Estrutura de Concreto Armado II [111db9] imprimir (1)

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João Dirceu Nogueira Carvalho
Estruturas de concreto armado II
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Reitor 
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Editoração
Produção de Materiais Didáticos
Capa
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Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE
João Dirceu Nogueira Carvalho
Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade de São Pau-
lo – USP – Mestre em Engenharia Civil pela Universidade de São 
Paulo – USP – Doutor em Engenharia Civil pela Universidade Fe-
deral de Santa Catarina – UFSC. Sou professor aposentado do 
Departamento de Engenharia Civil da Universidade Estadual de 
Maringá – DEC/UEM, onde atuei por 35 anos como docente das 
disciplinas de Pontes, Concreto Protendido, Concreto Armado, Es-
tática etc. Atualmente, sou professor do curso de Engenharia Civil 
da Uningá, onde ministro a disciplina de Estruturas de Concreto.
Sobre os autores
Sumário
Capítulo 1 O projeto de estruturas de concreto armado, concepção 
da estrutura e plantas de forma ........................................................11
1.1 O projeto das estruturas de concreto armado ................................................. 12
1.1.1 O Projeto Estrutural ................................................................................ 16
1.1.2 A planta de forma ................................................................................... 23
Capítulo 2 Lajes maciças de concreto armado – determinação 
dos esforços ......................................................................................37
2.1 Lajes maciças de concreto armado ................................................................. 39
2.1.1 Vinculação das lajes............................................................................... 41
2.1.2 Vão teórico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) ............... 46
2.1.3 Classificação das lajes ........................................................................... 48
2.1.4 Lajes Armadas em Duas Direções ou em Cruz .................................... 50
2.1.5 Processo de Marcus .............................................................................. 51
2.1.6 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas ....................................... 52
2.1.7 Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas em Cruz ......... 60
2.1.8 Representação em planta dos momentos e reações calculados ......... 69
2.1.9 Lajes Armadas em Uma Direção ........................................................... 70
2.1.10 Compensação dos momentos fletores ................................................ 75
Capítulo 3 Lajes maciças de concreto armado – altura 
e detalhamento .................................................................................83
3.1.1 Estados limites ....................................................................................... 85
3.1.2 Limites para deslocamentos em uma laje ............................................. 87
3.1.3 Espessuras mínimas para lajes maciças de concreto armado ............. 89
3.1.5 Determinação da altura das lajes pela limitação dos deslocamentos .........94
3.1.6 A altura útil e a altura .............................................................................. 101
3.1.7 Organização dos cálculos ...................................................................... 105
3.1.8 Dimensionamento e detalhamento da armadura .................................. 107
3.1.9 Cisalhamento em lajes ........................................................................... 116
Capítulo 4 Vigas de concreto armado – equacionamento, 
detalhamento da seção ....................................................................119
4.1.1 Hipóteses de cálculo - NBR 6118 (2003) - item 17.2.2 ......................... 122
4.1 Cálculo no Estado Limite Último ...................................................................... 122
4.2 Distribuições possíveis de deformação na seção ........................................... 125
4.3 Flexão normal simples em seções retangulares ............................................. 126
4.4 Equacionamento do Problema para armadura simples (Rsc = 0) .................. 129
4.4.1 Equações de equilíbrio ........................................................................... 129
4.4.2 Equações de compatibilidade ................................................................ 131
4.5 Cálculo de dimensionamento .................................................................... 134
4.5.1 Domínio 2 ............................................................................................... 136
4.5.2 Domínio 3 ............................................................................................... 136
4.5.3 Domínio 4 ............................................................................................... 137
4.6 Exemplo geral .................................................................................................. 139
4.7 Durabilidade das estruturas de concreto ......................................................... 151
4.7.1 Agressividade do ambiente .................................................................... 152
4.8 Detalhamento da armadura na seção ............................................................. 156
4.9 A altura e a altura útil ....................................................................................... 159
4.10 Armadura dupla .............................................................................................. 173
4.10.1 Armadura dupla - equacionamento ...................................................... 176
4.10.2 Valores de d’ ......................................................................................... 181
4.10.3 Valores de '
sσ ...................................................................................... 181
4.11 Cálculo mediante tabelas ............................................................................... 183
4.11.1 Seção retangular com armadura simples ............................................ 183
4.11.2 Seção retangular com armadura dupla ................................................ 190
4.12 Seções “T” submetidas à flexão simples ....................................................... 197
4.12.1Largura colaborante de vigas de seção T ............................................ 197
4.12.2 Cálculo de dimensionamento............................................................... 199
4.12.3 Caso 1 – Seção T calculada como seção retangular x xfβ β≤ ........ 201
4.12.4 Caso 2 - Seção “T” calculada como seção “T” x xfβ β> .................. 202
4.13 Vãos efetivos e larguras mínimas de vigas ................................................... 204
Capítulo 5 Vigas de concreto armado – detalhamento longitudinal .....207
5.1.1 Cobertura de diagramas de momento fletor .......................................... 209
5.2 Ancoragem ....................................................................................................... 222
5.2.1 Introdução .............................................................................................. 222
5.2.2 Zonas de ancoragem ............................................................................. 225
5.2.3 Resistência de aderência ....................................................................... 227
5.2.4 Comprimento básico de ancoragem ...................................................... 230
5.2.5 Ganchos .................................................................................................233
5.2.6 Comprimento de ancoragem necessário (efetivo) ................................ 236
5.2.7 Ponto de início de ancoragem ............................................................... 238
5.2.8 Ancoragem nos apoios........................................................................... 246
5.2.9 Apoios extremos - comprimento mínimo de ancoragem ....................... 250
5.2.10 Armaduras construtivas e porta estribos ............................................. 257
5.2.11 Ancoragens de barras comprimidas .................................................... 259
5.3 Emendas de barras por aderência .................................................................. 260
5.3.1 Introdução .............................................................................................. 260
5.3.2 Emendas por traspasse ........................................................................ 263
Capítulo 6 Vigas de concreto armado – cisalhamento ....................269
6.1 Cisalhamento - verificação do estado-limite último ......................................... 272
6.2 Verificação de esmagamento de bielas ........................................................... 274
6.3 Cálculo da armadura transversal ..................................................................... 275
6.3.1 VSd - Cargas próximas aos apoios ....................................................... 276
6.3.2 Cálculo da parcela a ser absorvida pelo concreto ................................. 277
6.3.3 Cálculo da parcela a ser absorvida pela armadura ............................... 278
6.3.4 Exemplo de cálculo ................................................................................ 284
6.3.5 Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado........................ 293
Capítulo 7 Pilares de concreto armado - dimensionamento ...........301
7.1.1 Classificação dos pilares quanto à sua posição em planta ................... 303
7.1 Pilares de concreto armado - dimensionamento ............................................. 303
7.2 Classificação dos pilares quanto à sua esbeltez............................................. 307
7.2.1 Índice de esbeltez, raio de giração, comprimento de flambagem ......... 309
7.2.2 Exemplo de determinação do índice de esbeltez de um pilar ............... 312
7.2.3 Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez ........................ 314
7.3 Tipos de excentricidades ................................................................................. 319
7.3.1 Excentricidade de forma (ef ou er) ......................................................... 320
7.3.2 Excentricidade acidental (ea).................................................................. 320
7.3.3 Excentricidade inicial (ei) ........................................................................ 322
7.2.4 Excentricidade de segunda ordem (e2) .................................................. 327
7.3.5 Resumo geral das excentricidades em um pilar .................................... 329
7.3.6 Exemplos de cálculo das excentricidades ............................................. 331
7.4 Ábacos para o cálculo da armadura longitudinal de pilares ........................... 337
7.4.1 Ábacos para Flexão Normal Composta ................................................. 337
7.4.2 Ábacos para Flexão Composta Oblíqua ............................................... 341
Capítulo 8 Pilares de concreto armado – exercícios e detalhamento ........345
8.1 Pilares de concreto armado – exercícios e detalhamento .............................. 347
8.1.1 Pré-dimensionamento ............................................................................ 348
8.1.2 Exemplo 01 ............................................................................................ 350
8.2 Detalhamento da armadura de pilares de concreto armado ........................... 367
8.2.1 Relação máxima entre as dimensões da seção .................................... 367
8.2.2 Armaduras longitudinais ........................................................................ 368
8.2.3 Armaduras transversais ........................................................................ 369
8.2.4 Estribos suplementares .......................................................................... 370
8.3 Detalhamento da armadura do exemplo 01 .................................................... 370
8.4 Exemplo 02 ...................................................................................................... 373
8.4.1 Cálculo do índice de esbeltez ................................................................ 374
8.4.2 Cálculo das excentricidades iniciais ...................................................... 375
8.4.3 Cálculo das excentricidades acidentais ................................................. 377
8.4.4 Análise das excentricidades ................................................................... 379
8.4.5 Cálculo da armadura longitudinal .......................................................... 382
8.5 Detalhamento da armadura do exemplo 02 .................................................... 389
CONCLUSÃO ...................................................................................394
REFERÊNCIAS ................................................................................397
O curso de engenharia civil tem uma grade curricular que, apesar 
de pequenas diferenças de curso para curso, caracteriza-se por 
uma divisão entre as matérias básicas de formação geral, compos-
ta, por exemplo, pelas disciplinas de matemática, física, química, 
método de pesquisa, etc. e as de formação técnica, que se subdivi-
dem conforme as grandes áreas da engenharia civil.
Entre as grandes áreas da engenharia civil estão a de Construção 
Civil, Estradas e Geotecnia, Hidráulica e Estruturas. Estas grandes 
áreas de formação técnica também têm suas disciplinas básicas e 
as aplicadas, por exemplo, na área de estruturas temos as maté-
rias de Mecânica dos Sólidos I e II e Mecânica das Estruturas como 
básicas, e as de Estruturas de Concreto, Aço, Madeira, Alvenaria 
Estrutural, Pontes, Concreto Protendido etc.
As disciplinas aplicadas normalmente causam certo impacto no 
acadêmico de engenharia, pois trazem consigo uma mudança de 
paradigma. O acadêmico estava acostumado, desde o ensino mé-
dio, até agora, a exercícios do tipo: dados isto e aquilo determine 
isso. Ao final de cada capítulo dos livros destas matérias básicas 
tínhamos 50, 100, as vezes mais de 150 exercícios desse tipo, e 
pelo menos a metade com respostas. Isto sem contar os vários 
exemplos resolvidos. A mudança de paradigma é que isto acabou!
A principal característica das matérias aplicadas é o fato delas se-
rem voltadas para projeto. Nestas matérias aprendemos a construir 
nossos exercícios, por exemplo, se vamos dimensionar uma viga, 
o tipo de viga: bi apoiada, com ou sem balanços, contínua etc., so-
Apresentação
mos nós que determinamos, assim como determinamos os vãos, 
os carregamentos etc. Percebeu? Agora somos nós que criamos 
o enunciado dos nossos exercícios, e como anteriormente, deter-
minamos os esforços, mas quais esforços? Aqueles que a nosso 
critério são importantes e relevantes para o dimensionamento da 
estrutura. Finalmente, dimensionamos nossa viga conforme o ma-
terial, concreto aço madeira etc.
Resumindo, agora montamos o enunciado dos nossos exercícios, deter-
minamos os esforços solicitantes e dimensionamos o elemento estrutural 
para resistir àqueles esforços solicitantes, e devemos fazer isto com muito 
cuidado, pois qualquer erro, em qualquer uma destas três etapas, pode 
vir a ser uma “falha de projeto” e inviabilizar a estrutura.
Mas não se preocupe, observamos que isto impacta o acadêmico pela 
mudança de paradigma, ou seja, assim que nos habituarmos, que assi-
milarmos esta nova forma de atuação as coisas voltam à normalidade.
Nesta disciplina, Estruturas de Concreto Armado II, vamos aprender a 
concepção de uma estrutura, e depois vamos conceituar,equacionar 
e detalhar as lajes as vigas e os pilares de concreto armado.
No Capítulo I, vamos aprender as noções básicas do que é um projeto 
estrutural, e a concepção de uma estrutura, ou seja, a partir de um projeto 
arquitetônico vamos estudar como conceber, definir uma estrutura, e a 
elaboração das plantas de forma, a partir da qual serão elaboradas as 
plantas de armação dos elementos constituintes da estrutura.
Nos Capítulos II e III vamos estudar as lajes de concreto armado. 
No Capítulo II vamos aprender a discretizar uma laje, vamos vin-
culá-las, classifica-las, determinar os esforços em lajes isoladas 
(momentos fletores e reações de apoio), e reagrupa-las fazendo a 
compensação dos momentos fletores.
No Capítulo III vamos conceituar Estados limites, aprender a de-
terminar a altura das lajes pela limitação de seus deslocamentos 
(flechas) vamos aprender a organizar os cálculos e a detalhar as 
armaduras calculadas.
Nos Capítulos IV, V e VI vamos estudar as vigas de concreto armado. 
No Capítulo IV abordaremos o equacionamento do concreto arma-
do, ou seja, o dimensionamento das seções de concreto armado. 
Vamos trabalhar com seções retangulares e T, com armaduras 
simples e dupla e calcular mediante equações ou tabelas. Vamos 
aprender também a respeito da durabilidade das estruturas de con-
creto e ao final, detalhar a armadura na seção.
No Capítulo IV abordaremos detalhamento longitudinal das arma-
duras, ou seja, a cobertura de diagramas e ancoragem das barras. 
Aprenderemos também as emendas por traspasse.
No Capítulo IV abordaremos o cisalhamento em vigas de concreto 
armado.
Nos Capítulos VII e VIII vamos estudar os pilares de concreto armado. 
No Capítulo VII aprenderemos a classificar os pilares quanto a sua 
posição em planta e quanto ao seu índice de esbeltez. Abordare-
mos também o equacionamento dos pilares de concreto armado, à 
Flexão Composta Normal ou à Obliqua.
No Capítulo VIII exemplificamos o por meio de exercícios o conteú-
do abordado no Capítulo VII, e aprenderemos o detalhamento das 
armaduras de pilares.
Bom estudo!
Professor João Dirceu 
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
O projeto de estruturas 
de concreto armado, 
concepção da estrutura e 
plantas de forma
Capítulo
1
O projeto arquitetônico com suas plantas baixas, cortes, 
elevações e desenho de detalhes representa a concepção 
de uma obra, de uma edifi cação. Vários outros projetos 
desenvolvidos por profi ssionais especialistas em suas 
respectivas áreas são necessários para a execução desta 
obra, por exemplo, se for um edifício devemos providenciar 
um projeto de hidráulica (água fria, água quente, esgoto, 
águas pluviais), um projeto elétrico (energia, telefone, 
internet, som), um projeto de incêndio etc., e é claro, não 
podemos nos esquecer de um projeto estrutural, afi nal 
esperamos que o edifício não caia, ou apresente fi ssuras, 
trincas, ou deslocamentos indesejáveis, não é mesmo!?
Todos esses projetos são desenvolvidos a partir do projeto 
arquitetônico, e todos precisam ser compatíveis com o projeto 
arquitetônico e entre si. 
Nesta matéria, o nosso foco será o projeto estrutural. Nosso 
edifício poderá ser em aço, em madeira, em concreto 
armado, em alvenaria estrutural etc., ou seja, dependendo 
do material, ou das técnicas construtivas envolvidas será 
feito um projeto estrutural específi co para aquele material, 
conforme as normas e especifi cações técnicas próprias para 
aquele material.
14 UNIUBE
• Conceituar projeto estrutural e sua discretização em seus 
elementos primários – vigas, lajes, pilares.
• Elaborar a planta de forma de um pavimento tipo.
• O Projeto das Estruturas de Concreto Armado
• O Projeto Estrutural
• O Anteprojeto
• O Projeto
• A Apresentação do Projeto
• A Planta de Forma
Objetivos
Esquema
Normalmente, a primeira concepção que se faz em um projeto 
estrutural é quanto ao material, e neste caso específico do 
nosso curso, vamos optar pelo concreto armado.
Neste primeiro capítulo vamos aprender as noções básicas 
do que é um projeto estrutural, e a concepção de uma 
estrutura, ou seja, a partir de um projeto arquitetônico vamos 
estudar como conceber, definir uma estrutura, e a elaboração 
das plantas de forma, a partir da qual serão elaboradas as 
plantas de armação dos elementos constituintes da estrutura.
O projeto das estruturas de concreto armado1.1
Existem vários métodos, processos e técnicas para o cálculo de es-
truturas. O desenvolvimento tecnológico na informática, com a con-
sequente redução do custo tanto a nível de hardware como de sof-
tware, possibilitou aos engenheiros o acesso a este imprescindível 
instrumento de trabalho. A informatização dos escritórios de cálculo 
proporcionou a utilização das mais sofisticadas técnicas de cálculo. 
Atualmente, o método da análise matricial de estruturas e o de ele-
mentos finitos, são utilizados de forma rotineira em aplicativos para o 
 UNIUBE 15
cálculo estrutural. Podemos, com essas técnicas de cálculo, conside-
rar um edifício como um elemento engastado ou apoiado no solo e a 
outra extremidade livre, e calculá-lo de forma global, contínua.
Outro procedimento para o cálculo de estruturas consiste na sua 
discretização em seus elementos primários, ou seja, as lajes, as 
vigas, os pilares e todos os demais elementos complementares da 
estrutura. Este processo, com o auxílio de microcomputadores de 
pequeno porte, e até mesmo simples máquinas de calcular pro-
gramáveis, e de programas para cálculo estrutural de baixo custo, 
inclusive vários de domínio público, extremamente simples, a ponto 
de ser normal os calculistas elaborarem seus próprios aplicativos, 
proporciona um cálculo relativamente rápido e bastante preciso.
É por meio deste processo de cálculo, discretizando a estrutura 
em seus elementos básicos, que os conceitos teóricos e práticos 
do cálculo e do detalhamento da armadura, são ministrados nas 
disciplinas de concreto dos cursos de Engenharia Civil. Na Figura 
1 exemplificamos o procedimento de cálculo.
A Figura 1-a mostra a estrutura de um edifício com o pavimento da 
cobertura, 3 pavimentos tipos, o térreo e as fundações.
A Figura 1-b representa, de forma simplificada, um pavimento com 
seus elementos estruturais. Os pilares P1 a P8, as lajes L01 a L05 e as 
vigas V101 a V108. Esta planta é denominada Planta de Forma. Logo 
adiante, vamos estudá-la com mais detalhe, ok!? 
A Figura 1-c mostra a distribuição de cargas das lajes para as vi-
gas. Cada uma das vigas ou tramos de vigas que contornam e 
suportam a laje, recebem desta a carga que está sob a sua área de 
influência. O tramo da Viga V101 que apoia a laje L01 tem como área 
de influência o trapézio de área S1, no trecho entre os pilares P1 e 
P2, ou seja, toda carga atuante nesta região da laje, será descarre-
gada neste tramo da viga V101.
16 UNIUBE
 
Figura 1 – Esquema de distribuição de cargas em uma estrutura 
Fonte: o autor
 UNIUBE 17
A Figura 1-d mostra a distribuição de cargas das vigas para os 
pilares. A reação da viga V101 no pilar P1 será igual ao esforço 
cortante Va, no pilar P2, será a soma do esforço cortante Vb mais 
Vc etc. Deve-se observar que a viga V103 está apoiada nas vigas 
V105 e V106, ou seja cada uma destas vigas estará solicitada por 
uma carga concentrada que, juntamente com as demais cargas 
atuantes nestas vigas, serão descarregadas nos pilares P1 e P5 
(viga V105) e P2 e P6 (viga V106).
A Figura 1-e mostra o carregamento do pilar P5, pavimento por pa-
vimento, da cobertura ao térreo. De cima para baixo, a cada pavi-
mento, o pilar P5 recebe o carregamento proveniente das reações 
de apoio das vigas V105 e V102, para finalmente descarregar a 
somatória destas cargas no solo, por meio das fundações. 
Finalmente, a Figura 1-f mostra um elemento de fundação (neste 
caso, um bloco sobre duas estacas), que tem por função receber a 
carga total do pilar e transmiti-la ao solo, mediante as estacas.
O procedimento de cálculo para as lajes,vigas, pilares, enfim, um 
elemento estrutural qualquer, pode ser descrito de forma sucinta, 
como segue:
• Determinação das cargas atuantes.
• Determinação dos esforços solicitantes.
• Dimensionamento - concreto armado.
18 UNIUBE
1.1.1 O Projeto Estrutural
O projeto estrutural é composto por um conjunto de desenhos, da-
dos e informações a serem seguidos para a perfeita execução da 
estrutura. Para isto está implícita, sua adequação ao projeto arqui-
tetônico e a todos os projetos complementares da obra (os proje-
tos elétrico, hidráulico, de prevenção de incêndio, de instalação de 
gás, de telefonia etc.).
O projeto estrutural deverá obedecer rigorosamente às 
Normas Técnicas da ABNT – Associação Brasileira de Normas 
Técnicas. A norma específica para projetos em concreto sim-
ples, armado e protendido é a NBR 6118:2003 que teve várias 
revisões, a última em 2014.
No caso específico de uma edificação, tomemos como exemplo 
a Figura 2, onde temos um esquema da estrutura de um edifício. 
Agora, imaginemos que vamos iniciar a construção deste prédio. 
Necessitamos de uma planta que nos dê a locação das estacas em 
relação a um referencial que normalmente é o alinhamento e uma 
das divisas, proporcionando um sistema cartesiano, e as cargas 
em cada uma das estacas. A planta de locação de estacas ou tubu-
lões geralmente é o primeiro desenho de um projeto estrutural, mas 
em obras de pequeno porte, estas informações podem estar dentro 
da planta de fundações.
 UNIUBE 19
Figura 2 – Esquema da estrutura de um prédio 
Fonte: o autor
A Planta de Formas da Fundação recebe este nome Planta de 
Forma por ser a planta que fornecerá ao carpinteiro todas as in-
formações necessárias para fazer a forma, a caixaria a ser pre-
enchida com a armadura e o concreto. Ela deve conter todas as 
informações relativas à locação, forma e dimensões dos blocos de 
fundação, das vigas baldrames, vigas alavanca, enfim, de todos os 
elementos da fundação.
Analogamente, quando formos executar o primeiro pavimento, come-
çamos com o carpinteiro fazendo as formas deste pavimento. A Planta 
de Forma do primeiro pavimento, portanto deverá conter todas as 
20 UNIUBE
informações relativas à locação, forma, detalhes, elevações, dimen-
sões etc., necessários para a execução das vigas, lajes, enfim, de 
todos os elementos estruturais contidos no primeiro pavimento.
Observe que na Figura 2 temos três pavimentos de apartamentos 
e, normalmente, todos pavimentos são iguais. Isto acontece em 
prédios de oito, quinze, vinte pavimentos, residenciais ou comer-
ciais e, sempre que tivermos pavimentos iguais, calculamos e de-
talhamos apenas um deles que representará todos os demais. Este 
pavimento passa a ser denominado de Pavimento Tipo.
Desta forma, como os três pavimentos da Figura 2 são iguais, a Planta 
de Forma do primeiro pavimento passa ser denominada de Planta de 
Forma do Pavimento Tipo e representará os três pavimentos.
IMPORTANTE!
Vamos supor que o nosso edifício tenha vinte pavimentos sendo 
os três primeiros destinados a garagens, os cinco pavimentos se-
guintes destinados a escritórios e os doze últimos a apartamen-
tos. O edifício ficou meio bagunçado, mas é um bom exemplo para 
mostrar que ele teria três Plantas de Forma de Pavimento Tipo. 
Teria a Planta de Forma do Pavimento Tipo dos pavimentos 01 a 03 
(garagens), a Planta de Forma do Pavimento Tipo dos pavimentos 
04 a 08 (escritórios) e a Planta de Forma do Pavimento Tipo dos 
pavimentos 09 a 20 (apartamentos).
 UNIUBE 21
SINTETIZANDO
Concluindo este raciocínio, um projeto estrutural é composto por 
três tipos de plantas: planta de locação de estacas, plantas de for-
ma e suas respectivas plantas de armação. Basicamente, teríamos 
esta relação de plantas compondo o projeto estrutural:
• planta de locação de estacas;
• planta de forma da fundação;
• planta de armação e detalhamento dos elementos de funda-
ção (blocos, vigas baldrames etc.);
• planta de forma do pavimento tipo;
• planta de armação e detalhamento dos elementos do pavi-
mento tipo (lajes, vigas etc.);
• planta de forma da cobertura;
• planta de armação e detalhamento dos elementos da cober-
tura (lajes, vigas etc.);
• planta de armação e detalhamento dos pilares:
• planta de forma dos elementos complementares do edifício;
• planta de armação e detalhamento dos elementos comple-
mentares (escadas; caixas d’água superior e inferior; marqui-
ses; muros de arrimo etc.).
22 UNIUBE
1.1.1.1 O anteprojeto
O projeto estrutural envolve muitos cálculos, muitas pranchas de 
desenho de estruturas, com todas as informações e detalhes para 
a execução da obra. Antes do desenvolvimento de todo este exten-
so trabalho, o calculista deve tomar determinadas decisões quanto 
ao material a ser utilizado, o tipo de estrutura a ser adotado, e como 
esta estrutura será compatibilizada com o projeto arquitetônico, hi-
dráulico, elétrico, telefonia, incêndio etc. Isto é o que chamamos de 
concepção, e podemos considerá-la em três níveis:
Concepção quanto ao material a ser utilizado:
A finalidade da obra, sua localização geográfica etc., permitem uma 
substancial redução de custos, ao se escolher o material de cons-
trução a ser utilizado. A finalidade da obra pode requerer estanquei-
dade, no caso de reservatórios, proteção contra o meio agressivo 
em que a obra se insere etc., e, neste sentido, a escolha adequada 
do material pode reduzir o custo de revestimentos especiais e sis-
temas de proteção. A primeira concepção será, portanto, a escolha 
do material, ou seja, a alvenaria estrutural, a madeira, o aço, o con-
creto armado ou protendido etc.
A localização geográfica pode induzir à utilização de materiais 
abundantes na região, reduzindo custos com fretes, mão de obra 
especializada etc. É o caso da utilização da madeira no interior da 
Amazônia, do pré-moldado no eixo Rio-São Paulo etc.
Concepção quanto ao esquema estrutural:
Refere-se à adoção do esquema estrutural, por exemplo, uma 
estrutura em pórticos planos ou espaciais, pavimentos em 
grelhas etc.
 UNIUBE 23
Concepção quanto à compatibilidade arquitetura/estrutura:
Definido, como em nosso caso, o uso do concreto armado e a dis-
cretização da estrutura em lajes, vigas e pilares, é nesta etapa da 
concepção da estrutura, que se define a forma e dimensões das la-
jes, a forma, a posição e a locação dos pilares e das vigas, ou seja, 
é a definição, o lançamento da estrutura no projeto arquitetônico.
O anteprojeto consiste em, mediante cálculos rápidos - apenas 
uma análise das seções mais solicitadas - e um detalhamento su-
mário, a elaboração de um pré-dimensionamento que permita a 
quantificação de cada uma das concepções propostas, e a compa-
ração entre elas para que se possa escolher a melhor alternativa 
estrutural para a obra. 
É nesta fase do anteprojeto que se inicia e se deve resolver as 
interferências e os conflitos com os projetos de instalações (gás, 
telefonia, ar-condicionado, hidráulica, elétrica etc.).
1.1.1.2 O projeto
Definida a estrutura em anteprojeto, inicia-se o projeto, ou seja, o 
cálculo completo, com o detalhamento dos elementos estruturais, 
a elaboração dos memoriais de cálculo e as demais informações 
acordadas em contrato.
1.1.1.3 A apresentação do projeto
A apresentação do projeto de estruturas de concreto é normatizada 
por duas normas, a NBR 7191 e a NBR 10067. Os principais itens 
24 UNIUBE
abordados para execução de desenhos para obras de concreto 
simples ou armado são: 
Os Tipos de desenhos, que podem ser desenhos de conjunto (plan-
tas, elevações, cortes, vistas e perspectivas), os desenhos para 
execução de formas; os desenhos para execução de escoramen-
tos; e os desenhos de detalhes.
A definição dos elementos estruturais de forma que toda peça, ele-
mento ou detalhe da estrutura fique perfeitamente definida nos de-
senhos de formas, por suas dimensões, sua locação e posição em 
relação a eixos, divisas etc.
A designação das peças é feita, medianteos seguintes símbolos, 
seguidos do respectivo número de ordem:
lajes L diagonais D
vigas V sapatas S
pilares P blocos B
tirantes T paredes PAR
Lajes: a numeração deve ser feita, começando pelo canto esquer-
do superior do desenho, prosseguindo para a direita, de cima para 
baixo. As espessuras das lajes são obrigatoriamente indicadas, em 
cada laje ou em nota à parte. 
Vigas: para as vigas dispostas horizontalmente no desenho a 
numeração é feita partindo-se do canto superior esquerdo para 
o direito, de cima para baixo, até atingir o canto inferior direito; 
para as vigas dispostas verticalmente parte-se do canto inferior 
esquerdo, para cima, da esquerda para a direita, até atingir o 
 UNIUBE 25
canto superior direito. As vigas cuja inclinação com a horizontal 
variar de 0 a 45º, inclusive, são consideradas como dispostas 
horizontalmente no desenho. 
Cada vão das vigas contínuas é designado pelo número comum à 
viga seguido de uma letra maiúscula. Junto da designação de cada 
viga, devem ser indicadas suas dimensões: V101 (bwxd), onde bw é 
a largura da viga e d é a altura útil da viga.
Pilares e tirantes: a numeração dos pilares e tirantes é feita partindo 
do canto superior esquerdo do desenho para a direita, de cima para 
baixo. Junto da designação de cada Pilar, devem ser indicadas suas 
dimensões: P01 (bwxh), onde h é a altura do pilar na direção conside-
rada, ou seja, direção paralela à viga que está apoiando o pilar, con-
forme o pavimento tipo. Na planta de armação dos pilares estes serão 
detalhados longitudinalmente (elevação) e neste caso serão fixadas 
as dimensões (bwxd) sempre que forem alteradas.
Como podemos observar são normas gerais para desenhos de 
estruturas de concreto e abordam uma série de assuntos, como: 
aberturas, desenhos para execução de armaduras etc. Aqui esta-
mos apresentando-as para que possa obtê-las, se inteirar de suas 
prescrições e usá-las quando necessário.
1.1.2 A planta de forma
Já definimos anteriormente o que é uma Planta de Forma. Nos 
projetos de estruturas, sua função é identificar os elementos es-
truturais nela contidos, por nome ou número e mostrar todas as 
informações relativas à locação, forma e dimensões.
26 UNIUBE
Como adotamos a premissa de discretizar a estrutura em seus 
elementos básicos, lajes, vigas e pilares, em linhas gerais o que 
faremos é o seguinte: vamos lançar as vigas e os pilares. Quando 
posicionamos as vigas obtemos a delimitação das lajes e quando 
posicionamos os pilares obtemos a delimitação das vigas.
RELEMBRANDO
Antes de iniciarmos, precisamos relembrar os conceitos básicos 
de vigas, pois o cálculo de uma estrutura de concreto é iniciado na 
concepção da estrutura, por exemplo:
• Vigas bi apoiadas têm momentos fletores maiores e, conse-
quentemente, alturas maiores e mais adiante veremos na co-
bertura do diagrama de momentos quase todas as barras vão 
de apoio a apoio, aumentando o consumo de aço;
• Veja que as duas vigas abaixo têm o mesmo vão total ℓ1. Se 
por um lado, o balanço produz um momento fletor negativo 
que reduz o positivo que a viga teria sem o balanço, por outro 
lado, o balanço é mais flexível, produzindo maiores flechas;
• Veja a viga hiperestática a seguir e os momentos de engasta-
mento perfeito de seus tramos à direita.
 UNIUBE 27
A compensação de momentos ideal é a que é feita quando os mo-
mentos são iguais, ou seja:
SINTETIZANDO
A viga contínua “ideal” submetida a uma carga uniformemente dis-
tribuída p seria aquela em que os tramos centrais fossem apro-
ximadamente 22% maiores que os de extremidade, por exemplo, 
3,00/3,65/3,00 metros, mas observe que é aproximadamente 22%, 
ou seja o tramo central com um vão entre 3,60 e 3,70 m. Se os tra-
mos de extremidade forem mais carregados que os centrais esta 
porcentagem aumenta e se os tramos centrais forem os mais car-
regados esta porcentagem diminui.
Estamos apenas mostrando que existe uma série de conceitos bá-
sicos da mecânica das estruturas que devem ser observados na 
concepção de uma estrutura e, quando não puderem ser seguidos, 
que o projetista tenha ciência dessa impossibilidade. 
Em muitos casos, o projeto não dá alternativas ao calculista. 
Observe a planta de um prédio de salas de aula: salas de aula à 
esquerda e à direita com um corredor entre elas. As vigas transver-
sais terão vãos do tipo 7,00/4,00/7,00 metros ou 11,00/7,00 metros.
28 UNIUBE
A planta de forma é a planta baixa da estrutura e deve ser feita a 
partir da planta baixa e dos cortes e elevações do projeto arquite-
tônico. Como exemplo, vamos considerar uma sala e suas duas 
paredes laterais e vamos supor que nesta direção a sala tenha 350 
cm, a parede da esquerda tenha 15 cm e a da direita 20 cm. Vamos 
supor ainda que na parede esquerda esteja embutida uma viga de 
14 cm de largura e na da direita uma de 15 cm. A Figura 3 mostra 
algumas das situações possíveis a seguir:
IMPORTANTE!
Figura 3 – Posicionamento da vida dentro de uma pa-
rede e vãos da planta de forma 
Fonte: o autor
Vamos agora analisar os fundamentos da construção de uma planta 
de forma de um pavimento tipo de um edifício com quatro apartamen-
tos, dois de um lado e dois do outro, e no meio, as caixas de escada, 
 UNIUBE 29
de elevador e o hall comum aos quatro apartamentos. Como se trata 
de um pequeno exemplo, vamos simplificar trabalhando com apenas 
um dos apartamentos conforme apresentado na Figura 4, adotando 
15 cm para as paredes internas e 20 cm para as externas.
Figura 4 – Esquema arquitetônico de um apartamento 
Fonte: o autor
AMPLIANDO O CONHECIMENTO
Outra coisa, aquele “estágio” que todo estudante de engenharia quer 
começar a fazer, começa até mesmo antes de entrarmos na faculda-
de. Ele é iniciado quando começamos a observar os edifícios, nossa 
casa, nosso apartamento, com um olhar técnico. Após essa introdu-
ção, torna-se desnecessário dizer vamos tentar “esconder”, embutir 
nossas vigas dentro das paredes, conforme mostrado na Figura 3 e 
os pilares normalmente vão ser posicionados no encontro de vigas.
30 UNIUBE
Inicialmente, vamos posicionar nossas vigas, ou seja, vamos apenas 
desenhar por onde elas podem passar. Nesse momento, não vamos 
nos preocupar com os pilares, os apoios dessas vigas. Na Figura 5 
à esquerda posicionamos as vigas verticais e à direita completamos 
com as vigas horizontais. Perceba que já há uma delimitação das lajes.
Já podemos posicionar os pilares? Não. Precisamos ver se há 
alternativas para o posicionamento das vigas. Reservamos esta 
primeira alternativa e vamos desenhar outra, e outra e outra, até 
esgotarmos as possibilidades. Na Figura 6 apresentamos uma se-
gunda alternativa. Vamos analisá-las um pouco.
Figura 5 – Esquema 01 de posicionamento das vigas na planta de forma 
Fonte: o autor
Figura 6 – Esquema 02 de posicionamento das vigas na planta de forma 
Fonte: o autor
 UNIUBE 31
DICAS
• Vejas que algumas lajes estão suportando paredes, isso é pos-
sível? Sim, nas lajes maciças de concreto armado sem maiores 
problemas, mas nas lajes pré-moldadas não é aconselhável, e 
quando for o caso, deve-se tomar muito cuidado com a solidari-
zação das vigotas fazer as paredes transversais às vigotas.
• Veja que as vigas estão “quase” todas embutidas nas pare-
des. Quando há mudança de ambientes, como é o caso do 
hall de entrada para a sala jantar, ou desta para o corredor 
que leva aos quartos o aparecimento da viga é normal e não 
apresenta maiores problemas estéticos.
• No esquema 01 podemos ter a sala de jantar, a sala de estar 
e entre elas um barzinho, uma poltrona com uma estante de 
livros, uma cristaleira etc., ou seja, podemos criar dois, três 
ou mais, pequenos ambientes, mas veja que é uma laje bem 
maior que as demais. 
• No segundo esquema, uma das vigas horizontais foi prolon-
gada dividindo a sala de estar/jantar. Por um lado, isso unifor-
mizou o tamanho das lajes, o que é interessante, mas por ou-
tro lado, criou uma divisão física no ambiente, e agoratemos 
duas salas, dois ambientes perfeitamente definidos. Observe 
que é uma questão de opção, mas se adotada, necessitaria 
da aprovação do autor do projeto arquitetônico.
• No esquema 01 foi feita uma laje contendo os dois banheiros e ou-
tra para o corredor de acesso aos dormitórios. No esquema 02, a 
viga horizontal foi retirada e apenas uma laje contendo os banheiros 
e o corredor. Como dissemos anteriormente, são alternativas, pos-
sibilidades à disposição do calculista ao lançar uma estrutura.
32 UNIUBE
Vamos optar pelo esquema 02, e agora que já temos a delimitação 
das lajes, obtido com o posicionamento das vigas, vamos determi-
nar as vigas com o posicionamento dos pilares.
DICAS
A distância entre pilares deve ser sempre superior a 2,0 m. 
Normalmente, devemos procurar os encontros de vigas, mas 
não necessariamente, afinal as cargas concentradas são pro-
venientes de uma viga apoiada em outra. Os vãos devem ser 
equilibrados, normalmente entre 2,5 e 5,0 metros, evitando vãos 
muito grandes, e sempre considerar o pé direito da edificação, 
por exemplo, prédios mais populares às vezes têm pés direito de 
2,40 m, veja que uma porta tem 2,1 metros de altura, se consi-
derarmos 5,0 cm para o batente são 2,15 m, ou seja, sobram 25 
cm até a laje e, se adicionarmos a altura da laje, as vigas dessa 
edificação estariam limitadas a 35 cm e os vão de nossas vigas 
não poderiam ultrapassar os 3,5 a 4,0 metros.
Na Figura 7 apresentamos o esquema de posicionamento dos pi-
lares. Observe que a planta impõe um posicionamento de pilares 
que nem sempre leva a vãos centrais maiores que o de extremida-
de etc. Veja também que as vigas são normalmente apoiadas nos 
pilares, mas também podem ser apoiadas por outras vigas.
 UNIUBE 33
Figura 7 – Esquema de posicionamento dos pilares na planta de forma 
Fonte: o autor
Agora já temos todos os elementos para detalharmos nossa planta 
de forma. Vamos colocar as dimensões, numerar as lajes, vigas e 
pilares, colocar o nivelamento das lajes e das vigas e finalizar. A 
Figura 8 mostra a planta de forma parcial, pois fizemos só de um 
apartamento, do pavimento tipo de um edifício de apartamentos.
SINTETIZANDO
As dimensões adotadas foram calculadas conforme explicado an-
teriormente. Por exemplo, no esquema arquitetônico apresentado 
na Figura 4, na parte superior temos uma parede externa (20 cm), o 
dormitório (360 cm), uma parede interna (15 cm), a área de serviço 
(220 cm), outra parede interna (15 cm), a cozinha (350), outra pa-
rede interna (15 cm), o corredor de entrada (120 cm) e, finalmente, 
a parede interna que separa os apartamentos (15 cm).
34 UNIUBE
Como as vigas foram centradas nas paredes, foram colocadas vi-
gas com 17 cm de largura nas paredes de 20 cm, ou seja, 1,5 + 17 
+ 1,5 = 20 cm. Nas paredes de 15 cm foram colocadas vigas com 
14 cm de largura, ou seja, 0,5 + 14 + 0,5 = 14 cm. Para exemplificar 
esse procedimento, detalhamos na Figura 9 a obtenção da primeira 
linha de cotas horizontais da planta de forma.
PARADA OBRIGATÓRIA
Observe a numeração das vigas, das lajes e dos pilares, 
veja a sequência proposta pela norma, esquerda para a 
direita, de cima para baixo, e veja a denominação dos ele-
mentos e suas dimensões. Como exercício verifique a determina-
ção das outras cotas da planta de forma.
Figura 8 – Planta de forma (parcial) do pavimento tipo 
Fonte: o autor
 UNIUBE 35
Figura 9 – Detalhamento da obtenção das cotas da 
Planta de forma (parcial) do pavimento tipo 
Fonte: o autor
Na planta de forma, no canto direito superior aparece um símbo-
lo composto por duas bandeirinhas inclinadas e cruzadas. Esse 
símbolo é bastante conhecido e usado para determinar simetria, 
espelhamento, ou seja, está sendo indicado que à direita temos 
um apartamento igualzinho ao da esquerda. Isto também significa 
que as vigas V101, V102, V104, V105, também são espelhadas, ou seja, 
pela simetria elas continuam no apartamento da direita, entendeu? 
Estamos dizendo que as vigas V101, V104, e V105, são vigas contínuas 
de seis tramos e a V102, tem quatro tramos.
Outra coisa, estamos denominando as vigas por V101, V102, ou seja, 
Vcento e alguma coisa. Isto é uma forma de diferenciarmos as vigas 
de cada planta de forma, por exemplo, na fundação poderíamos 
denominar nossas vigas por V01, V02, até V99, ou por VB01, VB02, in-
dicando que são as vigas do primeiro nível ou as vigas baldrames. 
Se houvesse um mezanino, por exemplo, teríamos uma nova plan-
ta de forma e outro nível de vigas, que seriam as V101, V102, V103, .... 
As do pavimento tipo seriam as V201, V202, V203, ... e as da cobertura 
seriam as V301, V302, V303, ..., ou as VC01, VC02, ..., indicando que são 
as vigas da cobertura.
36 UNIUBE
AMPLIANDO O CONHECIMENTO
Na planta de forma também há informações quanto ao nivelamento 
das lajes. O pavimento tem um nivelamento de lajes e pode ter o 
rebaixamento de uma ou outra laje, veja a Figura 10.
Figura 10 – Representação do nivelamento das lajes de um pavimento tipo 
Fonte: o autor
O rebaixo de uma laje é usado em banheiros, para execução das 
instalações de esgoto. O rebaixo é preenchido com entulho e um 
contrapiso, podendo também ser utilizado placas pré-moldadas 
apoiadas em pequenas paredinhas de alvenaria.
Por outro lado, podemos ter a laje do pavimento sem rebaixos e as 
vigas posicionadas de forma diferente em relação à laje. As vigas 
normais, usadas na grande maioria dos casos são as que terminam 
na borda superior das lajes, mas podemos ter vigas intermediá-
rias ou invertidas, como mostrado na Figura 11, que serão usadas 
quando temos esquadrias faceando a laje.
 UNIUBE 37
Figura 11 – Posicionamento das Vigas em relação à laje
Fonte: o autor
Considerações finais
Ao final deste capítulo, já temos condições de elaborar uma planta 
de forma. É por meio da planta de forma que iniciamos o cálculo dos 
elementos estruturais nela contidos. Na verdade, a planta de forma e 
o dimensionamento vão sendo feitos conjuntamente porque as dimen-
sões dos elementos, como as alturas das lajes, vigas e pilares só vão 
ser obtidas mediante o dimensionamento destes elementos.
O importante é que já estamos prontos para aprender a dimensio-
nar estes elementos, o que começaremos a fazer no próximo capí-
tulo, com o estudo das lajes maciças de concreto armado.
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
Lajes maciças de concreto 
armado – determinação 
dos esforços
Capítulo
2
Começaremos a estudar as matérias da área de estruturas 
aprendendo a determinar os esforços nas estruturas isostáticas 
– vigas treliças e pórticos, depois nas hiperestáticas – vigas 
contínuas, pórticos, grelhas etc. Estas estruturas que estudamos 
até agora chamamos de estruturas de barras e neste estágio do 
nosso curso de engenharia já temos de calcular os esforços 
externos e internos em uma estrutura de barras. Por exemplo, 
temos condições de calcular as reações de apoio (esforços 
reativos externos) em uma viga, assim como o momento fl etor, 
o esforço cortante, o esforço normal e momento torçor (esforços 
solicitantes internos) em uma seção qualquer desta viga. Isto 
signifi ca que esta viga está “pronta” para ser dimensionada, ou 
seja, pronta para determinarmos sua seção de concreto e de 
aço para resistir a estes esforços.
As lajes são estruturas de placas, laminares. Neste grupo 
temos as paredes, as vigas parede que são solicitadas no 
seu plano e as lajes que são solicitadas normalmente ao seu 
plano. No nosso curso vamos nos ater apenas às lajes, e 
já começamos com um problema: ainda não aprendemos a 
determinar os esforços em elementos laminares, nas lajes. 
Nos elementos de barra já aprendemos a determinar os 
esforços em vigas, treliças, pórticos grelhas etc., tanto 
• Vincular as lajes maciças isoladas;
• Conceituar e classificar as lajes maciças de concreto 
armado;
• Determinar os esforços nas lajes maciças isoladas de 
concreto armado.
• Lajes Maciças de Concreto Armado
• Introdução
• Vinculaçãodas lajes
• Vão teórico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 
14.7.2.2.)
• Classificação das lajes
• Lajes Armadas em Duas Direções ou em Cruz
• Processo de Marcus
• Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas
• Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas 
em Cruz
• Representação em planta dos momentos e reações 
calculados
• Lajes Armadas em Uma Direção
• Determinação dos esforços
• O Conceito de faixa
• Compensação dos momentos fletores
Objetivos
Esquema
isostáticas como hiperestáticas, mas nos elementos 
laminares, nas lajes, não.
Neste capítulo, vamos começar o estudo das lajes, vamos 
aprender a discretizar uma laje, como são suas vinculações, 
como são classificadas, como é sua modelagem teórica, e 
vamos aprender a determinar os esforços em lajes isoladas, 
que basicamente são dois: as reações de apoio e os 
momentos fletores.
 UNIUBE 41
Lajes maciças de concreto armado2.1
As placas de concreto, usualmente denominadas lajes, são elementos 
de superfície plana (uma das dimensões muito menor que as outras 
duas) sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano.
Neste curso vamos considerar as lajes retangulares, submetidas 
a cargas uniformemente distribuídas e/ou cargas de paredes, su-
portadas por vigas em todo o seu contorno. As lajes com outras 
formas (circular, triangular, em “L” etc.), com uma ou duas bordas 
não vinculadas, caso das lajes de cobertura de garagens, das lajes 
de muros de arrimo etc., não serão abordadas aqui.
Vamos iniciar o estudo das lajes analisando como elas são vincula-
das entre si, mas antes vamos relembrar a vinculação dos tramos 
de uma viga contínua.
RELEMBRANDO
Para entendermos as vinculações de uma laje vamos relembrar as 
vinculações de uma viga, pois estamos mais familiarizados com 
elas. Tudo é uma questão de como modelamos uma estrutura, e 
para entendermos direitinho vamos usar a viga contínua mostrada 
na Figura 12.a. 
42 UNIUBE
Figura 12 – Modelagem estrutural da vinculação en-
tre os tramos de uma viga contínua 
Fonte: o autor
Quando separamos os seus tramos eles são vinculados conforme 
mostrado na Figura 12.b. Nas Figuras 12.c, 12.d e 12.e mostramos 
qual a modelagem estrutural para uma viga contínua. Veja que a 
viga é um elemento único, desvinculado de seus apoios, os pilares. 
Em uma viga contínua, a continuidade, o engastamento, ocorre 
entre os tramos da viga, sem a participação dos seus apoios, os 
pilares. Observe que nada impede que as vigas se vinculem aos 
pilares, ou seja, tramo esquerdo, tramo direito e o pilar, mas se as-
sim o fizéssemos, teríamos um pórtico. Em síntese, se vincularmos 
a viga aos pilares ela deixa de ser viga para fazer parte de outro 
elemento estrutural denominado pórtico.
Agora que entendemos a desvinculação da viga e os pilares, seus 
apoios, vamos entender o que é o engaste. Se carregarmos a viga 
ela tende a trabalhar como uma viga contínua, ou seja, ocorrerão mo-
mentos negativos nos apoios, e se não houver uma armadura para 
combater a tração na borda superior, como mostrado na Figura 12.d, 
 UNIUBE 43
haverá a formação de fissuras, trincas, ou seja, a formação de rótulas 
que transformarão a viga contínua em três vigas bi apoiada. 
O engaste entre os tramos de uma viga contínua, como mostrado 
na Figura 12.e, é o engastamento de um tramo ao outro.
2.1.1 Vinculação das lajes
As lajes poderão ter suas bordas simplesmente apoiadas, engasta-
das, ou livres, e será adotada a convenção a seguir, para represen-
tar cada uma destas vinculações.
Figura 13 – Representação da vinculação das bordas de uma laje 
Fonte: o autor
Em um pavimento, a vinculação das lajes ocorre de maneira análoga 
a das vigas como acabamos de relembrar, observando que a viga é 
uma estrutura de barra e, portanto, analisamos a vinculação entre os 
tramos, enquanto as lajes são placas, elementos de superfície plana, 
portanto analisamos a vinculação entre os painéis de laje. 
Da mesma forma a modelagem estrutural das vigas as desvincu-
lam dos pilares, na modelagem estrutural das lajes também as 
desvinculamos de seus apoios, as vigas, ou seja, o engaste é a 
44 UNIUBE
vinculação entre dois painéis e, da mesma forma que as vigas são 
simplesmente apoiadas em seus apoios extremos, as bordas das 
lajes também são simplesmente apoiadas quando não temos outro 
painel para viabilizar o engaste.
Um painel de laje normalmente é engastado em outro painel de 
laje, ou seja, a continuidade, o engastamento, se dá entre lajes. 
Nada impede o engastamento de uma laje em uma viga, aliás, esta 
é uma situação característica das lajes de marquise, mas nesse 
caso, cuidado!, a viga passa a sofrer a ação de momento torçor e 
precisa ser dimensionada e armada para esta solicitação.
Na Figura 14 elaboramos um pequeno esboço de uma planta de 
forma para exemplificarmos a vinculação das lajes. Deve-se ob-
servar que a laje 3 está rebaixada, conforme a representação na 
planta de forma e, portanto, não fornece o vínculo de engaste a 
nenhuma das lajes que a cercam.
A partir da planta de forma é feita a discretização das lajes, desta-
cando-se uma a uma, para a obtenção das lajes isoladas e suas 
vinculações. A Figura 15 ilustra este processo.
 UNIUBE 45
Figura 14 – Esboço da planta de forma do pavimento de uma edificação 
Fonte: o autor
Figura 15 – Discretização das lajes constituin-
tes da planta de forma e suas vinculações 
Fonte: o autor
46 UNIUBE
IMPORTANTE!
Vinculação entre as lajes - 01
Em relação à vinculação entre as lajes, o engaste entre painéis de 
lajes acontece desde que as duas lajes tenham rigidez de mesma 
ordem de grandeza, ou seja, as alturas devem ser próximas, afinal 
vão ser elevadas ao cubo. 
Para entendermos melhor, vamos considerar duas lajes, uma com 
8,0 cm de altura e a outra com 15,0. Sob carregamento as lajes vão 
fletir, vão se deformar e, como uma é muito mais rígida que a outra, 
a laje de menor altura não terá rigidez para interferir na deformação 
da laje de maior altura, ou seja, é como um cabo de guerra entre o 
ratinho e o elefante.
Para que haja o engaste entre as lajes, a diferença de altura entre 
elas não deverá ultrapassar 2 a 2,5 cm. Se a diferença de alturas 
for maior, consideramos que a laje de maior altura com esta borda 
apoiada e a de menor altura com sua borda engastada.
Figura 16 – Influência da rigidez das lajes na vinculação entre elas 
Fonte: o autor
 UNIUBE 47
Vinculação entre as lajes - 02
Na Figura 14 apresentamos um esquema de planta de forma e na 
Figura 15 a discretização das lajes e suas vinculações. Facilmente 
detectamos que as lajes 01 e 05 são do Tipo 3, a laje 06 é do Tipo 
5, a laje 03 é do Tipo 1 e a laje 04 é do Tipo 2.
Quais os Tipos das lajes 02 e 07? Um dos lados destas lajes tem uma 
parte engastada e outra apoiada. No caso da laje 02, a parte apoiada 
é bem maior que a engastada, mas na laje 07 é meio a meio.
Isto é o que vamos chamar de predominância de uma vinculação 
sobre a outra.
• Se uma vinculação ocupar mais de (ou igual) 2/3 do lado, ela será 
considerada predominante e será estendida para todo o lado;
• Se nenhuma vinculação for predominante, ou seja, entre 1/3 
e 2/3 do lado, a laje será com todo o lado apoiado, depois 
com todo o lado engastado, os esforços serão determinados 
para cada caso e serão considerados, em cada direção, os 
maiores valores.
a ≥ 2/3 ℓ e a < 2/3 ℓ
Figura 17 – Predominância ou não de uma vinculação sobre a outra 
Fonte: o autor
48 UNIUBE
2.1.2 Vão teórico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.)
No capítulo I, quando fizemos nossa planta de forma, adotamos as 
dimensões das vigas e determinamos as dimensões das lajes como 
sendo de face a face das vigas. Agora, vamos determinar as dimen-
sões de cálculo, denominadas de vãos teóricos, ou vãos efetivos. 
O vão teórico ou vão efetivo de uma laje deve ser calculado pela 
seguinte expressão:
ℓef = ℓ0 + a1 + a2
Sendo ℓ0 o vão livre (distância entre as faces internas dos apoios, já 
descontandoos revestimentos de cada lado).
Obs.: para as lajes é usual se tomar a distância de centro a centro 
dos apoios (vigas), uma vez que a diferença normalmente é peque-
na (a exceção seria o caso das vigas de maior largura, as vigas de 
transição, por exemplo).
Vamos recuperar nossa planta de forma detalhada na Figura 8, e 
determinar os vãos teóricos (ou efetivos) das lajes.
Na planta dos vãos teóricos apresentada na Figura 18 apresenta-
mos as duas dimensões, a de centro a centro e entre parênteses 
a dimensão menor, obtida pela expressão 00,3 . 0,3 . Laje Lajeh h+ + .
Como exemplo, vamos calcular os vãos teóricos da laje 01 que tem 
uma altura de 8,5 cm:
 UNIUBE 49
Na horizontal temos um uma viga de 17, um vão de 362 e uma viga 
de 14.
1
1 1
0,5 . 0,5 . 17 8,5
2,55 
0,3 . 0,3 . 8,5 2,55
t
a a cm
h
= =
≤ ∴ = = =
2
2 2
0,5 . 0,5 . 14 7,0
2,55 
0,3 . 0,3 . 8,5 2,55
t
a a cm
h
= =
≤ ∴ = = =
Portanto, o vão teórico correto será 2,55 + 362 + 2,55 = 367,5 (de 
centro a centro seria 377,5 cm).
Para as vigas usuais de edifícios em que a largura normalmente é 
adotada igual a 14,0, 15,0 ou 17,0 cm, adota-se como vãos teóricos 
a distância de centro a centro. Observe que temos uma diferença 
entre o menor valor calculado em função da altura da laje e o valor 
obtido de centro a centro inferior a 10 cm. 
50 UNIUBE
Figura 18 – Planta de forma (parcial) do pavimen-
to tipo e planta dos vãos teóricos 
Fonte: o autor
2.1.3 Classificação das lajes
Para entendermos melhor esta classificação, analisemos como se 
realiza a transferência de cargas para os apoios, em uma grelha. A 
Figura 19 apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo 
uma de vãos ℓ1=ℓ2 e a outra com ℓ3=2ℓ2, ambas submetidas a uma 
carga concentrada “P” aplicada no cruzamento das vigas (“nó”, cru-
zamento da “longarina” com a “transversina”).
 UNIUBE 51
Figura 19 – Grelhas submetidas à ação de uma carga concentrada 
Fonte: o autor
Na grelha da esquerda todas as reações são iguais a 1/4 da carga 
“P” enquanto na grelha da direita o cálculo nos fornece 1/18 P para 
as reações do lado maior e 8/18 P para as reações do lado menor, ou 
seja, para os vão iguais há uma transferência da carga na razão de 
50% em cada direção e, para ℓ3 = 2ℓ2 aproximadamente 11% da carga 
é transferida na direção do vão maior e 89% na direção do vão menor.
À medida que a relação entre os vãos aumenta (ℓ3 >> ℓ2) maior será 
a transferência de carga para os apoios do vão menor, ou seja, 
para uma relação de vãos entre 1 e 2 tem-se uma transferência 
bidirecional de cargas e para relação de vãos maior do que 2 ten-
de-se para uma transferência unidirecional das cargas.
IMPORTANTE!
A transferência bidirecional de cargas é típica dos elementos bidi-
mensionais (as placas - lajes) enquanto a transferência unidirecio-
nal das cargas é típica dos elementos unidimensionais (as barras 
- vigas). Sendo “r”, a relação entre os vãos, vamos convencionar:
• r > 2 → Laje armada em uma direção;
• r ≤ 2 → Lajes armada em duas direções (em Cruz).
52 UNIUBE
A laje armada em uma direção será calculada como uma viga - trans-
ferência unidirecional das cargas – mas ela continua sendo uma pla-
ca, uma laje. Parece estranho, não é mesmo? A norma de concreto 
considera que a distribuição das cargas é nas duas direções, mas na 
direção do lado maior é tão, tão pequena que não vale a pena calcu-
lar. Porém, teremos que colocar uma armadura mínima, prescrita pela 
norma, que é muito superior à que obteríamos pelo cálculo.
2.1.4 Lajes Armadas em Duas Direções ou em Cruz
O cálculo das placas por processos exatos é extremamente complexo, 
uma vez que envolve a solução de uma equação diferencial de quarta 
ordem. A expressão, a seguir, mostra a equação geral de placas.
4 4 4
4 2 2 42. .
w w w p
Dx x y y
∂ ∂ ∂
+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂ onde ( )
3
2
.
12. 1
E hD
ν
=
−
Sendo:
w = o deslocamento vertical
x e y = coordenadas de um ponto qualquer
p = carga uniformemente distribuída
D = Rigidez à flexão
E = módulo de deformação longitudinal do concreto
ν = coeficiente de Poisson
 UNIUBE 53
Calculadas segundo a teoria das placas, os métodos de cálculo são di-
vididos em dois grupos: o Método Clássico - Teoria da Elasticidade - su-
pondo os materiais trabalhando em regime elástico linear e, o Método 
da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais trabalhando 
em regime rígido-plástico (Teoria das charneiras plásticas). Pelo método 
clássico, o cálculo das lajes pelos métodos das Diferenças Finitas ou dos 
Elementos Finitos, levam a resultados quase que exatos, porém, estes 
métodos, pela sua complexidade, demandam conhecimentos não domi-
nados pela grande maioria dos profissionais da área de engenharia. A ne-
cessidade de se ter um cálculo rápido, com um nível de precisão coerente 
com a atividade da engenharia, e acessível aos profissionais, leva-nos 
aos processos de cálculo simplificados.
2.1.5 Processo de Marcus
O processo de Marcus é um processo de cálculo simplificado, oriun-
do do Método Clássico, que assimila a laje uma grelha formada por 
faixas independentes entre si. Marcus introduziu coeficientes de 
correção αx e αy nas expressões dos momentos fletores positivos, 
de tal forma que seus resultados se aproximassem aos obtidos por 
meio da Teoria da Elasticidade.
IMPORTANTE!
Pelo Processo de Marcus convenciona-se que os lados da laje se-
rão denominados “ℓx” e “ℓy”:
ℓx está na direção mais vinculada e, caso ambas as direções sejam 
igualmente vinculadas ℓx estará na direção com o menor vão.
E a relação entre os lados será definida como: y
x
λ =


54 UNIUBE
2.1.6 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas
O cálculo aproximado é feito supondo-se a laje composta por uma sé-
rie de faixas de 1,0 m de largura, independentes entre si, submetidas a 
uma carga suposta uniformemente distribuída. Sendo “p” a carga por 
metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que parte desta 
carga “p” atua em uma direção e, a outra parte, na outra direção.
x yp p p= +
A determinação dos quinhões (px e py ) é feita admitindo-se a Teoria 
das Grelhas, a partir da hipótese de que a laje é composta por vi-
gas fictícias, independentes entre si, de 1,0 m de largura. Para a 
laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro 
lados, conforme a Figura 20, tem-se os seguintes valores para as 
flechas, em cada direção:
Veja que tanto na direção horizontal como na vertical as vigas fictí-
cias são bi apoiadas, e havendo “empate” de vinculações ℓx será a 
direção do lado menor, e conforme a Figura 20, a direção vertical.
Figura 20 – Vigas fictícias em uma laje armada em cruz 
Fonte: o autor
 UNIUBE 55
E dessa forma obtém-se os quinhões de carga para as direções x e y:
( ) ( )4 4 4 4 4 4 4 4 . . . . . . y x x x x y x x y x y x x y yp p p p l p p l p l p l p l p l l p l= − = − = − + =
4
4 4
y
x
x y
l
p p
l l
=
+ ou, fazendo 
y
x
λ=

 
4
4 . 1x
p pλ
λ
=
+
4
4 4
x
y
x y
lp p
l l
=
+
 ou, fazendo y
x
λ=


 
4
1 . 
1y
p p
λ
=
+
Alterando-se a vinculação de cada um dos apoios, por engastamento 
perfeito, tem-se um total de seis tipos de lajes armadas em cruz:
Observe que os quinhões de carga determinados anteriormente 
correspondem à laje “Tipo 1”. Para a determinação dos quinhões 
de carga para os demais tipos, em cada caso deve-se usar as fle-
chas correspondentes à vinculação das vigas fictícias. A seguir, 
são apresentadas as equações das flechas para vigas submetidas 
a cargas uniformemente distribuídas, considerando os três tipos de 
vinculações: simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e 
engastadas na outra e bi engastadas.
56 UNIUBE
Por exemplo, para uma laje do Tipo 5 teríamos:
 UNIUBE 57
Veja que na direção horizontal a viga fictícia é engastada e apoiada 
e na vertical é bi engastada. Como a direção vertical é mais vincu-
lada que a horizontal ℓx será a direção vertical, a mais vinculada.
Os momentos fletores em uma laje sãodeterminados supondo-se 
uma faixa da laje, de 1,0 m de largura carregada pelo quinhão de 
carga atuante na direção da mesma. 
O efeito da grelha é introduzido no cálculo destas vigas fictícias 
mediante os coeficientes αx e αy, propostos por Marcus e aplicados 
apenas nos momentos positivos.
2 22 2. .. . . . y y y yx x x xx x y y x y
x y x y
p pp pM M X X
i i j j
α α= = = =
  
Onde ix e iy são os denominadores dos momentos positivos, 8, 14,22 
ou 24, conforme o tipo de vinculação, apoio-apoio, engaste-apoio 
ou engaste-engaste e jx e jy são os denominadores dos momentos 
negativos, 8 ou 12, conforme o tipo de vinculação, engaste-apoio 
ou engaste-engaste.
Os coeficientes de Marcus (αx e αy) são dados pelas expressões 
a seguir:
2
2
20. .20.1 1
3.3. .
yx
x y
yx
kk
ii
λ
α α
λ
= − = −
58 UNIUBE
A equação de Mx, por exemplo, para uma laje do Tipo 5:
( ) 22
2
 . . . 20 . . . 1
3 . . 
x xx x x
x x x
x x x
p Kp kM M
i i i
α
λ
 
= = − 
 

4 4
2
4 4
2
2 . 2 . . . 20 . 
1 2 . 1 2 . 
 . 1
3 . . 
x
x
x x
p
M
i i
λ λ
λ λ
λ
    
    + +    = − 
  
 

 Podemos definir 
2 . x
x
x
pM
m
=

fazendo 
4
44
4 2
2 . 20 . 
1 2 . 2 . . 1
1 2 . 3 . . 
x
x
x
im
i
λ
λλ
λ λ
=
  
    +  −   +    
 
Por exemplo, para a laje Tipo 5, ix = 24, e adotando ℓx = 4,0 m e 
ℓy = 4,8 m, teremos:
2 25,0 1,20 1,44 2,0736
4,0
y
x
eλ λ λ= = = = =


substituindo na equação de mx, teremos
( )
24 35, 268
0,80572 . 1 0,155424x
m = =
−
Como o coeficiente mx depende apenas de λ, podemos tabelar este 
coeficiente, simplesmente variando λ de 0,5 a 2 para as lajes Tipos 
2, 4 e 5 e variando λ de 1 a 2 para as lajes Tipos 1, 3 e 6. Entendeu 
o porquê disso? Nas lajes Tipos 1, 3 e 6 há empate de vinculações e 
como quando há empate ℓx é sempre o menor lado, λ será sempre 
maior que 1. Nas lajes Tipos 2, 4 e 5 e não há empate de vinculações 
e, portanto, ℓx estará sempre na direção mais vinculada, podendo ser 
maior ou menor que ℓy, portanto, λ irá variar entre 0,5 a 2.
 UNIUBE 59
A tabela destes coeficientes mx e my para os momentos positivos 
e nx e ny para os momentos negativos é conhecida como Tabela de 
Marcus. Da mesma forma que determinamos para a laje Tipo 5, o 
coeficiente mx = 35 correspondente a λ = 1,2 podemos determinar 
todos os coeficientes para cada tipo de laje, obtendo desta forma a 
Tabela de Marcus. 
Da mesma forma que para os momentos positivos trabalhamos 
com o coeficiente ix e iy = 8, 14,22 e 24, para os momentos negati-
vos vamos ter os coeficientes jx e jy assumindo os valores 8 ou 12, 
de acordo com a vinculação, engaste-apoio ou engaste-engaste.
Apenas os momentos fletores positivos são corrigidos pelos coefi-
cientes αx e αy. Os momentos fletores negativos NÃO!
IMPORTANTE!
Veja que pela convenção adotada nos numeradores são sempre 
2 . xp 
2 2 2 2. . . . x x x x
x y x y
x y x y
p p p pM M X X
m m n n
= = = − = −
   
Sendo, os coeficientes mx, my, nx, e ny, tabelados em função de λ.
60 UNIUBE
Tabela 1 – Tabela de Marcus 
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6
λ mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny
0,50 141 45 59 137 50 50 146 71 108 36
0,52 126 43 52 124 48 45 216 68 94 34
0,54 113 42 46 112 47 40 192 65 83 32
0,56 102 40 41 103 46 36 171 62 73 31
0,58 93 39 36 96 45 33 153 59 65 29
0,60 85 38 33 88 45 31 139 57 58 28
0,62 79 37 30 82 44 28 126 56 53 27
0,64 73 37 27 76 44 26 115 54 48 26
0,66 68 36 25 71 44 25 106 53 44 25
0,68 63 35 23 67 44 23 98 52 40 25
0,70 59 35 21 64 44 22 91 51 37 24
0,72 56 35 20 60 44 21 84 50 34 24
0,74 52 35 19 58 45 20 79 49 32 23
0,76 50 34 18 55 45 19 74 49 30 23
0,78 47 34 17 53 46 18 70 49 28 23
0,80 45 34 16 50 46 18 66 48 27 23
0,82 43 34 15 49 47 17 63 48 25 23
0,84 41 34 14 47 48 17 60 48 24 23
0,86 39 35 14 45 48 16 57 48 23 23
0,88 37 35 13 44 49 16 55 48 22 23
0,90 36 35 13 42 50 16 53 49 21 23
0,92 34 35 12 41 51 15 51 49 20 23
0,94 33 36 12 40 52 15 49 49 20 23
0,96 32 36 12 39 53 15 47 50 19 23
0,98 31 36 11 38 55 15 46 50 19 24
1,00 27 27 30 37 11 37 37 16 16 37 56 14 44 51 18 24 56 56 24 24
1,02 26 27 29 37 11 36 37 15 16 37 57 14 43 51 18 24 54 56 23 24
1,04 25 27 28 38 11 34 37 15 16 36 58 14 42 52 17 25 52 56 22 24
1,06 24 27 27 38 11 33 37 14 16 35 60 14 41 52 17 25 50 56 22 24
1,08 24 27 27 39 10 32 37 14 16 35 61 14 40 53 16 26 48 56 21 24
1,10 23 27 26 39 10 31 38 13 16 34 63 14 39 54 16 26 47 57 20 24
1,12 22 27 25 40 10 30 38 13 16 34 64 14 38 55 16 26 45 57 20 25
1,14 21 27 25 41 10 29 38 13 17 33 66 13 37 56 16 27 44 57 19 25
1,16 21 27 24 41 10 28 38 12 17 33 67 13 37 57 15 27 43 58 19 25
1,18 20 27 24 42 10 28 39 12 17 32 69 13 36 58 15 28 42 58 18 25
1,20 19 27 23 43 10 27 39 12 17 32 71 13 35 59 15 29 41 59 18 26
1,22 19 27 23 43 9 26 39 12 17 32 72 13 35 60 15 29 40 59 17 26
1,24 18 27 22 44 9 26 40 11 18 31 74 13 34 61 15 30 39 60 17 26
1,26 18 27 22 45 9 25 40 11 18 31 76 13 34 62 14 30 38 61 17 27
1,28 17 29 22 46 9 25 40 11 18 31 78 13 33 63 14 31 38 62 16 27
1,30 17 29 21 47 9 24 41 11 18 30 80 13 33 64 14 32 37 62 16 27
1,32 17 29 21 47 9 24 41 11 19 30 82 13 32 65 14 32 36 63 16 28
1,34 16 29 21 48 9 23 42 10 19 30 84 13 32 67 14 33 36 64 16 28
 UNIUBE 61
1,36 16 29 21 49 9 23 42 10 19 30 86 13 32 68 14 34 35 65 16 29
1,38 16 30 20 50 9 22 43 10 19 29 88 13 31 69 14 35 35 66 15 29
1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30
1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30
1,42 15 30 20 52 9 22 44 10 20 29 92 13 31 72 13 36 34 68 15 30
1,44 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 31
1,44 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 31
1,46 14 31 19 54 9 21 45 10 21 29 96 13 30 75 13 38 33 70 15 31
1,48 14 31 19 55 9 21 46 10 21 28 98 13 30 76 13 39 32 71 15 32
1,50 14 31 19 56 9 21 46 10 22 28 101 12 30 78 13 40 32 72 14 32
1,52 14 32 19 57 9 20 47 9 22 28 103 12 29 79 13 40 32 73 14 33
1,54 13 32 19 58 9 20 48 9 22 28 105 12 29 81 13 41 31 74 14 34
1,56 13 32 19 60 9 20 48 9 23 28 108 12 29 82 13 42 31 76 14 34
1,58 13 33 18 61 9 20 49 9 23 28 110 12 29 84 13 43 31 77 14 35
1,60 13 33 18 62 8 19 50 9 24 28 113 12 29 86 13 44 31 78 14 35
1,62 13 33 18 63 8 19 51 9 24 28 115 12 29 87 13 45 30 79 14 36
1,64 13 34 18 64 8 19 51 9 24 27 118 12 28 89 13 46 30 81 14 37
1,66 12 34 18 66 8 19 52 9 25 27 120 12 28 91 13 47 30 82 14 37
1,68 12 34 18 67 8 19 53 9 25 27 123 12 28 93 13 48 30 84 14 38
1,70 12 35 18 68 8 19 54 9 26 27 125 12 28 94 13 49 29 85 13 39
1,72 12 35 18 69 8 18 55 9 26 27 128 12 28 96 13 50 29 86 13 40
1,74 12 36 17 71 8 18 55 9 27 27 131 12 28 98 13 51 29 88 13 40
1,76 12 36 17 72 8 18 56 9 27 27 134 12 28 100 13 52 29 89 13 41
1,78 12 37 17 73 8 18 57 9 28 27 136 12 27 102 13 53 29 91 13 42
1,80 11 37 17 75 8 18 58 9 28 27 139 12 27 104 13 54 29 92 13 43
1,82 11 38 17 76 8 18 59 9 29 27 142 12 27 106 13 55 28 94 13 43
1,84 11 38 17 77 8 18 60 9 29 27 145 12 27 108 13 57 28 96 13 44
1,86 11 39 17 79 8 18 61 9 30 26 148 12 27 110 13 58 28 97 13 45
1,88 11 39 17 80 8 18 62 9 31 26 151 12 27 112 12 59 28 99 13 46
1,90 11 40 17 82 8 17 63 9 31 26 154 12 27 114 12 60 28 100 13 47
1,92 11 40 17 83 8 17 64 9 32 26 157 12 27 116 12 61 28 102 13 47
1,94 11 41 17 85 8 17 65 9 32 26 160 12 27 118 12 62 28 104 13 48
1,96 11 41 17 86 8 17 66 9 33 26 163 12 27 120 12 64 27 106 13 49
1,98 11 42 17 88 8 17 67 9 33 26 166 12 27 122 12 65 27 107 13 50
2,0 11 42 16 89 8 17 68 9 34 26 168 12 27 124 12 66 27 109 13 51
2 2 2 2. . . .x x x x
x y x y
x y x y
p p p pM M X X
m m n n
= = = − = −
   
Fonte: o autor
62 UNIUBE
2.1.7 Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas em Cruz
A NBR 6118, item 14.7.6, permite o cálculo das reações de apoio 
de lajes maciças retangulares com cargas uniformemente distribu-
ídas, considerando-se para cada apoio carga correspondente aos 
triângulos e trapéziosobtidos, traçando-se a partir dos vértices, na 
planta da laje, retas inclinadas de:
• 45º entre dois apoios do mesmo tipo;
• 60º a partir do apoio engastado quando o outro for livremente 
apoiado;
• 90º a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.
Uma laje “Tipo 2”, por exemplo, tem as áreas de influência dos 
apoios conforme apresentado na figura a seguir, onde S1 é a área 
de influência da Viga V101, S2 é a área de influência da Viga V102, e 
S3 e S4 das vigas V103 e V104, respectivamente.
 UNIUBE 63
A expressão de cada uma das áreas é determinada a seguir:
Área S1 = S2
Como a carga por metro quadrado de laje é “p”, a carga por metro 
linear a ser descarregada na V101 será a carga total aplicada na 
área “S1” distribuída no vão da Viga 101.
( )11
.. 1 0,683
2
y
y
x
pp Sp V λ= = = −

 1 2
y
y y
p
p V K= =

sendo ( )1 0,683.yK λ= −
Área S3
64 UNIUBE
Área S4
Onde:
p = é a carga (por metro quadrado) que solicita a laje;
p1 = é a carga (por metro linear) que solicita a viga V101, devido à 
laje; 
p3 = é a carga (por metro linear) que solicita a viga V103, devido à 
laje; 
p4 = é a carga (por metro linear) que solicita a viga V104, devido à 
laje; 
Ky = é o coeficiente de carga na direção “y”; 
Kx = é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado apoiado;
K’x = é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado engastado.
A seguir, são tabelados os coeficientes ' ', ,x y x yk k k e k em função 
de λ, para os diferentes tipos de lajes.
 UNIUBE 65
Tabela 2 – Tabela das Expressões das Reações de Apoio 
NBR 6118 - item 14.7.6
' ' ' '. .. .. . . .
2 2 2 2
y yx x
x x y y x x y y
p pp pV k V k V k V k= = = =
  
Fonte: o autor
66 UNIUBE
Mas ... não vamos usar essa tabela. Fizemos a adaptação desta ta-
bela à convenção de Marcus e tal qual a Tabela de Marcus com os 
coeficientes mx, my, nx e ny para momentos fletores, apresentamos 
a seguir a tabela com os coeficientes kx, k’x, ky e k’y para as reações 
de apoio, conforme a convenção de MARCUS.
Tabela 3 – Tabela de Reações de Apoio 
Convenção de Marcus
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6
λ kx ky kx k’x ky kx k’x ky k’y k’x ky k’x ky k’y k’x k’y
0,50 0,25 0,43 0,66 0,43 0,57 0,32 0,50 0,87
0,52 0,26 0,45 0,65 0,45 0,55 0,33 0,49 0,85
0,54 0,27 0,47 0,63 0,47 0,53 0,34 0,48 0,83
0,56 0,28 0,48 0,62 0,48 0,52 0,36 0,47 0,82
0,58 0,29 0,50 0,60 0,50 0,50 0,37 0,46 0,80
0,60 0,30 0,52 0,59 0,52 0,48 0,38 0,45 0,79
0,62 0,31 0,54 0,58 0,53 0,47 0,39 0,44 0,77
0,64 0,32 0,55 0,56 0,55 0,45 0,41 0,43 0,75
0,66 0,33 0,57 0,55 0,56 0,44 0,42 0,42 0,74
0,68 0,34 0,59 0,54 0,57 0,43 0,43 0,42 0,72
0,70 0,35 0,61 0,52 0,59 0,41 0,44 0,41 0,71
0,72 0,36 0,62 0,51 0,60 0,40 0,46 0,40 0,69
0,74 0,37 0,64 0,49 0,61 0,39 0,47 0,39 0,67
0,76 0,38 0,66 0,48 0,62 0,68 0,48 0,38 0,66
0,78 0,39 0,68 0,47 0,63 0,37 0,50 0,37 0,64
0,80 0,40 0,69 0,46 0,64 0,36 0,51 0,36 0,63
0,82 0,40 0,71 0,45 0,65 0,35 0,52 0,35 0,61
0,84 0,41 0,72 0,43 0,65 0,35 0,53 0,35 0,60
0,86 0,42 0,73 0,42 0,66 0,34 0,54 0,34 0,58
0,88 0,43 0,74 0,41 0,67 0,33 0,55 0,33 0,57
0,90 0,43 0,76 0,41 0,68 0,32 0,56 0,32 0,60
0,92 0,44 0,77 0,40 0,68 0,32 0,57 0,32 0,54
0,94 0,45 0,78 0,39 0,69 0,31 0,58 0,31 0,53
0,96 0,45 0,79 0,38 0,70 0,30 0,59 0,30 0,52
0,98 0,46 0,80 0,37 0,70 0,30 0,60 0,30 0,51
1,00 0,50 0,50 0,46 0,81 0,37 0,36 0,63 0,37 0,64 0,71 0,29 0,60 0,29 0,50 0,50 0,50
1,02 0,51 0,49 0,47 0,82 0,36 0,37 0,65, 0,36 0,63 0,72 0,28 0,61 0,28 0,49 0,51 0,49
1,04 0,52 0,48 0,47 0,82 0,35 0,38 0,66 0,35 0,62 0,72 0,28 0,62 0,28 0,48 0,52 0,48
1,06 0,53 0,47 0,48 0,83 0,34 0,39 0,67 0,34 0,61 0,73 0,27 0,63 0,27 0,47 0,53 0,47
1,08 0,54 0,46 0,48 0,84 0,34 0,39 0,68 0,34 0,59 0,73 0,27 0,63 0,27 0,46 0,54 0,46
1,10 0,55 0,45 0,49 0,85 0,33 0,40 0,69 0,33 0,58 0,74 0,26 0,64 0,26 0,45 0,55 0,45
1,12 0,55 0,45 0,49 0,86 0,33 0,40 0,70 0,33 0,57 0,74 0,26 0,65 0,26 0,45 0,55 0,45
1,14 0,56 0,44 0,50 0,86 0,32 0,41 0,71 0,32 0,56 0,75 0,25 0,65 0,25 0,44 0,56 0,44
 UNIUBE 67
1,16 0,57 0,43 0,50 0,87 0,31 0,42 0,72 0,31 0,55 0,75 0,25 0,66 0,25 0,43 0,57 0,43
1,18 0,58 0,42 0,50 0,88 0,31 0,42 0,73 0,31 0,54 0,75 0,25 0,67 0,25 0,42 0,58 0,42
1,20 0,58 0,42 0,51 0,88 0,30 0,43 0,74 0,30 0,53 0,76 0,24 0,67 0,24 0,42 0,58 0,42
1,22 0,59 0,41 0,51 0,89 0,30 0,43 0,75 0,30 0,52 0,76 0,24 0,68 0,24 0,41 0,59 0,41
1,24 0,60 0,40 0,51 0,90 0,29 0,44 0,76 0,29 0,51 0,77 0,23 0,68 0,23 0,40 0,60 0,40
1,26 0,60 0,40 0,52 0,90 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,40 0,60 0,40
1,28 0,61 0,39 0,52 0,91 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,39 0,61 0,39
1,30 0.62 0,38 0,52 0,91 0,28 0,45 0,78 0,28 0,49 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,38
1,32 0,62 0,38 0,53 0,92 0,28 0,45 0,79 0,28 0,48 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,38
1,34 0,63 0,37 0,53 0,92 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,78 0,22 0,71 0,22 0,37 0,63 0,37
1,36 0,63 0,37 0,53 0,93 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,79 0,21 0,71 0,21 0,37 0,63 0,37
1,38 0,64 0,36 0,54 0,93 0,26 0,47 0,81 0,26 0,46 0,79 0,21 0,71 0,21 0,36 0,64 0,36
1,40 0,64 0,36 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,79 0,21 0,72 0,21 0,36 0,64 0,36
1,42 0,65 0,35 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,80 0,20 0,72 0,20 0,35 0,65 0,35
1,44 0,65 0,35 0,54 0,95 0,25 0,48 0,83 0,25 0,44 0,80 0,20 0,73 0,20 0,35 0,65 0,35
1,46 0,66 0,34 0,55 0,95 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,34
1,48 0,66 0,34 0,55 0,96 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,34
1,50 0,67 0,33 0,55 0,96 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,33
1,52 0,67 0,33 0,55 0,97 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,33
1,54 0,68 0,32 0,56 0,97 0,24 0,49 0,86 0,24 0,.41 0,81 0,19 0,74 0,19 0,32 0,68 0,32
1,56 0,68 0,32 0,56 0,97 0,23 0,50 0,86 0,23 0,41 0,81 0,19 0,75 0,19 0,32 0,68 0,32
1,58 0,68 0,32 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,32 0,68 0,32
1,60 0,69 0,31 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,31 0,69 0,31
1,62 0,69 0,31 0,57 0,98 0,23 0,50 0,88 0,23 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,31 0,69 0,31
1,64 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,88 0,22 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,30 0,70 0,30
1,66 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,30
1,68 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,30
1,70 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,29
1,72 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,29
1,74 0,71 0,29 0,58 1,00 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,29
1,76 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28
1,78 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28
1,80 0,72 0,28 0,58 1,01 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28
1,82 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,27 0,73 0,27
1,84 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,27
1,86 0,73 0,27 0,59 1,02 0,20 0,53 0,93 0,20 0,34 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,27
1,88 0,73 0,27 0,59 1,02 0,19 0,54 0,93 0,19 0,34 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,73 0,27
1,90 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,26
1,92 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,26
1,94 0,74 0,26 0,59 1,,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,26
1,96 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,95 0,19 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,26
1,98 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,25
2,00 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,25
' ' ' ' . . . . . . . . 
2 2 2 2
y yx x
x x y y x x y y
p pp pV k V k V k V k= = = =
  
Fonte: o autor
68 UNIUBE
IMPORTANTE!
Para as reações de apoio, os numeradores variam. 
Na direção x o numerador é . xp 
Na direção x o numerador é . yp 
Exemplo 01.Na Figura 16 temos uma planta de forma e a planta de 
vãos efetivos ou vão teóricos. Determinar os esforços (momento fle-
tores e reações de apoio) das lajes L04 e L08, sendo a primeira um 
ambiente de banheiros e um hall íntimo e a segunda um dormitório
Coeficientes de Marcus: mx = 52, my = 56, nx = 22, ny = 24
Coeficientes de Reações: k’x = 0,52, k’y = 0,49
 UNIUBE 69
Observe: tanto na Tabela de Marcus como na Tabela de Reações 
não temos os coeficientes para λ = 1,03, temos para λ = 1,02 e para 
λ = 1,04. Vamos usar os coeficientes favoráveis à segurança, des-
tes dois lambdas, ou seja, como os coeficientes de Marcus estão 
no denominador usamos os menores valores e, como os coeficien-
tes de reações estão no numerador, usamos os maiores.
Coeficientes de Marcus Reações 
de apoio
Tipo 6 Tipo 6
λ mx my nx ny k’x k’y
1,02 54 56 23 24 0,51 0,49
1,04 52 56 22 24 0,52 0,48
IMPORTANTE!
OBSERVE!
 
2 . xp 
 . 
 . 
x
y
p
p


As equações de momentos obtidos pelo processo de Marcus, têm sem-
pre o mesmo numerador, independente de ser na direção x ou na y, 
Nas equações de reações de apoio, na direção x usamos o vão ℓx, 
e na direção y usamos o vão ℓy.
70 UNIUBE
Determinação dos momentos:
Determinação das Reações de apoio: 
É uma laje Tipo 5 λ = ℓy / ℓx = 1,07
A direção horizontal é mais vinculada, portanto ℓx está na horizontal.
Coeficientes de Marcus Reações de apoio
Tipo 5 Tipo 5
λ mx my nx ny k’x ky k’y
1,06 41 52 17 25 0,63 0,27 0,47
1,08 40 53 16 26 0,63 0,27 0,46
Coeficientes de Marcus: mx = 40, my = 52, nx = 16, ny = 25
Coeficientes de Reações: k’x = 0,63, ky = 0,27, k’y = 0,47
 UNIUBE 71
Determinação dos momentos:
Determinação das Reações de apoio:
2.1.8 Representação em planta dos 
momentos e reações calculados
Na Figura 21 exemplificamos a representação em planta dos momen-
tos fletores e das reações de apoio para uma laje Tipo 5 e uma Tipo 6. 
Isto será feito para a planta do pavimento e com todas as lajes. 
Figura 21 – Exemplo de representação em plan-
ta dos momentos fletores e reações de apoio 
Fonte: o autor
72 UNIUBE
A representação esquemática dos momentos fletores nas lajes é 
feita conforme a Figura 22 – “Planta dos Momentos Fletores não 
Compensados”. A partir destes momentos fletores é feita a com-
pensação dos momentos. Em outra planta é desenhada a Planta 
das reações de Apoio.
Figura 22 – Esquema representativo de uma Planta 
de momentos fletores não compensados 
Fonte: o autor
2.1.9 Lajes Armadas em Uma Direção
Conforme visto anteriormente, para uma relação entre os lados 
maior ou igual a 2 a transferência de cargas na direção do lado 
maior torna-se desprezível. Estas lajes serão calculadas apenas na 
direção do menor lado, ou seja, em apenas uma direção. 
É importante observar que na realidade estas lajes também são 
armadas nas duas direções. Como na direção de maior vão as soli-
citações são muito pequenas despreza-se o cálculo nessa direção, 
adotando-se uma armadura mínima conforme recomendações da 
NBR 6118: “uma armadura de distribuição com seção transversal 
de área igual ou superior a 1/5 da área da armadura principal, com 
um mínimo de 0,9 cm2, composta de pelo menos três barras”.
 UNIUBE 73
Figura 23 – Disposição das armaduras nas lajes armadas em uma direção 
Fonte: o autor
2.1.9.1 Determinação dos esforços
Os esforços nas lajes armadas em uma direção serão determina-
dos por meio do cálculo de uma viga fictícia de 1,0 m de largura. 
Esta viga fictícia, de acordo com as vinculações da laje, poderá ser 
bi apoiada, apoiada-engastada, ou bi engastada.
A determinação dos esforços nessas vigas é bastante simples. A 
primeira delas, a bi apoiada, é uma estrutura isostática e como já 
foi visto em “Teoria das Estruturas”, não há necessidade de maio-
res comentários. As outras duas, a engastada-apoiada e a bi en-
gastada, são hiperestáticas, e para relembrar vamos rapidamente 
abordar a determinação dos seus esforços, com a ajuda da “Tabela 
dos Momentos de Engastamento Perfeito”.
Estas vigas de apenas um tramo, é o que se chama de “estrutura ele-
mentar” e já foram calculadas, submetidas aos mais diversos carrega-
mentos, sempre aplicados individualmente. Por exemplo: carga concen-
trada, carga uniformemente distribuída, carga uniformemente distribuída 
parcialmente, carga momento, carga triangular, trapezoidal etc. Estes 
cálculos foram feitos literalmente, ou seja, como resultado tem-se uma 
equação. Estas equações estão dispostas em forma de tabelas, denomi-
nadas Tabelas de Momentos de Engastamento Perfeito. 
74 UNIUBE
Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga, 
as equações poderão vir com o sinal positivo ou negativo. Isto se 
deve ao fato de estas tabelas serem utilizadas para estruturas de 
barras em geral, vigas contínuas, pórticos etc., e seguirem uma 
convenção denominada “Convenção de Grinter”. 
Este assunto foi visto em detalhes em “Teoria das Estruturas”. Por 
enquanto, como estamos trabalhando com vigas, os momentos fle-
tores nos apoios serão sempre negativos.
A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a 
incógnita hiperestática “Mf”, ou seja a viga à direita pode ser fa-
cilmente calculada como uma viga isostática (o fato de não haver 
cargas horizontais torna nula a incógnita horizontal do apoio do 
segundo gênero à esquerda).
Nesse exemplo: da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito:
2
'
8f
PM m= =  Reações nos apoios A e B:
 UNIUBE 75
O momento fletor máximo positivo acorrerá no ponto onde o esfor-
ço cortante será nulo. 
RELEMBRANDO
Para cargas uniformemente distribuídas:
76 UNIUBE
Se esta viga estivesse submetida a uma combinação de cargas, 
como o exemplo a seguir, o Princípio da Superposição do Efeitos 
nos permite fazer: 
1
n
i
i
Mf MEP
=
= ∑ .
Ou seja, a somatória dos momentos de engastamento perfeito de 
cada uma das cargas que carregam a viga e o momento fletor má-
ximo positivo acorrerá no ponto onde o esforço cortante será nulo.
IMPORTANTE!
As lajes armadas em cruz ou em duas direções, conforme a vincu-
lação de suas quatro bordas são classificadas como Tipos 1, 2, 3, 
4, 5 ou 6. As lajes armadas em uma direção não têm Tipo, elas são 
unidirecionais, trabalham apenas na direção do lado menor, como 
se fosse uma viga fictícia de 1,0 m de largura, bi apoiada, apoiada
-engastada ou bi engastada.
Figura 24 – Bordas consideradas nas lajes armadas em uma direção 
Fonte: o autor
 UNIUBE 77
2.1.9.2 O Conceito de faixa
Como já vimos, a laje armada em uma direção tem o comporta-
mento unidirecional e é calculada, é representada como se fosse 
uma viga fictícia de 1,0 m de largura bi apoiada, apoiada-engasta-
da ou bi engastada.
Qualquer alteração nessa viga fictícia faz com que uma região da 
laje seja representada por uma viga fictícia 01, outra região por 
uma viga fictícia 02, e assim sucessivamente. Estas regiões são 
denominadas como faixas.
A viga fictícia pode ser alterada por duas razões: mudança da carga 
ou do carregamento. Na Figura 25 exemplificamos essas situações.
Figura 25 – Laje em uma direção – divisão em faixas 
Fonte: o autor
Cada faixa terá uma armadura diferente, ou seja, barras de mesmo 
diâmetro, porém com espaçamentos diferentes.
2.1.10 Compensação dos momentos fletores
Na Figura 14 apresentamos um esquema de planta de forma e na 
Figura 15 discretizamos as lajes, para que cada uma fosse calcula-
da isoladamente. Aprendemos também a representar os momentos 
fletores nas lajes, conforme mostrado na Figura 21 e terminamos 
78 UNIUBE
apresentando um esquema da “Planta dos Momentos Fletores não 
Compensados” apresentado na Figura 22.
Finalmente, observamos que a partir da Planta de Momentos não 
Compensados será feita a compensação dos momentos obtendo 
a Planta de Momentos Compensado, ou seja, os momentos obti-
dos pela interação entre as lajes, que seriam os momentos a serem 
usados no dimensionamento de concreto armado.
RELEMBRANDO
Quandocalculamos uma viga contínua, fazemos esta mesma se-
quência descrita para as lajes. Vamos relembrar?
Inicialmente, discretizamos os tramos adotando as vinculações refe-
rentes à sua posição na viga contínua, apoio-engaste para os de extre-
midade e engaste-engaste para os centrais, calculamos os Momentos 
de Engastamento Perfeito para cada tramo isoladamente e, finalmen-
te, reagrupamos os tramos na viga contínua para fazer a interação 
entre eles, ou seja, compensar os momentos mediante um método 
hiperestático qualquer, por exemplo, o Método dos Deslocamentos.
A compensação dos momentos fletores em lajes, ao contrário das 
vigas, é um processo bastante simplificado, rápido e que fornece 
resultados razoavelmente próximos dos reais, desde que se obser-
ve algumas restrições:
• a carga permanente deve ser maior que a acidental;
• o carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total;
 UNIUBE 79
• as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si;
• os momentos devem ser de mesma ordem de grandeza 
(Mfmaior ≤ 2 a 3 x Mfmenor).
Ao contrário das vigas contínuas, onde ocorre a propagação dos 
momentos ao longo dos tramos, nas lajes esta propagação não 
será considerada. A compensação será feita uma a uma, indepen-
dente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L5, L6 e L7, 
a compensação das lajes L5 e L6 poderá alterar o momento fletor 
Mx (o momento na direção horizontal), mas ao se fazer a compen-
sação das lajes L6 e L7, devem ser tomados todos os valores origi-
nais, como se a compensação L5 e L6 não tivesse sido realizada.
Por meio da Figura 26, exemplifica-se o processo de compensação. 
Tomando como exemplo as lajes L1 e L2, a figura representa o “nó” 
a ser compensado e os esforços envolvidos na compensação. Pela 
laje L1 tem-se o momento positivo Mx1 e o negativo Xx1 e pela laje 
L2 os momentos Mx1 e Xx1 positivo e negativo, respectivamente. 
Em tracejado está o diagrama de momentos compensado com os 
esforços Mx1*, X* e Mx2* 
Figura 26 – Compensação dos momentos fletores 
Fonte: o autor
80 UNIUBE
O processo de compensação, bastante simplificado, será:
Com estas correções altera-se os valores dos momentos positivos, 
que também serão corrigidos, somando-se δ=∆/2 ao momento po-
sitivo correspondente ao lado de Mx1, uma vez que o diagrama de 
momento fletor da laje L1 “desceu”, reduzindo o momento negativo 
e aumentando o momento positivo. Ao contrário, o diagrama de 
momento fletor da laje L2 “subiu”, aumentando o momento fletor 
negativo e reduzindo o momento fletor positivo, sendo neste caso, 
a redução desprezada, a favor a segurança, ou seja, sendo Xx1 o 
maior momento fletor, somente a laje que o contém terá seu mo-
mento fletor positivo majorado.
Se os momentos não forem da mesma ordem de grandeza 
(Mfmaior > 2 a 3 x Mfmenor), o lado da laje do momento maior é considera-
do apoiado e o da laje de momento menor é considerado engastado.
IMPORTANTE!
Como já foi dito anteriormente, estas compensações serão feitas 
caso a caso, (laje a laje), como se cada uma delas estivesse sendo 
feita pela primeira vez. Desta forma, quando for feita a compensa-
ção das lajes L2 e L7, serão utilizados os momentos Mx2, Xx2, Xx7 e 
Mx7, independente de o momento Mx2 ter sido alterado ou não na 
 UNIUBE 81
compensação das lajes L1 e L2. Dessa forma, pode acontecer de a 
laje L2 apresentar dois momentos Mx2*, tomando-se, neste caso, o 
maior dos dois.
Finalmente, temos a Planta dos Momentos Compensados que, jun-
tamente com a Planta das Reações de apoio, encerram a determi-
nação dos esforços em nossas lajes. No Capítulo III, veremos ra-
pidamente as prescrições de norma relativas ao cisalhamento em 
lajes e concluiremos que, salvo honrosas exceções, extremamente 
excepcionais, apenas o concreto resiste ao cisalhamento, não ne-
cessitando de armaduras para combater este esforço.
Assim, com a Planta dos Momentos Compensados estamos 
prontos para dimensionar o concreto armado e com a Planta das 
Reações de apoio, estamos prontos para montar o carregamen-
to de nossas vigas. E assim podemos encerrar este capítulo. Na 
Figura 27 apresentamos esquematicamente estas duas plantas.
82 UNIUBE
Figura 27 – Planta dos Momentos Fletores 
Compensados e das Reações de apoio 
Fonte: o autor
Considerações finais
Ao término deste capítulo já temos condições de determinar os 
esforços de momento fletor, necessários para o dimensionamento 
das lajes de concreto armado, e as reações de apoio das lajes, ne-
cessárias para montar o carregamento das vigas.
Dada uma planta de forma aprendemos a discretizar as lajes, iso-
lando cada uma com suas vinculações, e calculamos seus esfor-
ços. Agora precisamos reagrupá-las e considerar a interação entre 
elas, ou seja, precisamos compensar seus momentos.
Outra característica das lajes que precisamos olhar com mais cui-
dado é a questão da altura. As lajes são elementos extremamente 
deformáveis, ou seja, a altura necessária para que ela não entre 
em ruptura é insuficiente para impedir que ela tenha grandes des-
locamentos, grandes flechas.
 UNIUBE 83
No próximo capítulo, vamos priorizar a compensação dos momen-
tos fletores e o estudo do estado limite de utilização, ou seja, a de-
terminação da altura da laje para que ela tenha rigidez necessária 
para que suas flechas sejam aceitáveis.
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
Lajes maciças de 
concreto armado – altura 
e detalhamento
Capítulo
3
No capítulo anterior discretizamos as lajes de uma planta 
de forma, aprendemos a classifi cá-las conforme a relação 
entre seus lados e em relação à vinculação das suas bordas. 
Aprendemos ainda a calcular os esforços, os momentos 
fl etores e as reações de apoio, em cada uma isoladamente e 
reagrupá-los em uma Planta de Momentos Compensados e 
em uma Planta de Reações de apoio.
Neste momento estamos prontos para iniciar o 
dimensionamento de concreto armado, mas...
No Capítulo II, em várias oportunidades foi dito que as 
lajes seriam calculadas como uma série de vigas fi ctícias 
de um metro de largura, uma ao lado da outra, formando 
uma grelha fi ctícia. Então, não aprenderemos a dimensionar 
lajes de concreto armado, vamos aprender a dimensionar as 
vigas de concreto armado, e ao fi nal, teremos apenas que 
aprender a detalhar as armaduras das lajes, que é diferente 
do detalhamento das armaduras de vigas.
Os assuntos abordados neste capítulo serão utilizados após 
o equacionamento, dimensionamento e o detalhamento 
das vigas, mas optamos por colocá-los neste capítulo para 
mantê-los próximos aos desenvolvidos no Capítulo II.
Uma característica das lajes é a sua deformabilidade. As lajes são 
elementos extremamente deformáveis, ou seja, a altura necessária 
• Conceituar estados limite último e de serviço;
• Determinar a altura de lajes;
• Conceituar e detalhar a armação de lajes maciças de 
concreto armado.
Lajes maciças de concreto armado – altura e detalhamento
• Estados limites
• Limites para deslocamentos em uma laje
• Espessuras mínimas para lajes maciças de concreto armado
• Estimativa da altura das lajes maciças de concreto armado
• Determinação da altura das lajes pela limitação dos 
deslocamentos
• A altura útil e a altura mínima
• Organização dos cálculos
• Dimensionamento e detalhamento da armadura
Objetivos
Esquema
para que ela não entre em ruptura é insuficiente para impedir que 
ela tenha grandes deslocamentos, grandes flechas. 
A ruptura significa estado limite último ou de ruína, e como 
não queremos que ela entre em ruptura vamos dimensioná-
la para que isto não aconteça. Mas a altura da laje não será 
fornecido por este dimensionamento. 
A deformabilidade da laje, a limitação de seus deslocamentos 
significa estado limite de serviço ou de utilização, ou seja, 
a laje deverá ser suficientemente rígida para que seus 
deslocamentos (sua flecha) sejam aceitáveis. Dessa 
forma, a altura da laje será determinada pela limitação de 
flechas e, posteriormente, quando formos dimensioná-ladeterminaremos apenas a armadura.
 UNIUBE 87
Lajes maciças de concreto armado 
– altura e detalhamento
3.1
3.1.1 Estados limites
Podemos dizer que uma estrutura atinge seu estado limite quando 
se torna imprópria para o uso para o qual foi projetada. Isto pode 
acontecer de duas formas:
• A estrutura, ou parte dela, rompeu, ou seja, atingiu a ruína. 
Quando isso acontece dizemos que a estrutura atingiu seu 
Estado Limite Último (ELU) ou seu Estado Limite de Ruína.
• A estrutura não vai ruir, não vai cair, ou seja, ela não vai atin-
gir seu estado limite último, mas ela apresenta problemas 
de ordem estética ou sensorial que inabilitam sua utilização. 
Dizemos então que a estrutura atingiu seu Estado Limite de 
Serviço (ELS) ou seu Estado Limite de utilização.
O Estado Limite Último (ELU) é facilmente entendido, não é mes-
mo? Afinal, se uma estrutura está caindo devemos desocupá-la 
imediatamente e chamar a defesa civil, corpo de bombeiros etc., 
não é mesmo?
O Estado Limite de Serviço (ELS) também é simples de ser en-
tendido, quer ver? Fim de semana ensolarado, quarenta graus na 
sombra e moramos pertinho da praia. Vestimos um maiô, pegamos 
o guarda-sol, uma cadeira, o isopor com muiiita cerveja e vamos 
para a praia. Mas ao chegar lá, o mar está cheio de algas, muita 
água-viva e, pasme, várias manchas de óleo na água. Como se 
não bastasse, a areia está imunda, e ainda por cima, com um mau 
cheiro terrível de esgoto.
88 UNIUBE
Você eu não sei, mas eu, assim como muita gente, voltaria para casa, 
afinal, a praia atingiu seu estado limite de utilização (ou de serviço).
Entendeu? O mar, a praia, eles não acabaram, apenas precisam 
ser limpos, tanto a praia como a água do mar, as algas e as águas-
vivas precisam ser eliminadas, controladas, e pronto, na próxima 
semana, ou próximo mês, talvez possamos ir à praia.
Em uma estrutura é a mesma coisa, o estado limite de utilização 
não significa o fim da estrutura, significa apenas que ela está com 
problemas e necessita de reparos, mas cuidado, significa também 
que se estes reparos não forem feitos, sua vida útil está comprome-
tida e, com o tempo, poderá ir à ruína.
Entre os principais problemas que levam ao estado limite de utili-
zação estão:
• Deformações excessivas;
• Vibrações excessivas;
• Fissuras excessivas.
O dimensionamento de uma estrutura consiste em determinar as 
seções de concreto e de aço e detalhá-las corretamente para re-
sistir aos esforços solicitantes, ou seja, para que ela não atinja 
o Estado Limite Último. Isto é o que vamos aprender a partir do 
Capítulo IV, mas veja que sem termos aprendido isto precisamos 
determinar a altura de nossas lajes.
A questão é que as lajes são estruturas extremamente deformáveis. 
Uma viga calculada pelo estado limite último, por exemplo, com 8,0 
m de vão, terá uma seção de 17 a 20 de largura por 70 a 80 cm de 
 UNIUBE 89
altura, e como um dos fatores de rigidez é dada pela altura ao cubo, 
a viga não apresentará flechas muito significativas. Inclusive, mais 
para frente vamos aprender no dimensionamento da viga impomos 
as menores alturas, como forma de economia de formas.
No dimensionamento das lajes deve-se ter um cuidado especial 
com a determinação de suas alturas. O seu dimensionamento à 
ruptura (ELU) como vigas fictícias de 100 cm de largura e, sujeitas 
a carregamentos relativamente pequenos, possibilita a obtenção 
de pequenas espessuras para as lajes, mas uma característica das 
placas e sua grande deformabilidade, ou seja, flechas excessivas. 
Dessa forma, para o dimensionamento das lajes, suas alturas de-
vem ser obtidas em função do Estado Limite de Serviço, ou seja, 
as alturas devem ser determinadas de forma a limitar flechas ex-
cessivas e, uma vez determinadas, calcula-se a armadura neces-
sária pelo Estado Limite Último. A altura de uma laje armada cal-
culada pelo Estado Limite de Serviço pode até dobrar em relação à 
altura calculada pelo Estado Limite Último.
3.1.2 Limites para deslocamentos em uma laje
A NBR 6118 (2003) em seu item 13.3 prescreve os deslocamentos 
limites e em sua Tabela 13.3 apresenta os limites para os desloca-
mentos, considerando:
a. aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações 
indesejáveis ou efeito visual desagradável;
b. efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utili-
zação adequada da construção;
90 UNIUBE
c. efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais 
podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, ape-
sar de não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados;
d. efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem 
afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando 
afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas.
Na Tabela 4 apresentamos os limites para aceitabilidade sensorial, 
estabelecido pela NBR 6118.
Tabela 4 – Limites para deslocamentos 
Tipo de efeito Razão da 
limitação
Exemplo
Deslocamento 
a considerar
Deslocamento-
limite
Aceitabilidade 
sensorial
Visual
Deslocamentos visíveis 
em elementos estruturais
Total ℓ/250
Outro Vibrações sentidas no piso
Devido a cargas 
acidentais
ℓ/350
Fonte: NBR 6118, Tabela 13.3
NOTAS: para o caso de elementos de superfície, os limites prescri-
tos consideram que o valor ℓ é o menor vão.
DICAS
No caso de edifícios, onde a carga permanente é sempre maior 
que a acidental, basta verificar o deslocamento ℓ/250 para a carga 
total “p” que será sempre maior que o deslocamento ℓ/350 relativo 
apenas às cargas acidentais.
 UNIUBE 91
A questão é que determinaremos a altura h da laje mediante a limi-
tação da flecha, mas para a determinação da flecha precisaremos 
da carga aplicada, ou seja, do peso próprio da laje, que depende 
da altura da laje.
A solução para este círculo vicioso é adotar uma altura, determinar 
o peso próprio da laje e montar seu carregamento, para então de-
terminarmos a altura real da laje por meio da limitação da flecha. A 
questão é como estimar a altura.
A NBR 6118:1980 que vigorou até 2003 estabelecia em seu item 
4.2.3. (p.22): “Em vigas de seção retangular ou T e lajes maciças 
retangulares de edifícios serão consideradas atendidas as condi-
ções a e b e dispensar-se-á o cálculo das flechas quando a altura 
útil “d” não for inferior ao valor ( )2 3.ψ ψ ”.
Essa expressão era muito conservadora, pois não “considerava” a 
carga aplicada e, normalmente, fornecia alturas de lajes muito supe-
riores às determinadas em função das flechas máximas, mas com 
algumas adaptações pode ser bastante útil para a estimativa da altura.
A prática nos leva a substituição nesta fórmula da altura útil “d” por 
“h” e considerar que a altura real será 80 a 90% da altura estimada, 
para lajes de edifícios.
3.1.3 Espessuras mínimas para lajes maciças de concreto armado
A NBR 6118 (2014), no item 13.2.4.1 estabelece as dimensões limi-
tes para lajes maciças de concreto armado, ou seja, determinada 
a altura em função da deformabilidade da laje essa altura deverá 
respeitar os limites mínimos para a espessura da laje:
92 UNIUBE
a. 7 cm para cobertura não em balanço;
b. 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c. 10 cm para lajes em balanço;
d. 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor 
ou igual a 30 kN;
e. 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior 
que 30 kN.
DICAS
As lajes que suportam veículos são muito comuns em pequenas 
rampas ou garagens. Para estas lajes aconselha-se considerar 
sempre 12 cm de espessura para a laje, o que dispensaria a ne-
cessidade de placas em lugares visíveis, e a sua manutenção, limi-
tando o peso dos veículos a 30 kN.
3.1.4 Estimativa da altura das lajes maciças de concreto armado
Conforme sugerimos no final do item 1.2, para a estimativa da altura 
da laje propomos a adoção da expressão a seguir, observando que a 
altura (hreal) obtido pela limitação dos deslocamentos é aproximada-
mente 80 a 85% da altura estimada (hestimado) por esta expressão.
2 3 . 
h
ψ ψ
≥
UNIUBE 93
Sendo:
ℓ o menor lado
ψ2 coeficiente dependente das vinculações e dimensões da laje
ψ3 coeficiente dependente do tipo do aço
Na Tabela 5 apresentamos os coeficientes ψ2 para lajes armadas 
em duas direções. Nessa tabela, adaptamos as prescrições da 
NBR 6117:1980 à convenção de Marcus, ou seja, o mesmo λ usa-
do para as tabelas de Marcus, é utilizado para a determinação do 
coeficiente ψ2, e T1, T2, ... , T6 são os tipos de lajes armadas em 
cruz. Na Tabela 6 apresentamos os coeficientes ψ3.
Tabela 5 – Valores de 2 - Lajes Armadas em Duas Direções 
(NBR 6118:1980 – Tabela 2. adaptado à Convenção de Marcus)
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T1 T2 T3 T4 T5 T6
0,50 1,10 1,20 1,40 1,00 1,50 1,70 1,80 1,90 2,00 2,20
0,51 1,12 1,23 1,42 1,02 1,49 1,69 1,79 1,90 1,99 2,19
0,52 1,15 1,25 1,45 1,04 1,48 1,69 1,78 1,89 1,99 2,18
0,53 1,17 1,28 1,47 1,06 1,48 1,68 1,78 1,89 1,98 2,17
0,54 1,19 1,30 1,49 1,08 1,47 1,68 1,77 1,88 1,98 2,16
0,55 1,21 1,33 1,51 1,10 1,46 1,67 1,76 1,88 1,97 2,15
0,56 1,23 1,35 1,53 1,12 1,45 1,66 1,75 1,88 1,96 2,14
0,57 1,25 1,37 1,55 1,14 1,44 1,66 1,74 1,87 1,96 2,13
0,58 1,27 1,39 1,57 1,16 1,44 1,65 1,74 1,87 1,95 2,12
0,59 1,28 1,41 1,58 1,18 1,43 1,65 1,73 1,86 1,95 2,11
0,60 1,30 1,43 1,60 1,20 1,42 1,64 1,72 1,86 1,94 2,10
0,61 1,32 1,45 1,62 1,22 1,41 1,63 1,71 1,86 1,93 2,09
0,62 1,33 1,47 1,63 1,24 1,40 1,63 1,70 1,85 1,93 2,08
0,63 1,35 1,49 1,65 1,26 1,40 1,62 1,70 1,85 1,92 2,07
94 UNIUBE
0,64 1,36 1,51 1,66 1,28 1,39 1,62 1,69 1,84 1,92 2,06
0,65 1,38 1,52 1,68 1,30 1,38 1,61 1,68 1,84 1,91 2,05
0,66 1,39 1,54 1,69 1,32 1,37 1,60 1,67 1,84 1,90 2,04
0,67 1,40 1,56 1,70 1,34 1,36 1,60 1,66 1,83 1,90 2,03
0,68 1,42 1,57 1,72 1,36 1,36 1,59 1,66 1,83 1,89 2,02
0,69 1,43 1,58 1,73 1,38 1,35 1,59 1,65 1,82 1,89 2,01
0,70 1,44 1,60 1,74 1,40 1,34 1,58 1,64 1,82 1,88 2,00
0,71 1,45 1,61 1,75 1,42 1,33 1,57 1,63 1,82 1,87 1,99
0,72 1,47 1,63 1,77 1,44 1,32 1,57 1,62 1,81 1,87 1,98
0,73 1,48 1,64 1,78 1,46 1,32 1,56 1,62 1,81 1,86 1,97
0,74 1,49 1,65 1,79 1,48 1,31 1,56 1,61 1,80 1,86 1,96
0,75 1,50 1,67 1,80 1,50 1,30 1,55 1,60 1,80 1,85 1,95
0,76 1,51 1,68 1,81 1,52 1,29 1,54 1,59 1,80 1,84 1,94
0,77 1,52 1,69 1,82 1,54 1,28 1,54 1,58 1,79 1,84 1,93
0,78 1,53 1,70 1,83 1,56 1,28 1,53 1,58 1,79 1,83 1,92
0,79 1,54 1,71 1,84 1,58 1,27 1,53 1,57 1,78 1,83 1,91
0,80 1,55 1,73 1,85 1,60 1,26 1,52 1,56 1,78 1,82 1,90
0,81 1,56 1,74 1,86 1,62 1,25 1,51 1,55 1,78 1,81 1,89
0,82 1,57 1,75 1,87 1,64 1,24 1,51 1,54 1,77 1,81 1,88
0,83 1,58 1,76 1,88 1,66 1,24 1,50 1,54 1,77 1,80 1,87
0,84 1,59 1,77 1,89 1,68 1,23 1,50 1,53 1,76 1,80 1,86
0,85 1,59 1,78 1,89 1,70 1,22 1,49 1,52 1,76 1,79 1,85
0,86 1,60 1,79 1,90 1,72 1,21 1,48 1,51 1,76 1,78 1,84
0,87 1,61 1,80 1,91 1,74 1,20 1,48 1,50 1,75 1,78 1,83
0,88 1,62 1,80 1,92 1,76 1,20 1,47 1,50 1,75 1,77 1,82
0,89 1,63 1,81 1,93 1,78 1,19 1,47 1,49 1,74 1,77 1,81
0,90 1,63 1,82 1,93 1,80 1,18 1,46 1,48 1,74 1,76 1,80
0,91 1,64 1,83 1,94 1,82 1,17 1,45 1,47 1,74 1,75 1,79
0,92 1,65 1,84 1,95 1,84 1,16 1,45 1,46 1,73 1,75 1,78
0,93 1,65 1,85 1,95 1,86 1,16 1,44 1,46 1,73 1,74 1,77
0,94 1,66 1,86 1,96 1,88 1,15 1,44 1,45 1,72 1,74 1,76
0,95 1,67 1,86 1,97 1,90 1,14 1,43 1,44 1,72 1,73 1,75
0,96 1,68 1,87 1,98 1,92 1,13 1,42 1,43 1,72 1,72 1,74
0,97 1,68 1,88 1,98 1,94 1,12 1,42 1,42 1,71 1,72 1,73
0,98 1,69 1,89 1,99 1,96 1,12 1,41 1,42 1,71 1,71 1,72
0,99 1,69 1,89 1,99 1,98 1,11 1,41 1,41 1,70 1,71 1,71
2,00 1,10 1,40 1,40 1,70 1,70 1,70
Valores de ψ2 – Vigas e lajes armadas em uma direção. Fonte: 
NBR 6118:1980 p.23.
Fonte: o autor
 UNIUBE 95
Tabela 6 – Valores de ψ3 
Aço ψ3
Vigas e lajes nervuradas Lajes maciças
CA 25 25 35
CA 50 17 25
CA 60 15 20
Fonte: NBR 6118:1980 (p.23)
DICAS
Como hreal obtido pela limitação dos deslocamentos é aproxima-
damente 80 a 85% de hestimado, conforme a solicitação acidental, 
ou seja, uma laje com altura estimada de até 9,0 cm, teria uma al-
tura real inferior a 8,0 cm que é a altura mínima para lajes de piso.
3.1.4.1 Exemplo de estimativa da altura de uma laje
Estimar a altura da laje ao lado considerando o aço 
CA-50.
Trata-se de uma laje Tipo 3
Como há empate de vinculações ℓx é o menor lado
96 UNIUBE
Sabemos que esta estimativa é conservadora, o valor real será 80 a 
85% deste valor, mas teremos que adotar para esta laje uma altura de 
8,0 cm, o valor mínimo admitido pela norma para lajes de piso.
3.1.5 Determinação da altura das lajes pela 
limitação dos deslocamentos
A determinação da altura das lajes será obtida pela limitação dos 
deslocamentos, ou seja, a laje deverá ser rígida o suficiente para 
que sua flecha não ultrapasse os valore limites de ℓ/250 para a car-
ga total “p” igual à soma das cargas permanentes e acidentais ou 
ℓ/350 quanto solicitada apenas pelas cargas acidentais.
A flecha a ser considerada é a composta pela flecha elástica ou 
imediata e a flecha diferida no tempo.
3.1.5.1 Flecha imediata (elástica)
As flechas elásticas em lajes são determinadas por meio da expressão:
4
. 3
 . . 
 . 100
x
elast
pf
E h
α
=

O coeficiente α é dado em função da vinculação das lajes, confor-
me esquemas fornecidos na Figura 28 e do coeficiente k. Observa-
se que ℓx é sempre é o menor lado e disposto na horizontal e k é 
igual a ℓy/ℓx (sempre maior ou igual a um).
 UNIUBE 97
Figura 28 – Esquema de vinculação das lajes para de-
terminação das flechas imediatas 
Fonte: o autor
Para cada caso de vinculação, o coeficiente α pode ser obtido pe-
las equações a seguir ou pelos ábacos apresentados na Figura 29:
p = carga uniformemente distribuída h = altura da placa;
ℓx.= “menor” lado k = ℓy/ℓx. (k sempre ≥ 1)
E = módulo de elasticidade (serviço) do concreto. Ecs = 0,85 Eci = 
0,85.5600√fck. (NBR6118 - 8.2.8)
98 UNIUBE
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Va
lo
re
s d
e 
al
fa
Valores de K
Coeficientes "alfa" 
Alfa A
Alfa B
Alfa E
1
2
3
4
5
6
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Va
lo
re
s d
e 
al
fa
Valores de K
Coeficientes "alfa" 
Alfa C
Alfa D
Alfa G
 UNIUBE 99
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Va
lo
re
s d
e 
al
fa
Valores de K
Coeficientes "alfa" 
Alfa F
Alfa H
Alfa I
Figura 29 – Gráficos dos coeficientes alfa 
Fonte: o autor
3.1.5.2 Flecha diferida no tempo
A flecha adicional diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2) é decorren-
te das cargas de longa duração em função da fluência e pode ser 
calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha ime-
diata pelo fator αf dado pela expressão:
'1 50 . f
ξα
ρ
∆
=
+ 
4
. . 3
 . . . . 
 . 100
x
dif f elast f
pf f
E h
αα α= =

Onde: 
'
'
 . 
sA
b d
ρ =
Como na flexão simples não temos armadura comprimida, 
'
sA = 0 e 
'ρ = 0. Desta forma:
'1 50 . 1 0f
ξ ξα ξ
ρ
∆ ∆
= = = ∆
+ +
100 UNIUBE
ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido direta-
mente na Tabela 7 ou ser calculado pelas expressões seguintes:
( ) ( )0t tξ ξ ξ∆ = −
( ) ( ) 0,320,68. 0,996 .tt tξ = ξ para t ≤ 70 meses
( ) 2tξ = para t > 70 meses
Tabela 7 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo – NBR 6118 - Tabela 17.1
Tempo (t) meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥70
Coeficiente ξ(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
Sendo:
t = é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha 
diferida;
t0 = é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de 
longa duração.
A flecha total é a soma da flecha imediata com a diferida:
. . . . . Total elast dif elast f elastf f f f fα= + = + ( ) .1 . Total f elastf fα= +
Exemplo de aplicação: determinar as alturas para as lajes abaixo
Vamos retomar o exemplo anterior onde estimamos a altura para a 
laje, como h ≥ 7,65, com a expectativa de se obter um h real entre 
80 a 85% deste valor.
 UNIUBE 101
Determinar a altura da laje ao lado.
Trata-se de uma laje Tipo 3, aço CA-50 e vamos ado-
tar concreto C20e, para a determinação do peso pró-
prio, a altura mínima, h = 8,0 cm.
P = peso próprio + revestimento + acidental = 0,8 . 25 + 1,0 + 1,5 
= 4,5 kN/m2.
Cuidado: aqui não seguimos a convenção de Marcus. 
ℓx é sempre o menor lado e disposto na horizontal e k é igual a ℓy/ℓx 
( k ≥ 1 sempre!).
Neste caso, a convenção aqui adotada para os valores de ℓx e de ℓy por 
coincidência, batem com a convenção de Marcus e, portanto, k = λ.
5,5 1,57
3,5
y
x
l
k
l
= = =
Conforme a Figura 28 trata-se de uma laje Tipo D.
21,94 . 8,73 . 4,35D k kα = − + − = 1,94 . 2, 4649 8,73 . 1,57 4,35− + − 
4,574Dα =
Calculamos αD pela equação, mas poderíamos tê-lo obtido pelo 
gráfico da Figura 29.
4
. 3
 . . 
 . 100
x
elast
cs
pf
E h
α
=
 (cuidado com as unidades - trabalhar em kN 
e metro é melhor)
102 UNIUBE
Adotando-se t ≥ 70 meses e o carregamento aplicado a 1 meses 
(t0 = 1 mes):
Ou obtemos na Tabela 7 o valor do coeficiente ξ para t0 = 1 mês, ( )1 0,68tξ = = .
( ) ( )0t tξ ξ ξ∆ = − 2 0,68 1,32ξ∆ = − =
Determinação da flecha total
Flecha total = flecha imediata + flecha diferida
Flecha limite para a carga total aplicada max. 350 1, 4 cm 0,014 m250 250f ≤ = = =

 UNIUBE 103
Estimamos a altura para esta laje, como h ≥ 7,65, com a expectati-
va de se obter um h real entre 80 a 85% deste valor. Observe que 
6,2 cm é 81% de 7,65.
3.1.6 A altura útil e a altura
É importante que se diferencie o conceito de “altura” e “altura útil”. 
A altura “h” é a espessura total da laje, da viga ou de um elemento 
estrutural qualquer, enquanto a altura útil “d” e a distância do centro 
de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento.
A Figura 30 exemplifica para o caso das lajes, a diferença entre 
estas duas “alturas”, ou seja:
h = d + ycg
Onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a 
borda tracionada.
Figura 30 – Altura e altura útil de lajes 
Fonte: o autor
h altura da laje
d altura útil – distância do cg da armadura à borda comprida
φ é o diâmetro da armadura longitudinal
c cobrimento de concreto – proteção da armadura
104 UNIUBE
A armadura usada em lajes de edifícios normalmente tem diâme-
tros de 5,0 ou 6,3 mm. Excepcionalmente (lajes de grandes vãos e 
carregamentos) usa-se em edificações φ 8,0 mm.
O item 6.4 da NBR 6118 (Tabela 6.1) classifica o risco de deteriora-
ção da estrutura em função da agressividade do ambiente. Este as-
sunto será visto detalhadamente quando estudarmos as vigas, mas 
por enquanto devemos saber que toda armadura necessita de uma 
camada de concreto para protegê-la da agressividade ambiental e 
evitar o processo de corrosão dos aços, que ocorre com a simples 
umidade do ar, comprometendo a vida útil da estrutura. 
Esta proteção normalmente é feita mediante uma camada de con-
creto com uma espessura mínima em função do revestimento (ou 
não) do elemento e das condições ambientais (agressividade do 
meio ambiente). Observa-se que o cobrimento da armadura é fun-
damental para a qualidade e durabilidade do concreto armado.
Uma laje de concreto em um ambiente de baixa agressividade, re-
vestida, protegida da unidade, com drenos que evitem o acúmulo 
de água, deve ter um cobrimento mínimo de 1,5 cm. Esta mesma 
laje, no litoral, em uma indústria mecânica, em uma indústria quími-
ca, teria cobrimentos bem maiores.
Como a armação das lajes é disposta em duas ma-
lhas ortogonais superpostas, deve-se atentar para o cen-
tro de massa das armaduras, conforme mostrado na 
Figura 31, onde se mostra que uma das malhas tem um 
ycg = cnom + 0,5 φ e a outra malha um ycg = cnom + 1,5 φ.
Como não se sabe qual das amaduras estará na malha inferior ou 
na superior considera-se ycg referente à malha superior e, dessa 
forma, pode-se adotar para ycg os valores dados a seguir:
 UNIUBE 105
Figura 31 – Altura e altura útil de lajes 
Fonte: o autor
O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo 
durante a concretagem e vibração do concreto, as barras perma-
neçam em suas posições, conservando o cobrimento de concreto 
especificado em projeto, é feito por meio do uso de distanciadores, 
que podem ser feitos na obra ou industrializados.
Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, con-
sistem de uma pequena placa de pasta de concreto, com a espessura 
que se pretende dar ao cobrimento de concreto, com traço superior ao do 
elemento a ser concretado, com um pedaço de arame recozido, trança-
do, chumbado na mesma, conforme mostra a Figura 32.
Figura 32 – Distanciadores de armadura executados na obra 
Fonte: o autor
106 UNIUBE
Os distanciadores industrializados, normalmente são de plástico, 
de alta resistência, apresentando forma e dimensões variadas. 
Como exemplo, na Figura 33 são apresentados alguns dos dis-
tanciadores. No Brasil existem vários fabricantes destes distan-
ciadores, podendo ser citados a COPLAS©, JERUELPLAST© e a 
HOMERPLAST©.
Figura 33 – Distanciadores de armadura industrializados 
Fonte: catálogo Homerplast
DICAS
Na internet consegue-se facilmente os sites dessas indústrias, onde 
são disponibilizados catálogos e material técnico sobre o assunto.
Um distanciador muito comum para armaduras de laje negativas é 
o “caranguejo”, feito na obra com sobras de ferros 5,0 mm. Veja o 
detalhe da fixação na Figura 34, uma perna pé virada para frente e 
a outra para trás. O distanciador é amarrado na malha da armadura 
positiva, não encostando nas formas.
 UNIUBE 107
Figura 34 – Distanciador de armadura feito na obra 
para posicionamento da armadura superior 
Fonte: o autor
3.1.7 Organização dos cálculos
Dispositivos auxiliares de cálculo 
O projeto de uma estrutura, compreendendo a memória de cál-
culo, os desenhos de forma, de armação, assim como todas as 
anotações sobre considerações feitas no projeto, devem ser 
guardadas para sempre. Vinte, trinta anos após a execução de 
uma obra, esta pode ser objeto de uma reforma que implique em 
alterações no projeto estrutural. Diante disto, tem-se a necessi-
dade de se ter memórias de cálculo de fácil entendimento, com 
todas as informações envolvidas na elaboração do projeto e da 
forma mais concisa possível.
A seguir, propomos a Tabela 8, como exemplo de uma rotina de cál-
culo mediante tabelas, possibilitando a sistematização do cálculo e 
uma melhor visualização das informações. Esta sistematização é 
importante para o uso de planilhas eletrônicas. 
108 UNIUBE
Tabela 8 – Modelo de tabela para organização dos cálculos 
Laje Tipo ℓy ℓx λ ψ2 ψ3 d h pp rev alv out. S.T. Acd TT
1 2 4,25 3,15 1,35
2 3
3-a --- 3,0
3-b --- 3,0
Fonte: o autor
Obs.: 
Laje 3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direção
pp peso próprio da laje por metro quadrado.
rev peso próprio do revestimento
alv peso próprio da alvenaria, quando houver carga de paredes
out outras cargas permanentes como carga de enchimen-
to, carga proveniente de base de máquinas etc.
S.T. subtotal - ou soma das cargas permanentes
acd sobrecarga ou carga acidental
TT carga total por metro quadrado atuante na laje
DICAS
Este tipo de tabela pode ser adaptado às conveniências do calculista 
e ampliado para a determinação dos esforços solicitantes (momentos 
fletores e reações de apoio, alturas etc.). O uso de planilhas de cálculo 
no EXCEL, por exemplo, facilita bastante este trabalho. 
 UNIUBE 109
3.1.8 Dimensionamento e detalhamento da armadura
A partir dos momentos fletores compensados, as lajes serão di-
mensionadas à flexão, como vigas fictícias de 1,0 metro de largura 
e altura h. Alguns cuidados a serem tomados na escolha das bito-
las, além daqueles prescritos em norma, são utilizar apenas uma 
bitola para a armação dos momentos fletores positivos e apenas 
uma bitola para a armação dos momentos fletores negativos, que 
pode ser a mesma utilizada para os positivos ou não. Desta forma, 
esforços diferentes implicarão na utilização da mesma bitola com 
espaçamentos diferentes.
DICAS
Usar a mesma bitola do aço para a armação dosmomentos fleto-
res positivos e outra, ou não, para todos os momentos negativos, 
é muito importante. Estas bitolas são de 5,0 ou 6,3 mm e podem 
induzir a erros quando utilizadas juntas, ou seja, na fiscalização, 
antes da concretagem, um(a) engenheiro(a) pode confundi-las.
Para a armadura das lajes usa-se uma tabela de ferros feita es-
pecificamente para esse tipo de armação. Na Tabela 9, adotado o 
diâmetro da armadura, na coluna correspondente a esse diâmetro 
busca-se a seção de aço maior ou igual à calculada, obtendo-se à 
esquerda o espaçamento correspondente a esta armadura.
110 UNIUBE
Tabela 9 – Tabela de ferros para lajes 
espaçamento As (cm2)
cm φ 5,0 mm φ 6,3 mm φ 8,0 mm φ 10,0 mm
5,0 3,92 6,24 10,06 15,70
5,5 3,56 5,67 9,15 14,27
6,0 3,27 5,20 8,38 13,08
6,5 3,02 4,80 7,74 12,08
7,0 2,80 4,46 7,19 11,21
7,5 2,61 4,16 6,71 10,47
8,0 2,45 3,90 6,29 9,81
8,5 2,31 3,67 5,92 9,24
9,0 2,18 3,47 5,59 8,72
9,5 2,06 3,28 5,29 8,26
10,0 1,96 3,12 5,03 7,85
10,5 1,87 2,97 4,79 7,48
11,0 1,78 2,84 4,57 7,14
11,5 1,70 2,71 4,37 6,83
12,0 1,63 2,60 4,19 6,54
12,5 1,57 2,50 4,02 6,28
13,0 1,51 2,40 3,87 6,04
13,5 1,45 2,31 3,73 5,81
14,0 1,40 2,23 3,59 5,61
14,5 1,35 2,15 3,47 5,41
15,0 1,31 2,08 3,35 5,23
15,5 1,26 2,01 3,25 5,06
16,0 1,23 1,95 3,14 4,91
16,5 1,19 1,89 3,05 4,76
17,0 1,15 1,84 2,96 4,62
17,5 1,12 1,78 2,87 4,49
18,0 1,09 1,73 2,79 4,36
18,5 1,06 1,69 2,72 4,24
19,0 1,03 1,64 2,65 4,13
19,5 1,01 1,60 2,58 4,03
20,0 0,98 1,56 2,52 3,93
Fonte: o autor
 UNIUBE 111
Trabalhamos com esta tabela da seguinte forma: calculamos a ar-
madura da laje em uma direção, Mx, por exemplo, e determinamos 
As = 1,8 cm2. Na tabela, buscamos uma armadura As, maior ou 
igual a 1,8 cm2 e iniciamos com o φ = 5,0 mm. Na coluna do φ = 
5,0 mm encontramos As = 1,87 e na coluna do espaçamento, na 
mesma linha do 1,87, encontramos s = 10,5 cm. Analogamente, 
na coluna do φ = 6,3 mm encontramos As = 1,84 e na coluna do 
espaçamento, na mesma linha do 1,84, encontramos s = 17,0 cm.
Veja que para o φ = 8,0 mm o menor As é 2,52 cm2 para o espaça-
mento máximo de 20 cm. Em princípio, parece que seria adotado 
φ = 5,0 mm.
Observe que não precisamos consultar a tabela, basta sabermos a 
área dos ferros de 5,0, 6,3 e 8,0 mm. Pois a tabela é montada da se-
guinte forma: As = n . Asφ = (100/s) . Asφ, por exemplo, sabendo que:
A favor da segurança o espaçamento, sempre múltiplo de 0,5, é 
arredondado para baixo, portanto:
para o φ = 5,0 mm, s = 10,5, para o φ = 6,3 mm, s = 17,0 cm e 
para o φ = 8,0 mm, s = 27,5 cm.
112 UNIUBE
IMPORTANTE!
Observa-se que o espaçamento máximo entre as barras das arma-
duras de laje é limitado em 20 cm ou 2 . hlaje (NBR 6118). 
3.1.8.1 Armaduras mínimas
Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção 
(assim como controle da fissuração) são estabelecidos valores mí-
nimos para a armadura passiva (Tabela 10). Essa armadura deve 
ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou 
por telas soldadas.
Esta tabela também especifica a armadura construtiva que é co-
locada nas lajes armadas em uma direção. Lembra-se? Nas lajes 
armadas em uma direção calculamos apenas a armadura corres-
pondente ao lado menor e para o lado maior seria colocado uma 
armadura segundaria ou de distribuição.
Tabela 10 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
Armadura de lajes Concreto armado
Armaduras negativas ρs ≥ ρmin
Armaduras positivas (lajes armadas em cruz) ρs ≥ 0,67.ρmin
Armadura positiva (principal, lajes em uma direção) ρs ≥ ρmin
Armadura positiva (secundária, lajes armadas 
em uma direção) (armadura de distribuição)
As/s ≥ 20 % da armadura principal
As/s ≥ 0,9 cm2/m
ρs ≥ 0,5 ρmin
Fonte: NBR 6118 –Tabela 19.1
 UNIUBE 113
Onde: 
 . 
s
s
A
bw h
ρ =
ρmin é dado na Tabela 3.8, e
s é o espaçamento das barras
Os valores de ρmin são apresentados na Tabela 11 (Tabela 17.3 da 
NBR 6118).
Tabela 11 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas de seção retangular 
Valores de ρmin = As,min/Ac (%)
 fck
ωmín
20 25 30 35 40 45 50
0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
Fonte: NBR 6118 –Tabela 17.3
Valores de ρmin estabelecidos para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15.
ωmin = taxa mecânica mínima de armadura longitudinal
para valores diferentes de fck, fyk, γc , e γs min min .
cd
yd
f
f
ρ ω=
114 UNIUBE
3.1.8.1.1 Disposições gerais de detalhamento (NBR 6118 – item 20)
IMPORTANTE!
• O diâmetro mínimo das barras da armadura de flexão deve 
ser ≥ 5,0 mm.
• O diâmetro máximo das barras da armadura de flexão deve 
ser ≤ h/8.
• O espaçamento máximo (s) das barras da armadura principal 
de flexão na região dos maiores momentos fletores deve ser 
menor ou igual a 2h ou 20 cm.
• Nas lajes armadas em uma direção, a armadura secundária 
de flexão deve ser maior ou igual a 20% da armadura princi-
pal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, 
no máximo, 33 cm (mínimo de três barras por metro).
• Em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas 
as prescrições mínimas conforme disposto na Figura 35.
Figura 35 – Bordas livres e abertura 
Fonte: NBR 6118 –Figura 20.1
 UNIUBE 115
As armaduras positivas devem ser distribuídas de modo a cobrir 
a superfície de momentos fletores, o que é impraticável, pois as 
tabelas geralmente só fornecem valores correspondentes às faixas 
centrais. Em virtude deste problema existem processos simplifica-
dos que, para os casos correntes, resultam bastantes eficientes 
para efetuar esta distribuição.
A prática tem consagrado uma simplificação, onde os comprimen-
tos das barras (que já inclui os comprimentos de ancoragem) são 
dados em função do vão em que será disposta a armadura.
Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, toda a 
armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo 
o escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolonga-
da no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.
Figura 36 – Comprimento reto das barras 
Fonte: o autor
Recomenda-se sempre o uso de ganchos. São facilmente executa-
dos, e melhoram sensivelmente a ancoragem das barras.
No caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas deve-se do-
brar as barras para armar a borda superior das lajes próximas às 
laterais, com a finalidade de limitar a fissuração. Recomenda-se o 
116 UNIUBE
detalhamento da armadura positiva, conforme proposto na Figura 
37, observando-se que o esquema proposto no detalhe A, deve ser 
usado nas bordas das lajes simplesmente apoiadas. Estas barras 
com o detalhe A podem ser intercaladas com barras com ganchos 
nas duas extremidades, ou seja, 50% das barras armando a borda 
superior das lajes próximas às laterais, e 50% apenas com gancho.
Figura 37 – Detalhamento da armadura de lajes - bordas apoiadas e engastadas 
Fonte: o autor
Para as armaduras negativas em lajes retangulares de edifícios 
submetidas a cargas uniformemente distribuídas e cargas aciden-
tais (q) inferiores às permanentes (g), as barras da armadura prin-
cipal sobre os apoios deverão estender-se de acordo com o dia-
grama triangular de momentos (considerado já deslocado) de base 
igual ao valor adiante indicado:
a. Em Lajes atuando em duas direções ortogonais:
• Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três 
bordas livremente apoiada ou engastada, 0,25 do menor vão.
• Nos dois lados de um apoio da laje contínua, 0,25 do maior 
dos vãos menores das lajes contínuas.
 UNIUBE 117
b. Em lajes atuando em uma só direção.
• Em uma borda engastada, 0,25 do vão.
A prática tem consagrado como simplificação, o detalhamento da 
armadura apresentado na Figura 38 onde o comprimento reto da 
barra é 3/4 do intervalo (0,5 ℓ2), intercalando-se as armaduras, à 
esquerda e à direita. Observe-se que, assim como na armadura 
positiva, a zona central fica armada com As, enquanto as zonas 
laterais com As/2, indicando que o critério é satisfatório.
Figura 38 - Disposição da armadura negativa e comprimento das barras em lajes 
Fonte:o autor
Observações:
• Em uma planta de armação, sempre que um ferro for idêntico 
a outro (mesma geometria, bitola, comprimentos etc.) terão o 
mesmo número. É por este motivo que na Figura 37 os ferros 
verticais de ambas as lajes recebem a denominação “N1”.
• Cada um dos ferros horizontais está recebendo um número 
diferente, uma vez que, ou diferem quanto a geometria ou 
quanto aos seus comprimentos.
118 UNIUBE
• Os ferros são sempre apresentados esquematicamente, indi-
cando-se a quantidade, o número do ferro e o espaçamento, 
a citação do diâmetro é opcional quando os ferros são deta-
lhados a parte.
IMPORTANTE!
Quando se tratar de lajes contínuas com diferentes condições de 
apoio no lado comum, (lajes com rigidez muito diferentes) a arma-
dura negativa que vem da laje considerada deve prolongar-se na 
laje vizinha, pelo menos até o ponto onde se possa prever que o 
momento fletor negativo, na direção considerada, mude o sinal.
3.1.9 Cisalhamento em lajes
As placas (lajes) têm uma boa resistência ao esforço cortante e, as 
lajes comuns de edifícios, salvo situações extraordinárias de car-
regamento, não são armadas ao cisalhamento, apenas o concreto 
resiste a este esforço. A NBR 6118 – item 9.4 estabelece que quan-
do a força cortante de cálculo for menor ou igual à força resistente 
ao cisalhamento de projeto, as lajes maciças ou nervuradas podem 
prescindir dessa armadura transversal.
1Sd RdV V≤
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
( )1 1. . 1, 2 40. 0,15. . .Rd Rd cp wV k b dτ ρ σ = + + 
 UNIUBE 119
Obs.: Sdcp c
N
Aσ = , NSd é a força longitudinal na seção (protensão 
ou carregamento).
( )1 1. . 1, 2 40. . .Rd Rd wV k b dτ ρ= + concreto armado (sem forças longitudinais)
onde: τRd = 0,25 fctd
 
2 3
,inf 2 30,7. 0,7.0,3. 0,21.ctk ctm ckctd ctd ck
c c c c
f f ff f f
γ γ γ γ
= = = ∴ =
k = |1| quando 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: 
k = |1,6 – d| ≥ |1| com d em metros; para os demais casos.
1
1 0,02.
s
w
A
b d
ρ = ≤
fctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento;
As1 é a área da armadura de tração; 
bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d.
Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalha-
mento a resistência de cálculo VRd2 é dada por:
120 UNIUBE
Considerações finais
Ao término deste capítulo já temos condições de determinar os es-
forços de momento fletor compensados, necessários para o dimen-
sionamento das lajes de concreto armado, e as dimensões, a altura 
das lajes para que elas não tenham flechas excessivas.
Encerramos o ciclo de determinação dos esforços que iniciamos com 
os elementos de barras, as vigas, treliças, pórticos, grelhas etc., e aqui 
concluímos com os elementos de placas, neste caso, as lajes.
Isto significa que estamos prontos para dimensionarmos estes ele-
mentos estruturais de concreto armado, de aço, de madeira etc., 
assim, como nosso curso é de concreto armado, no próximo capítu-
lo vamos aprender a equacionar os elementos de concreto armado.
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
Vigas de concreto armado 
– equacionamento, 
detalhamento da seção
Capítulo
4
Em Materiais de Construção Civil estudamos os materiais 
que compõem o concreto armado, o concreto e o aço. Já 
vimos que entre as desvantagens do concreto está a sua 
baixa resistência aos esforços de tração, que é inferior a 1/10 
de sua resistência à compressão.
O cálculo de um elemento de concreto armado seja uma 
viga, uma laje, um pórtico etc., consiste em determinar seus 
esforços e a partir do diagrama de momento fl etor, armar 
(colocar ferros) nas regiões tracionadas. Veja os exemplos 
apresentados na Figura 39.
Figura 39 – Posicionamento da armadu-
ra de tração em uma viga bi apoiada 
Fonte: o autor
Figura 40 – Definição das regiões, zonas de armação 
Fonte: o autor
Esta viga tem duas zonas de armação, as regiões A e B. 
Seu dimensionamento consistirá no cálculo das seções 
mais solicitadas de cada uma destas regiões, a seção SA, a 
mais solicitada da região A, e a seção SB, a mais solicitada 
da região B. O dimensionamento da seção SA, é extrapola-
do para toda a região A e o dimensionamento da seção SB 
é extrapolado para toda a região B.
IMPORTANTE!
O dimensionamento do “concreto armado” consiste, por-
tanto, em dimensionar uma seção de concreto que re-
sista às tensões de compressão, uma seção de aço que 
resista às tensões de tração, e que ambos, concreto e 
aço, trabalhem solidariamente.
Isto se aplica a qualquer elemento em concreto armado, 
seja uma viga, um pórtico, uma grelha, uma laje etc., mas 
isso é um assunto para o próximo capítulo. Neste capítulo, 
abordaremos o equacionamento do concreto armado, ou 
seja, o dimensionamento das seções de concreto armado.
Objetivos
• Estabelecer as hipóteses de cálculo para o modelo 
teórico do concreto armado;
• Definir o ábaco de domínios;
• Equacionar a flexão normal simples em seções 
retangulares;
• Durabilidade das estruturas de concreto;
• Detalhar a armadura na seção;
• Equacionar a armadura dupla;
• Calcular mediante tabelas;
• Equacionar as seções “T” submetidas à flexão simples.
Esquema
• Cálculo no Estado Limite Último
• Hipóteses de cálculo - NBR 6118 (2003) - item 17.2.2
• Distribuições possíveis de deformação na seção
• Flexão normal simples em seções retangulares
• Equacionamento do Problema para armadura 
simples (Rsc = 0)
• Equações de equilíbrio
• Cálculo de dimensionamento
• Domínio 2
• Domínio 3
• Domínio 4
• Exemplo geral
• Durabilidade das estruturas de concreto
• Agressividade do ambiente
• Detalhamento da armadura na seção
• A altura e a altura útil
• Armadura dupla
• Armadura dupla - equacionamento
• Valores de d’
• Valores de 
'
sσ
• Cálculo mediante tabelas
• Seção retangular com armadura simples
• Seção retangular com armadura dupla
• Seções “T” submetidas à flexão simples
• Largura colaborante de vigas de seção T
• Cálculo de dimensionamento
• Caso 1 – Seção T calculada como seção 
retangular 
• Caso 2 - Seção “T” calculada como seção “T”
• Vãos efetivos e larguras mínimas de vigas
124 UNIUBE
Cálculo no Estado Limite Último4.1
Começamos este capítulo com o título Cálculo no Estado Limite 
Último e isto significa que vamos estudar como dimensionar nos-
sos elementos estruturais para que não atinjam a ruptura.
Vamos trabalhar com as Solicitações Normais, ou seja, aquelas 
que originam tensões normais sobre as seções retas e são cons-
tituídas por um Momento Fletor e uma Força Normal referidos ao 
centro de gravidade da seção de concreto.
As seções de peças de concreto armado submetidas a solicitações 
normais podem alcançar o estado limite último por ruptura da zona 
comprimida do concreto ou por excesso de deformação plástica de 
armadura.er um cálculo exato, perfeitamente exato, significa fazer 
matemática, porém, teríamos procedimentos complexos, extensos 
e demorados, que inviabilizariam os procedimentos normais do en-
genheiro, então vamos estabelecer simplificações, que viabilizem 
nossos cálculos, fornecendo-nos resultados confiáveis. Isto é o que 
chamamos modelagem matemática e é o que faremos agora ao 
estabelecer nossas hipóteses de cálculo.
4.1.1 Hipóteses de cálculo - NBR 6118 (2003) - item 17.2.2
As hipóteses que seguem são válidas para o cálculo no estado 
limite último nos casos de flexão simples ou composta, normal ou 
oblíqua, e de compressão ou tração uniforme.
• As seções transversais planas antes do carregamento per-
manecem planas até a ruptura (distribuição linear das de-
formações na seção);
 UNIUBE 125
• A deformação em cada barra é a mesma do concreto adjacen-
te (perfeita aderência entre o aço e o concreto não fissurado);
• A resistência do concreto à tração é desprezada;
• O encurtamento de ruptura do concreto nas seções não intei-
ramente comprimidas é de 3,5‰ (domínios 3, 4 e 4a);
Nas seções inteiramente comprimidas, o encurta-
mento da borda mais comprimida na ocasião de 
ruptura varia de 3,5‰ a 2‰ mantendo-seinalterada 
e igual a 2‰ a deformação a uma distância igual a 
3/7 da altura total da seção, contada a partir da bor-
da mais comprimida (domínio 5) (NBR 6118).
• O alongamento máximo permitido ao longo de armadura de 
tração (domínios 1 e 2) é de 10‰ a fim de prevenir deforma-
ção excessiva;
• A distribuição das tensões do concreto na seção é feita de 
acordo com o diagrama retangular parabólico (parábola de 
2º grau). É permitida a substituição deste diagrama pelo re-
tângulo de altura y = 0,8x (Figura 41) com a tensão 0,85 fcd 
quando a largura da seção medida paralelamente à linha neu-
tra não diminuir a partir desta para a borda mais comprimida 
ou, 0,80 fcd em caso contrário (Figura 42);
126 UNIUBE
Figura 41 – Diagramas de tensões Retangular/Parabólico e Retangular 
Fonte: o autor
Figura 42 – Critério para adoção dos valores de σc para o bloco de tensões
Fonte: o autor
• A tensão na armadura é a correspondente à deformação de-
terminada de acordo com as hipóteses anteriores e obtida 
nos diagramas tensão/deformação do aço (Figura 43).
 UNIUBE 127
Figura 43 – Diagrama tensões/deformações dos aços para concreto armado 
Fonte: o autor
4.2 Distribuições possíveis de deformação na seção
Na Figura 44 apresentamos o Ábaco de Domínios que mostra a 
distribuição das deformações na seção transversal. Ambas as bor-
das podem ser tracionadas ou comprimidas, mas vamos conside-
rar a borda superior como preferencialmente comprimida que pode 
estar tracionada e a inferior como uma borda preferencialmente 
tracionada que pode estar comprimida.
Figura 44 – Diagrama de Domínios de deformações 
Fonte: NBR 6118 - Figura 17.1
128 UNIUBE
• Retas “a” e “b” Tração uniforme (reta a) e compressão uni-
forme (reta b);
• Domínio 1 Tração não uniforme sem tensões de compressão 
(tração excêntrica ou flexo-tração);
• Domínio 2 Flexão simples ou composta sem ruptura à com-
pressão do concreto (|εc| ≤ 3,5‰) e com o máximo alonga-
mento permitido na armadura;
• Domínio 3 Flexão simples ou composta com simultaneidade 
de escoamento do aço tracionado, com tensão de ruptura do 
concreto (seção normalmente armada);
• Domínio 4 Flexão simples ou composta sendo que o concre-
to atinge a tensão de ruptura antes que o aço entre em esco-
amento (εsd < εyd) (seção superarmada);
• Domínio 4a Flexão composta com armaduras comprimidas;
• Domínio 5 Compressão não uniforme, sem tração.
4.3 Flexão normal simples em seções retangulares
A flexão normal simples ocorre nos domínios 2, 3 e 4, ou seja, nos 
domínios onde a linha neutra corta a seção e, consequentemente, 
temos tração em uma borda e compressão na outra.
Na Figura 45(a), uma viga bi apoiada AB, de vão ℓ é submetida 
a uma carga uniformemente distribuída p. Cortando-se a viga em 
uma seção C, distante x do apoio A, o equilíbrio do segmento AC 
 UNIUBE 129
é dado por ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣMi = 0, mas como neste caso não 
atuam forças horizontais (RHA = 0), no segmento de viga AC atuam 
apenas a parcela da carga uniformemente distribuída p no trecho 
x, a reação vertical no apoio A e os esforços internos solicitantes V 
e Mf, atuantes na seção 
Figura 45 – Solicitações internas em uma seção genérica da viga 
Fonte: o autor
Admitindo-se a consideração individualizada dos efeitos da força 
cortante e do momento fletor para o dimensionamento à flexão sim-
ples, as Figuras 45(b) e 45(c) mostram as forças atuantes em cada 
caso. Portanto, para o equacionamento do concreto a flexão será 
considerado somente o momento fletor como esforço solicitante in-
terno (Figura 45(b)) e, para o equacionamento do cisalhamento, 
apenas o esforço cortante (Figura 45(c)).
Os esforços internos resistentes e as deformações na seção são 
apresentados na Figura 46. Em (a) mostra-se uma elevação longi-
tudinal terminando na seção C, em (b) a seção transversal, em (c) 
o diagrama de deformações e em (d) o diagrama de tensões.
130 UNIUBE
Figura 46 – Deformações e esforços internos resistentes na seção 
Fonte: o autor
Na Figura 46: 
Rsc (ou R’s) resultante do aço comprimido
Rcc resultante do concreto comprimido
Rst resultante do aço tracionado
x profundidade da linha neutra
y altura do bloco de tensões
σcd = 0,85 fcd e εc = 3,5‰
Observa-se que εs depende do domínio em que a seção trabalha. 
Como já foi visto, o domínio em que uma seção trabalha é dado 
pelas deformações nas bordas superior ou inferior da seção (de-
formação do aço quando a borda for tracionada). Observe no dia-
grama de deformações que a deformação das barras comprimidas 
(ε’s) é inferior à da borda superior (εc = 3,5 ‰), porém, esta defor-
mação no aço não indica domínio.
 UNIUBE 131
A Figura 46 mostra ainda, uma seção com armaduras em baixo e 
em cima. Toda seção necessita de um número mínimo de barras 
longitudinais para fixação dos estribos; no caso da seção retangu-
lar são necessárias quatro barras, uma em cada canto do estribo. 
As barras calculadas para a flexão podem assumir também essa 
função construtiva e, neste caso, na armadura inferior As com 5 
barras, as duas barras dos cantos inferiores serão usadas para 
amarração dos estribos e, na parte superior também serão neces-
sárias duas barras para essa finalidade construtiva, porém, pode-
rão ser consideradas no cálculo, ou não. Se forem consideradas, 
a seção terá duas armaduras, ou seja, armadura dupla: uma de 
tração (As) e outra de compressão (A’s). Se não forem conside-
radas no cálculo essas barras comprimidas terão apenas função 
construtiva (porta estribos) e a seção terá apenas a armadura de 
tração, ou seja, armadura simples.
Dessa forma, a Figura 46 será usada para o equacionamento da se-
ção com armadura simples e dupla. No primeiro caso simplesmente 
não se considerará A’s no equacionamento. Estas barras serão acres-
centadas, como porta estribos, ou seja, armaduras construtivas.
4.4 Equacionamento do Problema para armadura simples (Rsc = 0)
4.4.1 Equações de equilíbrio
Conforme o diagrama de esforços apresentado na Figura 46 (d), a 
ausência de forças normais externas permite escrever: 
0 0x cc stF R RΣ = − = Equação 1
132 UNIUBE
0
2 2f f cc st
y yMf M R d R dγ    Σ = = − = −   
   
 Equação 2
Sendo:
 . . cc w cR b y σ= Resultante das tensões de compressão no 
concreto
.st s sR A σ= Resultante das tensões de tração na armadura
Mf Momento fletor característico que atua na 
seção em estudo.
Tem-se, então:
. . . . 0,85 .ckw c s s w s s
c
fb y A b y Aσ σ σ
γ
 
= ∴ = 
  Equação 3
. . . 0,85
2 2
ck
f f w c f f w
c
fy yM b y d M b y dγ σ γ
γ
    = − ∴ = −    
    
 Equação 4
2f f s s
yM A dγ σ  = − 
  Equação 5
 UNIUBE 133
Observações:
a. As equações (4), e (5) não são independentes entre si, pois 
trata-se de uma combinação das anteriores. Veja que substi-
tuindo (3) em (4) obtém-se a equação (5).
b. O coeficiente 0,85 que aparece minorando a tensão fcd tem 
por finalidade considerar:
• o efeito da redução da resistência do concreto quando solici-
tado por cargas de longa duração - efeito Rush
• a redução da resistência do concreto em consequência da 
evaporação mais rápida de água que aflora à parte superior 
do elemento estrutural.
4.4.2 Equações de compatibilidade
Do diagrama de deformações apresentado na Figura 46 (c), tem-se:
c s
x d x
ε ε
=
− Equação 6
Estas equações podem ser “arrumadas” para facilitar sua utilização 
nos cálculos. Ao invés de trabalharmos com valores para a profun-
didade da linha neutra podemos colocá-la em função da altura útil 
introduzindo a variável βx = x/d. Muitos autores trabalham com o 
bloco de tensões fazendo βy = y/d. É muito comum também a subs-
tituição de β por k, usando kx, ky etc. Podemos, então, reescrever 
as equações como:
134 UNIUBE
 . 0,85 . . 0,8 . d . 0,68 . . . . . w cd x w cd x s sb f b d f Aβ β σ= = 
Equação 7
( )2 . 0,68 . . . . . 1 0,4 . f w cd x xMf b d fγ β β= − 
Equação 8
( ) ( ) . . 0, 4 . . . . .1 0,4 . f s s x s s xMf A d d A dγ σ β σ β= − = − 
Equação 9
E a equação (6) pode ser rearranjada, para a determinação de x, 
εc e de εs.
c s c
c s s c
c s
x d xx d
x d x d x x
ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε
−
= = = =
− + − 
Equação 10
Essas equações de compatibilidade de deformações podem ser 
colocadas em função de βx.
1
 . 1 . 1
c s c x x
x c s s c
x x c s x xd d
ε ε ε β β
β ε ε ε ε
β β ε ε β β
−
= = = =
− + − 
Equação 11
As equações (7) a (11) permitem resolver problemas de dimensio-
namento e verificação de seções nas quais a armadura As é dis-
posta de tal maneira que a resultante de tensão possa ser aplicada 
no centro de gravidade das barras.
 UNIUBE 135
IMPORTANTE!
A NBR 6118 permite que os esforços nas armaduras possam ser 
considerados concentrados em seu centro de gravidade (de mas-
sa), se a distância deste centro ao ponto da seção da armadura 
mais afastado da linha neutra, medida normalmente a esta, for me-
nor que 10% de h. 
A Figura 47 exemplifica a concentração dos esforços no centro de 
gravidade da armadura, considerando a armadura composta por 5 
barras, sendo 3 φ 12,5 mm na primeira camada e 2 φ 10,0 mm na 
segunda. Essas cinco barras poderiam ser substituídas por uma 
barra fictícia de seção igual a 5,35 cm2 com centro distando 1,56 
cm da linha da base da armadura.
Para as vigas usuais de edifícios não há restrições quanto ao uso 
das armaduras dispostas em duas camadas, porém, para a dispo-
sição da armadura em três ou mais camadas há a necessidade de 
maiores alturas.
Figura 47 – Concentração das barras da armadura em seu centro de massa 
Fonte: o autor
136 UNIUBE
4.5 Cálculo de dimensionamento
As variáveis envolvidas no dimensionamento (equações 7, 8 e 10) 
são: bw, d, fcd, βx, As, σs, γf, Mf, x, d, εc e εs. Como se vê, são muitas 
variáveis para poucas equações, mas algumas são adotadas e ou-
tras são dados do problema, veja:
bw Adotada em função da espessura da pare-
de, bw ≥ 14 cm (excepcionalmente 12 cm).
Normalmente, o valor de bw é a espessura da parede me-
nos 3,0 cm de reboco, observando-se as especificações 
do projeto arquitetônico que poderá especificar vigas de 
concreto aparente, aparente de um lado revestida do ou-
tro etc. As larguras normais de vigas são 14 cm para a 
parede de 15, 15 ou 17 cm para a parede de 20 etc.
d Sua determinação é o objetivo do dimensionamen-
to, portanto uma das incógnitas principais.
fcd Especificada pelo contratante ou adota-
do pelo calculista, fck.≥ 20 MPa.
x, βx A posição da linha neutra, é uma das princi-
pais incógnitas pois indica o domínio.
As Sua determinação é o objetivo do dimensionamen-
to, portanto uma das incógnitas principais.
σs A tensão do aço depende do aço adotado e do domínio.
γf , γs, γc Coeficientes de majoração e de seguran-
ça são adotados (valores normalizados).
Mf Dado do problema, é dimensiona-
do para resistir a uma solicitação.
εc, εs Dependem, respectivamente, do concre-
to e do domínio e do aço e do domínio.
Em seções retangulares de concreto armado nos problemas de di-
mensionamento, as incógnitas geralmente são: d, As e/ou A’s. Os 
casos mais frequentes são:
 UNIUBE 137
• Dados: fck, fyk., γc, γs, γf, bw e Mf. Pede-se: a altura 
útil da seção (d) e a seção transversal da armadura (As)
• Dados: fck, fyk., γc, γs, γf, bw, d e Mf. Pede-se: As (arma-
dura simples) ou As e A’s (armadura dupla)
Além dos problemas de dimensionamento há os de verificação. 
Nesses, é dada uma seção e sua armadura (bw, h, As) e pede-se o 
momento fletor. Esses problemas de verificação são muito comuns 
em recálculos de estruturas para novas solicitações, ou reformas 
(ou adaptações) em edifícios, ou seja, a estrutura já existe e pre-
tende-se determinar sua capacidade de carga.
DICAS
Unidades: vamos trabalhar com unidades de comprimento e seção (bw, 
d, As) e de força (σc, σs ,Mf). As unidades de comprimento são determi-
nantes, pois também estão nas tensões e nos momentos e, em função 
dos valores usuais em concreto armado adota-se o cm, e para a força o 
kN. Desta forma, trabalha-se com: cm, cm2, kN/cm2, kN.cm.
Obs.: 1 MPa = 1 N/mm2 = 0,1 kN/cm2
Vamos analisar cada um dos casos nos domínios (2, 3 e 4) sepa-
radamente e delinear suas principais características. As variáveis 
x e y (profundidades da linha neutra e bloco de tensões, respec-
tivamente) representadas nas equações por βx, são diretamente 
ligadas ao domínio em que a seção irá trabalhar.
138 UNIUBE
4.5.1 Domínio 2
10‰ 0 3,5‰s ccteε ε= = ≤ ≤
2323
0 0s yd x xf x xσ β β= ≤ ≤ ≤ ≤
O valor de x23 é determinado por semelhança de triângulos.
23
23
23
23 23 23 23
3,5 10 0,259. 0,259c s x
xx d
x d x x d x d
ε ε
β= ⇒ = ⇒ = = =
− −
4.5.2 Domínio 3
10‰yd sε ε≤ ≤ 3,5‰c cteε = =
s ydfσ = 23 34x x x≤ ≤
 UNIUBE 139
O valor de x34 é determinado por semelhança de triângulos. 
Enquanto no domínio 2 todos os aços (CA 25, 50 e 60) têm εs = 
cte. = 10‰ e, portanto, o mesmo valor para x23; o valor de x34 
depende de εyd, que é diferente para cada aço e, dessa forma, o 
valor de x34 depende do aço utilizado. A Tabela 12 apresenta um 
resumo desses valores.
34 34 34
34 34
ydc s c c c
yd x
yd ydc yd s
c c
s s
f
x d x df fx d x E
E E
ε ε ε ε εε β
ε ε ε ε
= = = = =
− +
+ +
Tabela 12 – Valores de εyd, β23 e β34
Aço fyk (kN.cm2) fyd (kN.cm2) εyd (‰) βx23 βx34
CA 25 25 21,74 1,0352 0,2593 0,7717
CA 50 50 43,48 2,0704 0,2593 0,6283
CA 60 60 52,17 2,4845 0,2593 0,5848
Fonte: o autor
4.5.3 Domínio 4
0 s ydε ε≤ ≤ 3,5‰cε =
.s s sEσ ε= 34x x d≤ ≤
140 UNIUBE
Os valores de x34 para os diferentes aços foram determinados ante-
riormente na análise do domínio 3. O problema do dimensionamen-
to no domínio 4 são as tensões e deformações no aço: enquanto 
nos domínio 2 e 3 os aços trabalham com σs = fyd, no domínio 4 
trabalha-se com fyd ≥ σs ≥ 0, ou seja, o material mais nobre (e mais 
caro) do concreto armado, o aço, passa a ser utilizado com tensões 
menores e, portanto, em maiores quantidades. Na Figura 48 apre-
senta-se a caracterização dos domínios em um diagrama tensão/
deformação de aço.
Figura 48 – Diagramas tensão/deformação dos aços - Domínios de deformações 
Fonte: o autor
DICAS
Não se dimensiona uma seção no domínio 4. Como será visto 
adiante, quando houver a ocorrência de βx > βx34, adotar-se-á como 
solução a alteração das dimensões da seção ou a utilização da 
armadura dupla.
 UNIUBE 141
4.6 Exemplo geral
Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.
Dados: Concreto C25 e Aço CA-50 (adotados pelo 
calculista)
bw = 15 cm (em função das paredes) e Mf = 100 kN.m 
(solicitação máxima)
Equação 7 0,68. . . . .w cd x s sb d f Aβ σ=
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
Equação 10 c cx
c s c s
x dε εβ
ε ε ε ε
= =
+ +
Incógnitas: na equação 7: d, βx, As e σs.
 na equação 8: d e βx.
 na equação 10: εc ou εs 
A princípio, têm-se seis incógnitas para três equações, mas
142 UNIUBE
Em todos os domínios têm-se uma incógnita a mais que o número 
de equações e a solução consiste em se adotar uma das incógnitas 
para então resolver o sistema de três equações com três incógnitas 
(no domínio 4 são quatro a quatro). Como se vê, o problema admite 
infinitas soluções em função da incógnita adotada e, para enten-
dermos bem os domínios e vermos a amplitude das respostas pos-
síveis, vamos resolver adotando valores de βx no início do domínio 
2, no limite entre os domínios 2 e 3, no limite entre os domínios 3 e 
4 e no final do domínio 4. Com essas quatro soluções para o mes-
mo problema teremos uma noção bastante ilustrativa do dimensio-
namento do concreto armado em cada um desses domínios.
Solução 01 - Considerando βx = 0,01
Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m
23
3,5 3,5 0,259
3,5 10 13,5
c
x
c s
ε
β
ε ε
= = = =
+ +
βx = 0,01 <<< βx23 → início do domínio 2
 UNIUBE 143
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
( ) ( )
. 14000278,1 
0,68. . . 1 0,4. 0,182. 0,996
f f
w cd x x
M
d cm
b f
γ
β β
= = =
−
Equação 7 0,68. . . . .w cd x s sb d f Aβ σ=
Domínios 2 e 3: 
yk
s yd
s
f
fσ
γ
= = σs = 43,48 kN/cm2.
20,68. . . . 0,68.15.278,1.1,786.0,01 50,66 1,16 
43,48 43,48
w cd x
s
s
b d fA cmβ
σ
= = = =
Absurdo, não é mesmo? Observe que a altura útil poderia ser bem 
maior pois βx tendendo a zero a altura útil tende para infinito.
Solução 02 - Considerando βx = βx23
Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m
23
3,5 3,5 0,259
3,5 10 13,5
c
x
c s
ε
β
ε ε
= = = =
+ +
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
( ) ( )
. 1, 4.10000 57,5 
0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,259. 1 0,4.0,259
f f
w cd x x
M
d cm
b f
γ
β β
= = =
− −
144 UNIUBE
Equação 7 0,68. . . . .w cd x s sb d f Aβ σ=
20,68. . . . 0,68.15.57,5.1,786.0,259 6,24 
43,48
w cd x
s
s
b d fA cmβ
σ
= = =
Solução 03 - Considerando βx = βx34.
Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m
34
3,5 0,0035 0,0035 0,62850 1,15 0,0035 0,002070,00353,5 21000
c
x
ydc s
s
f
E
εβ
ε ε
= = = = =
+ +++
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
( ) ( )
. 1, 4.10000 40,43 
0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,628. 1 0,4.0,628
f f
w cd x x
M
d cm
b f
γ
β β
= = =
− −
Equação 7 0,68. . . . .w cd x s sb d f Aβ σ=
20,68. . . . 0,68.15.40,43.1,786.0,628 10,64 
43,48
w cd x
s
s
b d fA cmβ
σ
= = =
Solução 04 - Considerando βx = 0,8
Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m
34 0,628 1x xβ β= ≤ < → domínio 4 βx = 0,8 ∴ ≅ meio 
do domínio 4
 UNIUBE 145
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
( ) ( )
. 1, 4.10000 37,59 
0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,8. 1 0,4.0,8
f f
w cd x x
M
d cm
b f
γ
β β
= = =
− −
Observe que ao contrário do exemplo anterior não podemos deter-
minar a armadura por meio da equação 7, pois no domínio 4 o valor 
de σs é variável e, precisamos determiná-lo primeiro.
No domínio 4 0 s ydfσ≤ ≤ ∴
1 1 0,83,5. 0,875 /
0,8
x
s c c
x
d x mm m
x
β
ε ε ε
β
−− −
= = = =
Lei de Hook .s s sEσ ε= 21000 x 0,000875 18,375sσ = = kN/cm2.
E agora sim, podemos determinar a armadura:
Equação 7 
20,68. . . . 0,68.15.37,59.1,786.0,8 29,81 
18,375
w cd x
s
s
b d fA cmβ
σ
= = =
146 UNIUBE
Solução 05 - Considerando βx = 0,98
Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m
34 0,628 1x xβ β= ≤ < → domínio 4 βx = 0,98 ∴ final do domínio 4
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
( ) ( )
. 1, 4.10000 35,91 cm
0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,98. 1 0,4.0,98
f f
w cd x x
M
d
b f
γ
β β
= = =
− −
No domínio 4 0 s ydfσ≤ ≤ ∴
1 1 0,983,5. 0,07 mm/m
0,98
x
s c c
x
d x
x
β
ε ε ε
β
−− −
= = = =
.s s sEσ ε= 21000.0,07 1000 1,47sσ = = kN/cm2. 
Equação 7 0,68. . . . .w cd x s sb d f Aβ σ= 
20,68.15.35,91.1,786.0,98 436,15 
1,47s
A cm= =
Absurdo, não é mesmo? As = 436,15 cm2 e essa armadura 
poderia ser bem maior, pois βx tendendo a 1, a seção de aço 
tende para infinito.
 UNIUBE 147
IMPORTANTE!
Observe que na quarta e quinta solução, ao contrário das três ante-
riores não se usou σs = fyd. Como se vê na Figura 49, no domínio 2 
a deformação do aço é εs = cte. = 10 ‰ (extremidade do patamar) 
e no domínio 3 a deformação varia entre εyd e 10 ‰ (todo o pata-
mar) e, portanto, em ambos os casos σs.= cte. = fyd. No domínio 4 a 
deformação varia entre 0 e εyd e nessa região a tensão do aço é 
variável 0 ≤ σs ≤ fyd, mas como a variação é linear a tensão σs pode 
ser relacionada à deformação mediante a Lei de Hooke σs = Es . εs.
A Figura 49 mostra graficamente a solução desse problema para 
βx variando de 0,1 a 0,92 aproximadamente. Como se pode ver, o 
problema não tem uma solução, mas inúmeras soluções. Algumas 
soluções são muito boas, outras boas e, muitas ruins ou péssimas.
148 UNIUBE
Figura 49 – Altura útil e armadura em função de βx, nos domínios 2, 3 e 4 
Fonte: o autor
Vamos analisar o comportamento da altura útil “d” e da seção de 
aço “As” obtidos nesses exemplos. A Figura 49 mostra as caracte-
rísticas de cada domínio com bastante clareza:
• O domínio 2 começa com alturas extremamente grandes (ab-
surdas) e seções de aço muito pequenas, por exemplo: para 
valores de βx próximos a zero a altura útil tende para o infinito 
e a armadura para zero (para βx = 0,01 obteve-se d = 278,1 
cm e As = 1,16 cm2). A menor altura útil obtida no domínio 2 
foi na interface com o domínio 3, com βx = βx23 = 0,259 na qual 
obtivemos d = 57,5 e As = 6,24 cm2 (solução 02), ou seja, nes-
se exemplo em particular as alturas úteis no domínio 2 variam 
 UNIUBE 149
de 400/500 a 57,5 cm e as seções de aço de aproximadamen-
te 1,0 a 6,24 cm2. Em síntese, a altura útil sofreu uma redução 
superior a 85% e a armadura um aumento superior a 600%.
Assim, o domínio 2 tem como característica seções de grande al-
tura e pouco aço e as seções dimensionadas nesse domínio são 
conhecidas como seções subarmadas. Essa grande seção de con-
creto é mal aproveitada (0 ≤ εc ≤ 3,5 ‰) e a reduzida seção de aço 
trabalha no limite (εs = cte. = 10 ‰, σs.= cte. = fyd). Nesse domínio, 
a ruptura ocorre por escoamento do aço - colapso por meio de de-
formações excessivas da armadura - e, portanto, antes do colapso 
há a ocorrência de fissuras, trincas etc.
• O domínio 3 começa com os resultados da segunda solução 
e termina com os da terceira, ou seja, a altura útil é reduzida 
de 57,5 para 40,43 cm e a armadura é aumentada de 6,24 
para 10,64 cm2. Veja que a altura útil foi reduzida em 17,07 
cm (29,7%) e a armadura foi aumentada em 4,4 cm2 (70,5%).
Como as reduções de altura foram da ordem de 30% e o aumento 
da seção de aço da ordem de 70%, à primeira vista pode pare-
cer antieconômico, pois coloca-se muito mais aço para reduzir um 
pouco a altura. Mas não se pode esquecer que alturas grandes, 
além de problemas relativos ao pé direito (esquadrias de portas e 
janelas), implicam em maior área lateral de formas e, o custo das 
formas é alto, daí a busca pelas menores alturas.
Ressaltamos que no domínio 3 obtêm-se seções mais coerentes 
para o concreto e para o aço, pois nesse domínio o concreto traba-
lha com deformações de encurtamento máximas εc = cte. = 3,5 ‰ 
e o aço com deformações de alongamento no patamar e, conse-
quentemente, com tensões máximas (εyd ≤ εs ≤ 10 ‰ , σs.= cte. = fyd). 
As seções neste domínio são denominadas seções normalmente 
150 UNIUBE
armadas. O concreto e o aço desenvolvem ao máximo suas capa-
cidades resistentes, constituindo-se, portanto, o melhor dimensio-
namento, tanto do ponto de vista econômico como do funcional.
• O domínio 4 começa com os resultados da solução 03 (para 
βx34 = 0,628 obteve-se d = 40,43 cm e As = 10,64 cm2) e termi-
na com resultados similares aos da solução 05 (para βx = 0,98 
obteve-se d = 35,91 cm e As = 436,15 cm2, ou seja, a altura 
útil é reduzida em 4,52 cm (11,18%) e a armadura é aumenta-
da 7,13 cm2 (superior a 4000%).
À medida que βx tende para 1, tem-se uma pequena redução da 
altura útil e a seção de aço tende para o infinito, trabalhando com 
menos de 3,5% de sua capacidade mas...., vamos deixar para lá, 
afinal, o valor da seção de aço encontrado é tão absurdo que não 
há condições de colocar esta armadura na seção de concreto.
O domínio 4 caracteriza-se pelas seções de concreto com as me-
nores alturas e, menor altura significa menores áreas de formas 
(área lateral). Essa é uma característica importante, pois as formas 
têm um custo significativo no custo do metro cúbico de concreto 
armado. Entretanto, o aumento exponencial da seção de aço e o 
mau aproveitamento dessa armadura, a redução da tensão do aço 
que se acentua à medida que se aprofunda no domínio 4, tornam 
proibitivo o dimensionamento neste domínio. As seções dimensio-
nadas no domínio 4 são conhecidas como seções superarmadas, 
nas quais grandes seções de aço trabalham com tensões reduzi-
das (0 ≤ εs ≤ εyd,. 0 ≤ σs ≤ fyd).
Além dos problemas relativosà armadura o dimensionamento no 
domínio 4 apresenta também problemas relativos ao concreto. 
Como foi visto, é nesse domínio que se obtém as menores alturas 
e os maiores valores de βx (βx34 ≤ βx ≤ 1), ou seja, as menores 
 UNIUBE 151
seções transversais (menores alturas úteis) com as maiores se-
ções de concreto comprimido (maiores valores de βx) e pior, com 
deformações de encurtamento máximas (εc = cte. = 3,5 ‰).. Em 
síntese, as seções no domínio 4 entram em colapso mediante o 
esmagamento do concreto, o que é muito ruim, pois é uma ruptura 
sem “avisos” (fissuras, trincas etc.).
Veja que os valores obtidos na solução 4 com βx = 0,8, ou seja, na 
região média do domínio 4 (d = 37,6 cm e As = 29,81 cm2) compa-
rados aos obtidos com βx34 = 0,628 mostram uma pequena redução 
da altura que em alguns casos pode ser interessante, ou até mes-
mo necessária. A seção de aço triplicou (10,64 para 29,81 cm2), ou 
seja, um aumento considerável, mas nada absurdo como os 436 
cm2 obtidos para βx = 0,98.
IMPORTANTE!
Concluindo essa pequena discussão, estabeleçamos o seguinte: o 
aumento significativo da seção de aço e a ruptura por esmagamento 
do concreto inviabilizam o dimensionamento no domínio 4, portanto, 
não se dimensiona no domínio 4. Mas e aquela pequena redução de 
5 a 10% na altura útil que o domínio 4 nos propicia? Como será visto 
adiante, isso será possível por meio da armadura dupla.
IMPORTANTE!
Domínio 2 SUBarmadas: pouco aço MUIIITO CONCRETO
Domínio 3 NORMALMENTE armadas: aço e concreto normais
Domínio 4 SUPERarmadas: MUIIITO AÇO e pouco concreto
152 UNIUBE
A Figura 50 apresenta as seções transversais com os resultados 
dos cálculos efetuados. As soluções 01 e 05 feitas com objetivos 
meramente didáticos foram descartadas por apresentarem resulta-
dos absurdos e, para representar um dimensionamento dentro do 
domínio 2 foi acrescentada uma solução com βx = 0,05. A seção de 
aço é representada por um círculo de área equivalente.
Essa figura explicita com bastante clareza as equações de equilíbrio 
no dimensionamento do concreto e o dimensionamento em cada do-
mínio. O domínio dois, por exemplo, usa pouco a resultante das ten-
sões e “abusa” do braço de alavanca para o momento reativo. 
Analogamente, no domínio 4 ocorre o inverso. Nesse domínio 
têm-se as maiores profundidades da linha neutra (x34 ≤ x ≤. d) 
e, consequentemente, os blocos de tensões de maior altura (y 
= 0,8 x) e as maiores resultantes do concreto comprimido, im-
plicando em maiores resultantes do aço tracionado. Conforme a 
equação 8 ( . . .f f cc stM R z R zγ = = ), como Rcc = Rst são maiores, 
o braço z = d-y/2 sendo inversamente proporcional, é pequeno, 
o que explica as menores alturas no domínio 4.
 UNIUBE 153
Figura 50 – Representação das seções transver-
sais calculadas nos domínios 2, 3 e 4 
Fonte: o autor
4.7 Durabilidade das estruturas de concreto
Antes de prosseguirmos no equacionamento do concreto armado 
precisamos ver melhor essa questão da durabilidade do concreto 
armado. Esse conceito de durabilidade foi incluído na NBR 6118 
(2003), pois até então a norma de concreto tinha como caracterís-
tica o estado limite último, ou seja, uma série de regulamentações 
para que os elementos de concreto armado não entrassem em 
154 UNIUBE
colapso, não chegassem à ruptura. A partir de 2003, esta norma 
adotou a premissa de que a estrutura de concreto além de não 
atingir o estado limite último, seja durável, ou seja, ao longo de sua 
vida útil conserve suas características de segurança, estabilidade 
e aptidão à utilização para a qual foi projetada.
Observa-se que o conceito de vida útil implica na utilização ade-
quada e em manutenções periódicas que devem ser prescritos 
pelo projetista e pelo construtor (manual de utilização – conforme 
item 25.4 da NBR 6118 (2003)).
4.7.1 Agressividade do ambiente
A exposição da estrutura à ação do meio ambiente está sujeita 
à agressividade ambiental por meio de ações físicas e químicas, 
por exemplo, regiões industriais, regiões próximas ao litoral etc. A 
Tabela 13 apresenta a classificação da agressividade ambiental.
Tabela 13 – Classes de agressividade ambiental 
Classe de 
agressivida-
de ambiental
Agressividade Classificação geral do 
tipo de ambiente para 
efeito de projeto
Risco de deterio-
ração da estrutura
I Fraca
Rural
Insignificante
Submersa
II Moderada Urbana1, 2 Pequeno
III Forte
Marinha
Grande
Industrial
IV Muito forte Industrial 1,3 Elevado
Respingos de maré
Fonte: NBR 6118. (2003) - Tabela 6.1
 UNIUBE 155
No desenvolvimento do projeto devem ser adotados alguns crité-
rios visando a durabilidade da estrutura, por exemplo:
• devem-se tomar os cuidados necessários para evitar o acú-
mulo de águas de chuva ou de águas de limpeza e lavagem, 
sobre as superfícies das estruturas de concreto, assim como 
a proteção das juntas de movimento ou de dilatação, os topos 
de platibandas, paredes, beirais etc. 
• deve-se também evitar formas arquitetônicas e estruturais 
que possam reduzir a durabilidade da estrutura e prever aces-
sos para inspeção nas partes da estrutura que necessitem 
manutenção, tais como: aparelhos de apoio, caixões, inser-
tos, impermeabilizações e outros.
A. Qualidade do concreto de cobrimento
A durabilidade das estruturas é altamente dependente das carac-
terísticas do concreto e da espessura e qualidade do concreto do 
cobrimento da armadura. A relação água/cimento tem grande influ-
ência na resistência à compressão e na durabilidade do concreto. 
A Tabela 14 fornece os valores máximos da relação água/cimento 
para as diferentes classes de agressividade.
156 UNIUBE
Tabela 14 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto 
Concreto Armado Classe de agressividade (Tabela 13)
I II III IV
Relação água/cimento em massa ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45
Classe de concreto (NBR 8953) ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40
Fonte: NBR 6118. (2003) - Tabela 7.1
B. Cobrimento (proteção) da armadura
A proteção da armadura visa principalmente evitar o processo de cor-
rosão dos aços, que ocorre com a simples umidade do ar, compro-
metendo a vida útil da estrutura. Esta proteção se aplica a qualquer 
barra da armadura, inclusive as de distribuição, de montagem e estri-
bos e, normalmente, é feita com uma camada de concreto com uma 
espessura mínima em função da classe de agressividade ambiental. 
A Tabela 15 fornece os cobrimentos nominais, para estruturas em con-
creto armado, em função da agressividade ambiental.
cobrimento nominal = cobrimento mínimo + tolerância de execução
cnom = cmin + ∆c
Nas obras correntes o valor de ∆c (tolerância de execução) deve ser 
maior ou igual a 10 mm permitindo-se a redução para 5 mm quando 
ficar explícito nos desenhos de projeto a obrigatoriedade de controles 
de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medi-
das durante a execução (exigências de controle rigoroso).
 UNIUBE 157
Tabela 15 – Cobrimentos nominais (∆c = 10mm) referentes à classe de agressi-
vidade ambiental 
Componente ou 
elemento de con-
creto armado 
Classe de agressividade ambiental (Tabela 13)
I II III IV
Cobrimento nominal mm
Laje 20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Fonte: NBR 6118. (2003) - Tabela 7.2
O cobrimento nominal mínimo para qualquer barra da armadura 
deve ser:
a. cnom ≥ φbarra; 
b. cnom ≥ φfeixe = φn = φ√n
c. cnom ≥ 0,5 φbainha.
d. dmáx ≤ 1,2 cnom
Nas lajes e vigas revestidas com argamassa de contrapiso, com 
revestimentos finais de cerâmica, carpete e madeira, as exigências 
da Tabela 15 para cobrimentos da face superior de lajes e vigas 
podem ser substituídas pelos cobrimentos nominais dados em a), 
b), c) e d), respeitado um valor mínimo ≥ 15 mm.
Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de 
tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de 
158 UNIUBE
efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente 
agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm.
Em condiçõesde exposição adversas devem ser tomadas medidas 
especiais de proteção e conservação do tipo: aplicação de reves-
timentos hidrofugantes e pinturas impermeabilizantes sobre as su-
perfícies do concreto, revestimentos de argamassas, de cerâmicas 
ou outros sobre a superfície do concreto, galvanização da armadu-
ra, proteção catódica da armadura e outros.
Para que o posicionamento da armadura dentro da forma não seja 
alterado, mesmo durante a concretagem e vibração do concreto, 
conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto, é 
feito usando distanciadores, vistos anteriormente no Capítulo III.
4.8 Detalhamento da armadura na seção
Já vimos que a NBR 7480 (1996) especifica as barras e fios de aço 
destinados a armaduras de concreto armado. Em conformidade 
com essa norma a Tabela 16 apresenta os diâmetros, suas massas 
e seções das barras. 
Determinada a seção de aço As, deve-se transformar essa arma-
dura em um número de barras com seção maior ou igual à seção 
de aço calculada e distribuí-las na seção. Essas barras podem ser 
isoladas, normalmente usadas, ou agrupadas em duas, três ou 
quatro barras formando um feixe.
Quando agrupadas em feixes elas são consideradas como 
uma barra isolada com diâmetro igual ao do círculo de área 
 UNIUBE 159
equivalente, sendo dado então, o mesmo tratamento das barras. 
A Tabela 17 apresenta as áreas e diâmetros equivalentes dos 
feixes permitidos por norma. 
Por exemplo, consideremos um feixe formado por três barras de 
12,5 mm.
Tabela 16 – Tabela de ferros 
φ massa Área em função do número de barras
mm kg/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 1,154 0,20 0,39 0,59 0,78 0,98 1,18 1,37 1,57 1,76 1,96
- 3,0 5,5 8,0 10,5 13,0 15,5 18,0 20,5 23,0
6,3 0,245 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,5 2,81 3,12
- 3,3 5,9 8,5 11,2 13,8 16,4 19,0 21,7 24,3
8 0,395 0,5 1,01 1,51 2,01 2,52 3,02 3,52 4,02 4,53 5,03
- 3,6 6,4 9,2 12 14,8 17,6 20,4 23,2 26
10 0,617 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,5 6,28 7,07 7,85
- 4 7 10 13 16 19 22 25 28
12,5 0,963 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,27
- 4,5 7,8 11 14,3 17,5 20,8 24 27,3 30,5
16 1,578 2,01 4,02 6,03 8,04 10,06 12,07 14,08 16,09 18,1 20,11
- 5,2 8,8 12,4 16 19,6 23,2 26,8 30,4 34
20 2,466 3,14 6,28 9,43 12,57 15,71 18,85 21,99 25,14 28,28 31,42
160 UNIUBE
- 6 10 14 18 22 26 30 34 38
22 2,984 3,8 7,6 11,4 15,2 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01
- 6,6 11 15,4 19,8 24,2 28,6 33 37,4 41,8
25 3,853 4,91 9,82 14,73 19,64 24,55 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09
- 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
32 6,313 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,29 64,34 72,38 80,42
- 9,6 16 22,4 28,8 35,2 41,6 48 54,4 60,8
40 9,865 12,57 25,13 37,7 50,26 62,83 75,4 87,96 100,53 113,09 125,66
- 12 20 28 36 44 52 60 68 76
Fonte: NBR 7480
Tabela 17 – Barras agrupadas em feixes 
 UNIUBE 161
Fonte: o autor
4.9 A altura e a altura útil
É importante que se diferencie o conceito de “altura” e “altura útil”. 
A altura é a espessura total da laje, da viga ou de um elemento 
estrutural qualquer, enquanto a altura útil é a distância do centro 
de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento. A 
Figura 51 exemplifica para o caso das lajes e das vigas, a diferença 
entre estas duas “alturas”, ou seja:
cgh d y= + Equação 12
Onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a 
borda tracionada.
Figura 51 – Centro de massa (ou de gravidade) da armadura em lajes e vigas 
Fonte: o autor
Obs.: Não se fará distinção entre centro de gravidade, de massa ou 
centroide da seção, pois todas as barras têm o mesmo peso especí-
fico (do aço) e são representadas na seção transversal do elemento.
Normalmente, adotam-se para as alturas das vigas valores múltiplos 
162 UNIUBE
de 5,0 cm e, para as lajes, valores múltiplos de 0,5 cm.
Para melhor entendimento desta variável “ycg”, a Figura 52 detalha 
a seção da viga anterior.
Figura 52 – Detalhamento do ycg da armadura em vigas 
Fonte: o autor
Conforme a NBR 6118 (2003) – itens 18.2.1 e 18.3.2.2, o arranjo 
das armaduras além de atender à sua função estrutural deve pos-
sibilitar condições adequadas de execução, particularmente com 
relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Dessa for-
ma, os espaços devem prever a introdução de vibradores, impedir 
a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior 
do elemento estrutural. A Figura 53 mostra o detalhamento de uma 
seção em relação aos espaçamentos das barras.
IMPORTANTE!
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudi-
nais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou su-
perior ao maior dos seguintes valores:
a) na direção horizontal (eh):
 UNIUBE 163
20 mm;
diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado.
he

≥ 


b) na direção vertical (ev):
20 mm;
diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
 0,5 vezes o diâmetro máximo do agregado.
ve

≥ 


Figura 53 – Detalhamento transversal – espaçamento entre barras 
Fonte: o autor
O centro de massa das barras é determinado conforme os concei-
tos ministrados em “Mecânica dos Sólidos”. O diâmetro do estribo 
será visto mais adiante no tópico Cisalhamento, sendo normalmen-
te usados, para as vigas de edifícios, ferros de 5,0 ou 6,3 mm. 
Vamos exemplificar o cálculo do centro de massa da armadura.
Para a seção da figura anterior, suponhamos que a primeira cama-
da seja composta por 2 φ 12,5 mm (nas extremidades) e 1 φ 10,0 
mm (no centro); e a segunda camada por 2 φ 10,0 mm.
164 UNIUBE
Nesse exemplo, os espaçamentos vertical e horizontal serão ado-
tados iguais a 2,0 cm e como eixo de referência, para o cálculo do 
centro de massa, será adotado a borda inferior da primeira camada.
Conforme a Figura 54, as barras alinhadas na horizontal formam 
uma seção única Asi, sendo a distância do seu centro de massa ao 
eixo de referência yi, calculada conforme segue:
Figura 54 – Determinação do “cg” d armadura 
Fonte: o autor
Asi barras seção yi
As1 2 φ 12,5 mm 2,5 cm2 0,625 cm
As2 1 φ 10,0 mm 0,8 cm2 0,5 cm
As3 2 φ 10,0 mm 1,6 cm2 3,75 cm
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3. . . .sTOTAL s s sA cg A y A y A y= + +
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3. . . 7,9625 1,625 cm
4,9
s s s
sTOTAL
A y A y A y
cg
A
+ +
= = =
A seguir, apresentamos na Tabela 18, as combinações usuais de fer-
ros para edifícios, de barras de diâmetros iguais ou diferentes, e dis-
postas em uma ou duas camadas. Para cada combinação de barras, 
apresentamos a largura necessária b0 (face externa a face externa das 
 UNIUBE 165
barras), o valor de As apenas para a camada inferior e o valor de As 
para as duas camadas, a armadura total, e o centro de massa da ar-
madura (cg) também para a camada inferior e para as duas camadas. 
Observe que a opção pelo “cg” deve-se ao fato de que este depende 
apenas da armadura, enquanto o “ycg” depende também do cobrimen-
to “c” e do diâmetro do estribo “φt”, que são variáveis.
Tabela 18 – Tabela de Ferros – Combinações usuais de armaduras em edifícios 
Camada inferior
Camada superior - duas barras no diâmetro indicado
Valores de As e cg (correspondentes às duas camadas)
φ b0 As 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,0
2φ6,3 3,26
0,62
0,32
1,25
1,63
3φ6,3 5,89
0,94
0,32
1,56
1,37
2φ8,0 3,60
1,01
0,40
1,63
1,44
2,01
1,80
2φ8,0 +1φ6,3 6,23
1,32
0,38
1,94
1,26
2,32
1,60
3φ8,0 6,40
1,51
0,40
2,13
1,20
2,52
1,52
4φ8,0 9,20
2,01
0,40
2,64
1,04
3,02
1,33
2f10,0 4,00
1,57
0,50
2,58
1,63
3,14
2,00
166 UNIUBE
2f10,0 +1φ8,0 6,80
2,07
0,48
3,08
1,43
3,64
1,78
2f10,0 +1f12,5,0 7,25
2,80
0,55
4,37
1,70
2f10,0 +2φ8,0 9,60
2,58
0,46
3,58
1,29
4,15
1,61
3f10,0 7,00
2,36
0,50
3,36
1,37
4,93
1,70
4f10,0 10,00
3,14
0,50
4,15
1,20
4,71
1,50
2f12,5 4,50
2,45
0,63
4,02
1,85
4,91
2,25
2f12,5 +1f10,0 7,50
3,24
0,59
4,81
1,62
5,69
2,01
2f12,5 +1f16 8,10
4,46
0,70
6,92
1,95
2f12,5 +2f10,0 10,50
4,02
0,58
5,59
1,47
6,48
1,83
3f12,5 7,75
3,68
0,63
5,25
1,56
6,141,93
4f12,5 11,00
4,91
0,63
6,48
1,39
7,36
1,71
2f16,0 5,20
4,02
0,80
6,47
2,10
8,04
2,60
 UNIUBE 167
2f16,0 +1f12,5 8,45
5,25
0,76
7,70
1,86
9,27
2,34
2f16,0 +1f20 9,20
7,16
0,89
11,18
2,30
2f16,0 + 2f12,5 11,70
6,47
0,73
8,93
1,69
10,49
2,14
3f16,0 8,80
6,03
0,80
8,48
1,79
10,05
2,24
4f16,0 12,40
8,04
0,80
10,49
1,60
12,06
2,00
Seção de ferros em cm2 - centro de massa da armadura em cm
Camada inferior
Camada superior - duas barras no diâmetro indicado
Valores de As e cg (correspondentes às duas camadas)
φ b0 As 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,0
2f20,0 6,00
6,28
1,00
10,30
2,48
12,57
3,00
2f20,0 +1f16,0 9,60
8,29
0,95
12,31
2,21
14,58
2,70
2f20,0 +1f22 10,60
10,09
1,04
16,37
2,71
2f20,0 +2f16,0 13,20
10,30
0,92
14,32
2,01
16,59
2,47
3f20,0 10,00
9,43
1,00
13,45
2,14
15,71
2,60
168 UNIUBE
4f20,0 14,00
12,57
1,00
16,59
1,92
18,85
2,33
2f22 6,60
7,60
1,10
13,89
3,05
15,20
3,30
2f22 +1f20,0 10,80
10,74
1,07
17,03
2,67
18,35
2,91
2f22 +1f25 11,90
12,51
1,16
20,11
3,03
2f22 +2f20,0 15,00
13,89
1,05
20,17
2,41
21,49
2,62
3f22 11,00
11,40
1,10
17,69
2,63
19,01
2,86
4f22,2 15,40
15,20
1,10
21,49
2,36
22,81
2,57
2f25,0 7,50
9,82
1,25
17,42
3,37
19,64
3,75
2f25,0 +1f22 12,20
13,62
1,21
21,22
2,96
23,44
3,32
2f25,0 +2f22 16,90
17,42
1,18
25,02
2,67
27,24
3,01
3f25,0 12,50
14,73
1,25
22,33
2,90
24,55
3,25
4f25,0 17,50
19,64
1,25
27,24
2,60
29,45
2,92
Seção de ferros em cm2 - centro de massa da armadura em cm
Fonte: o autor
 UNIUBE 169
Camada inferior (trabalha-se apenas com uma camada).
Camada superior (trabalha-se com as duas camadas).
Número superior (As) - seção de aço
Número inferior (cg) - centro de massa da armadura.
cg ty cg c φ= + + e cgh d y= +
0 hb eφ= Σ + Σ e 0 2 2w tb b c φ= + + 
Sendo:
c = cobrimento,
φt = diâmetro do estribo e φl = diâmetro da armadura longitudinal (tração).
Um último exemplo para vermos a relação entre a solicitação e o compor-
tamento da seção. Agora, vamos fixar a seção e variar a carga aplicada 
na viga para analisarmos sua seção mais solicitada (meio do vão).
Considere-se uma viga biapoiada com vão de 4,0 m, submetida a 
uma carga distribuída p. Para o concreto adota-se fck = 20 MPa, 
Aço CA 50, e seção 15x45 (bw = 15 e h = 45 cm).
170 UNIUBE
Veja o comportamento de βx (profundidade da linha neutra) e da 
armadura, para valores crescentes de p (seção 15x45, peso pró-
prio de ≈ 1,69 kN/m). À medida que a solicitação aumenta, βx au-
menta, a resultante de concreto comprimido é maior e, portanto, a 
área de aço é maior (Rst = Rcc).
Tabela 19 – Dimensionamento de uma seção 15x45 cm variando a solicitação 
p
kN/m
Mf
kN.m
Mfd
kN.cm
d ≈ βx εs
‰
σs
(kN/
cm2)
As
(cm2)
2,5 5 700 42 0,028 10 43,478 0,39
5,0 10 1400 42 0,056 10 43,478 0,79
7,5 15 2100 42 0,085 10 43,478 1,20
10,0 20 2800 42 0,114 10 43,478 1,60
12,5 25 3500 42 0,145 10 43,478 2,04
15,0 30 4200 42 0,176 10 43,478 2,48
17,5 35 4900 42 0,208 10 43,478 2,93
20,0 40 5600 41,5 0,248 10 43,478 3,45
20,815 41,63 5828,2 41,5 0,259 10 43,478 3,60
22,5 45 6300 41,5 0,283 2,07 a 10 43,478 3,94
25,0 50 7000 41,5 0,320 2,07 a 10 43,478 4,45
27,5 55 7700 40,5 0,380 2,07 a 10 43,478 5,16
30,0 60 8400 40,5 0,423 2,07 a 10 43,478 5,74
32,5 65 9100 40,5 0,469 2,07 a 10 43,478 6,37
35,0 70 9800 40 0,535 2,07 a 10 43,478 7,17
37,5 75 10500 40 0,589 2,07 a 10 43,478 7,90 As*
39,139 78,28 10959 40 0,628 2,07 a 10 43,478 8,42 (cm2)
40,0 80 11200 40 0,649 0,00189 39,690 9,53 8,727
41,0 82 11480 40 0,674 0,00169 35,490 11,07 9,076
42,0 84 11760 39 0,764 0,00108 22,680 19,14 10,038
43,0 86 12040 39 0,798 0,00089 18,690 24,26 10,483
44,0 88 12320 39 0,834 0,00070 14,700 32,24 10,966
 UNIUBE 171
45,0 90 12600 39 0,874 0,00050 10,500 47,30 11,489
46,0 92 12880 39 0,919 0,00031 6,510 80,22 12,090
As* - armadura calculada com σs = fyd apenas para evidenciar o 
aumento da seção de aço As devido à redução da tensão do aço. 
Fonte: o autor
IMPORTANTE!
Veja que cada linha da Tabela 19 é um exercício, pasme... com resposta!
Observe que neste exemplo foi dada a altura da viga e, neste caso, o 
valor da altura útil deve ser estimado e, posteriormente, conferido. Veja:
a. Para uma carga de 5,0 kN/m obteve-se As = 0,79 cm2 e, confor-
me a Tabela 18 para 3 φ 6,3 As = 0,94, b0 = 5,89 e cg = 0,32.
Como 0 2 2w tb b c φ= + + , b0 ≤ 15 – 2 (2,0 + 0,5)
∴ b0 ≤ 10,0 cm ∴ ok!!! As 3 barras cabem em 1 camada
Como cg ty cg c φ= + + ycg = 0,32 + 2,0 + 0,5 = 2,82 cm
cgh d y= + ∴ cgd h y≤ − ∴ d ≤ 45 – (≈3,0) = 42,0 cm
 ∴ ok! Foi adotado um valor correto para a altura útil.
172 UNIUBE
b. Para uma carga de 25,0 kN/m obteve-se As = 4,45 cm2 e, 
conforme a Tabela 18:
Para (4 φ 10) + (2 φ 10) As = 4,71 cm2
b0 = 10 ≤ 10,0 cm e cg = 1,5 ∴ d ≤ 45 – 4 = 41,0 cm ok!
Para (2 φ 12,5) + (2 φ 12,5) As = 4,91 cm2 
b0 = 4,5 ≤ 10,0 cm e cg = 2,25 ∴ d ≤ 45–4,75 ≈ 40 cm ok!
Para (2 φ 12,5 + 1 φ 10) + (2 φ 10) As = 4,81 cm2
b0 = 7,5 ≤ 10,0 cm e cg = 1,62 ∴ d ≤ 45–4,12 ≈ 40,5 cm ok!
Para (2 φ 12,5 + 1 φ 16) As = 4,46 cm2
b0 = 8,1 ≤ 10,0 cm e cg = 0,70 ∴ d ≤ 45–3,2 ≈ 41,5 cm ok!
Ainda é um pouco cedo para discutirmos qual a melhor das opções 
anteriores, mas a princípio, o valor de d deveria ser alterado para 
viabilizar a primeira ou a terceira alternativa por serem mais eco-
nômicas. A quarta alternativa é a única com o valor correto de d, 
porém, a mais antieconômica.
Como parâmetro para adoção da armadura, a escolha mais viável 
tanto técnica quanto econômica é a de barras de menor diâmetro, ou 
seja, um número de barras próximo ao que preenche a primeira ca-
mada e mais duas barras na segunda camada. A última alternativa é a 
que mais se aproximou da seção calculada para a seção transversal, 
mas longitudinalmente, é a que dará maior peso de aço.
 UNIUBE 173
Os exemplos apresentados na Tabela 19 mostram que o aumento 
do esforço solicitante tem como consequência o aumento do esfor-
ço reativo, ou seja: à medida que a solicitação aumenta, βx aumen-
ta, a resultante de concreto comprimido é maior e, portanto, a área 
de aço é maior (Rst = Rcc).
DICA 
A Figura 55 mostra a relação entre a seção de aço e o momento 
fletor característico apresentados na Tabela 19. Nessa figura é bas-
tante nítida a relação aproximadamente linear nos domínios 2 e 3 
(até Mf34 = 78,06 kN.m) e o crescimento exponencial da armadura 
no domínio 4.
174 UNIUBE
Figura 55 – Diagrama As x Mfk para uma seção transversal 15x45 
Fonte: o autor
Vamos analisar os exemplos efetuados para p = 39,03 e 43,0 kN/m 
apresentados na Tabela 19.
p
kN/m
Mf
kN.m
Mfd
kN.cm
d ≈ kc βx εs
‰
σs
(kN/cm2)
As
(cm2)
39,03 78,06 10928,4 40,0 2,196 0,628 2,07 a 10 43,478 8,419
43,0 86,0 12040 39,0 1,895 0,802 0,8641 18,146 25,117
Como vimos anteriormente, o aumento da solicitação implica em 
um aumento da resultante de concreto comprimido, ou seja, como 
Rcc = Ac.σc = (0,8.bw.x) . (0,85.fcd) o aumento da solicitação implica 
em um aumento da profundidade da linha neutra, pois a tensão de 
compressão do concreto (fcd) e a largura da seção (bw) são cons-
tantes. A Figura 56 apresenta as seções transversais dos exemplos 
 UNIUBE 175
analisados e mostra um fator relevante ao dimensionamento: o au-
mento da profundidade da linha neutra implica em uma redução do 
braço do momento reativo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .0,8. . 0,85 . 0,8. 2f f c c w cdM A z b x f d xγ σ= = −
Figura 56 – Situação esquemática das seções trans-
versais para βx = 0,628 e 0,802 
Fonte: o autor
O momento fletor teve um incremento de 78,06 para 86,0 kN.m (+ 
10%) correspondente ao aumento da área de concreto comprimido 
(bw . 0,8x) de 300 para 374,4 cm2 (+25%) e, à redução do braço dos 
momentos fletores de 30 para 26,5 cm (-11,67%). Observe que 1,25 
. 0,8833 ≅ 1,1, ou seja, a redução do braço do momento acarreta um 
aumento 25% na altura da área de concretocomprimido (bw é cons-
tante) para responder ao aumento de 10% no momento solicitante.
4.10 Armadura dupla
Antes de equacionarmos a armadura dupla voltemos ao exemplo 
176 UNIUBE
apresentado na Figura 56 para apresentarmos seu conceito. A so-
lução do problema com armadura simples inicia-se pela determi-
nação de βx por meio da equação 8 e, como βx > βx34, pela deter-
minação de εs usando a equação 10 e σs pela lei de Hooke, e 
finalmente determinar a armadura utilizando a equação 7. 
Nesse exemplo o momento fletor de 78,06 kN.m implicou em 
βx = βx34 e, portanto, qualquer incremento na solicitação implicará 
em βx > βx34, ou seja, a seção trabalhando no domínio 4 e, conse-
quentemente, com a redução na tensão do aço para 18,146 kN.cm 
e o aumento brutal da armadura. 
O aumento do momento fletor para 86,0 kN.m implicou em um 
aumento na altura do bloco de tensões do concreto comprimido 
(y = 0,8x) de aproximadamente 20 cm para y ≅ 24,96 cm, ou seja, 
um aumento de 4,96 cm e, portanto, um incremento na área igual 
a 15x4,96 = 74,4. Dessa forma, o incremento na resultante de con-
creto comprimido será:
R*cc = A*c * fcd = 74,4 * (0,85*2/1,4) ≅ 90,34 kN
O conceito da armadura dupla é o de manter a seção no domínio 
3, portanto com um braço de alavanca maior e com σs = fyd. O 
braço de alavanca maior implicará em uma resultante de compres-
são menor, porém superior à que o concreto comprimido poderá 
propiciar e, essa diferença será proporcionada por uma pequena 
armadura de compressão, pois esta trabalhará com um braço de 
alavanca maior que o do concreto. Veja o dimensionamento apre-
sentado nas Figuras 57 e 58.
 UNIUBE 177
Figura 57 – Armadura dupla: contribuição do concreto comprimido 
Fonte: o autor
Como se pode ver o concreto contribui com 10963,1 kN.cm para 
um momento solicitante total de 12040 kN.cm, ou seja, a igualdade 
colocada na Figura 57 está incorreta pois faltam 1076,9 kN.cm para 
que ela se verifique. Essa parcela de momento será fornecida por 
uma pequena quantidade de aço comprimido, assim, os momentos 
resistentes são mostrados na Figura 58.
Figura 58 – Armadura dupla: contribuição do aço comprimido 
178 UNIUBE
Fonte: o autor
Considerando cobrimento de 2,0 cm, estribos de 5,0 mm e barras 
de diâmetro inferior a 10 mm, dispostas em uma camada, adota-se 
d’ = 3,0 cm e z’ = d – d’ = 37 cm; e a seção de aço comprimido pode 
ser determinada por:
( )' ' '1076,9 . .s sM A zσ∆ = = 
' 21076,9 0,67 cm50 .37
1,15
sA = =
Até agora verificamos que para uma seção 15x45 cm, com fck = 
20 MPa e armada com aço CA 50, a resultante de concreto com-
primido (Rcc) correspondente a βx = β34 e a resultante de uma ar-
madura de compressão com seção igual a 0,67 cm2 produzem um 
momento resistente igual a 86,0 kN.m, ou seja, até aqui aplicamos 
a equação 0MΣ = . Se aplicarmos agora 0FxΣ = determinamos a 
armadura de tração.
Conforme apresentado na Figura 58 à seção relativa ao concreto com-
primido corresponde uma armadura de tração As1 e, à relativa ao aço 
comprimido corresponde uma armadura de tração As2, desse modo:
2
1 1
0,68. . . . 0,68.15.40.1,429.0,628. 8,42 cm
43,48
w cd x
s yd cc s
yd
b d fA f R A
f
β
= = = =
' ' 2
2 2. 0,67 cms yd sc yd yd s sA f R f f A A= = = =
Portanto: 
2
1 2 8, 42 0,67 9,09 cms s sA A A= + = + =
Neste exemplo foram adotados alguns valores que serão detalha-
dos adiante, por exemplo, f’yd = fyd, valores adotados para d’ etc. A 
 UNIUBE 179
adoção do mesmo valor da altura útil para ambos os casos, apesar 
da grande diferença entre as armaduras As1 e As2, explica-se pelo 
fato de que o valor de d refere-se à armadura As e não às suas 
parcelas (As = As1 + As2).
4.10.1 Armadura dupla - equacionamento
A armadura dupla, como o próprio nome diz, é o uso de duas ar-
maduras: uma de tração e outra de compressão. Como já foi visto, 
precisa-se distinguir a situação real e o modelo adotado para equa-
cioná-la. Na situação real tem-se a ocorrência apenas da armadura 
dupla, visto que, ao equacionarmos a armadura simples adotamos 
um modelo em que não se considerou os porta-estribos na região 
comprimida de concreto e, eles necessariamente estão lá, apenas 
foram considerados como armadura construtiva.
Já vimos o equacionamento do concreto armado para armadura 
simples e, as características desse dimensionamento nos domínios 
2, 3 e 4. Vimos também que, com a seção trabalhando no domínio 
4, tem-se uma seção superarmada na qual o aço, em excesso, é 
mal aproveitado ao trabalhar com tensões inferiores a fyd. Vimos 
ainda que nesse domínio a ruptura se dá por esmagamento do 
concreto, ou seja, uma ruptura sem “avisos”. Além disso, vimos 
também que no domínio 4 obtinham-se as menores alturas para 
a seção, ou seja, além de viabilizar pés direitos menores implica 
em menor área de formas e, portanto, seções mais econômicas. 
Nesses casos, em que se precisa das reduções de altura dadas 
180 UNIUBE
pelo dimensionamento no domínio 4, usa-se a armadura dupla.
O equacionamento da armadura dupla é análogo ao da armadu-
ra simples, inclusive, as deformações e tensões apresentadas na 
Figura 59 são as mesmas apresentadas na Figura 46. A diferença 
em relação à armadura simples é que agora vamos considerar a 
armadura de compressão (A‘s).
Figura 59 – Deformações e esforços internos resistentes na seção 
Fonte: o autor
Equações de Equilíbrio
Conforme o diagrama de esforços apresentado na Figura 59 (d):
0 0y x cc sc stF F R R RΣ = Σ = = + − Equação 13
( )0 ' . '
2 2f f cc sc st sc
y yMf M R d R d d R d R dγ    Σ = = − + − = − +   
    
Equação 14
Onde:
 UNIUBE 181
. .cc w cR b y σ= Resultante das tensões de compressão no concreto;
.st s sR A σ= Resultante das tensões de tração na armadura;
' '.sc s sR A σ= Resultante das tensões de compressão na armadura;
Mf Momento fletor característico que atua na seção em estudo.
Tem-se, então: 
' ' ' '. . . . 0,68. . . . . .w c s s s s w cd x s s s sb y A A b d f A Aσ σ σ β σ σ+ = ∴ + = 
Equação 15
( )' ' '. . .2f f w c s s
yM b y d A d dγ σ σ = − + − ∴ 
 
( ) ( )2 ' ' '. 0,68. . . . . 1 0,4. .f f w cd x x s sM b d f A d dγ β β σ= − + − Equação 16
' ' '.
2 2f f s s s s
y yM A d A dγ σ σ   = − + − ∴   
   
( ) ( )' ' '. . 1 0, 4. . 0, 4.f f s s x s s xM A A dγ σ β σ β= − + − Equação 17
Equações de compatibilidade
Do diagrama de deformações apresentado na Figura 59 (c), tem-se:
'
'
c s s
x d x x d
ε ε ε
= =
− −
 Equação 18
182 UNIUBE
Exemplo: Dimensionar a seção transversal para a 
viga biapoiada ao lado, adotando-se seção 15x45 
(bw = 15 e h = 45 cm), fck = 20 MPa e Aço CA 50.
Mf = 86,0 kN.m Mfd = 12040 kN.cm
Supondo armadura simples e d = 40 cm (ycg = 5,0 cm)
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= − βx ≅ 0,729
βx > βx34 = 0,628 → domínio 4 ∴ armadura dupla
Adotado d’ = 3,0 cm e βx = βx34 = 0,628
Equação 16
Equação 15
 UNIUBE 183
' '. 0,68. . . . .s s w cd x s sA b d f Aσ β σ= +
2. 366,14 29,13 395,27 9,09 cms sA Asσ = + = → =
Últimas considerações:
• Calculado anteriormente como armadura simples no domínio 4, 
obteve-se uma área de aço superior a 25 cm2 (178% a mais).
• Parte da armadura de compressão já está na seção, pois cal-
culada como armadura simples os porta estribos não foram 
considerados no cálculo.
• Finalmente, determinadas as armaduras As e A’s e escolhida 
a armadura a ser usada é preciso verificar a seção e, se os 
valores adotados para d e d’ estão corretos.
4.10.2 Valores de d’
O valor de d’ é sempre adotado pelo calculista, pois seu valor pou-
co se altera. Normalmente, a armadura de compressão é pequena, 
da ordem de 10 a 20% da armadura de tração, podendo ser dis-
posta, na maioria dos casos, em uma camada. Nos casos em que 
a armadura de compressão é disposta em uma camada, o valor de 
d’ é obtido pela soma dos valores do cobrimento, do estribo e da 
metade do diâmetro da armadura de compressão (φLC), ou seja:
184 UNIUBE
Observa-seque o cobrimento nominal depende da agressividade 
ambiental e o estribo, normalmente de 5,0 mm para vigas usuais, 
pode ter diâmetros de 6,3 ou 8,0 mm em vigas de edifícios e, de 10 
ou 12,5 em longarinas de pontes.
Nos casos de seções mais solicitadas e de menores larguras, nas 
quais é necessária a disposição da armadura em duas camadas, 
usa-se para d’ o mesmo critério usado para ycg e, então d’ poderá 
assumir valores de 4,0 a 5,0 cm.
4.10.3 Valores de 'sσ
O aço é um material com características isotrópicas, porém, no 
concreto armado suas tensões de serviço à compressão e à tração 
podem ser diferentes. Enquanto seus alongamentos são limitados 
a 10‰, seus encurtamentos são inferiores aos máximos permitidos 
pelo concreto, ou seja, 3,5‰, portanto, próximo do valor de ε’yd , 
que para o aço CA-50 é igual a 2,07‰. Para valores de εs inferiores 
a ε’yd , a tensão do aço é variável. A Figura 60 mostra o diagrama 
de deformações da seção de concreto armado.
 UNIUBE 185
Figura 60 – Deformações da armadura de compressão 
Fonte: o autor
Equação 18 
'
'
c s s
x d x x d
ε ε ε
= =
− − 
'
'
s c
x d
x
ε ε −=
Para a armadura dupla foi adotado βx = βx34 = 0,628 (CA-50) e, como εc 
= 3,5‰ a equação 18 possibilita verificar a possibilidade da ocorrência 
de valores de σs inferiores a fyd. Para isso, basta determinar os valores 
de d’ para que ε’s sejam inferiores a ε’yd = 2,07‰ (CA-50).
'
' 3,5 2,07 0,628 0,256 
3,5
c s
c
d x d dε ε
ε
− −
= = =
Como valores de d’ da ordem de 25% da altura útil são absurdos, 
impossíveis de ocorrer, comprova-se que a armadura de compres-
são sempre terá |σ’s| = σs = f’yd. Na Tabela 20 são apresentados os 
valores das constantes dos aços.
186 UNIUBE
Tabela 20 – Valores das constantes dos aços. 
Aço CA fyk fyd εyd βx34
(kN/cm2) (kN/cm2) (‰)
25 25 21,739 1,035 0,7717
50 50 43,478 2,070 0,6283
60 60 52,174 2,484 0,5848
Fonte: o autor
4.11 Cálculo mediante tabelas
O uso das tabelas para o dimensionamento das seções de concre-
to armado visa dar rapidez ao cálculo e, o conhecimento da elabo-
ração dessas tabelas também pode ser interessante para a elabo-
ração de pequenos programas e planilhas.
4.11.1 Seção retangular com armadura simples
Vamos rever os conceitos e as equações para armadura simples:
Equação 7
0,68. . . . .w cd x s sb d f Aβ σ=
Equação 8
( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
Equação 10
 UNIUBE 187
1
1
c s c x x
x c s s c
c s x xx d x
ε ε ε β β
β ε ε ε ε
ε ε β β
−
= = = =
− + −
No domínio 2: εs = cte. = 10,0 ‰ e 0 ≤ εc ≤ 3,5‰
Como εs = cte. = 10,0 ‰ todos os aços trabalham com σs = fyd.
No domínio 3: εyd ≤ εs ≤ 10,0 ‰ e εc = cte. = 3,5‰
εs é variável, sendo que: εs,23 = 10,0 ‰ e εs,34 = εyd, ou seja, todos 
os aços trabalham com σs = fyd, porém, ao contrário do domínio 2 
onde εc variava e εs era constante, no domínio 3, εs é variável e, 
como cada aço tem um valor diferente para εyd, cada aço terá um 
valor de β34 diferente.
Vamos agora analisar as equações:
Veja a equação 8: 
( )20,68. . . . 1 0,4.d w cd x xMf b d f β β= −
( )
2.
0,68. . 1 0,4.
w c
c
d ck x x
b d k
Mf f
γ
β β
= =
− Equação 19
Em um membro colocamos as características geométricas da viga e o 
momento solicitante e no outro os coeficientes de segurança (majora-
ção das solicitações e minoração do concreto) e os valores referentes 
188 UNIUBE
à resistência característica do concreto e à posição da linha neutra. E 
ambos os membros iguais a KC, o coeficiente a ser tabelado.
Veja agora a equação 7:
0,68. . . . .w cd x s sb d f Aβ σ=
Complicou, não? A intenção era novamente dar ao aço o mesmo 
tratamento que foi dado ao concreto, por meio da criação de um 
coeficiente KS, mas a equação 7 está meio complicada. A solução 
seria usar a equação 9 (somatória de momentos em relação Rcc), 
que, como foi visto anteriormente, é redundante, podendo ser obti-
da pela substituição da equação (7) na (8).
(equação 9)
( ) ( ). . . . 1 0,4.f f s s xM A dγ σ β= −
Agora vamos criar o coeficiente KS 
( ),
. 1
. 1 0, 4.
s
f d s x
A d
M σ β
=
− , ou seja: ( ). 1 0,4.
s
s
yk x
K e
f
γ
β
=
−
f
s s
M
A K
d
= Equação 20
Agora criar a Tabela 21 em que para diferentes valores de βx 
 UNIUBE 189
tabelamos Kc em função da classe do concreto (fck) e Ks em função 
do tipo do aço (fyk).
Observações:
• esta tabela é para os domínios 2 e 3. As seções com βx > βx34 
serão dimensionadas para armadura dupla.
• alguns autores usam o bloco de tensões (y), outros a profun-
didade da linha neutra (x) e, a letra β pode ser substituída pela 
letra k. etc.
• o valor de βx pode ser obtido a partir de kc.
2
.2,35294 2,352941,25 1,25 1 1,25 1,25 1
.. .
d
x
c cdw cd
Mf
k fb d f
β = − − = − −
Equação 21
Tabela 21 – Valores de kc e ks 
2. .
100.
w d
c s d f k
d
b d Mfk As k Mf Mf
Mf d
γ= = =
bw e d em cm, As em cm2, Mfd em kN.cm
190 UNIUBE
Valores de kc f(βx, fck) Valores de ks f(βx, fyk)
βx C20 C25 C30 C40 C50 CA 25 CA 50 CA 60
0,02 51,89 41,51 34,59 25,94 20,75 4,64 2,32 1,93
D
O
M
ÍN
IO
 2
0,03 34,73 27,78 23,15 17,37 13,89 4,66 2,33 1,94
0,04 26,15 20,92 17,44 13,08 10,46 4,67 2,34 1,95
0,05 21,01 16,81 14,01 10,50 8,40 4,69 2,35 1,96
0,06 17,58 14,06 11,72 8,79 7,03 4,71 2,36 1,96
0,07 15,13 12,10 10,09 7,56 6,05 4,73 2,37 1,97
0,08 13,29 10,63 8,86 6,65 5,32 4,75 2,38 1,98
0,09 11,87 9,49 7,91 5,93 4,75 4,77 2,39 1,99
0,10 10,72 8,58 7,15 5,36 4,29 4,79 2,40 2,00
0,11 9,79 7,83 6,53 4,89 3,92 4,81 2,41 2,00
0,12 9,01 7,21 6,01 4,51 3,60 4,83 2,42 2,01
0,13 8,35 6,68 5,57 4,18 3,34 4,85 2,43 2,02
0,14 7,79 6,23 5,19 3,89 3,12 4,87 2,44 2,03
0,15 7,30 5,84 4,87 3,65 2,92 4,89 2,45 2,04
0,16 6,87 5,50 4,58 3,44 2,75 4,91 2,46 2,05
0,17 6,50 5,20 4,33 3,25 2,60 4,94 2,47 2,06
0,18 6,16 4,93 4,11 3,08 2,47 4,96 2,48 2,07
0,19 5,86 4,69 3,91 2,93 2,35 4,98 2,49 2,07
0,20 5,59 4,48 3,73 2,80 2,24 5,00 2,50 2,08
0,21 5,35 4,28 3,57 2,68 2,14 5,02 2,51 2,09
0,22 5,13 4,10 3,42 2,57 2,05 5,04 2,52 2,10
0,23 4,93 3,94 3,29 2,46 1,97 5,07 2,53 2,11
0,24 4,74 3,80 3,16 2,37 1,90 5,09 2,54 2,12
0,25 4,58 3,66 3,05 2,29 1,83 5,11 2,56 2,13
0,259 4,43 3,55 2,96 2,22 1,77 5,13 2,57 2,14
0,26 4,42 3,54 2,95 2,21 1,77 5,13 2,57 2,14
D
O
M
ÍN
IO
 3
0,27 4,27 3,42 2,85 2,14 1,71 5,16 2,58 2,15
0,28 4,14 3,31 2,76 2,07 1,66 5,18 2,59 2,16
0,29 4,02 3,21 2,68 2,01 1,61 5,20 2,60 2,17
0,30 3,90 3,12 2,60 1,95 1,56 5,23 2,61 2,18
0,31 3,79 3,03 2,53 1,90 1,52 5,25 2,63 2,19
0,32 3,69 2,95 2,46 1,84 1,48 5,28 2,64 2,20
0,33 3,59 2,88 2,40 1,80 1,44 5,30 2,65 2,21
0,34 3,50 2,80 2,34 1,75 1,40 5,32 2,66 2,22
0,35 3,42 2,74 2,28 1,71 1,37 5,35 2,67 2,23
0,36 3,34 2,67 2,23 1,67 1,34 5,37 2,69 2,24
0,37 3,27 2,61 2,18 1,63 1,31 5,40 2,70 2,25
0,38 3,19 2,56 2,13 1,60 1,28 5,42 2,71 2,26
0,39 3,13 2,50 2,08 1,56 1,25 5,45 2,73 2,27
0,40 3,06 2,45 2,04 1,53 1,23 5,48 2,74 2,28
 UNIUBE 191
Tabela 21 – Valores de kc e ks – Continuação
Valores de kc f(βx, fck) Valores de ks f(βx, fyk)
βx C20 C25 C30 C40 C50 CA 25 CA 50 CA 60
0,41 3,00 2,40 2,00 1,50 1,20 5,50 2,75 2,29
D
O
M
ÍN
IO
 3
0,42 2,95 2,36 1,96 1,47 1,18 5,53 2,76 2,30
0,43 2,89 2,31 1,93 1,45 1,16 5,56 2,78 2,31
0,44 2,84 2,27 1,89 1,42 1,14 5,58 2,79 2,33
0,45 2,79 2,23 1,86 1,39 1,12 5,61 2,80 2,34
0,46 2,74 2,19 1,83 1,37 1,10 5,64 2,82 2,35
0,47 2,70 2,16 1,80 1,35 1,08 5,67 2,83 2,36
0,48 2,65 2,12 1,77 1,33 1,06 5,69 2,85 2,37
0,49 2,61 2,09 1,74 1,31 1,05 5,72 2,86 2,38
0,50 2,57 2,06 1,72 1,29 1,03 5,75 2,88 2,40
0,51 2,54 2,03 1,69 1,27 1,01 5,78 2,89 2,41
0,52 2,50 2,00 1,67 1,25 1,00 5,81 2,90 2,42
0,53 2,46 1,97 1,64 1,23 0,99 5,84 2,92 2,43
0,54 2,43 1,95 1,62 1,22 0,97 5,87 2,93 2,44
0,55 2,40 1,92 1,60 1,20 0,96 5,90 2,95 2,46
0,56 2,37 1,90 1,58 1,18 0,95 5,93 2,96 2,47
0,57 2,34 1,87 1,56 1,17 0,94 5,96 2,98 2,48
0,58 2,31 1,85 1,54 1,16 0,92 5,99 2,99 2,50
0,585 2,30 1,84 1,53 1,15 0,92 6,01 3,00 2,50
0,59 2,28 1,83 1,52 1,14 0,91 6,02 3,01
0,60 2,26 1,81 1,50 1,13 0,90 6,053,03
0,61 2,23 1,79 1,49 1,12 0,89 6,08 3,04
0,62 2,21 1,77 1,47 1,10 0,88 6,12 3,06
0,628 2,19 1,75 1,46 1,09 0,88 6,14 3,07
0,63 2,18 1,75 1,46 1,09 0,87 6,15
0,64 2,16 1,73 1,44 1,08 0,86 6,18
0,65 2,14 1,71 1,43 1,07 0,86 6,22
0,66 2,12 1,70 1,41 1,06 0,85 6,25
0,67 2,10 1,68 1,40 1,05 0,84 6,28
0,68 2,08 1,66 1,39 1,04 0,83 6,32
0,69 2,06 1,65 1,37 1,03 0,82 6,35
0,70 2,04 1,63 1,36 1,02 0,82 6,39
0,71 2,02 1,62 1,35 1,01 0,81 6,42
0,72 2,01 1,61 1,34 1,00 0,80 6,46
0,73 1,99 1,59 1,33 1,00 0,80 6,50
0,74 1,98 1,58 1,32 0,99 0,79 6,53
0,75 1,96 1,57 1,31 0,98 0,78 6,57
0,76 1,95 1,56 1,30 0,97 0,78 6,61
0,77 1,93 1,55 1,29 0,97 0,77 6,65
0,772 1,93 1,54 1,29 0,96 0,77 6,66
Fonte: o autor
192 UNIUBE
Exemplos com a utilização da Tabela 21, a tabela de kc e ks: 
a. Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para seção retangular.
Dados: Concreto C25 e Aço CA-50, bw = 15 cm, Mf = 100 kN.m e 
considerando βx = βx23..
b. Dados: Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm e d= 40,43 cm. 
Qual o máximo momento fletor que esta seção suporta com 
armadura simples e qual será a armadura?
Máximo momento fletor com armadura simples → Momento Limite 
→ βx = βx34.
 UNIUBE 193
MOMENTO LIMITE: máximo momento que uma seção “normal-
mente armada” suporta ou, máximo momento que uma seção 
suporta no domínio 3.
MOMENTO LIMITE ↔ βx,34, kc,34 ks,34.
4.11.2 Seção retangular com armadura dupla
O máximo Momento Fletor que uma seção retangular com dimensões 
pré-fixadas pode suportar, com armadura simples, no domínio 3 é:
2
,
,
.w
fd Lim
c Lim
b dM
k
= Equação 22
Quando o Momento Solicitante (Mfd) for maior que o Momento 
Limite (Mfd,lim) será adotado o procedimento descrito a seguir, 
conforme Figura 61:
194 UNIUBE
Figura 61 – Deformações e esforços internos resis-
tentes na seção com armadura dupla 
Fonte: o autor
A situação “0” é a situação real, uma seção com armadura dupla 
(A’s de compressão e As de tração) e será decomposta em duas 
outras situações:
• Na situação “1” as partes resistentes serão a armadura tra-
cionada (As1 é uma parcela de As) e o concreto comprimido (o 
mesmo da situação real).
• Na situação “2” as partes resistentes serão constituídas ape-
nas por armaduras, uma vez que o concreto comprimido já foi 
considerado na situação “1”. A’s é a armadura de compressão 
existente na seção real e As2 é a armadura tracionada (As2 é a 
parcela complementar de As, tal que As=As1+As2).
Seção 1. 1 34 LimiteMf Mf Mf= =
 UNIUBE 195
Seção 2. 2 0 1Mf Mf Mf= −
Para contrapor ao Momento Fletor Mf2, há o binário formado pelas 
resultantes de compressão (As2 fyd) e tração (A’s σ’s).
( ) ( )' ' ' '2 2 . . . f s s s ydMf A d d A f d dγ σ= − = −
Como β = βlimite = β34 as deformações nas armaduras As1 e As2 serão 
iguais a εyd e, portanto, as tensões serão iguais a fyd.
( )
2 2 2 2
2 ' '
1 1. . .
100. 1
d d s d
s
yd yd
Mf Mf k MfA
f d dd d df d
= = =
− −
( )
'
' 2 2 2
' ' ''
1 1. . .
100. 1
d d s d
s
s s
Mf Mf k MfA
d dd d d
d
σ σ
= = =
− −
Ou seja:
1 2
1 2 2. .100. 100.
d d
s s s s s
Mf MfA A A k k
d d
= + = +
 Equação 23
' ' 2.
100.s s
MfA k
d
=
 Equação 24
196 UNIUBE
Determinação de σ/s para o coeficiente k’s
Conforme estabelecido em 5.2 normalmente d’ varia entre 3 e 3,5 
cm para armaduras dispostas em uma camada e entre 4,0 e 4,5 cm 
para armaduras dispostas em duas camadas e, conforme estabele-
cido em 5.3, |σ’s| = σs = f’yd (Tabela 20).
Assim, nas equações 23 e 24: ( )
'
2 '
1
. 1
s s
yd
k k k
df d
= = =
−
O coeficiente k pode ser tabelado em função de d’/d e do aço (fyd). Na 
Tabela 22 esses coeficientes são apresentados para o Aço CA 50.
Tabela 22 – Valores de k’s e ks2 (domínios 2 e 3) – Aço CA 50 
Fonte: o autor
Vamos refazer o exemplo com armadura dupla usando as tabelas.
Calcular a altura útil (d) e a área de aço (As) para uma seção re-
tangular dados:
Concreto C25 e Aço CA-50, b = 15 cm, Mf = 100 kN.m e conside-
rando βx = 0,72.
 UNIUBE 197
3434
34 34 23 34
/3,5 0,628. 0,628yd yd sc x
f E
x d
x d x x d x
εε β= ⇒ = ⇒ = =
− −
34 1x xβ β≤ < → domínio 4
Equação 8 ( )2. 0,68. . . . 1 0,4.f f w cd x xM b d fγ β β= −
( ) ( )
. 1, 4.10000 38,72 
0,68. . . 1 0,4. 0,68.15.1,786.0,72. 1 0,4.0,72
f f
w cd x x
M
d cm
b f
γ
β β
= = =
− −
Armadura dupla.
βx34 = 0,628 e vamos adotar d’ = 3,0 cm (2,0 cm de cobrimento, 0,5 
de estribo e 0,5 do cg de A’s).
2 2
1 34 ,
. 15.38,72 12850,61
1,75
w
d d Lim
cLim
b dMf Mf Mf
k
= = = = =
1 214000d d dMf Mf Mf= = + 2 1149,39dMf =
ks = 3,07 e d´/d = 3/38,72 ≈ 0,077 →k = ks2 = k’s = 2,5
1
1
12850,61. 3,07. 10,19
100. 100.38,72
d
s s
MfA k
d
= = =
' 2
2
2,5 1149,39. . 0,742
100 100 38,72
d
s s
MfkA A
d
= = = =
2
1 1 10,19 0,742 10,93 cms s sA A A= + = + = e 
' 20,742 cmsA =
198 UNIUBE
Observe que sem as tabelas foram obtidos: 
A’s = 0,746 cm2 e As = 10,93 cm2.
Mas ... o problema ainda não acabou. É preciso verificar e detalhar a seção.
Detalhamento da seção:
Armadura de tração: As = 10,93 cm2
Veja que temos 10 cm de largura para dispor essa armadura, pois 
bw =15 e, em cada lateral temos o cobrimento e o estribo (2,0 + 
0,5), portanto temos que obter uma armadura maior ou igual à cal-
culada e com b0 ≥ 10 cm.
Na Tabela 18 de combinações de armaduras encontramos 2φ20,0 
+1φ16,0 (na primeira camada) + 2φ16,0 (na segunda camada) tota-
lizando uma área de 12,30 cm2, com b0 = 9,60 cm e cg = 2,21 cm. 
Observe que estamos usando uma seção 12,5 % maior, sendo que o 
usual seria até 10%, mas nesse caso não temos muitas alternativas.
Armadura de compressão: A’s = 0,74 cm2
Na Tabela 18 encontramos 2φ8,0 totalizando uma área de 1,0 cm2, 
com cg = 0,4 cm. Observe que estamos usando uma seção 34,7 
% maior, mas também nesse caso não temos muitas alternativas. 
Essa armadura é colocada na borda superior, onde o concreto é 
lançado e por onde entrará o vibrador. O usual é deixar uma distân-
cia entre as barras maior ou igual a 5,0 cm, que nesse exemplo não 
seria possível com uma terceira barra.
 UNIUBE 199
Altura: adota-se sempre múltiplo de 5. Assim uniformizam-se um 
pouco as alturas e melhora o uso das formas. Como se determinou 
d = 38,72 cm (a primeira opção seria h = 40 cm é impossível) adota-
se h = 45 cm.
IMPORTANTE!
Mas … o exercício ainda não acabou! 
A seção foi alterada. Adotado h = 45, qual o Momento fletor que 
esta seção (com essa armadura) suporta?
200 UNIUBE
IMPORTANTE!
Veja que esse exemplo contém, propositalmente, um erro em sua 
sequência de solução. Quando em seu início determinou-se a al-
tura útil d = 38,72 cm e utilizou-se esse valor na sequência da so-
lução, o correto seria a adoção imediata da altura e, em função 
desta, a adoção de um valor para a altura útil d. Veja:
d = 38,72 cm, a primeira opção, h = 40 cm, é impossível.
4,5 ??? ou 5,0 cmcgh d y d d= + + +• •
Veja que isso é impossível para valores de d entre 36 e 40. Adota-se, 
então, h = 45 cm. Com h = 45 cm, estima-se um novo valor para d, por 
exemplo, d = 40 cm e, agora sim, dar-se-ia continuidade ao cálculo.
Por que é necessário fazer isso? Observe que na equação 8 traba-
lha-se com a altura útil na segunda potência e, dessa forma, corrigir 
o valor da altura útil para 40 cm, mais próximo do valor real, implica 
em um ganho de 6,7% em relação ao valor de 38,72 e, 23,4% em 
relação a um valor de 36,0 cm, por exemplo.
4.12 Seções “T” submetidas à flexão simples
4.12.1Largura colaborante de vigas de seção T
Nos casos em que a estrutura é discretizada em lajes, vigas, pi-
lares, a NBR 6118 permite que se considere a ação conjunta de 
lajes e vigas com uma parte da laje trabalhando solidariamente 
com a viga, ou seja, a adoção de uma largura colaborante da laje 
 UNIUBE 201
associada à viga, compondo uma seção transversal T, conforme 
apresentado na Figura 62.
Figura 62 – Largura de mesa colaborante 
Fonte: NBR 6118
Sendo:
• bw = largura real da nervura;
• b0 = largura da nervurafictícia;
• b0 = bw + soma dos menores catetos dos triângulos das mísu-
las correspondentes;
• b2 = distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas.
Tanto para o cálculo de resistência quanto para o cálculo de defor-
mações, adotam-se:
1
2
0,10
0,5
a
b
b
≤ 
 e 3 0,10b a≤
Observa-se que a NBR 6118 que vigorou entre 1975 e 2003 con-
siderava também a espessura da laje como limitante dos valores 
202 UNIUBE
de b1 e b3. O valor de b1 devia ser inferior a 8 hf e o de b3 inferior a 
6 hf. Recomendamos a utilização desses parâmetros, pois julgamos 
que a espessura da laje é um fator importante para a adoção da 
largura colaborante.
O valor do parâmetro “a” é estimado em função do vão  do tramo 
considerado, conforme segue:
• viga simplesmente apoiada: a = 1,00 ;
• tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75 ;
• tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60 ;
• tramo em balanço: a = 2,00 .
4.12.2 Cálculo de dimensionamento
Como já vimos anteriormente, na flexão simples temos a seção de 
concreto com uma borda comprimida e a outra tracionada. Vimos 
também que a resistência à tração do concreto é desprezada (NBR 
6118 - item 17.2.2).
Veja as seções de concreto apresentadas na Figura 63. As seções 
a, b e c, embora sejam geometricamente diferentes, têm áreas de 
concreto comprimido iguais, assim como mesma altura útil e área 
de ferro, ou seja, as três seções têm o mesmo momento resistente 
(Figuras 63.d e 63.e)
 UNIUBE 203
Figura 63 – Forma da seção e seção de cálculo 
Fonte: o autor
Observe que a seção de cálculo é dada pela seção de concreto 
comprimido, ou seja, as três seções na Figura 63 têm a mesma lar-
gura “b1” e a mesma profundidade da linha neutra. Nessas seções, 
o concreto tracionado, por hipótese, com resistência à tração nula, 
tem a função de posicionar e proteger a armadura. 
A Figura 63(a) é a seção retangular usual, a 63(b) é, sem dúvi-
da, um erro de concepção, pois o aumento da área de concreto 
tracionado, além de não trazer nenhum benefício, implica em um 
aumento do peso próprio e, a 63(c), muito usada em elementos 
pré-moldados, ao contrário da (b), busca uma redução da área de 
concreto tracionado em relação à seção (a) e, consequentemente, 
do volume de concreto (peso próprio).
A análise feita anteriormente é importante para se distinguir a for-
ma da seção da seção de cálculo. Essa análise é importante no 
caso das seções T.
Tomemos como exemplo a seção “T” da Figura 64. Observe que 
assim como as seções da Figura 63 analisadas anteriormente, a 
forma geométrica é um “T”, mas a seção de cálculo pode ser retan-
gular ou T. Enquanto o bloco de tensões estiver dentro da mesa de 
204 UNIUBE
compressão teremos uma seção de cálculo retangular e, quando 
o bloco de tensões ultrapassar a altura da mesa de compressão e 
atingir a nervura teremos uma seção de cálculo em T.
Figura 64 – A seção com formato de “T” 
Fonte: o autor
( )
2.f
c x c
d
b d
k f k
Mf
β= =
1,25.
1,25. ff f xf
hxy h x h
d d
β= = = =
 Seção de cálculo: Retangular
 Seção de cálculo: "T"
x xf
x xf
β β
β β
≤
 >
4.12.3 Caso 1 – Seção T calculada como seção retangular x xfβ β≤
A altura do bloco de tensões (y) não ultrapassa a mesa (y ≤ hf).
Neste caso, o dimensionamento é feito como se fosse uma seção 
retangular (bf x h), inclusive podendo-se utilizar o cálculo pelas ta-
belas já vistas, uma vez que a zona tracionada não interfere no 
cálculo. Observe que não é uma seção retangular, mas sim uma 
seção “T” calculada como retangular (Figura 65), ou seja, a seção 
de cálculo é dada pela seção do concreto comprimido.
 UNIUBE 205
Figura 65 – Seção T calculada como retangular – Seção T falsa 
Fonte: o autor
2.
.
100
f s d
c x x s s
d
b d K Mfk K A
Mf d
β β= → → =
4.12.4 Caso 2 - Seção “T” calculada como seção “T” x xfβ β>
A altura do bloco de tensões (y) ultrapassa a mesa, cortando a 
nervura (y > hf).
Para que se possa aproveitar as tabelas para seções retangulares, 
será empregado o artifício de decompor a seção “T”, em outras duas.
Na a Figura 66, a seção (1) tem como altura do bloco de tensões 
y*= hf mediante a qual podemos determinar k*c. Com o valor de k*c 
determinamos o valor de Mf1, correspondente à parcela de Mf que 
a seção (1) pode resistir.
206 UNIUBE
Figura 66 – Seção T calculada como T – Seção T verdadeira 
Fonte: o autor
( ). .0,85 .f w cd s sb b y f A− =
( ) ( ) 10,85. . . . 0,5.cd f w df b b y d y Mf− − =
Nas duas equações, fazendo y = hf
( ) ( )1 0,85. . . . 0,5.d cd f w f fMf f b b h d h= − −
( )
1
0,85. . .f w f cd
s
yd
b b h f
A
f
−
=
Mf2 = Mfd – Mf1
A seção (2) tem a linha neutra em sua posição real e é calculada 
normalmente como uma seção retangular, podendo estar nos do-
mínios 2, 3 ou 4 (nesse último caso, seção T com armadura dupla).
2
2 2
2 2 2 2
2
. .
100
w s d
c x s s
d
b d K MfK K A
Mf d
β= → → → =
 UNIUBE 207
4.13 Vãos efetivos e larguras mínimas de vigas
As estruturas de elementos lineares são abordadas pela NBR 6118 
(2003) em seu item 14.6. Para os elementos lineares (vigas, pila-
res, tirantes, arcos, pórticos, grelhas, treliças) admitem-se as se-
guintes hipóteses:
a. manutenção da seção plana após a deformação;
b. representação dos elementos por seus eixos longitudinais;
c. comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo cruza-
mento com o eixo de outro elemento estrutural.
O vão efetivo de uma viga é determinado e mostrado na Figura 67.
Figura 67 – Vão efetivo 
Fonte: NBR 6118
Em seu item 13.2, a NBR 6118 (2003) fixa as dimensões limites 
para os elementos estruturais. Essas dimensões mínimas visam as 
condições adequadas de desempenho e execução (concretagem) 
do elemento estrutural. Dessa forma, as vigas devem ter larguras 
maiores ou iguais a 14 cm podendo, em casos excepcionais, serem 
reduzidos para 12 cm, quando não houver prejuízo do alojamento 
das armaduras (espaçamentos e coberturas estabelecidos por nor-
ma) e do lançamento e vibração do concreto.
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
Vigas de concreto 
armado – detalhamento 
longitudinal
Capítulo
5
Na introdução do Capítulo IV usamos uma viga bi apoiada 
com balanço para conceituar as zonas de armação. Vimos que 
ela tem a região do tramo com momento positivo e a do apoio 
com momento negativo e conforme o diagrama de momentos 
fl etores, esta viga é composta por infi nitas seções, cada uma 
submetida a esforços diferentes dos das demais seções. Vimos 
também que não há necessidade de se calcular a viga inteira, 
com suas infi nitas seções, basta calcularmos a seção mais 
solicitada de cada região, de cada zona de armação.
O dimensionamento da viga consistirá no cálculo das 
seções mais solicitadas de cada uma destas regiões e o 
dimensionamento desta seção é extrapolado para a toda 
a região representada por ela. Terminamos a introdução 
do capítulo afi rmando que este procedimento se aplica a 
qualquer elemento em concreto armado, seja uma viga, um 
pórtico, uma grelha, uma laje etc.
No Capítulo IV aprendemos a dimensionar uma seção de 
concreto armado, submetida a uma determinada solicitação 
e detalhar a armadura nesta seção, e agora chegamos ao 
momento em que o dimensionamento das seções mais 
solicitadas de cada uma das zonas de armação é extrapolado 
para a toda a região representada por ela.
• Conceituar e elaborar a cobertura de diagramas de 
momento fletor;
• Conceituar e equacionar a ancoragem de armaduras no 
concreto armado;
• Conceituar a utilização de ganchos em armaduras no 
concreto armado;
• Conceituar e equacionar a ancoragem nos apoios;
• Conceituar a ancoragem de barras comprimidas;
• Conceituar e equacionar as emendas de barras por aderência.
• Detalhamento longitudinal da armadura
• Cobertura de diagramas de momento fletor
• Ancoragem
• Introdução
• Zonas de ancoragem
• Resistência de aderência
• Comprimento básico de ancoragem
• Ganchos
• Comprimento de ancoragem necessário (efetivo)
• Ponto de início de ancoragem• Ancoragem nos apoios
• Apoios extremos - comprimento mínimo de 
ancoragem
Objetivos
Esquema
O que vamos aprender agora é trabalhar com as 
vigas longitudinalmente. Vamos aprender a distribuir 
longitudinalmente as barras detalhadas na seção, vamos 
aprender onde as barras começam e terminam e como 
terminam, com ganchos ou sem ganchos etc.
• Armaduras construtivas e porta estribos
• Ancoragens de barras comprimidas
• Emendas de barras por aderência
• Introdução
• Emendas por traspasse 
• Emendas supostas na mesma seção 
transversal
• Proporção máxima de barras tracionadas 
emendadas na mesma seção
• Comprimento de traspasse de barras 
tracionadas isoladas
• Comprimento por traspasse de barras 
comprimidas, isoladas
Detalhamento longitudinal da armadura5.1
5.1.1 Cobertura de diagramas de momento fletor
Vamos retomar nossa viga bi apoiada com balanço (Figura 68). 
Observa-se que ela tem duas regiões distintas de armação:
• Região A, com tração na borda inferior e compressão na superior.
• Região B, com tração na borda superior e compressão na inferior.
O dimensionamento da seção SA, a seção mais solicitada da re-
gião A, é extrapolado para toda esta região, este procedimento é 
denominado de cobertura de diagrama e, analogamente, o mes-
mo procedimento será adotado para a seção SB, a seção mais 
solicitada da região B.
Perceba que se for uma viga contínua o procedimento é o mes-
mo. O diagrama de momentos fletores nos dará uma região de 
212 UNIUBE
momento fletor positivo em cada tramo, uma região de momento 
fletor negativo em cada apoio central, e se tiver balanços, uma re-
gião de momento negativo no apoio do balanço. Neste caso pode-
remos ter 3, 5, 10 zonas de armação.
O mesmo raciocínio se aplica a um pórtico ou a qualquer elemento 
estrutural que possamos determinar os diagramas de esforços.
Figura 68 – Regiões de armação em uma viga bi apoiada com balanço à direita 
Fonte: o autor
Agora, por meio de um exemplo vamos explicitar a rotina para se 
fazer a cobertura do diagrama de momento fletor, que é extrapolar 
o dimensionamento da seção mais solicitada de uma região de ar-
mação para esta região.
Vamos adotar os valores necessários para o dimensionamento da 
viga apresentada na Figura 68 e iniciar o cálculo e detalhamento da 
 UNIUBE 213
armadura longitudinal dimensionando-a até a cobertura do diagrama 
de momentos fletores. O dimensionamento das seções de concreto 
armado será efetuado conforme aprendemos no capítulo anterior.
Exemplo 1
Dimensionar a viga de concreto armado ao lado, sendo dados:
Aço CA-50, concreto C25 e bw = 20 cm
Determinando os esforços, temos:
RA = 80 kN RB = 160 kN
Mfmax(+) = 106,67 kN.m a 2,67 m do apoio A
Mfmax(-) = - 60,0 kN.m no apoio B
Como o momento fletor positivo é o maior momento solicitante, ele 
é usado para iniciar o dimensionamento e para a adoção da altura 
da seção da viga.
Mfmax+ = 106,67 kN.m
Adotando-se βx = βx34 = 0,628
 Kc = 2,452 d = 36,16 cm
 ks = 0,0307 As = 12,68 cm2
214 UNIUBE
Adotando-se para h o primeiro múltiplo de cinco superior a d tere-
mos: h = 40.
Observe que com h = 40 cm, teremos ycg = 3,84 cm ( h = d + ycg), 
que é insuficiente para acomodar a armadura.
Adotando-se h = 45 cm e ycg = 4,5 cm, teremos d = 40,5 valor muito 
maior que o 36,16 cm obtido, o que justifica refazer o cálculo:
h = 45 cm d = 40,5 kc = 2,197 βx = 0,459 < βx34 = 0,628 
domínio 3
 Ks = 0,0282 As = 10,40 cm2
Adotando-se 4φ16 + 2φ12,5 mm temos:
 As = 10,49 cm2 > 10,4 cm2 OK
 ycg = 1,6 + 2,5 = 4,1 cm < 4,5 cm OK
 b0 = 12,40 < 20 - 2,5 -2,5 = 15 cm OK
 A seção está verificada.
Mfmax- = 60 kN.m
Observe que a altura da viga já foi determinada e, em função da 
expectativa da armadura (ycg) o valor da altura útil poderá sofrer 
pequenas variações.
 UNIUBE 215
Análise para a adoção da altura útil:
• o valor do momento fletor foi reduzido de 106,67 para 60 kN 
e, como foram mantidas as dimensões da seção, trabalha-se 
com a expectativa de um As “em torno” da metade do anterior, 
ou seja, “em torno” de 5,0 cm; e
• trata-se de um momento fletor negativo; a armadura será co-
locada na borda superior. Neste caso, deve-se deixar espaço 
para o lançamento do concreto e para a entrada de vibrado-
res, ou seja, um espaço entre as barras de no mínimo 4,5 cm 
(o ideal seria acima de 5 cm);
• antes de iniciar o cálculo já se tem uma ordem de grandeza 
do resultado. Por exemplo:
4φ12,5 mm (As = 4,91, ycg ≈ 3,2 e b0 = 11 cm) e
3φ16 mm (As = 6,0, ycg ≈ 3,3 e b0 = 8,8 cm)
h = 45 cm ycg ≤ 3,5 d = 41,5
 kc = 4,101 βx = 0,22 < βx23 = 0,259 
domínio 2
 Ks = 0,0252 As = 5,10 cm2
216 UNIUBE
Adotando-se 2φ16 + 1φ12,5 mm temos:
 As = 5,25 cm2 > 5,1 cm2 OK
 ycg = 0,76 + 2,5 = 3,3 cm < 3,5 cm OK
 b0 = 8,45 < 20 - 2,5 -2,5 = 15 cm OK
 A seção está verificada (conforme as expectativas).
A Figura 69 detalha a armação destas duas seções.
Figura 69 – Detalhamento do posicionamento das barras na seção 
Fonte: o autor
Foram dimensionadas as seções mais solicitadas de cada uma das 
duas regiões de armação, a do tramo AB e a do apoio B. A seguir, 
vamos fazer a cobertura do diagrama de momento fletor, ou seja, 
extrapolar o dimensionamento destas seções para suas respecti-
vas regiões.
 UNIUBE 217
Região do Tramo AB
Para um momento fletor de 106,67 kN.m foi determinada uma ar-
madura As = 10,4 cm2 e, adotado 4φ16 + 2φ12,5 mm totalizando As 
= 10,49 cm2. Observe que as seções desta região são solicitadas 
por momentos fletores variando entre zero e o máximo e, a inten-
ção é adequar a armadura calculada conforme a solicitação das 
seções, ou seja, uma seção solicitada por metade deste momento 
fletor terá metade desta armadura.
Isto será feito interrompendo as barras na medida em que a solicitação 
decrescer. Portanto, devemos estabelecer um esquema de corte das 
barras, conforme apresentado na Figura 41. Observe que se buscou 
a simetria e que longitudinalmente, temos a região central com todas 
as barras, uma região intermediária com as quatro barras de 16 mm e 
as regiões das extremidades com duas barras de 16 mm.
Figura 70 – Esquema de corte da armadura longitudinal 
Fonte: o autor
IMPORTANTE!
Na Figura 70:
• À esquerda é apresentado o esquema da disposição real das 
barras e, à direita, o esquema de corte das barras;
218 UNIUBE
• As barras A, B e C são fictícias. A barra A, por exemplo, indica 
duas barras de φ16 mm, idênticas, ou seja, mesmo diâmetro, 
comprimento e forma. A barra B difere da A por apresentar 
comprimento diferente e, a C por apresentar diâmetro e com-
primento diferentes;
• A armadura está disposta em duas camadas; na primeira es-
tão as quatro barras de 16 mm e na segunda as duas barras 
de 12,5 mm;
• No esquema de corte apresentado à direita as barras A, B e C 
não estão dispostas em três camadas; as barras A e B estão na 
primeira camada e a barra C na segunda camada. O esquema 
está apenas indicando a sequência de corte das barras.
O próximo passo é determinar o comprimento e o posicionamento 
longitudinal dessas barras e isso será feito por meio da cobertura 
de diagrama.
Para o momento fletor de 106,67 kN.m foi determinada uma ar-
madura As = 10,4 cm2, ou seja, cada cm2 de armadura absorve 
10,257 kN.m:
106,67 10,257
1 10,4
Mf As Mfx x
x As
= = = =
A cobertura de momento fletor consiste, portanto, em dispormos a 
armadura no tramo para que esta resista ao momento fletor atuan-
te em cada seção. Conforme o esquema de corte adotado (Figura 
70), inicialmente é colocada a barra A (2φ16), depois a barra (B) 
2φ16 e, finalmente, a barra (C) 2φ12,5.
 UNIUBE 219
Como temos a seção de aço das barras A, B e C (2φ16 tem uma 
seção de 4,0 cm2 e 2φ12,5 tem uma seção de 2,45 cm2), e já de-
terminamos que cada centímetro quadrado de armadura absorve 
10,257 kN.m, podemos determinar o momento absorvido pelas 
barras A, B e C
As (cm2) Mf Absorvido (kN.m) Σ Mf Absorvido (kN.m) 
A 2φ16 mm 4,0 41,03 41,03
B 2φ16 mm 4,0 41,03 82,06C 2φ12,5 mm 2,45 25,13 107,19
Agora fazemos a cobertura do diagrama:
A Figura 71 mostra a sequência da cobertura do diagrama de mo-
mento fletor. Inicialmente, é colocada a barra A (2φ16 mm) que irá 
absorver 41,03 kN.m e, na sequência adicionamos a barra B (2φ16 
mm) que, juntamente com a barra A irão absorver 82,06 kN.m e, 
finalmente, adicionamos a barra C (2φ12,5 mm), as barras A, B e C 
irão absorver 107,19 kN.m.
IMPORTANTE!
Observe que a armadura vai absorver um momento de 107,19 
kN.m, maior que o momento fletor calculado de 106,67 kN.m; isto 
se deve ao fato de que foi determinada uma armadura As = 10,4 
cm2, e adotamos uma armadura As = 10,49 cm2.
220 UNIUBE
 UNIUBE 221
Figura 71 – Cobertura do diagrama de momento fletor - Tramo AB 
Fonte: o autor
A Figura 72 mostra as dimensões das barras obtidas na cobertura 
do diagrama de momento fletor. Ainda não são as dimensões fi-
nais, pois falta ancorá-las, o que aprenderemos logo adiante.
222 UNIUBE
Figura 72 – Cobertura do diagrama de momento fletor - Tramo AB 
Fonte: o autor
IMPORTANTE!
Observemos que foi adotado um eixo de referência passando pela 
seção do momento fletor máximo e foram tomadas as dimensões à 
esquerda e à direita deste eixo. Isto é muito importante, pois, como 
veremos ao calcular a ancoragem, à esquerda as barras terminam 
muito próximas do apoio e, à direita o apoio está mais distante.
Além disso, este eixo está deslocado para a esquerda do tramo e 
o posicionamento da armadura deverá constar do projeto, pois, se 
a armadura for centrada, as seções à direita do eixo de momento 
fletor máximo estarão com mais armadura que o necessário, e as 
da esquerda com menos.
 UNIUBE 223
Região do Apoio B
Na cobertura do diagrama de momentos para a região do apoio B 
procederemos de forma análoga.
Para um momento fletor de 60 kN.m foi determinada uma armadura 
As = 5,1 cm2 e, adotado 2φ16 + 1φ12,5 mm totalizando As = 5,25 
cm2. Na Figura 73 apresentamos o esquema de corte.
Figura 73 - Esquema de corte da armadura longitudinal
Fonte: o autor
60 11,765
1 5,1
Mf As Mfx x
x As
= = = =
Cada cm2 de armadura absorve 10,257 kN.m. Conforme o esque-
ma de corte, a armação começa com a barra D (2φ16) e depois 
com a barra (E) 1φ12,5, ou seja:
As (cm2) Mf Absorvido Σ Mf Absorvido
D 2φ16 mm 4,0 47,06 47,06
E 1φ12,5 mm 1,25 14,47 61,53
A cobertura do diagrama é apresentada na Figura 74.
224 UNIUBE
Figura 74 – Cobertura do diagrama de momento fletor - Apoio B 
Fonte: o autor
Com isto, determinamos a cobertura de diagramas de momento 
fletor para esta viga, o primeiro passo no detalhamento da armadu-
ra longitudinal. No próximo capítulo abordamos a ancoragem das 
barras e, como exemplo, continuamos este exercício.
5.2 Ancoragem
5.2.1 Introdução
O concreto simples é composto pelos agregados (areia e brita), 
pelo aglomerante (cimento) e a água. Sabemos que possui boa 
 UNIUBE 225
resistência à compressão e uma resistência à tração muito peque-
na, aproximadamente um décimo da resistência à compressão.
Com a adição da armadura ao concreto simples, posicionada nas re-
giões tracionadas, tem-se o concreto armado, um compósito, ou seja, 
um material composto por dois ou mais tipos de materiais diferentes.
Uma das características fundamentais do concreto armado é o tra-
balho conjunto do concreto e o aço, aliás, uma das denominações 
da armadura de concreto armado é armadura passiva e, esta de-
nominação deve-se a esse trabalho solidário, ou seja, se a seção 
estiver em repouso a armadura também estará, e se for solicitada 
(tração ou compressão) a armadura também o será.
Essa solidariedade é obtida pela aderência que existe entre os 
materiais componentes do concreto armado, particularmente entre 
o concreto e o aço. A aderência (bond, em inglês) é responsável 
pela união, pela solidariedade entre esses materiais, impedindo o 
escorregamento da armadura em relação ao concreto e provocan-
do o trabalho conjunto desses dois materiais, seja em termos de 
transferência de esforços entre aço e concreto, seja em termos de 
compatibilidade de deformações que é uma das hipóteses funda-
mentais do concreto armado.
Podemos dizer que a aderência compreende três parcelas: a ade-
rência por adesão, a por atrito e a mecânica.
• Aderência devida à adesão: é a cola que liga os materiais. 
São ligações físico-químicas que se formam na interface en-
tre os materiais, iniciando-se com a concretagem e aumen-
tando com a pega e o endurecimento do concreto.
226 UNIUBE
• Aderência por Atrito: são as forças de atrito existentes na in-
terface de contato entre dois materiais e, como tal, manifesta-se 
sempre que existe tendência ao deslocamento relativo destes 
materiais. A sua influência é tanto maior quanto for a rugosidade 
da superfície e a compressão externa exercida pelo concreto (re-
tração, apoios diretos das vigas e nas partes curvas das barras).
• Aderência Mecânica: ao contrário das anteriores, busca-se 
com a aderência mecânica um aumento significativo da aderên-
cia global. No processo de fabricação são introduzidas na super-
fície das barras, saliências ou reentrâncias para a criação de for-
ças localizadas, contrárias ao movimento relativo dos materiais. 
Essas armaduras são chamadas de barras de alta aderência.
A aderência mecânica também se manifesta nas barras lisas, embora 
de forma reduzida, em virtude das imperfeições da superfície das barras.
Ao dimensionar as seções de concreto armado, observamos que a arma-
dura está submetida a uma tensão σs (nos domínios 2 e 3 σs = fyd), mas 
nas extremidades das barras essa tensão é nula, pois não existe nenhu-
ma força aplicada nas extremidades da barra, ou seja, estas barras ne-
cessitam de um comprimento adicional em suas extremidades para gerar 
essa tensão de serviço. Esse trecho é o que denominamos ancoragem 
por aderência.
IMPORTANTE!
Ancoragem, portanto, é a região de término das barras. Esta região é 
geradora da tensão de serviço σs, ou, dito de outra forma, é nesta região 
que os esforços atuantes na barra são transferidos para o concreto.
 UNIUBE 227
5.2.2 Zonas de ancoragem
Como vimos nessa introdução, a aderência está diretamente vincu-
lada à relação entre a armadura e o concreto que a envolve e, essa 
relação pode ser prejudicada por uma série de fatores, entre os quais:
• a região da seção de concreto que acomoda a armadura: 
- as camadas inferiores são mais adensadas que as superiores em 
função do volume de concreto sobre elas;
- a vibração do concreto, necessária para a eliminação dos bolsões 
de ar, tem como efeito colateral a descida do material mais pesa-
do e a elevação do mais leve, ou seja, há uma movimentação da 
água excedente na mistura para as camadas superiores que, com 
a evaporação, afloram à superfície superior para a atmosfera. Este 
fenômeno chamado de exsudação torna a camada superior mais 
porosa (veios capilares) que a inferior; e uma barra colocada nessa 
região pode estar em contato com esses vazios.
• a direção da extremidade da ancoragem:
- as barras posicionadas verticalmente têm uma capacidade de ade-
rência significativamente maior que as posicionadas horizontalmente.
Os comprimentos de barras necessários para a ancoragem depen-
derão destas barras estarem localizadas em regiões de boa ou má 
aderência, ou seja, uma barra em uma região de má aderência 
necessitará de um comprimento de ancoragem maior do que o ne-
cessário em uma região de boa aderência.
228 UNIUBE
A NBR 6118 introduz o conceito de regiões de boa e má aderência 
e, conforme o posicionamento das barras nestas regiões, estas po-
derão estar em situação de boa ou má aderência. 
Consideramos em situação de boa aderência os trechos das barras 
que estejam em uma das seguintes posições:
a. Com inclinação não inferior a 45° sobre a horizontal. 
b. Com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que:
• h < 60 cm - localizadas no máximo 30 cm acima de face infe-
rior da peça ou da junta de concretagem mais próxima.• h ≥ 60 cm - localizadas a mais de 30 cm abaixo da face supe-
rior da peça ou da junta de concretagem mais próxima.
Os trechos das barras em outras posições ou quando do uso 
de formas deslizantes devem ser considerados em má situação 
quanto à aderência.
IMPORTANTE!
As barras com gancho estão automaticamente em situação de boa ade-
rência, assim como todas as barras em elementos com altura menor ou 
igual a 30 cm, é o caso da armadura de lajes maciças, por exemplo.
 UNIUBE 229
A Figura 75 exemplifica as situações de boa e má aderência. Em 
a), b) e c) temos elementos com alturas inferiores ou iguais a 30 
cm, entre 30 e 60 cm e superiores ou iguais a 60 cm, em d) temos 
a situação de um encontro laje com viga onde a região de boa ade-
rência da laje se encontra com a de má aderência da viga e, em e) 
o caso das barras inclinadas a mais de 45° com a horizontal.
Figura 75 – Regiões de boa e má aderência 
Fonte: o autor
5.2.3 Resistência de aderência
A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na anco-
ragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:
1 2 3 . . . bd ctdf fη η η=
Onde: 
2
3 2,inf , 3
0,7. 0,7 . 0,3 . 0,15 . ctk ct m ckctd ck
c c c
f f ff f
γ γ γ
= = = = 
230 UNIUBE
1
1,0 para barras lisas
= 1,4 para barras entalhadas
2,25 para barras nervuradas
η





2
1,0 para situações de boa aderência
=
0,7 para situações de má aderência
η



( )3
1,0 para 32 mm
=
132 100 para > 32 mm
φ
η
φ φ
≤
 −
Onde φ é o diâmetro da barra, em milímetros.
RELEMBRANDO
Vamos relembrar um pouco a notação e a simbologia usada em 
concreto armado? A notação é composta por símbolos base e por 
símbolos subscritos.
fbd
f é um símbolo base usado para designar resistência (cuidado que 
F significa força),
os símbolos subscritos, eles funcionam como “adjetivos”, para tipi-
ficar o símbolo base.
b significa adesão, em inglês “bound”, lembra-se de uma cola super ...
d significa cálculo, projeto, em inglês “design”.
fbd, portanto, significa resistência da aderência de cálculo.
A seguir, temos fctd que significa resistência de cálculo do con-
creto à tração.
Veja a seção (Capítulo IV) da NBR 6118 se ainda está com dúvidas, ok?
 UNIUBE 231
Exemplo 2
Considerando concreto C25 e barras de aço CA-50 com diâmetro 
inferior ou igual a 32 mm, em uma região de boa aderência, deter-
mine a resistência de aderência (fbd).
2 230,15 . 25 1,282 MPa 0,1282 kN/cmctdf = = =
Considerando: situação de boa aderência - η2 = 1,0, aço CA-50 
- barras nervuradas - η1 = 2,25 e sempre φ < 40 mm - η3 = 1,0.
22, 25 . 0,1282 0,289 kN/cmbdf = =
DICAS
• Atenção! Sempre que tivermos uma raiz de fck devemos usar 
fck em MPa e, como normalmente trabalhamos com unidades 
em kN e cm devemos converter para MPa, extrair a raiz, e 
retornar para kN/cm (1 MPa = 10 kN/cm2);
• O nosso aço estrutural é o CA-50, portanto sempre vamos ter 
η1 = 2,25;
• Espero, sinceramente, que nunca use um diâmetro de 40 mm. 
A partir do diâmetro de 22 mm a concentração de tensões na 
armadura, e também no concreto que a envolve, começa a 
ficar complicada, com problemas de fissuração etc., portanto 
teremos sempre η3 = 1,0 (φ < 40 mm).
232 UNIUBE
A Tabela 23 apresenta os valores de fbd para o Aço CA-50 em fun-
ção da classe de resistência do concreto.
Tabela 23 - Valores da resistência de aderência (fbd) para aços CA-50 com φ ≤ 32 mm
1 2 3 . . . bd ctdf fη η η= (kN/cm2) .
Concreto 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa
Boa Aderência 0,2487 0,2886 0,3259 0,3612 0,3948 0,427 0,4581
Má Aderência 0,1741 0,202 0,2281 0,2528 0,2764 0,2989 0,3207
Fonte: o autor
5.2.4 Comprimento básico de ancoragem
Vamos definir comprimento básico de ancoragem o comprimento 
mínimo necessário para ancorar uma barra reta, ou seja, o com-
primento necessário para que por meio da aderência os esforços 
atuantes na barra sejam transferidos para o concreto.
O ensaio clássico para a quantificação de aderência é o “ensaio 
de arrancamento”, apresentado esquematicamente na Figura 76. 
Uma barra de aço incrustada em um bloco de concreto é submetida 
a uma força F e pretende-se obter o comprimento mínimo da barra 
incrustada no bloco.
 UNIUBE 233
Figura 76 - Comprimento básico de ancoragem 
Fonte: o autor
O problema consiste em determinar a resultante das tensões de 
aderência que equilibra a forca F aplicada.
Inicialmente, temos que a tensão na armadura não pode exceder a 
fyd, e como a barra é circular:
2 . 
4yd
F f π φ≤
E a resultante das tensões de aderência:
 . . . bd bR f π φ≤ 
Portanto:
2 . . . . 
4bd b yd
f f π φπ φ =
 . 
4
yd
b
bd
f
f
φ
=
234 UNIUBE
Exemplo 3
Determinar o comprimento de ancoragem básico de uma barra de 
16 mm, aço CA-50, concreto C20, em situação de boa aderência.
2 230,15 . 20 1,105 MPa 0,1105 kN/cmctdf = = =
aço CA-50 (barras nervuradas) η1 = 2,25
situação de boa aderência η2 = 1,0
φ = 16 mm (< 40 mm) η3 = 1,0
22, 25 . 0,1105 0,2487 kN/cmbdf = =
250 1,15 43,478 kN/cmydf = =
16 43,478 . 43,71 . 70 cm
4 0,2487b
φ= = ≈
Observemos que caso essa barra estivesse em uma situação de 
má aderência o valor de η2 seria 0,7, ou seja, a resistência de ade-
rência seria reduzida em 42,8% e, consequentemente, o compri-
mento de ancoragem básico seria aumentado nessa porcentagem.
A Tabela 24 fornece os valores básicos de ancoragem, para o aço 
CA-50, com diferentes resistências características do concreto 
considerando as situações de boa e de má aderência. Ainda não 
apresentamos os ganchos, mas por enquanto, vamos entendê-los 
como barras com extremidade inclinada a mais de 45° com a hori-
zontal. As barras com gancho estão automaticamente em situação 
de boa aderência e, como veremos a seguir, o comprimento de 
ancoragem é multiplicado por um fator α1 = 0,7.
 UNIUBE 235
Tabela 24 – Comprimentos básicos de ancoragem (b b = k . φ)
Aço CA-50 - φ ≤ 32 mm - η1 = 2,25 
Concreto
b b = k . φ - Valores do coeficiente k
Boa aderência Má aderência
c/ Gancho s/ gancho s/ gancho
C20 31 44 63
C25 27 38 54
C30 24 34 48
C35 22 31 43
C40 20 28 40
C45 18 26 37
C50 17 24 34
Fonte: o autor
5.2.5 Ganchos
A utilização de ganchos nas extremidades das barras aumenta 
substancialmente sua capacidade de ancoragem. A utilização do 
gancho, independente da barra estar localizada em uma região de 
boa ou má aderência, traz a barra para a situação de boa aderência. 
A Figura 76 mostra o esquema de arrancamento de uma barra, por 
meio do qual foi deduzida a expressão do comprimento de anco-
ragem básico (ou reto). Imaginemos agora que a barra tenha este 
comprimento de ancoragem reto um pouco menor e um gancho em 
sua extremidade. 
O arrancamento da barra com a ancoragem reta ocorre com a fa-
lência da aderência entre a barra e o concreto, enquanto que no 
caso da barra com gancho é necessário também a ruptura da barra 
ou, o esmagamento do concreto na região interna do gancho.
236 UNIUBE
A NBR 6118 (2003) possibilita a ancoragem reta ou com gancho 
para as barras tracionadas, com algumas exceções:
a. as barras lisas são ancoradas obrigatoriamente com gancho;
b. as barras comprimidas são ancoradas sem ganchos;
c. as barras com alternância de solicitação, de tração e com-
pressão são ancoradas sem gancho;
d. as barras com φ > 32 mm são ancoradas sem gancho 
(recomendação);
e. os feixes são ancorados sem gancho (recomendação).
IMPORTANTE!
As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos, pois a 
aplicação de esforços de compressão nos ganchos pode originar 
efeitos de segunda ordem.
Os ganchos nas extremidades das barras da armadura longitudinal 
compreendem uma curva seguida de um trecho reto, e podem ser:
a. semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 φ;
b. em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento 
não inferior a 4 φ;
c. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 φ.
 UNIUBE237
IMPORTANTE!
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares.
A Figura 77 ilustra os diferentes tipos de ganchos das armaduras 
de tração.
D é o Diâmetro interno de curvatura ou diâmetro dos pinos de dobramento
Figura 77 – Ganchos das armaduras de tração 
Fonte: o autor
O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudi-
nais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 25.
Tabela 25 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) 
Bitola
mm
Tipo de aço
CA-25 CA-50 CA-60
< 20 4 φ 5 φ 6 φ
≥ 20 5 φ 8 φ -
Fonte: NBR 6118 – Tabela 9.1
238 UNIUBE
Os estribos devem ser ancorados por meio de ganchos ou barras 
longitudinais soldadas. Os ganchos podem ser:
a. semicirculares ou em ângulo de 45º (interno), com ponta reta 
de comprimento igual a 5 φt, porém não inferior a 5 cm;
b. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou 
igual a 10φt, porém não inferior a 7 cm (este tipo de gancho 
não deve ser utilizado para barras e fios lisos).
O diâmetro interno da curvatura dos ganchos dos estribos deve ser 
pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 26.
Tabela 26 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos 
Bitola
mm
Tipo de aço
CA-25 CA-50 CA-60
≤ 10 3 φ 3 φ 3 φ
10 < φ < 20 4 φ 5 φ -
≥ 20 5 φ 8 φ -
Fonte: NBR 6118 – Tabela 9.2
5.2.6 Comprimento de ancoragem necessário (efetivo)
Ao se dimensionar uma seção de concreto armado determina-se 
uma armadura As correspondente à resultante de tração. Como 
vimos na Figura 76, as barras necessitarão do comprimento de an-
coragem b. Em algumas situações, pode ocorrer a adoção de uma 
armadura efetiva As,efet. maior que a armadura calculada As,calc. 
 UNIUBE 239
e, como a resultante de tração permanece constante, a armadura 
estará solicitada por uma força proporcionalmente menor, neces-
sitando, dessa forma, de um comprimento de ancoragem menor.
,
, 1 ,min
,
 . . s calcb nec b b
s efet
A
A
α= ≥  
Em que b é o comprimento básico de ancoragem;
1
1,0 para barras sem gancho
= 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento
 3 no plano normal ao do gancho
α
φ



 ≥
b, mim é um limitante para a redução do comprimento de ancoragem;
b
,min
0,3 
10 
100 mm
b φ

≥ 




Entre as situações nas quais se tem uma armadura efetiva maior que a 
armadura calculada, duas possibilidades ocorrem com muita frequência:
• ao dimensionar uma seção de concreto armado determina-
mos As e transformamos essa área de aço em barras de 
diâmetros comerciais com área maior ou igual à calculada. 
Observe que às vezes adotamos uma combinação de barras 
com área próxima da calculada, mas normalmente essa área 
supera a calculada em torno de 5% sendo que, em alguns 
casos, pode chegar a 10% ou mais. Na prática, não se consi-
dera a redução do comprimento de ancoragem nesses casos;
240 UNIUBE
• os comprimentos de ancoragem disponíveis nos apoios são 
muito inferiores aos necessários, conforme os valores obtidos 
na Tabela 24. O uso de ganchos nas ancoragens das barras 
que vão aos apoios torna-se, portanto, imperativo, mas ainda 
assim, 31, 27 ou 24φ são comprimentos de ancoragens muito 
grandes para apoios. Nesses casos, a solução é a redução 
desses comprimentos de ancoragens por meio da adoção de 
uma armadura efetiva maior que a calculada, conforme a dis-
ponibilidade de ancoragem oferecida pelo apoio.
5.2.7 Ponto de início de ancoragem
Conforme o item 18.3.2.3.1 da NBR 6118 (2003), o ponto do início 
da ancoragem da barra situa-se na seção teórica onde a tensão σs 
começa a diminuir (o esforço da armadura começa a ser transferido 
para o concreto) e deve prolongar-se pelo menos 10 φ além do ponto 
teórico de tensão σs nula, não podendo em nenhum caso, ser infe-
rior ao comprimento necessário de ancoragem b.nec. Na armadura 
longitudinal de tração dos elementos estruturais solicitados por flexão 
simples, o trecho de ancoragem da barra deve ter início no ponto A 
(Figura 78) do diagrama de forças RSd = MSd/z decalado do comprimen-
to a

, conforme item 17.4.2 da NBR 6118 (2003).
( ) ( )
,max
,max
 . 1 cotg cotg 0,5 
2 
Sd
Sd c
V
a d d
V V
α α
 
= + − ≥ 
−  

 
α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação 
ao eixo longitudinal do elemento estrutural, portanto, para estribos 
verticais ( α = 90° ):
( )
,max
,max
 . 0,5 
2 
Sd
Sd c
V
a d d
V V
 
= ≥ 
−  

 UNIUBE 241
VSd,max Força cortante solicitante de cálculo; máximo esforço 
cortante na face do apoio;
Vc é parcela de força cortante absorvida pela seção de concreto.
Figura 78 – Cobertura do diagrama de força de tra-
ção solicitante pelo diagrama resistente
Fonte: NBR 6118 (2003) - Figura 18.3
À primeira vista, parece que a determinação do ponto de início de 
ancoragem é alguma coisa muito complexa, mas vamos ver com 
este exemplo, que é relativamente simples.
242 UNIUBE
Exemplo 4
Retomar o exemplo 1 e determinar o comprimento total da “barra” 
C. Mostrar para esta “barra” o ponto de início de ancoragem e as 
parcelas referentes à decalagem e à ancoragem. 
Repetindo os dados do exemplo 1:
Concreto C25 e aço CA-50 bw = 20 cm
RA = VSk,Adir = 80 kN RB = 160 kN
VSk,Besq = 100 kN VSk,Bdir = 60 kN
Ap = Bp = 20 cm (dimensão dos pilares na direção da viga)
Portanto, o maior esforço cortante é no apoio B, à esquerda 
(VSk,max = VSk,Besq = 100 kN)
A Figura 72 mostra o resultado da cobertura de diagrama feita no 
exemplo 1.
Como o apoio B tem 20 cm de largura, o eixo do apoio estará cen-
trado, ou seja, a 10 cm da face e, portanto, um trecho de 10 cm 
 UNIUBE 243
da viga estará dentro do pilar e esta parcela pode ser reduzida do 
esforço cortante, portanto uma redução de 0,1 x 30 = 3 kN.
Este é o valor do esforço cortante da face do apoio, a ser adotado,
( ),max 1, 4 100 3 135,8 SdV kN= − =
Vc, a parcela do esforço cortante a ser absorvida pelo concre-
to, será determinada conforme modelo I, na flexão simples, item 
17.4.2.2.b da NBR 6118 (2003):
0,6 . . . c ctd wV f b d=
2 3
,inf ,0,7 . 0,7 . 0,3 . 1, 4ctd ck c ct m c ckf f f fγ γ= = =
2 30,15 . ctd ckf f=
2 3 20,15 . 25 1,282 MPa 0,1282 kN/cmctdf = = =
0,6 . 0,1282 . 20 . 41,5 63,87 kNcV = =
Agora podemos determinar o valor de a

, o valor da decalagem do 
diagrama de momento fletor.
( ) ( )
,max
,max
135,8 . . 0,944 0,5 
2 135,8 63,872 
Sd
Sd c
V
a d d d d
V V
   
= = = ≥   −−    

39,18 40 cma = ≈
244 UNIUBE
A Figura 79 mostra o diagrama de momento fletor decalado. O dia-
grama pontilhado é o diagrama original, o real e, em traços cheios 
o diagrama decalado. Na decalagem do diagrama os pontos do 
diagrama real são transladados horizontalmente de a

, afastando-
se em relação aos seus eixos de momento fletor máximo.
Ordenadas (momento fletor em kN.m) e abscissas (vão da viga em metros)
Figura 79 – Decalagem do diagrama de momento fletor 
Fonte: o autor
A Figura 80 mostra as parcelas do comprimento de uma barra. À 
esquerda e à direita do eixo de momento máximo temos a parcela 
referente à cobertura do diagrama, a parcela referente à decala-
gem a

 e, o comprimento de ancoragem fornecido na Tabela 24.
 UNIUBE 245
Figura 80 – Detalhamento das parcelas do comprimento de uma barra 
Fonte: o autor
Com o valor de a

 = 40 cm e com o comprimento de ancoragem reta 
(básico) fornecido pela Tabela 24, para concreto C25 igual a 38 φ = 
38 x 1,25 = 47,5 cm, o comprimento da “barra” C será: 
• “barra” C à esquerda: 128 + 40 + 47,5 = 215,5 cm
• “barra” C à direita: 128 + 40 + 47,5 = 215,5 cm
• “barra” C Total: 215,5 + 215,5 = 431,0 cm
Exemplo 5
Neste exemplo, vamos analisamos as demais barras. As Figuras 
81 e 82 mostram a cobertura de diagrama com o diagrama real e 
o decalado. Observe que é a partir do diagrama decalado que as 
barras têm o início de sua ancoragem e esse comprimento é de 38 
φ para as barras sem gancho (Tabela 24: concreto C25), ou seja, 
47,5 cm para a barra de 12,5mm e 61 cm para a de 16 mm.
246 UNIUBE
Figura 81 – Tramo AB decalado – Ponto de início de ancoragem das barras 
Fonte: o autor
Figura 82 – Apoio B decalado – Ponto de início de ancoragem das barras 
Fonte: o autor
 UNIUBE 247
As Figuras 81 e 82 nos mostram várias “barras” com problemas, 
mostram também por que a necessidade de se verificar os compri-
mentos à esquerda e à direita das barras.
A Figura 83 mostra o esquema longitudinal da viga, considerando seus 
apoios A e B, com dimensões a = b = 20 cm adotadas no exemplo 4. 
O vão da viga refere-se à distância entre centros de apoios e, o vão do 
balanço, à distância do centro do apoio B à extremidade do balanço. É 
possível visualizar, por meio desta figura, que as barras da armadura 
do tramo AB têm um comprimento limite à esquerda que não pode ser 
ultrapassado, da mesma forma que as barras do apoio B são limitadas 
à direita, pelo comprimento do balanço.
Figura 83 – Esquema longitudinal da viga com apoios 
Fonte: o autor
Conforme mostra a Figura 83, a viga termina no apoio A, portan-
to nenhuma das barras no tramo AB podem ter um comprimento 
superior à distância do eixo do momento fletor máximo positivo 
à lateral externa do apoio A, ou seja, 267 + a/2 e, desse valor 
deve-se ainda descontar o cobrimento de concreto. Adotando-
se um cobrimento c = 2,0 cm e a dimensão do pilar a = 20 cm, 
nenhuma das barras poderá ter à esquerda um comprimento su-
perior a 267 + 10 - 2,0 = 275 cm e, portanto:
248 UNIUBE
• “barra” A (esquerda): Aesq = 267 + 40 + anc. > 275 cm problema!
• “barra” B (esquerda): Besq = 209 + 40 + anc.= 310 cm > 275 cm 
problema!
• “barra” C (esquerda): Cesq = 128 + 40 + anc.= 215,5 cm ≤ 275 cm OK!
O ponto de início de ancoragem da “barra” A está fora da viga e a 
ancoragem da “barra” B inicia-se dentro da viga, porém, termina 
fora da viga. Estas duas barras estão com problemas.
No apoio B à direita, a viga não termina neste apoio, temos um 
balanço, ou seja, a armadura pode se estender até o término do ba-
lanço menos o cobrimento de concreto, ou seja, 200 - 2,0 = 198 cm. 
Esse é o comprimento máximo permitido para as barras, portanto:
• “barra” D (direita): Ddir = 200 + 40 + 61 = 301 cm 
adota-se Ddir = 198 cm
• “barra” E (direita): Edir = 23 + 40 + 47,5. = 110,5 cm OK!
O fato de algumas barras terem apresentado problemas significa 
que precisamos de mais elementos para analisá-las.
5.2.8 Ancoragem nos apoios
A NBR 6118 estabelece alguns critérios para as armaduras longi-
tudinais que resistem aos esforços de tração junto aos apoios de 
vigas simples ou contínuas: 
 UNIUBE 249
• em cada tramo uma parcela mínima da armadura calculada para 
a seção mais solicitada deve ser prolongada até os apoios: 
se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto |Mapoio| ≤ 0,5 Mvão 
 um mínimo de 1/3 (As,vão) deve ser prolongada até o apoio;
se Mapoio for negativo e de valor absoluto |Mapoio| > 0,5 Mvão 
 um mínimo de 1/4 (As,vão) deve ser prolongada até o apoio;
A Figura 84 exemplifica a armadura mínima a ser prolongada aos 
apoios por meio de duas vigas bi apoiadas com balanço à direita. 
Em ambas, o momento fletor máximo no tramo ocorre na seção C 
(seção de aço AsC), o momento no apoio A é nulo e, consequente-
mente, inferior a 1/2 MfC, portanto 1/3 da armadura As,C deve ser 
prolongada até o apoio A. 
Em ambas as vigas têm-se balanço à direita e, consequentemente, 
momentos negativos nos apoios B, porém, na viga da esquerda o 
momento em B, em módulo, é inferior à metade do momento em C 
e, portanto, 1/3 da armadura As,C deve ser prolongada até o apoio B 
da viga esquerda. Na viga à direita o momento em B, em módulo, é 
superior à metade do momento em C e, portanto, 1/4 da armadura 
As,C deve ser prolongada até o apoio B da viga direita.
Figura 84 - Armadura mínima de tração prolongada até os apoios 
Fonte: o autor
250 UNIUBE
• Nos apoios intermediários e extremos se o ponto de início de 
ancoragem estiver na face do apoio ou além dela e a força RSd 
diminuir em direção ao centro de apoio, o trecho de ancora-
gem deve ser medido a partir dessa face.
É a situação da “barra” A do exemplo 5 que é apresentada de forma 
detalhada na Figura 85. Observe que o eixo do apoio da viga está 
dentro do pilar e o ponto de início de ancoragem, está além da face 
externa do apoio (está 30 cm fora da viga).
A Figura 85 mostra à direita a barra, seu ponto de início de anco-
ragem e o comprimento disponível para ancorar a barra, que será 
igual à largura do pilar menos o cobrimento da armadura adotado. 
Figura 85 – Ponto de início de ancoragem além da face do apoio 
Fonte: o autor
• Nos apoios extremos para garantir ancoragem da diagonal de 
compressão, as armaduras devem resistir a uma força de tração:
 . sd d d
aR V N
d
= +
Vd é a força cortante no apoio; e
Nd é a força de tração eventualmente existente; ou seja, salvo os 
casos de flexo-compressão Nd é nulo e, dessa forma:
 UNIUBE 251
 . sd d
aR V
d
= 
Isto nos dá condições para determinar a armadura mínima As,cal 
para garantir a ancoragem da diagonal de compressão.
, sds calc
yd
RA
f
=
• Nos apoios intermediários, as barras prolongadas até o apoio 
deverão atingir a face do apoio e ultrapassá-la em 10 φ, res-
peitando o comprimento mínimo de ancoragem.
Voltamos à situação da “barra” A, ou seja, das barras que deverão 
ir de apoio a apoio (1/3 ou 1/4 da armadura referente ao Mfmax,+ de-
verá ser prolongada até os apoios). Vamos supor que somados os 
comprimentos de cobertura do diagrama, de decalagem e de anco-
ragem a barra não atinja 10 φ além da face do apoio intermediário. 
Nesse caso, a barra deverá ser prolongada até ultrapassar a face 
do apoio em 10 φ. A Figura 86 caracteriza esta situação.
Figura 86 - Barras prolongadas até o apoio intermediário 
Fonte: o autor
252 UNIUBE
• Nos apoios intermediários se houver qualquer possibilidade 
da ocorrência de momentos positivos nessa região, provoca-
dos por situações imprevistas, particularmente por efeitos de 
vento ou eventuais recalques, as barras devem ser contínuas 
ou emendadas sobre o apoio.
5.2.9 Apoios extremos - comprimento mínimo de ancoragem
Nas ancoragens da armadura de tração nos apoios externos vi-
mos que as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir 
da face do apoio e devem ter comprimento igual ao fornecido pelo 
comprimento de ancoragem necessário (b,nec). O espaço disponí-
vel para essa ancoragem é bastante reduzido, pois podemos ter 
como apoio pilares ou vigas com até 12 cm de espessura e, ainda 
é necessário descontar um mínimo de dois centímetros para o co-
brimento da armadura.
A NBR 6118 (2003) permite para as ancoragens de apoio de extre-
midade o comprimento de ancoragem necessário (b,nec) com com-
primento superior ou igual ao maior dos seguintes valores:
,
, 1
,
5,5 
 . . 
60 mm
s calc
b nec b
s efet
rA
A
φ
α
+
= ≥ 

 
Sendo:
b o comprimento básico de ancoragem;
1
1,0 para barras sem gancho
= 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento
 3 no plano normal ao do gancho
α
φ



 ≥
 UNIUBE 253
,
 . 
 =
d
sd
s calc
yd yd
a VR dA
f f
=

;
φ é o diâmetro da barra; e 
r é o raio interno de curvatura da barra (Tabela 25).
A Tabela 27 apresenta os comprimentos mínimos de ancoragem 
em apoios de extremidade, condicionados aos valores do compri-
mento de ancoragem necessário (b,nec).
Tabela 27 - Comprimento de ancoragem mínimo, para 
barras com gancho, chegando ao apoio 
φ
mm
r+5,5φ
cm
Diâmetro interno
de curvatura:
5 φ para φ < 20 mm
8 φ para φ ≥ 20 mm
5,0 6
6,3 6
8,0 7
10,0 8
12,5 10
16,0 13
20,0 19
22,0 21
25,0 24
32,0 30
40,0 38
Fonte: o autor
254 UNIUBE
A Tabela 28 sintetiza uma padronização para a representação grá-
fica dos ganchos conforme apresentado na Figura 86. O gancho de 
90° compreende uma curva de 90°, com ponta reta de comprimento 
não inferior a 8φ e, é graficamente representado por um segmento 
de comprimentoG, perpendicular à extremidade da barra. Nessa 
tabela, consideram-se armaduras longitudinais, aço CA-50 e os di-
âmetros internos de curvatura 5φ e 8φ respectivamente para φ < 
20 mm e para φ ≥ 20 mm. Para φ < 20 mm obteve-se o coeficiente 
k = 9,213 e para φ ≥ 20, k = 10,07.
Figura 87 – Representação esquemática do gancho de 90° 
Fonte: o autor
Tabela 28 - Valores do gancho de 90° para representação gráfica 
φ A B C K G (cm) G (cm)
Calculado Adotado
5,0 4,0 2,4 1,8
9,2
4,6
10
6,3 5,0 3,0 2,2 5,8
8,0 6,4 3,8 2,8 7,4
10,0 8,0 4,7 3,5 9,2
12,5 10,0 5,9 4,4 11,5 15
16,0 12,8 7,5 5,6 14,7
 UNIUBE 255
20,0 16,0 14,1 10,0
10,07
20,1 25
22,2 17,8 15,7 11,1 22,0
25,0 20,0 17,7 12,5 25,2 30
32,0 25,6 22,6 16,0 32,2 35
40,0 32,0 28,3 20,0 40,3 45
Fonte: o autor
Exemplo 6
Retomar os exemplos 4 e 5 e concluir o exercício. 
Antes de iniciar, vamos recuperar as informações já obtidas.
Obs.: será usada ancoragem com gancho (Tabela 24, C25 - 27 φ)
a

 = 40 cm, φ = 12,5 → b,nec = 27 φ = 34 cm e φ = 16 → 
b,nec = 27 φ = 44 cm
256 UNIUBE
Barra A - Ancoragem de apoio (Apoio A)
0,944 . . 1, 4 . 80 105,73 kNsd d
a dR V
d d
= = =
2
,
105,73 = 2,43 cm
50 1,15
sd
s calc
yd
RA
f
= =
,
, 1
,
 . . s calcb nec b
s efet
A
A
α= 
21
, ,
,
 . 27 104,98 . 2, 43 . = 5,83 cm
18 18
b
s efet s calc
b nec
A A α φ= = =

( )
,
5,5 2,5 5,5 . 16 128 mm
18 cm
60 mmb nec
r φ+ = + == ≥ 


(Exemplo 1)
As,AB = 10,40 cm2 - adotado 4 φ 16 + 2 φ 12,5 (10,49 cm2)
Apoio A - ancorar no mínimo de 1/3 de As = 3,47 cm2 - como 5,83 
> 1/3 de As = 3,47 cm2→ ok!
No apoio A devem ser ancoradas as barras A e B (4 φ 16 = 8,0 cm2)
Apoio B - ancorar no mínimo de 1/4 de As = 2,6 cm2
No apoio B deve ser ancorada a barra A (2 φ 16 = 4,0 cm2)
Tramo AB à esquerda ≤ 257 + 18 = 275 cm
 à direita - distância à face do apoio B = 323 cm
 UNIUBE 257
• “barra” Aesq = ancoragem de apoio = 257 + 18 = 275
• “barra” Adir =267 + 40 +44 = 351 cm > 323 + 10x1,6 = 339 
(face apoio + 10 φ ok!!)
• “barra” Besq = ancoragem de apoio = 257 + 18 = 275
• “barra” Bdir =209 + 40 +44 = 293
• “barra” Cesq = Cdir =128 + 40 + 34 = 202 cm
Apoio B à direita - disponível pelo balanço = 200 - 2 = 198 cm
• “barra” Desq = 67 + 40 + 44 = 151 cm
• “barra” Ddir = Balanço = 198 cm
• “barra” Eesq = 14 + 40 + 34 = 88 cm
• “barra” Edir = 23 + 40 + 34 = 97 cm
Ganchos: Tabela 28 - para φ12,5 e φ16 mm o valor de G = 15 cm
Na Figura 88 é apresentado um esquema da armadura longitudinal 
da viga calculada neste exemplo. Vamos observar um pouco a figu-
ra para explicar algumas alterações feitas no desenho.
258 UNIUBE
Figura 88 - Representação esquemática da armadura longitudinal 
Fonte: o autor
Observações:
a. Em uma prancha de armação são desenhadas várias vigas e 
as barras são numeradas em cada viga, da esquerda para a 
direita, de cima para baixo e, desta forma, a barra D tornou-
se a N2, a barra E a N3, a barra C a N4, a barra B a N5 e a 
barra A a N6;
b. Sempre que tivermos barras idênticas, com mesma geometria 
e dimensões, na mesma viga ou em outras vigas da mesma 
prancha, elas terão a mesma numeração;
c. Para os comprimentos das barras foram tomados múltiplos 
de cinco. Para a barra N2 (barra D), por exemplo, foram de-
terminados 151 cm à esquerda e 198 cm à direita totalizando 
349 cm. Este comprimento foi arredondado para 350 cm que, 
somados aos 30 cm dos ganchos totalizam os 380 cm apre-
sentados como comprimento total da barra;
 UNIUBE 259
d. As barras precisam ser locadas na viga. As barras N2, N5 e 
N6 são posicionadas 2,0 cm afastadas da forma. A barra N5 
está a 75 cm da forma lateral do Apoio A;
e. Para a barra N3 foram feitas três locações (88 e 97, respecti-
vamente, à esquerda e à direita do centro do apoio e, 103 cm a 
partir da forma da extremidade do balanço). Esta redundância 
de locações não só é desnecessária, como deve ser evitada;
f. Os pontos de momento fletor máximo positivo devem ser evi-
tados para a locação das barras, pois primeiro teríamos que 
locá-los no projeto e as referências para locação devem ser 
físicas, como as formas, os eixos de apoios etc.;
g. Em um projeto, o eixo do momento fletor máximo positivo não 
seria desenhado, assim como a palavra cobrimento não seria 
escrita e nem as contas 277-202 e 200-97 seriam indicadas.
5.2.10 Armaduras construtivas e porta estribos
As barras N1 e N7 não foram calculadas, elas simplesmente foram 
acrescentadas ao detalhamento. Estas barras são denominadas 
armaduras construtivas. Cada seção deve ter um número mínimo 
de barras para fixação dos estribos, na seção retangular devemos 
colocar uma barra em cada canto. 
As barras da armadura estrutural, estas que calculamos para a armadura 
de flexão podem ser usadas para a fixação dos estribos, mas na viga 
ficaram algumas regiões sem armadura de flexão. Na borda superior te-
mos um longo trecho do apoio A até a barra N2, e na borda inferior, toda 
a região do balanço. Daí a necessidade das barras N1 e N7.
260 UNIUBE
A barra N1 é o que denominamos como porta estribo. Deve ter 
diâmetro maior ou igual ao do estribo (≥ 5,0 mm) e maior ou igual a 
¼ do maior diâmetro da armadura longitudinal (≥ ¼ . 16 = 4,0 mm).
Esta barra é construtiva, não tem função estrutural, portanto não 
necessita de ganchos e seu comprimento deve ter início na face do 
apoio A, ir até alcançar a barrar N2 e ultrapassá-la 10 ou 15 cm, o 
necessário para amarrá-la à N2 com arame recozido. 
A barra N7 também vai trabalhar como porta estribo, porém é di-
ferente da barra N1. Observe que durante a construção a extre-
midade do balanço pode estar apoiada, aliás, durante a vida útil 
da estrutura isto pode acontecer, portanto a armadura na borda 
inferior deve atender aos quesitos da armadura mínima de flexão.
No Capítulo III, quando estudamos as lajes, apresentamos na 
Tabela 11 as taxas mínimas de armadura de flexão para vigas 
de seção retangular. Está estranhando esta tabela estar no con-
teúdo referente a lajes? Não se esqueça de que as lajes foram 
modeladas como vigas fictícias de 1,0 m de largura. Vamos repetir 
esta tabela aqui, ok? 
Tabela 29 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas de seção retangular
Valores de ρmin = As,min/Ac (%)
 fck
ωmín
20 25 30 35 40 45 50
0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
Fonte: NBR 6118 – item 17.3.5 – Tabela 17.3
 UNIUBE 261
Valores de ρmin estabelecidos para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15.
ωmin = taxa mecânica mínima de armadura longitudinal
para valores diferentes de fck, fyk, γc , e γs min min .
cd
yd
f
f
ρ ω=
Como nossa viga tem 20 x 45 cm, e concreto C25, da tabela, temos: 
ρmin = 0,15 %, portanto:
As,min = ρmin . Ac = 0,0015 . 20 . 45 = 1,0 cm2. 
Duas barras de 8,0 mm seriam suficientes, mas vamos adotar para 
a barra N7 φ de 10,0 mm. 
A barra N7 pode ter função estrutural, portanto seu comprimento 
deve ir da face do balanço, respeitado o cobrimento, e penetrar 
10φ a face do apoio B., no caso fomos até a outra face.
5.2.11 Ancoragens de barras comprimidas
Na construção de um edifício, normalmente executamos os pila-
res, as vigas e as lajes de cada pavimento, sistematicamente até 
a cobertura. É comum vermos que a armadura dos pilares do pa-
vimento concretado fica “esperando” as armaduras dos pilares do 
pavimento superior (Figura 89). Esta é a armadura de espera, de 
arranque ou de emenda por aderência. 
Nas estruturas usuais de concreto armado, o exemplo mais co-
mum do uso das armaduras comprimidas acontece nos pilares e, 
são nestes que acontece com mais frequência, a necessidade da 
262 UNIUBE
emenda (por aderência) das barras comprimidas. Outro caso bas-
tante comum do uso de barras comprimidas ocorre nas vigas cal-
culadas com armadura dupla.
Figura 89 – Representação esquemática de emen-
das das armaduras longitudinais de pilares 
Fonte: o autor
O comprimento de ancoragem das barras comprimidas é calculado como 
o comprimento de ancoragemreta (sem gancho) das barras tracionadas.
5.3 Emendas de barras por aderência
5.3.1 Introdução
As emendas de barras de aço são bastante comuns nos projetos e 
obras de concreto armado. Podemos ter vigas de grandes vãos em 
que as barras precisam ser emendadas para atingir o comprimento 
 UNIUBE 263
necessário ou, a ligação de elementos estruturais executados em 
diferentes etapas, como são os casos, por exemplo, das armadu-
ras de espera de escadas, marquise, pilares etc. As emendas das 
barras para concreto armado podem ser:
• Por traspasse;
• Por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou 
prensadas;
• Por solda;
• Por outros dispositivos devidamente justificados.
Neste texto vamos abordar apenas as emendas por traspasse, ou 
seja, as emendas baseadas na aderência entre o aço e o concreto.
Quando introduzimos os conceitos de aderência e ancoragem vi-
mos que o comprimento de ancoragem era um trecho na extremi-
dade da barra em que os esforços atuantes na barra são transfe-
ridos para o concreto ou, dito de outra forma, a região em que se 
gera a tensão de serviço, de zero na extremidade da barra até σs. 
Este é o princípio da emenda por traspasse e é mostrado na Figura 
90. Acima, temos uma barra “A” com seus trechos de ancoragem 
e, a seguir, duas barras “B” e “C” emendadas por traspasse com o 
mesmo comprimento da barra “A”.
264 UNIUBE
Figura 90 – Princípio da emenda por traspasse 
Fonte: o autor
No detalhe da região do traspasse podemos observar que as duas 
barras juntas têm a tensão de serviço, por exemplo, na seção A 
temos σs para a barra B e zero para a barra C. Na seção D, temos 
1/4 e 3/4 de σs, ou seja, a barra B a partir da seção A inicia a trans-
ferência dos esforços atuantes na barra para o concreto e a barra 
C, a partir da seção A inicia a geração da tensão de serviço, por 
meio da aderência.
Evidentemente estamos apenas expondo o conceito, o princípio da 
emenda por traspasse. Como veremos a seguir, o comprimento da 
emenda deverá ser um pouco maior que o comprimento de ancora-
gem, pois, uma barra única, inteira, é muito mais “segura” que duas 
barras emendadas e, dessa forma, quanto mais crítica, mais desfavo-
rável, forem as condições da emenda, por exemplo, a proporção de 
barras emendadas, a proximidade das barras emendas etc., maior 
será a majoração do comprimento de ancoragem para a emenda.
 UNIUBE 265
5.3.2 Emendas por traspasse 
A NBR 6118 (2003) estabelece algumas restrições para as emendas de 
barras por traspasse (ou por aderência), não permitindo seu uso para:
• barras de bitola superior a 32 mm; 
• feixes com o diâmetro do círculo de mesma área superior a 45 mm;
• elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracio-
nada (tirantes e pendurais).
O comprimento das emendas será determinado em função de três fatores:
• distância livre entre barras emendadas; 
• proporção de barras emendadas na mesma seção;
• comprimento de ancoragem necessário.
A Figura 91 mostra quatro barras em planta e na seção transversal 
da viga, sendo que as barras laterais A e D estão emendadas por 
traspasse. Apoiados nesta figura, tecemos algumas considerações 
sobre as emendas por traspasse:
Figura 91 – Distância livre entre barras emendadas
Fonte: o autor
266 UNIUBE
• Começamos por algumas questões de ordem prática, por 
exemplo, evitar fazer as emendas na região de momentos 
fletores máximos, pois é a região mais armada, com maior 
número de barras. As emendas devem ser feitas, preferen-
cialmente, nos quartos extremos dos vãos;
• Um ponto negativo das emendas por traspasse é a dificulda-
de de acomodar as barras na seção da viga, pois cada barra 
emendada é duplicada na região da emenda;
• Dividir o número de barras emendadas entre os dois lados da 
viga, além de melhorar a acomodação das barras na seção, 
reduz a proporção de barras emendadas na seção.
5.3.2.1 Emendas supostas na mesma seção transversal
Se a distância entre o término de uma emenda e o início de outra for 
inferior a 20% do maior comprimento do trecho de traspasse essas 
emendas são consideradas na mesma seção transversal. Observando 
a Figura 92 e considerando  01 e  02, os comprimentos de ancoragem 
das barras 1 e 2 com  01 = 100 cm e  02 = 80, a distância entre o tér-
mino de uma e o início da outra emenda deveria ser superior a 20 cm 
para que não sejam consideradas na mesma seção transversal.
 UNIUBE 267
Figura 92 – Emendas supostas na mesma seção transversal 
Fonte: NBR 6118 – Figura 9.3
Quando as barras têm diâmetros diferentes, usamos o maior diâ-
metro para o cálculo do comprimento de traspasse.
5.3.2.2 Proporção máxima de barras tracionadas 
emendadas na mesma seção
A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal 
emendadas por traspasse na mesma seção transversal do elemen-
to estrutural deve ser a indicada na Tabela 30.
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de 
distribuição, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção.
268 UNIUBE
Tabela 30 – Proporção máxima de barras tracionadas emendadas 
Tipo de barra Situação
Tipo de carregamento
Estático Dinâmico
Alta aderência em uma camada
em mais de uma camada
100%
50%
100%
50%
Lisa φ < 16 mm
φ ≥ 16 mm
50%
25%
25%
25%
Fonte: NBR 6118 – Tabela 9.3
Considerando que o aço estrutural para concreto armado é o CA-
50, um aço de alta aderência, a proporção máxima de barras tra-
cionadas emendadas, conforme a Tabela 29 será 100% quando as 
barras estiverem dispostas em apenas uma camada e, 50% quan-
do em mais de uma camada.
5.3.2.3 Comprimento de traspasse de barras tracionadas isoladas
Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compre-
endida entre zero e 4φ, o comprimento do trecho de traspasse para 
barras tracionadas será:
0t 0t b,nec 0t,min . α= ≥  
Sendo: α0t o coeficiente função da porcentagem de barras emenda-
das na mesma seção (Tabela 31), 
0t b
0t,min
0,3 . . 
15 
200 mm 
α
φ

≥ 




 UNIUBE 269
Se distância livre entre barras emendadas for maior que 4φ, ao compri-
mento  0t deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas.
Tabela 31 – Valores do coeficiente α0t 
Barras emendadas na mesma seção (%) ≤ 20 25 33 50 > 50
Valores de α0t 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Fonte: NBR 6118 – Tabela 9.4
5.3.2.4 Comprimento por traspasse de 
barras comprimidas, isoladas
Conforme a NBR 6118, 2003, item 9.5.2.3, o comprimento de traspas-
se das barras comprimidas, é determinado por meio da expressão:
0c n,nec 0c,min= ≥   Sendo: 
b
0c,min
0,6 . 
15 
200 mm 
φ

≥ 




Considerações finais
Neste capítulo aprendemos o conceito de ancoragem, de emendas 
por traspasse e, por fim, aprendemos o detalhamento longitudinal 
da armadura de flexão. Terminamos fazendo o cálculo e detalha-
mento completo da armadura de flexão de uma viga. 
O detalhamento da armadura de flexão apresentado na Figura 88 
está pronto, completo, inclusive com as armaduras construtivas. 
Este detalhamento está pronto para ser desenhado em uma planta 
270 UNIUBE
de armação das vigas de uma planta de forma de um pavimento 
tipo, por exemplo.
Isto significa que estamos quase chegando ao final. No próximo 
capítulo, vamos ver o cisalhamento, vamos aprender a calcular e 
detalhar a armadura de cisalhamento, os estribos.
Ao acrescentarmos o detalhamento dos estribos à Figura 88, o de-
talhamento da nossa viga exemplo estará completo e esta etapa do 
nosso curso, concluída.
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
Vigas de concreto armado 
– cisalhamento
Capítulo
6
Fazer um cálculo exato, perfeitamente exato, signifi ca fazer 
matemática, porém, teríamos procedimentos complexos, 
extensos e demorados, que inviabilizariam os procedimentos 
normais do engenheiro, então vamos estabelecer 
simplifi cações, isto é o que chamamos modelagem 
matemática, ou modelagem teórica e é o que faremos agora 
ao estabelecer nossas hipóteses de cálculo.
Anteriormente, conceituamos modelagem matemática como 
sendoa adoção de hipóteses simplifi cadoras que viabilizem 
nossos cálculos, fornecendo-nos resultados rápidos e confi áveis. 
Há muito tempo, mais precisamente no início do século 20, o 
estudo do concreto armado ainda estava engatinhando, um 
engenheiro alemão chamado Emil Mörsch (1872-1950) propôs 
um método para calcular vigas de concreto armado. Mörsch 
propôs uma analogia entre uma viga fi ssurada e uma treliça, 
ou seja, resolvendo esta treliça teríamos todas as informações 
relativas à viga de concreto. Um século depois essa treliça é 
conhecida como Treliça Clássica de Mörsch – Ritter.
Considerando uma viga bi apoiada de seção retangular, 
Mörsch admitiu que, após a fi ssuração, seu comportamento 
é similar ao de uma treliça como a indicada na Figura 93.
Figura 93 – Treliça clássica de Mörsch – Ritter 
Fonte: o autor
Supondo vigas de seção constante com armadura 
longitudinal suficientemente ancorada, temos:
• Banzo comprimido - zona comprimida de - concreto, de altura x;
• Banzo tracionado - barras da armadura longitudinal de tração;
• Montantes tracionados - formado pela reunião dos estribos 
contidos na distância “z”, supostos como um único estribo 
equivalente, adotados como estribos verticais;
• Diagonais comprimidas – admitidas fissuras a 45º com a 
horizontal, o concreto não fissurado entre duas fissuras, 
formam as bielas de compressão;
• “z” – é o braço de alavanca, o braço do binário formado pela resultante 
de concreto comprimido e pela resultante de aço tracionado.
Resolvendo a treliça, a força nas barras do banzo superior 
nos fornecia a resultante de compressão no concreto, a força 
nas barras do banzo inferior nos fornecia a resultante de 
tração no aço, a força nos montantes verticais nos permitia 
verificar o cisalhamento e a força nas diagonais nos permitia 
analisar o esmagamento do concreto.
A chamada treliça clássica de Ritter-Mörsh foi uma das 
concepções mais fecundas na história do concreto armado. 
O dimensionamento à flexão foi muito modificado ao longo 
dos anos, muitos modelos teóricos foram adotados em 
vários países do mundo. No Brasil, o dimensionamento à 
flexão já foi feito pelo Estádio I, Estádio II, Estádio III e desde 
1975 pelos Estados Limites, mas quanto ao cisalhamento, 
.... um século depois, calculamos os nossos estribos para 
combater o cisalhamento e verificamos o esmagamento do 
concreto com base na treliça Clássica de Morsch – Ritter.
Evidentemente, cem anos se passaram e nesse período os 
ensaios laboratoriais e as pesquisas foram aprimorados, 
afinal foram desenvolvidas novas tecnologias, novos 
equipamentos, uma revolução nos instrumentos de medição 
e é claro, os meios computacionais. Este desenvolvimento 
científico nos mostraram imperfeições na teoria da treliça de 
Mörsch, por exemplo:
• a inclinação das fissuras é inferior a 45°; 
• na região próxima aos apoios, o banzo superior inicia um processo 
de arqueamento, inclinando-se até encontrar o banzo inferior;
• A treliça isostática, por hipótese, é na realidade muito 
hiperestática. As bielas e o banzo superior, ambos 
comprimidos se conectam rigidamente.
As normas de concreto adotam o modelo teórico proposto por 
Mörsch-Ritter, com as correções devidas ao desenvolvimento 
científico e tecnológico ocorridas neste período.
Objetivos
• Conceituar o cisalhamento em vigas de concreto 
armado;
• Desenvolver uma metodologia de cálculo, conforme as 
prescrições estabelecidas pela NBR 6118.
• Cisalhamento - verificação do estado-limite último
• Verificação de esmagamento de bielas
• Cálculo da armadura transversal
• Cargas próximas aos apoios 
• Cálculo da parcela a ser absorvida pelo concreto
• Cálculo da parcela a ser absorvida pela armadura
• Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado
• Cálculo da armadura transversal com a utilização de tabelas
Esquema
Cisalhamento - verificação do estado-limite último6.1
A verificação do cisalhamento em elementos lineares é tratada pela 
NBR 6118 a partir do item 17.4.1 de uma forma bastante simples e 
clara, delineando toda a sequência de cálculo. São admitidos dois 
modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo em 
treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes 
complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e 
traduzidos por uma componente adicional Vc.
Em uma seção qualquer de uma viga, ela estará submetida a um 
esforço cortante que terá uma parcela absorvida pelo concreto e a 
outra pela armadura.
Sd c swV V V= +
Onde:
VSd = esforço cortante atuante na seção;
Vc = parcela do esforço cortante absorvida pelo concreto;
Vsw = parcela do esforço cortante absorvida pela armadura.
 UNIUBE 275
Modelo de cálculo I: neste modelo são admitidos:
• as diagonais de compressão têm uma inclinação constan-
te θ = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento;
• a parcela complementar Vc tem um valor constante, indepen-
dentemente de VSd.
Modelo de cálculo II: neste modelo são admitidos:
• as diagonais de compressão têm uma inclinação variável 30º 
≤ θ ≤ = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento;
• a parcela complementar Vc sofre reduções com o aumento de VSd.
A norma nos apresenta dois modelos para verificar o cisalhamento, 
o Modelo I, mais simples, e o Modelo II, um “pouquinho” mais com-
plicado, e nos é permitido optar por qualquer um dos dois. A nossa 
opção, será pelo Modelo I, e mais, como a expressiva maioria dos 
autores abordaremos apenas o Modelo I.
Na introdução observamos que ao resolver a treliça de Mörsch-
Ritter, a força nas barras do banzo superior nos fornecia a resultan-
te de compressão no concreto, a força nas barras do banzo inferior 
nos fornecia a resultante de tração no aço, a força nos montantes 
verticais nos permitia verificar o cisalhamento e a força nas diago-
nais nos permitia analisar o esmagamento do concreto.
As forças nos banzos superior e inferior é a parte referente à fle-
xão, e na introdução observamos que seria resolvida com base em 
outro modelo teórico. Temos, então, três problemas para resolver:
276 UNIUBE
• as bielas (diagonais) de compressão;
• os montantes (estribos verticais);
• resolver o problema de usarmos dois modelos teóricos ao tra-
balharmos em uma mesma viga.
O que faremos a seguir será resolver estes três problemas:
• o primeiro será verificar o esmagamento das bielas de compressão;
• o segundo, em uma seção qualquer submetida a um determinado 
esforço cortante, determinar quanto o concreto absorve, e com a di-
ferença que caberá ao aço, determinar a armadura de cisalhamento;
• o terceiro será compatibilizar os dois modelos mediante a de-
calagem do diagrama de momento fletor.
6.2 Verificação de esmagamento de bielas
A resistência do elemento estrutural, em uma determinada seção 
transversal, deve ser considerada satisfatória, quando verificadas 
simultaneamente as seguintes condições:
O esforço cortante solicitante VSd deve ser inferior à força cortante 
resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas 
de concreto VRd2.
2Sd RdV V≤
Sendo 2 20, 27 . . . . Rd v cd wV f b dα=
 UNIUBE 277
Onde:
( )2 1 / 250v ckfα = − fck, expresso em megapascal (MPa)
( )2 1 / 25v ckfα = − fck, expresso em kN / cm2.
IMPORTANTE!
Em edifícios, nas vigas de seção retangular nunca teremos esma-
gamento de bielas. Nas vigas de seção T o esforço cortante atinge 
valores muito altos, mas raramente produzem o esmagamento das 
bielas. Em pontes de concreto armado de duas longarinas, as vi-
gas são calculadas como seção T e é comum o esmagamento de 
bielas. Neste caso, a solução é próxima aos apoios alargar a seção 
pelo lado de dentro da viga.
6.3 Cálculo da armadura transversal
DICAS
Nas vigas temos a armadura de flexão que denominamos armadura lon-
gitudinal e representamos por φℓ. Para o cisalhamento usamos os estri-
bos chamados como armadura transversal e representados por φt.
278 UNIUBE
3Sd Rd c swV V V V= = +
VRd3 é a força cortante resistente de cálculo, relativa àruína 
por tração diagonal;
Vc é a parcela de força cortante absorvida pelo concreto; e
Vsw é a parcela a ser absorvida pela armadura transversal, con-
forme os modelos I ou II.
6.3.1 VSd - Cargas próximas aos apoios
A Norma permite que próximo aos apoios diretos (carga e a reação 
de apoio aplicado em faces opostas comprimindo-o), se faça redu-
ções no esforço constante:
• para carga distribuída: , 2Sd Sd dV V= permite tomar como VSd o 
valor do esforço cortante a uma distância d/2 a partir da face 
do apoio (Figura 94);
Figura 94 – Redução do esforço cortante – cargas distribuídas 
Fonte: do autor
• para carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do eixo 
teórico do apoio: a parcela do esforço cortante referente à carga 
concentrada pode ser reduzida, multiplicando-a por a/(2d).
 UNIUBE 279
ATENÇÃO
Estas reduções não se aplicam à verificação do esmagamento das 
bielas. Somente são válidas para o cálculo da armadura transversal.
6.3.2 Cálculo da parcela a ser absorvida pelo concreto
0,6 . . . c ctd wV f b d=
,inf 2/3 2/3
,
0,7 0,7 . 0,3 . . 0,15 . 
1, 4
ctk
ctd ct m ck ck
c c
f
f f f f
γ γ
= = = =
Vc parcela a ser absorvida pelo concreto;
bw largura na alma da viga (menor largura ao longo da altura útil);
d altura útil;
fctd resistência de cálculo do concreto à tração;
fct,m resistência média do concreto à tração.
DICA
Sempre que tivermos uma raiz de fck devemos entrar com o valor em 
Mpa. É preciso tomar muito cuidado porque o cálculo é feito em kN/cm2. 
280 UNIUBE
6.3.3 Cálculo da parcela a ser absorvida pela armadura
Sd c sw sw Sd cV V V V V V= + → = − 
Onde:
( ) ( ) . 0,9 . . . cos sw sw ywdV A s d f sen α α= +
Asw Seção da armadura transversal (de um estribo);
fywd é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao 
valor fyd , não se tomando valores superiores a 435 MPa;
α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao 
eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°.
IMPORTANTE!
A armadura de cisalhamento pode ser constituída apenas por estribos, 
que podem ser verticais ou inclinados, ou por estribos e barras dobradas.
As barras dobradas são o aproveitamento da armadura de flexão, 
com suas extremidades dobradas a 45º para combater o cisalha-
mento. Quando utilizadas elas não podem resistir a uma parcela 
superior a 60% do esforço cortante. Seu uso é desaconselhado por 
inviabilidade técnica e econômica. Muito comum até a década de 
1960 atualmente é raramente usada. 
Os estribos inclinados, por atuarem normalmente à abertura das 
fissuras de cisalhamento, em princípio, poderiam proporcionar uma 
redução de diâmetro, porém por estarem inclinados a 45º teriam 
 UNIUBE 281
um comprimento 40% maior. Devemos considerar também os pro-
blemas construtivos decorrentes da fixação de armaduras inclina-
das. Por estes motivos não são muito utilizados.
Considerando a armadura transversal composta apenas por estri-
bos verticais, teremos α = 90º e, portanto, sen α = 1 e cos α =0, 
desta forma:
( ) . 0,9 . . sw Sd c sw sw ywdV V V V A s d f= − =
O que nos dá o espaçamento dos estribos, em função do diâmetro 
do estribo adotado.
 . 0,9 . . sw ywd
sw
A d f
s
V
=
DICAS
Normalmente, adotamos estribos de 5,0 mm, o menor diâmetro 
permitido para estribos. Se o espaçamento for muito pequeno, 
por exemplo, 5,0 ou 6,0 cm, adotamos o diâmetro 6,3 mm e assim 
sucessivamente.
As tensões de cisalhamento são tensões pequenas e distribuídas e 
devem ser combatidas por ferros finos e bem distribuídos ao longo 
da viga. Em edifícios normalmente resolvemos com o diâmetro de 
5,0 mm e excepcionalmente com o 6,3 mm. É preciso ser uma viga 
muito solicitada para usarmos um estribo de 8,0 mm em edifícios.
282 UNIUBE
Saiba mais
Em uma longarina de ponte, uma viga com vão de 25 a 30 m e seção 
(bw x h) 25 a 30 x 220 a 230 cm, usamos estribos de 10 mm ou 12,5 mm.
Os estribos podem ser de 2, 3 ou 4 ramos. Ramos são as pernas, 
os montantes dos estribos e a seção transversal dos estribos é 
dada pelo produto da seção da barra pelo número de ramos. Na 
Figura 95 exemplificamos estes estribos.
Figura 95 – Desenho esquemático de estribos 
Fonte: o autor
6.3.3.1 Taxa mínima de armadura de cisalhamento
Aprendemos a calcular a armadura de cisalhamento para um deter-
minado esforço cortante, no caso, adotado um diâmetro, o esforço 
cortante no apoio esquerdo nos dará um determinado espaçamen-
to de estribos e o esforço cortante no apoio direito nos dará outro 
(ou o mesmo) espaçamento de estribos.
 UNIUBE 283
Tomemos como exemplo uma viga bi apoiada submetida a uma carga 
uniformemente distribuída. O esforço cortante é positivo à esquerda 
terminando negativo à direita, sendo nulo no meio da viga.
A questão é que calculamos o espaçamento dos estribos para os 
esforços cortantes nos apoios, ou seja, os esforços cortantes má-
ximos, portanto, calculamos os espaçamentos mínimos. São estes 
espaçamentos que vamos utilizar no meio da viga? Aliás, não che-
gará um momento em que apenas o concreto poderá absorver todo 
o esforço cisalhante?
A resposta é não para a primeira pergunta e sim para a segunda, 
mas a segunda pergunta tem um problema: a norma não permite 
que apenas o concreto absorva todo esforço cisalhante, ela exige 
uma taxa mínima de armadura de cisalhamento, mesmo que o es-
forço cortante seja nulo. No item 14.4.1.1., a NBR 6118 prescreve 
que todos os elementos lineares submetidos a força cortante, de-
vem conter armadura transversal mínima constituída por estribos, 
com taxa geométrica:
,0, 2 . 
 . . 
ct msw
sw
w ywk
fA
b s sen f
ρ
α
= ≥ como sen α = 1
,0, 2 . 
 . 
ct msw
sw
w ywk
fA
b s f
ρ = ≥
Como 
2/3
, 0,3 . ct m ckf f= e 435 500 ywd ywkf MPa f MPa≤ ∴ ≤ po-
demos tabelar ρsw,mim em função de fck. Veja a Tabela 6.3
284 UNIUBE
6.3.3.2 Esforço cortante relativo à taxa mínima 
de armadura de cisalhamento
Se podemos determinar a armadura de cisalhamento para um esforço 
cortante, podemos fazer o caminho inverso, a partir da armadura de 
cisalhamento podemos determinar o esforço cortante que a produz.
Temos que:
( ) . 0,9 . . sw sw ywdV A s d f= é a parcela do esforço cortante que 
cabe ao aço 
 . 
sw
sw
w
A
b s
ρ = é a taxa da armadura de cisalhamento, portanto:
 . 0,9 . . = . . 0,9 . . = . . 0,9 . . 
 . 
sw sw
sw ywd w ywd sw w ywd
w
A AV d f b d f b d f
s s b
ρ=
,0, 2 . ct msw
ywk
f
f
ρ ≥ é a taxa mínima da armadura de cisalhamento, portanto:
, . max.
,min. . . 
sw sw
sw sw mim
w w sw
A As
b s b
ρ ρ
ρ
= ≥ ∴ ≤ é o espaçamento máximo.
,min. ,min. . . 0,9 . . sw sw w ywdV b d fρ=
Como ,min. ,min.Sd sw c Sd swV V V V V V= + → = +
,min.
, .
SdSd
k k mim
f f
VVV V
γ γ
= → =
 UNIUBE 285
DICAS
Em um diagrama de esforço cortante temos condições de deter-
minar o esforço cortante que, para valores abaixo dele teremos a 
taxa mínima de armadura de cisalhamento, portanto os maiores 
espaçamentos, e para valores acima dele teremos a armadura de 
cisalhamento a ser determinada, portanto com taxas de armadura 
de cisalhamento acima da mínima e com espaçamentos menores.
6.3.3.3 Prescrições de norma para a armadura de cisalhamento
Já aprendemos a determinar as regiões onde vamos ter que cal-
cular a armadura de cisalhamento, as regiões onde vamos colocar 
a taxa mínima de armadura e a calcular estas armaduras. Para 
encerrarmos, precisamos ver algumas prescrições da norma para 
a armadura de cisalhamento:
• O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou 
igual a 5 mm, e menor ou igual a 1/10 da largura da alma da 
viga. No caso de estribos formados por telas soldadas, o diâ-
metro mínimo pode ser reduzido para 4,2 mm, desde que se-
jam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura.
• O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o 
eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente 
para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom 
adensamentoda massa.
• O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições:
2 máx.Se 0,67 . então 0,6 . d 300 mmd RdV V s≤ = ≤ ;
2 máx.Se 0,67 . então 0,3 . d 200 mmd RdV V s> = ≤ .
286 UNIUBE
• Os estribos para armaduras de cisalhamento devem ser fe-
chados por meio de um ramo horizontal, envolvendo as bar-
ras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face 
oposta, a superior.
Quando essa face também estiver tracionada, caso de balanços ou 
regiões de momento negativo em vigas contínuas, o estribo deve 
ser fechado também para envolver a armadura superior.
Propõe-se colocar nestas regiões os estribos com os ganchos na par-
te inferior e estribos com os ganchos na parte superior intercalados.
6.3.4 Exemplo de cálculo
Pronto, já temos condições de fazer um exercício completo para 
aplicarmos o que aprendemos. 
Vamos retomar a viga que usamos no capítulo anterior para deta-
lhar a armadura de flexão e finalizar o dimensionamento dela com 
o cálculo e detalhamento da armadura de cisalhamento.
Dados: concreto C25, aço CA-60 para os estribos, bw = 20 cm. O 
Apoio A e B têm 20 e 25 cm na direção da viga.
A viga já foi calculada a flexão, obtendo-se: h = 45 cm e d = 40,5 (41,5) cm
 UNIUBE 287
As (+) = (4φ16) + 2φ12,5 e As (-) = (2φ12,5 + 1φ12,5) 
Redução do cortante nos apoios:
Apoio A sA = 0,1+0,2025 = 0,3025 m
 red = sA . p = 9,075 VkA,red = 70,93 kN
Apoio Besq sBesq = 0,125+0,2025 = 0,3275 m
 red = sBesq . p = 9,825 kBe,red = 90,18 kN
Apoio Bdir sBdir = 0,125+0,2025 = 0,3275 m
 red = sBdir . p = 9,825 VkBd,red = 50,18 kN
288 UNIUBE
a. Verificação do esmagamento de bielas
( ) ( )2 1 / 25 0,91 2,5 / 25v ckfα = == − − fcd = 1,786 kN/cm2.
2 20, 27 . . . . Rd v cd wV f b dα= =
2 0, 27 . 0,9 . 1,786 . 20 . 40,5RdV = = 351,54 kN
,max. 21, 4 . 100,0 140Sd RdV V= = <<< ,max. 20, 40 . !Sd RdV V ok=
b. Determinação da parcela Vc absorvida pelo concreto
2/3 2/3 20,15 . 0,15 . 25 1,28 0,128 kN/cmctd ck ctdf f MPa f= = = =
0,6 . . . 0,6 . 0,128 . 20 . 40,5 62,208 c ctd wV f b d kN= = =
c. Determinação de Vk,min
,min. ,min. . . 0,9 . . sw sw w ywdV b d fρ=
,min. 0,103% . 20 . 0,9 . 40,5 . 43,5 32,7 kNswV = =
,min. ,min. 32,7 62,21 94,91 kNSd sw cV V V= + = + =
,min. ,min. ,min. 1, 4 67,79 kNSk sd f sdV V Vγ= = =
d. Determinação das regiões a serem armadas e as com 
taxa mínima
No diagrama de esforço cortante, os valores inferiores a VSk,min = 
67,79 kN serão armados com a taxa mínima de estribos e as regi-
ões com valores superiores terão seus estribos calculados.
 UNIUBE 289
Quando colocados o valor de Vk,min no diagrama de esforço cor-
tante, observamos que na viga temos quatro regiões:
• As regiões A e C onde o esforço cortante supera o valor de 
Vk,min. Nestas regiões, deveremos calcular os estribos.
• As regiões B e D onde o esforço são inferiores a Vk,min usa-
remos a taxa mínima de estribos.
Apoio A – REGIÃO A 
Já calculamos as reduções de cortante nos apoios, mas vamos 
detalhar o cálculo para o Vk,A.
O apoio A tem 20 cm na direção da viga e a altura útil da viga é 
40,5, ou seja, podemos tomar o esforço cortante a uma distância 
20/2 + 40,5/2 = 30,25 cm.
Como temos p = 30 kN/m, em 30,25 cm teremos uma redução de 
0,3025 . 30 = 9,075 kN, ou seja:
290 UNIUBE
No apoio A consideraremos Vk,A reduzido = 80 – 9,075 = 70,93 kN. 
y = 80 – 67,79 y = 9,6 kN
p . x = y comprimento da região A → x = 0,41 m 
Apoio Besq. – REGIÃO C
Vk, reduzido = 100 – 9,825 = 90,18 kN.
y = 100 – 67,79 y = 32,21
p . x = y comprimento da região C → x = 1,07 m.
REGIÃO B
Se o vão tem 6,0 m, a região A tem 0,41m e a região C tem 1,07 m
A Região B terá 6,0 – 0,41 – 1,07 = 4,52 m
 UNIUBE 291
REGIÃO D
É a região do balanço. A Região D terá 2,0 m.
e. Determinação das armaduras de cisalhamento – adotado 
φt = 5,0 mm
Região A - Vk.reduzido = 70,93 kN. VSd,red = 99,302 x = 0,48 m 
Vc = 62,208 kN
70,93 . 1, 4 62,208 37,09sw Sd cV V V= − = − =
 . 0,9 . . 0,392 . 0,9 . 40,5 . 43,5
37,09
sw ywd
sw
A d f
s
V
= = =16,8 s = 16,5 cm
Intervalo = 41 - 10 = 31 cm n = 31/16,5 = 1,88 adota-se 2
n =2 + 1 = 3 estribos c/16,5 o intervalo passa a ser 2.16,5 =33 cm
Obs.: não se coloca estribos dentro do pilar, por isso retiramos 10,0 
cm do intervalo.
Ao número inteiro de estribos somamos 1. O intervalo começa e 
termina com estribos.
Região C
Vk.reduzido =90,18 kN. VSd,red = 126,25 x = 1,07 m Vc = 62,208 kN
292 UNIUBE
90,18 . 1, 4 62,208 64,044sw Sd cV V V= − = − =
 . 0,9 . . 0,392 . 0,9 . 40,5 . 43,5
64,044
sw ywd
sw
A d f
s
V
= = =9,7 s = 9,5 cm
Intervalo = 107 – 12,5 = 94,5 cm n = 94,5 / 9,5 = 9,95 adota-se 10
n = 10 + 1 = 11 estribos c/ 9,5 o intervalo passa a ser 10 . 9,5 = 95 cm
IMPORTANTE!
Não se coloca estribos dentro do pilar, por isso retiramos a me-
tade da largura do pilar do intervalo, determinamos o número de 
estribos, arredondamos para o inteiro superior e somamos 1, pois 
vamos fazer esse intervalo começar e terminar com estribos.
Região B e D – Taxa mínima Vc = cte = 49,08 kN
max.
,min.
0,392 19
 . 20 . 0,103%
sw
w sw
As
b ρ
≤ = =
IMPORTANTE!
Não podemos nos esquecer que o espaçamento máximo é dado 
por três fatores: o obtido pela taxa mínima, o obtido em função da 
altura útil e o dado por uma distância máxima.
w.mín.
max. 2 max
2 max
taxa mínima de armadura ( )
0,67 . 0,6 . 30 
0,67 . 0,3 . 20 
Sd Rd
Sd Rd
s V V s d cm
V V s d cm
ρ
≤ ≤ → = ≤
 > → = ≤
 UNIUBE 293
No item a), quando verificamos esmagamento das bielas determi-
namos: ,max. 20,39 . Sd RdV V= .
w.mín.
max. 2 max
taxa mínima de armadura ( ) 19 cm
0,67 . 0,6 . 0,6 . 40,5 24,3 cm
30 cm
Sd Rds V V s d
ρ =
≤ ≤ → = = =


Adotamos, portanto, max.
24,3 cm
19,0 cm
30 cm
s = ≤ 

DICAS
max.
,min. . 
sw
w sw
As
b ρ
≤
Quanto mais larga a seção, menor será o espaçamento máximo 
dos estribos.
Quanto maior o fck, maior será o ρw,min e, portanto, menor será o 
espaçamento máximo dos estribos.
Região B e D
As regiões A e C tiveram seus comprimentos recalculados em fun-
ção do número de estribos e do espaçamento entre eles. A região 
B passou de 31 para 33 cm e a região C de 94,5 para 95 cm. 
Devemos, portanto, recalcular a região B para estes valores. Neste 
caso, as alterações foram mínimas porque o número de estribos 
deu muito próximo do inteiro superior. 
Região B, sem os pilares, e descontando as regiões A e C.
294 UNIUBE
IMPORTANTE!
Nos intervalos A e C somamos 1 estribo. Estes intervalos começa-
ram e terminaram com estribos.
O intervalo B começa com o último estribo do intervalo A e termina 
com o último do intervalo C, portanto vamos adotar o número intei-
ro superior e subtrair um estribo.
Intervalo = 600 – 10 – 12,5 – 33 – 95 = 449,5 cm
smax = 19,0 cm n. estribos = 449,5 / 19 = 23,7 adoto 23,0 estribos
Região D, balanço
Descontando a metade do pilar, Intervalo = 200 – 12,5 = 187,5 cm
smax = 19,0 cm n. estribos = 187,5 / 19 = 9,9 adoto 11,0 estribos
IMPORTANTE!
O intervalo D começa com um estribo na face do pilar e termina 
com um estribo na extremidade do balanço, portanto vamos adotar 
o número inteiro e adicionar um estribo.
 UNIUBE 295
Agora é só fazer o detalhamento final. Na planta de armação terí-
amos o esquema longitudinal da viga, acima desse esquema te-
ríamos o detalhamento da armadura de flexão negativa, abaixo o 
da armadura de flexão positiva e abaixo da armadura de flexão 
positiva o detalhamento da armadura de cisalhamento. A Figura 
96 mostra o detalhamento final, completo, com o detalhamento da 
armadura de flexão e de cisalhamento, pronto para execução.
6.3.5 Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado
Como havíamos visto, adotamos um modelo teórico para a flexão e 
outro para o cisalhamento, agora temos que compatibilizar estes mo-
delos. A NBR 6118 considera que os efeitos provocados pela fissura-
ção oblíqua, provocados pela armadura longitudinal de tração, deter-
minadamediante o equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do 
elemento estrutural, podem ser substituídos no cálculo pela decala-
gem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:
( ) ( )
,max
,max
 . 1 cotg cotg 
2 . 
Sd
Sd c
V
a d d
V V
α α
 
= + − ≤ 
−  

296 UNIUBE
Figura 96 – Detalhamento da viga V117 
Fonte: o autor
A legenda do estribo indica: 36 N1 φ 5,0 mm c/var. c=114 cm
• Trata-se do ferro N1;
• Nesta viga vão ser usados 36 estribos;
• O diâmetro é de 5,0 mm;
• O espaçamento (a cada) é variável;
• O comprimento do ferro é de 114,0 cm.
 UNIUBE 297
α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação 
ao eixo longitudinal do elemento estrutural, portanto, para estribos 
verticais ( α = 90° ):
( )
,max
,max
 . 0,5 
2 
Sd
Sd c
V
a d d
V V
 
= ≥ 
−  
 Onde:
aℓ = d para | Vsd,máx | ≤ |Vc|;
aℓ ≥ 0,5 d no caso geral;
aℓ ≥ 0,2 d para estribos inclinados a 45°.
Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela corres-
pondente decalagem do diagrama de momentos fletores, ou seja,
IMPORTANTE!
Uma forma bastante fácil de entendermos o que significa esta de-
calagem e a diferença entre os dois modelos teóricos é que no caso 
da flexão, os esforços variam a cada seção da viga, por exemplo, 
uma seção a 2,0 m do apoio A está submetida a esforços diferentes 
de uma seção a 2,001 m. No caso do cisalhamento, nosso modelo 
teórico baseia-se em uma treliça e, sabemos que ao longo de uma 
barra da treliça as forças normais são constantes. Na treliça clássi-
ca verifica-se que a força Nst calculada na seção “A - A” permanece 
constante até a seção “A’ - A’”, significando que o diagrama de Nst 
298 UNIUBE
deve ser deslocado de um certo valor “aℓ”. Na Figura 97 apresen-
tamos um desenho esquemático para visualizar esta explicação.
Figura 97 – Desenho esquemático da decalagem aℓ 
Fonte: o autor
Cálculo da armadura transversal com a utilização de tabelas: 
Tabela 32 – Valores de Vc em função de bw e d 
0,6 . . . c ctd wV f b d= 
2/30,15 . ctd ckf f= 
2/30,09 . . . c ck wV f b d=
fck = 20 MPa fck = 25 MPa fck = 30 MPa
bw bw bw
d 14 15 17 20 d 14 15 17 20 d 14 15 17 20
30,0 27,9 29,8 33,8 39,8 30,0 32,3 34,6 39,2 46,2 30,0 36,5 39,1 44,3 52,1
30,5 28,3 30,3 34,4 40,5 30,5 32,9 35,2 39,9 46,9 30,5 37,1 39,8 45,1 53,0
31,0 28,8 30,8 34,9 41,1 31,0 33,4 35,8 40,6 47,7 31,0 37,7 40,4 45,8 53,9
31,5 29,2 31,3 35,5 41,8 31,5 33,9 36,4 41,2 48,5 31,5 38,3 41,1 46,5 54,7
32,0 29,7 31,8 36,1 42,4 32,0 34,5 36,9 41,9 49,2 32,0 38,9 41,7 47,3 55,6
35,0 32,5 34,8 39,5 46,4 35,0 37,7 40,4 45,8 53,9 35,0 42,6 45,6 51,7 60,8
35,5 33,0 35,3 40,0 47,1 35,5 38,2 41,0 46,4 54,6 35,5 43,2 46,3 52,4 61,7
36,0 33,4 35,8 40,6 47,7 36,0 38,8 41,6 47,1 55,4 36,0 43,8 46,9 53,2 62,6
36,5 33,9 36,3 41,1 48,4 36,5 39,3 42,1 47,7 56,2 36,5 44,4 47,6 53,9 63,4
37,0 34,3 36,8 41,7 49,1 37,0 39,9 42,7 48,4 56,9 37,0 45,0 48,2 54,7 64,3
40,0 37,1 39,8 45,1 53,1 40,0 43,1 46,2 52,3 61,6 40,0 48,7 52,1 59,1 69,5
40,5 37,6 40,3 45,7 53,7 40,5 43,6 46,7 53,0 62,3 40,5 49,3 52,8 59,8 70,4
41,0 38,1 40,8 46,2 54,4 41,0 44,2 47,3 53,6 63,1 41,0 49,9 53,4 60,6 71,3
41,5 38,5 41,3 46,8 55,0 41,5 44,7 47,9 54,3 63,9 41,5 50,5 54,1 61,3 72,1
42,0 39,0 41,8 47,3 55,7 42,0 45,2 48,5 54,9 64,6 42,0 51,1 54,7 62,0 73,0
 UNIUBE 299
45,0 41,8 44,8 50,7 59,7 45,0 48,5 51,9 58,9 69,3 45,0 54,7 58,7 66,5 78,2
45,5 42,2 45,3 51,3 60,3 45,5 49,0 52,5 59,5 70,0 45,5 55,4 59,3 67,2 79,1
46,0 42,7 45,8 51,9 61,0 46,0 49,6 53,1 60,2 70,8 46,0 56,0 60,0 68,0 79,9
46,5 43,2 46,3 52,4 61,7 46,5 50,1 53,7 60,8 71,6 46,5 56,6 60,6 68,7 80,8
47,0 43,6 46,8 53,0 62,3 47,0 50,6 54,2 61,5 72,3 47,0 57,2 61,3 69,4 81,7
50,0 46,4 49,7 56,4 66,3 50,0 53,9 57,7 65,4 76,9 50,0 60,8 65,2 73,9 86,9
50,5 46,9 50,2 56,9 67,0 50,5 54,4 58,3 66,1 77,7 50,5 61,4 65,8 74,6 87,8
51,0 47,3 50,7 57,5 67,6 51,0 54,9 58,9 66,7 78,5 51,0 62,0 66,5 75,3 88,6
51,5 47,8 51,2 58,1 68,3 51,5 55,5 59,4 67,4 79,3 51,5 62,7 67,1 76,1 89,5
52,0 48,3 51,7 58,6 69,0 52,0 56,0 60,0 68,0 80,0 52,0 63,3 67,8 76,8 90,4
55,0 51,1 54,7 62,0 72,9 55,0 59,3 63,5 71,9 84,6 55,0 66,9 71,7 81,2 95,6
55,5 51,5 55,2 62,6 73,6 55,5 59,8 64,1 72,6 85,4 55,5 67,5 72,3 82,0 96,5
56,0 52,0 55,7 63,1 74,3 56,0 60,3 64,6 73,3 86,2 56,0 68,1 73,0 82,7 97,3
56,5 52,5 56,2 63,7 74,9 56,5 60,9 65,2 73,9 87,0 56,5 68,7 73,6 83,5 98,2
57,0 52,9 56,7 64,3 75,6 57,0 61,4 65,8 74,6 87,7 57,0 69,3 74,3 84,2 99,1
60,0 55,7 59,7 67,6 79,6 60,0 64,6 69,3 78,5 92,3 60,0 73,0 78,2 88,6 104,3
60,5 56,2 60,2 68,2 80,2 60,5 65,2 69,8 79,1 93,1 60,5 73,6 78,9 89,4 105,1
61,0 56,6 60,7 68,8 80,9 61,0 65,7 70,4 79,8 93,9 61,0 74,2 79,5 90,1 106,0
61,5 57,1 61,2 69,3 81,6 61,5 66,3 71,0 80,5 94,6 61,5 74,8 80,2 90,8 106,9
62,0 57,6 61,7 69,9 82,2 62,0 66,8 71,6 81,1 95,4 62,0 75,4 80,8 91,6 107,7
65,0 60,3 64,7 73,3 86,2 65,0 70,0 75,0 85,0 100,0 65,0 79,1 84,7 96,0 113,0
65,5 60,8 65,2 73,8 86,9 65,5 70,6 75,6 85,7 100,8 65,5 79,7 85,4 96,8 113,8
66,0 61,3 65,6 74,4 87,5 66,0 71,1 76,2 86,3 101,6 66,0 80,3 86,0 97,5 114,7
66,5 61,7 66,1 75,0 88,2 66,5 71,6 76,8 87,0 102,3 66,5 80,9 86,7 98,2 115,6
67,0 62,2 66,6 75,5 88,9 67,0 72,2 77,3 87,6 103,1 67,0 81,5 87,3 99,0 116,4
70,0 65,0 69,6 78,9 92,8 70,0 75,4 80,8 91,6 107,7 70,0 85,2 91,2 103,4 121,7
70,5 65,5 70,1 79,5 93,5 70,5 75,9 81,4 92,2 108,5 70,5 85,8 91,9 104,1 122,5
Fonte: o autor
300 UNIUBE
Tabela 33 – Valores de Vs em função de s/d 
sw Sd cV V V= − 
1 . . 0,9 . sw sw ywdV A fs d
=
estribos de 2 ramos - bitolas em mm
s/d 5 6 6,3 8 10 s/d 5 6 6,3 8 10
0,10 153,47 221,59 244,30 393,85 614,66 0,36 42,63 61,55 67,86 109,40 170,74
0,11 139,52 201,44 222,09 358,04 558,78 0,37 41,48 59,89 66,03 106,45 166,12
0,12 127,89 184,66 203,58 328,21 512,21 0,38 40,39 58,31 64,29 103,64 161,75
0,13 118,05 170,45 187,92 302,96 472,81 0,39 39,35 56,82 62,64 100,99 157,60
0,14 109,62 158,28 174,50 281,32 439,04 0,40 38,37 55,40 61,07 98,46 153,66
0,15 102,31 147,73 162,86 262,57 409,77 0,41 37,43 54,05 59,58 96,06 149,92
0,16 95,92 138,49 152,69 246,16 384,16 0,42 36,54 52,76 58,17 93,77 146,35
0,17 90,28 130,35 143,70 231,68 361,56 0,43 35,69 51,53 56,81 91,59 142,94
0,18 85,26 123,11 135,72 218,81 341,48 0,44 34,88 50,36 55,52 89,51 139,69
0,19 80,77 116,63 128,58 207,29 323,50 0,45 34,10 49,24 54,29 87,52 136,59
0,20 76,73 110,79 122,15 196,92 307,33 0,46 33,36 48,17 53,11 85,62 133,62
0,21 73,08 105,52 116,33 187,55 292,69 0,47 32,65 47,15 51,98 83,80 130,78
0,22 69,76 100,72 111,04 179,02 279,39 0,48 31,97 46,16 50,90 82,05 128,05
0,23 66,73 96,34 106,22 171,24 267,24 0,49 31,32 45,22 49,86 80,38 125,44
0,24 63,95 92,33 101,79 164,10 256,11 0,50 30,69 44,32 48,86 78,77 122,93
0,25 61,39 88,64 97,72 157,54 245,86 0,51 30,09 43,45 47,90 77,23 120,52
0,26 59,03 85,23 93,96 151,48 236,41 0,52 29,51 42,61 46,98 75,74 118,20
0,27 56,84 82,07 90,48 145,87 227,65 0,53 28,96 41,81 46,09 74,31 115,97
0,28 54,81 79,14 87,25 140,66 219,52 0,54 28,42 41,04 45,24 72,94 113,83
0,29 52,92 76,41 84,24 135,81 211,95 0,55 27,90 40,29 44,42 71,61 111,76
0,30 51,16 73,86 81,43 131,28 204,89 0,56 27,41 39,57 43,62 70,33 109,76
0,31 49,51 71,48 78,81 127,05 198,28 0,57 26,92 38,88 42,86 69,10 107,83
0,32 47,96 69,25 76,34 123,08 192,08 0,58 26,46 38,21 42,12 67,91 105,98
0,33 46,51 67,15 74,03 119,35 186,26 0,59 26,01 37,56 41,41 66,75 104,18
0,34 45,14 65,17 71,85 115,84 180,78 0,60 25,58 36,93 40,72 65,64 102,44
0,35 43,85 63,31 69,80 112,53 175,62
Fonte: o autor
 UNIUBE 301
Tabela 34 – Valores da taxa mínima da armadura 
de cisalhamento ρsw,mim (%) 
,
, . 0, 2 . 
ct m
sw mín
ywk
f
f
ρ ≥
Aço CA-50 e CA-60
fck 20 25 30 35 40 45 50
ρsw,min.(%) 0,088 0,103 0,116 0,1284 0,14 0,152 0,163
Fonte: o autor
Tabela 35 – Valores de smáx., em função de bw e fck 
2/3
, 0,3 . ct m ckf f= 
,
, . 0, 2 . 
ct m
sw mín
ywk
f
f
ρ ≥
 
max.
,min. . 
sw
w sw
As
b ρ
≤
fck 20 MPa fck 25 MPafck 30 MPa
φ 5 6 6,3 5 6 6,3 5 6 6,3
bw
14 27,6 30,0 30,0 23,7 30,0 30,0 21,0 30,0 30,0
15 25,7 30,0 30,0 22,2 30,0 30,0 19,6 28,3 30,0
16 24,1 30,0 30,0 20,8 30,0 30,0 18,4 26,6 29,3
17 22,7 30,0 30,0 19,6 28,2 30,0 17,3 25,0 27,6
18 21,4 30,0 30,0 18,5 26,7 29,4 16,4 23,6 26,0
19 20,3 29,3 30,0 17,5 25,3 27,8 15,5 22,4 24,7
20 19,3 27,8 30,0 16,6 24,0 26,5 14,7 21,3 23,4
22 17,5 25,3 27,9 15,1 21,8 24,1 13,4 19,3 21,3
Fonte: o autor
302 UNIUBE
Considerações finais
Na conclusão do capítulo anterior observamos que o detalhamento 
da armadura de flexão apresentado na Figura 88 estava pronto, 
completo, que um armador poderia executar a armação de flexão 
para aquela viga usada como exemplo.
Neste capítulo, estudamos o cisalhamento. Aprendemos a calcular 
e detalhar a armadura de cisalhamento, os estribos.
Concluímos este capítulo retomando a Figura 88 para acrescentar-
mos o detalhamento dos estribos. O detalhamento da nossa viga 
exemplo conforme apresentado na Figura 98, está completo, é o 
detalhamento final desta viga.
Este detalhamento juntamente com os detalhamentos das outras 
vigas deste pavimento, constantes da planta de forma, irão compor 
a planta de armação das vigas deste pavimento.
Isto significa que esta etapa do nosso curso está concluída. Nos 
Capítulos VII e VIII vamos trabalhar com os pilares de concreto armado.
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
Pilares de 
concreto armado - 
dimensionamento
Capítulo
7
Estamos chegando ao fi nal do nosso curso. Discretizamos 
nossa estrutura em seus elementos básicos: as lajes, as 
vigas e os pilares. As lajes recebem as cargas de utilização 
(as variáveis ou acidentais) e somadas à sua carga 
permanente (peso próprio, revestimento etc.), descarregam 
em seus apoios, as vigas. As vigas recebem as cargas das 
lajes e somadas ao seu peso próprio, cargas de parede etc., 
descarregam em seus apoios, os pilares.
Os pilares são elementos de barra, lineares, retos e 
normalmente verticais, solicitados por esforços normais 
de compressão, excêntricos, ou seja, solicitados à fl exo-
compressão. Excepcionalmente, podem ser solicitados por 
esforços de tração, denominados então como tirantes, e 
também excepcionalmente podem estar inclinados.
Os pilares, a partir da cobertura, pavimento por pavimento, 
recebem as reações das vigas e somado ao seu peso próprio, 
descarrega estas cargas nos elementos de fundação que, 
por sua vez, irão transmiti-los ao solo.
Dentre os elementos estruturais são os que mais nos preocupam, 
pois a ruptura de apenas um pilar pode levar ao colapso em 
cadeia, ao colapso progressivo de toda a estrutura.
Os pilares normalmente são classifi cados de duas formas:
• Conceituar e classificar os pilares retangulares de 
concreto armado;
• Equacionar o dimensionamento dos pilares de concreto 
armado.
• Pilares de concreto armado - dimensionamento
• Classificação dos pilares quanto à sua posição em planta
• Pilares intermediários
• Pilares de extremidade
• Pilares de canto
• Classificação dos pilares quanto à sua esbeltez
• Índice de esbeltez, raio de giração, comprimento de 
flambagem
• Exemplo de determinação do índice de esbeltez de 
um pilar.
• Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez.
Objetivos
Esquema
• Quanto à sua posição em planta;
• Quanto à sua esbeltez.
Em nosso curso, vamos adotar os pilares de seção retangular. Em 
relação à posição em planta veremos as três posições possíveis, 
os intermediários ou centrais, os laterais ou de extremidade e os de 
canto, já em relação à esbeltez, vamos limitá-la em 90.
Neste capítulo, vamos conceituar este elemento estrutural 
e equacionar seu dimensionamento, conforme as 
recomendações da NBR 6118 – “Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento” e dentre os vários métodos de 
cálculo propostos vamos abordar os métodos do pilar padrão 
com curvatura e rigidez aproximadas.
 UNIUBE 305
• Tipos de excentricidades
• Excentricidade de forma (ef ou er)
• Excentricidade acidental (ea)
• Excentricidade inicial (ei)
• Excentricidade de segunda ordem (e2)
• Resumo geral das excentricidades em um pilar
• Exemplos de cálculo das excentricidades
• Ábacos para o cálculo da armadura longitudinal de pilares
• Ábacos para Flexão Normal Composta
• Ábacos para Flexão Composta Oblíqua
Pilares de concreto armado - dimensionamento7.1
7.1.1 Classificação dos pilares quanto à sua posição em planta
Vamos retomar nossa planta de forma desenvolvida no Capítulo II 
e apresentada na Figura 18. Veja o pilar P11, por exemplo, é um pi-
lar central e as vigas passam por ele formando uma cruz, tanto em 
sua base como em seu topo, ele é um apoio interno paras as duas 
vigas. O pilar P09, por exemplo, está na lateral da planta e, na dire-
ção vertical ele é um apoio interno da viga V106, mas na horizontal, 
para a viga V104 ele é um apoio de extremidade. Finalmente, o 
pilar P01, tanto na horizontal como na vertical, é o apoio de extre-
midade tanto para a viga V101 como para a viga V106.
Explicando de uma forma bem simples, essa ligação da viga com o pilar, 
provoca um giro na cabeça do pilar, ou seja, um momento que pode ser 
representado por uma carga excêntrica e esta é uma das excentricidades 
que vamos considerar no dimensionamento do nosso pilar.
306 UNIUBE
Figura 99 - Planta de forma (parcial) do pavimen-
to tipo e planta dos vãos teóricos 
Fonte: o autor
Bem, voltemos aos nossos pilares P11, P09 e P01. 
Quando o pilar é um apoio interno da viga, ou seja, quando a viga 
passa pelo pilar, o tramo esquerdo provoca um giro anti-horário e o 
tramo direito, um giro horário e dessa forma, teremos uma excen-
tricidade para a esquerda anulando, ou reduzindo muito, a excen-
tricidade para a direita. 
Quando o pilar é um apoio extremo da viga, ou seja, quando a viga 
termina no pilar, o tramo provoca um giro na cabeça do pilar, ou seja, 
teremos uma excentricidade para apenas um dos lados do pilar. 
 UNIUBE 307
Após esta pequena explicação, vamos classificar nossos pilares 
como pilares intermediários, de extremidade e de canto, e na Figura 
100 mostraremos a caracterização de cada um deles.
7.1.1.1 Pilares intermediários
São os pilares internos das vigas nas duas direções. Os pilares 
P06, P10 P11 e P12, são pilares intermediários. Para eles, não se 
considera a excentricidade provocada pelas vigas.
7.1.1.2 Pilares de extremidade
São os pilares nas laterais da planta de forma, quando em uma 
das direções é um apoio interno da viga e na outra é um apoio de 
extremidade da outra viga. Os pilares P02, P03 P04 e P07, P09, 
P14, P15 e P16, enquadram-se nesta definição, não é mesmo? 
Para eles, não se considera a excentricidade provocada pela viga 
em que eles são pilares internos e considera-se a excentricidade 
provocada pela viga em que eles são pilares de extremidade.
Veja que os pilares P05 e P08 não são pilares laterais, mas são 
pilares de extremidade.
IMPORTANTE!
É comum, às vezes, ouvirmos Pilares centrais ou intermediários. 
Precisamos tomar cuidado porque um pilar central é intermediário 
308 UNIUBE
quando ele é um apoio interno para ambas as vigas, quando am-
bas as vigas passam por ele. 
Os pilares de extremidade normalmente são pilares laterais, mas 
os Pilares centrais também podem ser Pilares de extremidade, 
como é o caso dos P05 e P08.
7.1.1.3 Pilares de canto
São os pilares de extremidade para ambas as vigas, e recebem 
essa denominação por estarem nos cantos da plante de forma. Os 
pilares P01 e P13, são pilares de canto. Para eles, considera-se a 
excentricidade provocada pelas vigas em ambas as direções.
IMPORTANTE!
Para que serve tudo isso? Veremos, a seguir, que os pilares inter-
mediários serão calculados à flexão normal composta e de uma 
forma um pouquinho mais simples que os de extremidade que tam-
bém serão calculados à flexão normal composta. Os pilares de 
canto serão calculados à flexão composta oblíqua.
 UNIUBE 309
Figura 100 - Posição dos pilares em uma estrutura 
Fonte: Fusco(1981, p.238)
7.2 Classificação dos pilares quanto à sua esbeltez
Já vimos esse assunto em Mecânica dos Sólidos (resistência dos 
Materiais), vamos apenas relembrar, ok? Vamos pegar algumas ré-
guas de plástico com tamanhos variados, mas de mesma seção 
transversal. Inicialmente, vamos pegar a de 50 cm, colocá-la na 
vertical, com uma extremidade apoiada na mesa e a outra com a 
palma de nossa mão comprimindo-a ligeiramente. Se a pressio-
narmos um pouquinho a régua vai dar aquela embarrigada, não 
é mesmo? Se pressionarmos mais um pouquinho ela vai entortar 
mais ainda e mais um pouquinho de pressão, ela irá romper.
310 UNIUBE
Com a régua de 40 cm de comprimento vai acontecer a mesma coi-
sa, mas precisaremos fazer um pouquinho mais de pressão. Com a 
régua de 30 cm, teremos que aumentar a pressão para acontecer 
a mesma coisa, o mesmo valendo para a régua de 20 cm de com-
primento e para a de 10 cm. 
Verificamos que diminuindo o comprimento da régua, temos que 
aplicar uma força de compressão cada vez maior e a régua vai en-
tortando cada vez menos, não é mesmo? Imagine se pegarmos um 
pedacinho de 2 cm de uma das réguas e tentarmos fazer o mesmo. 
Vamos aplicar uma baita força de compressão, vamos machucar a 
palma de nossa mão, e o pedacinho de régua de 2 cm de compri-
mento não irá entortar, quanto mais atingir a ruptura.
De uma forma muito simples estamos descrevendo o processo de 
flambagem e as nossas réguas estão atingindo a ruptura por perda 
de estabilidade devido à flambagem, ou seja, o estado de deforma-
ção provoca esforços internos. Isto é o que chamamos de efeito de 
segunda ordem. Veja a Figura 101.
Figura 101 - Momento de segunda ordem 
Fonte: o autor.
 UNIUBE 311
Como no início estabelecemos que todas as réguas teriam a mes-
ma seção transversal e variamos o comprimento da régua percebe-
se que a esbeltez é proveniente de uma relação entre uma carac-
terística geométrica da seção e o vão, o comprimento do elemento.
7.2.1 Índice de esbeltez, raio de giração, comprimento de flambagem
O índice de esbeltez (λ) dos pilares de concreto armado é uma 
grandeza que depende do comprimento equivalente do pilar (ℓe), e 
do raio de giração (i) da sua seção transversal: 
, ye x
x y
y
I
i
i A
λ = =

 
,ye x
y x
x
Ii
i A
λ = =

Em que:
• λ- índice de esbeltez;
• ℓe - comprimento de flambagem nas direções x ou y - depende 
das condições de apoio;
• raio de giração em x ou y;
• momento de inércia em x ou y;
• A - área da seção transversal do pilar.
312 UNIUBE
Para peças com seção transversal retangular resulta:
IMPORTANTE!
Lembra-se do exemplo das réguas? Todas as réguas tinham a 
mesma seção transversal (mesmo raio de giração) e variamos o 
comprimento da régua (ℓe), ou seja, maior o comprimento de flam-
bagem, maior o índice de esbeltez (λ).
Maior o índice de esbeltez, maior a possibilidade de haver flamba-
gem do pilar.
O pilar terá um índice de esbeltez para a direção x e um para a dire-
ção y, e irá flambar na direção que tiver o maior índice de esbeltez.
IMPORTANTE!
Muito cuidado! Podemos dizer na direção x ou em torno do eixo y 
e estaremos dizendo a mesma coisa. Na literatura técnica preci-
samos prestar atenção na convenção que o autor está usando. Às 
vezes, adota-se a seguinte convenção: λx significa na direção x e 
λxx significa em torno do eixo x, portanto λxx = λy. Entendeu?
 UNIUBE 313
Na Figura 102 são mostrados os comprimentos de flambagem para 
outros tipos de vinculação das extremidades: apoio-apoio, apoio
-engaste, engaste-engaste e engaste-borda livre.
rótula-rótula rótula-engaste engaste-engaste livre-engaste
Figura 102 - Comprimentos de flambagem 
Fonte: o autor
Em edifícios, os pilares são considerados contraventados pelo vi-
gamento de cada pavimento, e esse contraventamento é represen-
tado pelo vínculo de apoio. 
Em cada pavimento, o pilar é suposto vinculado em ambas as ex-
tremidades e seu comprimento equivalente (ℓe), pode ser adotado 
conforme mostra a Figura 103, como o menor valor entre:
0
e
h+
≤ 




Onde:
ℓ é a distância de centro a centro de vigas (o mesmo que cen-
tro a centro de lajes);
314 UNIUBE
ℓ0 é a distância entre a base da viga do pavimento superior e o 
topo da viga do andar inferior;
h é a altura do pilar na direção considerada.
Figura 103 - Determinação do comprimento equivalente 
Fonte: o autor
7.2.2 Exemplo de determinação do índice de esbeltez de um pilar
Vamos supor um pilar de 17x25 cm, considerando vigas de 15x45 
cm na direção horizontal e 15x35 cm na direção vertical. A distância 
entre as faces dos pisos é 270 cm.
 UNIUBE 315
Na direção x:
ℓ = 270 cm, ℓ0 = 270 – 45 = 225, ℓe ≤ (270;225+17) = 242 cm
Na direção x:
ℓ = 270 cm, ℓ0 = 270 – 35 = 235, ℓe ≤ (270;235+25) = 260 cm
Vamos fazer: e Ionde i
i A
λ = =

Na direção x:
b = 25 h = 17 A = 425 Ix = 10235,42 ix = 4,907
λx = ℓe,x / ix = 242 / 4,907 = 49,3
Na direção y:
b = 17 h = 25 A = 425 Ix = 22135,42 ix = 7,217
λy = ℓe,y / iy = 260 / 7,217 = 36,0
316 UNIUBE
Mas poderíamos ter feito: ,, 3,46 . 3,46 . e ye x
x yb h
λ λ= =

λx = 3,46 . 242 / 17 = 49,3
λy = 3,46 . 260 / 25 = 36
7.2.3 Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez
Vamos retomar, novamente, o exemplo das réguas. Todas tinham a 
mesma seção transversal (mesmo raio de giração) e maior o com-
primento da régua (ℓe), maior o índice de esbeltez (λ).
Podemos perceber facilmente que a régua de 50 cm de comprimen-
to era extremamente instável, bastando uma pequena compressão 
com o dedo mindinho para ela se vergar e romper. Em compensa-
ção, um pedacinho de régua de 5 cm dificilmente perderia a estabi-
lidade. Se comprimíssemos esse pedacinho de régua com a palma 
da mão, com bastante força, provavelmente iríamos machucar nos-
sa mão e a reguinha de 5 cm não perderia a estabilidade.
Com os pilares acontece exatamente isso. Em função do índice de 
esbeltez, podemos ter:
• Pilares curtos (λ< λ1);
• Pilares medianamente esbeltos (λ1 < λ < 90);
• Pilares esbeltos (90 < λ < 140);
• Pilares muito esbeltos (140 <λ < 200);
• Pilares com λ > 200.
 UNIUBE 317
À medida que o índice de esbeltez aumenta, aumenta a instabilida-
de do pilar e, consequentemente, modelos teóricos de cálculo cada 
vez mais rigorosos são exigidos pela NBR 6118:
• Para pilares com λ > 90 deve-se considerar a fluência e o mo-
delo teórico mais rigoroso;
• Para pilares com λ > 140, a consideração da fluência é obri-
gatória e torna-se obrigatório o cálculo pelo Método Geral, um 
modelo teórico muito mais rigoroso; 
• A NBR 6118 não admite pilares com λ > 200. 
DICAS
Normalmente, dimensiona-se pilares curtos (λ < λ1) e mediana-
mente esbeltos (λ1 < λ < 90).
Para valores de λ superiores a 90 aumentam-se as dimensões do pilar.
7.2.3.1 Pilares curtos ( λ < λ1)
É possível a utilização de modelos simplificados de cálculo como 
o Método do pilar-padrão com curvatura aproximada que adotare-
mos neste texto e, os esforços locais de segunda ordem e2, M2 
(Figura 101), podem ser desprezados quando o índice de esbeltez 
for menor que o valor-limite λ1 determinado pela expressão:
318 UNIUBE
1
1
25 12,5 . 90
35b
e
hλ
α
+ ≤
= ≥
Onde:
e1 é a excentricidade de 1ª ordem (não inclui a excentricidade 
acidental ea); 
h é a altura da seção na direção considerada;
os valores de αb são analisados a seguir:
a. Pilares bi apoiados sem cargas transversais 
0,40
0,60 0,4 . 
1,00
B
b
A
M
M
α
≥
= + ≤
• Os momentos de primeira ordem MA e MB são os momentos 
nos extremos do pilar.
• Toma-se para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar bi 
apoiado.
• MB tem o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e 
negativo em caso contrário.
b. Pilares bi apoiados com cargas transversais significati-
vas, ao longo da altura 
αb =1 
 UNIUBE 319
c. Pilares em balanço 
0,85
0,80 0,2 . 
1,00
C
b
A
M
M
α
≥
= + ≤
• MA é o momento fletorde 1ª ordem no engaste; 
• MC é o momento fletor de 1ª ordem no meio do pilar em 
balanço. 
d. Pilares bi apoiados ou em balanço com momentos fleto-
res menores que o momento mínimo
αb =1
O momento mínimo é fornecido pela NBR 6118 no item 11.3.3.4.3, como 
o momento mínimo de 1ª ordem que pode ser usado para substituir o 
efeito das imperfeições locais nos pilares, em estruturas reticuladas.
( )1 ,min 0,015 0,03d dM N h= +
Onde:
• M1d,mín é o momento total de primeira ordem, isto é, o momento 
de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais;
• 0,015 é dado em metros;
• h é a altura total da seção transversal na direção considerada, 
em metros;
• Nd é o esforço normal de cálculo.
320 UNIUBE
No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse 
momento mínimo deve ser respeitado em cada direção principal, 
separadamente (o pilar deve ser verificado sempre à flexão oblíqua 
composta, onde, em cada verificação, pelo menos um dos momen-
tos respeita o mínimo acima).
A expressão de M1d,mín também pode ser expressa em função de 
uma excentricidade mínima:
( )1 ,min1 ,min 0,015 0,03dd
d
M
e h
N
= = +
DICAS
O valor de αb, depende da vinculação dos extremos da coluna iso-
lada e do carregamento atuante. Temos quatro possibilidades de 
vinculações e carregamentos. A NBR 6118 que vigorou de 1975 
a 2003 fixava para pilares curtos λ < 40. Sugerimos que se adote 
curtos λ < 35 para limitar os pilares curtos.
7.2.3.2 Pilares pouco esbeltos (λ1 < λ ≤ 90)
Ainda é possível a utilização do Método do pilar-padrão com cur-
vatura aproximada como modelo simplificado de cálculo, porém os 
esforços locais de segunda ordem devem ser considerados. 
 UNIUBE 321
7.3 Tipos de excentricidades
Agora, vamos ter a consideração de duas situações: a de projeto 
e a de cálculo. Na Figura 104 apresentamos dois pilares internos e 
intermediários e a situação de projeto nos mostra que em planta o 
pilar à esquerda está submetido a uma compressão axial, centra-
da, pois os eixos do pilar e da viga estão coincidentes. O pilar da 
direita nos mostra que o eixo da viga horizontal está afastado do 
eixo do pilar, ou seja, está excêntrica.
Figura 104 - Situações de projeto 
Fonte: o autor.
As situações de projeto apresentadas na Figura 104 são o que con-
sideraremos como ponto de partida para a situação de cálculo, por 
exemplo, a NBR 6118 considera efeitos de desaprumo ou falta de 
retilineidade do eixo do pilar, ou seja, a incerteza quanto ao posi-
cionamento da aplicação da carga e, desta forma, todo pilar estará 
sujeito a uma excentricidade acidental.
322 UNIUBE
Na Figura 104 o pilar da esquerda, na direção x e na direção y, a 
partir do centro do pilar, coincidente com o centro das vigas, tere-
mos a aplicação desta excentricidade acidental em cada direção, 
portanto flexão normal composta. O pilar da direita, na direção x 
aplica-se a partir do eixo vertical a mesma excentricidade acidental, 
mas na direção y a viga horizontal está excêntrica, ou seja, além da 
excentricidade acidental temos uma excentricidade real, ou tam-
bém chamada de excentricidade de forma.
7.3.1 Excentricidade de forma (ef ou er)
É a excentricidade real produzida por uma viga, ou pilar, descarre-
gando fora do centro do pilar, ou seja, as reações das vigas estão 
excêntricas em relação ao centro do pilar.
7.3.2 Excentricidade acidental (ea)
No dimensionamento NBR 6118 considera efeitos de desaprumo ou 
falta de retilineidade do eixo do pilar, conforme mostra a Figura 105.
 UNIUBE 323
Figura 105 - Imperfeições geométricas locais 
Fonte: NBR 6118. Figura 11.2.
Repetindo, excentricidade acidental é a incerteza quanto ao po-
sicionamento da aplicação da carga, portanto ocorre em todos os 
pilares, independentemente do índice de esbeltez, e deve ser adi-
cionada à excentricidade inicial (ei), quando houver.
A excentricidade acidental, é determinada por meio das expressões:
1 . 2a
e θ  =  
 

 onde 
1 1,min
1
100 . 
θ θ= ≥

Sendo:
• θ1 - desaprumo de um elemento vertical contínuo;
• - altura de um pavimento em metros;
324 UNIUBE
• θ1,min - 1/300 para imperfeições locais;
• θ1,max -1/200.
IMPORTANTE!
Não podemos esquecer que no item 7.2.3.1.c vimos que o momen-
to de primeira ordem mais os efeitos das imperfeições locais deve 
respeitar o momento mínimo.
( )1 ,min 0,015 0,03d dM N h= +
( )1 ,min1 ,min 0,015 0,03dd
d
M
e h
N
= = +
7.3.3 Excentricidade inicial (ei)
Quando classificamos os pilares quanto à posição em planta men-
cionamos a ligação da viga com o pilar, onde a viga provoca um 
giro na cabeça do pilar, ou seja, um momento que pode ser repre-
sentado por uma carga excêntrica. Vimos que nos pilares inter-
mediários, aqueles em que o pilar é um apoio interno da viga, os 
efeitos provocados pelo tramo de um lado do pilar é compensado 
pelos efeitos provocados pelo tramo do outro lado do pilar. 
A excentricidade inicial (ei) ocorre quando o pilar é um apoio extre-
mo da viga, ou seja, quando a viga termina no pilar o tramo provoca 
um giro na cabeça do pilar e não é compensado, ou seja, teremos 
apenas a excentricidade para um dos lados do pilar. 
A excentricidade inicial será obtida supondo o engastamento da 
viga no pilar e a distribuição deste momento de engastamento 
 UNIUBE 325
perfeito entre a viga, o pilar superior e o pilar inferior. Desta forma, 
o valor da excentricidade inicial é dado pelo quociente da parcela 
de momento que cabe ao pilar e a força normal aplicada no pilar.
Em um edifício, o conjunto de pilares alinhados e o conjunto das vi-
gas dos vários pavimentos que interligam estes pilares, formam um 
pórtico, uma estrutura altamente hiperestática. A NBR 6118 permite 
que se discretize os elementos estruturais, ou seja, que se desvincule 
o pilar, a viga e a laje, dessa forma uma viga contínua é considerada 
simplesmente apoiada nos pilares, como mostra o esquema de cálcu-
lo apresentado na Figura 106. Com esta simplificação permitida por 
norma, se não temos o engaste, a solidarização perfeita pilar-viga, 
pois não calculamos e nem armamos para isso, temos uma vincula-
ção pilar-viga muito mais forte do que um simples apoio. Dessa forma, 
a NBR 6118 permite a consideração da viga contínua como simples-
mente apoiada nos pilares, porém, exige que nos apoios extremos se 
considere um momento igual ao Momento de Engastamento Perfeito 
(M.E.P.) (Figura 106) produzido pelo tramo de extremidade e distribu-
ído entre este tramo, o pilar superior e o inferior.
Figura 106 - Modelo simplificado de uma viga contínua simples-
mente apoiada nos pilares e a correção nos apoios extremos 
Fonte: o autor
326 UNIUBE
Na Figura 107 detalhamos a distribuição do Momento de 
Engastamento Perfeito (M.E.P.) produzido pelo tramo de extremi-
dade. Consideramos o vigamento de três pavimentos para anali-
sarmos o pavimento central. Observe que é o tramo de extremida-
de com Momento de Engastamento Perfeito apresentado na Figura 
106 vinculado ao pilar superior e ao inferior.
Na Figura 108 apresentamos o esquema estático adotado para a dis-
tribuição do Momento de Engastamento Perfeito. Esta distribuição 
será feita considerando a rigidez de cada um dos elementos envolvi-
dos, em relação à rigidez total, por exemplo, a rigidez do pilar superior 
em relação à soma da rigidez do pilar superior, inferior e da viga. Esta 
será a parcela do Momento de Engastamento Perfeito que caberá ao 
pilar superior e de forma análoga, ao inferior e à viga.
Figura 107 - Esquema de distribuição dos Momentos de 
Engastamento Perfeito (M.E.P.) das vigas aos pilares 
Fonte: NBR 6118. Figura 11.2
 UNIUBE 327
Figura 108 - Esquema estático para a distribuição do 
Momento de Engastamento Perfeito (M.E.P.) 
Fonte: NBR 6118 – Figura 14.8
RELEMBRANDO
Aprendemos a determinar o vão do pilar neste capítulo (Figura 
103). Para o vão da viga considera-se o vão teórico, lembra-se 
como determiná-lo? 
0 1 2a a= + + 
Sendo:
ℓ0 a distância entre as facesinternas dos apoios;
h a altura da viga;
t1 , t2 espessura dos apoios (pilares) esquerdo e direito da viga.
1 2
1 2
2 2
0,3 . 0,3 . 
t t
a e a
h h
 
≤ ≤ 
 
328 UNIUBE
A NBR 6118 em seu item 14.6.6.1 permite algumas simplificações 
no cálculo de estruturas usuais de edifícios. É neste item que se 
permite a utilização do modelo clássico de viga contínua, simples-
mente apoiada nos pilares, impondo a necessidade de algumas 
correções, entre elas: quando não for realizado o cálculo exato 
da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser 
considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao 
momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coefi-
cientes estabelecidos nas seguintes relações:
• na viga: 
inf sup
inf supviga
r r
r r r
+
+ +
• no tramo superior do pilar: 
sup
inf supviga
r
r r r+ +
• no tramo inferior do pilar: inf
inf supviga
r
r r r+ +
Sendo: sup infviga sup inf
, ,sup ,inf
4 . 3 . 3 . 
0,5 . 0,5 . 
viga
e viga e e
I I Ir r r= = =
  
IMPORTANTE
Os coeficientes 3 e 4 foram introduzidos nas fórmulas anteriores para 
considerar o vínculo de apoio e a metade dos tramos dos pilares.
 UNIUBE 329
Para finalizar, vimos que o momento fletor na extremidade do pi-
lar será o produto do coeficiente determinado anteriormente pelo 
Momento de Engastamento Perfeito da viga e assim determinamos 
a excentricidade inicial:
,pilard
i
d
M
e
N
=
A excentricidade inicial foi determinada para as extremidades do 
pilar, onde normalmente temos os máximos momentos iniciais, po-
rém como já mencionamos anteriormente a excentricidade de 2ª 
ordem é máxima no meio do pilar, conforme mostrado na Figura 
101, portanto é necessário que se considere uma excentricidade 
inicial na seção do meio do pilar:
1,
0,6 . 0, 4 . 
0, 4 . 
iA iB
C
iA
e e
e
e
+
≥ 

Sendo: 
eiC a excentricidade inicial no meio do pilar;
eiA a maior entre as excentricidades iniciais no topo e na base 
do pilar;
eiA a menor entre as excentricidades iniciais no topo e na base do pilar.
7.2.4 Excentricidade de segunda ordem (e2)
A teoria de 2ª ordem trata dos esforços provocados pela defor-
mação dos elementos estruturais, como é o caso da flambagem 
(Figura 101) que provoca uma flecha no pilar, ou seja, na seção 
intermediária do pilar teremos uma excentricidade de segunda 
330 UNIUBE
ordem. A modelagem teórica deste fenômeno pode ser mais simpli-
ficada para os índices de esbeltez menores e se tornando cada vez 
mais rigorosa à medida que o índice de esbeltez vai aumentando.
Neste texto, como observamos anteriormente em 7.2.3.1 e 7.2.3.2 
quando classificamos os pilares quanto ao índice de esbeltez, para 
os pilares curtos ( λ ≤ λ1), os esforços locais de segunda ordem po-
dem ser desprezados, e para os pilares pouco esbeltos (λ1 < λ ≤ 90) 
ainda é permitida a utilização de modelos teóricos simplificados como 
o Método do pilar-padrão com curvatura aproximada que usaremos, 
porém considerando os esforços locais de segunda ordem.
A excentricidade de segunda ordem é dada pela expressão:
2
2
1 . 
10
ee
r
= =

Sendo 1/r a curvatura do pilar submetido à flexão composta:
( )
( )
1
0,5 . 
c s
r h
ε ε
ν
+
=
+
Onde:
 . . . 
d d
c cd cd
F F
A f b h f
ν = = é o valor adimensional da força normal;
0,0035cε = deformação específica do concreto;
435 0,00207
210000
yd
s yd
s
f
E
ε ε= = = = deformação específica do aço.
0,00557 0,005c sε ε+ = ≅
 UNIUBE 331
( )
1 0,005
0,5 . r hν
=
+ com ( )0,5 1ν + ≥
Dessa forma, a expressão para o cálculo da excentricidade de se-
gunda ordem ficará:
( )
2
2
0,005 . 
10 0,5 . 
ee
hν
=
+

7.3.5 Resumo geral das excentricidades em um pilar
a. Excentricidade de forma (ef ou er)
Eixos do pilar e da viga não coincidentes.
b. Excentricidade acidental (ea)
Ocorre em todo o pilar: nas seções de topo, base e intermediária.
Considerar sempre, observando que ea ≥ e1d,min
1d,min 0,015 0,03 . (h em m)e h= +
Seção extrema 1 . θ 
Seção intermediária ( )1 . 2θ  1
1 1=
200100 . 
θ ≤

332 UNIUBE
c. Excentricidade mínima (e1d,min)
Ocorre em todo o pilar: nas seções de topo, base e intermediária.
Como o próprio nome diz, é o valor mínimo
1d,min 0,015 0,03 . (h em m)e h= +
d. Excentricidade inicial (ei)
Em todo o pilar com valores diferentes para as seções de topo e 
base e para a intermediária.
Pilares intermediários - não se considera, ei = 0 em ambas as direções.
Pilares laterais - ei ≠ 0 na direção da viga que termina no pilar.
Pilares de canto - ei ≠ 0 em ambas as direções na direção da 
viga que termina no pilar.
,pilard
i
d
M
e
N
= no topo e na base do pilar.
1,
0,6 . 0, 4 . 
0, 4 . 
iA iB
C
iA
e e
e
e
+
≥ 

 no meio do pilar.
e. Excentricidade de segunda ordem (e2)
É máxima na seção intermediária.
 UNIUBE 333
λ ≤ λ1 e2 = 0, não se considera a excentricidade de segunda ordem.
λ1 < λ ≤ 90 e2 ≠ 0, considera-se a excentricidade de segunda ordem.
( )
2
2
0,005 . 
10 0,5 . h
ee
ν
=
+

IMPORTANTE!
Temos também a excentricidade suplementar (fluência) que não 
estamos abordando neste texto, pois ela deve ser considerada a 
partir de λ > 90.
7.3.6 Exemplos de cálculo das excentricidades
No item 7.2.2 já aprendemos a determinar o índice de esbeltez de 
um pilar, agora vamos trabalhar com as excentricidades.
Retomando o exemplo do item 7.2.2: um pilar de 17x25 cm, con-
siderando vigas de 15x45 cm na direção horizontal e 15x35 cm na 
direção vertical. A distância entre as faces dos pisos é 270 cm.
334 UNIUBE
Na direção x: ℓe ≤ (270;225+17) = 242 cm
Na direção x: ℓe ≤ (270;235+25) = 260 cm
λx = 3,46 . 242 / 17 = 49,3
λy = 3,46 . 260 / 25 = 36
Portanto, trata-se de um pilar pouco esbelto em ambas as direções.
a. Excentricidade acidental (ea)
1
1 1=
200100 . 
θ ≤

Na direção x 1x
1 1=
200100 . 2,42
θ ≤ como 0,0064 > 0,005 θ1x = 0,005
1 . θ  Seção extrema eax,Topo = 0,005 . 242 = 1,21 cm
( )1 . 2θ  Seção intermediária eax,Meio = 0,0065 . 242 = 0,605 cm
 UNIUBE 335
b. Excentricidade inicial (eid,x)
Vamos supor que seja um pilar lateral submetido a uma carga de 
500 kN, armado com Aço CA 50 e concreto C25. Na direção x tenha 
uma viga com seção de 14x40 cm e 4,0 m de vão (centro a centro 
de apoio), submetida a uma carga de 20 kN/m terminando no pilar. 
O Pilar direito da viga tem 30 cm na direção da mesma. Ambos os 
pilares com a mesma seção acima e abaixo.
Poderíamos trabalhar com o vão de 4,0 m, centro a centro de apoio, 
mas só para recordar:
1 2
1 2
2 2
0,3 . 0,3 . 
t t
a e a
h h
 
≤ ≤ 
 
a1 ≤ (17/2; 0,3 x 40) a1 ≤ (8,5; 12) a1 = 8,5 cm
a2 ≤ (30/2; 0,3 x 40) a1 ≤ (15; 12) a2 = 12,0 cm
Se de centro a centro são 4,0 m, de face a face de pilar serão: 
ℓ0 = 400 – 8,5 – 15 = 3,765 m
0 1 2a a= + +  =3,765 + 0,085 + 0,12 = 3,97 m
336 UNIUBE
A distância de centro a centro, para pilares “normais” normalmente 
gera resultados bastante satisfatórios.
A rigidez total será: 752,31 + 253,77 + 253,77 = 1259,9 cm3.
E a parcela de rigidez referente ao pilar superior será: 253,77 / 1259,9 = 0,201
O Momento de Engastamento Perfeito da viga é: 
2 2 . 20 . 3,97.E. 26,268 kN.cm 2626,8 kN.cm
12 12
pM P = = = =
O Momento no pilar será: 0,201. 2626,8 = 527,99 kN.cm
Como a carga no pilar é N = 500 kN.
Excentricidades na base e topo, eiA é a maior, eiB a menor.
 UNIUBE 337
Excentricidades no meio do pilar, eic 
1,
0,6 . 0, 4 . 
0, 4 . 
iA iB
C
iA
e e
e
e
+
≥ 

1,
0,6 . 1,06 0,4 . (-)1,06 0,212
0,4 . 1,06 0,424C
e
+ =
≥  =
1, 0, 424 cmCe =
c. Excentricidade mínima (e1d,mim)
1d,min 0,015 0,03 . (h em m)e h= +
Dir x. e1d,min = 0,015 + 0,03 . 0,17 = 0,0201 m e1d,min x = 2,01 cm
Dir y. e1d,min = 0,015 + 0,03 . 0,25 = 0,0225 m e1d,min y = 2,25 cm
d. Excentricidade de segunda ordem (e2)
Pilares curtos ( λ ≤ λ1). Os esforços locais de segunda ordem po-
dem ser desprezados.
Pilares pouco esbeltos (λ1 < λ ≤ 90)têm que considerar os esforços 
locais de segunda ordem.
Aço CA 50 fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2.
Concreto C20 fcd = 20/1,4 = 14,29 MPa. fcd = 1,429 kN/cm2.
338 UNIUBE
Na direção x
 . . . 
d d
c cd cd
F F
A f b h f
ν = =
 
1,4 . 500 1,1526 0,5 ok!
17 . 25 . 1,429
ν = = >
( ) ( )
1 0,005 0,005 0,000178
0,5 . 1,1526 0,5 . 17r hν
= = =
+ +
Finalmente:
2 2
2,
1 242 . . 0,000178 1,042 cm
10 10
e
xe r
= = =

Na direção y:
1,1526
 . 
d
c cd
F
A f
ν = =
( ) ( )
1 0,005 0,005 0,000121
0,5 . 1,1526 0,5 . 25r hν
= = =
+ +
Finalmente:
2 2
2,
1 260 . . 0,000121 0,8181 cm
10 10
e
ye r
= = =

Terminamos? Não, não terminamos!
Precisamos agora analisar estas excentricidades.
Por exemplo:
• O ponto de partida é uma excentricidade inicial no eixo x.
• No eixo x, se a soma das excentricidades iniciais com a aci-
dental for inferior à mínima, usa-se a excentricidade mínima.
 UNIUBE 339
• Na direção y não temos excentricidade inicial, então se a ex-
centricidade acidental for inferior à mínima, usa-se a excentri-
cidade mínima (na direção y), mas não nos esqueçamos que 
o ponto de partida é uma excentricidade inicial no eixo x.
• Algumas excentricidades referem-se à seção de topo ou base 
do pilar, outras, como a excentricidade de segunda ordem re-
ferem-se à seção intermediária, então precisamos tomar cui-
dado, temos que fazer a análise da região das extremidades 
e da região intermediária do pilar.
Mas isso vamos deixar para o próximo capítulo, quando faremos 
alguns exercícios explicando detalhadamente essas combinações.
O fato é que teremos uma excentricidade para a direção x e outra 
para a direção y e, consequentemente, teremos os momentos em 
cada direção, pois a força normal aplicada no pilar vezes a excen-
tricidade em uma direção, produz o momento nessa direção.
Com o momento e a força normal estamos prontos para determinar 
a armadura do pilar.
7.4 Ábacos para o cálculo da armadura longitudinal de pilares
7.4.1 Ábacos para Flexão Normal Composta
Como falamos anteriormente, os pilares são solicitados à flexão 
composta normal ou à flexão composta oblíqua. Detalhar o modelo 
teórico para esse dimensionamento seria assunto para um outro 
curso, um curso longo e complexo.
340 UNIUBE
Alguns autores já estudaram o assunto e elaboraram ábacos para 
a determinação das taxas de armadura para uma série bastante 
grande de arranjos de armaduras na seção transversal do pilar. 
Neste texto, vamos utilizar os ábacos de Venturini (2000) para 
a Flexão Composta Normal e de Pinheiro (2009) para a Flexão 
Composta Oblíqua.
Venturini apresenta uma introdução de trinta e poucas páginas e 
rapidamente explica e detalha a utilização dos ábacos e a seguir 
apresenta noventa e seis ábacos. Libânio adota o mesmo procedi-
mento, quinze páginas para a apresentação e explicações neces-
sárias para o uso dos ábacos e na sequência apresenta 92 ábacos.
A seguir, vamos aprender a usar estes ábacos. Como escolher um de-
terminado ábaco, quais os parâmetros necessários e como utilizá-los.
Na Figura 109 apresentamos um ábaco para Flexão Normal 
Composta extraído de Venturini (2000). Veja o que temos:
• O número do ábaco (A3);
• Aço CA-50A (é o nosso aço CA 50, em 2000 pela norma vi-
gente usava-se a letra A);
• Coeficiente de minoração do aço (γs = 1,15).
 UNIUBE 341
Figura 109 - Ábaco para Flexão Normal Composta 
Fonte: Venturini (2000)
342 UNIUBE
• d’/h d’ é a distância da armadura comprimida à borda 
comprimida e h a altura da seção. Observe que há uma figura 
detalhando a seção;
• A figura da seção que aparece no canto superior direito. Figura 
109. Observe que Nd está na direção vertical e a armadura 
está disposta na direção vertical.
• Observe também que em alguns ábacos a armadura é repre-
sentada por uma barra, como é o caso deste gráfico, e outros 
a armadura é representada por barras. No primeiro caso in-
dicando a armadura aparece 2 As/2, ou seja calculamos As 
e dividimos meio a meio. No segundo caso pode aparecer 4 
As/8 indicando que obrigatoriamente vamos usar 8 barras, 4 
de um lado e 4 do outro.
• Embaixo aparece algumas expressões:
 . 
Sd
c cd
N
A f
ν =
 . h . 
d
c cd
M
A f
µ =
 
 . 
 . 
s yd
c cd
A f
A f
ω =
• Finalmente, observe que o ábaco é cartesiano, possui um 
eixo horizontal µ, e um eixo vertical ν, portanto usaremos o 
par (µ, ν) para acessar o ábaco.
Desta forma, a sequência para a obtenção da armadura é a 
seguinte:
• Primeiro escolhemos se queremos impor o número de barras 
ou não (traço cheio ou não);
• Em função do eixo considerado (momento) verificamos se a 
armadura está na mesma direção ou na direção oposta;
 UNIUBE 343
• Dentre estas escolhas determinamos d’/h e buscamos o ába-
co que mais se aproxima (0,015, 0,10, 0,15, 0,20 e 0,25) ou, 
por exemplo, para d’/h = 0,8 podemos considerar os ábacos 
para 0,05 e 0,10 e interpolamos;
• Determinamos os valores de µ e ν e no ábaco escolhido, va-
mos adotar o valor de ω referente à curva mais próxima do 
ponto (µ, ν);
• Com o valor de ω determinamos a armadura As. 
 . 
 . 
s yd
c cd
A f
A f
ω =
 
 . . c cds
yd
A fA
f
ω=
Pronto! Agora é só detalharmos a armadura, o que faremos no pró-
ximo capítulo. 
7.4.2 Ábacos para Flexão Composta Oblíqua 
Para a Flexão Composta Oblíqua usaremos os ábacos propostos 
por Pinheiro (2009). Os procedimentos para acessar estes ábacos 
são bastante semelhantes ao que já vimos para a Flexão Normal 
Composta, porém com uma diferença significativa: antes trabalha-
mos com a excentricidade em relação a um dos eixos e, portanto, 
com um par de esforços, o momento e esforço normal. Isto nos 
possibilitou o ábaco em um sistema cartesiano de eixos (µ, ν).
Na Flexão Composta Oblíqua temos excentricidades em rela-
ção aos dois eixos e, portanto, agora teremos três esforços a 
considerar: o esforço normal e um momento em cada direção. 
Convenhamos que um ábaco tridimensional vai complicar um 
pouquinho, não é mesmo?
344 UNIUBE
Libânio mantém o sistema cartesiano de eixos, o eixo horizontal 
para µX, e o vertical para µY. Cada ábaco com os parâmetros (µX, 
µY) é feito para um valor específico de ν.
Na Figura 110 apresentamos um ábaco para Flexão Composta 
Oblíqua extraído de Libânio (2009). Veja que temos quatro qua-
drantes, no sentido anti-horário o primeiro para ν = 0,0, o seguindo 
para ν = 0,2, o terceiro para ν=0,4 e o quarto quadrante para ν = 
0,6. E continua, este é o ábaco 3A, todos os ábacos são divididos 
em A e B, e no 3B teremos ν = 0,8, 1,0, 1,2 e 1,4.
Dessa forma, determinado o valor de ν, entramos no quadrante 
correspondente com os parâmetros (µX, µY). Para um valor de ν 
diferente poderemos interpolar ou adotar o valor mais conservador, 
favorável à segurança.
Veja que é o mesmo padrão dos ábacos usados para a Flexão 
Normal Composta.
• O número do ábaco (3A). São fornecidos 46 ábacos A e 46 
ábacos B;
• Aço CA-50A (atualmente não se usa mais a letra A, é o nosso 
aço CA 50);
• Coeficiente de minoração do aço (γs = 1,15);
• d’y = 0,05 hy e d’x = 0,25 hx d’ é a distância da arma-
dura comprimida à borda comprimida e h a altura da seção;
• Asy / As = 2/6. Vamos usar 6 barras, sendo que duas delas 
deverão estar em cada lado menor;
• Asx / As = 3/6. Vamos usar 6 barras, sendo que três delas 
deverão estar em cada lado maior.
 UNIUBE 345
Pronto! Agora é só detalharmos a armadura, o que faremos no pró-
ximo capítulo. No Capítulo VIII vamos fazer alguns exercícios e 
aprender a detalhar a armadura dos pilares.
Figura 110. Ábaco para Flexão Composta Oblíqua 
Fonte: Venturini (2000)
346 UNIUBE
Considerações finais
Neste capítulo aprendemos bastante sobre pilares de concreto ar-
mado. Aprendemos a classificá-los, equacioná-los e a rotina para a 
determinação da armadura por meio dos ábacos de Flexão Normal 
Composta ou de Flexão Composta Oblíqua. 
Vimos que o objetivo principal é a determinação das excentricida-
des, pois mediante elas determinamoso momento atuante no pilar. 
Mas no final do item 7.3.6, quando exemplificamos o cálculo das 
excentricidades, deixamos algumas dúvidas pairando no ar, por 
exemplo, quando usávamos a excentricidade mínima, as excentri-
cidades que ocorriam nas extremidades do pilar, e as que ocorriam 
no meio, o tipo de flexão composta, normal ou oblíqua.
Da mesma forma, apenas esquematizamos a utilização dos ába-
cos. Acreditamos que com a rotina apresentada já é possível utilizá
-los e determinar a armadura, mas sem dúvida, uma aplicação real 
facilitaria bastante, não é mesmo?
Mas o importante é que cumprimos o objetivo proposto para este 
capítulo. Já temos todos os elementos para a determinação da ar-
madura de um pilar, evidentemente falta detalhar melhor, ou seja, 
exemplificarmos por meio de alguns exercícios explicando de for-
ma mais detalhada estes procedimentos.
Para isto, teremos o Capítulo VIII inteirinho para dimensionar e de-
talhar as armaduras dos pilares.
João Dirceu Nogueira Carvalho
Introdução
Pilares de concreto 
armado – exercícios e 
detalhamento
Capítulo
8
No capítulo anterior classifi camos e equacionamos o 
dimensionamento dos pilares de concreto armado. Mas no fi nal do 
item 7.3.6, quando exemplifi camos o cálculo das excentricidades, 
deixamos algumas dúvidas pairando no ar, por exemplo, quando 
usávamos a excentricidade mínima, as excentricidades que 
ocorriam nas extremidades do pilar, e as que ocorriam no meio, o 
tipo de fl exão composta, normal ou oblíqua.
Da mesma forma, apenas esquematizamos a utilização dos 
ábacos. Acreditamos que com a rotina apresentada já é 
possível utilizá-los e determinar armadura, mas sem dúvida, 
uma aplicação real facilitaria bastante, não é mesmo?
É o que faremos neste capítulo. Vamos resolver alguns 
exercícios explicando com mais detalhes o dimensionamento 
dos pilares.
Mas ainda faltam algumas coisinhas para aprendermos sobre 
os pilares, por exemplo, o cálculo dos pilares intermediários, 
de extremidade e de canto. E se forem pilares curtos ou 
pouco esbeltos?
E mais, calculada a armadura longitudinal, precisamos 
aprender o que fazer com ela, não é mesmo? Taxas mínima 
e máxima, escolha de diâmetros, detalhamento na seção, 
comprimentos de ancoragem das barras etc.
• Exemplificar o dimensionamento de pilares retangulares 
de concreto armado;
• Detalhar as armaduras longitudinal e transversal dos 
pilares.
• Pilares de concreto armado – exercícios e detalhamento
• Pré-dimensionamento
• Exemplo 01
• Cálculo do índice de esbeltez
• Cálculo das excentricidades acidentais
• Análise das excentricidades
• Cálculo da armadura longitudinal
• Detalhamento da armadura de pilares de concreto 
armado
• Relação máxima entre as dimensões da seção
• Armaduras longitudinais
• Armaduras transversais
• Estribos suplementares
• Detalhamento da armadura do exemplo 01
• Exemplo 02
• Cálculo do índice de esbeltez
Objetivos
Esquema
E mais ainda, até agora falamos da armadura longitudinal, e a 
transversal? Os estribos, qual a função deles nos pilares? Afinal, 
não temos cisalhamento nos pilares, então para que os estribos? 
E por que tantos? Como calculá-los? Como detalhá-los? etc.
Bem, já dá para termos uma ideia de que temos uma boa 
caminhada pela frente, mas estamos terminando, este é o 
nosso último capítulo.
Então, vamos a ele!
• Cálculo das excentricidades iniciais
• Cálculo das excentricidades acidentais
• Análise das excentricidades
• Cálculo da armadura longitudinal
• Detalhamento da armadura do exemplo
Pilares de concreto armado – exercícios e detalhamento8.1
Vamos retomar nossa planta de forma desenvolvida no Capítulo II 
e apresentada na Figura 18. Para facilitar seu uso vamos refazê-la 
aqui a denominando como Figura 111.
Para o dimensionamento de alguns pilares precisamos adotar al-
guns parâmetros de projeto necessários para isso, por exemplo: 
adotar o Aço CA 50, concreto C25 e supor que de nível a nível de 
pavimento tenhamos uma altura de 270 cm. 
É claro, precisamos também da carga aplicada em cada pilar, mas 
isso será feito caso a caso no momento oportuno.
350 UNIUBE
Figura 111 - Planta de forma (parcial) do pavimen-
to tipo e planta dos vãos teóricos
Fonte: o autor
Vamos iniciar trabalhando com o pilar P10, por exemplo.
Trata-se de um pilar central e intermediário, portanto não teremos 
excentricidade inicial.
8.1.1 Pré-dimensionamento
Os pilares geralmente são embutidos nas paredes e, portanto, os re-
tangulares têm um dos lados com a dimensão um pouco menor que 
 UNIUBE 351
a dimensão da parede. A menor dimensão permitida para pilares é de 
19 cm, admitindo-se dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que os 
esforços solicitantes de cálculo sejam majorados por um coeficiente 
adicional γn, conforme disposto na Tabela 36. Em qualquer caso, não 
se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2.
Tabela 36 - Valores do coeficiente adicional γn para pilares 
b cm ≥ 19 18 17 16 15 14
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25
onde γn = 1,95 – 0,05 b; 
b é a menor dimensão da seção transversal, expressa em centímetros (cm).
NOTA: o coeficiente γn deve majorar os esforços solicitan-
tes finais de cálculo quando de seu dimensionamento.
Fonte: NBR6118. Tabela 13.1
A outra dimensão pode ser estimada adotando-se para a força nor-
mal adimensional um valor entre 0,8 e 1,2. 
1,2 . . 
0,8 1,2
1,2 . . . 
 . 
d
cdd
dcd
cd
F
b fF h
Fb h f
b f
ν ν
≤≤ ≤ = 
≤

O pilar P10 considerado neste exemplo teria 14 cm como uma das 
dimensões, e a outra:
Para P = 450 kN, Nd = γf . γn . P = 1,4 . 1,25 . 450 = 787,5 kN 
(26,2 ≤ h ≤ 37,8) h = 35 cm
Para P = 300 kN, Nd = γf . γn . P = 1,4 . 1,25 . 300 = 525 kN 
(17,5 ≤ h ≤ 25,2) h = 25 cm
352 UNIUBE
DICA
Em um edifício, o pilar do último pavimento recebe apenas a carga 
da cobertura e à medida que descemos para o térreo vai receben-
do a carga dos pavimentos acima dele, até que no térreo ele está 
recebendo a carga correspondente a ele, de todo o edifício. Isto 
significa que sua seção varia, uma seção maior no térreo, diminuin-
do, até sua menor seção no último pavimento.
Uma das alternativas é manter a seção por alguns pavimentos, au-
mentando a armadura, à medida que a carga vai aumentando.
8.1.2 Exemplo 01
Dimensionar a armadura do pilar P10 (Figura 111). 
Dados: Aço CA 50, concreto C25, H nível a nível de pavimento = 
270 cm, P = 400 kN. b = 14 cm.
Da planta de forma temos que a V104 (14x40) e a V107 (14x35).
Estimativa da seção: 
1,2 . . 
0,8 1,2
1,2 . . . 
 . 
d
cdd
dcd
cd
F
b fF h
Fb h f
b f
ν ν
≤≤ ≤ = 
≤

Para P = 400 kN, Nd = γf . γn . P = 1,4 . 1,25 . 400 = 787,5 kN 
(26,2 ≤ h ≤ 37,8) h = 35 cm
 UNIUBE 353
Figura 112 - Seção e elevação do pilar P10 nas direções x e y
Fonte: o autor
8.1.2.1 Cálculo do índice de esbeltez
Na direção x:
ℓ = 270 cm, ℓ0 = 270 – 40 = 230, ℓe ≤ (270;230+14) = 244 cm
Na direção y:
ℓ = 270 cm, ℓ0 = 270 – 35 = 235, ℓe ≤ (270;235+30) = 265 cm
,3,46 . 3,46 . 244 60,3
14
e x
x x
xh
λ λ= = =

 35 ≤ λ ≤ 90 Pilar pouco esbelto
,3,46 . 3,46 . 265 30,6
30
e y
y x
yh
λ λ= = =

 λ ≤ 35 Pilar curto
Na direção x 35 ≤ λ ≤ 90 Pilar pouco esbelto excentricidade 
de 2ª ordem
Na direção y λ ≤ 35 Pilar curto não considera ex-
centricidade de 2ª ordem
354 UNIUBE
8.1.2.2 Cálculo das excentricidades acidentais
8.1.2.2.1 Cálculo das excentricidades acidentais
1 1
1 1 0,0033 rad 0,005 rad
300 200
θ θ≤ ≤ ≤ ≤
1 1
1 1 10,0064 > adota-se 0,005
200100 . 100 . 2,44x xex
θ θ= = = =

1 . 0.005 . 244 1,22 cmax x x axe eθ= ∴ = = 
seção extrema (topo e base do pilar)
1
244 . 0.005 . 0,61 cm2 2
x
ax x axe eθ= ∴ = =

 
seção intermediária (meio do pilar)
Analogamente, na direção do eixo y a excentricidade acidental resulta:
1 1
1 1 10,0061 > adota-se 0,005
200100 . 100 . 2,65y yex
θ θ= = = =

1 . 0.005 . 265 1,325 cmay y y aye eθ= ∴ = = 
seção extrema (topo e base do pilar)
1265 . 0.005 . 0,663 cm2 2
y
ay y aye eθ= ∴ = =

 
seção intermediária (meio do pilar)
 UNIUBE 355
8.1.2.2.2 Cálculo das excentricidades iniciais (ei)
Pilar intermediário não tem ei. Apenas os pilares extremos de vigas 
têm excentricidade inicial.
8.1.2.2.3 Cálculo das excentricidades mínimas
1,min, 0,015 0,03 . 0.015 0.03 . 0,14 0,0192 m 1,92 cmx xe h= + = + = =
1,min, 0,015 0,03 . 0.015 0.03 . 0,30 0,024 m 2,40 cmy ye h= + = + = =
Como as excentricidades acidentais devem ser maiores ou iguais 
as mínimas, teremos como excentricidades de 1ª ordem:
1min, 11,92 cm 1,22 cm 1,92 cmx ax xe e e= > = = em todo o pilar
1min, 12,40 cm 1,33 cm 2,40 cmy ay ye e e= > = = em todo o pilar
8.1.2.2.4 Cálculo das excentricidades de segunda ordem
Valor da força normal adimensional (ou força normal reduzida):
 . . . 
d d
c cd cd
F F
A f b h f
ν = =
; 
1,4 . 1,25 . 400 0,933
 . 30 . 14 . 1,786
d
c cd
F
A f
ν = = =
Valor da curvatura na seção crítica do pilar submetido à flexão 
composta:
( ) ( )
1 0,005 1 0,005 0,000249
0,5 . 0,933 0,5 . 14r h rν
= = =
+ + com ( )0,5 1ν + ≥
356 UNIUBE
Valor da excentricidade de 2ª ordem na direção x:
2 2
2 2
1 244 . . 0,000249 1,48 cm
10 10
ex
x xe er
= = =

Observação
Para a direção y λ ≤ 35 Pilar curto não considera ex-
centricidade de 2ª ordem
8.1.2.3 Análise das excentricidades
Excentricidades iniciais:
Como temos um pilar intermediário, a situação de projeto é uma 
carga centrada. Se tivéssemos um pilar lateral, nosso pilar fosse 
o apoio extremo de uma viga, na situação de projeto teríamos a 
excentricidade inicial na direção desta viga.
Agora, temos as outras excentricidades que acontecerão na situa-
ção de cálculo.
Excentricidades acidentais: 
Determinamos:
eax = 1,21 cm e eay = 1,33 cm nas extremidades e eax = 0,61 cm e 
eay = 0,663 cm no meio do pilar.
 UNIUBE 357
Excentricidades mínimas: e1 = ea + ei ≥ e1,min
A soma das excentricidades inicial e acidental deve ser maior ou 
igual a mínima, caso contrário usamos a mínima em cada direção.
Como e1x,min = 1,92 > 1,21 + 0 e e1x,min = 1,92 > 0,61 + 0 
e1x = 1,92 (extremidades e no meio)
Como e1y,min = 2,40 > 1,21 + 0 e e1y,min = 2,40 > 0,61 + 0 
e1y = 2,40 (extremidades e no meio)
Excentricidades de segunda ordem: 
Por ser um pilar intermediário não tivemos excentricidade inicial.
Na direção x tivemos excentricidade de 2ª ordem 
35 ≤ λ ≤ 90 Pilar pouco esbelto
Na direção y não consideramos a excentricidade de 2ª ordem 
λ ≤ 35 Pilar curto 
Observe que a excentricidade de segunda ordem é máxima no 
meio do pilar e em uma das extremidades.
358 UNIUBE
Figura 113 - Pilar P10: Situações de projeto e de cálculo 
Fonte: o autor
Da análise da situação de cálculo das excentricidades apresenta-
das na Figura 113, temos:
• a seção intermediária é a mais desfavorável para a direção x, 
com uma excentricidade de cálculo igual a 3,40 cm;
• na direção y, a seção intermediária e a das extremidades apre-
sentaram a excentricidade mínima (igual a 2,40 cm) como a 
mais desfavorável como a excentricidade de cálculo. 
 UNIUBE 359
8.1.2.4 Cálculo da armadura longitudinal
No capítulo anterior mencionamos a utilização dos ábacos de 
Venturini (2000) para a Flexão Composta Normal. No item 7.4.1 
apresentamos uma rotina para a utilização destes ábacos. Então 
agora vamos a eles, mas não se preocupe, vamos fazer isso passo 
a passo, explicando tudo, ok?
Inicialmente, vamos detalhar os parâmetros d’/h. Na Figura 114 
detalhamos a altura d’. À esquerda, o pilar com seus eixos x e y, 
ao centro o pilar, seu estribo e uma barra em cada direção para 
exemplificar o centro de gravidade da armadura, visto que arma-
mos nossos pilares com apenas uma camada de ferros e, final-
mente, à direita ampliamos o Detalhe A, onde se vê o cobrimento 
da armadura (c), o diâmetro da armadura transversal (estribo, φt) e 
o cg da armadura (cg).
Figura 114 - Detalhe da altura d’ 
Fonte: o autor
O cobrimento da armadura já foi visto no Capítulo IV, item 4.8 e 
depende da classe de agressividade ambiental. O diâmetro do es-
tribo será ¼ do diâmetro da armadura longitudinal, maior ou igual 
a 5,0 mm e, finalmente, o cg da armadura será igual à metade do 
360 UNIUBE
diâmetro da armadura longitudinal, que por norma deve ser maior 
ou igual a 10,0 mm, assim teremos 0,5 cm para o φ10 mm, 1,0 cm 
até o φ20 mm, 1,5 cm para os φ22 e φ25 mm etc.
RELEMBRANDO
cnom = cmin + ∆c
cobrimento nominal = cobrimento mínimo + tolerância de execução
Nas obras correntes, o valor de ∆c (tolerância de execução) deve ser 
maior ou igual a 10 mm permitindo-se a redução para 5 mm quando 
ficar explícito nos desenhos de projeto a obrigatoriedade de controles 
de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medi-
das durante a execução (exigências de controle rigoroso).
Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade 
mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (sa-
las, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apar-
tamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com 
concreto revestido com argamassa e pintura).
Tabela 37 - Cobrimentos nominais (∆c = 10mm) 
referentes à classe de agressividade ambiental 
Componente ou 
elemento de con-
creto armado 
Classe de agressividade ambiental (Tabela 4.2)
I II III IV
Cobrimento nominal mm
Laje 20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Fonte: NBR 6118. (2003) - Tabela 7.2
 UNIUBE 361
Desta forma, para edifícios residenciais e comerciais Classe de 
agressividade II, podemos conforme a norma usar um nível mais 
brando, portanto Classe I, e ainda obedecendo as prescrições da 
norma, usar ∆c = 0,5. Desta forma, o cobrimento passaria de 3,0 
cm na Classe II, para 2,5 cm na Classe I e, finalmente, 2,0 cm com 
o ∆c de 1,0 para 0,5 cm.
Continuando, agora que já definimos todos os parâmetros pode-
mos facilmente estimar o valor de d’, para edifícios residenciais ou 
comerciais Classe II, por exemplo:
Para φℓ = 10 mm d’ = c + φt + ½ φℓ = 2,0 + 0,5 + 0,5 = 3,0 cm
Para 12,5 ≤ φℓ ≤ 20 mm d’ = c + φt + ½ φℓ = 2,0 + 0,5 + 1,0 = 3,5 cm
Para φℓ = φ 22 ou 25 mm d’ = c + φt + ½ φℓ = 2,0 + 0,5 + 1,0 = 3,5 cm
8.1.2.4.1 Direção x
a. Cálculo de d’x
No caso do nosso pilar, supondo φ 20 mm, teremos:
Direção x d’ = 3,5, hx = 14 d’ / hx = 0,25
b. Excentricidade de cálculo na direção x
Conforme a Figura 113, na seção intermediária 
ex = eimin,x + e2x = 1,92 + 1,48 = 3,40 cm
362 UNIUBE
c. Valor da Força normal adimensional (reduzida)
calculada em 8.3.4 νd = 0,933
d. Cálculo do momento fletor adimensional (reduzido) na dire-
ção do eixo x
 . . 
dx
c cd
M
A h f
µ =
 Veja que podemos calcular o µ de duas formas diferentes:
 . 
 . . . . 
dx d x
c cd c cd
M N e
A h f A h f
µ = = ou rearranjando esta fórmula . xd
e
h
µ ν= 
3,4 . 0,933 . 0, 227
14
x
x d
x
e
h
µ ν= = =
e. Ábaco de Flexão Normal Composta
Veja a figura a seguir. É um esboço de como vamos armar nosso 
pilar. Veja que a armadura deve ser colocada normalmente à me-
nor dimensão, neste caso, vamos buscar um ábaco onde a arma-
dura é normal à direção de Nd.
 Adotaremos o Ábaco A5 (d’ / hx = 0,25)
 UNIUBE 363
Figura 115 - Ábaco para Flexão Normal Composta – A5
Fonte: Venturini (2000)
364 UNIUBE
Entrando com ν = 0,933 e µ = 0,227 (veja as linhas pontilhadas 
na Figura 115)
Teremos ω ≈ 0,89
 . 
 . 
s yd
c cd
A f
A f
ω =
 
2 . . . 0,89 . 15,35 cm
43,48
c cd c cd
s
yd
A f A fA
f
ω= = =
Adotando φ 12,5 mm (1,23 cm2) necessitaremos de 12,48 barras. 
Como usaremos metade em um lado e metade no outro, teremos 
que usar 14 barras.
14 barras darão uma seção total de 17,22 cm2, 12,18% a mais que 
o calculado.
Adotando φ 16 mm (2,0 cm2) necessitaremos de 7,68 barras, ou 
seja 4 + 4 = 8 barras.
8 barras darão uma seção total de 16,0 cm2, 4,23% a mais que o 
calculado.
Adotando φ 20 mm (3,14 cm2) necessitaremos de 4,89barras, ou 
seja 3 + 3 = 6 barras.
6 barras darão uma seção total de 18,84 cm2, 22,74% a mais que 
o calculado.
Independente disso, sete barras em cada lado é muita coisa, oito 
ou seis barras é um número melhor.
Adotaremos, portanto, 8 φ 16 mm, 4 barras em cada lateral do lado 
maior (da direção y).
 UNIUBE 365
8.1.2.4.2 Direção y
IMPORTANTE!
O que vamos fazer agora é basicamente um cálculo de verificação. 
Em princípio, a armadura já foi calculada, pois consideramos a si-
tuação mais desfavorável.
Neste cálculo, vamos adotar a mesma premissa de colocação das 
barras, calculamos a armadura para a direção y e usaremos a maior 
entre as armaduras determinadas para a direção x ou y.
a. Cálculo de d’y
Já foi suposto φ 20 mm, teremos:
Direção y d’ = 3,5, hy = 30 d’ / hy = 0,117
b. Excentricidade de cálculo na direção x
Conforme a Figura 113, nas seções intermediária e de extremidades 
ey = 2,40 cm
c. Valor da Força normal adimensional (reduzida)
calculada em 8.3.4 νd = 0,933
d. Cálculo do momento fletor adimensional (reduzido) na dire-
ção do eixo x
 . . 
dx
c cd
M
A h f
µ = Veja que podemos calcular o µ de duas formas diferentes:
 . 
 . . . . 
d ydx
c cd c cd
N eM
A h f A h f
µ = = ou rearranjando esta fórmula . 
y
d
e
h
µ ν= 
2,4 . 0,933 . 0,075
30
y
y d
y
e
h
µ ν= = =
366 UNIUBE
e. Ábaco de Flexão Normal Composta
Observe que a armadura é mantida normal-
mente à menor dimensão, mas agora a arma-
dura está na mesma direção que o momento 
aplicado (Nd . ey).
Não temos um ábaco para o valor de d’y / hy 
= 0,117 e neste caso, ou arredondamos para 
0,10 ou usamos os ábacos de 0,10 e 0,15.
Vamos adotar o ábaco para d’y / hy = 0,10
Podemos usar o Ábaco A115 ou o Ábaco A25 ambos para d’ / hy = 0,10.
 UNIUBE 367
Figura 116 - Ábaco para Flexão Normal Composta – A11 
Fonte: Venturini (2000)
368 UNIUBE
Figura 117 - Ábaco para Flexão Normal Composta – A25 
Fonte: Venturini (2000)
 UNIUBE 369
Entrando com ν = 0,933 e µ = 0,075
(veja as linhas pontilhadas nas Figuras 116 e 117)
Teremos ω ≈ 0,33 em ambos os ábacos.
A única diferença entre os dois ábacos é que o A11 impõe 8 barras (4 de 
cada lado) e o A25 deixa em aberto o número de barras (traço cheio), ou 
seja, calculamos uma armadura e colocamos metade em cada lado.
O importante é o seguinte, percebeu que o cálculo da armadura 
terminou? Isso mesmo, não precisamos mais continuar, pois deter-
minamos ω ≈ 0,33 para a direção y, uma taxa de armadura muito 
inferior ao ω ≈ 0,89 encontrada para a direção x.
Adotaremos a solução inicial encontrada para a direção x, 8 φ 16 
mm, 4 barras em cada lateral do lado maior (da direção y).
Antes de fazermos outro exercício, vamos terminar este, mas antes 
temos que aprender a detalhar a armadura, ok?
8.2 Detalhamento da armadura de pilares de concreto armado
8.2.1 Relação máxima entre as dimensões da seção
Antes, vamos diferenciar pilar de pilar parede. Os pilares deverão 
ter a maior dimensão de sua seção menor ou igual a cinco vezes 
sua menor dimensão.
5 . Pilarh b≤
5 . Pilar paredeh b>
370 UNIUBE
8.2.2 Armaduras longitudinais 
O diâmetro das barras longitudinais não pode ser inferior a 10 mm 
nem superior a 1/8 da menor dimensão transversal.
A armadura longitudinal mínima deve ser:
, 0,15 . 0,004 . ds mín c
yd
NA Af
 
 
 
= ≥
A armadura longitudinal máxima deve ser:
, 0,08 . s max cA A≤
Esta armadura máxima deve considerar inclusive a sobreposição de ar-
madura existente em regiões de emenda (esperas, arranques de pilares).
Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada 
vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas 
ao longo do perímetro. Na seção retangular, portanto, um mínimo 
de quatro barras, uma em cada canto.
O espaçamento mínimo entre as barras longitudinais deve ser 
maior ou igual a:
( )max diâmetro máxim
20 
1,2 . o do agregad o 
mm
a
d
φ


≥ 



Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem, 
o adensamento por meio de abertura lateral na face da fôrma, o 
espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a 
passagem do vibrador.
 UNIUBE 371
O espaçamento máximo sℓ entre os eixos das barras deve ser me-
nor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho 
considerado, sem exceder 40 cm, ou seja: 
2 
40 cm
b
s ≥ 


8.2.3 Armaduras transversais 
Nas vigas, os estribos são fundamentais para combater o cisalha-
mento. Nos pilares, os estribos têm outra função, os estribos têm 
como principal função fixar as barras longitudinais e contraventá
-las, impedindo sua flambagem. Entre outras funções, eles também 
confinam o concreto em seu interior aumentando a resistência do 
pilar e a sua ductilidade. 
Diâmetro dos estribos:
5 mm
4
tφ φ
≥ 


Espaçamento dos estribos:
372 UNIUBE
8.2.4 Estribos suplementares
Como vimos, os estribos têm como uma de suas principais funções 
o contraventamento das barras longitudinais impedindo sua flam-
bagem, mas estribos muito compridos perdem esta capacidade na 
sua região central. A NBR 6118 considera que os estribos protegem 
contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus can-
tos e as situadas no máximo à distância de 20 φt do canto, se nes-
se trecho de comprimento 20 φt não houver mais de duas barras, 
não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nes-
se trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares.
Figura 118 - Proteção contra a flambagem das barras 
Fonte: NBR 6118. Figura 18.2
8.3 Detalhamento da armadura do exemplo 01
Agora já temos condições de terminar nosso exercício, detalhando 
sua armadura.
O pilar P10 tem uma seção de concreto 14 x 30 cm e foi armado com 
8 φ 16 mm, 4 barras em cada lateral do lado maior (da direção y).
 UNIUBE 373
Menor dimensão ≥ 14,0 cm
Área 14 x 30 = 420 cm2 ≥ 360 cm2
Área de aço 8 φ 16 mm = 8,0 cm2
Armadura mínima = 
2
,
7000,15 . 0,004 . 0,15 . 2, 41 cm
43,48
d
s mín c
yd
NA A
f
 
  = 

=

= ≥
2
, 0,004 . 0,004 . 420 1,68 cms mín cA A≥ = =
A armadura longitudinal máxima deve ser:
( ) 2, 0,08 . 0,04 . 420 16,8 cms max cA A≤ = =
DICAS
No cálculo feito anteriormente para a determinação da armadura má-
xima não cometemos nenhum erro. A taxa de 8% deve considerar, in-
clusive, a sobreposição de armadura nas regiões de emenda, portanto 
devemos considerar uma taxa máxima de 4,0% para o nosso pilar. 
DICAS
As taxas de armadura em pilares variam de calculista para calculista, mas 
normalmente ficam próximas de 1% não ultrapassando 2%, 2,5%. 
É uma taxa de armadura ρ = As / Ac = 16 / 420 = 3,81% é alta. 
Isto se deve em parte à dimensão de 14 cm (γn =1,25) e indica a 
necessidade de um aumento de seção.
Pilares com dimensões de 14, 15 cm, embutidos na parede são um 
luxo, não é mesmo? Mas lembre-se, custam caro.
374 UNIUBE
Comprimento de ancoragem sem gancho (Tabela 24, Capítulo V) = 
38 φ = 38 . 1,6 = 61 cm
Armadura transversal
Diâmetro dos estribos: 
5 mm
16 4,0 mm4 4
tφ φ
≥ 
= =

 φt = 5,0 mm
Espaçamento dos estribos 
Portanto, estribos de 5,0 mm a cada 14 cm.
Número de estribos
n = 270 / 14 = 19,28 (mais um estribo que vai na base) n = 20.
Não há necessidade de armadura suplementar (ganchos).
Figura 119 - Pilar P10 - Detalhamento da armadu-
ra longitudinal na seção transversal 
Fonte: o autor
 UNIUBE 375
Figura 120 - Pilar P10 - Detalhamento de um tramo 
Fonte: o autor
8.4 Exemplo 02
Dimensionar a armadura do pilar 
P07 (Figura 111).
Dados: Aço CA 50, concreto C25,
H nível a nível de pavimento = 
270 cm, P = 450 kN. b = 17 cm.
Vamos adotar para a V103 uma 
carga de 25 kN/m.
V106 (14x40), V103 (14x35), P07 (17 cm), P08(14 cm) e face a 
face de pilar com 362 cm.
376 UNIUBE
Estimativa da seção:
1,2 . 0,8 19,9
 . 
 . . 0,1,2 28,6
1,2 . . 
d
cdd
dcd
cd
Fh
b fF
Fb h f h
b f
ν
ν
ν
 ≈ ≈ ≈= 
 ≈ ≈ ≈

Para P = 450 kN, Nd = γf . γn . P = 1,4. 1,1 . 470 = 723,8 kN 
(20 ≤ h ≤ 29) h = 30 cm
Figura 121 - Seção e elevação do pilar P07 nas direções x e y 
Fonte: o autor
8.4.1 Cálculo do índice de esbeltez
Na direção x:
ℓ = 270 cm, ℓ0 = 270 – 35 = 235, ℓe ≤ (270;235+17) = 252 cm
Na direção y:
ℓ = 270 cm, ℓ0 = 270 – 40 = 230, ℓe ≤ (270;230+30) = 260 cm
 UNIUBE 377
,3,46 . 3,46 . 252 51,4
17
e x
x x
xh
λ λ= = =

 35 ≤ λ ≤ 90 Pilar pouco 
esbelto
,3,46 . 3,46 . 260 30,0
30
e y
y x
yh
λ λ= = =

 λ ≤ 35 Pilar curto
Na direção x
35 ≤ λ ≤ 90 Pilar pouco esbelto excentricidade de 2ª ordem
Na direção y
λ ≤ 35 Pilar curto não considera excentricidade de 2ª ordem
Este exemplo é muito parecido com o anterior, a única diferença é 
que o pilar P10 era intermediário, portanto não tinha excentricidade 
inicial. O P07 é um pilar de extremidade, ele é o apoio extremo da 
viga V103, e esta viga provocará excentricidade inicial na direção 
do eixo x, a sua direção.
8.4.2 Cálculo das excentricidades iniciais
8.4.2.1 Cálculo do vão teórico da V103
Vão da V103
ℓ0 = 362 cm, t1 / 2 = 17/2 = 8,5 cm, t2 / 2 = 14/2 = 7,0 cm, hV103 = 35 cm
 a1 ≤ (0,3 . 35 = 10,5 ou t1/2 = 8,5) a1 = 8,5
a2 ≤ (0,3 . 35 = 10,5 ou t1/2 = 7,0) a2 = 7,0
ℓ = ℓ0 + a1 + a2 = 362 + 8,5 + 7,0 = 377,5 cm
378 UNIUBE
A rigidez total será: 530,02 + 292,44 + 292,44 = 1114,9 cm3.
E a parcela de rigidez referente ao pilar superior será: 
292,44 / 1114,9 = 0,262
O Momento de Engastamento Perfeito da viga é:
2 2 . 25 . 3,62.E. 27,3 kN.cm 2730,0 kN.cm
12 12
pM P = = = =
O Momento no pilar será: 0,262. 2730,0 = 715,26 kN.cm
Como a carga no pilar é N = 470 kN Nd = 723,8 kN
Excentricidades na base e topo, eiA é a maior, eiB a menor
 UNIUBE 379
,
,
1, 4 . 715,26 1001,4 1,38 cm
1,4 . 1,1 . 470 723,8
d pilar
iA x
d
M
e
N
= = = =
,
1001,4 1,38 cm
723,8iB x
e = − = −
Excentricidades no meio do pilar, eic 
1,
0,6 . 0, 4 . 
0, 4 . 
iA iB
C
iA
e e
e
e
+
≥ 
 
1,
0,6 . 1,38 0,4 . (-1,38) 0,276
0,4 . 1,38 0,552C
e
+ =
≥  =
 1, 0,552 cmCe =
Esta é a situação de projeto, a situação “0”
iA,x
iC,x
i,y
extremidades (e = 1,38)
eixo x 
meio do pilar (e = 0,552)
eixo y carga centrada (e = 0)
 → 
 
 →
8.4.3 Cálculo das excentricidades acidentais
8.4.3.1 Cálculo das excentricidades acidentais
1 1
1 1 0,0033 rad 0,005 rad
300 200
θ θ≤ ≤ ≤ ≤
1 1
1 1 10,0062 > adota-se 0,005
200100 . 100 . 2,52x xex
θ θ= = = =

1 . 0.005 . 252 1,26 cmax x x axe eθ= ∴ = = seção extrema (topo e 
base do pilar)
380 UNIUBE
1
252 . 0.005 . 0,63 cm2 2
x
ax x axe eθ= ∴ = =

 seção intermediária 
(meio do pilar)
Analogamente, na direção do eixo y a excentricidade acidental 
resulta:
1 1
1 1 10,0062 > adota-se 0,005
200100 . 100 . 2,60y yex
θ θ= = = =

1 . 0.005 . 260 1,30 cmay y y aye eθ= ∴ = = seção extrema (topo e 
base do pilar)
1
260 . 0.005 . 0,65 cm2 2
y
ay y aye eθ= ∴ = =

 seção intermediária 
(meio do pilar)
8.4.3.2 Cálculo das excentricidades mínimas
1,min, 0,015 0,03 . 0.015 0.03 . 0,17 0,0201 m 2,01 cmx xe h= + = + = =
1,min, 0,015 0,03 . 0.015 0.03 . 0,30 0,024 m 2,40 cmy ye h= + = + = =
8.4.3.3 Cálculo das excentricidades de segunda ordem
Valor da força normal adimensional (ou força normal reduzida):
 . . . 
d d
c cd cd
F F
A f b h f
ν = = ; 
1,4 . 1,1 . 470 0,795
 . 30 . 17 . 1,786
d
c cd
F
A f
ν = = =
 UNIUBE 381
Valor da curvatura na seção crítica do pilar submetido à flexão 
composta:
( ) ( )
1 0,005 1 0,005 0,000227
0,5 . 0,795 0,5 . 17r h rν
= = =
+ + com 
( )0,5 1ν + ≥
Valor da excentricidade de 2ª ordem na direção x:
2 2
2 2
1 252 . . 0,000227 1,44 cm
10 10
ex
x xe er
= = =

Observação
Para a direção y λ ≤ 35 Pilar curto não considera excen-
tricidade de 2ª ordem
8.4.4 Análise das excentricidades
Excentricidades iniciais:
Como temos um pilar de extremidade na direção x a situação de 
projeto é uma carga excêntrica (eiA,x nas extremidades e eiC,x na 
seção intermediária). Na direção y, o pilar não é de extremidade, 
portanto na situação de projeto a carga não é excêntrica.
Agora, temos as outras excentricidades que acontecerão na situa-
ção de cálculo.
Como a soma das excentricidades iniciais e acidentais devem ser maio-
res ou iguais às mínimas, teremos como excentricidades de 1ª ordem:
382 UNIUBE
Direção x:
Topo e base
, , 1,38 1,26 2,64iA x aA xe e+ = + = min,x 2,01ie = 1 , 2,64A xe =
Intermediária
, , 0,552 0,63 1,18iC x aC xe e+ = + = min,x 2,01ie = 1 , 2,01C xe =
Direção y:
Topo e base
, , 0,0 1,3 1,3iA y aA ye e+ = + = min, 2, 40i ye = 1 ,y 2, 40Ae =
Intermediária
, ,y 0,0 0,65 0,65iC y aCe e+ = + = min,y 2, 40ie = 1 , 2, 40C ye =
Excentricidades de segunda ordem: 
Na direção x tivemos excentricidade de 2ª ordem 35 ≤ λ ≤ 90 
Pilar pouco esbelto
Na direção y não consideramos a excentricidade de 2ª ordem 
λ ≤ 35 Pilar curto 
Observe que a excentricidade de segunda ordem é máxima no 
meio do pilar e nula nas extremidades.
 UNIUBE 383
Figura 122 - Pilar P07: Situações de projeto e de cálculo 
Fonte: o autor
Da análise da situação de cálculo das excentricidades apresenta-
das na Figura 122, temos:
• a seção intermediária é a mais desfavorável para a direção x, 
com uma excentricidade de cálculo igual a 2,01+1,44 = 3,45 cm;
• na direção y, as seções das extremidades apresentaram a situ-
ação mais desfavorável, Flexão Composta Oblíqua com excen-
tricidades iguais a 1,38 cm na direção x e 2,40 cm na direção y. 
384 UNIUBE
8.4.5 Cálculo da armadura longitudinal
Vamos utilizar os ábacos de Venturini (2000) para a Flexão 
Composta Normal, e para a Flexão Composta Oblíqua usaremos 
os ábacos propostos Pinheiro (2009). Quanto aos ábacos para 
Flexão Composta Normal, apresentamos uma rotina para a utiliza-
ção destes ábacos em 7.4.1 e os usamos no exemplo 01. Quanto 
aos ábacos para a Flexão Composta Oblíqua, vamos usá-los pela 
primeira vez, mas lembre-se que apresentamos uma rotina para a 
utilização destes ábacos em 7.4.2.
RELEMBRANDO 
Para φℓ = 10 mm d’ = c + φt + ½ φℓ = 2,0 + 0,5 + 0,5 = 3,0 cm
Para 12,5 ≤ φℓ ≤ 20 mm d’ = c + φt + ½ φℓ = 2,0 + 0,5 + 1,0 = 3,5 cm
Para φℓ = φ 22 ou 25 mm d’ = c + φt + ½ φℓ = 2,0 + 0,5 + 1,0 = 3,5 cm
8.4.5.1 Direção x
a. Cálculo de d’x
No caso do nosso pilar, supondo até o φ 20 mm, teremos:
Direção x d’ = 3,5, hx = 17 d’ / hx = 0,206 
adotaremos d’ / hx = 0,20
 UNIUBE 385
b. Excentricidade de cálculo na direção x
Conforme a Figura 122, na seção intermediária 
ex = eimin,x + e2x = 2,01 + 1,44 = 3,45 cm
c. Valor da Força normal adimensional (reduzida), calculada em 
8.5.3.3 νd = 0,795
d. Cálculo do momento fletor adimensional (reduzido) na dire-
ção do eixo x
 . . 
dx
c cd
M
A h f
µ = Veja que podemos calcular o µ de duas formas diferentes:
 . 
 . . . . 
dx d x
c cd c cd
M N e
A h f A h f
µ = = ou rearranjando esta fórmula . xd
e
h
µ ν= 
3,45 . 0,795 . 0,161
17
x
x d
x
e
h
µ ν= = =
e. Ábaco de Flexão Normal Composta
Veja a figura a seguir. É um esboço de como 
vamos armar nosso pilar. Veja que a armadura 
deve ser colocada normalmente à menor di-
mensão, neste caso, vamos buscar um ábaco 
onde a armadura é normal à direção de Nd.
Adotaremos o Ábaco A4 (d’ / hx = 0,20).
386 UNIUBE
Figura 123 - Ábaco para Flexão Normal Composta – A4 
Fonte: Venturini (2000)
 UNIUBE 387
Entrando com ν = 0,795 e µ = 0,161 (veja as linhas pontilhadas 
na Figura 123)
Teremos ω ≈ 0,69 
 . 
 . 
s yd
c cd
A f
A f
ω =
 
2 . . . 0,69 . 14,45 cm
43,48
c cd c cd
s
yd
A f A fA
f
ω= = =
• Adotando φ 12,5 mm (1,23 cm2) necessitaremos de 11,75 
barras, portanto 2 x 6 barras. 
12 barras darão uma seção total de 14,76 cm2, 2,15% a mais que 
o calculado.
• Adotando φ 16 mm (2,0 cm2) necessitaremos de 7,23 barras, 
ou seja 2 x 4 barras.
8 barras darão uma seção total de 16,0 cm2, 10,73% a mais queo 
calculado.
• Adotando φ 20 mm (3,14 cm2) necessitaremos de 4,6 barras, 
ou seja 2 x 3 barras.
6 barras darão uma seção total de 18,84 cm2, 30,38% a mais que 
o calculado.
Podemos adotar 12 φ 12,5 mm, 6 barras em cada lateral 
do lado maior (da direção y)
Podemos adotar 8 φ 16 mm, 4 barras em cada lateral do 
lado maior (da direção y)
Observe que a adoção das 12 φ 12,5 mm implicará em armadura 
suplementar e espaçamentos menores de estribos.
388 UNIUBE
8.4.5.2 Direção y
IMPORTANTE!
Assim como no exemplo 01, o que vamos fazer agora é basica-
mente um cálculo de verificação. Em princípio, a armadura já foi 
calculada, pois consideramos a situação mais desfavorável.
Neste cálculo vamos adotar a mesma premissa de colocação das 
barras, calculamos a armadura para a direção y e usaremos a maior 
entre as armaduras determinadas para a direção x ou y.
a. Cálculo de d’x e d’y
Já foi suposto até φ 20 mm, teremos:
d’ = 3,5, hx = 17 d’ / hx = 0,206 adotaremos d’ / hx = 0,20
d’ = 3,5, hy = 30 d’ / hy = 0,117 adotaremos d’ / hy = 0,10
b. Excentricidade de cálculo na direção x
Conforme a Figura 122, situação mais desfavorável:
ex = 1,38 cm
ey = 2,40 cm
 UNIUBE 389
c. Valor da Força normal adimensional (reduzida), calculada em 
8.5.3.3 νd = 0,795
d. Cálculo dos momentos adimensionais (reduzidos):
1,38 . 0,795 . 
17
x
dx d
x
e
h
µ ν= = =
2, 40 . 0,795 . 
30
y
dy d
y
e
h
µ ν= = =
e. Ábacos de Flexão Composta Oblíqua. Pinheiro (2009).
Observe que a convenção adotada pelo 
Pinheiro mudou um pouquinho. 
Estes segmentos com duas flechinhas é a re-
gra da mão direita: aponte o dedão na direção 
das flechinhas e gire os outros dedos no senti-
do horário. Mxd nesta figura significa momento 
em torno do eixo y, na direção x.
O ábaco 15 é para d’ / hy = 0,10 e d’ / hx = 0,20 e para oito barras e 
como temos νd = 0,795, vamos usar o Ábaco 15B – primeiro quadrante.
Observe que fizermos a opção pelo ábaco de 8 barras no dimensio-
namento para a direção x teremos a opção para 8 φ 16 mm. 
390 UNIUBE
Figura 124 - Ábaco para Flexão Composta Oblíqua – 15B 
Fonte: Pinheiro (2009)
 UNIUBE 391
Veja que as linhas pontilhadas estão se cruzando entre a segunda 
e a terceira curva, ou seja, entre as curvas de ω = 0,2 e ω = 0,3. 
Vamos adotar ω ≈ 0,25.
Com o valor de ω ≈ 0,25 podemos calcular a armadura por meio da 
expressão: . 
 . 
s yd
c cd
A f
A f
ω =
Mas de novo: percebeu que o cálculo da armadura terminou? Não 
precisamos mais continuar, pois determinamos ω ≈ 69 para a dire-
ção x, uma taxa de armadura muito superior ao ω ≈ 0,25 encontra-
da para a direção y.
Adotaremos a solução inicial encontrada para a direção x, 8 φ 16 
mm, 4 barras em cada lateral do lado maior (da direção y).
8.5 Detalhamento da armadura do exemplo 02
Agora já temos condições de terminar nosso exercício, detalhando 
sua armadura.
O pilar P07 tem uma seção de concreto 17 x 30 cm e foi armado com 
8 φ 16 mm, 4 barras em cada lateral do lado maior (da direção y).
Menor dimensão ≥ 17,0 cm
Área 17 x 30 = 510 cm2 ≥ 360 cm2
Área de aço 8 φ 16 mm = 8,0 cm2
392 UNIUBE
Armadura mínima = 
2
,
723,80,15 . 0,004 . 0,15 . 2,5 cm
43,48
d
s mín c
yd
NA A
f
= ≥ = =
 
  
 
2
, 0,004 . 0,004 . 510 2,04 cms mín cA A≥ = =
A armadura longitudinal máxima deve ser: , 0,08 . s max cA A≤ , porém 
vamos fazer , 0,04 . s max cA A≤ considerando a sobreposição de ar-
madura nas regiões de espera (emenda) de pilares. Portanto:
2
, 0,04 . 510 20,4 cms maxA ≤ =
Taxa de armadura do pilar 
16 3,14% 
510
s
c
A
A
ρ = = =
Comprimento de ancoragem sem gancho (Tabela 5.2. Capítulo V) 
= 38 φ = 38 . 1,6 = 61 cm 
Armadura transversal
Diâmetro dos estribos:
5 mm
16 4,0 mm4 4
tφ φ
≥ 
= =
 φ t = 5,0 mm
Espaçamento dos estribos
20 cm
menor dimensão da seção = 17,0 cm
12 para CA-50 = 12 . 1,6 19,2 cm
ts
φ

≥ 
 =  s = 17 cm
 UNIUBE 393
Portanto, estribos de 5,0 mm a cada 17 cm.
Número de estribos
n = 270 / 17 = 19,28 (mais um estribo que vai na base) n = 20.
Não há necessidade de armadura suplementar (ganchos).
Figura 125 - Pilar P07 - Detalhamento da armadu-
ra longitudinal na seção transversal 
Fonte: o autor
394 UNIUBE
Figura 126 - Pilar P07 - Detalhamento de um tramo 
Fonte: o autor
Considerações finais
Com os dois exemplos de dimensionamento de pilares feitos neste 
capítulo, trabalhamos com as situações de pilares curtos e pouco 
esbeltos, e pilares intermediários e de extremidade.
Aprendemos o dimensionamento à Flexão Normal Composta e à 
Flexão Composta Oblíqua, aprendemos, inclusive, a utilizar as ta-
belas propostas por Venturini (2000) - Ábacos de Flexão Normal 
Composta e por Pinheiro (2009) - Ábacos para Flexão Composta 
Oblíqua. A propósito, estas publicações podem ser obtidas no setor 
de publicações da Escola de Engenharia de São Carlos - USP.
Aprendemos também as prescrições da NBR 6118 (2014), relativas 
às dimensões dos pilares, taxas mínimas e máximas de armadura, 
estribos e ao detalhamento dessas armaduras. Mais uma vez, o 
 UNIUBE 395
detalhamento que fizemos ao final de cada exemplo, está pronto 
para execução.
Não fizemos um exemplo para os pilares de canto, não é mesmo? 
Não se preocupe, é a mesma rotina de cálculo que aprendemos 
nestes dois exemplos, a diferença é que o pilar de canto é de extre-
midade nas duas direções, portanto teremos um dimensionamento 
apenas à Flexão Composta Oblíqua, e isso nos já aprendemos, 
não é mesmo? Acabamos de fazer no exemplo 2.
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CONCLUSÃO
Após estes oito capítulos, quase trezentas páginas com muitos 
conceitos, muitos equacionamentos, detalhamentos e longos, mui-
to longos exercícios, concluímos nosso objetivo inicial: introduzir-
mos as noções básicas de um projeto estrutural e o conceito do cal-
culo, dimensionamento e o detalhamento dos elementos básicos, 
as lajes, as vigas e os pilares de concreto armado.
Terminamos vários capítulos com o detalhamento completo da ar-
madura calculada, às vezes inclusive com as armaduras construti-
vas, e sempre observamos que estes estavam prontos para serem 
desenhados em uma planta de armação.
Mas não esgotamos o assunto, aliás, para quem se interessar pelo 
concreto armado e quiser continuar seus estudos nessa área, ain-
da há muita, muita coisa para aprendermos. Nosso objetivo foi in-
troduzir o dimensionamento do concreto armado para todos aca-
dêmicos, mas evidentemente, alguns se interessarão pela área de 
hidráulica, outros pela de estradas, de geotecnia, construção ou 
gestão de obras, etc.
Para aqueles que se interessaram pela área de estruturas e pelo 
dimensionamento de concreto armado, ainda há muito para estu-
dar, e por isso recomendamos uma leitura melhor da NBR 6118 e 
outras normas voltadas para o concreto armado, assim como de 
livros sobre o dimensionamento do concreto armado.
Para aqueles que não se interessarem pela área de estruturas, in-
dependente da área da engenharia que que venham a abraçar, o 
concreto armado estará lá. É por esse motivo que esperamos uma 
boa leitura e um bom aprendizado dos conteúdos aqui abordados.
Bom estudo
João Dirceu
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Referências
Bibliografia:
Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 - Projeto de estruturas 
de concreto - procedimento, Rio de Janeiro, 2003.
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______. Concreto Armado - Notas de aula - C, Maringá: EDUEM, 2010. -- 
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______. Concreto Armado - Notas de aula - D, Maringá: EDUEM, 2011. -- 
Coleção Fundamentum; 64.
Bibliografia Básica:
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Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
______. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de 
Janeiro: ABNT, 1980.
______. NBR 7480: Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto 
armado - Especificação.Rio de Janeiro: ABNT, 2007.
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de Janeiro: ABNT, 2004.
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– nº. 60. Maringá: EDUEM, 2010.
CARVALHO, J. D. N. Concreto armado: Notas de aula B. Coleção Fundamentum 
– nº. 61. Maringá: EDUEM, 2010.
CARVALHO, J. D. N. Concreto armado: Notas de aula C. Coleção Fundamentum 
– nº. 62. Maringá: EDUEM, 2010.
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CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo de detalhamento de estruturas 
usuais de concreto armado. V. 2. São Paulo: PINI, 2011.
Bibliografia complementar:
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BOTELHO, M. H. C. Concreto armado eu te amo. V.1, 7.ed. São Paulo: Edgard 
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