Aula07-Probabilidade

Prévia do material em texto

PROFMAT - MA12
Probabilidade
Diana Maia
UEPB - CCT
2022
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Determinístico × Aleatório
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Definição
Um experimento aleatório é um experimento que ao ser
repetido em condições idênticas pode não reproduzir os
mesmos resultados. Caso contrário, o experimento é dito
determinístico.
Quais desses experimentos são aleatórios?
Lançar uma moeda honesta
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Observar qual dia da semana será amanhã
Observar o número de mensagens que você receberá no
WhatsApp durante o horário desta aula.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Definição
Um experimento aleatório é um experimento que ao ser
repetido em condições idênticas pode não reproduzir os
mesmos resultados. Caso contrário, o experimento é dito
determinístico.
Quais desses experimentos são aleatórios?
Lançar uma moeda honesta
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Observar qual dia da semana será amanhã
Observar o número de mensagens que você receberá no
WhatsApp durante o horário desta aula.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Definição
Um experimento aleatório é um experimento que ao ser
repetido em condições idênticas pode não reproduzir os
mesmos resultados. Caso contrário, o experimento é dito
determinístico.
Quais desses experimentos são aleatórios?
Lançar uma moeda honesta
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Observar qual dia da semana será amanhã
Observar o número de mensagens que você receberá no
WhatsApp durante o horário desta aula.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Definição
Um experimento aleatório é um experimento que ao ser
repetido em condições idênticas pode não reproduzir os
mesmos resultados. Caso contrário, o experimento é dito
determinístico.
Quais desses experimentos são aleatórios?
Lançar uma moeda honesta
Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima
Observar qual dia da semana será amanhã
Observar o número de mensagens que você receberá no
WhatsApp durante o horário desta aula.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Por que (e como) modelar matematicamente os
experimentos aleatórios?
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Espaço amostral
A cada experimento aleatório é possível associar um espaço
amostral, que é o conjunto de todos os resultados possíveis
do experimento e será denotado por S.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Algumas vezes temos interesse em apenas alguns dos
resultados do experimento.
Por exemplo, considere que numa turma de 30 alunos,
uma prova foi aplicada e foram anotadas as notas.
O
interesse pode estar apenas naqueles que erraram mais
da metade das questões.
Definição
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Algumas vezes temos interesse em apenas alguns dos
resultados do experimento.
Por exemplo, considere que numa turma de 30 alunos,
uma prova foi aplicada e foram anotadas as notas. O
interesse pode estar apenas naqueles que erraram mais
da metade das questões.
Definição
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Algumas vezes temos interesse em apenas alguns dos
resultados do experimento.
Por exemplo, considere que numa turma de 30 alunos,
uma prova foi aplicada e foram anotadas as notas. O
interesse pode estar apenas naqueles que erraram mais
da metade das questões.
Definição
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Observações
Cada resultado individual do experimento é também um
evento, pois é um subconjunto unitário do espaço
amostral. A esses eventos chamaremos eventos simples.
S também é um evento e é chamado evento certo, pois
sempre acontece.
∅ é o evento que nunca ocorre e é chamado evento
impossível.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Observações
Cada resultado individual do experimento é também um
evento, pois é um subconjunto unitário do espaço
amostral. A esses eventos chamaremos eventos simples.
S também é um evento e é chamado evento certo, pois
sempre acontece.
∅ é o evento que nunca ocorre e é chamado evento
impossível.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Eventos e Espaço Amostral
Observações
Cada resultado individual do experimento é também um
evento, pois é um subconjunto unitário do espaço
amostral. A esses eventos chamaremos eventos simples.
S também é um evento e é chamado evento certo, pois
sempre acontece.
∅ é o evento que nunca ocorre e é chamado evento
impossível.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Operações entre Eventos
O espaço amostral e os eventos são conjuntos. Assim,
podemos realizar entre eles as mesmas operações feitas entre
conjuntos: união, intersecção, complementar, . . .
Associaremos a cada evento um número, que chamaremos de
probabilidade do evento e que traduzirá nossa confiança na
capacidade do evento ocorrer.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Operações entre Eventos
O espaço amostral e os eventos são conjuntos. Assim,
podemos realizar entre eles as mesmas operações feitas entre
conjuntos: união, intersecção, complementar, . . .
Associaremos a cada evento um número, que chamaremos de
probabilidade do evento e que traduzirá nossa confiança na
capacidade do evento ocorrer.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Definição
Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A
um número P(A) de forma que
i) Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
ii) P(S) = 1
iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é,
eventos que não podem ocorrer simultaneamente então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Observação
Os axiomas acima são chamados Axiomas de Kolmogorov.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Definição
Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A
um número P(A) de forma que
i) Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
ii) P(S) = 1
iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é,
eventos que não podem ocorrer simultaneamente então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Observação
Os axiomas acima são chamados Axiomas de Kolmogorov.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Observação
Equivalentemente, podemos escrever
iii) Se A1,A2, . . . ,An são eventos mutuamente excludentes,
isto é, eventos que não podem ocorrer simultaneamente
então
P
(
n⋃
i=1
A1
)
=
n∑
i=1
P(Ai).
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Propriedades - Se A e B são eventos, então:
(i) P(A) = 1− P(A)
(ii) P(∅) = 0
(iii) P(A− B) = P(A)− P(A ∩ B)
(iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
(v) Se B ⊂ A, então P(B) ≤ P(A)
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Propriedades - Se A e B são eventos, então:
(i) P(A) = 1− P(A)
(ii) P(∅) = 0
(iii) P(A− B) = P(A)− P(A ∩ B)
(iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
(v) Se B ⊂ A, então P(B) ≤ P(A)
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Propriedades - Se A e B são eventos, então:
(i) P(A) = 1− P(A)
(ii) P(∅) = 0
(iii) P(A− B) = P(A)− P(A ∩ B)
(iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
(v) Se B ⊂ A, então P(B) ≤ P(A)
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Propriedades - Se A e B são eventos, então:
(i) P(A) = 1− P(A)
(ii) P(∅) = 0
(iii) P(A− B) = P(A)− P(A ∩ B)
(iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
(v) Se B ⊂ A, então P(B) ≤ P(A)
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Propriedades - Se A e B são eventos, então:
(i) P(A) = 1− P(A)
(ii) P(∅) = 0
(iii) P(A− B) = P(A)− P(A ∩ B)
(iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
(v) Se B ⊂ A, então P(B) ≤ P(A)
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Probabilidade Subjetiva
Probabilidade Frequentista
Probabilidade Clássica
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Probabilidade Subjetiva
Probabilidade Frequentista
Probabilidade ClássicaDiana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Probabilidade Subjetiva
Probabilidade Frequentista
Probabilidade Clássica
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Vamos supor que possamos atribuir a mesma possibilidade de
ocorrência a cada um dos eventos simples do espaço
amostral, ou seja, que o espaço amostral é equiprovável.
Mas façamos isso com cautela.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Definição
Consideremos um espaço amostral S com N elementos, os
quais vamos supor que sejam equiprováveis. Seja A um evento
de S composto por n elementos. A probabilidade de A, que
denotaremos por P(A), é definida com
P(A) =
n
N
.
Uma maneira equivalente de ver essa definição é
P(A) =
número de casos favoráveis
número de elementos de S
Esta definição é conhecida como definição clássica de
probabilidade.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 01
Dois dados são lançados e são observadas as faces voltadas
para cima. Qual é a probabilidade de que a soma dos
resultados seja maior do que 8?
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 02 - AV02 2020
Considerarmos que todos os anagramas da palavra FERIAS
são postos em ordem alfabética. Escolhendo um desses
anagramas ao acaso, qual é a probabilidade de que não haja
consoantes juntas?
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 03
Três bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna que
contém 5 bolas vermelhas, 6 brancas e 7 azuis. Determine a
probabilidade de que pelo menos uma bola de cada cor seja
escolhida, considerando que as retiradas são feitas com
reposição.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 04 - AV2 - 2018
Um professor de matemática entrega aos seus alunos uma lista
contendo 10 problemas e avisa que 5 deles serão escolhidos
ao acaso para compor a prova final. Se um aluno conseguiu
resolver, corretamente, apenas 7 dos 10 problemas, qual é a
probabilidade de que ele acerte todos os problemas da prova?
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 05 - ENQ 2020.1 - Q08
Um ônibus possui 32 poltronas distribuídas em 8 fileiras, ou
seja, quatro em cada fileira, duas em cada lado do corredor.
Pergunta-se:
(a) Se forem os primeiros a entrar no ônibus, de quantas
formas uma criança e seus dois responsáveis podem
ocupar três poltronas do ônibus de modo que todos fiquem
na mesma fileira e um dos adultos fique ao lado da
criança, sem que esteja separado pelo corredor?
(b) Se outras 29 pessoas já entraram no ônibus, ocupando as
poltronas de forma completamente aleatória, deixando
apenas 3 poltronas livres, qual a probabilidade de que seja
possível os três se sentarem da forma estabelecida no
item anterior?
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 06 - AV02 2019
Considere todos os anagramas da palavra PERMUTA.
Escolhendo um dos anagramas, qual é a probabilidade de que
ele comece e termine com consoante?
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 07 - AV02 2019
No jogo de loteria LOTOFÁCIL, o apostador pode escolher 15,
16, 17 ou 18 números no conjunto {01,02, . . . ,25}. São
sorteadas 15 dezenas e são premiados os bilhetes que têm de
11 a 15 dezenas entre as sorteadas. Qual é a probabilidade de
ganhar algum prêmio, se você aposta 16 dezenas?
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 08 - ENQ 2022.1
Um prêmio é oferecido a um jogador pelo lançamento de um
dado não viciado, com as seguintes regras:
Se o resultado for 1, o jogador ganha 1 ponto.
Se o resultado for 2 ou 3, o jogador ganha 2 pontos.
Se o resultado for 4, 5 ou 6, não obtém pontuação.
Os pontos vão se somando a cada jogada.
O prêmio é entregue assim que o jogador conseguir obter
exatamente 3 pontos e o jogo é encerrado.
(a) Determine a probabilidade de se ganhar o prêmio na
segunda jogada.
(b) Determine a probabilidade de se ganhar o prêmio apenas
na terceira jogada.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Definição
O valor esperado de um resultado aleatório numérico é
definido como sendo a média ponderada de seus possíveis
valores em que os pesos são as respectivas probabilidades.
Isto é, se os possíveis valores para os resultados são
x1, x2, . . . , xn, com probabilidades p1,p2, . . . ,pn,
respectivamente, seu valor esperado é
p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn,
observando-se que p1 + p2 + · · ·+ pn = 1.
Diana Maia PROFMAT - MA12
Probabilidade
Exercício 09 - 7.24
Uma rifa, com 100 bilhetes, sorteará um prêmio de R$1000,00
e cinco de R$100,00. Se Pedro comprou um único bilhete, qual
é o valor esperado do prêmio que ele receberá?
Diana Maia PROFMAT - MA12