 
 
Figura 2: Desenho esquemático da bancada teórica atual. 
 
 
Figura 3: Dimensões do pavimento utilizado5 
 
4. HIPÓTESES 
Para a análise do sistema serão adotadas as seguintes hipóteses: 
i) A massa do pavimento será modelada como uma massa concentrada; 
ii) A análise será reduzida à uma dimensão considerando apenas graus de liberdade de 
translação em 𝑥; 
iii) O grau de liberdade rotacional em 𝑦 será desprezado; 
iv) O amortecimento da estrutura será desprezado; 
v) A massa das barras será desprezível, tornando-as apenas elementos de rigidez; 
vi) O efeito de amortecimento causado pelas barras será desprezado; 
vii) O amortecimento do ar será desconsiderado na formulação; 
 
6 
 
5. DIMENSÕES E DADOS DE MATERIAL 
5.1. Dimensões 
As medidas abaixo foram coletadas de forma experimental, portanto há erros de 
interpolação e de precisão dos instrumentos associadas aos mesmos, assim sendo, são 
seguidas dos erros relativos aos instrumentos que foram utilizados para realizar as 
medições: 
• 𝑙 = 600,0 ± 0,5[𝑚𝑚] 
• 𝑎 = 18,5 ± 0,025[𝑚𝑚] 
• 𝑏 = 251,0 ± 0,025[𝑚𝑚] 
• 𝑐 = 201,0 ± 0,025[𝑚𝑚] 
 
5.2. Pavimento 
A massa do pavimento é de: 
𝑚 = 651 ± 1 [𝑔] 
Conhecendo o valor da massa experimental e os valores das dimensões de cada 
pavimento é possível estimar o valor da densidade da madeira que os constitui: 
𝜌 =
𝑚
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
=
𝑚
𝑎 × 𝑏 × 𝑐
= 697,5 𝑘𝑔/𝑚3 
 
5.3. Barras 
As barras que conectam os pavimentos são feitas de material não especificado, porém, a 
partir de ensaios experimentais seguindo a norma da ASTM “Standard test method of 
dynamic young’s módulos, shear modulus and poisson’s ratio by impulse excitation of 
vibration” designação E1876-09, considerando o diâmetro muito menor que a extremidade 
e conhecendo os dados do comprimento da viga, foi encontrado um valor de modulo de 
elasticidade considerando o diâmetro médio entre o externo e o interno da rosca de 
aproximadamente E = 111,85 GPa. A rigidez destas, pode ser aproximada por uma viga 
engastada em uma extremidade com força na extremidade adjacente, considerando que 
ambas as extremidades são forçadas a permanecerem perpendiculares à superfície 
(BLEVINS, 1979): 
7 
 
 
Figura 4: Rigidez bi apoiada em esquema representativo. 
 
𝐾 =
12 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼𝑠
𝐿3
 Eq. 1 
Onde: 
𝐿: Comprimento da viga (distância entre pavimentos l); 
𝐸: Módulo de elasticidade; 
𝐼𝑠: Somatória de momentos de inércia de área de cada viga. 
Considerando o momento de inércia de área da viga - I -, como sendo relacionado à área 
ativa que sofre deflexão da viga, o mesmo deve ser calculado considerando o I relativo ao 
diâmetro primitivo da barra. O momento de inércia de área I pode ser calculado pela 
formulação abaixo (BLEVINS, 1979): 
𝐼 =
𝑑4
64
=
𝜋 ∙ 𝑑𝑝
4
64
 Eq. 2 
Substituindo a Eq. 2 na Eq. 1, a rigidez de uma seção da barra é dada por: 
𝐾 =
12 ∙ 2 ∙ 𝐸 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑝
4
64 ∙ 𝑙3
 Eq. 3 
Entre cada pavimento há quatro seções de barra que possuem uma rigidez individual K. 
Todas elas possuem os mesmos terminais superiores e inferiores, portanto estão conectadas 
em paralelo. A rigidez em paralelo de um conjunto de molas é dada por (BLEVINS, 1979): 
𝐾𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = ∑𝐾𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Onde n é o número de molas conectadas em paralelo. Para o sistema estudado n é igual a 
quatro e a rigidez equivalente entre pavimentos é dada por: 
𝐾𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 𝐾𝑒𝑞 =∑𝐾𝑖
𝑛
𝑖=1
= 2 ∙ 𝐾 = 2 ∙ (
24 ∙ 𝐸 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑝
4
64 ∙ 𝑙3
) = 0.75 × (
𝐸 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑝
4
𝑙3
) 
 
8 
 
6. MODELO TEÓRICO 
O modelo foi construído com base em uma coordenada generalizada x, o deslocamento 
desde a configuração não deformada da extremidade da massa até a posição deformada do 
mesmo ponto referencial. A coordenada generalizada será considerada positiva para a direita 
e negativa em sentido oposto e não será considerada movimentação vertical da massa, 
portanto a distância entre o pavimento e a base é sempre 𝑙 (comprimento da barra). Será 
aplicada uma excitação do tipo harmônica na massa, em 𝑥 no sentido positivo do eixo. 
• Entrada: 𝐹 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) , onde 𝐴 é a amplitude da força e 𝜔 a frequência de 
excitação. 
• Saída: Coordenadas generalizada 
x: deslocamento linear do corpo na direção x 
Baseado em tais considerações são apresentados o modelo teórico e o diagrama de corpo 
livre do sistema. 
 
Figura 5: Modelo teórico do sistema. 
 
Figura 6: Diagrama de corpo livre do sistema deformado. 
9 
 
6.1. Modelo teórico no tempo 
Pela segunda de Newton o somatório de forças de um corpo deve ser igual ao produto de 
sua massa multiplicada por sua aceleração. Utilizando deste princípio e da Figura 6, temos 
que: 
𝑚�̈� = −𝐾𝑒𝑞(𝑥 − 0) + 𝐹(𝑡) 
 
6.2. Modelo teórico no domínio da frequência 
Aplicando a transformada de Laplace temos o modelo no domínio da frequência, e isolando 
as relações de saídas pela entrada é possível definir as funções de transferência do sistema: 
𝑋1(𝑠)(𝑀1𝑠
2 + 𝐾𝑒𝑞) = 𝐹(𝑠) 
Isolando 𝑋(𝑠)/𝐹(𝑠): 
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
1
(𝑚 𝑠2 + 𝐾𝑒𝑞)
= 𝐺(𝑠) 
 
6.3. Diagrama de blocos 
Diagrama de blocos do sistema proposto, desconsiderando a proposta de atuação para 
atenuação de vibrações. 
 
Figura 7: Diagrama de blocos do sistema [autoria própria] 
 
6.4. Modelo numérico 
• 𝑑𝑝 (diâmetro primitivo – Figura 8) de uma rosca M5 no sistema métrico, 
considerando a menor tolerância: 4,456 mm [2]. 
 
Figura 8: Representação do diâmetro primitivo [2]. 
 
𝐾𝑒𝑞 = 0,75 ∙ (
𝐸 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑝
4
𝑙3
) = 0,75 ∙ (
111,85 × 109 ∙ 𝜋 ∙ (4,456 × 10−3)4
(600 × 10−3)3
) = 481.0321 
𝑁
𝑚
 
Substituindo nas funções de transferência: 
10 
 
𝐺(𝑠) =
1
0.651 𝑠2 + 481.0321 
 
 
11 
 
7. ESTABILIDADE DA PLANTA 
Para a análise de estabilidade da planta, considerando-a em malha aberta quando não há 
nenhum tipo de controle aplicado, serão avaliados o posicionamento dos polos de G(s). A 
função G(s) possui dois polos no eixo imaginário posicionados em 𝑠 = ±𝑖 𝑤𝑛, onde 𝑤𝑛 é a 
frequência natural do sistema. Os polos de G(s) podem ser encontrados resolvendo a equação 
característica do sistema: 
0.651𝑠2 + 481.0321 = 0 
Resolvendo a equação acima, temos que os polos se encontram em: 
𝑠 = ±𝑖√
𝑘
𝑚
= ±𝑖√
481.0321
0.651
= ±𝑖 27.1829 
Assim sendo, a frequência natural corresponde à magnitude das raízes, sendo esta 27.1829 
rad/s ou 4.3263 hz, e é nesta frequência que ocorrerá o fenômeno de ressonância, caso a 
frequência de excitação seja igual à 𝑤𝑛. Como ambos os polos se encontram no eixo 
imaginário o sistema tem caráter oscilatório e a resposta no tempo terá sua amplitude 
constante quanto t tende ao infinito (Figura 9). 
 
 
Figura 9: Aplicação de uma entrada degrau em G(s). 
 
A margem de fase atual é nula, matematicamente isto se deve ao fato de que quando a 
amplitude é nula (ocorrendo na frequência natural) a fase é 180º. Fisicamente a margem de 
fase se relacionado à taxa de amortecimento, e consequentemente ao amortecimento do 
sistema, apesar de fisicamente haver amortecimento, como o modelo não o contempla, não 
há amortecimento sendo computado. A fase se encontra em -180º devido ao fato de os polos 
possuírem a mesma amplitude e ser um par conjugado, fazendo com que cada polo contribua 
como uma queda total de 90º, computando em conjunto, uma queda de 180º na fase, esta que 
12 
 
por iniciar em 0º (não possuir polos e zeros na origem ou fora de 𝑤𝑛), estabiliza em -180º 
para todas as frequências acima de 𝑤𝑛. 
 
 
Figura 10: Diagrama de bode de G(s) 
 
13 
 
8. PROJETO DE CONTROLADOR 
8.1. Objetivos de projeto 
O sistema em seu estado original apresenta comportamento oscilatório pela ausência de 
amortecimento durante a modelagem, apesar de o comportamento real ser estável. Devido a 
isso, a margem de fase (𝑀𝐹) do mesmo é zero pois a fase de 𝐺(𝑠) se estabiliza em -180° 
após a frequência natural, devido à constante de amortecimento (𝜁) ser igual a zero e se 
relacionar diretamente com MF. No diagrama de Bode é possívelobservar a frequência 
natural pelo aumento desproporcional do deslocamento ao passar pela mesma, conforme 
pode ser observado nas Figuras 11. É importante lembrar que a nova bancada possui massa 
de 650 g devido à furação realizada em seu pavimento para o acoplamento do controle 
passivo. 
 
 
Figura 11: Diagrama de Bode de G(s). 
A curva experimental de resposta em frequência foi levantada com uma excitação senoidal 
gerada por um Shaker e a resposta de aceleração no tempo foi coletada com acelerômetro e 
célula de carga. A frequência natural real é de 4,0625Hz, conforme apresentado na Figura 
12, enquanto a frequência teórica é de 4,3296 Hz. As discrepâncias entre o modelo teórico e 
comportamento real se devem à desconsideração de amortecimento e massa das hastes, 
condições de contorno imprecisas, desconsideração da distribuição de massa e erros 
associados a medição experimental do módulo de elasticidade (𝐸). 
14 
 
 
Figura 12: Função de resposta em frequência experimental. 
O objetivo principal é tornar o sistema estável e não oscilatório, apresentando erro que tenda 
a zero em tempo infinito devido ao amortecimento do sistema e de forma a garantir que não 
haja amplificação de deslocamento. Deseja-se também determinar um valor de 
amortecimento (overshoot) que apresente uma melhor relação entre projeto e resultado. 
 
8.2. Absorvedor 
O absorvedor é um tipo de controle passivo, uma vez que altera as características dinâmicas 
do sistema (frequência natural, modos de vibrar, ordem do sistema, etc.). Com a proposta foi 
adicionada uma massa modelada como concentrada e conectada à estrutura hospedeira por 
uma haste roscada semelhante a apresentada nos itens anteriores, adicionando rigidez ao 
sistema. Uma representação esquemática da proposta pode ser observada na Figura 13. 
 
Figura 13: Representação do Sistema-Absorvedor. 
15 
 
 Considerações iniciais 
• Considerando um caso extremo onde a frequência de operação seja a frequência 
natural da estrutura original tem-se por objetivo garantir um deslocamento nulo do 
pavimento quando a frequência de excitação é igual à frequência natural (𝜔𝑛 = Ω). 
• A massa do absorvedor (𝑚𝑐 = 578 𝑔) será mantida constante, e a variável controlada 
será o comprimento da haste, cuja rigidez depende desta. 
• A condição de contorno entre a fixação da rigidez do absorvedor e do pavimento 
principal será de perpendicularidade daquela em relação a esta, desconsiderando 
rotação entre superfícies na condição engastado-livre. 
• Será assumido de o diâmetro que melhor representa o momento de inércia de área da 
barra é o diâmetro primitivo. 
• A área transversal é considerada constante e circular. 
• O efeito de amortecimento do controlador será desconsiderado. 
• O movimento do absorvedor é considerado linear, horizontal e positivo para a direita. 
 
 Metodologia de projeto 
O sistema foi descrito inicialmente no tempo e posteriormente transformado para o domínio 
da frequência onde as funções de resposta em frequência (FRF) ou funções de transferência 
(FT) foram obtidas. Para determinação do comprimento (𝑙𝑐), a FT que relaciona o 
deslocamento do pavimento com a excitação de entrada (𝐺1) foi igualada a zero e para uma 
frequência (𝑗Ω = 𝑗𝜔𝑛). 
 
 Desenvolvimento analítico 
As variáveis generalizadas utilizadas para o desenvolvimento analítico são apresentadas na 
Figura 14. 
16 
 
 
Figura 14: Representação das variáveis generalizadas do sistema. 
A rigidez equivalente do controlado (𝐾𝑐) para as condições acima é de: 
𝐾𝑐 =
3𝐸𝐼
𝑙𝑐
3 
A haste utilizada será do mesmo material que as anteriores, portanto, 𝐸 = 111,85 GPa, e 
𝐼 = 1,935 × 10−11 𝑚4. De posse destes dados, é apresentado o modelo do tempo. 
∑𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 
𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡) + 𝐾𝑐 ∙ 𝑥2 = 𝑚 ∙ �̈�1 + (𝐾𝑒𝑞 + 𝐾𝑐) ∙ 𝑥1 
𝐾𝑐 ∙ 𝑥1 = 𝑚𝑐 ∙ �̈�2 +𝐾𝑐 ∙ 𝑥2 
Aplicando a Transformada de Laplace, o sistema no domínio da frequência 
𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡) + 𝐾𝑐 ∙ 𝑋2 = (𝑚𝑠
2 + (𝐾𝑒𝑞 +𝐾𝑐)) ∙ 𝑋1 Eq. 4 
𝐾𝑐 ∙ 𝑋1 = (𝑚𝑐𝑠
2 + 𝐾𝑐) ∙ 𝑋2 Eq. 5 
Isolando 𝑋1 em Eq. 5 e substituindo em Eq. 4: 
𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡) = (𝑚𝑠2 + (𝐾𝑒𝑞 + 𝐾𝑐)) ∙ 𝑋1 −
𝐾𝑐
2
(𝑚𝑐𝑠2 + 𝐾𝑐)
∙ 𝑋1 
𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡) =
[(𝑚𝑐𝑠
2 + 𝐾𝑐) ∙ (𝑚𝑠
2 + (𝐾𝑒𝑞 + 𝐾𝑐)) − 𝐾𝑐
2] ∙ 𝑋1
(𝑚𝑐𝑠2 + 𝐾𝑐)
 
Considerando 𝐺1(𝑠) =
𝑋1
𝐹∙sin(Ω𝑡)
, sendo esta a que se deve zerar o numerador: 
17 
 
𝐺1(𝑠) =
𝑋1
𝐹 ∙ sin(Ω𝑡)
=
(𝑚𝑐𝑠
2 + 𝐾𝑐)
(𝑚𝑐𝑠2 + 𝐾𝑐) ∙ (𝑚𝑠2 + (𝐾𝑒𝑞 + 𝐾𝑐)) − 𝐾𝑐2
 
Igualando o numerador a zero e substituindo 𝑠 na frequência desejada: 
𝑚𝑐(𝑗𝜔𝑛)
2 + 𝐾𝑐 = 0 
−𝑚𝑐𝜔𝑛
2 + 𝐾𝑐 = 0 
−𝑚𝑐𝜔𝑛
2 +
3𝐸𝐼
𝑙𝑐
3 = 0 
𝑙𝑐
3 =
3𝐸𝐼
𝑚𝑐𝜔𝑛2
 
 
 Resolução numérica 
Resolvendo numericamente 𝑙𝑐 para o valor de 𝑚𝑐 escolhido e para a frequência natural 
original: 
𝑙𝑐 = (
3(111,87 𝐺𝑃𝑎)(1,935 × 10−11 𝑚4)
(0,578 𝑘𝑔)(27,2 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )2
)
1 3⁄
= 0,2476 𝑚 
 
 Resultados e discussões 
Os resultados teóricos encontrados para 𝑙𝑐 = 0,2476 𝑚 são apresentados na Figura 15. É 
possível observar pela curva azul que foi criado um ponto de antirressonância em 𝜔𝑛 para a 
massa principal, que permanece estática. É possível observar os dois novos modos do 
conjunto de corpo rígido e corpo flexível, respectivamente, representados pelos picos 
positivos em ambas as curvas. 
 
Figura 15: Diagrama de Bode do sistema com absorvedor. 
18 
 
8.3. PID em Frequência 
O projeto em frequência possui vantagens como ampla visão do comportamento em função 
da frequência e garantia/conhecimento dos ruídos gerados em cada faixa de operação. O 
projeto do controlador proporcional derivativo integrativo foi escolhido visando a inserção 
de um overshoot (parte transitória) pela parte derivativa e controle do erro pela parte 
integrativa. 
 
 Considerações iniciais 
• Frequência de atuação do controlador foi escolhida à direita da frequência natural 
onde a magnitude é pequena e negativa, para garantir melhores resultados frente às 
respostas mais significativas 
• O coeficiente 𝐾𝑖 foi calculado para garantir um erro de 0,01 para uma entrada rampa, 
enquanto para uma resposta degrau, o polo na origem é suficiente para atenuar o erro. 
• A margem de fase necessária foi calculada a partir do overshoot desejado (%OS = 
20), sendo específica igual a geral, já que o controlador deve proporcionar todo o 
efeito de amortecimento. 
 
 Metodologia de projeto 
Para o cálculo da margem de fase foi considerado a seguinte formulação: 
𝜙𝑚 = tan
−1
(
 
2𝜁
√2𝜁2 +√1 + 4𝜁4)
 
Onde 𝜁 =
− ln(%𝑂𝑆 100⁄ )
√𝜋2+ln(%𝑂𝑆 100⁄ )2
. 
Os coeficientes do controlador são: 
𝑒(∞) =
1
lim
𝑠→0
(𝐺(𝑠) ∙
(𝑘𝑑𝑠2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖)
𝑠 ∙ 𝑠 
) 
=
1
lim
𝑠→0
(𝐺(𝑠) ∙ (𝑘𝑑𝑠2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖))
 
 
O ângulo do controlador deve ser: 
𝜃 = −180° + 𝜙𝑚 −𝑀𝐹 = −180° + 𝜙𝑚 − (−180°) = 𝜙𝑚 
Os demais coeficientes podem ser encontrados por: 
𝐾𝑝 =
cos(𝜃)
|𝐺(𝑗𝜔𝑚)|
 
19 
 
𝐾𝑑 =
sin(𝜃)
|𝐺(𝑗𝜔𝑚)|
∙
1
𝜔𝑚
+
1
𝜔𝑚2
∙ 𝐾𝑖 
Onde 𝜔𝑚 é a frequência de atuação do controlador. 
 
 Resolução numérica 
A frequência de atenuação do controlador foi escolhida como 65 rad/s. O valor de 𝐾𝑖 foi 
encontrado conforme segue 
𝑒(∞) =
1
lim
𝑠→0
(
1
0,65𝑠2 + 481,0321
∙ (𝑘𝑑𝑠2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖))
=
1
1
481,0321 ∙ 𝐾𝑖
= 0,01 
∴ 𝐾𝑖 = 4,81 × 10
4 
O valor de 𝐾𝑝 e 𝐾𝑑 foram encontrados analogamente. 
𝜁 =
− ln(20 100⁄ )
√𝜋2 + ln(20 100⁄ )2
= 0,4559 
𝜙𝑚 = tan
−1
(
 
2(0,4559)
√2(0,4559)2 +√1 + 4(0,4559)4)
 = 48,1477° 
𝐾𝑝 =
cos(48,1477°)
4,414 × 10−4
= 1511,4 
𝐾𝑑 =
sin(48,1477°)
4,414 × 10−4
∙
1
65 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
+
1
(65 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )2
∙ (4,81 × 104) = 37,346 
A partir dos coeficientes calculados, obteve-se um overshoot de 25%, sendo necessário 
alterar os parâmetros para atender as especificações, observando o valor adequado de 
margem de fase para não sobrecarregar o controlador. 
Para tornar o controlador mais eficiente,𝜔𝑚 foi elevado para 70 rad/s (com uma menor 
magnitude, aumenta-se o valor do coeficiente 𝐾𝑑). Foi adicionado 8° à margem de fase já 
que com o aumento desta é esperado o aumento do amortecimento. 
𝜙𝑚 = 56,1477° 
𝐾𝑝 =
cos(56,1477°)
3,698 × 10−4
= 1506,3 
𝐾𝑑 =
sin(56,1477°)
3,698 × 10−4
∙
1
70 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
+
1
(70 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )2
∙ (4,81 × 104) = 41,8967 
 
 Resultados e discussões 
20 
 
O erro desejado foi atingido enquanto o %OS resultante foi 1% maior que o desejado, 
atingindo o valor de 21% correspondente a um erro de 0.8%. A margem de fase a ser 
adicionada pelo controlador é de aproximadamente 56°, valor aceitável para ser adicionado 
por este, portanto um aumento da MF não será realizado para o ajuste do %OS já que o 
resultado encontrado é satisfatório. Em contrapartida um aumento da frequência de atuação 
não apresentou resultados satisfatórios. Tendo em vista as considerações acima o controlador 
final é apresentado abaixo juntamente com os resultados encontrados após a aplicação do 
controle. 
𝐾(𝑠) =
41.9𝑠2 + 1506𝑠 + 48100 
𝑠
 
 
 
Figura 16: Diagrama de Bode do sistema com 
controle PID 
 
Figura 17: Resposta à entrada degrau com o 
controle PID 
 
Figura 18– Resposta à entrada rampa com o controle PID. 
 
 
 
21 
 
8.4. Alocação de Polos 
O controle por alocação de polos possui vantagens em vista dos controladores 
convencionais como o PI/PD/PID e Avanço/Atraso já que a quantidade de polos 
desejados do controlador é definida pelo projetista enquanto os demais tem a quantidade 
de polos e zeros fixa. A liberdade de escolha da quantidade e localização dos polos em 
relação aos requisitos de projeto, assim, para sistemas de maior ordem se torna desejável 
o projeto por alocação de polos, além de ser possível inserir um observador quando as 
variáveis de estado podem ser determinadas em um intervalo finito de tempo. 
 
 Considerações iniciais 
• Na disponibilidade de equipamentos físicos de medição apenas o controlador é 
suficiente, porém o custo de aquisição de equipamentos e de manutenção do 
mesmo pode ser um problema a depender da disponibilidade financeira. Nos casos 
onde o custo de instrumentação seja elevado recomenda-se a implementação de 
um controlador-observador onde em vista de medir todas as variáveis de estado 
(neste caso posição e velocidade do pavimento) as mesmas serão estimadas por 
observação da saída e o custo físico diminui enquanto o custo computacional 
aumenta. 
• Os polos do controlador foram escolhidos visando a mesma frequência natural 
original e o acréscimo de um coeficiente de amortecimento semelhante ao 
definido no controle PID para inserir os efeitos de amortecimento. 
• Os polos do observador, caso o mesmo seja necessário, foram escolhidos de modo 
que o mesmo seja mais rápido que o controlador. 
• Dois polos foram escolhidos para o controlador, sendo estes os polos dominantes 
(𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑑) e dois polos foram escolhidos para o observador. 
 
 Metodologia de projeto para controlador 
No caso onde o controlador é suficiente, ou seja, as variáveis de estado podem ser 
medidas, os polos dominantes do controlador foram escolhidos de modo que a frequência 
natural seja mantida (𝜔𝑛 = 27.2039 𝑟𝑎𝑑 s⁄ ) e que %OS = 20 (𝜁 = 0,4559). Para o 
projeto do controlador (K) é necessário definir o espaço de estado para G(s): 
𝐺(𝑠) =
1
0,65𝑠2 + 481,0321
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace na equação característica: 
22 
 
(0,65𝑠2 + 481,0321)𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) 
0,65�̈� + 481,0321𝑦 = 𝑥 
�̈� =
𝑥 − 481,0321𝑦
0,65
 
�̈� = 1,5385𝑥 − 740,05𝑦 
Equações do espaço de estado: 
𝑋 = {𝑋1 𝑋2}
𝑡 �̇� = {𝑋1̇ 𝑋2̇}
𝑡
 
�̇� = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 
�̇� = 𝐶𝑋 + 𝐷𝑢 
Onde: 
𝐴 = [
0 −740,05
1 0
] 𝐵 = [1 0]𝑡 𝐶 = [0 1,5385] 𝐷 = [0] 
 
 Resolução numérica vetor de ganho do controlador 
• Verificação de controlabilidade pelo determinante da matriz de controlabilidade: 
𝑀 = [𝐵 𝐴𝐵] = [
1 0
0 1
] e det |M| = 1 ≠ 0 ∴ é controlável 
Para o caso com ou sem o observador o procedimento para o controlador é o mesmo. Para 
o controlador será comparada a equação característica desejada com a equação 
característica atual. 
Equação característica desejada: 
𝐸𝑞𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 = (𝑠 − 𝑠1)(𝑠 − 𝑠2) = 𝑠
2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 = 𝑠2 + 2 × 0,4559 × 27.2039 × s + 27.20392 
𝐸𝑞𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 = 𝑠
2 + 24.81 𝑠 + 740,05 
Equação característica atual: 
𝐸𝑞𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑠
2 + 740,05 
O controlador deve prover a diferença desejada: 
𝐾 = [𝐾1 𝐾2] = [24.81 − 0 740,05 − 740,05] = [24.81 0] 
 Controlador 
Para o projeto somente com o controlador as matrizes do espaço de estado para o sistema 
com controlador: 
�̂� = {𝑋1̂ 𝑋2̂}
𝑡
 
�̂̇� = 𝐴𝐴�̂� + 𝐵𝐵�̂� 
𝑧 = 𝐶𝐶�̂� 
Onde: 
𝐴𝐴 = 𝐴 − 𝐵𝐾 𝐵𝐵 = 𝐵 𝐶𝐶 = 𝐶 𝐷𝐷 = 𝐷 
23 
 
 
𝐴𝐴 = [
0 −740,05
1 0
] − [1 0]𝑡 [24.81 0] = [
−24.8072 −740.0494
1 0
] 
𝐵𝐵 = [1 0]𝑡 𝐶𝐶 = [0 1,5385] 𝐷𝐷 = [0] 
O controlador é dado pela função de transferência de z por y, resolvendo o sistema acima 
e isolando os valores desejados tem-se que: 
𝐺′(𝑠) =
1,538
𝑠2 + 24,81𝑠 + 740,05
 
Onde G’(s) é a função realimentada com o controlador inserido na mesma. Com o 
controlador acima a resposta do sistema é mostrada nas figuras abaixo: 
 
 
Figura 19: Resposta ao degrau com controle por alocação de polos. 
Analisando a Figura 19 é possível visualizar que o erro supera 100% em um valor infinito 
de tempo, para que o erro seja reduzido a zero a função de transferência será normalizada 
multiplicando e dividindo G’(s) pelo termo independente do numerador e denominador, 
respectivamente: 
𝐺𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟(𝑠) =
740
1,538
𝐺′(𝑠) =
740
1,538
×
1,538
𝑠2 + 24,81𝑠 + 740,05
 
𝐺𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟(𝑠) =
1138
1,538𝑠2 + 38,15𝑠 + 1138
 
A resposta ao degrau do controlador com a normalização é: 
24 
 
 
Figura 20: Resposta ao degrau com controle por alocação de polos corrigido. 
 Controlador-observador 
• Verificação de observabilidade pela matriz O: 
𝑂 = [𝐶 𝐶𝐴] = [
0 1.5385
1,5385 0
] e det |O| = −1.53852 ≠ 0 ∴ é observável 
Para o controlador observador o espaço de estados é: 
�̂� = {𝑋1̂ 𝑋2̂}
𝑡
 
�̂̇� = 𝐴𝐴�̂� + 𝐵𝐵�̂� 
𝑧 = 𝐶𝐶�̂� 
 
𝐴𝐴 = 𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 𝐵𝐵 = 𝐿 𝐶𝐶 = 𝐾 
 
Onde L é a matriz do observador que é dada por: 
𝐿 = [
𝐿1
𝐿2
] 
E pode ser encontrada a partir de: 
 det (𝑠 × [
1 0
0 1
] − 𝐴 + 𝐿𝐶) = 𝐸𝑞𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎,𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 = (𝑠 − 𝑠3)(𝑠 − 𝑠4) 
 
A equação desejada do observador depende dos polos escolhidos para o mesmo, onde os 
polos do observador devem estar à esquerda dos polos do controlador para que aquele 
seja mais rápido que este. Quanto mais à esquerda mais rápida será feita a estimação das 
variáveis de estado e mais próximo do resultado do controlador e da resposta real, ou seja, 
mais eficaz será o controle. Porém um aumento exacerbado do posicionamento dos polos 
do observador, que devem estar no semiplano esquerdo maior o custo computacional será 
25 
 
observado devido à robustez exigida da máquina. A parte real de 𝑠1,2 está em −𝜁𝜔𝑛 =
 −12.4036. Alguns casos de estudo para a definição da melhor relação entre rapidez e 
custo para polos repetidos do observador: 
 
a) Polos do observador à direita dos polos do controlador 
Definição dos polos do observador: 𝑠3,4 = −1 
𝐸𝑞𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 = (𝑠 + 1)(𝑠 + 1) = 𝑠
2 + 2𝑠 + 1 
𝐿 = [
−480,3821
1,3
] 
Controlador-observador: 
𝐾𝐾1′(𝑠) =
−1,192 × 104𝑠 − 2,387 × 104
𝑠2 + 26,81𝑠 + 50,61
 
Controlador-observador com mínimo real realimentado: 
𝐾𝐾1(𝑠) =
369,5𝑠 + 739,9
𝑠4 + 26,81𝑠3 + 790,7𝑠2 + 1505𝑠 + 740
 
 
A resposta do controlador com o mínimo real alimentado e polos em -1 é: 
 
 
Figura 21: Resposta ao degrau com controle por alocação de polos controlador-
observador e polos do observador à direita do controlador.b) Polos do observador à esquerda e próximo aos polos do controlador 
Definição dos polos do observador: 𝑠3,4 = −13 
𝐸𝑞𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 = (𝑠 + 13)(𝑠 + 13) = 𝑠
2 + 26𝑠 + 169 
𝐿 = [
−371,1821
16,9000
] 
 
26 
 
Controlador-observador: 
𝐾𝐾2′(𝑠) =
−9208𝑠 − 3,103 × 105
𝑠2 + 50,81𝑠 + 814
 
Controlador-observador com mínimo real realimentado: 
𝐾𝐾2(𝑠) =
3713𝑠 + 1,251 × 105
𝑠4 + 50,81𝑠3 + 1554𝑠2 + 2,343 × 104𝑠 + 1,251 × 105
 
 
A resposta do controlador com o mínimo real alimentado e polos em -13 é: 
 
 
Figura 22: Resposta ao degrau com controle por alocação de polos controlador-
observador e polos do observador à esquerda e próximo ao controlador. 
 
c) Polos do observador duas vezes menores que os polos do controlador 
Definição dos polos do observador: 𝑠3,4 = −25 
𝐸𝑞𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 = (𝑠 + 25)(𝑠 + 25) = 𝑠
2 + 50𝑠 + 625 
𝐿 = [
−74,7821
32,5
] 
 
Controlador-observador: 
𝐾𝐾3′(𝑠) =
−1855𝑠 − 5,967 × 105
𝑠2 + 74,81𝑠 + 1865
 
Controlador-observador com mínimo real realimentado: 
𝐾𝐾3(𝑠) =
1438𝑠 + 4,625 × 105
𝑠4 + 74,81𝑠3 + 2605𝑠2 + 5,251 × 104𝑠 + 4,625 × 105
 
A resposta do controlador com o mínimo real alimentado e polos em -25 é: 
 
27 
 
 
Figura 23: Resposta ao degrau com controle por alocação de polos controlador-
observador e polos do observador à esquerda e duas vezes menores que os do controlador. 
d) Polos do observador seis vezes menores que os polos do controlador 
Definição dos polos do observador: 𝑠3,4 = −75 
𝐸𝑞𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 = (𝑠 + 75)(𝑠 + 75) = 𝑠
2 + 150𝑠 + 5625 
𝐿 = [
3175,2
97,5
] 
Controlador-observador: 
𝐾𝐾4′(𝑠) =
7,877 × 104𝑠 − 1,79 × 106
𝑠2 + 174,8𝑠 + 9346
 
Controlador-observador com mínimo real realimentado: 
𝐾𝐾4(𝑠) =
−1,832 × 105𝑠 + 4,163 × 106
𝑠4 + 174,8𝑠3 + 1,009 × 104𝑠2 + 2,505 × 105𝑠 + 4,163 × 106
 
A resposta do controlador com o mínimo real alimentado e polos em -75 é: 
 
 
Figura 24: Resposta ao degrau com controle por alocação de polos controlador-
observador e polos do observador à esquerda e seis vezes menores que os do controlador. 
28 
 
 
• Análise comparativa 
Plotando todas as respostas em um só gráfico é possível visualizar como a 
alocação dos polos do observador na figura abaixo: 
 
Figura 25: Comparação da resposta degrau para diferentes alocações de polo do 
observador 
Para a curva azul, que representa a alocação de polos a direita do controlador, é possível 
visualizar que enquanto o controlador (curva de controle - verde) estabiliza em 
aproximadamente 0,4 s o controlador-observador continua subindo e só estabiliza em 
aproximadamente 7 s, isso se deve ao fato de que o observador é mais lento que o 
controlador, portanto o controle inicia antes da leitura, que acaba ficando defasada, neste 
caso a resposta não é representativa e não apresenta comportamento estável com o 
overshoot desejado. Com a alocação dos polos do observador próximo ao controlador 
(curva vermelha) o tempo de estabilização se aproxima da curva verde, porém sem 
apresentar overshoot, isso se deve ao fato de que o observador tem velocidade 
aproximadamente igual à do controlador e as variáveis de estado não são realimentadas 
em velocidade suficiente. 
Quando os polos do observador passam a ser duas vezes menores que os do controlador 
(curva laranja) o comportamento amortecido começa a acontecer onde é possível 
visualizar um overshoot (porém com valor não representativo do comportamento real) e 
um tempo de estabilização aproximadamente igual ao da curva de controle. Aumentando 
a distância entre os polos do controlador e do observador (curva roxa) a resposta se 
aproxima da curva de controle com tempo de estabilização e overshoot mais próximo, 
porém com uma defasagem entre as curvas de aproximadamente 0,1s gerado pela parte 
negativa da curva com o observador no início da resposta. Um aumento na rapidez do 
29 
 
observador afastando ainda mais os polos aproximaria a curva observada da curva verde, 
porém com um aumento do custo de processamento do observador, assim sendo, a relação 
ideal entre custo e precisão depende da acurácia desejada. Em certo ponto a melhoria da 
resposta seria menor com o aumento da acurácia e precisão bem como rapidez do 
controlador, a partir deste ponto, se tornaria inviável um aumento da precisão. A partir 
desta análise a configuração que melhor representa o sistema em relação ao 
comportamento é o caso d, caso a relação de custo seja um ponto crítico, deve-se analisar 
as demais variáveis. 
 
 
30 
 
9. MATERIAIS E INSTRUMENTOS 
Para a aplicação prática dos controladores é necessário que para o PID haja um sensor 
para a medição da frequência de excitação e um atuador para gerar a resposta do 
controlador. Os mesmos materiais são necessários para o controlador por alocação de 
polos, porém o sensor deve medir as variáveis de estado (posição e velocidade), podendo 
ser utilizado, por exemplo um acelerômetro juntamente com analisador para recuperar a 
resposta de velocidade e posição por integração, este, que adicionaria um custo adicional 
ao projeto. Para a alocação de polos com o observador é necessária a medição de apenas 
uma variável de estado com um sensor de deslocamento, por exemplo e um atuador. 
 
9.1. Materiais necessários para a implementação dos projetos 
• Sensores de posição para controlador observador: LVDT (transdutor de 
deslocamento variável linear), sensor piezoelétrico. 
• Sensor de vibração para PID/Alocação de polos sem observador: Acelerômetro 
• Amplificador: Amplificar o sinal de controle para gerar uma resposta de corrente 
adequada 
• Atuador: Shaker, AEM (Atuador eletromagnético). 
• Analisador: Necessário quando houver necessidade de integração dos resultados 
coletados pelo sensor. 
• Equipamentos periféricos: Cabos, conectores, estabilizador, célula de carga, 
dentre outros; 
 
31 
 
10. CONCLUSÃO 
Comparando o desempenho dos controladores o que obteve melhor resposta ao degrau 
foi o controle por alocação de polos sem observador onde o mesmo apresentou menos 
oscilações até a estabilização quanto comparado aos demais. Entre o controlador PID e o 
controle com observador, o controle PID apresenta melhor desempenho em relação ao 
overshoot já que as variáveis de controle são medidas em vista do observador onde estas 
estimadas, apresentando defasagem no controle. Em relação ao tempo de estabilização 
não houve grandes diferença entre os modelos abordados. O controle passivo 
(absorvedor) é extremamente eficiente quando a faixa de operação é conhecida e limitada 
ao valor de projeto do controlador, porém é necessário alterar as características físicas e 
dinâmicas do sistema, bem como sacrificar parte do espaço útil entre pavimentos para a 
inserção dos elementos do absorvedor. 
Em relação aos custos computacionais, o projeto do controlador-observador é o que 
apresenta maior custo de processamento devido a necessidade da rapidez na estimativa 
das variáveis de estado pelo observador. Comparando o controle PID e controle por 
alocação de polos não há grandes discrepâncias. O custo computacional de operação do 
absorvedor é nulo, onde os únicos custos computacionais são relacionados à etapa de 
projeto. Os custos físicos são inversamente proporcionais aos computacionais, onde o 
maior custo físico está relacionado à aquisição de sensores, atuadores e demais elementos 
físicos no caso dos controles ativos e da aquisição de materiais para a construção do 
controle passivo. Em estruturas de pequeno porte os custos do controle passivo são 
menores que os do ativo devido ao alto valor associado a equipamentos de precisão, 
porém conforme a dimensão do projeto aumenta os custos para um absorvedor passivo 
seguem a mesma ordem de grandeza. 
A escolha da melhor opção é função da possibilidade de medição das variáveis 
necessárias, precisão requerida, localização da medição, custos de manutenção dosequipamentos físicos, disponibilidade de equipamento computacional e necessidades de 
projeto. Dentro das considerações para este projeto o controle que melhor se aplica devido 
à disponibilidade do atuador (Shaker) e sensor de aceleração (acelerômetro), bem como 
do analisador e célula de carga a melhor opção seria alocação de polos com controlador, 
seguido do controle PID e controlador-observador dentro dos controles ativos. 
 
32 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
[1] BLEVINS, Robert D. “Formulas for natural frequency and mode shape”. 1979. 
ISBN 0-442-20710-7. 
[2] Rosca série métrica. Disponível em:https://www.indufix.com.br/material-apoio-
tecnico-parafusos/rosca-serie-metrica-sistemas-internacional/. Acesso em: 19/07/2022. 
[3] RAO, Singiresu S. “Vibrações mecânicas”. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
[4] Nise, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle, 7ª edição. Rio de Janeiro: Grupo 
GEN, 2017. 
[5] Ogata, K. Engenharia de controle moderno, 5ª edição. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010. 
 
 
33 
 
APÊNDICE A – PROGRAMAS DO MATLAB 
• Programa do MATLAB para resolução numérica absorvedor de vibrações. 
close all; 
clear all; 
clc; 
 
syms lambda_wn wn x1 x2 s t Kc lc 
 
%% Hipóteses utilizadas para o projeto 
% O modelo segue a regra da mão direita considerando o eixo y 
crescente no sentido vertical para cima 
% Apenas graus de liberdade lineares na direção x serão considerados 
% O sistema conta com dois pavimentos de massa m1 e m2, 
respectivamente 
% Amortecimento estrutural desprezado 
% A massa das barras que ligam os pavimentos será desprezada 
 
s = tf('s'); % Define a variável s na frequência 
 
%% Dados de entrada 
% Dados de input da barra 
E = 111.85*10^9; %[Pa] Modo de elasticidade das barras que conectam 
os pavimentos 
de = 5*10^-3; %[m] Diâmetro externo da barra roscada - medido 
 
% Dados do fabricante: 
% https://www.indufix.com.br/material-apoio-tecnico-parafusos/rosca-
serie-metrica-sistemas-internacional/ 
di_max = 3.995*10^-3; %[m] Diâmetro interno máximo tolerado 
di_min = 3.842*10^-3; %[m] Diâmetro interno mínimo tolerado 
dp_max = 4.456*10^-3; %[m] Diâmetro primitivo máximo tolerado 
dp_min = 4.361*10^-3; %[m] Diâmetro primitivo mínimo tolerado 
 
%Dados de input dos pavimentos 
m = 650*10^-3; %[Kg] Massa do pavimento 
l = 600e-3; %l = 467*10^-3; %[m] Distância entre 
pavimentos' 
l_n = (467+18.5)*10^-3; %[m] Distância entre a linha neutra dos 
pavimentos considerando-os homogêneos 
a = 18.5*10^-3; %[m] Espessura do pavimento 
34 
 
b = 251*10^-3; %[m] Largura do pavimento 
c = 201*10^-3; %[m] Profundidade do pavimento 
 
 
%% Cálculos geométricos de entrada 
% Densidade média estimada da madeira dos pavimentos 
ro = m/(a*b*c); %[kg/m^3] Densidade do pavimento 
 
% Cálculo do momento de inércia de área da barra 
'Escolha do diâmetro que será utilizado para o cálculo do momento de 
área'; 
d = dp_max; 
I = pi*d^4/64; %[m^4] Momento de inércia de área considerando o 
diâmetro escolhido 
 
 
% Cálculo da rigidez equivalente entre pavimentos 
% Suposição 1: quatro barras de mesmo tamanho igualmente espaçadas em 
paralelo; 
% As extremidades das barras definem dois planos sempre paralelos; 
% As porcas de fixação são consideradas apenas elementos de fixação de 
rigidez desprezível 
coef_1 = 12; % Define o coeficiente a ser utilizado caso esta condição 
seja admitida 
 
% Suposição 2: quatro barras de mesmo tamanho igualmente espaçadas em 
paralelo; 
% As extremidades das barras definem dois planos aproximadamente 
paralelos, porém permitem certo grau de rotação; 
% As porcas de fixação são consideradas apenas elementos de fixação de 
rigidez desprezível 
coef_2 = 9; % Define o coeficiente a ser utilizado caso esta condição 
seja admitida 
 
% Suposição 3: quatro barras de mesmo tamanho igualmente espaçadas em 
paralelo; 
% As extremidades das barras definem dois planos e permitem grau de 
rotação; 
% As porcas de fixação são consideradas apenas elementos de fixação de 
rigidez desprezível 
35 
 
coef_3 = 6; % Define o coeficiente a ser utilizado caso esta condição 
seja admitida 
 
'Escolha de qual suposição será utilizada'; 
coef = coef_1; 
K = 4*(coef*E*I/l^3); %[N/m] Rigidez da barra considerando a suposição 
1 
 
 
% Funções de transferência considerando excitação F no pavimento 
G = 1/(m*s^2+K); % FT para o deslocamento horizontal entre o 
pavimento um e o referencial 
figure(1); % Cria uma nova figura 
margin(G); % Plota a margem de fase e de ganho da função sem 
o controlador 
grid on; 
'Frequência natural sem absorvedor [hz]' 
wn = sqrt(K/m) % Mostra a frequência natural em rad 
wn_hz = wn/(2*pi) % Mostra a frequência natural em hz 
 
%% Com o absorvedor 
'Massa do absorvedor [kg]' 
mc = 578*10^-3 % Massa do absorvedor[kg] 
 
% Cálculo da relação entre massa e rigidez do controlador para que X1 
seja 0 em wn 
% O numerador deve ser nulo quando s = jw em wn 
% wn = complex(0,-wn); 
wn = complex(0,27.2039); 
S = wn; 
 
Kc = 3*E*I/lc^3; % Rigidez do controlador 
considerando engastado-livre 
lc = eval(solve(mc*S^2+Kc,lc)); % Resolve o sistema para encontrar 
os valores de l que satisfazem a relação 
 
'Distância entre pavimentos necessária para a massa do absorvedor [m]' 
lc = lc(1,1) % Seleciona apenas o valor positivo 
de lc [m] 
Kc = 3*E*I/lc^3; % Recalcula o Kc com o valor de 
lc anterior 
36 
 
 
% Função de transferência com excitação F no pavimento superior 
G1 = (mc*s^2+Kc)/((mc*s^2+Kc)*(m*s^2+K+Kc)-Kc^2); % Ft X1/F 
G2 = Kc/((mc*s^2+Kc)*(m*s^2+K+Kc)-Kc^2); % Ft Xc/Fc 
figure(2); 
bode(G1); 
hold on; 
bode(G2); 
grid on; 
legend('G1','G2'); 
 
%% Definição das matrizes de massa e rigidez 
M = [m 0 ; 0 mc]; % Matriz de massa 
K = [(K+Kc) -Kc; -Kc Kc]; % Matriz de rigidez 
 
% Solução homogênea 
% Definição das frequências naturais e do espaço modal 
[PSI,lambda]=eig(K,M); % Calcula os autovalores e autovetores 
wn = lambda^0.5; % [rad/s] Frequências naturais 
wn_hz = wn/(2*pi) % [hz] Frequências naturais 
% Lambda corresponde ao quadrado das frequências naturais 
% Psi corresponde ao espaço modal 
 
% Normalização das matrizes no espaço modal 
mr = PSI.'*M*PSI; % Matriz de massa modal 
kr = PSI.'*K*PSI; % Matriz de rigidez modal 
 
% Autovalores mass-normalised 
psi = PSI*mr^-0.5; 
 
• Programa do MATLAB para resolução numérica por PID. 
close all; 
clear all; 
clc; 
 
syms lambda_wn wn x1 x2 s t lc x kp kd ki 
 
%% Hipóteses utilizadas para o projeto 
% O modelo segue a regra da mão direita considerando o eixo y 
crescente no sentido vertical para cima 
37 
 
% Apenas graus de liberdade lineares na direção x serão considerados 
% O sistema conta com dois pavimentos de massa m1 e m2, 
respectivamente 
% Amortecimento estrutural desprezado 
% A massa das barras que ligam os pavimentos será desprezada 
 
s = tf('s'); % Define a variável s na frequência 
 
%% Dados de entrada 
% Dados de input da barra 
E = 111.85*10^9; %[Pa] Modo de elasticidade das barras que conectam 
os pavimentos 
de = 5*10^-3; %[m] Diâmetro externo da barra roscada - medido 
 
% Dados do fabricante: 
% https://www.indufix.com.br/material-apoio-tecnico-parafusos/rosca-
serie-metrica-sistemas-internacional/ 
di_max = 3.995*10^-3; %[m] Diâmetro interno máximo tolerado 
di_min = 3.842*10^-3; %[m] Diâmetro interno mínimo tolerado 
dp_max = 4.456*10^-3; %[m] Diâmetro primitivo máximo tolerado 
dp_min = 4.361*10^-3; %[m] Diâmetro primitivo mínimo tolerado 
 
%Dados de input dos pavimentos 
m = 650*10^-3; %[Kg] Massa do pavimento 
l = 600*10^-3;%[m] Distância entre pavimentos' 
l_n = (467+18.5)*10^-3; %[m] Distância entre a linha neutra dos 
pavimentos considerando-os homogêneos 
a = 18.5*10^-3; %[m] Espessura do pavimento 
b = 251*10^-3; %[m] Largura do pavimento 
c = 201*10^-3; %[m] Profundidade do pavimento 
 
 
%% Cálculos geométricos de entrada 
% Densidade média estimada da madeira dos pavimentos 
ro = m/(a*b*c); %[kg/m^3] Densidade do pavimento 
 
% Cálculo do momento de inércia de área da barra 
'Escolha do diâmetro que será utilizado para o cálculo do momento de 
área'; 
d = dp_max; 
38 
 
I = pi*d^4/64; %[m^4] Momento de inércia de área considerando o 
diâmetro escolhido 
 
 
% Cálculo da rigidez equivalente entre pavimentos 
% Suposição 1: quatro barras de mesmo tamanho igualmente espaçadas em 
paralelo; 
% As extremidades das barras definem dois planos sempre paralelos; 
% As porcas de fixação são consideradas apenas elementos de fixação de 
rigidez desprezível 
coef_1 = 12; % Define o coeficiente a ser utilizado caso esta condição 
seja admitida 
 
% Suposição 2: quatro barras de mesmo tamanho igualmente espaçadas em 
paralelo; 
% As extremidades das barras definem dois planos aproximadamente 
paralelos, porém permitem certo grau de rotação; 
% As porcas de fixação são consideradas apenas elementos de fixação de 
rigidez desprezível 
coef_2 = 9; % Define o coeficiente a ser utilizado caso esta condição 
seja admitida 
 
% Suposição 3: quatro barras de mesmo tamanho igualmente espaçadas em 
paralelo; 
% As extremidades das barras definem dois planos e permitem grau de 
rotação; 
% As porcas de fixação são consideradas apenas elementos de fixação de 
rigidez desprezível 
coef_3 = 6; % Define o coeficiente a ser utilizado caso esta condição 
seja admitida 
 
'Escolha de qual suposição será utilizada'; 
coef = coef_1; 
K = 4*(coef*E*I/l^3); %[N/m] Rigidez da barra considerando a suposição 
1 
 
 
% Funções de transferência considerando excitação F no pavimento 
G = 1/(m*s^2+K); % FT para o deslocamento horizontal entre o 
pavimento um e o referencial 
figure(1); % Cria uma nova figura 
39 
 
margin(G); % Plota a margem de fase e de ganho da função sem 
o controlador 
grid on; 
 
 
'Frequência natural sem absorvedor [hz]' 
wn = sqrt(K/m); % Mostra a frequência natural em rad 
wn_hz = wn/(2*pi) % Mostra a frequência natural em hz 
 
%% Com o controlador PID 
e = 0.01; % Erro estacionário requerido 
OS = 20; % OS overshoot 
 
zeta = -log(OS/100)/(pi^2+(log(OS/100))^2)^0.5; % Calcula a taxa 
de amortecimento pelo valor de %OS 
MF = atan2d((2*zeta),(-2*zeta^2+(1+4*zeta^4)^0.5)^0.5); % Calcula a 
margem de fase desejada para o zeta 
 
% Cálculo do valor a ser atenuado pelo controlador 
wm = 70; % Frequência de atuação do controlador [rad/s] 
[MAG,PHASE] = bode(G,wm); % Define o valor da magnitude e fase na 
frequência de atenuação 
teta = -180+8+MF -PHASE; % Cálculo de a ser disponibilizado pelo 
controlador MF devido ao sistema ser oscilatório 
 
 
%% Cálculo dos valores de ki, kd e kp 
 
% Cálculo do valor de ki caso haja especificação de erro 
Kx = kp + kd*x + ki/x; 
Gx = 1/(m*x^2+K); 
 
kv = limit(x*Kx*Gx,x,0); 
erro = 1/kv; 
ki = eval(solve(erro-e,ki)); 
 
% Cálculo de kp 
kp = cosd(teta)/MAG; 
 
% Cálculo de kd 
kd = sind(teta)/(MAG*wm) + ki/(wm^2); 
40 
 
 
%% controlador total 
K_controlador = kp + kd*s + ki/s; 
 
figure(2); 
margin(K_controlador*G); 
grid on; 
 
%% Verificação com o controlador 
figure(3) 
step(K_controlador*G/(1+K_controlador*G)); 
 
figure(4) 
t = 0:0.01:0.8; 
lsim(K_controlador*G/(1+K_controlador*G),t,t); 
 
• Programa do MATLAB para resolução numérica por alocação de polos. 
 
clear all; close all; clc; 
 
syms S k1 k2 L1 L2 
s=tf('s'); 
 
% Controlador sem observador 
% Função de transferência: 
G = 1/(0.650*s^2+481.0321); 
m = 0.650; 
k = 481.0321; 
 
%Necessidades de projeto 
OS = 20; 
 
% Valores associados 
zeta = -log(OS/100)/(sqrt(pi^2+(log(OS/100))^2)); 
wn = sqrt(k/m); 
wd = wn*sqrt(1-zeta^2); 
 
% Coeficientes do numerador e do denominador em ordem decrescente 
num = [1]; 
den = [0.650 0 481.0321]; 
41 
 
 
% Espaço de estado de G(s) com X = [X2 X1] 
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den); 
 
% Alocação dos polos dominantes do controlador 
s1 = -zeta*wn+1i*wd 
s2 = -zeta*wn-1i*wd 
 
% Vetor de ganho do controlador 
JK = [s1,s2]; 
K = acker(A,B,JK); 
 
% Espaço de estado 
AA = A-B*K; 
BB = B; 
CC = C; 
DD = 0; 
[num,den] = ss2tf(AA,BB,CC,DD); 
KK = tf(num,den); 
 
% Verificação do OS e erro 
step(KK), grid on 
title('Resposta degrau do controlador') 
 
figure 
step(KK*740/1.538), grid on 
title('Resposta degrau do controlador com erro corrigido') 
 
%% Projeto de alocação de polos com controlador-observador 
%% Polos do observador localizados em -1 
% s3 = s4 = -1 
s3 = -1 
s4 = -1 
% Vetor de ganho do observador 
JL = [s3,s4]; 
L = acker(A',C',JL)'; 
 
% Espaço de estado 
AA1 = A-B*K-L*C; 
BB1 = L; 
CC1 = K; 
42 
 
DD1 = 0; 
[num1,den1] = ss2tf(AA1,BB1,CC1,DD1); 
 
% Controlador não realimentado 
KK1 = tf(num1,den1); 
 
% Controlador realimentado 
GG = minreal(KK1*G/(1+KK1*G)) 
figure 
 
% Controlador com o erro nulo 
step((740/-3.672e04)*GG), grid on 
hold on 
 
%% Polos do observador mais aproximado aos polos do controlador 
% s3 = s4 = -13 
s3 = -13 
s4 = -13 
% Vetor de ganho do observador 
JL = [s3,s4]; 
L = acker(A',C',JL)'; 
 
% Espaço de estado 
AA1 = A-B*K-L*C; 
BB1 = L; 
CC1 = K; 
DD1 = 0; 
[num1,den1] = ss2tf(AA1,BB1,CC1,DD1); 
 
% Controlador não realimentado 
KK2 = tf(num1,den1); 
 
% Controlador realimentado 
GG = minreal(KK2*G/(1+KK2*G)) 
 
% Controlador com o erro nulo 
step((1.251e05/-4.773e05)*GG), grid on 
 
%% Polos do observador localizados em 2 vezes dos polos do controlador 
s3 = -25 
s4 = -25 
43 
 
% Vetor de ganho do observador 
JL = [s3,s4]; 
L = acker(A',C',JL)'; 
 
% Espaço de estado 
AA1 = A-B*K-L*C; 
BB1 = L; 
CC1 = K; 
DD1 = 0; 
[num1,den1] = ss2tf(AA1,BB1,CC1,DD1); 
 
% Controlador não realimentado 
KK3 = tf(num1,den1); 
 
% Controlador realimentado 
GG = minreal(KK3*G/(1+KK3*G)) 
 
% Controlador com o erro nulo 
step((4.625e05/-9.179e05)*GG), grid on 
 
 
 
%% Polos do observador afastado em 6 vezes dos polos do controlador 
s3 = -75 
s4 = -75 
% Vetor de ganho do observador 
JL = [s3,s4]; 
L = acker(A',C',JL)'; 
 
% Espaço de estado 
AA1 = A-B*K-L*C; 
BB1 = L; 
CC1 = K; 
DD1 = 0; 
[num1,den1] = ss2tf(AA1,BB1,CC1,DD1); 
 
% Controlador não realimentado 
KK4 = tf(num1,den1); 
 
% Controlador realimentado 
GG = minreal(KK4*G/(1+KK4*G)) 
44 
 
 
% Controlador com o erro nulo 
step((4.163e06/-2.754e06)*GG), grid on