Tema 05

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DESCRIÇÃO
Conceitos e relações do balanço de potências ativa e reativa. Sistema elétrico com tensão e
frequência, fluxo de potência em redes elétricas.
PROPÓSITO
Obter conhecimento da relação entre a carga e sua influência na tensão e frequência da rede
para a compreensão da operação de sistemas elétricos de potência, com base no balanço de
potências e conceito de fluxo de potência.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel e caneta para anotações.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir a capacidade de transmissão e dependência da carga com tensão e frequência
MÓDULO 2
Descrever a relação entre potência ativa e frequência
MÓDULO 3
Descrever a relação entre potência reativa e tensão
MÓDULO 4
Calcular o problema de fluxo de potência em linhas de transmissão
INTRODUÇÃO
Considerações de operação nos sistemas elétricos de potência.
MÓDULO 1
 Definir a capacidade de transmissão e dependência da carga com tensão e
frequência
Capacidade de transmissão do sistema e a dependência da carga com tensão e frequência
SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA
Um sistema elétrico de potência ‒ SEP pode ser simplificadamente representado pela figura 1,
que apresenta os elementos básicos de funcionamento de uma rede elétrica.
Na barra 1, estão representadas as fontes geradoras de energia, como usinas hidrelétricas,
termelétricas ou qualquer sistema de produção de energia. Essa energia é transportada pelas
linhas de transmissão e transformadores, que fazem a ligação entre os centros produtores de
energia e os centros de carga, representados pela barra 4.
Essa última barra consiste na região de agrupamento de consumidores de energia, como
clientes em baixa tensão residenciais, comerciais e até mesmo os grandes consumidores
industriais. As barras geralmente representam subestações do sistema.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 1: Representação básica de um sistema elétrico
Entretanto, a topologia de um sistema elétrico não se limita a esses componentes. Na verdade,
uma imensa quantidade de outros dispositivos e configurações de conexões é, de fato,
empregada na realidade desses sistemas, como transformadores defasadores,
compensadores síncronos, dispositivos reguladores de tensão etc.
 SAIBA MAIS
Além da existência desses dispositivos, o que de fato determina o nível de complexidade de
um sistema é o seu porte. Um bom exemplo de sistema complexo é o chamado Sistema
Interligado Nacional ‒ SIN, que é o nome dado ao conjunto de redes elétricas interconectadas
em território brasileiro.
De acordo com o Operador Nacional do Sistema ‒ ONS (2020), a capacidade instalada de
geração no Brasil hoje é em torno de 165.000 MW, com uma extensão de 141.000 km de linhas
de transmissão.
Para fins de operação, os sistemas elétricos são divididos em níveis de tensão, separados
pelos transformadores de potência responsáveis por elevar ou abaixar a tensão aos níveis
adequados de cada região.
Em função dos níveis de tensão, tem-se:
Sistema de distribuição (primária e secundária);
Sistema de subtransmissão;
Sistema de transmissão.
- Em níveis de distribuição, a rede elétrica apresenta uma quantidade maior de conexões, ou
seja, há uma quantidade grande de malhas de circuito, de modo que as cargas podem ser
supridas por mais de um alimentador.

- Dessa forma, em situações de contingências como quedas de fornecimento causadas por
curto-circuito, intempéries climáticas (chuvas e descargas atmosféricas) ou até mesmo
manutenções programadas, a concessionária responsável é capaz de remanejar cargas para
que não sejam desligadas.
Normalmente, os sistemas de distribuição estão conectados às subestações e operam em
tensões primárias (ex.: 13,2 kV) e secundárias (ex.: 127 V e 220 V). Os sistemas de
subtransmissão (ex.: 138 KV) e de transmissão (ex.: 500 KV) apresentam características mais
radiais, ou seja, as cargas normalmente são concentradas nas extremidades das linhas, de
modo que o número de interconexões é muito menor do que no sistema de distribuição.
Por esse motivo, a carga atendida por esses sistemas é grande, e uma falha pode trazer
consequências extremamente danosas para os consumidores.
Evitar as falhas de operação do sistema de energia é o principal objeto de interesse de
técnicos e engenheiros que trabalham diretamente com a supervisão do setor elétrico.
Entre as grandezas que devem ser constantemente monitoradas, a capacidade de transporte
de potência pelas linhas de transmissão torna-se o objetivo dessa análise, pois envolve todas
as variáveis elétricas como potência ativa, potência reativa e a frequência da rede.
CAPACIDADE DE TRANSMISSÃO
A capacidade de transmissão de uma linha está atrelada à sua estabilidade estática, ou
seja, conhecer o máximo valor de carga admissível para que a rede de transmissão
opere dentro de suas condições normais, sem exceder limites rigorosamente
controlados, como tensão e frequência da rede.
Nas seções seguintes, vamos demonstrar a importância da manutenção dessas variáveis em
limites aceitáveis. A estabilidade estática de uma linha de transmissão diz respeito à
capacidade de responder a variações lentas da carga por ela transportada, ou seja, sua
capacidade de se readequar aos limites admissíveis mesmo que a carga varie contínua e
lentamente ao longo de um período.
A figura 2 representa como deve ser a variação na potência transmitida pela linha para que
esta seja capaz de atender aos requisitos de estabilidade estática. Considerando uma potência
inicial (Pi), a carga do sistema pode aumentar até uma potência máxima Pmáx sem que o
sistema fique instável, desde que essa variação seja lenta ao longo do tempo.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 2: Limite de estabilidade estática de uma linha de transmissão
É natural entender que uma linha de transmissão tem um máximo valor de potência admissível,
visto que, apesar de sua considerável complexidade, é um circuito elétrico que está submetido
a uma tensão e corrente elétrica, logo, está sujeita aos efeitos de aquecimento e
consequências a ele relacionadas.
Matematicamente, é possível encontrar uma expressão que represente as condições de
máxima capacidade de uma linha de transmissão.
Para isso, pode-se adotar a seguinte hipótese simplificadora: a resistência da linha é
significativamente menor que sua reatância ao ponto de ser desprezada (essa hipótese é,
inclusive, muito válida na prática, em que as linhas operam em elevadas tensões).
Assim, como as perdas na linha serão nulas (não apresenta características ôhmicas), a
potência ativa que efetivamente flui por ela é dada pela equação (1):
PKM = - PMK =
VK × VM
XKM × SEN Δ
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que k e m são as barras de extremidade da linha, Vk, e Vm são as tensões nessas barras,
Xkm é a reatância da linha, e δ é a abertura angular entre as barras, também conhecido como
ângulo de carga.
É possível observar que a equação (1), referente à potência ativa que flui pela linha, é a
mesma equação de potência ativa em uma máquina síncrona. Dessa forma, avaliar o limite de
carga de uma linha de transmissão é o mesmo que avaliar a capacidade de um gerador
síncrono atender a essa carga. Simplificando a equação (1), tem-se a equação (2):
PKM = PMÁX × SEN Δ
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação (2), percebe-se que o ângulo δ, ou ângulo de carga, é capaz de alterar a
capacidade de transmissão de potência da linha. Assim como na máquina síncrona, δ=90° é a
máxima abertura angular admissível para que a linha opere em estabilidade. A figura 3
demonstra as regiões de estabilidade da linha em função do ângulo de carga.
| | | |
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 3: Relação entre potência ativa e ângulo de carga
É importante ressaltar que, a partir da observação do ângulo de carga, os engenheiros
responsáveis pela operação do sistema nunca permitem que uma linha de transmissão operecom aberturas angulares elevadas, justamente para evitar seus limiares de estabilidade.
Normalmente, ângulos de carga normais são em torno de 30°.
 EXEMPLO
Uma linha de transmissão opera em 150 kV, com comprimento de 80 km. Sua reatância vale
0,5Ω/km. Com base na equação (1) e nas aproximações consideradas, a capacidade dessa
linha será:
P =
150 × 150
40 = 562,5 MW
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra linha de transmissão, com mesmo comprimento e reatância, opera em 700 kV. Assim,
sua capacidade será dada por:
P =
700 × 700
40 = 12.250,0 MW
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Percebe-se que, dentro do limite máximo de estabilidade (δ=90°), a capacidade de transmissão
da linha aumenta substancialmente se operada em altas tensões. Esse resultado justifica a
aproximação inicialmente considerada.
RELAÇÃO ENTRE CARGA, TENSÃO E
FREQUÊNCIA DO SISTEMA
Conforme demonstramos anteriormente, a carga tem um importante papel na estabilidade de
operação de um sistema elétrico. Quando a rede opera com alto carregamento, ou seja, fora de
seus limites de estabilidade, uma infinidade de falhas e intercorrências podem acontecer,
prejudicando consumidores e acarretando muitos prejuízos para clientes e operadores.
- Do ponto de vista prático, a carga do sistema é uma grande associação de equipamentos de
variadas potências, desde poucos Watts até vários MEGAWATTS. Evidentemente, essa carga
varia em função de seu uso; por exemplo: em uma residência, o consumo é bem dividido entre
iluminação e aparelhos domésticos.
 
- Já um consumidor industrial tem a maior parte da sua carga composta por grandes motores,
fornos para aquecimento etc. Os horários de funcionamento também são distintos entre
consumidores e variam bastante ao longo do dia.
 
- Apesar de ter uma variação tão ampla, para o sistema elétrico essa carga é altamente
previsível, em virtude dos históricos diários e até mesmo anuais de operação. O
comportamento da carga é matematicamente monitorado pelos engenheiros de operação do
sistema por meio das denominadas curvas de carga.
As variações de demanda são relativamente lentas ao longo dos períodos considerados (ex.:
um dia, um ano), de modo que seja possível estabelecer uma análise de estabilidade estática
para esses sistemas.
A figura 4 apresenta um exemplo típico de uma curva de carga diária de um sistema de
potência.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 4: Curva de carga diária típica em um sistema elétrico.
Na figura 4, podemos perceber que há um baixo consumo de potência nas horas iniciais do dia,
até às 6h. A partir desse horário, que marca o início das atividades comerciais e industriais, a
demanda de potências aumenta substancialmente até atingir um patamar máximo, em torno
das 15h. Esse é o denominado horário de pico, em que o sistema elétrico registra suas maiores
solicitações de geração.
Normalmente, a carga do sistema elétrico consome tanto potência ativa quanto reativa,
necessária para o funcionamento de motores, transformadores, fornos de indução etc. Além
disso, a carga é simetricamente dividida entre as três fases dos circuitos alimentadores.
O sistema elétrico geralmente encontra-se carregado pela seguinte composição:
60% de motores de indução (monofásicos e trifásicos);
20% de motores síncronos;
20% de outros tipos (ex.: iluminação, fornos etc.).
Percebe-se que a maior parte da demanda do sistema é originada de equipamentos com
elevado consumo de potência reativa, como os motores. Adicionalmente, podemos dizer que
essa carga tem características fortemente indutivas, e esse é o motivo pelo qual normalmente
utilizam-se bancos de capacitores para correção de fator de potência.
A partir desse comportamento tipicamente indutivo da carga do sistema, pode-se representá-la
por uma carga RL, conforme mostra a figura 5:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 5: Representação de uma carga RL
Sendo ω a frequência angular da rede, a potência consumida por essa carga RL é dada por:
S = VI* = V ×
V
Z * =
| V | 2
Z* =
V2
| Z | 2 Z
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ]
Como Z = R+jω L,
S=
V2
R2 + (ΩL ) 2 R+JΩL
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao separar parte real e imaginária, têm-se as potências ativa (P) e reativa (Q):
P=
V2
R2 + (ΩL ) 2R
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Q=
V2
R2 + (ΩL ) 2ΩL
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações (7) e (8) demonstram uma forte relação das potências da carga com a tensão e
frequência da rede. Percebe-se que tanto a potência ativa como a reativa variam com o
quadrado da tensão.
Além disso, a potência ativa apresenta uma tendência de diminuição quando a
frequência aumenta, enquanto a potência reativa tende a aumentar quando a frequência
aumenta.
A importância do acoplamento entre essas variáveis ficará mais evidente no módulo seguinte,
ao avaliar o efeito da variação dessas potências nos limites admissíveis de tensão e frequência
( )
do sistema.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. PARA OPERAR DENTRO DE CONDIÇÕES DE ESTABILIDADE, UM
SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA POSSUI UM MÁXIMO
CARREGAMENTO DA REDE DE TRANSMISSÃO, SEM QUE LIMITES DE
TENSÃO E FREQUÊNCIA SEJAM VIOLADOS. UM DOS INDICADORES DE
CAPACIDADE DE ATENDIMENTO DO SISTEMA É O DENOMINADO
ÂNGULO DE CARGA. 
 
CONSIDERANDO A TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA ATIVA EM UMA LINHA
DE TRANSMISSÃO, O MÁXIMO ÂNGULO DE CARGA ADMISSÍVEL É DE:
A) 45°
B) -90°
C) 90°
D) -45°
E) 0
2. APESAR DE SER COMPOSTA POR APARELHOS DE CONSUMO
DIVERSO, A CARGA DE UM SISTEMA TEM CARACTERÍSTICAS
PREDOMINANTEMENTE INDUTIVAS, VISTO QUE 80% DELA É DE
MOTORES ELÉTRICOS. 
 
A PARTIR DA RELAÇÃO ENTRE CARGA, TENSÃO E FREQUÊNCIA, É
POSSÍVEL AFIRMAR QUE HÁ UM FORTE ACOPLAMENTO ENTRE:
A) Tensão e potência ativa.
B) Corrente e tensão.
C) Frequência e potência reativa.
D) Frequência e potência ativa.
E) Corrente e frequência.
GABARITO
1. Para operar dentro de condições de estabilidade, um sistema elétrico de potência
possui um máximo carregamento da rede de transmissão, sem que limites de tensão e
frequência sejam violados. Um dos indicadores de capacidade de atendimento do
sistema é o denominado ângulo de carga. 
 
Considerando a transmissão de potência ativa em uma linha de transmissão, o máximo
ângulo de carga admissível é de:
A alternativa "C " está correta.
 
De acordo com a equação (1), o fluxo de potência ativa em uma linha de transmissão é dado
por:
PKM=-PMK=VK×VMXKM×SEN Δ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, para que a expressão tenha valor máximo em função da carga, sen δ=1. Essa
condição é satisfeita quando δ = 90°.
2. Apesar de ser composta por aparelhos de consumo diverso, a carga de um sistema
tem características predominantemente indutivas, visto que 80% dela é de motores
elétricos. 
 
A partir da relação entre carga, tensão e frequência, é possível afirmar que há um forte
acoplamento entre:
A alternativa "D " está correta.
 
Como a carga do sistema é predominantemente indutiva, a partir da equação (5), é possível
observar que a potência ativa tem forte relação com a frequência da rede e a potência reativa
com a tensão. Dessa forma, o forte acoplamento é descrito na alternativa D.
MÓDULO 2
 Descrever a relação entre potência ativa e frequência
O balanço de potência ativa e seu efeito na frequência do sistema
POTÊNCIA ATIVA E FREQUÊNCIA
É de senso comum de qualquer técnico ou engenheiro, diretamente envolvido com a operação
do sistema elétrico, que um rigoroso controle de tensão e frequência da rede deve ser mantido
para evitar grandes transtornos com a transmissão e distribuição de energia aos centros
consumidores. Se essas variáveis não forem mantidas dentro de limites estritos,o sistema
pode entrar em situações de instabilidade.
 EXEMPLO
Entre os vários blecautes ocasionados no Brasil, o que ocorreu no ano de 1999 é considerado
o maior até hoje, tendo atingido a região centro-sul do país e o Paraguai e levado grandes
cidades ao caos. Estudos demonstraram que uma má gerência do setor elétrico e falta de
investimentos no sistema levaram ao acontecimento. (AMATO, 2007)
Tecnicamente falando, a falta de estrutura do sistema na época levou o sistema de transmissão
à sobrecarga, operando próximo aos seus limites de estabilidade. Dessa forma, diversas
usinas (unidades geradoras) na região atingida operaram com limites de tensão e frequência
fora do padrão e, para não prejudicar a carga, os sistemas de proteção acoplados
automaticamente retiraram essas usinas de operação, levando às situações de cortes de
carga.
Conforme descrito no módulo 1, a carga e a capacidade de transmissão das linhas estão
diretamente atreladas à tensão e à frequência.
Neste módulo, vamos avaliar a intensa relação entre a potência ativa que flui pelas linhas e a
frequência da rede. Entre os importantes motivos que delimitam as oscilações dessa
frequência, podemos citar os motores elétricos, que compreendem em torno de 80% da carga
do sistema e são diretamente dependentes da frequência da rede para manter seu
funcionamento em condições nominais.
A FREQUÊNCIA DO SISTEMA
A estreita faixa de oscilação admissível para frequência do sistema é um dos indicadores de
qualidade de energia regulamentados por padrões da Agência Nacional de Energia Elétrica ‒
ANEEL. O módulo 8 do PRODIST (Procedimentos de Distribuição de Energia Elétrica no
Sistema Elétrico Nacional) (ANEEL, 2010) estabelece esses padrões considerando aspectos
como a qualidade do produto e o serviço de atendimento ao consumidor.
O item 7 do módulo 8 prevê que:
- O sistema de distribuição e as instalações de geração conectadas ao mesmo devem, em
condições normais de operação e em regime permanente, operar dentro dos limites de
frequência situados entre 59,9 Hz e 60,1 Hz.

- Prevê também que quando da ocorrência de distúrbios no sistema de distribuição, as
instalações de geração devem garantir que a frequência retorne, no intervalo de tempo de 30
(trinta) segundos após a transgressão, para a faixa de 59,5 Hz a 60,5 Hz, para permitir a
recuperação do equilíbrio carga-geração.
Apesar de a maioria da carga do sistema ser dependente da frequência, como é o caso dos
motores elétricos, esses são equipamentos bastante robustos e suportam consideráveis
oscilações (±2 Hz).
Entretanto, identificar diferenças na frequência nominal da rede pode ser um importante
indicativo da qualidade de operação do sistema naquele momento.
É evidente que pequenas flutuações ao longo do dia são normais, visto que os sistemas hoje
são modernos e possuem mecanismos próprios de regulação. Esse mecanismo de controle de
frequência é apresentado adiante.
BALANÇO DE POTÊNCIA ATIVA
Em condições normais de operação, o sistema elétrico opera com equilíbrio entre a geração
das usinas e a carga dos consumidores + perdas ôhmicas, ou seja, toda a energia gerada é
consumida pelas cargas e pelas inerentes perdas dos sistemas de transmissão,
transformadores etc.
Nessa situação, todas as unidades geradoras operam em sincronismo com o sistema, de modo
que ambos se encontram exatamente com a mesma frequência. Essa é considerada uma
operação de estabilidade do sistema.
Em virtude do sincronismo dos geradores, a velocidade de giro do eixo fornece a mesma
frequência da rede, denominado barramento infinito. A equação (9) relaciona a potência
mecânica e o conjugado no eixo de um gerador síncrono com sua frequência (da rede):
PMEC=TΩS
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que Pmec é a potência mecânica, T é o torque no eixo e ωs é a frequência síncrona.
Sabe-se que a potência ativa entregue pelo gerador é a diferença entre a potência mecânica
desenvolvida e as perdas nos enrolamentos. Dessa forma, conclui-se que a potência ativa do
gerador pode ser controlada pelo torque desenvolvido em seu eixo.
Como em locais de geração de energia (ex.: hidrelétricas, termelétricas etc.) o eixo dos
geradores é conectado às turbinas que fornecem o torque às máquinas, controla-se a potência
ativa entregue ao sistema regulando o conjugado oferecido por essas turbinas.
A figura 6 mostra uma turbina acoplada ao eixo de um gerador síncrono e seu mecanismo de
controle de potência ativa/frequência.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 6: representação do controle de potência ativa no gerador.
 SAIBA MAIS
Nas situações de variações lentas de aumento de carga, em que se demanda mais potência
ativa dos geradores, a reação dessas máquinas é de aumentar o ângulo entre a tensão gerada
(enrolamentos) e a tensão terminal (entregue à rede).
Isso levaria a uma instantânea perda de sincronismo com o sistema. Entretanto, isso não
ocorre, pois os geradores possuem mecanismos de controle do conjugado exatamente para
que situações como essa não aconteçam.
A situação ideal de controle de frequência do sistema seria conforme vimos anteriormente, em
que as malhas de controle dos geradores respondessem instantaneamente à variação de
carga, aumentando (ou diminuindo) o torque no eixo das máquinas (admissão de água, vapor
nas turbinas, por ex.) para regular a potência ativa entregue à rede. Mas, apesar de variações
de carga serem previsíveis através das curvas de carga horárias, seu comportamento é
aleatório, ou seja, mesmo que por um curtíssimo intervalo de tempo (até a resposta dos
sistemas de controle), haverá um desbalanço entre a potência entregue ao sistema e a
potência drenada pela carga.
RELAÇÃO ENTRE CARGA E FREQUÊNCIA
Uma variação rápida da carga (ou, como chamado, um degrau de carga) pode levar à perda
de sincronismo entre geradores e sistema, visto que o controle de conjugado nos eixos das
máquinas é relativamente lento se comparado com o fenômeno transitório da carga. Esse
desbalanço de potência está relacionado aos limites de estabilidade dinâmica do sistema, ou
seja, com as relações carga-frequência da rede.
A dependência da carga com a frequência pode ser definida conforme a equação (10):
∆PL=∆PR+D∆F
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ∆PR é a variação da parcela de carga não dependente da frequência e D∆f é a
variação da parcela de carga dependente da frequência. D é chamado de coeficiente de
amortecimento da carga.
A capacidade de um sistema atingir outro estado de equilíbrio após uma variação da carga é
denominada regulação própria. A figura 7 apresenta a relação carga-frequência, em função
do coeficiente de amortecimento.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 7: relação entre carga e frequência.
 EXEMPLO
Em uma situação rotineira de operação de um sistema elétrico, há um equilíbrio entre a
potência gerada e a consumida, ou seja, um balanço de potência ativa. Se ocorrer um degrau
positivo na carga, ou seja, um aumento rápido na demanda, a potência mecânica oferecida no
eixo será menor do que a necessária e sua velocidade diminuirá, levando a uma redução da
frequência.
Se o degrau de carga for negativo, uma redução rápida na demanda, a potência mecânica
oferecida no eixo será maior do que a necessária, logo o aumento de velocidade no eixo
acarretará um aumento da frequência.
 ATENÇÃO
É bastante clara a importância de manter os níveis adequados de frequência em função das
variações de carga, sejam elas lentas e previsíveis ou até mesmo aleatórias e rápidas,
consideradas condições transitórias. Essa última situação, conforme já mencionamos, está
diretamente relacionado à estabilidade dinâmica do sistema.
Os complexos mecanismos de regulação automática da velocidade de rotação dos geradores
para controle da potência ativa são chamados de regulação primária. Todo o sistema de
controle pode ser resumido conforme mostraa figura 8 a seguir:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 8: representação das malhas de controle de tensão e frequência no gerador.
Acoplados ao gerador, sensores detectam as variações de carga e enviam essas informações
ao regulador de velocidade para variar a potência das turbinas conectadas ao eixo. Esse é o
controle de frequência do sistema. Além disso, outra malha de controle é responsável pelo
controle de excitação da máquina, que, conforme veremos no módulo seguinte, está
relacionada ao controle da tensão.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM CONDIÇÕES TRANSITÓRIAS, É IMPORTANTE MANTER OS NÍVEIS
ADEQUADOS DE FREQUÊNCIA EM FUNÇÃO DAS VARIAÇÕES DE
CARGA. POR QUÊ?
A) Isso gera estabilidade dinâmica no sistema.
B) Isso gera estabilidade estática no sistema.
C) Isso elimina as variações lentas de carga no sistema.
D) Isso elimina as variações rápidas de carga no sistema.
E) Isso elimina as variações aleatórias de carga no sistema.
2. DURANTE O MONITORAMENTO DA OPERAÇÃO DE UM SISTEMA DE
GERAÇÃO QUE ALIMENTA UMA CARGA INDUSTRIAL ISOLADA, OU
SEJA, SEM CONEXÃO COM O SISTEMA ELÉTRICO, UM ENGENHEIRO
ELETRICISTA PERCEBE QUE A FREQUÊNCIA DA TENSÃO TERMINAL NO
GERADOR ESTÁ EM 59 HZ, QUANDO DEVERIA ESTAR EM 60 HZ. A
PRIMEIRA HIPÓTESE A SER AVERIGUADA É DE:
A) Aumento do consumo de reativos.
B) Redução da corrente de excitação do gerador.
C) Aumento da potência ativa da carga.
D) Sobrecarga do gerador.
E) Aumento do torque disponível no gerador.
GABARITO
1. Em condições transitórias, é importante manter os níveis adequados de frequência em
função das variações de carga. Por quê?
A alternativa "A " está correta.
 
Ao manter os níveis adequados de frequência, em função da variação de carga do sistema,
mantém-se a estabilidade dinâmica do sistema, seja com uma variação lenta de carga, que é
totalmente previsível, ou seja, com uma variação rápida de carga que ocorre de forma aleatória
no sistema.
2. Durante o monitoramento da operação de um sistema de geração que alimenta uma
carga industrial isolada, ou seja, sem conexão com o sistema elétrico, um engenheiro
eletricista percebe que a frequência da tensão terminal no gerador está em 59 Hz,
quando deveria estar em 60 Hz. A primeira hipótese a ser averiguada é de:
A alternativa "C " está correta.
 
Há uma forte relação entre a potência ativa que flui pelo sistema e a frequência. Dessa forma,
um aumento brusco na demanda de potência ativa faz com que a frequência do sistema tenda
a diminuir. Essa condição é normal para aumentos lentos de carga, e os sistemas possuem
malhas próprias de controle de frequência, agindo sobre a admissão de potência mecânica dos
geradores, gerando mais ou menos potência ativa.
MÓDULO 3
 Descrever a relação entre potência reativa e tensão
O balanço de potência reativa e seu efeito na tensão do sistema
TENSÃO EM UM SISTEMA ELÉTRICO DE
POTÊNCIA
Do mesmo modo que a frequência é uma variável de grande importância para o sistema, a
tensão também deve ser bem monitorada pelos operadores envolvidos.
Apesar de não exigir o mesmo rigoroso limite como de frequência, muitos equipamentos
ligados na rede funcionam corretamente em tensão nominal, ou seja, se a tensão à qual estão
submetidos não for a nominal, não funcionarão como projetado.
Os motores de indução são um excelente exemplo de carga em que seu desempenho
depende diretamente do módulo da tensão.
O item 2 do módulo 8 do PRODIST (Agência Nacional de Energia Elétrica, 2010) trata das
definições de tensão em regime permanente, em que “são estabelecidos os limites adequados,
precários e críticos, indicadores individuais e coletivos de conformidade da tensão”.
O termo conformidade de tensão se refere à comparação da tensão medida com os níveis de
tensão adequados. Em geral, a ANEEL (2010) prevê que a tensão nos pontos de conexão
deve situar-se entre 95% e 105% da tensão nominal de operação do sistema. A figura 9 ilustra
essa classificação das leituras de tensão em relação a um valor de referência.
 
Fonte: Ensineme
 Figura 9: Classificação de tensão segundo o PRODIST ‒ Módulo 8.
Percebe-se, portanto, que apesar de haver restrições de operação para os níveis de tensão,
sua faixa admissível é tolerável, o que permite aos sistemas de controle responder às
solicitações da carga. Em um gerador síncrono, a tensão terminal está diretamente relacionada
à corrente de excitação (campo), de modo que se pode controlar o fluxo de potência reativa
para o sistema e manter um perfil de tensão constante.
BALANÇO DE POTÊNCIA REATIVA
No sistema, de modo geral, há uma relação entre o balanço de potência reativa (produzida
pelos geradores e consumida pela carga) com a tensão. Pode-se dizer que, quando o módulo
da tensão se altera em uma barra do sistema, a carga está consumindo uma quantidade
diferente de potência reativa, ou seja, o balanço de potência reativa é desfeito e necessita-se
da atuação dos sistemas de controle para reestabelecer as condições nominais.
Para ilustrar a relação entre tensão e potência reativa, considere um sistema elétrico hipotético
de duas barras sem características resistivas, conforme mostra a figura 10. Apesar de ser uma
simplificação, normalmente a reatância das linhas é muito maior do que a resistência, de modo
que essa aproximação é perfeitamente aceitável à realidade dos sistemas.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 10: Representação de um sistema elétrico com duas barras.
Nessa situação, a tensão da barra k(VK) é mantida constante a partir de um controle da
corrente de excitação do gerador GK. A tensão na barra m será dada por:
V-M=V-K-I-KMZ-KM=V-K-JXKMI-KM
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Supondo que não haja perdas reativas na linha de transmissão, a potência complexa na carga
é a potência na barra k:
S¯=S¯KM=V¯K I¯KM∗→
→I¯KM=S¯V−K∗=P−JQV¯K ∗=P−JQVK∟0°=P−JQVK
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo I-km na equação da barra m, tem-se:
V-M=V-K-JXKMP-JQVK=
→I¯KM=S¯V−K∗=P−JQV¯K ∗=P−JQVK∟0°=P−JQVK
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação (13), o diagrama fasorial na figura 11 representa as relações entre as
potências que fluem pela linha e a tensão nas barras:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 11: Diagrama fasorial referente à equação 13.
A interpretação do diagrama permite perceber que uma variação na potência ativa (P)
influencia o fasor de tensão perpendicular a Vk, de modo que o impacto na tensão Vm será
pequeno. Já uma variação na potência reativa (Q) influencia o fasor de tensão que está em
fase com Vk. Dessa forma, o impacto na tensão Vm será maior.
FASOR
Fasor é um vetor que representa uma função de onda em geral senoidal. A amplitude da
função de onda é representada pelo comprimento do fasor, enquanto a fase é
representada pelo ângulo que o vetor faz com o sistema cartesiano.
javascript:void(0)
EXEMPLO
Seja um sistema de duas barras, com carga e geração, conforme a figura 12, a partir dos
dados fornecidos de potência gerada e potência da carga, calcule as potências reativas que
devem ser entregues pelos geradores de modo a manter um perfil de tensão constante.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 12: Sistema de duas barras do exemplo.
Considere que as tensões nas barras sejam de 1,0 pu e constantes. Como não há perdas na
linha (R=0), Pkm = -Pmk. Como o gerador Gm só pode gerar 10,0 pu de potência ativa, outros
10,0 pu devem fluir pela linha (vindos de G1) para atender à carga Dm. Da equação (1), tem-se:
10=1×10,03SENΔ ⇒ Δ=17,5°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fluxo de potência reativa na linha será:
QKM=1X(VM2-VKVMCOSΔ)
QKM=10,031-COS17,5=1,87 PU
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a tensão nas duas barras é 1,0 pu, a potência reativa no sentido contrário, ou seja, Qmk
também é 1,87 pu. Assim, demodo a atender a parcela reativa das cargas SDk e SDm, além
dos fluxos nos dois sentidos da linha, os geradores devem fornecer:
QGK=3+1,87=4,87 PU
QGM=10+1,87=11,87 PU
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esses são os valores de potência reativa necessários para manter a tensão constante em 1,0
pu nas duas barras do sistema.
Conclui-se, portanto, que há forte influência da potência reativa no controle da tensão nas
barras do sistema e que, para mantê-la dentro de níveis aceitáveis, devem-se compensar as
demandas de Q diretamente nos locais de consumo (barras de carga) para que não seja
necessário seu transporte pelas linhas. Essa compensação de reativos é extremamente
comum na realidade dos sistemas e será tratada adiante.
CONTROLE DA TENSÃO POR GERAÇÃO
DE REATIVOS
- Com base em informações em tempo real do sistema elétrico, os centros de controle realizam
a operação de dispositivos responsáveis por manter constantes os níveis de tensão nas barras.

- Com base em históricos de consumo, curvas de carga e sua relação com a atuação de
ferramentas de controle, topologia do sistema, entre outros fatores, é possível definir a melhor
estratégia de controle de tensão naquele momento.
Percebe-se, portanto, que o controle de tensão é um processo contínuo e o sistema encontra-
se o tempo todo sob a influência desse processo.
 RELEMBRANDO
Conforme vimos anteriormente, o objetivo principal do controle da tensão é mantê-la em níveis
aceitáveis para que não ultrapasse valores críticos. Esses limites são previamente conhecidos
em função das características da carga.
TENSÃO ACIMA DO LIMITE
Barras que operam com tensões acima dos limites podem causar prejuízos para o operador
daquele sistema, como danos aos equipamentos das subestações, e também ao consumidor
final.
TENSÃO BAIXA
Tensões baixas podem também comprometer o funcionamento de diversos equipamentos que
necessitam de tensão nominal, como os motores elétricos já mencionados, dispositivos
eletrônicos, entre outros.
A carga normalmente apresenta características indutivas, visto que sua maior parte é composta
de motores de todos os tipos, reatores de iluminação, que consomem a potência reativa do
sistema. Essa potência reativa é gerada por sistemas capacitivos e indutivos conectados ao
longo das barras do sistema, utilizados conforme a demanda.
As próprias linhas de transmissão são geradoras de energia reativa, em virtude de sua
característica capacitiva entre os cabos e o solo. Além disso, os próprios geradores síncronos
permitem um controle de potência reativa em função de sua excitação.
Os principais dispositivos de controle de reativos e FACTS (sistema de transmissão flexível em
corrente alternada, em português) utilizados no sistema elétrico são:
Capacitores e reatores em derivação (shunt);
Transformadores com tap variável;
Compensadores síncronos;
Compensadores estáticos (SVC – static VAR compensator).
Em termos de geração, os níveis de tensão nos terminais dos geradores síncronos são
ajustados por reguladores automáticos, que alteram a corrente de campo nessas máquinas,
conforme já ilustrado na figura 9.
Se ocorrer uma tendência de redução da tensão em virtude do aumento de consumo de
reativos, a corrente de excitação aumenta, sem alterar substancialmente a geração de potência
ativa (que é controlada por outra malha). Se a tensão diminuir, reduz-se a corrente de
excitação.
 ATENÇÃO
É importante ressaltar que o controle de tensão é preferencialmente feito no local de consumo,
de modo que o ajuste da corrente de excitação para geração de reativos é utilizado em
situações muito específicas. A subexcitação ou sobre-excitação das máquinas podem levá-las
a situações de instabilidade ou de aquecimento excessivo, danificando seus enrolamentos.
TRANSFORMADOR COM TAP VARIÁVEL
É comum em transformadores de potência a existência de taps nos enrolamentos (de alta
tensão ou de baixa tensão) para aumentar ou diminuir a relação de transformação. Dessa
forma, ajustam-se os níveis de tensão.
O ajuste de tap pode ser realizado com o transformador fora de operação ou até mesmo
ligado ao sistema, com a carga conectada.
Como sua função é alterar os níveis de tensão, altera-se o fluxo de potência reativa no sistema.
Esses ajustes podem ser manuais (por parte do operador) ou automáticos, a partir de sistemas
de regulação de tensão.
BANCO DE CAPACITORES E REATORES
SHUNT
As diminuições ou elevações locais de tensão podem ser controladas a partir de bancos de
capacitores ou reatores conectados em paralelo com a carga. Esses equipamentos podem ser
utilizados em situações em que o ajuste dos transformadores com tap não se faz suficiente.
Nesses casos, os operadores realizam manobras de chaveamento de bancos de capacitores
ou indutores para gerar ou consumir potência reativa local, ajustando o perfil de tensão na
subestação.
COMPENSADORES SÍNCRONOS
Em sua essência, os compensadores (ou condensadores) síncronos são geradores síncronos
que operam sem carga, ou seja, não há cargas mecânicas conectadas em seu eixo, nem
demanda de potência ativa em seus terminais.
Seu funcionamento assemelha-se ao dos bancos de capacitores e indutores quanto ao controle
da tensão; no entanto, é possível fazer ajustes mais precisos em função do controle da
corrente de excitação.
Apesar de produzirem mais perdas que capacitores (pois são equipamentos rotativos), são
bastante utilizados, por exemplo, em subestações inversoras (que operam em corrente
contínua), para suprir a demanda de potência reativa.
COMPENSADORES ESTÁTICOS
Os compensadores estáticos são conjuntos de capacitores ou indutores controlados por
chaves tiristorizadas, ou seja, o conjunto desses dispositivos semicondutores controla a
corrente entregue à carga, controlando, assim, o fluxo de potência reativa.
São dispositivos com baixo consumo de energia e grande eficiência, pois são controlados
eletronicamente e apresentam velocidade de resposta superior a outros métodos de controle,
como compensadores síncronos, por exemplo.
CONSIDERAÇÕES SOBRE ESTABILIDADE
DE TENSÃO
Todos os métodos e dispositivos anteriormente citados para controle de tensão são importantes
para manter o sistema operando dentro de seus limites aceitáveis, ou seja, em sua margem de
estabilidade de tensão.
A análise de estabilidade de tensão normalmente se baseia no fluxo de potência reativa nas
linhas, atrelado à sua máxima capacidade de transmissão, conforme vimos no módulo 1.
Um sistema que, após alguma perturbação, não é capaz de atingir novamente as tensões
nominais de operação encontra-se próximo de um colapso de tensão.
A estabilidade de tensão é altamente influenciada pelo comportamento da carga, operação dos
dispositivos de controle de potência reativa como taps de transformadores, geradores
síncronos (em condições de sobre-excitação), uso demasiado de bancos de capacitores e até
mesmo da saturação do sistema elétrico, em que as linhas de transmissão disponíveis já não
são capazes de atender à demanda.
Dessa forma, estudos específicos do tema permitem conhecer os limites de carregamento do
sistema em regime permanente que são relacionados com a estabilidade de tensão.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM UM SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA, SABE-SE QUE HÁ UMA
FORTE RELAÇÃO ENTRE O MÓDULO DA TENSÃO E O CONSUMO DE
POTÊNCIA REATIVA PELA CARGA. NOS PERÍODOS DE BAIXO
CONSUMO, COMO DURANTE A MADRUGADA, A TENSÃO NAS LINHAS
DE TRANSMISSÃO TENDE A AUMENTAR, EM VIRTUDE DO EFEITO
CAPACITIVO COM A TERRA. 
 
NESSA SITUAÇÃO, UMA POSSÍVEL AÇÃO DE CONTROLE SERIA:
A) Conectar um banco de capacitores em paralelo.
B) Conectar um banco de reatores em série.
C) Conectar um banco de reatores em paralelo.
D) Conectar um banco de capacitores em série.
E) Reduzir a potência ativa na linha.
2. O CONTROLE DE POTÊNCIA REATIVA EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA PODE SER FEITO POR UMA VASTA QUANTIDADE DE
EQUIPAMENTOS, CONFORME OS CITADOS ABAIXO,EXCETO:
A) Gerador síncrono.
B) Capacitor.
C) Indutor.
D) Compensador estático.
E) Inversor de frequência.
GABARITO
1. Em um sistema elétrico de potência, sabe-se que há uma forte relação entre o módulo
da tensão e o consumo de potência reativa pela carga. Nos períodos de baixo consumo,
como durante a madrugada, a tensão nas linhas de transmissão tende a aumentar, em
virtude do efeito capacitivo com a terra. 
 
Nessa situação, uma possível ação de controle seria:
A alternativa "C " está correta.
 
Um aumento de tensão na linha está relacionado ao comportamento capacitivo da linha de
transmissão, ou seja, geração de reativos. Para corrigir o desvio, deve-se conectar um
equipamento para consumir o excesso de reativos gerado. Nesse caso, conecta-se um reator
em paralelo.
2. O controle de potência reativa em sistemas elétricos de potência pode ser feito por
uma vasta quantidade de equipamentos, conforme os citados abaixo, exceto:
A alternativa "E " está correta.
 
Entre os equipamentos citados, o inversor de frequência não é utilizado para controle de
potência reativa, e sim para controle de torque e velocidade em motores de indução. Os outros
equipamentos são citados ao longo do texto.
MÓDULO 4
 Calcular o problema de fluxo de potência em linhas de transmissão
Formulação do fluxo de potência em sistemas elétricos de potência
FLUXO DE POTÊNCIA
A finalidade principal dos sistemas elétricos é suprir toda a demanda de potência dos
consumidores a ele conectados, ou seja, atender à demanda de potência ativa e reativa
drenada, desde os consumidores domésticos até os grandes consumidores industriais. Para
atender às cargas de acordo com suas especificações nominais, sabe-se que requisitos de
tensão e frequência devem ser rigorosamente controlados.
A figura 13 ilustra o fluxo de potência (ou fluxo de carga) que “escoa” pelo sistema, em virtude
das características de carga e geração disponível. Na figura, cada uma das três barras do
sistema tem uma tensão (módulo e fase), expressa por
VK=|VK|∠ΘK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os fluxos de potência, representados pela potência ativa e reativa (Skm=Pkm+jQkm), fluem de
uma barra k para uma barra m.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 13: Ilustração do fluxo de potência em um sistema elétrico.
De fato, uma análise de fluxo de potência visa determinar as variáveis de barra do sistema,
módulo e fase da tensão. Com a tensão complexa, é possível determinar as potências que
fluem pelas linhas de transmissão.
É possível ainda determinar outras grandezas como as perdas ôhmicas, potências a serem
geradas para atender o sistema etc. Dessa forma, o estudo de fluxo de potência está
diretamente relacionado tanto à operação do sistema em tempo real como a estudos de
planejamento da expansão. A figura 14, a seguir, mostra alguns exemplos de aplicação:
Fluxo de Potência na Operação de Sistemas
Fluxo de Potência na Expansão de
Sistemas
Despacho de geradores
Projeção de novas usinas
geradoras
Controle de tensão (ajuste de dispositivos de
geração de potência reativa)
Projeção de instalação de novas
linhas de transmissão
Intercâmbio de regiões
Projeção de novos transformadores
e dispositivos FACTS
Fluxo de Potência na Operação de Sistemas
Fluxo de Potência na Expansão de
Sistemas
Mudanças na topologia Interconexão de sistemas
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Figura 14: Aplicações do estudo de fluxo de potência.
MODELAGEM DOS COMPONENTES DE
REDE
Determinar o fluxo de potência em uma rede de transmissão consiste em saber o estado
momentâneo da operação, ou seja, trata-se de uma modelagem estática do problema. Nessa
representação, as variações de tensão e frequência são suficientemente lentas a ponto de
desconsiderar o período transitório de análise. Assim, um conjunto de equações algébricas
fornece um perfil de operação da rede em regime permanente.
Para entender como ocorre o fluxo de potência no sistema e equacioná-lo, é necessário
conhecer os componentes de uma rede. Como em um circuito elétrico comum, uma rede de
transmissão contém elementos que são ligados entre nós (barras) e elementos que são ligados
entre nó (barra) e terra (referência).
Como exemplos de elementos conectados entre barras, podemos citar os transformadores e as
linhas de transmissão. Geradores, cargas, bancos de capacitores e reatores são elementos
conectados entre uma barra e a terra. Esses são também denominados equipamentos shunt
ou em derivação. A figura 15 ilustra o tipo de conexão desses elementos no sistema.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 15: Representação dos elementos entre nós (em preto) e entre nó e terra (em
vermelho).
Uma linha de transmissão é representada por um modelo equivalente para estudos de fluxo de
potência, denominado modelo π. Esse modelo é definido pela equivalência de um parâmetro
de impedância série e dois parâmetros de susceptância shunt entre as barras k e m, conforme
mostra a figura 16.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 16: Modelo π ‒ equivalente de uma linha de transmissão.
A impedância série da linha (zkm) é dada por:
ZKM=RKM+JXKM
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
rkm = resistência série
xkm = reatância série
A admitância série é o inverso da impedância série, portanto, será dada por:
YKM=GKM+JBKM=
=RKMRKM2+XKM2-JXKMRKM2+XKM2
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
GKM=RKMRKM2+XKM2=CONDUTÂNCIA SÉRIE
BKM=XKMRKM2+XKM2=SUSCEPTÂNCIA SÉRIE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente Ikm da figura 16 flui pelo elemento série e pelo elemento shunt da linha de
transmissão, sendo dada pela equação (16):
IKM=YKMEK-EM+JBKMSHEK
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
EK=VK∠ΘK E EM=VM∠ΘM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do mesmo modo:
IMK=YKMEM-EK+JBKMSHEM
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EQUAÇÕES DO FLUXO DE POTÊNCIA
Ao considerar a aplicação da lei de Kirchhoff das correntes em uma barra do sistema, a
potência líquida injetada nessa barra, ou seja, o somatório de toda a geração menos o
somatório de toda a carga, é igual ao somatório de todas as potências que fluem dessa barra.
De modo geral, para as potências líquidas ativa e reativa, tem-se:
PK=∑M∈ΩKPKM(VK,VM,ΘK,ΘM)
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
QK+QKSH=∑M∈ΩKQKM(VK,VM,ΘK,ΘM)
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
k=1,2,3….NB ⟶ Índice de barras do sistema, até NB barras;
Ωk⟶ Conjunto das barras vizinhas (diretamente ligadas) à barra k;
Vk,Vm ⟶ Módulo das tensões nas barras k e m;
θk,θm ⟶ Fase das tensões nas barras k e m;
Pkm,Qkm ⟶Fluxo de potência ativa da barra k para barra m;
Qksh ⟶ Injeção de potência reativa pelo elemento shunt na barra k.
A figura 17 ilustra a injeção de potência líquida em uma barra do sistema e o somatório dos
fluxos de potência que fluem dela:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 17: Representação da injeção líquida de potência e fluxo nas linhas de transmissão
de um sistema.
As equações gerais dos fluxos de potência ativa e reativa, Pkm,Qkm são demonstradas no item
seguinte.
FLUXO DE POTÊNCIA NA LINHA DE
TRANSMISSÃO
A partir do modelo π equivalente da linha de transmissão representado na figura 17 e da
equação de corrente que flui por ela, é possível determinar o fluxo de potência Skm. Lembre-se
de que Skm = Pkm+jQkm.
SKM*=PKM-JQKM=EK*IKM
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SKM*=YKMVK∠ΘKVK∠ΘK-VM∠ΘM+JBKMSHVK2
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O desenvolvimento da equação (20)fornece a potência aparente complexa que flui na linha de
transmissão entre as barras k e m. Os fluxos de potência ativa Pkm e reativa Qkm são obtidos
isolando as partes real e imaginária, respectivamente:
PKM=VK2GKM-VKVMGKMCOSΘKM-
VKVMBKMSENΘKM
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
QKM=-VK2BKM+BKMSH+VKVMBKMCOSΘKM-
VKVMGKMSENΘKM
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os fluxos Pmk e Qmk podem ser obtidos do mesmo modo.
Perceba que, se forem consideradas as aproximações feitas no módulo 1, ou seja, que a linha
não possua características resistivas gmk=0, a equação (22) do fluxo de potência ativa é a
mesma equação (1).
PERDAS NA TRANSMISSÃO
Conforme vimos nas equações (16) e (17), a corrente que flui pela linha é a mesma nos dois
sentidos; o que muda são os módulos da tensão nas barras. Isso explica a alteração do fluxo
de potência calculado nos extremos da linha, e sua soma representa as perdas naquele ramo
do sistema. Assim, as perdas de potência ativa e reativa são dadas por:
PKM+PMK=GKMVK2+VM2-2VKVMCOSΘKM=GKM|EK-
EM|2
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
QKM+QMK=-BKMSHVK2+VM2-BKMVK2+VM2-
2VKVMCOSΘKM=
=-BKMSHVK2+VM2-BKM|EK-EM|2
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que |Ek - Em| é o módulo da tensão no elemento série da linha. Resumidamente, tem-se:
gkmEk -Em2→ Perdas ativas (ôhmicas) na linha
-bkmEk -Em2→ Perdas reativas na linha
=-bkmshVk2+Vm2→ Potência reativa gerada nos elementos shunt
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO
DE POTÊNCIA
Conforme já verificamos, o fluxo de potência na transmissão considera as variações de tensão
e frequência suficientemente lentas, de modo que o período transitório do sistema pode ser
desconsiderado sem trazer prejuízos na sua análise em regime permanente. Dessa forma, a
modelagem de suas equações pode ser feita de forma algébrica, correspondendo à aplicação
das leis de Kirchhoff de tensão e corrente na rede.
 ATENÇÃO
A solução de um fluxo de potência pode ser considerada uma “fotografia” do sistema naquele
instante, ou seja, são obtidos os valores de módulo e fase da tensão em cada barra para
determinada condição de operação.
Se o comportamento do sistema mudar, uma nova solução deve ser obtida. Na formulação das
equações do fluxo, são atribuídas quatro variáveis para cada barra:
Vk → Módulo da tensão na barra 𝒌;
θk → Ângulo de fase da tensão na barra 𝒌;
Pk → Geração líquida de potência ativa na barra 𝒌 (geração – carga);
Qk → Geração líquida de potência reativa na barra 𝒌 (geração – carga).
Entre as barras, ou seja, nos elementos série da rede, como as linhas de transmissão e
transformadores, são atribuídos:
Pkm → Fluxo de potência ativa que flui da barra 𝒌 para barra 𝒎;
Qkm → Fluxo de potência reativa que flui da barra 𝒌 para barra 𝒎.
O desenvolvimento de Pkm e Qkm já foi feito nas equações (22) e (23), respectivamente.
Percebe-se que cada barra do sistema tem quatro variáveis, Vk, θk, Pk e Qk. No entanto,
apenas duas equações são conhecidas, Pkm e Qkm, de modo que, para a obtenção de uma
solução possível, ao menos duas dessas variáveis devem ser conhecidas para cada barra.
Para isso, definem-se três tipos de barra.
A tabela 1 descreve, para cada tipo, quais variáveis são conhecidas e quais são incógnitas a
determinar pela solução do problema:
Tipo de barra Sigla Conhecidas Incógnitas
Barra referência Vθ Vk e θk Pk e Qk
Barra de carga PQ Pk e Qk Vk e θk
Barra de tensão controlada PV Pk e Vk θk e Qk
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1: tipos de barra na formulação do fluxo de potência.
A barra de referência, ou Vθ, como a sigla sugere, fornece uma referência angular ao sistema.
Além disso, tem a função de fechar o balanço de potência do sistema, ou seja, gerar a potência
ativa, além dos geradores, correspondente às perdas ôhmicas nas linhas de transmissão. É
importante ressaltar que existe apenas uma barra Vθ na formulação do fluxo de potência de um
sistema.
As barras PQ e PV representam as barras de carga e geração, respectivamente. Nas barras de
carga, são conhecidas as demandas de potência ativa e reativa, sendo necessário calcular sua
tensão e fase. Já nas barras de geração, em virtude da presença dos geradores (e elementos
controladores de tensão, como compensadores síncronos), a tensão é controlada e a potência
ativa gerada é conhecida, sendo necessário calcular a potência reativa gerada e a fase. Em um
sistema elétrico tópico, as barras PQ estão em maior quantidade.
 EXEMPLO
Para o sistema elétrico ilustrado na figura 19, defina o tipo de cada uma de suas barras:
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 18: Representação do sistema elétrico do exemplo.
A barra 1, por possuir geração, será adotada como barra de referência (Vθ). A barra 4, que
também possui geração, será, então, do tipo PV. Por fim, as barras restantes, 2, 3 e 5, são de
carga, do tipo PQ. A de número 3 é também denominada barra de passagem.
As expressões gerais de fluxo de potência em uma linha de transmissão demonstradas nas
equações (22) e (23), bem como a formulação básica do problema, são de grande importância
na operação de sistemas elétricos, pois permitem conhecer o estado momentâneo da rede e
eventuais necessidades de adequação de dispositivos de controle.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O FLUXO DE POTÊNCIA OU FLUXO DE CARGA É UM ESTUDO MUITO
UTILIZADO PARA COMPREENDER A OPERAÇÃO E O ESTADO
MOMENTÂNEO DE UM SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA. SÃO
CONDIÇÕES DETERMINAS PELA SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA,
EXCETO:
A) Demanda dos geradores.
B) Frequência do sistema.
C) Módulo das tensões de barra.
D) Perdas ôhmicas.
E) Potência reativa nas linhas de transmissão.
2. SABE-SE QUE, NA FORMULAÇÃO BÁSICA DO FLUXO DE POTÊNCIA,
DEFINEM-SE TIPOS DE BARRA CONFORME OS ELEMENTOS
CONECTADOS ENTRE AS BARRAS E A REFERÊNCIA, COMO
GERADORES, CARGAS E EQUIPAMENTOS COMPENSADORES. EM
RELAÇÃO AOS TIPOS DE BARRA, PODE-SE AFIRMAR QUE:
A) Nas barras PV, são conectados apenas compensadores de reativos.
B) Nas barras PQ, são conectados os geradores.
C) A barra Vϴ absorve as perdas ôhmicas do sistema.
D) As cargas são conectadas nas barras PV.
E) Um sistema pode não possuir uma barra Vϴ, em função do tipo de carga.
GABARITO
1. O fluxo de potência ou fluxo de carga é um estudo muito utilizado para compreender a
operação e o estado momentâneo de um sistema elétrico de potência. São condições
determinas pela solução do fluxo de potência, exceto:
A alternativa "B " está correta.
 
O estudo de fluxo de potência é uma análise estática do sistema, ou seja, as variações na
carga são suficientemente lentas a ponto de desconsiderar o regime transitório. Para isso,
considera-se a frequência da rede constante, portanto, essa não é uma variável a ser
determinada pela solução do fluxo de carga.
2. Sabe-se que, na formulação básica do fluxo de potência, definem-se tipos de barra
conforme os elementos conectados entre as barras e a referência, como geradores,
cargas e equipamentos compensadores. Em relação aos tipos de barra, pode-se afirmar
que:
A alternativa "C " está correta.
 
A barra Vϴ, única em um sistema, é utilizada como referência angular para a solução do fluxo
de potência e é responsável por gerar a potência ativa excedente não gerada pelas barras PV,
ou seja, ela absorve a potência referente às perdas ôhmicas nas linhas de transmissão.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No desenvolvimento deste tema, investigamos as principais características de operação de
sistemas elétricos de potência ao relacionar os limites admissíveis para variáveis elétricas
como tensão e corrente, frente à variação da carga.
Descrevemos a relação da carga com a capacidade de transporte de potência pelas linhas de
transmissão e como esse fator é dependente da carga do sistema, de modo que a violaçãodos
limites admitidos podem levar a condições de instabilidade e colapso da operação, devido à
forte dependência da carga com a tensão e frequência da rede.
Demonstramos ainda a importante relação entre a potência ativa consumida pelo sistema e sua
frequência e entre a potência reativa gerada/consumida com o controle da tensão nas barras
do sistema. A partir dessas relações, vimos quais condições de violação dessas variáveis
podem levar o sistema elétrico a operar fora de sua região de estabilidade.
Por fim, apresentamos a formulação básica do fluxo de potência (ou de carga) na transmissão,
identificando suas principais características e a importância na operação de sistemas elétricos
de potência.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
AGÊNCIA NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA – ANEEL. Procedimentos de Distribuição
(PRODIST). Módulo 8 – qualidade da energia elétrica, 2010.
AMATO, F. Blecaute de 1999 não foi causado por raio, diz INPE. São Paulo: Folha de S.
Paulo, 6 de outubro de 2007.
ELGERD, O. I. Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica. São Paulo: McGraw-Hill
do Brasil, 1978.
KAGAN, N.; OLIVEIRA, C. C. B. de; ROBBA, E. J. Introdução aos sistemas de distribuição
de energia elétrica. São Paulo: Blucher, 2005.
MONTICELLI, Alcir José. Fluxo de carga em redes de energia elétrica. São Paulo: Blucher,
1983.
OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA ‒ ONS. O sistema em números. Brasil, 2020.
ZANETTA JR., L. C. Fundamentos de sistemas elétricos de potência. São Paulo: Livraria da
Física, 2006.
EXPLORE+
Busque por EEL 7100 ‒ Operação de Sistemas de Energia Elétrica – Notas de aula e acesse o
material do professor Antônio Simões Costa, da UFSC.
CONTEUDISTA
Felipe Laure Miranda
 CURRÍCULO LATTES
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