Analise_Apostila

Prévia do material em texto

ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
1
CAPÍTULO 1
CARACTERIZAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA 
1 – Os Sistemas Elétricos de Potência e seus Problemas
Segundo o prof. Elgerd em seu livro “Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica” [1], o objetivo de um
Sistema Elétrico é de gerar energia elétrica em quantidades suficientes e nos locais mais apropriados, transmiti-
la em grandes quantidades aos centros de carga e então distribui-la aos consumidores individuais, em forma
e quantidade apropriada, e com o menor custo ecológico e econômico possível. Mas tudo isto pode ser resumido
em poucas palavras: a finalidade básica de todo Sistema Elétrico de Potência (SEP) é atender aos seus usuários
com uma qualidade elevada de serviço a baixo custo.
Uma qualidade elevada de serviço significa:
S variação de tensão e freqüência dentro dos limites aceitáveis (critérios);
S operação dos equipamentos dentro de faixas normais;
S operação com alto grau de confiabilidade;
S operação em situações de emergência sem grandes alterações para os usuários;
S operação adequada sob várias condições diárias de carga;
S geração, transformação, transmissão e distribuição de energia sem causar danos ao meio ambiente;
S etc. 
Um baixo custo significa que o preço do kW (potência) e do kWh (energia) devem ser os mais baixos possíveis.
Para isto são necessários a realização de estudos tanto técnicos quanto econômicos, no que se refere a:
S planejamento e projeto de novos sistemas elétricos: os novos sistemas elétricos a fim de atender a cargas
futuras em sistemas existentes ou novas cargas que entram em operação devem ser planejados e projetados
de modo a atender a certos critérios e escolhidas as melhores alternativas;
S planejamento da ampliação de sistemas já existentes: devido ao crescimento anual da carga, impõe-se a
instalação de novas usinas geradoras e também reforços nos sistemas de transmissão e distribuição
(transformadores, reatores, capacitores, etc) e verificação de até quanto o sistema existente é capaz de
atender (dentro dos critérios) a uma dada projeção de carga;
S planejamento da operação e operação de sistemas: os estudos visam definir a maneira de se operar o
sistema, ajustar taps de transformadores, chavear bancos de capacitores e reatores, definir níveis de tensão,
carregamento de equipamentos, etc;
S distribuição de energia elétrica.
Para realizar os estudos acima a análise do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load-
flow desempenha um papel muito importante e são básicos para uma série de outros estudos, tais como,
transitórios eletromecânicos, transitórios eletromagnéticos, etc.
Os estudos de fluxo de potência são efetuados para verificar o comportamento do sistema em regime
permanente, ou seja, para uma dada condição de geração e carga especificada, visando a determinação dos
níveis de tensão nos barramentos do sistema e dos fluxos de potência nas linhas de transmissão e
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
2
transformadores. Estes estudos são feitos tanto em condição normal quanto de emergência:
S operação normal - o sistema apresenta todos os componentes em serviço carregados de acordo com
despacho estabelecido. São feitos para várias condições de carga, normalmente, carga máxima (pesada)
e carga mínima (leve). A maior finalidade é verificar se os critérios estabelecidos são respeitados (tensão,
carregamento, geração);
S operação de emergência - verifica a viabilidade do sistema continuar operando dentro de critérios
estabelecidos para esta situação, sem algum equipamento (transformador, gerador, etc) ou linha de
transmissão.
Nos estudos de fluxo de potência podem ser incluídos também algumas rotinas de otimização, como
minimização de perdas, despacho ótimo das unidades geradoras, entre outros.
O estudos de curto-circuito, visam a determinar as correntes e tensões de falta, a fim de fornecer subsídios
para outros estudos:
S definição das características nominais dos equipamentos;
S verificação dos esforços mecânicos que poderão ser submetidos os barramentos, transformadores e
geradores;
S calibração de relés e ajustes de proteção;
S sobretensões no sistema;
S outros.
Complementares aos estudos acima (fluxo de potência e curto-circuito) outros estudos são feitos na análise de
sistemas elétricos, tais como:
S transitórios eletromecânicos (estabilidade);
S transitórios eletromagnéticos;
S confiabilidade;
S outros. 
Os estudos econômicos visam a minimizar o custo total de produção (geração, transmissão e distribuição) de
energia elétrica, ou seja, visam a manter uma relação razoável entre o que paga o consumidor pela energia e
potência consumida e o que custa a concessionária este fornecimento (geração, transmissão, distribuição,
equipamentos, operação, manutenção,etc). Por exemplo:
S em planejamento de sistemas, a alternativa mais vantajosa economicamente será aquela que resultar no
menor valor presente dos investimentos;
S procura-se operar o sistema distribuindo de forma mais econômica a energia entre as usinas (e, entre as
unidades geradoras), minimizando perdas, operando adequadamente os reservatórios, etc.
1.2 -Estrutura Básica do Sistema Elétrico de Potência
Classicamente pode-se caracterizar um Sistema Elétrico de Potência como sendo uma rede elétrica
composta de centrais geradoras (hidráulicas, térmicas, nucleares, eólicas, geotérmicas, etc), sistemas
de transformação, transmissão e distribuição e cargas. 
Inicialmente os sistemas elétricos funcionavam em geral como unidades isoladas, mas atualmente
até o mais simples dos sistemas é constituído por uma rede de grande complexidade. O tamanho do
sistema dependerá de vários fatores de ordem econômica, política, histórica e tecnológica, mas
existem certas similaridades que se aplicam a maioria dos sistemas elétricos. Todos eles operam em
vários níveis de tensão, separados por transformadores, o que acarreta a seguinte divisão:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
3
S nível (sistema) de transmissão;
S nível (sistema) de subtransmissão;
S nível (sistema) de distribuição. 
A figura a seguir ilustra a estrutura básica de um Sistema Elétrico de Potência.
O sistema de transmissão lida com grandes blocos de potência e interliga as estações geradoras e todos
os pontos de maior carga do sistema. A rede de transmissão geralmente ocupa e se desenvolve por grandes
extensões territoriais, integrando-se aos sistemas de subtransmissão e distribuição mediante subestações
abaixadoras e possibilitando ainda interligar sistemas vizinhos, auferindo daí benefícios técnicos e econômicos.
As tensões de transmissão são elevadas, geralmente acima de 230 kV, e atingem atualmente (2000), no Brasil,
765 kV, mais já foram estudados projetos de transmissão em até 1050 kV.
O sistema de transmissão tem a função primordial de fazer a distribuição da energia gerada interligando as
usinas geradoras aos grandes centros de consumo. Em um sistema predominantemente hidráulico de geração
o sistema de transmissão propicia a otimização temporal e econômica da energia gerada. Os blocos de energia
transportados e as distâncias envolvidas são as maiores do sistema elétrico.
O sistema de subtransmissão é similar, na sua concepção básica e estrutural, ao sistema de
transmissão e distribui a energia às subestações de distribuição localizadas em uma certa área geográfica, num
nível de tensão que, em geral, varia de 69 a 138 kV. Eles recebem energia diretamente dos geradores ou por
meio das subestações de potência. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
4
Apesar de estruturalmente o sistema de subtransmissão ser idêntico ao de transmissão esta divisão é importante
de ser feita visto as características do mercado consumidor. O sistema de subtransmissão enxerga um mercado
mais desagregado que a da transmissão. As fronteiras entre o sistema de transmissão e de subtransmissão é
difícil de ser caracterizada. 
O sistema de subtransmissão inicia-se nas subestações do sistema de transmissão e destina-se a supriràs
pequenas cidades ou agrupamento de cidades, o interior de grandes centros urbanos e a consumidores
industriais de grande porte. Os blocos de energia transportados e as distâncias envolvidas são de médio porte.
Finalmente, os sistemas de distribuição constituem as malhas mais refinadas da rede total. Os sistemas
de distribuição são alimentados a partir das subestações de distribuição e fornecem energia aos pequenos e
médios consumidores. Usualmente são usados dois níveis de tensão de distribuição: a tensão primária, ou de
alimentação (por exemplo, 13,8 kV e 34,5 kV) e a tensão secundária, ou de consumidor (por exemplo,
110/220 V).
O sistema de distribuição tem a finalidade de suprir os consumidores das aglomerações urbanas e os
consumidores rurais. A distribuição é feita predominantemente através de redes radiais aéreas existindo também
sistemas do tipo subterrâneo. Os blocos de energia transportados e as distâncias envolvidas são as menores
do sistema elétrico.
Normalmente o sistema de transmissão apresenta uma estrutura malhada, o que significa uma maior
combinação de percursos para o fluxo de potência servindo melhor aos seus propósitos. Esta situação propicia
melhores condições de funcionamento técnico e econômico, apesar de apresentar algumas desvantagens, como
por exemplo, um aumento na corrente de curto-circuito. Já os sistemas de subtransmissão e distribuição são
geralmente, mas nem sempre, de estrutura radial, mais óbvio no caso da energia fluir em uma direção
predominante. 
Ao conjunto interligado pelo sistema de transmissão, subtransmissão e de distribuição é dado o nome de rede
elétrica. Denomina-se sistema interligado ao sistema elétrico resultante da interligação dos sistema
elétricos de diversos concessionárias. 
Um planejamento adequado propicia aos Sistemas Elétricos de Potência um alto grau de redundância estrutural,
o que permite o mesmo suportar a maioria das contingências que eventualmente possam acontecer, sem que
causem nenhum dano maior aos consumidores.
No Brasil, em 1995, foi iniciada a restruturação do setor elétrico, visando substituir o antigo sistema verticalizado
por um sistema livre de formação de preços através do estabelecimento da concorrência nos segmentos da
expansão da geração e na distribuição de energia. A desverticalização do setor ficou consubstanciada na
separação das atividades de geração, transmissão, distribuição e comercialização. O sistema de transmissão
deverá permitir o livre acesso dos geradores aos consumidores, enquanto o sistema de geração deverá ser
operado com base na otimização global, ficando a cargo do Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS).
O ONS foi criado para substituir a estrutura cooperativa de coordenação da operação existente (Antigo GCOI)
e tendo como responsabilidade manter os ganhos sinérgicos resultantes da otimização da operação dos
sistemas de transmissão e geração de energia elétrica e viabilizar a expansão do sistema de transmissão a
mínimo custo. 
O ONS é uma entidade privada, criada em 26 de agosto de 1998, responsável pela coordenação e controle da
operação das instalações de geração e transmissão de energia elétrica nos sistemas interligados brasileiros.
O ONS é uma associação civil, cujos integrantes são as empresas de geração, transmissão, distribuição,
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
5
importadores e exportadores de energia elétrica, e consumidores livres, tendo o Ministério de Minas e Energia
como membro participante, com poder de veto em questões que conflitem com as diretrizes e políticas
governamentais para o setor. Também tomam parte nessa associação os Conselhos de Consumidores.
No Brasil, existem mais de 1300 milhão de quilômetros de linhas de transmissão e distribuição, sendo em torno
de 64000 km acima de 230 kV, constituindo uma extensa rede elétrica. Com a restruturação do setor elétrico
surgiram, dentro do segmento de transmissão, novas definições para as partes da rede elétrica de interesse e
importância para o modelo. A primeira delas é a denominada rede básica, que constitui o conjunto de todas
as linhas de transmissão em tensões de 230 kV ou superior e subestações que contenham equipamentos em
tensões de 230 kV ou superior, integrantes de concessões de serviços públicos de energia elétrica. Também
poderão integrar a rede básica instalações em tensões inferiores a 230 kV, desde que aprovadas pelo poder
concedente, no caso a ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica). A rede que fica fora dos limites da rede
básica, mas cujos fenômenos que nela ocorrem têm influência significativa na rede básica é denominada rede
complementar. A união dessa duas redes com as usinas integradas, em que o ONS exerce diretamente,
através de um dos seus Centros de Operação, ou via Centro de Operação da empresa proprietária das
instalações, a coordenação, a supervisão e o controle da operação dos Sistemas interligados Brasileiros é
denominada de rede de operação. Esta rede de operação pode ser regional ou local , dependendo dos
fenômenos que possam ocorrer serem predominantemente de repercussão regional ou local.
A parte da rede de operação, constituída das usinas integradas e parte do sistema de transmissão utilizada para
a integração eletroenergética, cujos fenômenos são predominantemente de repercussão sistêmica é denominada
de rede de operação sistêmica.
Denomina-se, rede de simulação, a rede necessária de ser representada, para que os estudos e análises
de fenômenos na rede de operação apresentem resultados com o grau de precisão requerido para definição de
diretrizes e procedimentos para operação desta rede. Do mesmo modo, denomina-se rede de supervisão,
a rede de operação e outras instalações, cuja monitoração via sistema de supervisão, é necessária para a
tomada de decisões em tempo real, pelo ONS.
A figura a seguir ilustra a relação entre os tipos de rede comentados acima.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
6
3 – A Utilização dos Computadores Digitais na Análise dos Sistemas
 Elétricos de Potência
Antes de 1930, a análise dos Sistemas Elétricos de Potência eram feitos a mão. Com isto a análise ficava
limitada a sistemas pequenos e exigia grandes simplificações devido a quantidade e complexidade dos cálculos.
Muitas das análises eram feitas usando tabelas e diagramas comparativos de outros resultados obtidos e
confirmados.
De 1930 a 1956 foram utilizados analisadores de redes (Network Calculators - Westinghouse ou Network
Analysers - GE) para a análise dos sistemas elétricos. Estes nada mais eram do que modelos em miniatura da
rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medida de grandezas elétricas no
modelo. 
Na década de 50 foram feitas as primeiras tentativas para resolver o problema da análise de sistemas utilizando-
se os computadores digitais. O trabalho pioneiro foi desenvolvido por Ward e Hale [4], que impulsionou os
estudos de fluxo de potência e de curto-circuito.
O sucesso do método de Ward e Hale foi rapidamente aceito pela indústria elétrica e a partir dai foi sendo
modificado e acrescentado de novas características. 
Atualmente na realização dos estudos de análise de Sistemas de Potência são utilizados uma série de
programas computacionais.
Dentre os programas mais utilizados, sobressai o fluxo de potência, que chega a ser apontado como o programa
de análise de redes elétricas mais utilizado, consumindo a maior parcela de tempo computacional despendido
por programas desta natureza.
4 – Representação dos Componentes dos Sistemas Elétricos de Potência
Para realizar um estudo em um Sistema Elétrico de Potência deve-se inicialmente definir qual o
modelo de cada componente da rede adequado ao estudo desejado. A representação adequada de
cada elemento é fundamental, visto que a precisão dos resultados obtidos é função desta escolha.
A figura apresentada na página seguinte ilustra a estrutura de um Sistema Elétrico de Potência,
procurando evidenciar os componentes básicos do mesmo.
Nesta figura está representadoo chamado diagrama unifilar de um Sistema Elétrico de Potência.
Como os sistemas trifásicos são normalmente equilibrados não é necessário representar no esquema da rede
mais do que uma fase. O objetivo do diagrama unifilar é fornecer de maneira concisa os dados mais significativos
e importantes do Sistema de Potência. A quantidade de informações contida no diagrama depende do objetivo
desejado (por exemplo, em estudos de curto-circuito deve-se indicar a localização dos pontos onde o sistema
é aterrado, dos disjuntores e dos relés, o que não é importante nos estudos de fluxo de potência, onde deve-se
indicar as cargas, geração, etc).
O diagrama unifilar serve tanto para se ter uma visão geral do sistema, ou então para apresentar os dados do
sistema através do circuito equivalente de cada componente do mesmo, como também apresentar os resultados
obtidos de estudos realizados no mesmo.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
7
Atualmente já existem programas digitais de Análise de Sistemas Elétricos de Potência cujos dados podem ser
fornecidos através de um diagrama unifilar e que apresenta os resultados também em um diagrama unifilar. Este
recurso facilita a interação entre o computador e o usuário, além de auxiliar na análise dos resultados obtidos
e dos ajustes a serem feitas no sistema.
5 – Exercícios
Exercício 1
Responder:
a) Faça uma análise comparativa dos sistemas de transmissão e subtransmissão de um Sistema Elétrico de
Potência, enfocando os seguintes aspectos: finalidade, extensão geográfica, quantidade de energia
transportada e estrutura.
b) Por que em um Sistema Elétrico de Potência normalmente são encontrados vários níveis de tensão?
c) É preferível transmitir 10 MW em 100 V e 100 kA ou em 100 kV e 100 A? Por que?
d) Por que um sistema de transmissão malhado aumenta a confiabilidade do sistema elétrico e otimiza os
recurso energéticos?
e) Por que é difícil estabelecer uma fronteira entre o sistema de transmissão e de subtransmissão?
f) Faça uma análise da estrutura do Sistema Elétrico Brasileiro face a reformulação que está ocorrendo no
setor.
g) Com a restruturação do setor elétrico brasileiro quais estudos você identifica que devam ser feitos na análise
do mesmo.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
8
Exercício 2
Montar o diagrama de impedâncias em pu para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura abaixo,
usando como base os dados nominais do gerador.
Exercício 3
Seja o diagrama unifilar apresentado na figura a seguir onde estão plotados os resultados obtidos de um fluxo
de potência, com as tensões em pu e os fluxos de potência ativa e reativa em MW e Mvar, respectivamente.
Pede-se:
a) Completar os resultados faltantes no diagrama do fluxo de potência.
b) Obter a perda de potência ativa na ligação entre EAGLE e GOOSE.
c) Obter a perda de potência reativa na ligação entre GOOSE e OWL. Comente o valor encontrado.
d) Obter a perda de potência ativa e reativa total do sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
9
e) Considerando que o nível mínimo de tensão em um barramento é de 0.95 pu, qual o procedimento que você
adotaria com relação ao barramento de GOOSE.
f) Considerando que as máquinas geradoras não possam operar com um fator de potência menor que 0.9, qual
o procedimento que você adotaria com o gerador do barramento de DUCK.
g) Ao desligar o capacitor ligado no barramento de OWL, o que acontecerá com a tensão neste barramento?
h) Como você procederia para aumentar a tensão do barramento de EAGLE?
i) A seu ver o sistema opera satisfatoriamente? Em caso contrário qual(is) a(s) providência(s) você tomaria para
melhorar o desempenho. Justifique sua resposta.
Exercício 4
A figura abaixo destaca partes de um diagrama unifilar de um Sistema Elétrico de Potência, no qual estão
plotados alguns resultados obtidos de um estudo de fluxo de carga. Os fluxos de potência nos ramos, as
gerações e cargas estão plotados em MW e Mvar e as tensões em pu. Os demais dados do sistema estão
apresentados no diagrama. Pede-se obter as grandezas P1, P2, V3, θ3, P4 e Q4, indicadas.
6 – Referências
 1 - Olle I.Elgerd, Introdução à teoria de sistemas elétricos de energia, Mc Graw Hill do Brasil, 1978.
 2 - C.Ferreira, Redes Lineares em Sistemas Elétricos de Potência, Editora Canalenergia, 2005.
 3 - GCPS - Grupo Coordenador do Planejamento dos Sistemas Elétricos, Plano de Expansão 1999/2008,
Eletrobrás, julho de 1999.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
10
 4 - J.B. Ward e H.W. Hale, Digital Computer Solution of Power-Flow Problems, AIEE Transactions, Part III -
Power Apparatus and Systems, June, 398-404, 1956.
 5 - Willian D.Stevenson Jr, Elementos de Análise de Sistemas de Potência, Mc Graw Hill do Brasil, 1975.
 6 - D.S.Ramos, E.M.Dias, Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 1, Guanabara 2,
1982.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
11
CAPÍTULO 1
CARACTERIZAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA 
1 – Introdução
Uma rede elétrica pode ser representada por um conjunto de nós que conectam um conjunto de ramos, os quais
quando orientados formam uma rede topológica denominada de grafo orientado.
Os nós representam os barramentos terminais dos ramos que por sua vez, em Sistemas Elétricos de Potência,
serão linhas de transmissão, transformadores, reatores, representação de geradores e cargas. Freqüentemente
um elemento do circuito físico será representado por vários ramos, como, por exemplo, o modelo π de uma
linha de transmissão.
As seguintes convenções são adotadas:
S a um ramo sempre tem-se associado um sentido o qual representa o sentido positivo da corrente;
S a tensão no ramo tem sempre sentido oposto ao da corrente;
S quando um ramo possui fonte de tensão em série com uma impedância, essa fonte tem o sentido da corrente
(tensão de excitação);
S se não existe fonte de tensão ou outro elemento ativo no ramo, a tensão do ramo é igual a queda de tensão
através do ramo.
A solução das redes, que consiste na determinação das tensões nos nós e das correntes nos ramos pode ser
desenvolvida usando o método das malhas ou dos nós. Ambos podem ser aplicados em redes muito grandes
tais como as encontradas em estudos de Sistemas de Potência, como fluxo de potência ou curto-circuito.
A análise de malhas consiste na análise de uma rede elétrica visando o cálculo das correntes nos ramos dessa
rede, conhecidas as fontes de tensão e as impedâncias dos ramos.
Já a análise nodal consiste em calcular as tensões dos nós do circuito, em relação a uma certa referência,
sendo conhecidas as correntes injetadas nos nós e as admitâncias dos ramos.
Na análise nodal são eliminadas algumas dificuldades que a análise de malha apresenta, alem de ser mais fácil
sua implementação em computadores digitais. A análise a seguir será feita exclusivamente utilizando da análise
nodal. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
12
2 – Matriz de Admitância Nodal
Na análise nodal de um circuito linear procura-se calcular as tensões de cada nó do circuito, com
relação a um nó de referência adotado, sendo conhecidas as correntes injetadas nos nós e as
admitâncias dos ramos.
Na análise nodal é usada a 1ª Lei de Kirchhoff, chamada lei de Kirchhoff das correntes, para a
obtenção das equações do circuito. Esta lei diz que: "A soma algébrica de todas as correntes
injetadas em um nó é nula" (como a carga elétrica não pode ser criada e nem destruída e tão pouco
armazenada em um nó significa que toda carga elétrica que chega a um nó por um ramo deve sair
por outro ramo, que é o princípio da conservação da carga).
Como conseqüência desta lei, caso seja escrito as equações nodais para todos os nós do circuito
obter-se-á um sistema de equações indeterminado. Logo, quando se utiliza da análise nodal sempre
se escolhe um dos nós do circuito como referência, eliminando-se a equação correspondente a este
nó, evitando com isso a singularidade (indeterminação) do sistema de equações (será diminuída uma
equação do sistema, mas também umavariável que terá o seu valor conhecido). Com isso as tensões
calculadas dos demais nós ficam com seus valores referidos ao da tensão do nó de referência.
Normalmente é escolhida a terra como referência.
Seja o circuito elétrico abaixo, parte de um sistema elétrico qualquer:
Da lei de Ohm, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
13
Aplicando a 1ª Lei de Kirchhoff:
S nó A: 
S nó B: 
S nó C: 
S nó D: 
Substituindo os valores e rearranjando:
Em forma matricial, o sistema de equações acima fica:
ou seja:
onde:
- vetor das tensões nodais (tensões dos barramentos);
- matriz de admitância nodal do circuito, também chamada matriz ;
- vetor das correntes injetadas nos nós (barramentos).
Da matriz pode-se notar que ela resultou bastante esparsa e simétrica, que é uma característica
desta matriz. Ela é uma matriz quadrada e sua dimensão corresponde a (n - 1) nós do circuito. 
Os elementos da diagonal da matriz são chamados admitâncias próprias dos nós enquanto
que os elementos de fora da diagonal são chamados de admitâncias mútuas ou de transferência
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
14
entre os nós. Por facilidade de representação, os elementos da matriz são representados pela
letra maiúscula Y enquanto a admitância dos elementos é representada pela letra minúscula y.
A maneira mais simples de construir a matriz é por inspeção, ou seja, através de uma
montagem direta, da seguinte forma:
S elementos da diagonal principal: são dados pela soma de todas as admitâncias conectadas ao nó
(i) do circuito:
S elementos de fora da diagonal principal: são dados pela admitância (ou pela admitância
equivalente, no caso de elementos em paralelo) conectada entre os nós (i) e (j), com sinal trocado:
Usando esta regra obtém-se para o circuito anterior:
Apesar da matriz ser facilmente montada por inspeção quando se tem um sistema pequeno,
o mesmo não acontece para sistemas de grande porte, onde a possibilidade de engano é grande. Um
método adequado, inclusive para uso em computadores digitais, envolve o uso de transformações
lineares. Este método pode ser encontrado em vários livros de Análise de Sistemas e não será
analisado no presente curso.
3 – Inclusão de Admitâncias Mútuas Assimétricas na Matriz de Admitância
 Nodal
 
Enquanto que para a maioria dos circuitos a matriz de admitância nodal é simétrica, em alguns casos isto não
se verifica. Em Sistemas Elétricos o caso mais importante ocorre quando um transformador defasador se
encontra presente.
O transformador com relação de transformação 1:1 é representado por uma impedância série igual a impedância
de dispersão e uma admitância shunt igual ao inverso da sua impedância de magnetização (normalmente
desprezado).
Ocorre que o transformador pode estar trabalhando com um ou mais enrolamentos com tensão diferente da
nominal, através de taps comutados manual ou automaticamente (LTC - load tap changer). Tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
15
S o transformador tem apenas taps em fase (tensão transformada apenas em módulo). A relação de
transformação envolve apenas números reais, e é da forma:
onde p é o valor do tap em pu. Como exemplo, pode-se citar, a maioria dos transformadores de interconexão
de sistemas e de distribuição.
S o transformador tem taps em fase e em quadratura (tensão transformada em módulo e ângulo). A relação
de transformação envolve números complexos, e é da forma:
onde p é o valor do tap em fase (pu) e q o
valor do tap em quadratura (pu). Como exemplo, pode-se citar os phase-shifters ou transformadores
defasadores. Matematicamente este caso engloba o caso anterior (quando q = 0).
Devido a observação acima, a inclusão na matriz dos efeitos de taps fora do nominal serão feitas tomando-
se um transformador com relação de transformação complexa.
Seja um transformador ligado entre os barramentos (A) e (B), de relação de transformação (p1 + jq1):(p2 + jq2)
e impedância de dispersão com impedância de magnetização desprezada, como ilustra a figura abaixo:
O transformador acima pode ser representado da maneira abaixo, onde os efeitos de "transformação" e
"dispersão" são tomados como concentrados. Isto não dá erro significativo e facilita os cálculos.
 
ou seja:
onde:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
16
Logo:
Como o primeiro transformador é ideal (sem perdas):
e
Substituindo esta equação na anterior, obtém-se:
mas:
Substituindo o valor de :
Substituindo na equação de , tem-se:
Da 1ª Lei de Kirchhoff nos nós (a) e (b):
Logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
17
ou em forma matricial:
ou em função de p1, q1, p2 e q2 tem-se: 
Pode-se observar que a matriz perde a simetria. Portanto não se pode obter um circuito equivalente para
o transformador defasador.
O transformador defasador tira a simetria do sistema e isto é indesejável pois aumenta o gasto em memória
computacional. Se a matriz fosse simétrica poderia somente armazenar a parte superior ou inferior da mesma
e mais a diagonal.
Se o transformador tiver apenas taps em fase (q1 = q2 = 0), tem-se:
onde:
Pode-se notar que a simetria da matriz é mantida. O circuito equivalente para o transformador com taps
somente em fase (expressão acima) é o seguinte:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
18
4 – Exercícios
Exercício 1
Para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura abaixo, pede-se:
a) Montar o diagrama unifilar em pu do sistema na base de 1000 MVA.
b) Obter a matriz para o sistema.
Exercício 2
Montar a matriz para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura a seguir, onde o tap do
transformador (1)-(3) se encontra no lado do barramento (3). Os dados da rede, em pu, em uma mesma base
de potência estão apresentados na tabela anexa.
Obs: pode parecer estranho no exercício a posição que se encontra o transformador, conectando dois
barramentos cujas tensões nominais são as mesmas. Em termos da análise da rede elétrica isto não causa
inconveniente nenhum. No caso o ramo (3)-(4) pode ser um ramo equivalente correspondente a uma linha de
transmissão com um transformador em seus terminais. O recurso de equivalentar partes de um Sistema Elétrico
de Potência é muito utilizado na análise de sistemas elétricos onde se procura diminuir o tamanho da rede.
Também o transformador (1)-(3) pode ser um transformador com tensões nominais de seus enrolamentos
idênticas usando do tap para alimentar a carga que se encontra no barramento (3).
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
19
Barramentos Terminais Resistência (pu) Reatância (pu) Susceptância Total (pu) Tap (%)
( 1 ) ( 2 ) 0.00525 0.08250 0.00348 -
( 1 ) ( 3 ) - 0.04500 - 110
( 3 ) ( 4 ) 0.00842 0.08810 - -
( 2 ) ( 4 ) 0.01200 0.06830 0.03200 -
Exercício 3
Obtenha a matriz , em pu, na base 100 MVA, para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura
abaixo.
Sabe-se que:
a) O sistema está operando em condição de carga pesada. 
b) Os barramentos (1), (2), (3) e (5) são de 525 kV e o barramento (4) de 440 kV.
c) A linha de transmissão LT1 apresenta os seguintes parâmetros:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
20
d) A compensação série, CS1, existente entre os barramentos (2) e (5) corresponde a 30% da linha de
transmissão entre os barramentos (1) e (5).
e) O transformador T1 apresenta os seguintes dados: reatância de 12%, perdas desprezíveis, potência de 150
MVA, 525/440 kV, conexão Yat-Yat.
f) O banco de capacitores BC1 é composto de 3 unidades monofásicas de 30 MVAr/525 kV.
g) O reator R1 é de 120 Mvar/525 kV, trifásico, com neutro isolado.
h) O reator R2 é de 120 Mvar/440 kV, com isolamento para 525 kV, trifásico, neutro isolado.
Exercício 4
Um engenheiro ao iniciar a análise de um fluxo de potência inadvertidamente derrubou um copo de mé sobre
todos os cálculos realizados. Após a limpeza da sujeira, o que pode ser recuperado dos dados e dos cálculos
é o seguinte:
a) Matriz do sistema em pu:
b) A potência de base do sistema é de 1000 MVA.
c) Não existemtransformadores defasadores no sistema.
d) Todos os transformadores existentes tem resistência desprezível e estão com tap na posição nominal.
e) Todas as linhas de transmissão do circuito são eletricamente curtas.
f) Barramento 2:
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
21
g) Barramento 4:
- tensão nominal: 230 kV;
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
h) Barramento 5:
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
i) Barramento 6:
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
j) Barramento 7:
- tensão nominal: 69 kV;
- banco de capacitores 4 Mvar/fase em 69 kV operando no barramento;.
k) Entre os barramento (4) e (6) existe uma linha de transmissão com r = 0,038 ohms/km e x = 0,291 ohms/km
com 25 km de comprimento.
l) Entre os barramentos (4) e (5) existe um banco de transformadores de 230/13,8 kV, ligado em Yat-Δ,
reatância de dispersão de 8%, potência de 70 MVA.
Baseado nos dados e cálculos apresentados pede-se:
a) Completar a montagem da matriz do sistema.
b) Obter o elemento shunt que está ligado no barramento (3) (tipo, tensão e potência nominal).
c) Montar o diagrama unifilar do Sistema Elétrico.
Exercício 5
Um Sistema Elétrico de Potência com 3 barramentos apresenta a seguinte matriz :
montada sob as seguintes condições:
a) Todos os ramos shunt do sistema foram desprezados.
b) Todos os tap dos transformadores do sistema foram incluídos em .
c) As resistências dos ramos com transformadores foram desprezadas.
Pede-se calcular as resistências e reatâncias série dos ramos do sistema, bem como os valores dos taps dos
transformadores por ventura existentes.
5 – Referências
 1 - Olle I.Elgerd, Introdução à teoria de sistemas elétricos de energia, Mc Graw Hill do Brasil, 1978.
 2 - C.Ferreira, Redes Lineares em Sistemas Elétricos de Potência, Editora Canalenergia, 2005.
 3 - D.S.Ramos, E.M.Dias, Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 1,
Guanabara 2, 1982.
 4 - Glenn W.Stagg, Ahmed H.El-Abiad, Computer Methods in Power System Analysis, McGraw-Hill
Book Company, 1968.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
22
CAPÍTULO 3
MATRIZ DE IMPEDÂNCIA NODAL 
1 – Introdução
Dado uma rede elétrica qualquer linear e passiva, e adotando-se para referência um barramento
obrigatoriamente pertencente a rede (se a referência não pertencer a rede, a soma dos elementos de qualquer
linha da matriz será nula e com isso esta matriz será indefinida, pois seu determinante também será nulo.
Se a referência pertencer a rede, pelo menos um barramento terá conexão com esta referência), tem-se, a matriz
que relaciona as tensões nos barramentos (medidas com relação à esta referência), com as correntes injetadas
nos barramentos da rede, conforme indica a figura abaixo.
cnde:
- vetor das tensões dos barramentos;
- vetor das correntes injetadas nos barramentos;
- matriz de impedância nodal, também denominada .
Tem-se:
Multiplicando os dois lados da equação acima por , tem-se:
ou seja:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
23
Da equação nodal acima pode-se escrever:
Escrevendo esta equação em forma explicita, tem-se:
Supondo = 1.0 [pu] e as demais correntes injetadas iguais a zero, obtém-se: 
Tem-se então as seguintes definições:
= tensão que aparece no barramento (i) devido a corrente de 1.0 [pu] injetada no barramento (k),
com as demais correntes injetadas iguais a zero;
= impedância de transferência entre os barramentos (i) e (k);
= transfer impedance;
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
24
= tensão que aparece no barramento (k) devido a corrente de 1.0 [pu] injetada no próprio
barramento (k), com as demais correntes injetadas iguais a zero;
= impedância de entrada do barramento (k);
= driving point impedance.
Como a rede é linear e passiva:
Apesar da matriz ser simétrica, ela é totalmente cheia, o que acarreta um gasto muito grande de memória
computacional para o seu armazenamento.
Usando o teorema da superposição, pois o modelo é linear, pode-se generalizar as definições acima. Para isso
suponha que o sistema tenha um vetor de injeções de corrente :
Se o vetor sofrer um acréscimo , o vetor sofrerá um acréscimo . Logo:
Simplificando:
Se o vetor for tal que = 1.0 [pu] e as demais variações de correntes injetadas iguais a zero, tem-se:
Logo, pode-se dizer:
S a impedância de transferência ( ) é o acréscimo na tensão do barramento (i) quando há um
acréscimo de 1.0 [pu] na corrente injetada no barramento (k), qualquer que seja o valor das demais correntes
injetadas;
S a impedância no ponto ( ) é o acréscimo na tensão do barramento (k) quando há um acréscimo
de 1.0 [pu] na corrente injetada nesta mesmo barramento, qualquer que sejam as demais correntes injetadas.
Pode-se notar que a impedância de entrada do barramento (k) corresponde a impedância de Thevenin entre
o barramento (k) e a barramento de referência, sendo este barramento a barra neutra por trás das impedâncias
dos geradores. Com isto a matriz constituirá uma excelente ferramenta para o cálculo das correntes de
curto-circuito.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
25
Os métodos para se obter a matriz de impedância nodal são os seguintes:
a) Inversão Completa de 
Monta-se a matriz para o sistema tomando como referência a barra neutra atrás das impedâncias dos
geradores, e procede-se a sua inversão para a obtenção da matriz 
Existem vários métodos para inversão de matrizes, sendo que ao se selecionar um deles deve-se levar em
conta três fatores:
- o número de operações aritméticas envolvidas no processo de inversão, que se traduz no esforço
computacional necessário;
- a simplicidade das operações, que pode se traduzida como a facilidade para se programar em
computadores;
- memória computacional auxiliar necessária durante os cálculos.
Um dos métodos que melhor se encaixa nas solicitações acima é o método de Shipley-Coleman, que
apresenta uma relativa economia de memória e simplicidade do algoritmo.
Os métodos de inversão de apresentam, entretanto, uma enorme desvantagem em termos de tempo
de computação, uma vez que o número de operações necessárias para a inversão total de uma matriz é
proporcional a n3, onde n é a ordem da matriz (com o método de Shipley-Coleman, utilizando de uma
seqüência de cálculos adequados, o número de operações é reduzido para cerca de 2n2).
b) Obtenção de diretamente dos dados do sistema
Este método consiste em montar a matriz passo a passo, adicionando uma ligação após a outra. Ao
final do processamento de cada ligação obtém-se uma matriz correspondente à parte do sistema
processada até então. Quando a última ligação for incluída, obtém-se a matriz final.
Este método possui as seguintes vantagens em relação ao anterior:
- exige um número menor de operações aritméticas, permitindo com isso uma economia de tempo de
computação;
- permite a análise de grandes sistemas, cuja matriz não caiba na memória do computador. A
montagem da matriz é feita salvando-se na memória apenas os barramentos onde se deseja analisar o
sistema, mas levando-se em conta também o restante do sistema.
As desvantagens deste método são:
- não permite a exploração da esparsidade do sistema, pois a matriz não é esparsa;
- necessita da montagem de toda a matriz (ou de seu equivalente) no caso de grandes sistemas.
c) Obtenção da matriz coluna a coluna
Este método consiste em obter da matriz somente a coluna que apresenta interesse em se analisar,
evitando com isso a montagem e armazenamento de toda a matriz , economizando tempo e memória
de computador. Caso se deseje obter a matriz completa, basta repetir o procedimento n vezes, onde
n é o número de barramentos do sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
26
2 – Método de Obtenção da Matriz de Impedância Nodal Coluna a Coluna
Em determinados estudos, como, por exemplo, curto-circuito em somente alguns barramentos do
sistema, cálculo de transitórios eletromagnéticos, etc., nãoé necessário a utilização da matriz 
completa, mas somente de algumas de suas colunas. Por isso, a fim de evitar gastos desnecessários
de tempo e memória computacional torna-se útil o desenvolvimento de técnicas para a obtenção de
somente as colunas necessárias da matriz.
Tem-se que:
ou seja:
Como o sistema de equações acima é linear pode-se aplicar o teorema da superposição. O teorema
da superposição, simplificadamente falando, aplicado à situação acima, diz que a resposta (tensões)
à excitação de várias fontes atuando ao mesmo tempo (correntes) é a soma das respostas (tensões)
devidas a ação em separado de cada uma dessas excitações (correntes).
Logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
27
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
28
Pelo teorema da superposição, a tensão total é dada pela soma de cada uma das parcelas
apresentadas acima, nas quais se considerou cada corrente atuando separadamente.
Então:
Fazendo:
tem-se:
Da igualdade acima pode-se obter:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
29
que está de acordo com a definição dos elementos da matriz .
Portanto, para obter uma coluna qualquer (k) da matriz basta calcular o vetor de tensões
correspondente:
ou seja:
Lembrando-se que:
pode-se rearranjar o sistema de equações anteriores, resultando em:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
30
Qualquer método de resolução de sistemas de equações lineares pode ser utilizado para resolver o
sistema de equações acima, mas, uma das formas mais eficiente de solução é triangularizar a matriz 
 (triangularização de Gauss) e fazer uma substituição de trás para frente (back substitution).
A triangularização de Gauss consiste em combinar linearmente as linhas de uma matriz, de forma a obter
os elementos da diagonal unitários e todos os elementos abaixo dela nulos. No sistema acima, tem-se:
Após a triangularização o sistema anterior resulta:
onde x indica um elemento possivelmente diferente de zero.
O vetor de correntes também será modificado passando a constituir o vetor , de acordo com as
operações matemáticas feitas na matriz para triangularizá-la.
O procedimento a ser seguido para triangularizar o sistema, deve partir da primeira linha em direção a última
(r = 1, 2, ..., n), e genericamente é o seguinte:
S Dividir a r-ésima linha por , originando:
S Substituir cada uma das linhas subseqüentes (i), i > r, pela diferença entre essa linha (i), e a r-ésima linha
modificada multiplicada por , ou seja:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
31
Pode-se notar que a operação de triangularização sobre uma linha qualquer (r) é equivalente a eliminar este
barramento (r), para o elementos da matriz tais que i,j > r.
A substituição de trás para frente, também conhecida como back substitution, consiste em obter
as incógnitas, que no caso são as tensões, de forma sucessiva, a partir da última das equações (do sistema
triangularizado) em direção a primeira, ou seja:
onde a incógnita está obtida diretamente da última equação. Este valor é substituído na penúltima
equação obtendo-se e assim sucessivamente. 
Genericamente tem-se:
As seguintes observações podem ser feitas:
a) Todo o desenvolvimento teórico anterior para a obtenção de uma coluna qualquer da matriz , partiu da
equação nodal e da definição dos elementos da matriz , consistindo em uma forma elegante de
demonstrar a sistemática adotada. Simplificadamente todo o desenvolvimento poderia ser feito a partir da
equação:
onde é a matriz identidade. Através do produto de matrizes, tem-se que uma coluna qualquer da matriz 
pode ser dada por:
onde corresponde a coluna (k) da matriz e um vetor onde todos os elementos seriam
nulos a exceção do elemento da posição (k) onde seria igual a 1. 
b) Pode-se obter a matriz completa bastando alterar os valores de para cada corrente
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
32
, e obter cada uma das colunas, uma de cada vez. Neste caso deve-se
guardar a seqüência de cálculos feitos para triangularizar a matriz , através de uma Tabela de Fatores,
visto que estas operações aritméticas deverão ser feitas a cada nova corrente utilizada.
c) A matriz normalmente já é montada e armazenada na forma triangularizada e compactada, ao invés
de proceder a estas técnicas após a sua montagem. Para aumentar a eficiência do processo de
triangularização deve-se utilizar-se de critérios de ordenação ótima dos barramentos. O número de operações
necessárias para triangularizar a matriz é da ordem de .
d) Caso se deseje obter a diferença de duas colunas da matriz (por exemplo, em cálculo de transitórios
eletromagnéticos, ou quando se deseja calcular curtos em vários barramentos simultaneamente), não é
necessário obter cada uma das colunas separadamente e depois fazer a diferença, mas pode-se obter este
resultado diretamente, bastando fazer o vetor de correntes :
 
Isto faz com que seja obtido a diferença entre as colunas (k) e (m), ou seja, . 
3 – Exercícios
Exercício 1
Montar a matriz e em seguida inverte-la para obter a matriz para o sistema cujos dados estão
apresentados na tabela abaixo.
Barramentos Terminais Resistência (pu) Reatância (pu) Susceptância Total(pu)
( 1 ) ( 2 ) 0,0250 0,0800 0,0400
Exercício 2
Um Sistema Elétrico de Potência composto de dois barramentos tem a seguinte matriz de impedância nodal:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
33
Se uma impedância Z = j0,40 pu é conectada entre os barramentos ( 1 ) e ( 2 ), qual é a nova matriz ? 
Exercício 3
Seja o Sistema Elétrico de Potência cujo diagrama unifilar com os valores das impedâncias dos ramos, em pu
e numa mesma base de potência, está mostrado na figura a seguir. Utilizando apenas as definições de
impedância no ponto de um barramento e impedância de transferência entre barramentos, determine as colunas
relativas aos barramentos ( 2 ) e ( 4 ) da matriz de impedância nodal do sistema.
Exercício 4
Seja o Sistema Elétrico de Potência cujo unifilar é mostrado na figura abaixo, com os dados em pu, todos na
mesma base apresentados na tabela anexa. Obter a coluna correspondente ao barramento (3) da matriz 
deste Sistema Elétrico de Potência.
Barramentos Terminais Reatância (pu)
( 1 ) ( 0 ) 0.220
( 1 ) ( 2 ) 0.115
( 1 ) ( 3 ) 0.075
( 1 ) ( 4 ) 0.090
( 0 ) ( 2 ) 0.200
( 2 ) ( 4 ) 0.125
( 3 ) ( 4 ) 0.135
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
34
Exercício 5
Um Sistema Elétrico de Potência é composto de 7 barramentos. A matriz deste sistema, em pu, na base
100 MVA, onde foram desprezados as resistências dos ramos é a seguinte:
P
e
d
e-
s
e
o
b t
er
a diferença entre as colunas correspondentes aos barramentos (2) e (6) de sua matriz .
Exercício 6
Seja o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura a seguir.
Obter a coluna referente ao barramento (5) das matrizes de impedância nodal de seqüência positiva, negativa
e zero deste sistema. Os dados em pu, na mesma base de potência estão apresentados na tabela abaixo. As
linhas de transmissão LT24 e LT45 caminham juntas em uma mesma faixa de passagem por um trecho que
corresponde a 10% da LT24 e 15% da LT45, sendo a impedância mútua de seqüência zero de 0.10 [pu]
.
Componente Seqüência Positiva (pu) Seqüência Negativa (pu) Seqüência Zero (pu)
G1 0,25 0,16 0,12
G2 0,28 0,19 0,16
LT24 0,40 0,40 1,60
LT25 0,30 0,30 1,10
LT45 0,30 0,30 1,15
T1 0,10 0,10 0,10
T3 0,10 0,10 0,10
T2 0,10 0,10 0,10
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
35
4 – Referências
 1 - C.Ferreira, Redes Lineares em Sistemas Elétricos de Potência, Editora Canalenergia, 2005.
 2 - D.S.Ramos, E.M.Dias, Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 1, Guanabara 2, 1982.
 3 - Glenn W.Stagg, Ahmed H.El-Abiad, Computer Methods in Power System Analysis, McGraw-Hill Book
Company, 1968.
 4 - H.E.Brown, Grandes Sistemas Elétricos - Métodos Matricias, LTC - EFEI, 1977.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
36
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME
PERMANENTE EM SISTEMASELÉTRICOS DE
POTÊNCIA 
1 – Introdução
O cálculo do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load flow, em um SEP consiste
essencialmente na determinação do estado de operação desta rede dada sua topologia e uma certa
condição de carga.
Este estado de operação consiste de:
! determinação das tensões e ângulos para todos os barramentos do sistema;
! determinação dos fluxos de potência ativa e reativa através dos ramos do sistema;
! determinação das potências ativas e reativas, geradas, consumidas e perdidas nos diversos
elementos do sistema.
Esta análise de fluxo de potência é um dos estudos mais frequentes realizados em SEP. Ele por si
só pode constituir um estudo próprio ou fazer parte de um outro estudo mais complexo, por exemplo:
! estudo próprio: planejamento da operação, expansão do sistema, etc;
! outros estudos: parte dos estudos de estabilidade, de otimização, de confiabilidade, etc.
Como exemplo de aplicação de simulações de fluxo de potência, pode-se citar:
! estudos para planejamento do SEP, verificando as providências a serem tomadas com o
crescimento do sistema;
! avaliação das condições operativas do SEP, ou seja, analisar as condições operativas da rede em
regime normal e de emergência;
! estudos de avaliação e determinação de medidas corretivas para a operação do sistema em
condições de emergência, como, por exemplo, ajustes de taps de transformadores, condições de
chaveamento de bancos de capacitores, redespacho de geração das unidades do sistema,
sincronização de unidades fora de operação, etc;
! determinação dos limites de transmissão de potência do SEP;
! etc.
Até 1930 todos os cálculos de fluxo de potência eram feitos à mão, o que exigia inúmeras
simplificações e impossibilitava a análise de grandes sistemas, devido a quantidade de cálculos
matemáticos necessários para a obtenção de resposta, mesmo para pequenos sistemas. Entre 1930
e 1956 foram usados analisadores de rede para resolver problemas de fluxo de potência. Os
analisadores de rede (Network Calculators - Westinghouse ou Network Analysers - GE) são modelos
em miniatura da rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medida
de grandezas elétricas no modelo. O problema básico da imprecisão e lentidão de cálculo continuou
e só pode ser sanado mais modernamemente com a utilização de computadores digitais. As primeiras
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
37
tentativas tiveram sucesso limitado, visto que os programas apenas automatizavam os cálculos dos
métodos manuais, usando equações de laços e de malhas, e não explorando adequadamente a
capacidade do computador. 
Em 1954, L.A. Dunstan no artigo Digital Load Flow Studies, apresentou uma primeira análise de redes
utilizando computadores digitais. Em 1956, Ward e Hale apresentaram o primeiro programa de
computador, realmente bem sucedido, para solução de fluxo de potência, no artigo Digital Computer
Solution of Power-Flow Problems. O programa apresentado por Ward e Hale utilizava a formulação
nodal do problema e resolvia as equações não lineares que descreviam a rede, por um método
iterativo de Newton modificado. Os programas que imediatamente se seguiram, utilizaram o método
de Gauss-Seidel. Com o sucesso do método de Ward e Hale um grande número de artigos de Glimm
e Stagg, de Brown e Tinney foram publicados sugerindo modificações nos algoritmos e incorporando
características adicionais aos programas computacionais. Na década de 60, com o crescimento dos
SEP e com a tendência de interligação dos mesmos, através de ligações em alta tensão, foi
aumentado rapidamente o número de ligações e de barramentos representativos do sistema. As
características do método de Gauss-Seidel fazem com que ele não se adapte bem a sistema
representados por um grande número de barras, de forma que se tornou necessário a pesquisa de
um outro método de solução de problemas de fluxo de potência. 
Após vários anos de pesquisa realizados pela Bonneville Power Administration (BPA) foi desenvolvido
um método extremamente bem sucedido de solução das equações de fluxo de potência através do
algoritmo de Newton-Raphson. O método se adaptou muito bem a grandes sistemas, como também
obtinha solução de problemas em que o método de Gauss-Seidel havia falhado.
Atualmente, o método de Newton-Raphson é o mais utilizado para a solução de problemas de fluxo
de potência. Desde sua primeira formulação ele vem sofrendo diversas complementações no sentido
de torná-lo cada vez mais poderoso. Novos métodos, utilizando algoritmos semelhantes ao de
Newton-Raphson também vem sendo desenvolvidos a fim de obter maior rapidez e menor memória
computacional, como por exemplo, os métodos desacoplados. 
Apesar de todos estes métodos, a solução do problema do fluxo de potência continua sendo objeto
de muita pesquisa e estudo, visando o desenvolvimento de métodos de solução cada vez mais
poderosos, rápidos e confiáveis.
De uma maneira geral, o problema do fluxo de potência caracteriza-se por ser não linear e portanto
são necessários, conforme já comentado e se verá adiante, processos iterativos de cálculo numérico
para resolução do problema (por isso os métodos diretos de análise nodal ou de malhas, usados na
teoria de circuitos não podem ser utilizados). A não linearidade das equações decorre de certas
características da modelagem de alguns componentes do sistema. 
Na análise de fluxo de potência interessa-se em obter uma solução do sistema operando em regime
permanente senoidal, por isso a modelagem do sistema é estática, o que significa que as equações
e inequações representativas da rede são algébricas e não diferenciais. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
38
2 – Suposições e Aproximações
Nos cálculos de fluxo de potência comumente são feitas as seguintes simplificações:
! As cargas ativas e reativas nos barramentos do sistema são supostas constantes.
As cargas embora possam variar significativamente dentro de períodos longos de tempo, o fazem
de maneira lenta e gradual, quase imperceptível dentro de pequenos intervalos de tempo. Logo,
o resultado é obtido em um estudo é válido dentro de um intervalo de tempo razoável. Quando
ocorre variações de cargas muito elevadas basta alterar seu valor e efetuar uma nova simulação.
Em algumas situações especiais pode ser necessário modelar algumas características dinâmicas
das cargas. Isto pode acarretar a necessidade de modelos mais elaborados da mesma, de outros
componentes do sistema e também de modificações no algoritmo de resolução das equações do
sistema. Por exemplo:
! carga de retificação (fábrica de alumínio, etc);
! carga de metrô, trem, etc;
! outros (efeito corona em linhas de transmissão, etc).
Uma outra modelagem de cargas pode ser feita através de representação por corrente constante
ou impedância constante.
! Admite-se que a rede opere de maneira equilibrada em suas três fases e, portanto, uma
representação unifilar é suficiente
Esta simplificação não afeta de forma significativa a precisão dos resultados.
Caso ocorra situações de desequilíbrio na rede, tais como:
! linhas não transpostas, ou não totalmente transpostas;
! cargas monofásicas ou bifásicas de elevada potência, tais como, fornos elétricos, ferrovias, etc,
em corrente alternada;
! faltas assimétricas de um modo geral, tais como defeitos fase-terra, dupla fase, dupla fase-terra,
bem como abertura de condutores;
! estudos mais sofisticados de estabilidade e proteção;
! etc;
será necessário a análise através de um fluxo de potência trifásico, onde são representados todas
as três fases do sistema.
! Os elementos passivos do sistema são representados com parâmetros concentrados
Com isso é evitado a necessidade de equações diferenciais para representação dos elementos.
No presente curso, a atenção será focalizada no fluxo de potência convencional, onde as três
hipóteses acima são consideradas aceitáveis.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
39
3 – Representação dos Componentes
3-1 – Geradores
São representadospelas potências ativa e reativa (indutiva ou capacitiva) que devem entregar ao
barramento que estão conectados, como mostra a figura 1.
Figura 1 – Representação do gerador para estudos de fluxo de potência
Estas potências podem ser conhecidas (especificadas) ou então serem obtidas como resultado do
fluxo de potência.
3-2 – Cargas
São representadas pelas potências ativa e reativa consumidas, supostas constantes, como ilustrado
na figura 2.
Figura 2 – Representação da carga, como potência constante, para estudos de fluxo de potência
Como exemplo de cargas de potência constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos motores
síncronos e de indução (com restrições) e as parcela reativa dos motores síncronos (sem grande
precisão).
Algumas cargas podem ser representadas como uma impedância constante, ou seja, por uma
admitância ligada do barramento à referência, como mostra a figura 3.
Figura 3 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
 de fluxo de potência
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
40
Logo:
onde:
 - admitância ligada do barramento a referência (pu);
 - potência ativa em MW absorvida pela carga a tensão em kV;
 - potência reativa em MVAr absorvida pela carga a tensão em kV;
 - potência de base em MVA;
 - tensão de base em kV.
Como exemplo de cargas de impedância constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos aquecedores
e das lâmpadas incandescentes (aproximadamente), sendo a parcela reativa nula.
Também outras cargas podem ser representadas como cargas que absorvem corrente constante,
como mostra a figura 4.
Figura 4 – Representação da carga, como corrente constante, para estudos
 de fluxo de potência
Logo:
Neste tipo de carga as grandezas consideradas fixas são o módulo da corrente que flui pela
mesma e o defasamento angular dessa corrente em relação a tensão do barramento de
alimentação:
sendo:
onde e são, respectivamente, os ângulos de fase da tensão e da corrente, ambos expressos
em relação à mesma referência.
Como exemplo de carga de corrente constante, pode-se citar, as parcelas ativa das lâmpadas
fluorescentes e de certos tipos de cargas de retificação em escala industrial. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
41
3-3 – Linhas de Transmissão
São representadas pelo seu circuito equivalente, conforme ilustrado na figura 5.
Figura 5 – Representação da linha de transmissão para estudos de fluxo de potência
No caso de linhas de transmissão curtas ( até 40 km), é comum desprezar as susceptâncias
capacitivas no circuito equivalente.
As linhas médias e longas devem ser representadas pelo circuito equivalente completo. 
No caso das linhas longas os parâmetros devem ser corrigidos (teoria da linha longa) e podem ser
obtidos através dos parâmetros , , e da linha considerada como um quadripolo como pode
ser visto na figura 6.
Figura 6 – Representação da linha de transmissão por um quadripolo
onde:
sendo:
 - impedância característica da linha de transmissão (pu);
 - constante de propagação da linha de transmissão (rad).
Se a linha possuir reatores, é comum representá-los nos barramentos terminais da mesma, como se
fossem reatores de barra, como mostra a figura 7.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
42
Figura 7 – Representação da linha de transmissão com reatores em seus extremos
Este procedimento evita tornar assimétrico o circuito equivalente da linha, o que iria ocorrer caso
os reatores forem diferentes nas duas extremidades da linha (ou só existissem em uma delas) e
fossem incorporados à susceptância shunt da linha, e facilita a obtenção do fluxo reativo consumido
pelos reatores (o que não ocorre caso os reatores sejam incorporados à linha).
3-4 – Transformadores de 2 enrolamentos
Normalmente, são representados pela sua impedância de dispersão.
Se o transformador não apresenta taps, coloca-se simplesmente a impedância de dispersão entre os
barramentos terminais do transformador, como mostrado na figura 8, onde é sua impedância de
dispersão em pu referida à potência de base.
Figura 8 – Representação do transformador para estudos de fluxo de potência
Se o transformador apresenta somente taps variáveis em fase, o modelo está apresentado na figura
9.
Figura 9 – Representação do transformador com taps para estudos de fluxo de potência
cuja representação está apresentada na figura 10.
Figura 10 – Modelo do transformador com taps em fase
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
43
sendo:
onde:
 - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
 - tensão de base do barramento (i);
 - tensão de base do barramento (k).
Pode-se observar no modelo acima que ao se elevar o tap do transformador do lado k (pk > 1), por
exemplo, para aumentar a tensão deste barramento, acarretará que a susceptância do barramento
(k) para a terra resulta em um valor positivo (capacitivo) e do barramento (i) para a terra um valor
negativo (indutivo), tendendo a aumentar a tensão do barramento (k) e a diminuir a do barramento
(i), o que está de acordo com o esperado.
A figura 11 mostra o transformador com taps variáveis em fase e quadratura (ou só em quadratura).
Figura 11 – Representação do transformador com taps em fase e quadratura,
para estudos de fluxo de potência
Neste caso não é possível a determinação de um circuito equivalente, sendo o transformador
representado na forma matricial:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
44
onde:
 - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
 p - tap em fase do transformador do enrolamento do lado k;
 q - tap em quadratura do transformador do enrolamento do lado k.
3-5 – Transformador de 3 enrolamentos
Os transformadores de 3 enrolamentos podem ser representados por seu equivalente em triângulo
ou em estrela. 
A representação pelo equivalente em estrela acarreta o aparecimento de um nó fictício entre os
barramentos terminais do transformador, como pode ser visto na figura 12.
Figura 12 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em estrela, 
para estudos de fluxo de potência
sendo:
onde:
 - impedância i-k do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância k-j do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância j-i do transformador referida à potência de base (pu).
As impedâncias , e são obtidas de ensaios de curto-circuito realizados nos três
enrolamentos do transformador. Todas a impedâncias devem estar em pu ou então referidas ao
mesmo lado do transformador.
Nesta representação o transformador de três enrolamentos é representado por três transformadores
de dois enrolamentos e se o mesmo apresentar taps variáveis eles podem ser representados da
maneira vista na seção precedente.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
45
Uma outra maneira de representar o transformador de três enrolamentos é através de um circuito
ligado em triângulo. Nesta representação não é necessário a criação do barramento fictício, como
pode ser observado na figura 13.
Figura 13 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, 
para estudos de fluxo de potência
As impedâncias entre os barramentos terminais do transformador podem ser obtidas dos valores da
representação em estrela:
deve-se observar que estas admitâncias são diferentes das obtidas no ensaio do transformador.
Se o transformador apresentar taps variáveis em fase, tem-se o equivalente mostrado na figura 14.
Figura 14 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, 
com taps variáveis em fase
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
46
sendo:
onde:
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado j;
 - tensão de base do barramento (i);
 - tensão de base do barramento (k);
 - tensão de base do barramento (j);
3-6 – CompensadoresSíncronos
São representados como geradores síncronos com a potência ativa zerada, como indicado na figura
15.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
47
Figura 15 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
 de fluxo de potência
Tem-se:
onde:
 - potência complexa em MVA (ou pu) gerada;
 - potência reativa em MVAr (ou pu) gerada.
3-7 – Compensadores Estáticos
Existem vários tipos de compensadores estáticos, como por exemplo:
! capacitores e reatores chaveáveis mecanicamente;
! reatores saturáveis;
! capacitores e reatores controlados (tiristores);
! etc. 
Um modelo básico simplificado de um compensador estático e de sua característica estão
apresentados na figura 16.
Figura 16 – Representação do compensador estático para estudos de fluxo de potência
Quando o compensador estático está funcionando dentro de sua faixa de controle ele é representado
por uma reatância (XCE) alocada entre o barramento do sistema no qual o compensador está
conectado e um barramento auxiliar com tensão fixa no valor a ser controlado. A reatância XCE varia
tipicamente entre 0 e 5% e pode ser obtida das características dos componentes e da faixa de ajuste.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
48
Se XCE for igual a zero o compensador é representado como um síncrono, fixando a tensão do
barramento no qual está conectado. Este modelo está apresentado na figura 17.
Figura 17 – Representação do compensador estático, dentro de sua faixa de controle,
para estudos de fluxo de potência
Quando o ponto de operação está fora da região de controle o compensador estático é representado
como um elemento shunt com uma susceptância (B), que depende do ponto de operação (item 3-9),
como mostrado na figura 18.
Figura 18 – Representação do compensador estático, fora de sua faixa de controle,
para estudos de fluxo de potência
Para:
 
Dependendo do tipo de estudo a ser feito o compensador pode ser representado da mesma maneira
que os compensadores síncronos.
3-8 – Capacitores Série
São representados como uma reatância negativa, como pode ser visto na figura 19.
Eventualmente os capacitores série também podem ser representados englobando sua reatância à
reatância do circuito π equivalente da linha de transmissão. Esta representação além de não ser
muito correta, tem o inconveniente de não possibilitar obter a tensão nos terminais do capacitor.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
49
Figura 19 – Representação do capacitor série para estudos de fluxo de potência
3-9 – Capacitores e Reatores de Barra
São representados pela potência reativa fornecida por eles, sob tensão nominal, no barramento no
qual estão conectados, como mostra a figura 20.
Figura 20 – Representação do reator e capacitor de barra para estudos
 de fluxo de potência
No caso de capacitores a potência reativa fornecida é considerada positiva e no caso de reatores é
considerada negativa.
Apesar dos capacitores e reatores apresentarem uma perda de potência ativa, que é traduzido pelo
seu fator de qualidade, ela é desprezada nos estudos de fluxo de potência.
Como a potência fornecida por tais elementos é função do quadrado da tensão (impedância
constante) ela não fica constante durante a operação do sistema. Por esta razão, quando se fornece
a potência nominal do elemento se fornece também a tensão para o qual esta potência está referida,
possibilitando obter a susceptância do elemento, valor este constante. Para uma condição qualquer
de tensão, tem-se:
onde:
 - potência reativa fornecida pelo elemento ao barramento no qual está conectado (pu);
 - módulo da tensão no barramento (pu);
 - susceptância do elemento (pu);
Na condição nominal de operação do elemento, tem-se que a tensão é igual a 1.0 pu, logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
50
A susceptância será conectada entre o barramento (k) e a terra, como mostra a figura 21.
Figura 21 – Modelo do reator e capacitor de barra
O valor de é adicionado apenas ao elemento da matriz relativo ao barramento (k).
4 – Formulação Matemática do Problema
Teoricamente existem uma infinidade de maneiras de descrição analítica das redes elétricas, a partir
das leis de Kirchhoff para os nós e malhas, e das relações entre a tensão e corrente na resolução de
fluxo de potência. Mas, na prática, todos os métodos atuais de solução de fluxo de potência usam a
análise nodal na sua formulação, com a diferença que são consideradas as potências injetadas nos
nós (barras) do sistema, ao invés das correntes.
Seja um barramento qualquer de um SEP mostrado na figura 22.
Figura 22 – Barramento de um SEP
onde:
 - potência complexa gerada no nó (k);
 - potência complexa consumida no nó (k);
 - potência complexa transferida do nó (k) para os demais nós da rede (incluindo a terra) através
 do sistema de transmissão.
 
O equilíbrio de potências (Primeira Lei de Kirchhoff) no nó (k) do sistema pode ser dado por:
Como já visto, a equação nodal de uma rede de n nós, em termos da matriz é dado por: 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
51
onde:
 - matriz de admitância nodal do sistema, de ordem n x n; 
 - vetor das tensões nodais do sistema, contendo n elementos;
 - vetor das correntes injetadas nos nós do sistema, contendo n elementos.
Como já comentado o objetivo fundamental do cálculo de um fluxo de potência é a determinação das
tensões nodais (dos barramentos) do sistema, ou seja, o vetor . Se o vetor fosse conhecido,
o problema estaria resolvido (bastaria multiplicar por ). Ocorre, no entanto, que não é
conhecido, uma vez que as gerações e cargas são representadas através de potências. A potência
complexa injetada em um barramento (k) de um sistema, denominada , é dada pela diferença
entre a potência complexa gerada no barramento (k), , e a potência complexa consumida neste
barramento , valores estes constantes. 
Logo:
Tem-se que esta potência complexa injetada é exatamente a potência disponível para ser transmitida
aos demais barramentos do sistema:
A potência injetada relaciona-se com a corrente complexa injetada no nó (k), por:
onde é a tensão do nó (k).
Usando a equação acima para cada barramento do sistema pode-se obter o vetor em função
das potências injetadas e das tensões nos barramentos:
Embora as equações anteriores sejam lineares, a introdução da equação acima leva a um modelo
não linear. 
Finalmente:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
52
Para um barramento qualquer:
Pode-se notar que a cada barramento do sistema corresponde uma equação complexa. Estas
equações podem ser separadas em suas partes real e imaginária, cada uma delas dando origem a
duas equações resultantes reais. Assim para o nó (k) resulta:
Logo, um sistema com n barramentos será modelado por 2n equações reais, não lineares.
Pode-se observar que cada barramento do sistema fica caracterizado por seis grandezas:
! a potência ativa gerada, ;
! a potência reativa gerada, ;
! a potência ativa consumida, ;
! a potência reativa consumida, ;
! o módulo da tensão, ;
! o ângulo de fase da tensão, .
Como no fluxo de potência convencional as cargas ativas e reativas (potência consumidas) são
supostas conhecidas, restam em cada barramento (nó), 4 variáveis a serem determinadas: as
potências ativa e reativa geradas e o módulo e ângulo de fase da tensão. Logo, o número total de
variáveis do problema é, então 4n.
Então para tornar possível uma solução das equações acima, e conseqüentemente do fluxo de
potência, tem-se que especificar a priori, para cada barramento (nó) do sistema, duas das quatro
variáveis, a fim de reduzir o número de incógnitas ao número de equações.
À primeira vista, pode parecer que o mais lógico seria especificar os valores das potências ativas e
reativas geradas em cada barramento, deixando como incógnitas o módulo e o ângulo de fase da
tensão, já que o objetivo básico do fluxo de potência é a determinação das tensões dos barramentos
do sistema. Isto, no entanto, não é possível de ser feito porque em todosistema elétrico operando
em estado permanente (situação do fluxo de potência) deve existir equilíbrio entre a geração, o
consumo e as perdas de energia. Este equilíbrio é dado por:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
53
onde:
 - potência complexa total gerada;
 - potência complexa total consumida;
 - potência complexa total perdida.
Embora as cargas ativas e reativas sejam conhecidas a priori, as perdas ativas e reativas do sistema
só ficam conhecidas se forem conhecidas as tensões de todos os barramentos do sistema, o que só
ocorre após a solução do fluxo de potência. Conseqüentemente não se pode especificar os valores
de todas as potências ativas e reativas geradas no sistema, pelo menos uma potência ativa e reativa
devem ficar sem especificação para que as perdas do sistema possam ser supridas.
Dependendo de quais variáveis são especificadas e quais são consideradas como incógnitas, pode-
se definir três tipos de barramentos (nós):
! Barramentos (Nós) de Carga ou Tipo PQ
São barramentos (nós) onde as potências ativa e reativas geradas são especificadas e o módulo
e o ângulo da tensão são as variáveis a serem determinadas na solução do fluxo de potência:
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos de suprimento a consumidores;
S barramentos de chaveamento;
S barramentos fictícios criados para representar certos pontos de interesse no fluxo de carga,
embora fisicamente não sejam barramentos propriamente ditos, como, por exemplo, pontos
intermediários entre as barras terminais da linha de transmissão, nós criados por circuitos
equivalentes de transformadores, etc.
No caso de haver geradores conectados a este tipo de barramento, fixa-se também as potências
ativas e reativas geradas, e . Este tipo de procedimento é usado, normalmente, para
pequenos geradores do sistema.
! Barramentos (Nós) de Geração ou Tipo PV ou de Tensão Controlada
São barramentos (nós) onde a potência ativa e o módulo da tensão são especificados, ficando
como incógnitas a potência reativa gerada e o ângulo de fase da tensão:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
54
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos do sistema onde estão conectados geradores;
S barramentos do sistema onde estão conectados compensadores síncronos e compensadores
estáticos.
Na realidade, um barramento no qual esteja conectado uma máquina síncrona tanto pode ser
considerado como barramento tipo PV como tipo PQ, dependendo de se especificar o módulo da
tensão ou a potência reativa gerada, respectivamente. Prefere-se especificar o módulo da tensão
(tipo PV) por que a faixa de valores aceitáveis para o módulo da tensão de um barramento é muito
mais restrita do que a dos valores de potência reativa gerada pelos geradores e síncronos.
Caso exista uma carga neste barramento, utiliza-se o valor durante a
solução e o valor somente é utilizado após a obtenção do fluxo de potência, pois a potência
reativa total injetada é uma das incógnitas a serem obtidas.
! Barramento (Nó) de Referência ou Oscilante ou Compensador ou de Balanço ou "Swing"
ou "Slack" ou de Folga
É um barramento (nó) onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são especificados e as
potências ativas e reativas geradas são as variáveis a serem determinadas:
Este barramento tem duas funções principais:
S permitir que pelo menos uma potência gerada, ativa e reativa, não sejam especificadas, de tal
modo que as perdas ativas e reativas do sistema que também são incógnitas e só serão
conhecidas no final da solução, possam ser incluídas no balanço de potência do sistema, após
a solução do fluxo de potência;
S fornecer uma referência para os ângulos de fase das tensões dos demais barramentos do
sistema. Normalmente, as equações usadas nos métodos de solução são escritas em função
das diferenças de ângulo de fase das tensões em barramentos adjacentes, por isso, torna-se
necessário fixar um desses ângulos para que os demais possam ser determinados (pois uma
mesma distribuição de fluxos no sistema pode ser obtida ao adicionar uma constante qualquer
a todos os ângulos de fase dos barramentos do sistema, o que mostra a indeterminação nas
variáveis angulares, tornando necessária a adoção de uma referência angular). Usualmente,
fixa-se o valor zero para o ângulo de fase da tensão do barramento oscilante, embora não seja
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
55
obrigatório.
O barramento oscilante não é (a não ser em casos especiais) a referência para os módulos das
tensões. Como visto na formação da matriz , esta referência é, geralmente, a terra.
Em um sistema totalmente conexo, ou seja, que não apresenta subsistemas desconexos, apenas
um barramento oscilante é especificado, mas se o sistema for constituído por vários subsistemas
desconexos ou interligados apenas em corrente contínua, haverá necessidade de tantos
barramentos oscilantes quantos forem os subsistemas.
A escolha da barra oscilante deve ser feita entre os nós de geração do sistema, e deve ser
escolhido, se possível, um nó com potência suficiente para atender os requisitos de potência
necessários. Também, a fim de evitar grandes diferenças entre os valores dos ângulos de fase de
barramentos situados nos extremos do sistema deve escolher um barramento, do ponto de vista
elétrico, o mais central possível.
Os três tipos de barras acima são as mais freqüentes e mais importantes que aparecem na
formulação do fluxo de potência. Existem algumas situações particulares, como:
! controle de intercâmbio entre áreas;
! controle de tensão de uma barra de carga através do módulo da tensão de uma barra remota ou
de taps de transformadores (LTC);
! barra de tensão controlada com limites de geração reativa especificada, ou barra de carga com
controle de tensão;
! etc;
nos quais são feitos formulações especiais ou mudanças de um tipo de barramento em outro durante
o processo de resolução do fluxo de potência.
Do que foi analisado até o presente momento, pode-se concluir que o cálculo do fluxo de potência
exige a solução de um sistema de equações algébricas não lineares. Os recursos matemáticos para
resolução de equações não lineares são poucos e além disso tem-se o fato de geralmente não ser
possível dizer se um sistema de equações não lineares tem ou não solução, se a solução obtida é
única ou se existem várias outras soluções matematicamente válidas, se um determinado método de
solução é capaz de obter alguma ou todas as soluções possíveis ou ainda qual solução será obtida.
Todos os problemas acima ficam atenuados pelo fato de que as faixas de valores que podem assumir
as variáveis envolvidas no fluxo de potência, praticamente são as mesmas para a grande maioria dos
Sistemas de Potência, o que permite uma análise dos resultados obtidos e procurando-se corrigir as
distorções que aparecem.
Antes de analisar os métodos iterativos mais importantes para a resolução do fluxo de potência serão
vistas as expressões que, utilizando os valores de tensão obtidos, permitem o cálculo dos fluxos de
potência ativa e reativa em todos os ramos do sistema, das perdas ativas e reativas em cada ramo
e no sistema como um todo, das potências ativa e reativa geradas no barramento oscilante e das
potências reativas geradas nos barramentos PV. Vale enfatizar que estes cálculos são todos diretos
(não iterativos), uma vez conhecidas as tensões nodais do sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
56
! Cálculo dos Fluxos de Potência Ativa e Reativa dos Ramos
Seja a figura 23 que ilustra um ramo representado por uma linha de transmissão ligando dois
barramentos (i) e (k) de um sistema.
Figura 23 – Ramo representativo da linha de transmissão 
onde:
 - tensão complexa do barramento (i);
 - tensão complexa do barramento (k);
 - resistência série total da linha, em módulo;
 - reatância série total da linha, em módulo;
 - susceptância shunt total da linha, em módulo.
Tem-se:
onde e são a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (i), fluem pelo
ramo