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ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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CAPÍTULO 1
CARACTERIZAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA 
1 – Os Sistemas Elétricos de Potência e seus Problemas
Segundo o prof. Elgerd em seu livro “Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica” [1], o objetivo de um
Sistema Elétrico é de gerar energia elétrica em quantidades suficientes e nos locais mais apropriados, transmiti-
la em grandes quantidades aos centros de carga e então distribui-la aos consumidores individuais, em forma
e quantidade apropriada, e com o menor custo ecológico e econômico possível. Mas tudo isto pode ser resumido
em poucas palavras: a finalidade básica de todo Sistema Elétrico de Potência (SEP) é atender aos seus usuários
com uma qualidade elevada de serviço a baixo custo.
Uma qualidade elevada de serviço significa:
S variação de tensão e freqüência dentro dos limites aceitáveis (critérios);
S operação dos equipamentos dentro de faixas normais;
S operação com alto grau de confiabilidade;
S operação em situações de emergência sem grandes alterações para os usuários;
S operação adequada sob várias condições diárias de carga;
S geração, transformação, transmissão e distribuição de energia sem causar danos ao meio ambiente;
S etc. 
Um baixo custo significa que o preço do kW (potência) e do kWh (energia) devem ser os mais baixos possíveis.
Para isto são necessários a realização de estudos tanto técnicos quanto econômicos, no que se refere a:
S planejamento e projeto de novos sistemas elétricos: os novos sistemas elétricos a fim de atender a cargas
futuras em sistemas existentes ou novas cargas que entram em operação devem ser planejados e projetados
de modo a atender a certos critérios e escolhidas as melhores alternativas;
S planejamento da ampliação de sistemas já existentes: devido ao crescimento anual da carga, impõe-se a
instalação de novas usinas geradoras e também reforços nos sistemas de transmissão e distribuição
(transformadores, reatores, capacitores, etc) e verificação de até quanto o sistema existente é capaz de
atender (dentro dos critérios) a uma dada projeção de carga;
S planejamento da operação e operação de sistemas: os estudos visam definir a maneira de se operar o
sistema, ajustar taps de transformadores, chavear bancos de capacitores e reatores, definir níveis de tensão,
carregamento de equipamentos, etc;
S distribuição de energia elétrica.
Para realizar os estudos acima a análise do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load-
flow desempenha um papel muito importante e são básicos para uma série de outros estudos, tais como,
transitórios eletromecânicos, transitórios eletromagnéticos, etc.
Os estudos de fluxo de potência são efetuados para verificar o comportamento do sistema em regime
permanente, ou seja, para uma dada condição de geração e carga especificada, visando a determinação dos
níveis de tensão nos barramentos do sistema e dos fluxos de potência nas linhas de transmissão e
 
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transformadores. Estes estudos são feitos tanto em condição normal quanto de emergência:
S operação normal - o sistema apresenta todos os componentes em serviço carregados de acordo com
despacho estabelecido. São feitos para várias condições de carga, normalmente, carga máxima (pesada)
e carga mínima (leve). A maior finalidade é verificar se os critérios estabelecidos são respeitados (tensão,
carregamento, geração);
S operação de emergência - verifica a viabilidade do sistema continuar operando dentro de critérios
estabelecidos para esta situação, sem algum equipamento (transformador, gerador, etc) ou linha de
transmissão.
Nos estudos de fluxo de potência podem ser incluídos também algumas rotinas de otimização, como
minimização de perdas, despacho ótimo das unidades geradoras, entre outros.
O estudos de curto-circuito, visam a determinar as correntes e tensões de falta, a fim de fornecer subsídios
para outros estudos:
S definição das características nominais dos equipamentos;
S verificação dos esforços mecânicos que poderão ser submetidos os barramentos, transformadores e
geradores;
S calibração de relés e ajustes de proteção;
S sobretensões no sistema;
S outros.
Complementares aos estudos acima (fluxo de potência e curto-circuito) outros estudos são feitos na análise de
sistemas elétricos, tais como:
S transitórios eletromecânicos (estabilidade);
S transitórios eletromagnéticos;
S confiabilidade;
S outros. 
Os estudos econômicos visam a minimizar o custo total de produção (geração, transmissão e distribuição) de
energia elétrica, ou seja, visam a manter uma relação razoável entre o que paga o consumidor pela energia e
potência consumida e o que custa a concessionária este fornecimento (geração, transmissão, distribuição,
equipamentos, operação, manutenção,etc). Por exemplo:
S em planejamento de sistemas, a alternativa mais vantajosa economicamente será aquela que resultar no
menor valor presente dos investimentos;
S procura-se operar o sistema distribuindo de forma mais econômica a energia entre as usinas (e, entre as
unidades geradoras), minimizando perdas, operando adequadamente os reservatórios, etc.
1.2 -Estrutura Básica do Sistema Elétrico de Potência
Classicamente pode-se caracterizar um Sistema Elétrico de Potência como sendo uma rede elétrica
composta de centrais geradoras (hidráulicas, térmicas, nucleares, eólicas, geotérmicas, etc), sistemas
de transformação, transmissão e distribuição e cargas. 
Inicialmente os sistemas elétricos funcionavam em geral como unidades isoladas, mas atualmente
até o mais simples dos sistemas é constituído por uma rede de grande complexidade. O tamanho do
sistema dependerá de vários fatores de ordem econômica, política, histórica e tecnológica, mas
existem certas similaridades que se aplicam a maioria dos sistemas elétricos. Todos eles operam em
vários níveis de tensão, separados por transformadores, o que acarreta a seguinte divisão:
 
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S nível (sistema) de transmissão;
S nível (sistema) de subtransmissão;
S nível (sistema) de distribuição. 
A figura a seguir ilustra a estrutura básica de um Sistema Elétrico de Potência.
O sistema de transmissão lida com grandes blocos de potência e interliga as estações geradoras e todos
os pontos de maior carga do sistema. A rede de transmissão geralmente ocupa e se desenvolve por grandes
extensões territoriais, integrando-se aos sistemas de subtransmissão e distribuição mediante subestações
abaixadoras e possibilitando ainda interligar sistemas vizinhos, auferindo daí benefícios técnicos e econômicos.
As tensões de transmissão são elevadas, geralmente acima de 230 kV, e atingem atualmente (2000), no Brasil,
765 kV, mais já foram estudados projetos de transmissão em até 1050 kV.
O sistema de transmissão tem a função primordial de fazer a distribuição da energia gerada interligando as
usinas geradoras aos grandes centros de consumo. Em um sistema predominantemente hidráulico de geração
o sistema de transmissão propicia a otimização temporal e econômica da energia gerada. Os blocos de energia
transportados e as distâncias envolvidas são as maiores do sistema elétrico.
O sistema de subtransmissão é similar, na sua concepção básica e estrutural, ao sistema de
transmissão e distribui a energia às subestações de distribuição localizadas em uma certa área geográfica, num
nível de tensão que, em geral, varia de 69 a 138 kV. Eles recebem energia diretamente dos geradores ou por
meio das subestações de potência. 
 
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Apesar de estruturalmente o sistema de subtransmissão ser idêntico ao de transmissão esta divisão é importante
de ser feita visto as características do mercado consumidor. O sistema de subtransmissão enxerga um mercado
mais desagregado que a da transmissão. As fronteiras entre o sistema de transmissão e de subtransmissão é
difícil de ser caracterizada. 
O sistema de subtransmissão inicia-se nas subestações do sistema de transmissão e destina-se a supriràs
pequenas cidades ou agrupamento de cidades, o interior de grandes centros urbanos e a consumidores
industriais de grande porte. Os blocos de energia transportados e as distâncias envolvidas são de médio porte.
Finalmente, os sistemas de distribuição constituem as malhas mais refinadas da rede total. Os sistemas
de distribuição são alimentados a partir das subestações de distribuição e fornecem energia aos pequenos e
médios consumidores. Usualmente são usados dois níveis de tensão de distribuição: a tensão primária, ou de
alimentação (por exemplo, 13,8 kV e 34,5 kV) e a tensão secundária, ou de consumidor (por exemplo,
110/220 V).
O sistema de distribuição tem a finalidade de suprir os consumidores das aglomerações urbanas e os
consumidores rurais. A distribuição é feita predominantemente através de redes radiais aéreas existindo também
sistemas do tipo subterrâneo. Os blocos de energia transportados e as distâncias envolvidas são as menores
do sistema elétrico.
Normalmente o sistema de transmissão apresenta uma estrutura malhada, o que significa uma maior
combinação de percursos para o fluxo de potência servindo melhor aos seus propósitos. Esta situação propicia
melhores condições de funcionamento técnico e econômico, apesar de apresentar algumas desvantagens, como
por exemplo, um aumento na corrente de curto-circuito. Já os sistemas de subtransmissão e distribuição são
geralmente, mas nem sempre, de estrutura radial, mais óbvio no caso da energia fluir em uma direção
predominante. 
Ao conjunto interligado pelo sistema de transmissão, subtransmissão e de distribuição é dado o nome de rede
elétrica. Denomina-se sistema interligado ao sistema elétrico resultante da interligação dos sistema
elétricos de diversos concessionárias. 
Um planejamento adequado propicia aos Sistemas Elétricos de Potência um alto grau de redundância estrutural,
o que permite o mesmo suportar a maioria das contingências que eventualmente possam acontecer, sem que
causem nenhum dano maior aos consumidores.
No Brasil, em 1995, foi iniciada a restruturação do setor elétrico, visando substituir o antigo sistema verticalizado
por um sistema livre de formação de preços através do estabelecimento da concorrência nos segmentos da
expansão da geração e na distribuição de energia. A desverticalização do setor ficou consubstanciada na
separação das atividades de geração, transmissão, distribuição e comercialização. O sistema de transmissão
deverá permitir o livre acesso dos geradores aos consumidores, enquanto o sistema de geração deverá ser
operado com base na otimização global, ficando a cargo do Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS).
O ONS foi criado para substituir a estrutura cooperativa de coordenação da operação existente (Antigo GCOI)
e tendo como responsabilidade manter os ganhos sinérgicos resultantes da otimização da operação dos
sistemas de transmissão e geração de energia elétrica e viabilizar a expansão do sistema de transmissão a
mínimo custo. 
O ONS é uma entidade privada, criada em 26 de agosto de 1998, responsável pela coordenação e controle da
operação das instalações de geração e transmissão de energia elétrica nos sistemas interligados brasileiros.
O ONS é uma associação civil, cujos integrantes são as empresas de geração, transmissão, distribuição,
 
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importadores e exportadores de energia elétrica, e consumidores livres, tendo o Ministério de Minas e Energia
como membro participante, com poder de veto em questões que conflitem com as diretrizes e políticas
governamentais para o setor. Também tomam parte nessa associação os Conselhos de Consumidores.
No Brasil, existem mais de 1300 milhão de quilômetros de linhas de transmissão e distribuição, sendo em torno
de 64000 km acima de 230 kV, constituindo uma extensa rede elétrica. Com a restruturação do setor elétrico
surgiram, dentro do segmento de transmissão, novas definições para as partes da rede elétrica de interesse e
importância para o modelo. A primeira delas é a denominada rede básica, que constitui o conjunto de todas
as linhas de transmissão em tensões de 230 kV ou superior e subestações que contenham equipamentos em
tensões de 230 kV ou superior, integrantes de concessões de serviços públicos de energia elétrica. Também
poderão integrar a rede básica instalações em tensões inferiores a 230 kV, desde que aprovadas pelo poder
concedente, no caso a ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica). A rede que fica fora dos limites da rede
básica, mas cujos fenômenos que nela ocorrem têm influência significativa na rede básica é denominada rede
complementar. A união dessa duas redes com as usinas integradas, em que o ONS exerce diretamente,
através de um dos seus Centros de Operação, ou via Centro de Operação da empresa proprietária das
instalações, a coordenação, a supervisão e o controle da operação dos Sistemas interligados Brasileiros é
denominada de rede de operação. Esta rede de operação pode ser regional ou local , dependendo dos
fenômenos que possam ocorrer serem predominantemente de repercussão regional ou local.
A parte da rede de operação, constituída das usinas integradas e parte do sistema de transmissão utilizada para
a integração eletroenergética, cujos fenômenos são predominantemente de repercussão sistêmica é denominada
de rede de operação sistêmica.
Denomina-se, rede de simulação, a rede necessária de ser representada, para que os estudos e análises
de fenômenos na rede de operação apresentem resultados com o grau de precisão requerido para definição de
diretrizes e procedimentos para operação desta rede. Do mesmo modo, denomina-se rede de supervisão,
a rede de operação e outras instalações, cuja monitoração via sistema de supervisão, é necessária para a
tomada de decisões em tempo real, pelo ONS.
A figura a seguir ilustra a relação entre os tipos de rede comentados acima.
 
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3 – A Utilização dos Computadores Digitais na Análise dos Sistemas
 Elétricos de Potência
Antes de 1930, a análise dos Sistemas Elétricos de Potência eram feitos a mão. Com isto a análise ficava
limitada a sistemas pequenos e exigia grandes simplificações devido a quantidade e complexidade dos cálculos.
Muitas das análises eram feitas usando tabelas e diagramas comparativos de outros resultados obtidos e
confirmados.
De 1930 a 1956 foram utilizados analisadores de redes (Network Calculators - Westinghouse ou Network
Analysers - GE) para a análise dos sistemas elétricos. Estes nada mais eram do que modelos em miniatura da
rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medida de grandezas elétricas no
modelo. 
Na década de 50 foram feitas as primeiras tentativas para resolver o problema da análise de sistemas utilizando-
se os computadores digitais. O trabalho pioneiro foi desenvolvido por Ward e Hale [4], que impulsionou os
estudos de fluxo de potência e de curto-circuito.
O sucesso do método de Ward e Hale foi rapidamente aceito pela indústria elétrica e a partir dai foi sendo
modificado e acrescentado de novas características. 
Atualmente na realização dos estudos de análise de Sistemas de Potência são utilizados uma série de
programas computacionais.
Dentre os programas mais utilizados, sobressai o fluxo de potência, que chega a ser apontado como o programa
de análise de redes elétricas mais utilizado, consumindo a maior parcela de tempo computacional despendido
por programas desta natureza.
4 – Representação dos Componentes dos Sistemas Elétricos de Potência
Para realizar um estudo em um Sistema Elétrico de Potência deve-se inicialmente definir qual o
modelo de cada componente da rede adequado ao estudo desejado. A representação adequada de
cada elemento é fundamental, visto que a precisão dos resultados obtidos é função desta escolha.
A figura apresentada na página seguinte ilustra a estrutura de um Sistema Elétrico de Potência,
procurando evidenciar os componentes básicos do mesmo.
Nesta figura está representadoo chamado diagrama unifilar de um Sistema Elétrico de Potência.
Como os sistemas trifásicos são normalmente equilibrados não é necessário representar no esquema da rede
mais do que uma fase. O objetivo do diagrama unifilar é fornecer de maneira concisa os dados mais significativos
e importantes do Sistema de Potência. A quantidade de informações contida no diagrama depende do objetivo
desejado (por exemplo, em estudos de curto-circuito deve-se indicar a localização dos pontos onde o sistema
é aterrado, dos disjuntores e dos relés, o que não é importante nos estudos de fluxo de potência, onde deve-se
indicar as cargas, geração, etc).
O diagrama unifilar serve tanto para se ter uma visão geral do sistema, ou então para apresentar os dados do
sistema através do circuito equivalente de cada componente do mesmo, como também apresentar os resultados
obtidos de estudos realizados no mesmo.
 
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Atualmente já existem programas digitais de Análise de Sistemas Elétricos de Potência cujos dados podem ser
fornecidos através de um diagrama unifilar e que apresenta os resultados também em um diagrama unifilar. Este
recurso facilita a interação entre o computador e o usuário, além de auxiliar na análise dos resultados obtidos
e dos ajustes a serem feitas no sistema.
5 – Exercícios
Exercício 1
Responder:
a) Faça uma análise comparativa dos sistemas de transmissão e subtransmissão de um Sistema Elétrico de
Potência, enfocando os seguintes aspectos: finalidade, extensão geográfica, quantidade de energia
transportada e estrutura.
b) Por que em um Sistema Elétrico de Potência normalmente são encontrados vários níveis de tensão?
c) É preferível transmitir 10 MW em 100 V e 100 kA ou em 100 kV e 100 A? Por que?
d) Por que um sistema de transmissão malhado aumenta a confiabilidade do sistema elétrico e otimiza os
recurso energéticos?
e) Por que é difícil estabelecer uma fronteira entre o sistema de transmissão e de subtransmissão?
f) Faça uma análise da estrutura do Sistema Elétrico Brasileiro face a reformulação que está ocorrendo no
setor.
g) Com a restruturação do setor elétrico brasileiro quais estudos você identifica que devam ser feitos na análise
do mesmo.
 
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Exercício 2
Montar o diagrama de impedâncias em pu para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura abaixo,
usando como base os dados nominais do gerador.
Exercício 3
Seja o diagrama unifilar apresentado na figura a seguir onde estão plotados os resultados obtidos de um fluxo
de potência, com as tensões em pu e os fluxos de potência ativa e reativa em MW e Mvar, respectivamente.
Pede-se:
a) Completar os resultados faltantes no diagrama do fluxo de potência.
b) Obter a perda de potência ativa na ligação entre EAGLE e GOOSE.
c) Obter a perda de potência reativa na ligação entre GOOSE e OWL. Comente o valor encontrado.
d) Obter a perda de potência ativa e reativa total do sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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e) Considerando que o nível mínimo de tensão em um barramento é de 0.95 pu, qual o procedimento que você
adotaria com relação ao barramento de GOOSE.
f) Considerando que as máquinas geradoras não possam operar com um fator de potência menor que 0.9, qual
o procedimento que você adotaria com o gerador do barramento de DUCK.
g) Ao desligar o capacitor ligado no barramento de OWL, o que acontecerá com a tensão neste barramento?
h) Como você procederia para aumentar a tensão do barramento de EAGLE?
i) A seu ver o sistema opera satisfatoriamente? Em caso contrário qual(is) a(s) providência(s) você tomaria para
melhorar o desempenho. Justifique sua resposta.
Exercício 4
A figura abaixo destaca partes de um diagrama unifilar de um Sistema Elétrico de Potência, no qual estão
plotados alguns resultados obtidos de um estudo de fluxo de carga. Os fluxos de potência nos ramos, as
gerações e cargas estão plotados em MW e Mvar e as tensões em pu. Os demais dados do sistema estão
apresentados no diagrama. Pede-se obter as grandezas P1, P2, V3, θ3, P4 e Q4, indicadas.
6 – Referências
 1 - Olle I.Elgerd, Introdução à teoria de sistemas elétricos de energia, Mc Graw Hill do Brasil, 1978.
 2 - C.Ferreira, Redes Lineares em Sistemas Elétricos de Potência, Editora Canalenergia, 2005.
 3 - GCPS - Grupo Coordenador do Planejamento dos Sistemas Elétricos, Plano de Expansão 1999/2008,
Eletrobrás, julho de 1999.
 
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 4 - J.B. Ward e H.W. Hale, Digital Computer Solution of Power-Flow Problems, AIEE Transactions, Part III -
Power Apparatus and Systems, June, 398-404, 1956.
 5 - Willian D.Stevenson Jr, Elementos de Análise de Sistemas de Potência, Mc Graw Hill do Brasil, 1975.
 6 - D.S.Ramos, E.M.Dias, Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 1, Guanabara 2,
1982.
 
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CAPÍTULO 1
CARACTERIZAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA 
1 – Introdução
Uma rede elétrica pode ser representada por um conjunto de nós que conectam um conjunto de ramos, os quais
quando orientados formam uma rede topológica denominada de grafo orientado.
Os nós representam os barramentos terminais dos ramos que por sua vez, em Sistemas Elétricos de Potência,
serão linhas de transmissão, transformadores, reatores, representação de geradores e cargas. Freqüentemente
um elemento do circuito físico será representado por vários ramos, como, por exemplo, o modelo π de uma
linha de transmissão.
As seguintes convenções são adotadas:
S a um ramo sempre tem-se associado um sentido o qual representa o sentido positivo da corrente;
S a tensão no ramo tem sempre sentido oposto ao da corrente;
S quando um ramo possui fonte de tensão em série com uma impedância, essa fonte tem o sentido da corrente
(tensão de excitação);
S se não existe fonte de tensão ou outro elemento ativo no ramo, a tensão do ramo é igual a queda de tensão
através do ramo.
A solução das redes, que consiste na determinação das tensões nos nós e das correntes nos ramos pode ser
desenvolvida usando o método das malhas ou dos nós. Ambos podem ser aplicados em redes muito grandes
tais como as encontradas em estudos de Sistemas de Potência, como fluxo de potência ou curto-circuito.
A análise de malhas consiste na análise de uma rede elétrica visando o cálculo das correntes nos ramos dessa
rede, conhecidas as fontes de tensão e as impedâncias dos ramos.
Já a análise nodal consiste em calcular as tensões dos nós do circuito, em relação a uma certa referência,
sendo conhecidas as correntes injetadas nos nós e as admitâncias dos ramos.
Na análise nodal são eliminadas algumas dificuldades que a análise de malha apresenta, alem de ser mais fácil
sua implementação em computadores digitais. A análise a seguir será feita exclusivamente utilizando da análise
nodal. 
 
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2 – Matriz de Admitância Nodal
Na análise nodal de um circuito linear procura-se calcular as tensões de cada nó do circuito, com
relação a um nó de referência adotado, sendo conhecidas as correntes injetadas nos nós e as
admitâncias dos ramos.
Na análise nodal é usada a 1ª Lei de Kirchhoff, chamada lei de Kirchhoff das correntes, para a
obtenção das equações do circuito. Esta lei diz que: "A soma algébrica de todas as correntes
injetadas em um nó é nula" (como a carga elétrica não pode ser criada e nem destruída e tão pouco
armazenada em um nó significa que toda carga elétrica que chega a um nó por um ramo deve sair
por outro ramo, que é o princípio da conservação da carga).
Como conseqüência desta lei, caso seja escrito as equações nodais para todos os nós do circuito
obter-se-á um sistema de equações indeterminado. Logo, quando se utiliza da análise nodal sempre
se escolhe um dos nós do circuito como referência, eliminando-se a equação correspondente a este
nó, evitando com isso a singularidade (indeterminação) do sistema de equações (será diminuída uma
equação do sistema, mas também umavariável que terá o seu valor conhecido). Com isso as tensões
calculadas dos demais nós ficam com seus valores referidos ao da tensão do nó de referência.
Normalmente é escolhida a terra como referência.
Seja o circuito elétrico abaixo, parte de um sistema elétrico qualquer:
Da lei de Ohm, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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Aplicando a 1ª Lei de Kirchhoff:
S nó A: 
S nó B: 
S nó C: 
S nó D: 
Substituindo os valores e rearranjando:
Em forma matricial, o sistema de equações acima fica:
ou seja:
onde:
- vetor das tensões nodais (tensões dos barramentos);
- matriz de admitância nodal do circuito, também chamada matriz ;
- vetor das correntes injetadas nos nós (barramentos).
Da matriz pode-se notar que ela resultou bastante esparsa e simétrica, que é uma característica
desta matriz. Ela é uma matriz quadrada e sua dimensão corresponde a (n - 1) nós do circuito. 
Os elementos da diagonal da matriz são chamados admitâncias próprias dos nós enquanto
que os elementos de fora da diagonal são chamados de admitâncias mútuas ou de transferência
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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entre os nós. Por facilidade de representação, os elementos da matriz são representados pela
letra maiúscula Y enquanto a admitância dos elementos é representada pela letra minúscula y.
A maneira mais simples de construir a matriz é por inspeção, ou seja, através de uma
montagem direta, da seguinte forma:
S elementos da diagonal principal: são dados pela soma de todas as admitâncias conectadas ao nó
(i) do circuito:
S elementos de fora da diagonal principal: são dados pela admitância (ou pela admitância
equivalente, no caso de elementos em paralelo) conectada entre os nós (i) e (j), com sinal trocado:
Usando esta regra obtém-se para o circuito anterior:
Apesar da matriz ser facilmente montada por inspeção quando se tem um sistema pequeno,
o mesmo não acontece para sistemas de grande porte, onde a possibilidade de engano é grande. Um
método adequado, inclusive para uso em computadores digitais, envolve o uso de transformações
lineares. Este método pode ser encontrado em vários livros de Análise de Sistemas e não será
analisado no presente curso.
3 – Inclusão de Admitâncias Mútuas Assimétricas na Matriz de Admitância
 Nodal
 
Enquanto que para a maioria dos circuitos a matriz de admitância nodal é simétrica, em alguns casos isto não
se verifica. Em Sistemas Elétricos o caso mais importante ocorre quando um transformador defasador se
encontra presente.
O transformador com relação de transformação 1:1 é representado por uma impedância série igual a impedância
de dispersão e uma admitância shunt igual ao inverso da sua impedância de magnetização (normalmente
desprezado).
Ocorre que o transformador pode estar trabalhando com um ou mais enrolamentos com tensão diferente da
nominal, através de taps comutados manual ou automaticamente (LTC - load tap changer). Tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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S o transformador tem apenas taps em fase (tensão transformada apenas em módulo). A relação de
transformação envolve apenas números reais, e é da forma:
onde p é o valor do tap em pu. Como exemplo, pode-se citar, a maioria dos transformadores de interconexão
de sistemas e de distribuição.
S o transformador tem taps em fase e em quadratura (tensão transformada em módulo e ângulo). A relação
de transformação envolve números complexos, e é da forma:
onde p é o valor do tap em fase (pu) e q o
valor do tap em quadratura (pu). Como exemplo, pode-se citar os phase-shifters ou transformadores
defasadores. Matematicamente este caso engloba o caso anterior (quando q = 0).
Devido a observação acima, a inclusão na matriz dos efeitos de taps fora do nominal serão feitas tomando-
se um transformador com relação de transformação complexa.
Seja um transformador ligado entre os barramentos (A) e (B), de relação de transformação (p1 + jq1):(p2 + jq2)
e impedância de dispersão com impedância de magnetização desprezada, como ilustra a figura abaixo:
O transformador acima pode ser representado da maneira abaixo, onde os efeitos de "transformação" e
"dispersão" são tomados como concentrados. Isto não dá erro significativo e facilita os cálculos.
 
ou seja:
onde:
 
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Logo:
Como o primeiro transformador é ideal (sem perdas):
e
Substituindo esta equação na anterior, obtém-se:
mas:
Substituindo o valor de :
Substituindo na equação de , tem-se:
Da 1ª Lei de Kirchhoff nos nós (a) e (b):
Logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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ou em forma matricial:
ou em função de p1, q1, p2 e q2 tem-se: 
Pode-se observar que a matriz perde a simetria. Portanto não se pode obter um circuito equivalente para
o transformador defasador.
O transformador defasador tira a simetria do sistema e isto é indesejável pois aumenta o gasto em memória
computacional. Se a matriz fosse simétrica poderia somente armazenar a parte superior ou inferior da mesma
e mais a diagonal.
Se o transformador tiver apenas taps em fase (q1 = q2 = 0), tem-se:
onde:
Pode-se notar que a simetria da matriz é mantida. O circuito equivalente para o transformador com taps
somente em fase (expressão acima) é o seguinte:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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4 – Exercícios
Exercício 1
Para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura abaixo, pede-se:
a) Montar o diagrama unifilar em pu do sistema na base de 1000 MVA.
b) Obter a matriz para o sistema.
Exercício 2
Montar a matriz para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura a seguir, onde o tap do
transformador (1)-(3) se encontra no lado do barramento (3). Os dados da rede, em pu, em uma mesma base
de potência estão apresentados na tabela anexa.
Obs: pode parecer estranho no exercício a posição que se encontra o transformador, conectando dois
barramentos cujas tensões nominais são as mesmas. Em termos da análise da rede elétrica isto não causa
inconveniente nenhum. No caso o ramo (3)-(4) pode ser um ramo equivalente correspondente a uma linha de
transmissão com um transformador em seus terminais. O recurso de equivalentar partes de um Sistema Elétrico
de Potência é muito utilizado na análise de sistemas elétricos onde se procura diminuir o tamanho da rede.
Também o transformador (1)-(3) pode ser um transformador com tensões nominais de seus enrolamentos
idênticas usando do tap para alimentar a carga que se encontra no barramento (3).
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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Barramentos Terminais Resistência (pu) Reatância (pu) Susceptância Total (pu) Tap (%)
( 1 ) ( 2 ) 0.00525 0.08250 0.00348 -
( 1 ) ( 3 ) - 0.04500 - 110
( 3 ) ( 4 ) 0.00842 0.08810 - -
( 2 ) ( 4 ) 0.01200 0.06830 0.03200 -
Exercício 3
Obtenha a matriz , em pu, na base 100 MVA, para o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura
abaixo.
Sabe-se que:
a) O sistema está operando em condição de carga pesada. 
b) Os barramentos (1), (2), (3) e (5) são de 525 kV e o barramento (4) de 440 kV.
c) A linha de transmissão LT1 apresenta os seguintes parâmetros:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
20
d) A compensação série, CS1, existente entre os barramentos (2) e (5) corresponde a 30% da linha de
transmissão entre os barramentos (1) e (5).
e) O transformador T1 apresenta os seguintes dados: reatância de 12%, perdas desprezíveis, potência de 150
MVA, 525/440 kV, conexão Yat-Yat.
f) O banco de capacitores BC1 é composto de 3 unidades monofásicas de 30 MVAr/525 kV.
g) O reator R1 é de 120 Mvar/525 kV, trifásico, com neutro isolado.
h) O reator R2 é de 120 Mvar/440 kV, com isolamento para 525 kV, trifásico, neutro isolado.
Exercício 4
Um engenheiro ao iniciar a análise de um fluxo de potência inadvertidamente derrubou um copo de mé sobre
todos os cálculos realizados. Após a limpeza da sujeira, o que pode ser recuperado dos dados e dos cálculos
é o seguinte:
a) Matriz do sistema em pu:
b) A potência de base do sistema é de 1000 MVA.
c) Não existemtransformadores defasadores no sistema.
d) Todos os transformadores existentes tem resistência desprezível e estão com tap na posição nominal.
e) Todas as linhas de transmissão do circuito são eletricamente curtas.
f) Barramento 2:
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
21
g) Barramento 4:
- tensão nominal: 230 kV;
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
h) Barramento 5:
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
i) Barramento 6:
- não existe nenhum elemento shunt ligado no barramento.
j) Barramento 7:
- tensão nominal: 69 kV;
- banco de capacitores 4 Mvar/fase em 69 kV operando no barramento;.
k) Entre os barramento (4) e (6) existe uma linha de transmissão com r = 0,038 ohms/km e x = 0,291 ohms/km
com 25 km de comprimento.
l) Entre os barramentos (4) e (5) existe um banco de transformadores de 230/13,8 kV, ligado em Yat-Δ,
reatância de dispersão de 8%, potência de 70 MVA.
Baseado nos dados e cálculos apresentados pede-se:
a) Completar a montagem da matriz do sistema.
b) Obter o elemento shunt que está ligado no barramento (3) (tipo, tensão e potência nominal).
c) Montar o diagrama unifilar do Sistema Elétrico.
Exercício 5
Um Sistema Elétrico de Potência com 3 barramentos apresenta a seguinte matriz :
montada sob as seguintes condições:
a) Todos os ramos shunt do sistema foram desprezados.
b) Todos os tap dos transformadores do sistema foram incluídos em .
c) As resistências dos ramos com transformadores foram desprezadas.
Pede-se calcular as resistências e reatâncias série dos ramos do sistema, bem como os valores dos taps dos
transformadores por ventura existentes.
5 – Referências
 1 - Olle I.Elgerd, Introdução à teoria de sistemas elétricos de energia, Mc Graw Hill do Brasil, 1978.
 2 - C.Ferreira, Redes Lineares em Sistemas Elétricos de Potência, Editora Canalenergia, 2005.
 3 - D.S.Ramos, E.M.Dias, Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 1,
Guanabara 2, 1982.
 4 - Glenn W.Stagg, Ahmed H.El-Abiad, Computer Methods in Power System Analysis, McGraw-Hill
Book Company, 1968.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
22
CAPÍTULO 3
MATRIZ DE IMPEDÂNCIA NODAL 
1 – Introdução
Dado uma rede elétrica qualquer linear e passiva, e adotando-se para referência um barramento
obrigatoriamente pertencente a rede (se a referência não pertencer a rede, a soma dos elementos de qualquer
linha da matriz será nula e com isso esta matriz será indefinida, pois seu determinante também será nulo.
Se a referência pertencer a rede, pelo menos um barramento terá conexão com esta referência), tem-se, a matriz
que relaciona as tensões nos barramentos (medidas com relação à esta referência), com as correntes injetadas
nos barramentos da rede, conforme indica a figura abaixo.
cnde:
- vetor das tensões dos barramentos;
- vetor das correntes injetadas nos barramentos;
- matriz de impedância nodal, também denominada .
Tem-se:
Multiplicando os dois lados da equação acima por , tem-se:
ou seja:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
23
Da equação nodal acima pode-se escrever:
Escrevendo esta equação em forma explicita, tem-se:
Supondo = 1.0 [pu] e as demais correntes injetadas iguais a zero, obtém-se: 
Tem-se então as seguintes definições:
= tensão que aparece no barramento (i) devido a corrente de 1.0 [pu] injetada no barramento (k),
com as demais correntes injetadas iguais a zero;
= impedância de transferência entre os barramentos (i) e (k);
= transfer impedance;
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
24
= tensão que aparece no barramento (k) devido a corrente de 1.0 [pu] injetada no próprio
barramento (k), com as demais correntes injetadas iguais a zero;
= impedância de entrada do barramento (k);
= driving point impedance.
Como a rede é linear e passiva:
Apesar da matriz ser simétrica, ela é totalmente cheia, o que acarreta um gasto muito grande de memória
computacional para o seu armazenamento.
Usando o teorema da superposição, pois o modelo é linear, pode-se generalizar as definições acima. Para isso
suponha que o sistema tenha um vetor de injeções de corrente :
Se o vetor sofrer um acréscimo , o vetor sofrerá um acréscimo . Logo:
Simplificando:
Se o vetor for tal que = 1.0 [pu] e as demais variações de correntes injetadas iguais a zero, tem-se:
Logo, pode-se dizer:
S a impedância de transferência ( ) é o acréscimo na tensão do barramento (i) quando há um
acréscimo de 1.0 [pu] na corrente injetada no barramento (k), qualquer que seja o valor das demais correntes
injetadas;
S a impedância no ponto ( ) é o acréscimo na tensão do barramento (k) quando há um acréscimo
de 1.0 [pu] na corrente injetada nesta mesmo barramento, qualquer que sejam as demais correntes injetadas.
Pode-se notar que a impedância de entrada do barramento (k) corresponde a impedância de Thevenin entre
o barramento (k) e a barramento de referência, sendo este barramento a barra neutra por trás das impedâncias
dos geradores. Com isto a matriz constituirá uma excelente ferramenta para o cálculo das correntes de
curto-circuito.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
25
Os métodos para se obter a matriz de impedância nodal são os seguintes:
a) Inversão Completa de 
Monta-se a matriz para o sistema tomando como referência a barra neutra atrás das impedâncias dos
geradores, e procede-se a sua inversão para a obtenção da matriz 
Existem vários métodos para inversão de matrizes, sendo que ao se selecionar um deles deve-se levar em
conta três fatores:
- o número de operações aritméticas envolvidas no processo de inversão, que se traduz no esforço
computacional necessário;
- a simplicidade das operações, que pode se traduzida como a facilidade para se programar em
computadores;
- memória computacional auxiliar necessária durante os cálculos.
Um dos métodos que melhor se encaixa nas solicitações acima é o método de Shipley-Coleman, que
apresenta uma relativa economia de memória e simplicidade do algoritmo.
Os métodos de inversão de apresentam, entretanto, uma enorme desvantagem em termos de tempo
de computação, uma vez que o número de operações necessárias para a inversão total de uma matriz é
proporcional a n3, onde n é a ordem da matriz (com o método de Shipley-Coleman, utilizando de uma
seqüência de cálculos adequados, o número de operações é reduzido para cerca de 2n2).
b) Obtenção de diretamente dos dados do sistema
Este método consiste em montar a matriz passo a passo, adicionando uma ligação após a outra. Ao
final do processamento de cada ligação obtém-se uma matriz correspondente à parte do sistema
processada até então. Quando a última ligação for incluída, obtém-se a matriz final.
Este método possui as seguintes vantagens em relação ao anterior:
- exige um número menor de operações aritméticas, permitindo com isso uma economia de tempo de
computação;
- permite a análise de grandes sistemas, cuja matriz não caiba na memória do computador. A
montagem da matriz é feita salvando-se na memória apenas os barramentos onde se deseja analisar o
sistema, mas levando-se em conta também o restante do sistema.
As desvantagens deste método são:
- não permite a exploração da esparsidade do sistema, pois a matriz não é esparsa;
- necessita da montagem de toda a matriz (ou de seu equivalente) no caso de grandes sistemas.
c) Obtenção da matriz coluna a coluna
Este método consiste em obter da matriz somente a coluna que apresenta interesse em se analisar,
evitando com isso a montagem e armazenamento de toda a matriz , economizando tempo e memória
de computador. Caso se deseje obter a matriz completa, basta repetir o procedimento n vezes, onde
n é o número de barramentos do sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
26
2 – Método de Obtenção da Matriz de Impedância Nodal Coluna a Coluna
Em determinados estudos, como, por exemplo, curto-circuito em somente alguns barramentos do
sistema, cálculo de transitórios eletromagnéticos, etc., nãoé necessário a utilização da matriz 
completa, mas somente de algumas de suas colunas. Por isso, a fim de evitar gastos desnecessários
de tempo e memória computacional torna-se útil o desenvolvimento de técnicas para a obtenção de
somente as colunas necessárias da matriz.
Tem-se que:
ou seja:
Como o sistema de equações acima é linear pode-se aplicar o teorema da superposição. O teorema
da superposição, simplificadamente falando, aplicado à situação acima, diz que a resposta (tensões)
à excitação de várias fontes atuando ao mesmo tempo (correntes) é a soma das respostas (tensões)
devidas a ação em separado de cada uma dessas excitações (correntes).
Logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
27
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
28
Pelo teorema da superposição, a tensão total é dada pela soma de cada uma das parcelas
apresentadas acima, nas quais se considerou cada corrente atuando separadamente.
Então:
Fazendo:
tem-se:
Da igualdade acima pode-se obter:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
29
que está de acordo com a definição dos elementos da matriz .
Portanto, para obter uma coluna qualquer (k) da matriz basta calcular o vetor de tensões
correspondente:
ou seja:
Lembrando-se que:
pode-se rearranjar o sistema de equações anteriores, resultando em:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
30
Qualquer método de resolução de sistemas de equações lineares pode ser utilizado para resolver o
sistema de equações acima, mas, uma das formas mais eficiente de solução é triangularizar a matriz 
 (triangularização de Gauss) e fazer uma substituição de trás para frente (back substitution).
A triangularização de Gauss consiste em combinar linearmente as linhas de uma matriz, de forma a obter
os elementos da diagonal unitários e todos os elementos abaixo dela nulos. No sistema acima, tem-se:
Após a triangularização o sistema anterior resulta:
onde x indica um elemento possivelmente diferente de zero.
O vetor de correntes também será modificado passando a constituir o vetor , de acordo com as
operações matemáticas feitas na matriz para triangularizá-la.
O procedimento a ser seguido para triangularizar o sistema, deve partir da primeira linha em direção a última
(r = 1, 2, ..., n), e genericamente é o seguinte:
S Dividir a r-ésima linha por , originando:
S Substituir cada uma das linhas subseqüentes (i), i > r, pela diferença entre essa linha (i), e a r-ésima linha
modificada multiplicada por , ou seja:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
31
Pode-se notar que a operação de triangularização sobre uma linha qualquer (r) é equivalente a eliminar este
barramento (r), para o elementos da matriz tais que i,j > r.
A substituição de trás para frente, também conhecida como back substitution, consiste em obter
as incógnitas, que no caso são as tensões, de forma sucessiva, a partir da última das equações (do sistema
triangularizado) em direção a primeira, ou seja:
onde a incógnita está obtida diretamente da última equação. Este valor é substituído na penúltima
equação obtendo-se e assim sucessivamente. 
Genericamente tem-se:
As seguintes observações podem ser feitas:
a) Todo o desenvolvimento teórico anterior para a obtenção de uma coluna qualquer da matriz , partiu da
equação nodal e da definição dos elementos da matriz , consistindo em uma forma elegante de
demonstrar a sistemática adotada. Simplificadamente todo o desenvolvimento poderia ser feito a partir da
equação:
onde é a matriz identidade. Através do produto de matrizes, tem-se que uma coluna qualquer da matriz 
pode ser dada por:
onde corresponde a coluna (k) da matriz e um vetor onde todos os elementos seriam
nulos a exceção do elemento da posição (k) onde seria igual a 1. 
b) Pode-se obter a matriz completa bastando alterar os valores de para cada corrente
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
32
, e obter cada uma das colunas, uma de cada vez. Neste caso deve-se
guardar a seqüência de cálculos feitos para triangularizar a matriz , através de uma Tabela de Fatores,
visto que estas operações aritméticas deverão ser feitas a cada nova corrente utilizada.
c) A matriz normalmente já é montada e armazenada na forma triangularizada e compactada, ao invés
de proceder a estas técnicas após a sua montagem. Para aumentar a eficiência do processo de
triangularização deve-se utilizar-se de critérios de ordenação ótima dos barramentos. O número de operações
necessárias para triangularizar a matriz é da ordem de .
d) Caso se deseje obter a diferença de duas colunas da matriz (por exemplo, em cálculo de transitórios
eletromagnéticos, ou quando se deseja calcular curtos em vários barramentos simultaneamente), não é
necessário obter cada uma das colunas separadamente e depois fazer a diferença, mas pode-se obter este
resultado diretamente, bastando fazer o vetor de correntes :
 
Isto faz com que seja obtido a diferença entre as colunas (k) e (m), ou seja, . 
3 – Exercícios
Exercício 1
Montar a matriz e em seguida inverte-la para obter a matriz para o sistema cujos dados estão
apresentados na tabela abaixo.
Barramentos Terminais Resistência (pu) Reatância (pu) Susceptância Total(pu)
( 1 ) ( 2 ) 0,0250 0,0800 0,0400
Exercício 2
Um Sistema Elétrico de Potência composto de dois barramentos tem a seguinte matriz de impedância nodal:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
33
Se uma impedância Z = j0,40 pu é conectada entre os barramentos ( 1 ) e ( 2 ), qual é a nova matriz ? 
Exercício 3
Seja o Sistema Elétrico de Potência cujo diagrama unifilar com os valores das impedâncias dos ramos, em pu
e numa mesma base de potência, está mostrado na figura a seguir. Utilizando apenas as definições de
impedância no ponto de um barramento e impedância de transferência entre barramentos, determine as colunas
relativas aos barramentos ( 2 ) e ( 4 ) da matriz de impedância nodal do sistema.
Exercício 4
Seja o Sistema Elétrico de Potência cujo unifilar é mostrado na figura abaixo, com os dados em pu, todos na
mesma base apresentados na tabela anexa. Obter a coluna correspondente ao barramento (3) da matriz 
deste Sistema Elétrico de Potência.
Barramentos Terminais Reatância (pu)
( 1 ) ( 0 ) 0.220
( 1 ) ( 2 ) 0.115
( 1 ) ( 3 ) 0.075
( 1 ) ( 4 ) 0.090
( 0 ) ( 2 ) 0.200
( 2 ) ( 4 ) 0.125
( 3 ) ( 4 ) 0.135
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
34
Exercício 5
Um Sistema Elétrico de Potência é composto de 7 barramentos. A matriz deste sistema, em pu, na base
100 MVA, onde foram desprezados as resistências dos ramos é a seguinte:
P
e
d
e-
s
e
o
b t
er
a diferença entre as colunas correspondentes aos barramentos (2) e (6) de sua matriz .
Exercício 6
Seja o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura a seguir.
Obter a coluna referente ao barramento (5) das matrizes de impedância nodal de seqüência positiva, negativa
e zero deste sistema. Os dados em pu, na mesma base de potência estão apresentados na tabela abaixo. As
linhas de transmissão LT24 e LT45 caminham juntas em uma mesma faixa de passagem por um trecho que
corresponde a 10% da LT24 e 15% da LT45, sendo a impedância mútua de seqüência zero de 0.10 [pu]
.
Componente Seqüência Positiva (pu) Seqüência Negativa (pu) Seqüência Zero (pu)
G1 0,25 0,16 0,12
G2 0,28 0,19 0,16
LT24 0,40 0,40 1,60
LT25 0,30 0,30 1,10
LT45 0,30 0,30 1,15
T1 0,10 0,10 0,10
T3 0,10 0,10 0,10
T2 0,10 0,10 0,10
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
35
4 – Referências
 1 - C.Ferreira, Redes Lineares em Sistemas Elétricos de Potência, Editora Canalenergia, 2005.
 2 - D.S.Ramos, E.M.Dias, Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 1, Guanabara 2, 1982.
 3 - Glenn W.Stagg, Ahmed H.El-Abiad, Computer Methods in Power System Analysis, McGraw-Hill Book
Company, 1968.
 4 - H.E.Brown, Grandes Sistemas Elétricos - Métodos Matricias, LTC - EFEI, 1977.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
36
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME
PERMANENTE EM SISTEMASELÉTRICOS DE
POTÊNCIA 
1 – Introdução
O cálculo do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load flow, em um SEP consiste
essencialmente na determinação do estado de operação desta rede dada sua topologia e uma certa
condição de carga.
Este estado de operação consiste de:
! determinação das tensões e ângulos para todos os barramentos do sistema;
! determinação dos fluxos de potência ativa e reativa através dos ramos do sistema;
! determinação das potências ativas e reativas, geradas, consumidas e perdidas nos diversos
elementos do sistema.
Esta análise de fluxo de potência é um dos estudos mais frequentes realizados em SEP. Ele por si
só pode constituir um estudo próprio ou fazer parte de um outro estudo mais complexo, por exemplo:
! estudo próprio: planejamento da operação, expansão do sistema, etc;
! outros estudos: parte dos estudos de estabilidade, de otimização, de confiabilidade, etc.
Como exemplo de aplicação de simulações de fluxo de potência, pode-se citar:
! estudos para planejamento do SEP, verificando as providências a serem tomadas com o
crescimento do sistema;
! avaliação das condições operativas do SEP, ou seja, analisar as condições operativas da rede em
regime normal e de emergência;
! estudos de avaliação e determinação de medidas corretivas para a operação do sistema em
condições de emergência, como, por exemplo, ajustes de taps de transformadores, condições de
chaveamento de bancos de capacitores, redespacho de geração das unidades do sistema,
sincronização de unidades fora de operação, etc;
! determinação dos limites de transmissão de potência do SEP;
! etc.
Até 1930 todos os cálculos de fluxo de potência eram feitos à mão, o que exigia inúmeras
simplificações e impossibilitava a análise de grandes sistemas, devido a quantidade de cálculos
matemáticos necessários para a obtenção de resposta, mesmo para pequenos sistemas. Entre 1930
e 1956 foram usados analisadores de rede para resolver problemas de fluxo de potência. Os
analisadores de rede (Network Calculators - Westinghouse ou Network Analysers - GE) são modelos
em miniatura da rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medida
de grandezas elétricas no modelo. O problema básico da imprecisão e lentidão de cálculo continuou
e só pode ser sanado mais modernamemente com a utilização de computadores digitais. As primeiras
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
37
tentativas tiveram sucesso limitado, visto que os programas apenas automatizavam os cálculos dos
métodos manuais, usando equações de laços e de malhas, e não explorando adequadamente a
capacidade do computador. 
Em 1954, L.A. Dunstan no artigo Digital Load Flow Studies, apresentou uma primeira análise de redes
utilizando computadores digitais. Em 1956, Ward e Hale apresentaram o primeiro programa de
computador, realmente bem sucedido, para solução de fluxo de potência, no artigo Digital Computer
Solution of Power-Flow Problems. O programa apresentado por Ward e Hale utilizava a formulação
nodal do problema e resolvia as equações não lineares que descreviam a rede, por um método
iterativo de Newton modificado. Os programas que imediatamente se seguiram, utilizaram o método
de Gauss-Seidel. Com o sucesso do método de Ward e Hale um grande número de artigos de Glimm
e Stagg, de Brown e Tinney foram publicados sugerindo modificações nos algoritmos e incorporando
características adicionais aos programas computacionais. Na década de 60, com o crescimento dos
SEP e com a tendência de interligação dos mesmos, através de ligações em alta tensão, foi
aumentado rapidamente o número de ligações e de barramentos representativos do sistema. As
características do método de Gauss-Seidel fazem com que ele não se adapte bem a sistema
representados por um grande número de barras, de forma que se tornou necessário a pesquisa de
um outro método de solução de problemas de fluxo de potência. 
Após vários anos de pesquisa realizados pela Bonneville Power Administration (BPA) foi desenvolvido
um método extremamente bem sucedido de solução das equações de fluxo de potência através do
algoritmo de Newton-Raphson. O método se adaptou muito bem a grandes sistemas, como também
obtinha solução de problemas em que o método de Gauss-Seidel havia falhado.
Atualmente, o método de Newton-Raphson é o mais utilizado para a solução de problemas de fluxo
de potência. Desde sua primeira formulação ele vem sofrendo diversas complementações no sentido
de torná-lo cada vez mais poderoso. Novos métodos, utilizando algoritmos semelhantes ao de
Newton-Raphson também vem sendo desenvolvidos a fim de obter maior rapidez e menor memória
computacional, como por exemplo, os métodos desacoplados. 
Apesar de todos estes métodos, a solução do problema do fluxo de potência continua sendo objeto
de muita pesquisa e estudo, visando o desenvolvimento de métodos de solução cada vez mais
poderosos, rápidos e confiáveis.
De uma maneira geral, o problema do fluxo de potência caracteriza-se por ser não linear e portanto
são necessários, conforme já comentado e se verá adiante, processos iterativos de cálculo numérico
para resolução do problema (por isso os métodos diretos de análise nodal ou de malhas, usados na
teoria de circuitos não podem ser utilizados). A não linearidade das equações decorre de certas
características da modelagem de alguns componentes do sistema. 
Na análise de fluxo de potência interessa-se em obter uma solução do sistema operando em regime
permanente senoidal, por isso a modelagem do sistema é estática, o que significa que as equações
e inequações representativas da rede são algébricas e não diferenciais. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
38
2 – Suposições e Aproximações
Nos cálculos de fluxo de potência comumente são feitas as seguintes simplificações:
! As cargas ativas e reativas nos barramentos do sistema são supostas constantes.
As cargas embora possam variar significativamente dentro de períodos longos de tempo, o fazem
de maneira lenta e gradual, quase imperceptível dentro de pequenos intervalos de tempo. Logo,
o resultado é obtido em um estudo é válido dentro de um intervalo de tempo razoável. Quando
ocorre variações de cargas muito elevadas basta alterar seu valor e efetuar uma nova simulação.
Em algumas situações especiais pode ser necessário modelar algumas características dinâmicas
das cargas. Isto pode acarretar a necessidade de modelos mais elaborados da mesma, de outros
componentes do sistema e também de modificações no algoritmo de resolução das equações do
sistema. Por exemplo:
! carga de retificação (fábrica de alumínio, etc);
! carga de metrô, trem, etc;
! outros (efeito corona em linhas de transmissão, etc).
Uma outra modelagem de cargas pode ser feita através de representação por corrente constante
ou impedância constante.
! Admite-se que a rede opere de maneira equilibrada em suas três fases e, portanto, uma
representação unifilar é suficiente
Esta simplificação não afeta de forma significativa a precisão dos resultados.
Caso ocorra situações de desequilíbrio na rede, tais como:
! linhas não transpostas, ou não totalmente transpostas;
! cargas monofásicas ou bifásicas de elevada potência, tais como, fornos elétricos, ferrovias, etc,
em corrente alternada;
! faltas assimétricas de um modo geral, tais como defeitos fase-terra, dupla fase, dupla fase-terra,
bem como abertura de condutores;
! estudos mais sofisticados de estabilidade e proteção;
! etc;
será necessário a análise através de um fluxo de potência trifásico, onde são representados todas
as três fases do sistema.
! Os elementos passivos do sistema são representados com parâmetros concentrados
Com isso é evitado a necessidade de equações diferenciais para representação dos elementos.
No presente curso, a atenção será focalizada no fluxo de potência convencional, onde as três
hipóteses acima são consideradas aceitáveis.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
39
3 – Representação dos Componentes
3-1 – Geradores
São representadospelas potências ativa e reativa (indutiva ou capacitiva) que devem entregar ao
barramento que estão conectados, como mostra a figura 1.
Figura 1 – Representação do gerador para estudos de fluxo de potência
Estas potências podem ser conhecidas (especificadas) ou então serem obtidas como resultado do
fluxo de potência.
3-2 – Cargas
São representadas pelas potências ativa e reativa consumidas, supostas constantes, como ilustrado
na figura 2.
Figura 2 – Representação da carga, como potência constante, para estudos de fluxo de potência
Como exemplo de cargas de potência constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos motores
síncronos e de indução (com restrições) e as parcela reativa dos motores síncronos (sem grande
precisão).
Algumas cargas podem ser representadas como uma impedância constante, ou seja, por uma
admitância ligada do barramento à referência, como mostra a figura 3.
Figura 3 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
 de fluxo de potência
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
40
Logo:
onde:
 - admitância ligada do barramento a referência (pu);
 - potência ativa em MW absorvida pela carga a tensão em kV;
 - potência reativa em MVAr absorvida pela carga a tensão em kV;
 - potência de base em MVA;
 - tensão de base em kV.
Como exemplo de cargas de impedância constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos aquecedores
e das lâmpadas incandescentes (aproximadamente), sendo a parcela reativa nula.
Também outras cargas podem ser representadas como cargas que absorvem corrente constante,
como mostra a figura 4.
Figura 4 – Representação da carga, como corrente constante, para estudos
 de fluxo de potência
Logo:
Neste tipo de carga as grandezas consideradas fixas são o módulo da corrente que flui pela
mesma e o defasamento angular dessa corrente em relação a tensão do barramento de
alimentação:
sendo:
onde e são, respectivamente, os ângulos de fase da tensão e da corrente, ambos expressos
em relação à mesma referência.
Como exemplo de carga de corrente constante, pode-se citar, as parcelas ativa das lâmpadas
fluorescentes e de certos tipos de cargas de retificação em escala industrial. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
41
3-3 – Linhas de Transmissão
São representadas pelo seu circuito equivalente, conforme ilustrado na figura 5.
Figura 5 – Representação da linha de transmissão para estudos de fluxo de potência
No caso de linhas de transmissão curtas ( até 40 km), é comum desprezar as susceptâncias
capacitivas no circuito equivalente.
As linhas médias e longas devem ser representadas pelo circuito equivalente completo. 
No caso das linhas longas os parâmetros devem ser corrigidos (teoria da linha longa) e podem ser
obtidos através dos parâmetros , , e da linha considerada como um quadripolo como pode
ser visto na figura 6.
Figura 6 – Representação da linha de transmissão por um quadripolo
onde:
sendo:
 - impedância característica da linha de transmissão (pu);
 - constante de propagação da linha de transmissão (rad).
Se a linha possuir reatores, é comum representá-los nos barramentos terminais da mesma, como se
fossem reatores de barra, como mostra a figura 7.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
42
Figura 7 – Representação da linha de transmissão com reatores em seus extremos
Este procedimento evita tornar assimétrico o circuito equivalente da linha, o que iria ocorrer caso
os reatores forem diferentes nas duas extremidades da linha (ou só existissem em uma delas) e
fossem incorporados à susceptância shunt da linha, e facilita a obtenção do fluxo reativo consumido
pelos reatores (o que não ocorre caso os reatores sejam incorporados à linha).
3-4 – Transformadores de 2 enrolamentos
Normalmente, são representados pela sua impedância de dispersão.
Se o transformador não apresenta taps, coloca-se simplesmente a impedância de dispersão entre os
barramentos terminais do transformador, como mostrado na figura 8, onde é sua impedância de
dispersão em pu referida à potência de base.
Figura 8 – Representação do transformador para estudos de fluxo de potência
Se o transformador apresenta somente taps variáveis em fase, o modelo está apresentado na figura
9.
Figura 9 – Representação do transformador com taps para estudos de fluxo de potência
cuja representação está apresentada na figura 10.
Figura 10 – Modelo do transformador com taps em fase
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
43
sendo:
onde:
 - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
 - tensão de base do barramento (i);
 - tensão de base do barramento (k).
Pode-se observar no modelo acima que ao se elevar o tap do transformador do lado k (pk > 1), por
exemplo, para aumentar a tensão deste barramento, acarretará que a susceptância do barramento
(k) para a terra resulta em um valor positivo (capacitivo) e do barramento (i) para a terra um valor
negativo (indutivo), tendendo a aumentar a tensão do barramento (k) e a diminuir a do barramento
(i), o que está de acordo com o esperado.
A figura 11 mostra o transformador com taps variáveis em fase e quadratura (ou só em quadratura).
Figura 11 – Representação do transformador com taps em fase e quadratura,
para estudos de fluxo de potência
Neste caso não é possível a determinação de um circuito equivalente, sendo o transformador
representado na forma matricial:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
44
onde:
 - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
 p - tap em fase do transformador do enrolamento do lado k;
 q - tap em quadratura do transformador do enrolamento do lado k.
3-5 – Transformador de 3 enrolamentos
Os transformadores de 3 enrolamentos podem ser representados por seu equivalente em triângulo
ou em estrela. 
A representação pelo equivalente em estrela acarreta o aparecimento de um nó fictício entre os
barramentos terminais do transformador, como pode ser visto na figura 12.
Figura 12 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em estrela, 
para estudos de fluxo de potência
sendo:
onde:
 - impedância i-k do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância k-j do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância j-i do transformador referida à potência de base (pu).
As impedâncias , e são obtidas de ensaios de curto-circuito realizados nos três
enrolamentos do transformador. Todas a impedâncias devem estar em pu ou então referidas ao
mesmo lado do transformador.
Nesta representação o transformador de três enrolamentos é representado por três transformadores
de dois enrolamentos e se o mesmo apresentar taps variáveis eles podem ser representados da
maneira vista na seção precedente.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
45
Uma outra maneira de representar o transformador de três enrolamentos é através de um circuito
ligado em triângulo. Nesta representação não é necessário a criação do barramento fictício, como
pode ser observado na figura 13.
Figura 13 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, 
para estudos de fluxo de potência
As impedâncias entre os barramentos terminais do transformador podem ser obtidas dos valores da
representação em estrela:
deve-se observar que estas admitâncias são diferentes das obtidas no ensaio do transformador.
Se o transformador apresentar taps variáveis em fase, tem-se o equivalente mostrado na figura 14.
Figura 14 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, 
com taps variáveis em fase
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
46
sendo:
onde:
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
 - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado j;
 - tensão de base do barramento (i);
 - tensão de base do barramento (k);
 - tensão de base do barramento (j);
3-6 – CompensadoresSíncronos
São representados como geradores síncronos com a potência ativa zerada, como indicado na figura
15.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
47
Figura 15 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
 de fluxo de potência
Tem-se:
onde:
 - potência complexa em MVA (ou pu) gerada;
 - potência reativa em MVAr (ou pu) gerada.
3-7 – Compensadores Estáticos
Existem vários tipos de compensadores estáticos, como por exemplo:
! capacitores e reatores chaveáveis mecanicamente;
! reatores saturáveis;
! capacitores e reatores controlados (tiristores);
! etc. 
Um modelo básico simplificado de um compensador estático e de sua característica estão
apresentados na figura 16.
Figura 16 – Representação do compensador estático para estudos de fluxo de potência
Quando o compensador estático está funcionando dentro de sua faixa de controle ele é representado
por uma reatância (XCE) alocada entre o barramento do sistema no qual o compensador está
conectado e um barramento auxiliar com tensão fixa no valor a ser controlado. A reatância XCE varia
tipicamente entre 0 e 5% e pode ser obtida das características dos componentes e da faixa de ajuste.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
48
Se XCE for igual a zero o compensador é representado como um síncrono, fixando a tensão do
barramento no qual está conectado. Este modelo está apresentado na figura 17.
Figura 17 – Representação do compensador estático, dentro de sua faixa de controle,
para estudos de fluxo de potência
Quando o ponto de operação está fora da região de controle o compensador estático é representado
como um elemento shunt com uma susceptância (B), que depende do ponto de operação (item 3-9),
como mostrado na figura 18.
Figura 18 – Representação do compensador estático, fora de sua faixa de controle,
para estudos de fluxo de potência
Para:
 
Dependendo do tipo de estudo a ser feito o compensador pode ser representado da mesma maneira
que os compensadores síncronos.
3-8 – Capacitores Série
São representados como uma reatância negativa, como pode ser visto na figura 19.
Eventualmente os capacitores série também podem ser representados englobando sua reatância à
reatância do circuito π equivalente da linha de transmissão. Esta representação além de não ser
muito correta, tem o inconveniente de não possibilitar obter a tensão nos terminais do capacitor.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
49
Figura 19 – Representação do capacitor série para estudos de fluxo de potência
3-9 – Capacitores e Reatores de Barra
São representados pela potência reativa fornecida por eles, sob tensão nominal, no barramento no
qual estão conectados, como mostra a figura 20.
Figura 20 – Representação do reator e capacitor de barra para estudos
 de fluxo de potência
No caso de capacitores a potência reativa fornecida é considerada positiva e no caso de reatores é
considerada negativa.
Apesar dos capacitores e reatores apresentarem uma perda de potência ativa, que é traduzido pelo
seu fator de qualidade, ela é desprezada nos estudos de fluxo de potência.
Como a potência fornecida por tais elementos é função do quadrado da tensão (impedância
constante) ela não fica constante durante a operação do sistema. Por esta razão, quando se fornece
a potência nominal do elemento se fornece também a tensão para o qual esta potência está referida,
possibilitando obter a susceptância do elemento, valor este constante. Para uma condição qualquer
de tensão, tem-se:
onde:
 - potência reativa fornecida pelo elemento ao barramento no qual está conectado (pu);
 - módulo da tensão no barramento (pu);
 - susceptância do elemento (pu);
Na condição nominal de operação do elemento, tem-se que a tensão é igual a 1.0 pu, logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
50
A susceptância será conectada entre o barramento (k) e a terra, como mostra a figura 21.
Figura 21 – Modelo do reator e capacitor de barra
O valor de é adicionado apenas ao elemento da matriz relativo ao barramento (k).
4 – Formulação Matemática do Problema
Teoricamente existem uma infinidade de maneiras de descrição analítica das redes elétricas, a partir
das leis de Kirchhoff para os nós e malhas, e das relações entre a tensão e corrente na resolução de
fluxo de potência. Mas, na prática, todos os métodos atuais de solução de fluxo de potência usam a
análise nodal na sua formulação, com a diferença que são consideradas as potências injetadas nos
nós (barras) do sistema, ao invés das correntes.
Seja um barramento qualquer de um SEP mostrado na figura 22.
Figura 22 – Barramento de um SEP
onde:
 - potência complexa gerada no nó (k);
 - potência complexa consumida no nó (k);
 - potência complexa transferida do nó (k) para os demais nós da rede (incluindo a terra) através
 do sistema de transmissão.
 
O equilíbrio de potências (Primeira Lei de Kirchhoff) no nó (k) do sistema pode ser dado por:
Como já visto, a equação nodal de uma rede de n nós, em termos da matriz é dado por: 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
51
onde:
 - matriz de admitância nodal do sistema, de ordem n x n; 
 - vetor das tensões nodais do sistema, contendo n elementos;
 - vetor das correntes injetadas nos nós do sistema, contendo n elementos.
Como já comentado o objetivo fundamental do cálculo de um fluxo de potência é a determinação das
tensões nodais (dos barramentos) do sistema, ou seja, o vetor . Se o vetor fosse conhecido,
o problema estaria resolvido (bastaria multiplicar por ). Ocorre, no entanto, que não é
conhecido, uma vez que as gerações e cargas são representadas através de potências. A potência
complexa injetada em um barramento (k) de um sistema, denominada , é dada pela diferença
entre a potência complexa gerada no barramento (k), , e a potência complexa consumida neste
barramento , valores estes constantes. 
Logo:
Tem-se que esta potência complexa injetada é exatamente a potência disponível para ser transmitida
aos demais barramentos do sistema:
A potência injetada relaciona-se com a corrente complexa injetada no nó (k), por:
onde é a tensão do nó (k).
Usando a equação acima para cada barramento do sistema pode-se obter o vetor em função
das potências injetadas e das tensões nos barramentos:
Embora as equações anteriores sejam lineares, a introdução da equação acima leva a um modelo
não linear. 
Finalmente:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
52
Para um barramento qualquer:
Pode-se notar que a cada barramento do sistema corresponde uma equação complexa. Estas
equações podem ser separadas em suas partes real e imaginária, cada uma delas dando origem a
duas equações resultantes reais. Assim para o nó (k) resulta:
Logo, um sistema com n barramentos será modelado por 2n equações reais, não lineares.
Pode-se observar que cada barramento do sistema fica caracterizado por seis grandezas:
! a potência ativa gerada, ;
! a potência reativa gerada, ;
! a potência ativa consumida, ;
! a potência reativa consumida, ;
! o módulo da tensão, ;
! o ângulo de fase da tensão, .
Como no fluxo de potência convencional as cargas ativas e reativas (potência consumidas) são
supostas conhecidas, restam em cada barramento (nó), 4 variáveis a serem determinadas: as
potências ativa e reativa geradas e o módulo e ângulo de fase da tensão. Logo, o número total de
variáveis do problema é, então 4n.
Então para tornar possível uma solução das equações acima, e conseqüentemente do fluxo de
potência, tem-se que especificar a priori, para cada barramento (nó) do sistema, duas das quatro
variáveis, a fim de reduzir o número de incógnitas ao número de equações.
À primeira vista, pode parecer que o mais lógico seria especificar os valores das potências ativas e
reativas geradas em cada barramento, deixando como incógnitas o módulo e o ângulo de fase da
tensão, já que o objetivo básico do fluxo de potência é a determinação das tensões dos barramentos
do sistema. Isto, no entanto, não é possível de ser feito porque em todosistema elétrico operando
em estado permanente (situação do fluxo de potência) deve existir equilíbrio entre a geração, o
consumo e as perdas de energia. Este equilíbrio é dado por:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
53
onde:
 - potência complexa total gerada;
 - potência complexa total consumida;
 - potência complexa total perdida.
Embora as cargas ativas e reativas sejam conhecidas a priori, as perdas ativas e reativas do sistema
só ficam conhecidas se forem conhecidas as tensões de todos os barramentos do sistema, o que só
ocorre após a solução do fluxo de potência. Conseqüentemente não se pode especificar os valores
de todas as potências ativas e reativas geradas no sistema, pelo menos uma potência ativa e reativa
devem ficar sem especificação para que as perdas do sistema possam ser supridas.
Dependendo de quais variáveis são especificadas e quais são consideradas como incógnitas, pode-
se definir três tipos de barramentos (nós):
! Barramentos (Nós) de Carga ou Tipo PQ
São barramentos (nós) onde as potências ativa e reativas geradas são especificadas e o módulo
e o ângulo da tensão são as variáveis a serem determinadas na solução do fluxo de potência:
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos de suprimento a consumidores;
S barramentos de chaveamento;
S barramentos fictícios criados para representar certos pontos de interesse no fluxo de carga,
embora fisicamente não sejam barramentos propriamente ditos, como, por exemplo, pontos
intermediários entre as barras terminais da linha de transmissão, nós criados por circuitos
equivalentes de transformadores, etc.
No caso de haver geradores conectados a este tipo de barramento, fixa-se também as potências
ativas e reativas geradas, e . Este tipo de procedimento é usado, normalmente, para
pequenos geradores do sistema.
! Barramentos (Nós) de Geração ou Tipo PV ou de Tensão Controlada
São barramentos (nós) onde a potência ativa e o módulo da tensão são especificados, ficando
como incógnitas a potência reativa gerada e o ângulo de fase da tensão:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
54
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos do sistema onde estão conectados geradores;
S barramentos do sistema onde estão conectados compensadores síncronos e compensadores
estáticos.
Na realidade, um barramento no qual esteja conectado uma máquina síncrona tanto pode ser
considerado como barramento tipo PV como tipo PQ, dependendo de se especificar o módulo da
tensão ou a potência reativa gerada, respectivamente. Prefere-se especificar o módulo da tensão
(tipo PV) por que a faixa de valores aceitáveis para o módulo da tensão de um barramento é muito
mais restrita do que a dos valores de potência reativa gerada pelos geradores e síncronos.
Caso exista uma carga neste barramento, utiliza-se o valor durante a
solução e o valor somente é utilizado após a obtenção do fluxo de potência, pois a potência
reativa total injetada é uma das incógnitas a serem obtidas.
! Barramento (Nó) de Referência ou Oscilante ou Compensador ou de Balanço ou "Swing"
ou "Slack" ou de Folga
É um barramento (nó) onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são especificados e as
potências ativas e reativas geradas são as variáveis a serem determinadas:
Este barramento tem duas funções principais:
S permitir que pelo menos uma potência gerada, ativa e reativa, não sejam especificadas, de tal
modo que as perdas ativas e reativas do sistema que também são incógnitas e só serão
conhecidas no final da solução, possam ser incluídas no balanço de potência do sistema, após
a solução do fluxo de potência;
S fornecer uma referência para os ângulos de fase das tensões dos demais barramentos do
sistema. Normalmente, as equações usadas nos métodos de solução são escritas em função
das diferenças de ângulo de fase das tensões em barramentos adjacentes, por isso, torna-se
necessário fixar um desses ângulos para que os demais possam ser determinados (pois uma
mesma distribuição de fluxos no sistema pode ser obtida ao adicionar uma constante qualquer
a todos os ângulos de fase dos barramentos do sistema, o que mostra a indeterminação nas
variáveis angulares, tornando necessária a adoção de uma referência angular). Usualmente,
fixa-se o valor zero para o ângulo de fase da tensão do barramento oscilante, embora não seja
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
55
obrigatório.
O barramento oscilante não é (a não ser em casos especiais) a referência para os módulos das
tensões. Como visto na formação da matriz , esta referência é, geralmente, a terra.
Em um sistema totalmente conexo, ou seja, que não apresenta subsistemas desconexos, apenas
um barramento oscilante é especificado, mas se o sistema for constituído por vários subsistemas
desconexos ou interligados apenas em corrente contínua, haverá necessidade de tantos
barramentos oscilantes quantos forem os subsistemas.
A escolha da barra oscilante deve ser feita entre os nós de geração do sistema, e deve ser
escolhido, se possível, um nó com potência suficiente para atender os requisitos de potência
necessários. Também, a fim de evitar grandes diferenças entre os valores dos ângulos de fase de
barramentos situados nos extremos do sistema deve escolher um barramento, do ponto de vista
elétrico, o mais central possível.
Os três tipos de barras acima são as mais freqüentes e mais importantes que aparecem na
formulação do fluxo de potência. Existem algumas situações particulares, como:
! controle de intercâmbio entre áreas;
! controle de tensão de uma barra de carga através do módulo da tensão de uma barra remota ou
de taps de transformadores (LTC);
! barra de tensão controlada com limites de geração reativa especificada, ou barra de carga com
controle de tensão;
! etc;
nos quais são feitos formulações especiais ou mudanças de um tipo de barramento em outro durante
o processo de resolução do fluxo de potência.
Do que foi analisado até o presente momento, pode-se concluir que o cálculo do fluxo de potência
exige a solução de um sistema de equações algébricas não lineares. Os recursos matemáticos para
resolução de equações não lineares são poucos e além disso tem-se o fato de geralmente não ser
possível dizer se um sistema de equações não lineares tem ou não solução, se a solução obtida é
única ou se existem várias outras soluções matematicamente válidas, se um determinado método de
solução é capaz de obter alguma ou todas as soluções possíveis ou ainda qual solução será obtida.
Todos os problemas acima ficam atenuados pelo fato de que as faixas de valores que podem assumir
as variáveis envolvidas no fluxo de potência, praticamente são as mesmas para a grande maioria dos
Sistemas de Potência, o que permite uma análise dos resultados obtidos e procurando-se corrigir as
distorções que aparecem.
Antes de analisar os métodos iterativos mais importantes para a resolução do fluxo de potência serão
vistas as expressões que, utilizando os valores de tensão obtidos, permitem o cálculo dos fluxos de
potência ativa e reativa em todos os ramos do sistema, das perdas ativas e reativas em cada ramo
e no sistema como um todo, das potências ativa e reativa geradas no barramento oscilante e das
potências reativas geradas nos barramentos PV. Vale enfatizar que estes cálculos são todos diretos
(não iterativos), uma vez conhecidas as tensões nodais do sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
56
! Cálculo dos Fluxos de Potência Ativa e Reativa dos Ramos
Seja a figura 23 que ilustra um ramo representado por uma linha de transmissão ligando dois
barramentos (i) e (k) de um sistema.
Figura 23 – Ramo representativo da linha de transmissão 
onde:
 - tensão complexa do barramento (i);
 - tensão complexa do barramento (k);
 - resistência série total da linha, em módulo;
 - reatância série total da linha, em módulo;
 - susceptância shunt total da linha, em módulo.
Tem-se:
onde e são a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (i), fluem pelo
ramoi-k em direção ao barramento (k). Da mesma forma pode-se escrever:
onde e são, agora, a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (k), fluem
pelo ramo i-k em direção ao barramento (i).
Da figura observa-se que a corrente desmembra-se em duas componentes, uma que flui pelo
elemento série do ramo i-k, denominado de e outra que flui pelo elemento shunt que está do
lado do barramento (i) em direção a terra, denominada por . Logo:
As componentes acima são dadas por:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
57
onde é o elemento ik da matriz . Daí, tem-se
Portanto:
As potências ativa e reativa que compõe a potência complexa acima, são dadas por:
Desenvolvendo a expressão acima da potência complexa e tomando suas partes real 
e imaginária obtém-se:
onde e são os módulos das tensões dos barramentos (i) e (k) e é a diferença
entre os ângulos de fase das tensões nas barras (i) e (k).
Para obtenção de e , basta trocar os índices i e k dos módulos e ângulos de fase das
tensões nas expressões acima. Daí:
No caso de haver várias linhas de transmissão, em paralelo, ligando os barramentos (i) e (k) do
sistema, como ilustra a figura 24, tem-se que a matriz conterá, nas posições i-k e k-i, a
admitância equivalente (com sinal trocado) de todos os ramos série em paralelo, o que significa
a perda das características próprias de cada uma das linhas de transmissão do sistema.
Normalmente, nos cálculos de fluxo de potência, deseja-se determinar os fluxos de potência ativa
e reativa em cada um dos circuitos em paralelo, o que acarreta a não possibilidade de utilização
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
58
direta das expressões acima. Nesse caso deve-se calcular os fluxos de potência utilizando os
parâmetros físicos das linhas (resistência, reatância e susceptância).
Figura 24 – Linhas de transmissão em paralelo
Tem-se que:
Substituindo nas expressões anteriores, obtém-se as seguintes expressões:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
59
No caso do ramo que liga os barramentos (i) e (k) ser um transformador, sem taps ou com taps
nos seus valores nominais, as expressões para cálculo dos fluxos de potência ativa e reativa
podem ser obtidas de maneira idêntica às obtidas para as linhas de transmissão (inclusive podem
ser usadas as mesmas expressões, só que zerando o termo ).
Para transformadores com tap na posição nominal tem-se:
Como normalmente desprezam-se as perdas nos transformadores:
onde xt é a reatância de dispersão do transformador .
Para transformadores com taps fora do nominal (em fase ou quadratura), tem-se:
Desprezando as perdas no transformador:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
60
Se o transformador só apresenta taps em fase, ou seja, q = 0, tem-se:
A expressão geral para um transformador sem perdas e com taps nos enrolamentos do lado i (pi)
e k (pk) é a seguinte:
Se o elemento que liga os barramentos (i) e (k) for um capacitor série, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
61
onde a reatância entra em módulo.
Finalmente para capacitores e reatores de barra (shunt) ligados no barramento (i), tem-se:
! Cálculo das Perdas Ativas e Reativas no Sistema
As perdas ativas e reativas em um ramo i-k de um sistema são dadas pelas diferenças entre as
potências ativas e reativas que saem do barramento (i) e as que chegam ao barramento (k). Como
as potências que chegam ao barramento (k) vindas do barramento (i) são dadas pelo negativo das
potências que saem do barramento (k) em direção ao barramento (i), tem-se
:
onde:
 - perda de potência ativa no ramo i-k;
 - perda de potência reativa no ramo i-k.
O valor de é sempre positivo indicando que para a potência ativa sempre ocorre uma
dissipação no ramo, a menos que a resistência entre os barramentos (i) e (k) seja nula quando,
então a perda ativa é zero. Para o caso de , pode-se encontrar valores negativos, indicando
que na realidade ocorreu um ganho de potência reativa no ramo i-k (o que ocorre com os bancos
de capacitores série e com as linhas de transmissão com um carregamento abaixo de sua potência
característica).
As perdas totais do sistema são dadas pela soma das perdas em todos os ramos. No caso da
potência ativa, a perda total obtida por esta soma é igual (a menos de uma certa tolerância
compatível com a tolerância de convergência do processo iterativo) à soma das potências ativas
injetadas nos barramentos, ou seja, à diferença entre a geração ativa total do sistema e o consumo
total de potência ativa (cargas). 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
62
Então:
No caso da potência reativa, a presença de eventuais capacitores ou reatores de barra deve ser
levada em conta no cálculo da perda total.
onde é a potência reativa gerada pelo capacitor ou reator shunt porventura existente no
barramento (j).
! Cálculo das Potências Ativas e Reativas Geradas
As potências ativa e reativas geradas nos barramentos do sistema podem ser obtidas diretamente
das equações de equilíbrio de potência nos nós (barramentos). Tem-se:
Separando as expressões acima em suas componentes real e imaginária, obtém-se:
como e são dados pelas somas de todos os fluxos ativos e reativos, respectivamente, que
saem do barramento (j) em direção a todos os barramentos ligados a ele (incluindo a terra através
dos elementos shunt, no caso da potência reativa), tem-se ainda:
onde a terra é denotada como barramento (0).
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
63
Estas expressões devem ser utilizadas para obter as potências ativa e reativa geradas pelo
barramento oscilante e a potência reativa geradas pelas barras PV. 
Deve-se lembrar que as expressões acima foram obtidas considerando-se a seguinte convenção de
sinais:
(a)as injeções de potência são positivas quando entram nos barramentos e negativa quando saem
dos barramentos;
(b)os fluxos de potência são positivos quando saem do barramento e negativos quando entram;
(c)os fluxos nos elementos shunt dos barramentos são positivos quando entram no barramento e
negativo quando saem.
A figura 25 ilustra esta convenção de sinais.
Figura 25 – Convenção de sinais para o fluxo de potência nos elementos do SEP
5 – Métodos Iterativos de Solução do Fluxo de Potência
Como visto no item anterior as equações do fluxo de potência são não lineares, o que exige um
processo iterativo para resolve-las. A literatura técnica registra um sem número de métodos
computacionais para o cálculo iterativo das tensões nodais, a partir das equações já descritas.
Apenas alguns poucos, no entanto, chegaram a ter qualquer uso prático em programas de uso geral.
Qualquer que seja o método escolhido, cinco propriedades principais são requeridas para sua
utilização:
! Alta velocidade computacional. Isto é especialmente importante quando se trabalha com grandes
sistemas, com aplicações em tempo real (on-line), com múltiplos casos de fluxo de potência, em
análise de contingências, etc;
! Baixos requisitos de memória computacional. Isto é importante para grandes sistemas e para uso
de pequenos computadores que apresentam uma pequena capacidade de memória como, por
exemplo, nos computadores para aplicações on-line.
! Confiabilidade e segurança da solução obtida. O resultado obtido deve inspirar confiança.
! Versatilidade. É importante que o método seja versátil para representar e resolver além dos
problemas convencionais, diferentes ajustes nos sistema, diferentes representações dos
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
64
componentes e ser susceptível a incorporar processos mais complicados.
! Simplicidade. O algoritmo de resolução deve ser de fácil codificação computacional.
Os métodos para resolução das equações do fluxo de potência podem ser divididos quanto as
equações da rede utilizada e quanto ao tipo de solução iterativa para a determinação das grandezas
da rede. Pode-se citar:
Em geral, pela facilidade de aplicação e construção são utilizadas as equações nodais com a
matriz (mais comum) e a matriz .
Em cada umdos métodos acima existem algumas variantes e opções visando melhorar a
convergência, minimizar o número de cálculos e memória computacional utilizada.
Inicialmente chegou a ser bastante usado o Método de Gauss-Seidel (versão melhorada do
Método de Gauss) que, na sua versão que trabalha com a matriz , apresenta as vantagens
de ser de implementação computacional muito fácil e ocupar muito pouca memória de computador.
No entanto, este método tem as desvantagens de gastar muito tempo para chegar à solução e,
mais grave, apresentar baixa confiabilidade de convergência.
Na tentativa de melhorar a confiabilidade, foi desenvolvida uma versão do método que trabalha
com a matriz . Em parte, o objetivo foi conseguido (maior confiabilidade de convergência),
porém as custas de uma maior dificuldade de implementação e gastos computacionais de tempo
e memória bem maiores.
Com a evolução da tecnologia dos computadores principalmente no que conserne ao aumento de
capacidade de memória, o Método de Newton-Raphson surgiu com uma boa opção e começou
ser bastante investigado. Nos dias de hoje, praticamente todos os programas de uso geral para
a solução de fluxos de potência utilizam diferentes variações do Método de Newton-Raphson. Esse
método foi desenvolvido em sua formulação clássica no fim da década de sessenta. Apesar de ser
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
65
de implementação não muito simples, ele apresenta gastos computacionais de tempo e memória
bastantes razoáveis. Mais importante, porém, e a sua grande confiabilidade de convergência que
veio permitir o seu uso generalizado, mesmo em sistemas antes considerados difíceis, embora
reconheça-se que em alguns tipos de aplicações o método de Gauss-Seidel possa ser mais
eficiente. Mais modernamente, surgiram formulações alternativas, baseadas no método de
Newton-Raphson que, sem perda significativa da confiabilidade, proporcionam uma maior
eficiência computacional e são indicadas em situações onde o aspecto de tempo de solução torna-
se predominantemente importante. 
O Método da Relaxação pode-se dizer que é uma variante do método de Gauss-Seidel. Já o
Método da Secante deriva-se do método de Newton-Raphson. O Método Misto apresenta
combinações dos métodos anteriores, como por exemplo, iniciar o processo iterativo com o método
de Gauss-Seidel passando posteriormente para o método de Newton-Raphson. 
Deve-se ter em mente que apesar do grande desenvolvimento dos computadores digitais no que se
refere aos aumentos de velocidade de processamento e de capacidade de memória é ainda de
grande importância se ter um método eficiente para a resolução do problema do fluxo de potências
no que tange à redução do tempo de processamento e da memória requerida.
Esta importância decorre tanto do fato de que cada vez mais os Sistemas de Potência estão
crescendo vertiginosamente, apresentando um grande aumento no número de barramentos
representados e no número de ligações entre estes barramentos exigindo computadores com maiores
capacidades de memória como também do fato de se ter necessidade do controle mais direto do
sistema, necessitando daí um método mais rápido.
Também a convergência do processo iterativo que existe na solução do fluxo de potência pode ficar
comprometida nas redes modernas pois além de complexas estas redes às vezes possuem
capacitores série (reatâncias negativas), cargas bastante pesadas, transformadores de três
enrolamentos, além de, mais recentemente, também a representação de elos de corrente contínua,
compensadores estáticos variáveis, cargas variando com a tensão, representação de motores de
indução, etc, situações que normalmente prejudicam a convergência. 
5-1 – Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson ou simplesmente método de Newton é um método numérico para a
determinação de raízes reais de equações não lineares mais sofisticado. Não só, na maioria dos
casos, ele não oferece riscos de divergência, como também, como regra geral, a convergência por
ele proporcionada é muito mais rápida do que nos métodos visto anteriormente. O método de Newton
é um método de interpolação e a idéia da resolução de equações não lineares por este método veio
de I.Newton, sendo posteriormente alterada por J.Raphson.
Seja resolver o sistema de equações a seguir:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
66
Seja um vetor das variáveis que constituem uma aproximação a uma
das raízes do sistema acima. Assumindo que sejam as correções
necessárias para que , correspondam a solução deste sistema, tem-se que:
O teorema de Taylor para uma função de duas ou mais variáveis em torno de um ponto
 , diz que:
onde a função f deve ter derivadas parciais contínuas até ordem (m + 1) inclusive e que todas as
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
67
derivadas de f que aparecem são calculadas no ponto . Rm é o erro que
depende da mais alta derivada considerada:
Dependendo da aproximação desejada para a função f é que se escolhe o valor de m a partir do qual
as derivadas de ordem superior a m da função serão desprezadas. 
Expandindo a série de equações anteriores pela fórmula de Taylor e se os valores de
 estão perto da solução, tem-se que são
relativamente pequenos e todos os termos de potência acima de 2 podem ser desprezados. A série
de equações resulta em:
onde as derivadas parciais são calculadas no ponto .
O processo acima "linearizou" o sistema de equações que originalmente era não linear. A
interpretação geométrica deste processo para somente uma equação é equivalente a substituir um
pequeno arco da curva f(x1) = 0 por uma reta tangente, traçada a partir do ponto . Para o sistema
de equações consiste em traçar um "plano tangente" à superfície . 
 
Colocando as equações acima em uma forma matricial, pode-se escrever:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
68
ou seja
onde:
 - vetor que contem os valores numéricos das equações f(x);
 - matriz quadrada de ordem n que contem valores numéricos das derivadas parciais de
primeira ordem de todas as equações f(x), com relação a todas as incógnitas x, calculadas
na iteração i. Esta matriz é denominada matriz jacobiana das funções f(x), e seus
elementos são definidos por:
 - vetor das variações de todas incógnitas x na iteração i.
Logo:
onde os elementos das matrizes e são obtidos pela substituição dos valores atuais (iteração
i) das incógnitas x. 
A solução para cada pode ser obtida pela aplicação de qualquer método para solução de
sistemas de equações lineares (Gauss, Gauss-Jordan, inversão de matrizes, triangularização e
substituição de trás para frente, etc).
Os novos valores das variáveis x são então calculadas.
O processo é repetido até que entre duas iterações sucessivas a diferença para as funções f sejam
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
69
menores que uma tolerância especificada. A este tipo de convergência diz-se absoluta. Pode-se
adotar uma convergência que verifique a variação dos valores de xk, ou seja, os valores de .
Neste caso os valores das funções f dependerão dos parâmetros das funções f1, f2, ... , fk. 
Pode-se notar que o número de iterações até a convergência, como também a possibilidade de
ocorrer a convergência dependerá dos valor inicial adotado. A figura 26 ilustra esta situação.
Figura 26 – Situações de dificuldade de convergência do método de Newton-Raphson
Observa-se desta figura que o método de Newton-Raphson não é muito indicado para resolver
equações cuja curva, próxima do ponto de interseção com os eixos das variáveis, é quase horizontal,
pois neste caso a derivada da função poderá dar um número muito grande levando a erros.
Normalmente, o método de Newton-Raphson funciona bem com funções contínuas convexas.
Também, se a obtenção da derivada das funções f for muito complicada ou sujeita a erros, é
desaconselhável a utilização deste método (pode usar, por exemplo, o método da secante, próximo
ao de Newton). Finalmente, existem situações no qual o método de Newton-Raphson não trazbons
resultados, como mostra a figura 27.
Figura 27 – Situações não aconselhadas para a utilização do método de Newton-Raphson
No método de Newton-Raphson pode-se usar fatores de aceleração, ou seja:
sendo o fator de aceleração, que inclusive pode ser variável para cada equação k. Existem outros
métodos para acelerar o processo, mas o mais simples e mais utilizado é o da extrapolação linear.
Como afirmado a matriz deve ser atualizada a cada iteração. Uma variante do método de
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
70
Newton é obtida considerando-se a matriz constante durante algumas iterações. Nesta variante,
o número de iterações para uma dada tolerância de convergência, em geral, é maior que no método
original, mas cada uma das iterações se torna mais rápida pois a matriz jacobiana não precisa ser
recalculado a cada passo. A figura 28 ilustra algumas situações para uma função x qualquer.
Figura 28 – Manutenção da matriz jacobiana durante alguns passos
Um outra variante do método de Newton, consiste em considerar em cada equação somente uma
variável, mantendo as demais fixas, ou seja, cada equação é função de cada uma das variáveis. Com
isto é eliminado a matriz jacobiana, e a equação genérica para uma função fk qualquer fica:
O método de solução de fluxos de potência com a utilização do método de Newton-Raphson foi
descrito pela primeira vez em 1959, em um artigo de J.E.Van Ness publicado no AIEE. Embora o
método se revelasse promissor, já que conseguia resolver problemas impossíveis de serem
resolvidos pelo método de Gauss-Seidel, com um pequeno número de iterações, a solução era lenta
e exigia uma grande memória para o armazenamento da matriz jacobiana e solução do sistema de
equações lineares. Até 1967, o método ficou em dúvida se era vantajoso com relação ao método de
Gauss-Seidel. A partir deste ano, após a publicação de uma série de artigos da BPA (Boneville Power
Administration) relatando os progressos feitos na aplicação do método de Newton-Raphson ele tomou
o devido impulso e hoje se constitui praticamente a base de todos os programas de fluxo de potência.
A aplicação do método de Newton-Raphson a solução de fluxos de carga consiste em definir um
sistema de equações a ser resolvido, que é definido a partir das potências injetadas nos nós do
sistema.
A equação que expressa o equilíbrio de potências em uma barra (k) qualquer da rede, é dada por:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
71
Para todas as barras do sistema, tem-se:
ou seja:
ou ainda:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
72
Aplicando o método de Newton-Raphson, obtém-se:
onde:
 - vetor das variações das tensões na iteração i;
 - jacobiano do sistema;
 - vetor constituído por termos do tipo:
 
 sendo:
 - potência ativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão 
 disponíveis da iteração anterior;
 - potência reativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão 
 disponíveis da iteração anterior.
Daí:
O sistema acima é constituído de equações complexas, que devem ser desmembradas em equações
reais, para que seja possível sua resolução. Este desmembramento pode ser feito em coordenadas
polares ou cartesianas.
O desmembramento em coordenadas polares dá origem aos métodos desacoplados, e apresenta a
vantagem de trabalhar com módulo e ângulo das tensões, que são variáveis que possuem significado
físico nos sistemas de potência. Já o desmembramento em coordenadas cartesianas, de acordo com
a literatura a respeito, tem se mostrado mais eficiente ao se aplicar o método de Newton-Raphson.
Também, como se verá adiante, o desmembramento das equações em coordenadas polares
possibilita a eliminação das equações dos módulos das tensões das barras tipo PV. No
desmembramento por coordenadas cartesianas perde-se a vantagem desta simplificação. 
O critério normal para convergência no fluxo de potência é que os erros de potência e/ou 
(dependendo do tipo da barra (k)) sejam menores que um erro (ou tolerância) máximo especificado,
ou seja:
onde e são valores empíricos, e normalmente . Os valores do erro máximo
usados na prática variam de sistema para sistema e de problema para problema. Em grandes
sistemas, um erro de 1 MW/MVAr oferece precisão suficiente para a maioria dos estudos práticos
(neste caso em pu, basta fornecer como tolerância o inverso da potência de base do sistema em
estudo). Precisão mais elevada, da ordem de 0.1 MW/MVAr são necessários para estudos especiais,
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
73
como por exemplo, em estudos de estabilidade. Em pequenos sistemas, o valor do erro pode ser
reduzido. Face a estas incertezas, há uma tendência de se usar pequenos valores de tolerância,
menores que os realmente necessários. 
O critério acima é o mais comumente usado. Uma variante utilizada para se testar a convergência é
a seguinte:
Os programas para cálculo de fluxo de potência também podem incluir outros tipos de testes para
verificar se o método de solução está conduzindo o sistema para a divergência ou para alguma
solução estranha. Um teste razoável é checar após cada iteração se o valor das tensões nos
barramentos estão dentro de uma faixa arbitrária (por exemplo, 0.8 a 1.2 pu), cancelando o
processamento em caso contrário. Com isto pode evitar gastos desnecessários em tempo de
computação e também problemas de overflow ou underflow nas operações matemáticas.
O Método de Newton-Raphson em coordenadas polares consiste em expressar as tensões das barras
em forma polar e as admitâncias do sistema em forma cartesiana, as expressões de equilíbrio de
potência tornam-se:
Separando as partes real e imaginária das equações acima, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
74
onde para uma barra qualquer:
Rearranjando e agrupando adequadamente as equações acima, obtém-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
75
ou
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
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Aplicando o método de Newton-Raphson a este conjunto de equações, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
77
ou seja:
Dai:
A matriz jacobiana, neste caso, constará de 4 submatrizes, da forma:
sendo os elementos que formam cada
submatriz::
! submatriz [H]
! submatriz [N']
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
78
! submatriz [M]
! submatriz [L']
Os índices r e s adotados acima referem-se aos nós do sistema e não propriamente aos eixos da
matriz jacobiana.
Com a finalidade de tornar iguais numericamente os termos e , e simétricos os termos 
e da matriz jacobiana, redefine-se o vetor das variações das incógnitas V e , como:
com isso as submatrizes N' e L' passam a
ser denominadas N e L e seus elementos redefinidos como:
! submatriz [N]
! submatriz [L]
Logo:
As equações de definição dos elementos das submatrizes [H], [N], [M] e [L], resultam em:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
79
! submatriz [H]:
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
! submatriz [N]:
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
80
! submatriz [M]:
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
! submatriz [L]:
 - elementos de fora da diagonal (r … s):
 - elementos da diagonal (r = s):
Os valores e correspondem aos erros (desvios ou"mismatches") de potência ativa e reativa
na barra (r), e são obtidos com as fórmulas já descritas. Cabe lembrar que não se pode obter o
"mismatch" de potência reativa nas barras PV.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
81
Das expressões apresentadas pode-se notar que as submatrizes [H], [N], [M] e [L] apresentam
simetria em relação à diagonal principale que sempre que as barras (r) e (s) não estiverem
diretamente conectadas, os termos Hrs, Mrs, Nrse Lrs (e seus simétricos) serão nulos. Estas
particularidades e mais as já relatadas nas equações apresentadas permitem economia no tempo
computacional na montagem da matriz jacobiana, além do fato da matriz jacobiana ser uma matriz
esparsa e com estrutura de esparsidade semelhante à estrutura de esparsidade da matriz . 
Para se levar em conta os tipos de barras na utilização do método de Newton-Raphson tem-se que:
! barra tipo PQ:
Para uma barra (k) qualquer, tipo PQ, como Vk e sãodesconhecidos, são necessários duas
equações fk e gk.
! barra tipo PV:
Para uma barra (k) qualquer, tipo PV, como Vk é conhecido e é desconhecido, só é necessário
uma equação fk (a equação correspondente a pode ser desprezada).
Para as barras tipo PV, como o módulo da tensão não varia, todas as derivadas parciais com
relação a esta tensão serão nulas:
sendo por isto a tensão Vk eliminada do vetor coluna das incógnitas.
! barra tipo :
Para a barra oscilante, como V e θ são conhecidos, não é necessário nenhuma equação para esta
barra.
5-2 – Métodos Desacoplados
Os SEP apresentam, quando operando em regime normal, um fraco acoplamento entre os fluxos de
potência ativa e reativa (esta propriedade é mais efetiva para redes em tensões mais elevadas, acima
de 230 kV). Os fluxos de potência ativa são fortemente influenciados pelo ângulo de fase das tensões
das barras e praticamente independentes dos módulos das tensões. Já os fluxos de potência reativa
são fortemente dependentes do módulo das tensões das barras e fracamente influenciados pelos
ângulos de fase dessas tensões. Logo, pequenas variações na tensão não causam variações
significativas na potência ativa e pequenas variações no ângulo não acarretam variações
significativas na potência reativa.
Os métodos desacoplados procuram tirar partido destas propriedades e estão intimamente
relacionados com o método de Newton-Raphson tradicional.
As equações básicas do método de Newton-Raphson em coordenadas polares são as seguintes:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
82
Os termos e que são as correções no ângulo e na tensão a cada iteração são valores
aproximados (devido ao truncamento no termo de 1ª ordem das equações de fluxo de potência
desenvolvidas segundo o método de Taylor). Como os resíduos e são calculados de
maneira exata, a solução final pode ser obtida com qualquer precisão adotada, simplesmente
prolongando-se o processo iterativo, independente da maior ou menor precisão das correções a cada
iteração.
Os métodos numéricos são mais efetivos quando incorporam em si as propriedades físicas dos
sistemas aos quais são aplicados. Por isso, os métodos desacoplados desenvolvidos para a solução
do fluxo de potência procuram explorar as características de acoplamento P e QV, ou seja:
Este desacoplamento no método de Newton-Raphson traduz nos valores numéricos dos elementos
das submatrizes [M] e [N]. Tem-se que:
Os elementos das submatrizes [N] e [H] são dados por:
Logo, pode observar que:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
83
Os elementos das submatrizes [M] e [L] são dados por:
Logo, pode observar que:
Baseado no exposto acima foram desenvolvidos vários métodos para a solução do fluxo de potência
explorando estas características. Estes métodos desacoplados alteram apenas o algoritmo de
resolução, sem afetar o modelo da rede, por isso não afetam a solução final do fluxo de potência.
No Método de Newton-Raphson Desacoplado (Decoupled Newton) despreza-se as submatrizes [M]
e [N] e as equações do fluxo de potência tornam-se:
Daí:
As equações acima são denominadas equações do fluxo de potência desacopladas.
As equações acima são resolvidas simultaneamente e depois atualizado os valores de e de
, até obter-se a convergência final:
O esquema mais adequado consiste em resolver as equações do fluxo de potência desacoplado em
alternância, sempre atualizando os valores, ora de , ora de , até obter-se a convergência
final:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
84
Pode-se notar que no algoritmo na forma alternada as aproximações feitas (desprezando [M] e [N])
são parcialmente compensadas pela imediata correção das variáveis e V a cada meia iteração.
O método desacoplado pode ainda sofrer uma modificação que, em alguns sistemas, pode apresentar
uma convergência um pouco mais rápida. 
As submatrizes [H] e [L] podem ser escritas como:
onde a matriz [V] é uma matriz diagonal cujos elementos são as magnitudes das tensões nodais. As
equações do fluxo desacoplado ficam:
Logo:
onde os elementos destas submatrizes são:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
85
Com a utilização do desacoplamento tanto a memória computacional exigida na utilização do
algoritmo como o tempo computacional de cada iteração são reduzidos. O número de iterações para
chegar a convergência é, geralmente, maior que o método clássico.
Existem situações nos quais os subsistemas Pθ e QV tem velocidades de convergência distintas: um
dos subsistemas converge antes do outro. Nestes casos pode-se iterar somente com o subsistema
ainda não convergido. Para que isto seja possível são adotados índices para indicar se os
subsistemas P e QV estão convergidos. Ao final de cada meia iteração verifica-se se o outro
subsistema está convergido, em caso afirmativo, volta-se a iterar no mesmo subsistema. 
Vários algoritmos são possíveis para a resolução alternada das equações do fluxo de potência pelo
método desacoplado, sendo mais indicado resolver sempre as equações desacopladas utilizando
os valores de [θ] e [V] mais recentes.
O Método de Newton-Raphson Desacoplado Rápido (Fast Decoupled) é um prolongamento do
método desacoplado e foi desenvolvido por Alsac e Stott.
Seja as expressões dos elementos das submatrizes [H] e [L]:
As seguintes aproximações podem ser introduzidas:
! Em sistemas de transmissão, principalmente em alta tensão, x >> r. Para linhas de transmissão
acima de 230 kV, a relação é maior do que 5, podendo chegar a 20 em linhas de 500 kV. Os
transformadores também apresentam uma resistência desprezível. Logo, para um elemento
qualquer entre as barras (r) e (s):
! Sob condições normais de carregamento, as defasagens angulares entre os barramentos do
sistema apresentam um valor não muito elevado, donde pode-se aproximar:
! As reatâncias shunt (cargas, reatores, capacitores, shunt de linhas) de um sistema de transmissão
são muito maiores que as reatâncias série (linhas e transformadores). Logo, em pu, em valor
absoluto, pode-se dizer:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
86
Com isso as expressões acima podem ser reescritas como:
As equações desacopladas ficam:
As tensões a esquerda estão relacionadas com os termos ΔP e ΔQ. Logo:
As tensões a direita estão relacionadas com os termos e . Logo:
Os termos V a direita de [B’] influenciam os fluxos de potência reativa. Considerando estes termos
como sendo fixos no valor 1 pu, tem-se as equações:
que são as equações do método desacoplado rápido.
Pode-se notar que:
! As submatrizes [B’] e [B”] são elementos da matriz , portanto só dependem dos parâmetros
da rede, não dependendo das variáveis do sistema (módulo e ângulo das tensões das barras);
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
87
! A submatriz [B’] tem dimensão da submatriz [H], portanto de (n - 1) x (n - 1), onde n é o número
de barras do sistema.
! A submatriz [B”] tem dimensão da submatriz [L], portanto de nPQ x nPQ, onde nPQ é o número de
barras PQ do sistema.
O método desacoplado é completado com:
! Omite-se da submatriz [B’] a representação de componentes que afetam predominantemente os
fluxos reativos (reatâncias shunt, taps em fase de transformadores);
! Omite-se da submatriz [B”] a representação de componentes que afetam os fluxos ativos (taps
em quadratura de transformadores);
! Desprezam-se as resistências série no cálculo dos elementos de [B’], aproximando-se por
. Istonão é muito importante mas segundo alguns autores contribui para a convergência.
Com isso os elementos das submatrizes [B’] e [B”] são dados por:
onde Brs e Brrr são os elementos da matriz de susceptâncias [B] (parte imaginária da matriz ) e
xrs é a reatância série da linha de transmissão ou transformador (em módulo).
Com tudo isso as submatrizes [B’] e [B”] resultam reais, esparsas e constantes. Dependendo do
método adotado para resolução das equações desacopladas, estas submatrizes necessitam ser
invertidas ou triangularizadas apenas uma vez no começo da solução do fluxo de potência. A
submatriz [B”] é simétrica e, se não existem transformadores defasadores no sistema (ou se existem,
alternativamente), [B’] também resulta simétrica.
As equações do método desacoplado rápido são resolvidas rapidamente que é um dos maiores
atrativo deste método. Vários algoritmos são possíveis para a resolução das equações do fluxo de
potência desacoplado rápido, sendo mais indicado resolver sempre as equações alternativamente
usando os valores de [θ] e [V] mais recentes.
6 – Exercício de Aplicação
Obter o fluxo de potência para o SEP apresentado na figura 29 pelos métodos de Newton-Raphson
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
88
e desacoplado rápido. Use uma tolerância de 0.1 MW/MVAr. Os dados do sistema estão
apresentados nas tabelas 3-1 e 3-2.
Figura 29 – Diagrama unifilar do SEP para cálculo de fluxo de potência
Tabela 3-1 – Dados de linhas de transmissão
De - Para
Alfa - Beta 0.055 0.450 8.800 100
Beta - Teta 0.055 0.450 8.800 140
Alfa - Gama (1) 0.060 0.300 7.600 210
Alfa - Gama (2) 0.060 0.300 7.600 210
Gama - Teta 0.060 0.300 7.600 190
Tabela 3-2 – Dados dos transformadores
De - Para Tensão kV/kV S -MVA Nº Unidades
Alfa Ger - Alfa 16/230 110 13.2 2
Teta Ger - Teta 13.8/230 80 9.6 2
Adotando numeração para os barramentos do sistema apresentado acima e adotando como potência
de base 100 MVA, pode-se montar o seguinte diagrama unifilar em pu apresentado na figura 30.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
89
Figura 30 – Diagrama unifilar com os dados do SEP
Com os dados acima pode-se montar a matriz :
Admitindo a barra (1) como barra oscilante, não será realizado nenhuma iteração para esta barra. 
A tolerância especificada corresponde a:
Adotando como condição inicial para as tensões das barras os seguintes valores:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
90
pode-se obter os valores dos elementos dos vetores e , a fim de verificar o erro de
potência:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
91
Comparando o maior valor do erro de potência encontrado acima com o erro tolerado, tem-se:
Com isso o processo iterativo inicia. O primeiro passo é montar a matriz jacobiana. Para isto é mais
fácil montar inicialmente as quatro submatrizes [H], [N], [M] e [L], como indicado a seguir, onde 
e representam as funções e do erro de potência. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
92
! Submatriz [H]:
Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:
! Submatriz [M]:
 
Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
93
! Submatriz [N]:
Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:
! Submatriz [L]:
Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
94
Nas submatrizes [H], [M], [N] e [L], pode-se notar o grau de esparsidade, apesar de ser um sistema
pequeno, em comparação com a matriz e também a simetria apresentada pelos valores
numéricos de seus elementos. 
! Matriz jacobiana:
A dimensão da matriz jacobiana será 9 x 9, correspondendo a quatro barras tipo PQ e uma barra
tipo PV. Utilizando-se das submatrizes obtidas pode-se montar a seguinte matriz jacobiana, para
a primeira iteração:
O
b t
i d
a
a
m
a t
r i
z
j a
c
obiana pode-se montar a seguinte equação: 
A equação acima, para obtenção dos vetores incógnitas e , pode ser resolvida de
várias maneiras, sendo uma das mais indicadas, inclusive para uso computacional, através da
triangularização de Gauss da matriz jacobiana e a solução do sistema resultante por substituição de
trás para frente. No presente exercício será feito a inversão da matriz jacobiana, visto que sua
dimensão não é muito elevada e em seguida a multiplicação pelo vetor .
Invertendo a matriz jacobiana resulta:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
95
Logo os vetores de variação e ficam:
Resultando em:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
96
onde os valores das correções dos ângulos estão em radianos e os valores das correções de tensão
em pu. Com estes valores pode-se obter as tensões e ângulos das variáveis para a primeira iteração:
Com os valores acima pode-se obter e , os quais devem ser comparados com a
tolerância de 0.001 pu. O processo iterativo irá continuar até ser obtida a convergência, o qual ocorre
com 3 iterações. A tabela 3-3 ilustra os valores encontrados a cada iteração.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
97
Tabela 3-3 – Valores de cada iteração para o método de Newton-Raphson
 Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3
Barra (2)
Barra (3)
Barra (4)
Barra (5)
Barra (6)
7.271 0.052 0.000
Barra (3) (3) (3)
23.088 0.443 0.000
Barra (4) (4) (4)
Pelo método Desacoplado Rápido é necessário montar as submatrizes e ao invés da
matriz jacobiana, sendo que estas são montadas somente uma vez no início do processo iterativo.
A matriz é obtida desprezando os elementos shunt do sistema (no caso, somente as
susceptâncias das linhas de transmissão) e a resistência de todos os elementos. Com isso, montando
a matriz pode-se extrair:
A matriz como não existe transformadores defasadores no sistema, é extraída diretamente da
matriz :
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
98
Os elementos do vetor , nesta primeira iteração, são idênticos aos já obtidos anteriormente,
devido a mesma estimativa inicial adotada para as tensões. Como o erro resultou superior à
tolerância especificada será necessário proceder a correção dos ângulos. No método desacoplado
rápido, na primeira "meia" iteração, os novos valores dos ângulos serão dados por: 
Tem-se então:
Resolvendo o sistema de equações lineares acima, obtém-se:
Com isto os novos valores dos ângulos passam a ser:
Os elementos do vetor , utilizando os valores de tensão (módulo da iteração anterior e
ângulo já corrigido nesta "meia" iteração), são:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
99
Comparando o maior valor do erro de potência reativa encontrado com o erro máximo tolerado, tem-
se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
100
Como o erro resultou acima da tolerância, completa-se a iteração (com a segunda "meia" iteração)
corrigindo o módulo das tensões, através da equação: 
Tem-se então:
Resolvendo o sistema de equações lineares acima, obtém-se:
Com isto os novos valores dos módulos das tensões passam a ser:
completa-se assim a primeira iteração.
O processo iterativo irá continuar até ser obtida a convergência, o qual ocorre na 3ª iteração, do
mesmo modo que no método desacoplado, só que o tempo computacional gasto foi menor. A tabela
3-4 ilustra os valores encontrados a cada iteração, lembrando que é obtido após a correção do
ângulo da tensão.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
101
Tabela 3-4 – Valores de cada iteração para o método Desacoplado Rápido
 Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3
9.626 0.786 0.016
Barra (3) (3) (4)
Barra (2)
CONVERGÊNCIA
POTÊNCIA
ATIVA
Barra (3)
Barra (4)
Barra (5)
Barra (6)
0.579 0.117 0.007
Barra (4) (3) (3)
Barra (3)
CONVERGÊNCIA
POTÊNCIA
REATIVA
Barra (4)
Barra (5)
Barra (6)
Com os valores de tensão encontrados (módulo e ângulo) a determinação das demais grandezas
pode ser feita através de cálculos diretos, utilizando de fórmulas já deduzidas no ítem anterior. Estes
cálculos correspondem a 2ª etapa de resolução do fluxo de potência. Tem-se:
! Potência injetada pela barra oscilante (1):
Pode-se notar que a barra oscilanteestá fornecendo potência reativa ao sistema.
! Potência reativa injetada pela barra (2) - PV:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
102
o que significa que o gerador da barra (2) também está fornecendo potência reativa ao sistema.
! Fluxo nas ligações do sistema:
! Perda de potência nos ramos do sistema:
! A perda ativa total será dado pela soma de todas as perdas nos ramos do sistema:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
103
valor este que praticamente coincide com a soma das potências injetadas pelas barras:
a menos de um pequeno erro (0.002 pu = 0.2 MW), perfeitamente aceitável.
Os resultados do fluxo de potência se encontram plotados na figura 31.
Figura 31 – Resultados do fluxo de potência
7 – Exercícios
Exercício 1
Responder as seguintes perguntas:
a) Em que consiste e com que finalidade é feito o cálculo do fluxo de potência em Sistemas Elétricos?
b) Enumere cinco aplicações que a seu ver utilizem o fluxo de potência.
c) Enumere duas aplicações em planejamento de Sistemas Elétricos, que a seu ver utilizem o fluxo de potência.
d) Enumere, de maneira clara e concisa, as informações que você acha que podem ser obtidas de um estudo
de fluxo de potência em um sistema Elétrico. Que utilidades tem essas informações?
e) O que se entende por estado de um Sistema de Potência?
Exercício 2
Pergunta-se:
a) Como você definiria barra de carga e barra de geração em termos de fluxo de potência?
b) Que funções cumpre a barra de referência no fluxo de potência? Quais os critérios para a escolha dessa
barra?
c) O que você entende por vetor de controle, de estado e de perturbação em um Sistema de Potência.
d) Deseja-se determinar a quantidade de compensação reativa estática (ou seja, a potência de um banco de
capacitores ou reatores) a ser instalada em uma barra de carga de um sistema com a finalidade de manter
o módulo da tensão nesta barra com valores ao redor de 1.05 [pu], para uma certa condição de carga.
Indique como isto poderia ser feito, utilizando-se um programa de fluxo de potência.
e) Em um estudo de planejamento de um sistema elétrico verificou-se que em períodos de carga pesada, ao
tentar-se manter a tensão da barra (i) em seu valor nominal, a potência reativa fornecida por um condensador
síncrono aí conectado iria ultrapassar o seu limite máximo . Optou-se então por operar com a
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
104
tensão no valor Vi mais próximo possível do nominal que não viesse a causar a violação do limite acima.
Indique como a determinação do valor Vi pode ser feita, utilizando-se o fluxo de potência.
Exercício 3
Um Sistema de Potência possui as suas barras numeradas consecutivamente de 1 a 8. A barra (2) é a de
referência. As barras (3), (5) e (6) são de geração e as demais, de carga. Montar os vetores das variáveis de
controle e de estado para este sistema.
Exercício 4
Considere o sistema da figura abaixo:
A barra (1) corresponde a uma usina térmica auxiliar, cuja potência máxima é 50 [MW]. A barra (2) corresponde
a uma usina hidrelétrica de 800 [MW]. As barras (3) e (4) são grandes centros de consumo de energia.
Responda:
a) Como você especificaria as barras desse sistema para um estudo de fluxo de potência?
b) Dentro de sua especificação, como estão constituídos o vetor de controle e o vetor de estado do sistema?
c) Monte o conjunto de equações:
 
que constitui o modelo básico do fluxo de potência.
Exercício 5
Seja uma barra qualquer de um Sistema Elétrico de Potência, especificada em um estudo de fluxo de potência
como tipo PQ:
O gerador é de 5 [MW] operando com fator de potência 0.95 adiantado. Monte a equação básica para o estudo
de fluxo de potência para esta barra. Use a potência de base de 1000 [MVA].
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
105
Obs: a reatância de j0.1 [pu] já está na base de 1000 [MVA].
Exercício 6
Seja o transformador de 3 enrolamentos abaixo:
Caso se deseje fazer a representação desse transformador em um estudo de fluxo de potência, através de seu
equivalente em estrela, pede-se:
a) Explique como você representaria a barra fictícia que surge devido a esta representação;
b) Monte a equação básica para o estudo de fluxo de potência para esta barra fictícia, explicando cada termo
da equação.
Exercício 7
Seja o Sistema Elétrico de Potência, apresentado na figura abaixo:
a) Como você representaria as barras deste sistema para um estudo de fluxo de potência?
b) Baseado na sua representação como ficaria o vetor de controle para este sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
106
Exercício 8
Uma linha de transmissão liga as barras (i) e (k) de um Sistema de Potência. Os módulos das tensões nessas
barras são mantidos constantes através da ação de reguladores de tensão automáticos aí conectados. Supondo
desprezíveis a resistência e a capacitância da linha pergunta-se qual o valor máximo da potência reativa que
pode sair da barra (i) em direção a barra (k)?
Exercício 9
Seja a linha de transmissão apresentado na figura a seguir, parte de um Sistema Elétrico de Potência, em 230
[kV]. Reguladores de tensão conectados as barras (1) e (2) mantem o módulo das tensões constantes nos
valores V1 = 1.020 [pu] e V2 = 1.010 [pu].
Em uma certa situação de carga foram feitas leituras na subestação (2) e obtidas os seguintes fluxos de
potência:
S a indústria consome uma carga de 80 + j20 [MW/MVAr];
S o fluxo nas demais ligações que saem da barra (2), com exceção da ligação (1)-(2) é de 181.4 - j66.3
[MW/MVAr].
Pergunta-se:
a) Sendo necessário escolher um disjuntor para ser colocado no ponto A, e tendo em disponibilidade os
seguintes disjuntores:
Disjuntor X - Inominal = 700 [A]
Disjuntor Y - Inominal = 750 [A]
Disjuntor Z - Inominal = 800 [A]
Qual o menor disjuntor que você escolheria.
b) Sabendo-se que, por motivos operativos, a maior abertura angular possível entre as barras (1) e (2) é de 30o,
o disjuntor escolhido no item anterior pode ainda ser utilizado?
Exercício 10
Seja o Sistema Elétrico de Potência, apresentado na figura a seguir. Após o processamento de um fluxo de
potência a tensão na barra (5) resultou abaixo do valor mínimo estabelecido pelo critério.
a) Cite e explique três maneiras de ajustar esta tensão baseado nos equipamentos representados no diagrama
unifilar acima. 
b) Indique qual das três maneiras que você citou é a mais eficiente. Explique por quê.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
107
 
Exercício 11
Usando o método de Newton, obtenha o ângulo para o sistema abaixo. Adote uma tolerância de 0.003.
Exercício 12
No Sistema de Potência abaixo:
Partindo de valores estimados iniciais das tensões nodais, efetue duas iterações pelo método de Newton-
Raphson.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
108
Exercício 13
No Sistema de Potência abaixo:
Calcular a primeira iteração pelo método desacoplado.
Exercício 14
Seja um Sistema Elétrico de Potência composto de 6 barramentos, numerados de (1) a (6) onde:
a) o barramento (1) é uma grande hidrelétrica com uma potência instalada de 600 [MVA];
b) o barramento (2) é uma pequena termelétrica de 130 [MVA] que opera nas situações de carga pesada, de
emergência ou de baixa hidraulicidade no sistema;
c) o barramento (3) constitui uma pequena carga industrial de 40 [MW] e 10 [MVAr];
d) o barramento (4) constitui o principal barramento do sistema e não possui nenhuma carga;
e) o barramento (5) constitui um grande centro urbano e industrial com uma carga de 500 [MW] e 100
[MW/MVAr];
f) o barramento (6) pertence a uma indústria em desenvolvimento que atualmente tem uma carga instalada de
160 [MW] e 50 [MVAr].
A matriz deste sistema, em pu, na base 100 [MVA], onde foram desprezados as resistências dos ramos
e todos os transformadores porventura existentes estão com o tap na posição nominal é a seguinte:
Para processar um fluxo de potência o barramento (1) foi especificado como de referência (V = 1.03 [pu]), o
barramento (2) como de geração (V = 1.02 [pu]) e os demais como de carga.
a) Dos resultadosde um fluxo de potência notou-se que a tensão no barramento (3) está muito próximo do seu
limite máximo, que a tensão no barramento (6) está abaixo de 0.95 [pu] (valor mínimo) e que as tensões dos
demais barramentos estão dentro dos limites, com folga.
Sabe-se que no barramento (6) existe os seguintes equipamentos:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
109
- 1 banco de reatores de 15 [MVAr] trifásico;
- 1 banco de capacitores trifásico constituído de 3 unidades de 4 [MVAr], monofásico. 
Pergunta-se:
- Qual dos dois equipamentos voce chavearia para tentar levar a tensão para 0.95 [pu];
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz que serão alterados devido a este
chaveamento;
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz [ B’ ] do método desacoplado rápido que serão
alterados devido a este chaveamento;
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz [ B” ] do método desacoplado rápido que serão
alterados devido a este chaveamento;
b) Supondo que para manutenção um dos transformadores existentes entre os barramentos (4) e (5) deva
ser desligado. Qual e quais os novos valores dos elementos da matriz que serão alterados devido
a este desligamento. Os dados de cada transformador são:
 X = 10%, 150 [MVA], 230/138±10% [kV]
c) Ao se processar um novo fluxo de potência foi alterado o valor da tensão do barramento (2) de 1.02 para
1.00 [pu]. Quais e qual o valor dos elementos da matriz jacobiana, para a 1ª iteração pelo método de
Newton-Raphson, que serão alterados devido a este ajuste?
d) Supondo que os transformadores existentes entre os barramentos (4) e (5) tenham seu tap alterado da
posição nominal para a sua posição máxima.
Pergunta-se:
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz que serão alterados devido a esta
variação de tap;
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz [ B’ ]do método desacoplado rápido que serão
alterados devido a esta variação do tap;
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz [ B” ] do método desacoplado rápido que serão
alterados devido a esta variação de tap;
e) Supondo que mesmo com o chaveamento feito no ítem (a) a tensão no barramento (6) continuou abaixo
do limite mínimo, como voce procederia para tentar ajustar esta tensão, somente utilizando do que se
conhece do sistema comentado acima. Seja sucinto e objetivo em sua resposta, sem deixar dúvidas. Nesta
situação pergunta-se ainda:
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz que serão alterados devido a esta
solução;
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz [ B’ ] do método desacoplado rápido que serão
alterados devido a esta solução;
- Quais e qual o novo valor dos elementos da matriz [ B” ] do método desacoplado rápido que serão
alterados devido a esta solução.
8 – Referências
 1 - ”Introdução à Teoria de Sistemas Elétricos de Potência”, Olle I. Elgerd, Mc Graw Hill do Brasill,
1978.
 2 - “Computer Methods in Power System Analysis”, G.W. Stagg, A..H. El-Abiad, Mc Graw Hill, 1968.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
110
 3 - “Análise de Sistemas de Potência”, J.C. Tibúrcio, EFEI.
 4 - ”Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, Willian D.Stevenson Jr, Mc Graw Hill, 1975.
 5 - “Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 2", D.S. Ramos, E.M. Dias
Guanabara 2, 1982.
 6 - “Electric Power Systems”, Syed A. Nasar, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill, 1990.
 7 - “Modern Power Systems”, J.R.Neuenswander, International Textbook Company, 1971.
 8 - “Power System Analysis”, C.A.Gross, John Wiley & Sons, 1979.
 9 - “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, A.Monticelli, Edgard Blücher Ltda, 1983.
 10 - “Fluxo de Potência - Método de Newton-Raphson”, C.M.V.Tahan,Dissertação de Mestrado,
EPUSP, 1978.
 11 - “Aspectos Teóricos Relacionados a Solução de Fluxos de Potência”, M.A.P.Lefévre, 1978.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
111
CAPÍTULO 5
ANÁLISE DE CURTO-CIRCUITO EM REGIME
PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA
1 – Introdução
O Sistema Elétrico de Potência opera normalmente em condição trifásica equilibrada. Uma série de
indesejáveis mas inevitáveis incidentes podem causar um afastamento desta condição. Quando uma
falha no isolamento em um ou mais pontos do circuito ou quando um ou mais condutores energizados
entram em contato com outros condutores ou à terra é dito que um curto-circuito ou uma falta está
ocorrendo no sistema.
As causas das faltas são muitas:
! descargas atmosféricas;
! estragos causados por ventos e tempestades;
! árvores e galhos caindo sobre as linhas de transmissão;
! veículos e aviões colidindo com torres de linhas de transmissão;
! pássaros colidindo com condutores;
! vandalismo;
! queimadas;
! pequenos animais acarretando operação de equipamentos;
! poluição nas áreas industriais e marítimas, excesso de sal, fuligem ou gelo, nas cadeias de
isoladores;
! falha mecânica das cadeias de isoladores;
! etc.
Apesar da bibliografia a respeito não ser completamente coerente, pode-se afirmar que a grande
maioria das faltas ocorrem nas linhas de transmissão expostas, devido a rompimento de isolação.
Segundo a literatura técnica cerca de 20% das faltas em linhas de transmissão são devidos a
descargas atmosféricas.
Os defeitos fugitivos ou passageiros constituem a maioria das faltas que ocorrem no Sistema Elétrico
de Potência, com cerca de 95% dos casos totais.
Uma falta é sempre acompanhada por um colapso instantâneo, total ou parcial, das tensões através
do sistema, reduzindo a capacidade de transmissão de energia de partes do mesmo e acarretando
oscilações mecânicas entre as máquinas. Além disso, as correntes de falta podem atingir valores
muito elevados causando danos, tanto térmicos quanto mecânicos, nos equipamentos. 
As faltas que ocorrem no Sistema de Potência podem ser classificados como faltas balanceadas
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
112
ou simétricas e faltas não balanceadas ou assimétricas:
! as faltas simétricas são as faltas fase-fase-fase (trifásica) ou fase-fase-fase-terra (trifásico-terra).
Estas faltas podem ser sólidas, isto é, com impedância nula entre os condutores de fase, ou então
consistir de impedâncias iguais, diferentes de zero entre os condutores, como mostra a figura 1.
Figura 1 – Exemplos de faltas simétricas
A falta trifásica com impedância é analiticamente o mesmo que uma carga trifásica balanceada,
e como tal pode ser analisada. Segundo a literatura técnica, cerca de 5% das faltas são trifásicas.
S as faltas assimétricas são as faltas fase-fase (bifásicas), fase-fase-terra (bifásicas-terra), fase-terra
(monofásicas). Todas estas faltas podem ser sólidas ou apresentarem impedâncias de conexão
entre os pontos de defeito. Também se situam nesta categoria as faltas trifásicas desequilibradas
(com impedâncias diferentes entre os condutores), envolvendo ou não a terra. A figura 2 ilustra
estas situações.
Também segundo a literatura técnica, cerca de 70% das faltas são monofásicas, 15% bifásicas
e 10% bifásicas à terra.
Em ordem de gravidade, pode-se dizer que a falta trifásica sólida é a mais severa, seguido da falta
bifásica (à terra ou isolada) e da falta monofásica.
Todas as faltas acima são classificadas como faltas “shunt” (curto-circuitos). 
As faltas ainda podem ser classificadas como faltas série (abertura de condutores) que pode
corresponder ao rompimento de um ou mais condutores de uma linha de transmissão ou a abertura
monopolar de um disjuntor. A figura 3 ilustra esta situação.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
113
Figura 2 – Exemplos de faltas assimétricas
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
114
Figura 3 – Exemplos de abertura de condutores
A inserção de impedância em série com uma ou mais fases de uma linha pode também ser
considerada como uma falta série. Esta situação pode corresponder, por exemplo, à atuação de um
ou dois dos gaps protetores de bancos de capacitores série,colocando o mesmo fora do circuito, e
introduzindo o circuito de amortecimento, em caso de defeito ou sobrecarga. A figura 4 ilustra esta
situação.
Figura 4 – Exemplos de desequilíbrios série
Finalmente deve ser considerado também a ocorrência de faltas simultâneas, ou seja, mais que uma
falta ocorrendo ao mesmo tempo. Isto pode ocorrer, por exemplo, quando da queda de uma fase à
terra, causando, um circuito aberto e um curto à terra na fase com falta. Outro exemplo, pode ser a
atuação dos gaps protetores de um banco de capacitores série devido à corrente de falta em algum
outro ponto da linha.
A incidência de um ou outro tipo de falta depende da localização, por exemplo, em lugares
extremamente secos, como nas áreas desérticas, as faltas à terra são mais raras, ao passo que em
outros locais elas são maioria.
O estudo de curto-circuito em Sistemas Elétricos de Potência ocorre em várias fases do mesmo:
! planejamento;
! projeto;
! ampliações;
! etc.
Os resultados obtidos de um estudo de curto-circuito, são:
! determinação das correntes e tensões de falta para pontos determinados do sistema;
! contribuição de correntes nos ramos do sistema para defeitos no sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
115
As finalidade do estudo de curto-circuito são, principalmente, os seguintes:
! fornecer subsídios para definir características e ajustes de proteção, por exemplo:
- tempo de atuação da proteção;
- calibração de relés;
- necessidade de abertura e religamento monopolar;
- etc;
! definir características dos equipamentos e componentes do sistema, por exemplo:
- capacidade disruptivas de disjuntores;
- esforços mecânicos em barramentos, transformadores e geradores;
- especificar pára-raios;
- etc;
! fornecer subsídios para outros estudos, por exemplo, estudos de estabilidade;
! etc.
A quantidade de informações e o nível de detalhamento que se deseja de um estudo de curto-circuito
varia enormemente de caso para caso e depende da finalidade para qual se realiza o estudo. Em um
extremo pode-se desejar apenas o valor aproximado dos níveis de curto-circuito (capacidades de
curto-circuito) em um ou alguns barramentos do sistema enquanto em outros pode-se exigir detalhes
desses níveis para todas os barramentos do sistema bem como das contribuições das correntes e
as tensões pós-falta, em todos os barramentos.
Normalmente, deseja-se alguma coisa no meio termo entre tais extremos, como por exemplo, a
corrente de curto-circuito em apenas alguns barramentos e as contribuições apenas das linhas que
estão conectadas a tais barramentos.
Por essa razão é comum na análise digital fazer-se programas de curto-circuito bastantes flexíveis
com respeito a tais exigências, dando ao usuário várias opções de saída dos resultados.
A maneira mais direta de calcular as correntes de falta em um sistema durante um curto-circuito seria
resolver um fluxo de potência (convencional ou trifásico) onde o barramento em curto fosse ligada à
terra por meio de uma impedância de valor muito pequeno, mas não zero (curto sólido) ou a
impedância de defeito. Esse procedimento, porém, é proibitivo em termos de tempo de solução digital,
principalmente quando deseja-se calcular curto-circuito em muitos ou em todos os barramentos do
sistema. A razão disso é que os fluxos de potência, por serem problemas não-lineares, exigem
soluções iterativas, além do fato da dificuldade de se obter a convergência visto as características do
ponto de defeito (normalmente baixa impedância).
Inicialmente, baseado no sucesso alcançado no estudo do fluxo de potência, o método de Ward e
Hale foi empregado para estudos de curto-circuito com aplicação em computadores digitais (Coombe
e Lewis, em 1956). Este método acarretava uma técnica iterativa para a resolução do curto-circuito.
Em uma análise de curto-circuito o perfil de tensões é alterado drasticamente de uma condição do
sistema para outro (os barramentos intimamente acoplados ao barramento em curto terão suas
tensões muito reduzidas com relação a situação normal). Isto requer uma solução iterativa completa
para cada mudança na localização da falta e na configuração do sistema. Este procedimento
consome muito tempo, principalmente se tensões e correntes são requeridas para um grande número
de localizações da falta. Conseqüentemente, este método não foi adotado genericamente.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
116
O desenvolvimento de um método rápido para aplicação em computador digital levou a utilização do
teorema de Thévenin aliado à matriz de impedância nodal, eliminando os trabalhos dos métodos
iterativos para análise de curto-circuito. Este método resultou eficiente, visto que a determinação das
correntes e tensões de curto-circuito podem ser feitas com poucas e simples operações aritméticas.
Desta forma algumas suposições e simplificações serão feitas permitindo esta solução direta (não
iterativa) do problema de curto-circuito.
2 – Suposições e Aproximações
Nos cálculos de curto-circuito comumente são feitas as seguintes simplificações:
! Os geradores são representados por uma f.e.m. constante atrás de uma impedância.
A representação exata dos geradores síncronos levaria a um sistema de equações diferenciais
simultâneas extremamente complexo. Apesar de sua solução ser possível, tal representação não
é necessária em vista da precisão desejada nos estudos de curto-circuito não ser tão grande.
! As cargas podem ser representadas por impedâncias constantes (independentes das tensões)
ligadas à terra, ou simplesmente ignoradas.
A representação exata das cargas ou de seu comportamento durante um curto-circuito não é
simples. Por outro lado, as correntes de falta são, geralmente, da ordem de 10 ou mais vezes as
correntes de carga e quase que puramente reativas, enquanto que as correntes de carga, ao
contrário são quase puramente reais. A corrente total pós-falta é obtida como a soma vetorial de
duas correntes com defasagem de cerca de 90o, o que com uma boa aproximação, é igual ao da
maior das duas, o que equivale a desprezar a corrente de carga (pré-falta).
O efeito destas aproximações é linearizar o modelo do sistema, eliminando as equações da forma 
(o que causam a dificuldade da solução do fluxo de potência) ficando o circuito com elementos
lineares alimentados por fontes de tensão constantes, permitindo desta forma a sua solução direta,
como mostra a figura 5.
Figura 5 – Modelo linearizado para estudo de curto-circuito
As considerações acima são feitas para simplificar o problema de acordo com a precisão requerida.
Por razões de conveniência, fazem-se mais algumas suposições que simplificam ainda mais o
problema. Algumas delas são:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
117
! todas as f.e.m. atrás das reatâncias são feitas em fase e com o mesmo módulo;
! todas as tensões dos barramentos antes da falta são iguais (normalmente 1.0 pu);
! os elementos “shunt” do sistema são desprezados;
! as defasagens em transformadores são desprezadas, e que os transformadores com mudança
de tap, estejam em sua posição nominal de derivação.
Os efeitos das simplificações e suposições acima foram comparados no artigo "Short Circuit
Comparison Study", de Shipley R.B., Coleman D. e Nason W.L. [1]. Varias representações, desde as
mais simples até as mais complexas, foram usadas para vários sistemas testes e estudos completos
de curto-circuito. As diferenças nos resultados obtidos nunca ultrapassaram 10% em relação ao caso
mais exato, o que viabiliza as representações mais simples.
Finalmente, completa-se as suposições admitindo-se que a rede seja balanceada (equilibrada). Isto
permitirá o uso de componentes simétricas para a análise de faltas assimétricas, pois o sistema
poderá ser representado por três redes de seqüência independentes, e também que os geradores
mantenham em seus terminais uma tensão perfeitamente senoidal nas três fases e de seqüência
positiva apenas.
3 – Revisão de Componentes Simétricas
Como já comentado, a maioria das faltas que ocorrem nos SEPsão assimétricas. Como qualquer
falta assimétrica provoca a circulação de correntes desequilibradas no sistema, não mais se justifica
a hipótese de equilíbrio entre as três fases do sistema o que acarretava uma representação unifilar
do mesmo. A maneira mais direta de resolver o problema seria usar uma representação trifilar com
valores por fase, o que acarreta uma grande complexidade na análise.
Nessas condições, é extremamente útil a transformação em componentes simétricas para simplificar
o problema. O método das componentes simétricas é uma das mais poderosas ferramentas par se
tratar com circuitos polifásicos desequilibrados. Ele foi proposto em 1918, pelo Dr. C.L.Fortescue, em
seu artigo "Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks" [2].
Neste artigo, Fortescue propõe que um sistema desequilibrado de n fasores correlacionados, pode
ser decomposto em n sistemas de fasores equilibrados, denominados componentes simétricos dos
fasores originais. Os n fasores de cada conjunto de componentes são iguais em módulo e apresentam
a mesmo ângulo entre eles. O método é aplicável em sistemas com qualquer número de fases, mas
será discutido aqui somente as componentes para sistemas trifásicos.
Sejam as correntes (poderiam ser tensões) nas três fases de um sistema elétrico trifásico
desequilibrado dadas por , e em um determinado ponto do sistema, como ilustra a
figura 6.
Figura 6 – Sistema de correntes desequilibradas
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
118
De acordo com o teorema de Fortescue, os três fasores desequilibrados acima podem ser
substituídos por três sistemas equilibrados de fasores. Esses sistemas são:
! Sistema de seqüência positiva representado por um sistema equilibrado de fasores tendo
a mesma seqüência de fases do sistema original (portanto rotação no sentido positivo). Esses
fasores são iguais em módulo e apresentam um defasamento entre eles de 120o. São
representados pelos índices 1 ou +;
! Sistema de seqüência negativa representado por um sistema equilibrado de fasores tendo
seqüência de fases oposta do sistema original (portanto rotação no sentido negativo). Esses
fasores também são iguais em módulo e apresentam também um defasamento entre eles de 120o.
São representados pelos índices 2 ou -;
! Sistema de seqüência zero representado por três fasores iguais em módulo e sem defasagem
angular (defasagem zero) entre eles. São representados pelo índice 0.
A figura 7 ilustra estes três sistemas.
Logo os três fasores , e podem ser expressos em termos de suas componentes simétricas
como:
É conveniente, devido as diferenças de fase dos componentes simétricos num sistema trifásico, que
é de 120o, dispor-se de um operador para realizar a rotação de um fasor deste valor. O operador que
realiza esta operação é designado pela letra a e causa uma rotação de 120o no sentido anti-horário
no fasor ao qual é aplicado. Ele é um número complexo de módulo unitário e fase 120o:
Portanto, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
119
Figura 7 – Fasores de seqüência positiva, negativa e zero
Logo:
ou, na forma matricial:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
120
ou, mais suscintamente:
onde representa o vetor com os valores das correntes por fase, para as três fases, e 
o vetor com os valores dos componentes simétricos da corrente para a fase a e pode ser escrito com
uma notação simplificada:
embora o índice a tenha sido omitido na equação acima subentende-se que os componentes se
referem à fase a.
A matriz [A] pode ser interpretada como uma matriz de transformação que transpõe valores de
componentes simétricos para valores de fase:
As equações acima para obtenção dos valores de fase a partir dos valores de seqüência são
conhecidas como equações de síntese. Estas equações podem ser resolvidas analiticamente ou
graficamente, como mostra a figura 8:
Figura 8 – Obtenção gráfica das componentes de fase a partir das componentes de seqüência
Multiplicando ambos os membros da equação de síntese por [A]-1, tem-se:
as quais são conhecidas como equações de análise. Estas equações definem a transformação de
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
121
valores de fase para valores de componentes simétricos. A matriz [A]-1 é definida por:
Portanto, tem-se:
A figura 9 mostra como obter as componentes de seqüência graficamente.
Figura 9 – Obtenção gráfica das componentes de seqüência a partir das componentes de fase
Da mesma forma que foi feito para as correntes, pode-se usar componentes simétricos para
representar as tensões de fase em um determinado ponto do sistema. O desenvolvimento é análogo
e resulta nas seguintes equações:
onde [A] e [A]-1 são as mesmas matrizes de transformação definidas anteriormente.
As vantagens do uso da transformação em componentes simétricos é que sendo a rede equilibrada
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
122
até o ponto de falta, pode-se representa-la por três redes de seqüência independentes. Com isso as
correntes e tensões de um dos sistemas não tem qualquer influência sobre os demais, acarretando
equações nodais totalmente desacopladas para cada uma das seqüências.
Seja a figura 10 que mostra parte de um SEP qualquer representado por fase, em um diagrama trifilar.
Figura 10 – Diagrama trifilar de parte de um SEP
Ao ser decomposto em componentes simétricos o sistema acima dará origem aos três sistemas
equilibrados, e portanto representado por diagramas unifilares, como mostrados na figura 11.
Figura 11 – Diagramas de seqüência do SEP da figura 10
Para obter os três sistemas acima, ou seja, as componentes simétricas das impedâncias e
admitâncias do sistema, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
123
onde é uma matriz 3 x 3 não diagonal devido o acoplamento entre as fases.
Usando a transformação em componentes simétricos a tensão e a corrente, tem-se:
ou seja:
Logo:
Similarmente:
Se o sistema original é balanceado as matrizes e resultam em matrizes
diagonais, e os sistemas decomponentes serão independentes entre si e possuirão equações nodais
desacopladas. Logo, em termos de matrizes de impedância nodal, poderá se escrever:
! para o sistema de seqüência positiva:
! para o sistema de seqüência negativa:
! para o sistema de seqüência zero:
É importante observar que os sistema de seqüência positiva e negativa sempre tem topologias iguais,
porém o sistema de seqüência zero pode ter topologia diferente, já que certos tipos de conexões de
transformadores, não dão passagem às correntes de seqüência zero. Existem maneiras de contornar
esta dificuldade.
Se as topologias das redes nas três seqüências forem iguais, as matrizes , e terão
a mesma dimensão e poderão ser obtidas ao mesmo tempo, com idênticas considerações a respeito
de cada uma das redes. Por exemplo, utilizando o método de obtenção direta das matrizes de
impedâncias, a mesma ordenação de ramos vale para as três seqüências, só que as operações
aritméticas para o processamento de um ramo são realizadas três vezes, uma para cada seqüência.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
124
Com as matrizes , e , os diversos tipos de curtos-circuitos assimétricos e aberturas
de condutores podem ser analisados de forma análoga ao curto-circuito trifásico, isto é, utilizando o
teorema de Thévenin.
4 – Representação dos Componentes
4-1 – Geradores
Os geradores são acionados por turbinas, motores diesel, turbinas hidráulicas ou outro tipo de
máquinas motrizes. Quando ocorre um curto-circuito no circuito alimentado por um gerador, este
continua a produzir tensão, porque o campo de excitação é mantido e a máquina motriz aciona o
gerador, substancialmente à velocidade normal.
São representados por uma tensão atrás de uma impedância (ou reatância). Os valores dessa
impedância (ou reatância) dependerá da finalidade do estudo. Normalmente a resistência da
armadura é desprezada, visto ser muito menor que o valor correspondente da reatância, o que
acarreta o uso da reatânciaao invés da impedância. Os valores das tensões usadas dependem da
aproximação desejada. A figura 12 ilustra este modelo.
Figura 12 – Modelo do gerador para estudos de curto-circuito
A reatância (e conseqüentemente a ) de um gerador não é um valor constante, mas sim
variável com o tempo. A corrente de curto-circuito em um gerador comporta-se como mostrado na
figura 13 (neste caso é assumido que o rotor do gerador apresenta enrolamentos amortecedores).
Nota-se que a corrente irrompe sob um alto valor e decai ao estado permanente após alguns
instantes. Já que a tensão de excitação e a velocidade permanecem substancialmente constantes
dentro do curto intervalo de tempo considerado, uma variação da reatância aparente da máquina
pode ser admitida, para explicar a variação na magnitude da corrente de curto-circuito com o tempo.
A expressão dessa reatância variável em função do tempo requer uma expressão complicada e com
o propósito de simplificar a análise três valores de reatância são associadas ao gerador. A reatância 
(e conseqüentemente ) usada no modelo apresentado acima dependerá do tipo de estudo a ser
feito:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
125
Figura 13 – Corrente de curto-circuito do gerador
! quando se deseja obter a corrente de curto-circuito no instante imediatamente após a ocorrência
do defeito (0.05 - 0.1 (s)), o valor de usado é:
onde é a reatância subtransitória do gerador ligado no barramento (k). A reatância
subtransitória é a reatância aparente do enrolamento do estator no instante que ocorre o curto-
circuito e é definida como o valor eficaz da tensão de fase em circuito aberto antes do curto
dividida por OC/ (vide figura 13);
! quando se deseja obter a corrente de curto-circuito alguns instantes após a ocorrência do defeito
(0.2 - 2 (s)), o valor de usado é:
onde é a reatância transitória do gerador ligado no barramento (k). A reatância transitória é
a reatância aparente inicial do enrolamento do estator, se o efeito de todos os enrolamentos
amortecedores forem ignorados, considerando-se somente o enrolamento do campo. Esta
reatância é definida como o valor eficaz da tensão de fase em circuito aberto antes do curto
dividida por OB/ (vide figura 13);
! quando se deseja obter a corrente de curto-circuito para o sistema em regime, o valor de 
usado é:
onde é a reatância síncrona, do gerador ligado no barramento (k). A reatância síncrona é a
reatância aparente que determina o fluxo de corrente, quando uma condição estacionária é
atingida e é definida como o valor eficaz da tensão de fase em circuito aberto antes do curto
dividida por OA/ (vide figura 13).
Normalmente, tem-se que:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
126
Todas as três reatâncias acima são consideradas como sendo a reatância de seqüência positiva do
gerador.
Os valores de tensões utilizadas no modelo podem ser:
! tensões desiguais em módulo e ângulo para cada gerador. 
Seja o gerador apresentado na figura 14 que está ligado ao barramento (k).
Figura 14 –Tensão do gerador para estudos de curto-circuito
Baseado neste modelo, tem-se o modelo apresentado na figura 15.
Figura 15 – Modelo de seqüência positiva do gerador para estudos de curto-circuito
Pode-se escrever:
Logo:
Resultando em:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
127
onde os valores de e são obtidos de um fluxo de potência correspondente ao instante
imediatamente anterior ao curto-circuito;
! o módulo da tensão de cada gerador ( ) é adotado igual ao módulo da tensão do barramento
no qual o gerador está ligado ( ) (obtido de uma solução de fluxo de potência), enquanto que
os ângulos das tensões em todos os geradores são adotados como iguais (geralmente 0o);
! as tensões em todos os geradores são adotados iguais em módulo e ângulo (normalmente 1.0 pu
e 0o).
A opção mais utilizada é a última porque dispensa uma solução prévia do fluxo de potência.
Quando se calcula curtos assimétricos serão necessários os modelos do gerador para seqüência
negativa e zero, os quais são os seguintes:
! seqüência negativa, mostrado na figura 16, onde X2 é a reatância de seqüência negativa do
gerador (k).
Figura 16 – Modelo de seqüência negativa do gerador para estudos de curto-circuito
! seqüência zero mostrado na figura 17, onde X0 é a reatância de seqüência zero do gerador (k) e 
a impedância de aterramento que porventura exista neste gerador.
Figura 17 – Modelo de seqüência zero do gerador para estudos de curto-circuito
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
128
4-2 – Cargas
As cargas nos estudos de curto-circuitos podem ser representadas das seguintes maneiras:
! ignoradas;
! representadas por uma força eletromotriz (f.e.m.) atrás de uma reatância (no caso de motores)
ou como impedância constante.
A representação por impedância constante é feita com os valores obtidos do estudo de fluxo de
potência.
Para isso seja a figura 18.
Figura 18 – Modelo de seqüência positiva da carga para estudos de curto-circuito
Tem-se:
Combinando as equações acima, obtém-se:
onde é a impedância representativa da carga, ligada do barramento à referência.
Tem-se, conseqüentemente:
Caso não se deseje processar inicialmente um fluxo de potência pode-se adotar igual a 1.0 pu.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
129
As cargas tipo potência constante ou corrente constante não podem ser representadas por serem não
lineares, não permitindo com isso aplicar os teoremas de Thévenin (para obter as correntes de falta)
e da superposição (caso de deseje considerar as correntes pré e pós-falta).
Como o circuito para análise de curto-circuito foi linearizado, pode-se inicialmente desprezar as
cargas, calcular as correntes de curto-circuito e depois superpor as correntes de carga anteriores ao
curto obtidas de um fluxo de potência.
O modelo da carga para seqüência negativa é idêntico ao modelo de seqüência positiva (acima). O
modelo da carga para seqüência zero pode ser desprezado visto que normalmente as cargas são
supridas por transformadores com o neutro isolado, não permitindo a passagem de correntes de
seqüência zero. Caso não o seja é necessário proceder a testes para determinar o comportamento
da carga nesta situação.
4-3 – Linhas de Transmissão
São representadas pelo seu circuito π equivalente, conforme ilustra a figura 19.
Figura 19 – Modelo de seqüência positiva da LT para estudos de curto-circuito
No caso de linhas curtas (comprimento até 80 km) ou cuja tensão não seja superior a 69 kV, é comum
desprezar as susceptâncias capacitivas no circuito π equivalente. As linhas médias e longas devem
ser representadas pelo circuito π equivalente completo. 
No caso das linhas longas (acima de 250 km) os parâmetros devem ser corrigidos (teoria da linha
longa) e podem ser obtidos através dos parâmetros , , e da linha considerada como um
quadripolo, como mostrado na figura 20.
Figura 20 – Parâmetro da LT corrigidos com a distância
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
130
onde:
sendo:
 - impedância característica da linha de transmissão (pu);
 - constante de propagação da linha de transmissão (rad).
No caso da existência de reatores shunt ligados diretamente aos extremos da linha é comum
incorporá-los às admitâncias e , ou seja:
onde e correspondem à potência reativa dos reatores ligados nos extremos da linha de
transmissão.
Normalmente nos estudos de curto-circuito são desprezados os elementos “shunt” das linhas de
transmissão, independente do comprimento da mesma, resultando no modelo apresentado na figura
21.
Figura 21 – Modelo simplificado de seqüência positiva da LT para estudos de curto-circuito
Também em algumas situações a resistência série pode ser desprezada, resultando no modelo
apresentado na figura 22.
Figura 22 – Modelo simplificado de seqüência positiva da LT desprezando a resistência
No modelo de seqüência negativa os parâmetros das linhas de transmissão são os mesmos do
modelo de seqüência positiva, já que a linha de transmissão é um componente estático.
O modelopara seqüência zero é idêntico ao modelo de seqüência positiva mas com os parâmetros
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
131
do circuito diferentes (impedância série e admitância para a terra). Os parâmetros de seqüência zero
terão diferentes valores dependendo do caminho de retorno para as suas respectivas correntes de
seqüência que pode ser a terra (dependente do tipo de solo, umidade e outros fatores), ou os próprios
cabos pára-raios da linha de transmissão (dependente do material, se são aterrados e outros fatores).
A impedância de seqüência zero das linhas é muito mais alta do que a de seqüência positiva.
No modelo de seqüência zero, pode aparecer uma impedância mútua entre dois ou mais circuitos,
refletindo o acoplamento magnético entre os circuito de linhas de transmissão que compartilham a
mesma torre (circuito duplo) ou entre circuitos que, embora em torres diferentes, ocupam a mesma
faixa de passagem. Esta impedância mútua deve ser levada em conta quando dos cálculos de curto-
circuitos envolvendo a terra.
4-4 – Transformadores de 2 enrolamentos
No modelo de seqüência positiva os transformadores são representados pela sua impedância (ou
reatância) de dispersão. Se o transformador apresenta taps estes são considerados colocados nas
posições nominais.
O modelo do transformador de 2 enrolamentos está apresentado na figura 23, onde é a
impedância (reatância) de dispersão do transformador.
Figura 23 – Modelo de seqüência positiva do transformador para estudos de curto-circuito
Como o transformador é um elemento estático a sua impedância de seqüência negativa é igual a de
seqüência positiva.
No modelo de seqüência zero, deve ser considerado o tipo de ligação (estrela, estrela aterrado ou
triângulo) dos enrolamentos primário e secundário do transformador, e também a eventual impedância
de aterramento caso exista. Este modelo está representado na figura 24.
Figura 24 – Modelo de seqüência zero do transformador para estudos de curto-circuito
onde é a impedância de seqüência zero do transformador que depende ser o mesmo um banco
de transformadores monofásicos ou um banco trifásico e também do tipo de núcleo (envolvido ou
envolvente). Esta impedância pode ser obtida analiticamente ou através de ensaios no
transformador. e são as impedâncias de aterramento dos enrolamentos (i) e (k) (neste caso
os enrolamentos obrigatoriamente devem ser em estrela). As chaves no modelo devem ser fechadas
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
132
dependendo da ligação do enrolamento correspondente. Se um dos enrolamentos for em estrela não
aterrada a impedância de seqüência zero do transformador é infinita (todas as chaves abertas). Deste
modelo pode-se notar que a impedância de seqüência zero terá em geral valores bem diferentes,
dependendo do lado que as correntes forem injetadas. 
Se em algum estudo se deseje representar o transformador com seus taps variáveis, a sua
representação é a usual (circuito pi). Deve-se lembrar que se um ou ambos os taps estiverem em
valores fora do nominal aparecerão ramos shunt para a terra (estes ramos normalmente são
desprezados nos estudos de curto-circuito), como mostra a figura 25.
Figura 25 – Modelo de seqüência positiva do transformador considerandos os taps
sendo:
onde:
- impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
- tensão de base do barramento (i);
- tensão de base do barramento (k).
4-5–- Transformadores de 3 enrolamentos
Os transformadores de 3 enrolamentos podem ser representados por seu equivalente em triângulo
ou em estrela. Os modelos para seqüência positiva e negativa são idênticos e seus elementos
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
133
apresentam o mesmo valor. Nos estudos de curto-circuito a representação em estrela é a mais
utilizada.
A representação pelo equivalente em estrela acarreta o aparecimento de um nó fictício entre os
barramentos terminais do transformador, como mostra a figura 26.
Figura 26 – Modelo de seqüência positiva, em estrela, do transformador de 3 enrolamentos para
estudos de curto-circuito
sendo:
onde:
 - impedância i-k do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância k-j do transformador referida à potência de base (pu);
 - impedância j-i do transformador referida à potência de base (pu).
As impedâncias , e são obtidas de ensaios de curto-circuito realizados nos três enrolamentos
do transformador. Todas a impedâncias devem estar em pu ou então referidas ao mesmo lado do
transformador.
A outra maneira de representar o transformador de três enrolamentos é através de um circuito ligado
em triângulo. Nesta representação não é necessário a criação do barramento fictício como mostra
a figura 27.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
134
Figura 27 – Modelo de seqüência positiva, em triângulo, do transformador de 3 enrolamentos para
estudos de curto-circuito
As impedâncias entre os barramentos terminais do transformador pode ser obtida dos valores da
representação em estrela:
Como já comentado nos estudos de curto-circuito todos os taps são considerados colocados na
posição nominal. Caso se deseje representar taps variáveis eles podem ser representados da
maneira vista no item precedente.
De forma análoga ao transformador de 2 enrolamentos, para se obter o modelo para seqüência zero
do transformador de 3 enrolamentos deve-se levar em conta a forma de ligação dos enrolamentos
primário, secundário e terciário. O modelo de seqüência zero em estrela está apresentado na figura
28, onde , e correspondem as impedâncias de seqüência zero de cada um dos
três enrolamentos do transformador e são dependentes do tipo de núcleo do mesmo. Estas
impedâncias podem ser obtidas analiticamente ou através de ensaios no transformador. As
impedâncias , e são as impedâncias de aterramento dos enrolamentos (i), (k) e (j) (se o
enrolamento for solidamente aterrado, o valor da impedância de aterramento é zero). As chaves no
modelo devem ser fechadas dependendo da ligação do enrolamento correspondente. Se um dos
enrolamentos for em estrela não aterrada as duas chaves correspondentes do enrolamento devem
permanecer abertas.
Não é usual representar o modelo de seqüência zero do transformador de 3 enrolamentos em
triângulo. Caso se deseje a maneira mais fácil é eliminar o nó fictício do modelo em estrela.
Alternativamente o modelo em triângulo pode ser obtido colocando o modelo de seqüência zero do
transformador de 2 enrolamentos entre os barramentos (i)-(k), (j)-(k) e (k)-(i) com o cuidado de
representar as impedâncias de seqüência zero e de aterramento dos enrolamentos
convenientemente.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
135
Figura 28 – Modelo de seqüência zero, em estrela, do transformador de 3 enrolamentos para
estudos de curto-circuito
4-6 – Compensadores Síncronos
Os compensadores síncronos são representados da mesma maneira que os geradores, ou seja, por
uma f.e.m. atrás de uma impedância (reatância). As impedâncias correspondentes devem ser
escolhidas de acordo com os estudos a serem feitos.
4.4.7 - Motores Síncronos
Os motores síncronos são construídos substancialmente como geradores, isto é, tem um campo
excitado por corrente contínua e um enrolamento estator no qual flui corrente alternada. Durante um.
curto-circuito no sistema, o motor síncrono age como gerador e libera corrente de curto-circuito para
o sistema, ao invés de absorver dele corrente de carga.
Tão logo um curto-circuito é estabelecido, a tensão no sistema é estabelecido a um valor muito baixo.
Conseqüentemente, o motor deixa de liberar energia à carga mecânica e começa a desacelerar.
Contudo, a inércia da carga e a do rotor do motor tendem a impedir esta desaceleração, ou seja, a
energia de rotação da carga e a do rotor acionam o motor síncrono como a máquina motriz aciona
um gerador. O motor síncrono se torna, então, um gerador, e libera corrente de curto-circuitopor
muitos ciclos, após ocorrer o curto-circuito no sistema. A figura 29 ilustra a forma de onda da corrente
de curto-circuito fornecida por um motor síncrono.
O valor da corrente depende da potência, tensão nominal e a impedância do motor síncrono. A
impedância a ser usada dependerá do tipo de estudo a ser feito e a sua escolha é feita da mesma
maneira que os geradores síncronos.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
136
Figura 29 – Corrente de curto-circuito fornecida pelo motor síncrono
4-8 – Motores de Indução
Os motores de indução momentaneamente são capazes de contribuir com correntes para uma falta.
A inércia da carga e a do rotor de um motor de indução tem o efeito de acionar o mesmo após
ocorrido um curto-circuito no sistema o qual ele se encontra presente, da mesma maneira que o motor
síncrono. Só que o motor de indução não tem enrolamento de campo de corrente contínua como o
motor síncrono, mas há um fluxo no mesmo durante a operação normal que produz o mesmo efeito
que estes enrolamentos produz no motor síncrono.
O campo do motor de indução é produzido por indução a partir do estator. O fluxo do rotor permanece
normal pelo tempo em que a tensão é aplicada ao estator, pela fonte externa que o alimenta. Se esta
fonte é subitamente removida, como acontece quando ocorre um curto-circuito no sistema, o fluxo
do rotor não pode decair instantaneamente a zero e como a inércia (carga + rotor) aciona o motor de
indução, uma tensão é gerada no enrolamento do estator, produzindo uma corrente de curto-circuito,
até que o fluxo do rotor caia a zero. A figura 30 ilustra esta corrente de curto-circuito.
Figura 30 – Corrente de curto-circuito fornecida pelo motor de indução
O valor da corrente de curto-circuito depende da potência, tensão nominal e a impedância do motor.
Durante a fase subtransitória, o motor de indução pode ser tratado como uma máquina síncrona, ou
seja, modelados como uma fonte de tensão em série com uma reatância subtransitória. 
A reatância de seqüência negativa dos motores de indução apresenta um valor baixo e pode ser
obtida de fórmulas especificas.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
137
Como os enrolamentos dos motores de indução são normalmente conectados em Δ ou Y, a corrente
de seqüência zero é nula e a impedância correspondente, infinita.
Na fase transitória o rotor do motor de indução já se encontra travado e portanto, a reatância
transitória é suposta infinita. Nesta situação não é necessário a representação dos motores de
indução.
Normalmente os motores menores que 50 HP são desprezados.
4-9 – Capacitores Série
Os modelos para seqüência positiva, negativa e zero são os mesmos e representados pela reatância
do banco de capacitores, como mostra a figura 31.
Figura 31 – Modelo do capacitor série para estudos de curto-circuito
A reatância do banco de capacitores série apresenta um valor negativo.
4-10 – Reatores e Capacitores de Barra
Nos modelos para seqüência positiva e negativa estes elementos são representados por uma
impedância constante ligada do barramento à terra, como mostra a figura 32.
Figura 32 – Modelo de seqüência positiva da compensação paralela para estudos de curto-circuito
Apesar dos capacitores e reatores apresentarem uma perda de potência ativa (representada pelo
fator de qualidade), ela é normalmente desprezada. Com isso estes elementos são representados
simplesmente por uma reatância.
A reatância dos reatores e capacitores pode ser obtidos a partir da potência reativa fornecida por
eles:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
138
onde:
S potência reativa fornecida pelo elemento ao barramento no qual está conectado, sendo a
potência para o reator positivo e capacitor negativo (pu);
S módulo da tensão no barramento (pu);
 S reatância do elemento (pu);
O reator apresenta uma valor de reatância positiva e o capacitor negativo, como mostra a figura 33.
:
Figura 33 – Modelo de seqüência positiva do reator e capacitor para estudos de curto-circuito
Para o modelo de seqüência zero deve ser verificado o tipo de ligação do elemento, ou seja:
! caso haja ligação com a terra (através do neutro), utiliza-se o modelo acima, acrescido da
impedância de aterramento, como mostra a figura 34.
Figura 34 – Modelo de seqüência zero do reator ou capacitor para estudos de curto-circuito
! caso contrário, ou seja, se não houver ligação com a terra, tem-se um circuito aberto, como
mostrado na figura 35.
Figura 35 – Modelo de seqüência zero do reator ou capacitor não aterrado para estudos de curto-
circuito
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
139
5 – Curto-circuitos Simétricos
Antes de iniciar a análise de curtos-circuitos simétricos torna-se necessário fazer uma revisão do
teorema de Thévenin que é básico para todo o desenvolvimento posterior.
O teorema de Thévenin afirma que qualquer rede linear, considerando dois pontos quaisquer da
mesma, pode ser substituída por uma associação série de um gerador ideal de tensão e uma
impedância , como mostra a figura 36.
Figura 36 – Teorema de Thévenin
onde é a tensão que aparece entre os terminais a e b para o circuito aberto e a impedância
vista entre os terminais a e b da rede com todas as fontes colocadas em repouso (fontes de tensão
com os terminais curto-circuitados e fontes de corrente com os terminais abertos).
Isto posto, pode-se enunciar o teorema de Thévenin, de uma outra maneira, mais apropriada para
os propósitos de cálculos de curtos-circuitos: "as variações nas tensões e correntes que ocorrem em
um circuito linear, devidas à adição de uma impedância entre dois nós quaisquer do circuito, são
idênticas às tensões e correntes que existiriam nas mesmas partes do circuito se todas as suas fontes
ativas (tensão e corrente) forem colocadas em repouso e uma fonte de tensão, de mesmo valor e
polaridade que a tensão que existia, antes da adição da impedância, entre os dois nós que a mesma
foi conectada, for ligada em série com a impedância adicionada".
Seja a rede linear mostrada na figura 37.
Figura 37 –- Rede linear ativa para aplicação do teorema de Thévenin
Adicionando uma impedância qualquer , entre os barramentos (a) e (b) tem-se a rede apresentada
na figura 38.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
140
Figura 38 – Rede linear ativa com impedância acrescentada entre os nós (a) e (b)
Aplicando o teorema de Thévenin obtém-se o circuito da figura 39.
Figura 39 – Rede linear ativa com aplicação do Teorema de Thévenin
onde:
Para o caso de um curto-circuito trifásico, em uma barramento (a) qualquer de um sistema, através
de uma impedância (o que equivale a conectar esta impedância entre o barramento (a) e a terra
(referência)), tem-se as redes mostradas na figura 40.
Figura 40 – Sistema Elétrico de Potência com aplicação de curto-circuito 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
141
Os valores da corrente de falta , bem como os acréscimos em correntes e tensões, respectivamente
em quaisquer ramos e barramentos do sistema, podem ser calculados pelo circuito apresentado na
figura 41.
Figura 41 – Aplicação do teorema de Thévenin no Sistema Elétrico de Potência sob falta
Reduzindo a rede acima, obtém-se o circuito apresentado na figura 42.
Figura 42 – SEP da figura 41 reduzido
onde é a impedância equivalente (com todas as fontes em repouso) do circuito original, vista
do barramento (a) para a barra de referência. 
A corrente de falta será dada por:
onde será usado para indicar a corrente de falta no barramento (a).
Como se sabe a matriz contém a impedância equivalente entre cada barramento do sistema e
a referência. Logo pode-se escrever:
Nota-se também que a corrente é a corrente de falta total, uma vez que anteriormente à adição
da impedância , não existia este ramo no sistema.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
142
Caso se deseje, pode-se adicionar aos resultados a corrente pré-falta, ou pode-se considerar também
como 1.0 pu a tensão no ponto de defeito antes da ocorrência do mesmo, ao invésde .
6 – Curtos-circuitos Simétricos utilizando a Matriz de Impedância Nodal
O método anterior para a obtenção de correntes de curto-circuito é preciso e fácil de ser aplicado a
pequenos sistemas. Para grandes sistemas, onde existe um elevado número de barramentos e ramos
é necessário um método mais propício para a utilização com programas digitais. Adiciona-se a isto
o fato de que normalmente, se deseja obter a corrente de curto-circuito em diversas barramentos do
sistema e das contribuições de correntes de diversos ramos e geradores.
Face a isto, um método de cálculo de correntes e tensões pós-falta em um Sistema de Potência de
n barramentos, adequado para aplicação em computadores digitais será apresentado a seguir.
Seja os seguintes vetores e matrizes:
 - vetor das tensões nos barramentos, anteriores à falta (pré-falta). Pode ser obtido de um
estudo de fluxo de potência ou suposto, de acordo com as aproximações adotadas;
 - vetor das tensões nos barramentos, posteriores à falta (pós-falta). Deve ser obtido do
estudo;
 - vetor de variações nas tensões nos barramentos, devidas à falta;
 - vetor das correntes injetadas nos barramentos, anteriores à falta (pré-falta). Pode ser
obtido de um estudo de fluxo de potência ou suposto, de acordo com as aproximações
adotadas;
 - vetor das correntes de falta injetadas nos barramentos, posteriores à falta (pós-falta).
Deve ser obtido do estudo.
O vetor tem todos os seus elementos nulos, exceto o(s) correspondente(s) ao(s) barramento(s)
em curto, onde a(s) corrente(s) injetada(s) é(são) dada(s) pelo negativo da(s) corrente(s) de falta.
Assim, para um curto no barramento (k), tem-se:
Se forem desprezadas as cargas ou representadas por impedâncias fixas incorporadas à matriz
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
143
 tem-se que:
obtido da própria definição da matriz .
As tensões pós-falta podem ser obtidas por:
Daí:
Para um defeito no barramento (k), a expressão acima pode ser desenvolvida em:
valores estes determinados ao se obter a corrente de falta .
No ponto de defeito tem-se a situação mostrada na figura 43.
: 
Figura 43 – Condição de contorno no ponto de defeito
donde se pode obter:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
144
Daí:
ou seja:
Levando-se o valor de nas equações anteriores, pode-se obter as seguintes expressões gerais
para as tensões nos barramentos posteriores à falta:
As correntes de falta que fluem nos ramos do sistema, denominadas contribuições, é dada pela
seguinte expressão exata:
conforme ilustra a figura 44, onde é a corrente de falta que flui no ramo i-j e é a impedância
(física) do ramo i-j.
Figura 44 – Ramo série do SEP
Substituindo os valores das tensões pós-falta, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
145
Logo:
Para calcular as contribuições dos geradores do sistema basta considerar que, de acordo com a
representação desses componentes, somente a tensão no barramento terminal do mesmo sofre
variação devida a falta, permanecendo fixa a tensão atrás da impedância:
onde é a contribuição do gerador conectado ao barramento (i) e é a tensão atrás da
impedância desse gerador.
As expressões anteriores são exatas dentro das suposições feitas de linearidade do sistema.
Se o curto-circuito for franco ou sólido, ou seja, igual a zero, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
146
Nas expressões anteriores é suposto conhecido os valores pré-falta das tensões nos barramentos
e as correntes nos ramos, obtidos por exemplo, de um estudo de fluxo de potência. Na hipótese de
não se dispor desses valores, usam-se as simplificações adotadas, de considerar nulas as correntes
pré-falta e a tensão de todos os barramentos de pu. Neste caso, as expressões anteriores,
resultam:
No caso de um curto-circuito sólido, as expressões serão:
 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
147
7 – Curto-circuitos Assimétricos utilizando a Matriz Impedância Nodal
Para cálculo de curtos-circuitos assimétricos deve-se utilizar o teorema de Thévenin em cada uma
das redes de seqüência:
Para cada tipo de falta assimétrica, deve-se determinar os correspondentes vetores , e ,
o que permite calcular as tensões pós-falta em todas as barras e as contribuições de todos os ramos
e geradores do sistema, nas três redes de seqüência.
Os vetores com as correntes de falta , e são determinados a partir das chamadas
"condições de contorno" da falta, isto é, as relações entre correntes e tensões no ponto de falta, que
são diferentes para cada tipo de defeito.
Cabe lembrar que a f.e.m. produzida pelos geradores e outras máquinas síncronas são tensões de
seqüência positiva, pois os mesmos são projetados para fornecer tensões trifásicas equilibradas. 
Para voltar dos valores de seqüência para os valores de fase utilizam-se as equações de síntese já
descritas anteriormente.
Será analisado a seguir o curto-circuito monofásico, sendo os demais tipos de faltas assimétricas
obtidas de maneira semelhante. As expressões obtidas serão usados para cálculo sistemático das
tensões e correntes oriundas do desequilíbrio.
Seja um curto-circuito fase-terra ocorrendo na fase a de uma barramento (k) qualquer de um SEP de
n barramentos. A figura 45 ilustra esta situação.
Figura 45 – Curto-circuito monofásico no SEP
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
148
As correntes de falta nas três fases serão:
Os componentes simétricos das correntes de falta serão dados por: 
ou seja:
Lembrando que os vetores , e referem-se a correntes de falta injetadas, tem-se:
Para um barramento genérico (i) qualquer tem-se:
Para o próprio barramento (k), em curto, tem-se, portanto:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
149
Somando os 3 componentes acima obtém-se:
ou seja:
Observando a figura anterior tem-se ainda que:
Daí:
Finalmente:
Supondo a tensão pré-falta igual a 1.0 pu, suposição normalmente feita, tem-se:
No cálculo de curto-circuito em sistemas de maior porte, com a finalidade de economizar memória
de computador, é comum supor que todos os componentes do sistema tem impedâncias de
seqüência positiva e negativa iguais. Esta hipótese é perfeitamente aceitável, pois apenas irá
introduzir alguma imprecisão apreciável para faltas na proximidades de geradores e outros
componentes não estáticos do sistema. Dentro dessa suposição tem-se a corrente de falta dada por:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
150
Após calculado o valor da corrente através de qualquer uma das expressões acima, pode-se
calcular os valores das tensões pós-falta em quaisquer barramentos do sistema:
Como o sistema é suposto equilibrado na condição pré-falta, tem-se que:
Logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
151
As correntes de contribuições nos ramos podem ser calculadas através das seguintes expressões:
onde , e são, respectivamente, as impedâncias de seqüência positiva, negativa e zero do
ramo ij.
As correntes de contribuição dos geradores são dadas por:
Utilizando-se as equações de síntese, pode-se obter as tensões e correntes de fase.
De maneira semelhante ao desenvolvido para o curto-circuito monofásico, pode-se obter as
expressões correspondentes para os demais tipos de faltas assimétricas. As seguir serão
apresentadas somente a expressão para obter as componentes de seqüência da corrente de falta,
sendo as expressões para o cálculo das tensões dos barramentos e das contribuições nos ramos e
dos geradores idênticas as já demonstradas.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
152
7-1 – Curto-circuito dupla fase
7-2 – Curto-circuito dupla fase terra
7-3 – Curto-circuito trifásico desequilibrado
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
153
8 – Faltas Série utilizando a Matriz de Impédância Nodal
Normalmente, as faltas série dão devidos à impedâncias série desbalanceadas nas linhas de
transmissão. Na prática, uma falta série ocorre, por exemplo, quando linhas protegidas por
disjuntores, fusíveis ou qualquer equipamento protetor não abre simultaneamentenas três fases, ou
seja, uma (ou duas) fases podem abrir enquanto a(s) outra(s) fase(s) se encontra(m) fechada(s). 
O recurso da abertura de um (ou dois) circuito(s), denominado abertura monopolar, é adotado em
linhas de transmissão com o intuito de evitar a abertura das três fases, quando da ocorrência, por
exemplo, de um curto-circuito monofásico, que corresponde a maioria dos defeitos que ocorrem nos
SEP. A abertura de um ou dois condutores de uma linha, acarreta uma redução na capacidade de
transmissão da mesma, mas não interrompe a transmissão como na abertura tripolar.
A figura 46 ilustra a abertura de um dos condutores de uma extremidade de uma linha de
transmissão, nos pontos F e G, ocorrendo na barra (k) de um SEP.
Figura 46 – Abertura de condutor no SEP
Desde que a abertura acima não acarreta conexão entre a linha aberta e a terra, somente as tensões
entre os pontos F e G ( , e ) são de interesse, e não as tensões de seqüência ( , 
e ).
Tem-se:
Desenvolvendo da mesma maneira que no item anterior obtém-se, em termos de componentes
simétricos, as correntes da linha (FG):
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
154
Nas expressões acima, , e e são as impedâncias série do sistema, vistas de F e G:,
como mostra a figura 47.
Figura 47 – Cálculo da impedância equivalente para falta série
Para obter as impedâncias acima basta obter a impedância de Thévenin vista entre os pontos F e G.
Estas impedâncias também podem ser obtidas a partir da matriz , cuja referência é a terra.
Neste caso, quando da montagem da matriz , deve-se incluir as barras (F) e (G). A
impedâncias , e são então dadas por:
onde o superscrito N refere-se aos elementos da matriz . 
A tensão é obtido do sistema da figura 48:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
155
Figura 48 –- Cálculo da tensão equivalente de Thévenin para falta série.
Com os valores de correntes seqüenciais tem-se:
As correntes de contribuições nos ramos e dos geradores podem ser calculadas através das
seguintes expressões:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
156
cuja nomenclatura já foi definida anteriormente.
8-1 – Abertura de duas fases
A expressão acima é idêntica a obtida para o curto-circuito monofásico, só que as impedâncias
, e são as impedâncias série do sistema, vistas de F e G. Nesta expressão a tensão
e as impedâncias acima são obtidas de maneira idêntica a descrita no item anterior.
Com os valores de correntes seqüenciais pode-se obter os valores das tensões pós abertura em
quaisquer barras do sistema, as correntes de contribuições nos ramos e as correntes dos geradores
através das expressões já apresentadas no item anterior.
8-2 – Desequilíbrio série geral
A figura 49 ilustra um desequilíbrio série consistindo das impedâncias , e , alocadas entre
os pontos F e G de um SEP.
Figura 49 – Desequilíbrio série geral no SEP
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
157
As correntes de seqüência na linha (FG) são dadas por:
Com os valores de correntes seqüenciais pode-se obter os valores das tensões pós abertura em
quaisquer barras do sistema, as correntes de contribuições nos ramos e as correntes dos geradores
através das expressões já apresentadas.
9 – Faltas Simultâneas utilizando a Matriz de Impedância Nodal
As faltas simultâneas ou múltiplas são definidas como a combinação de duas ou mais faltas ao
mesmo tempo, faltas estas do mesmo ou de diferentes tipos e ocorrendo no mesmo ou em diferentes
pontos do SEP. As condições para a ocorrência de faltas múltiplas são várias, podendo resultar de
uma causa comum, ou de causas diferentes mas conseqüentes e mais raramente de causas
independentes. Existem vários tipos de faltas simultâneas, sendo as mais comuns as seguintes:
! abertura de um condutor com uma falta fase-terra na fase aberta no mesmo ponto da abertura.
Esta condição pode ser decorrente, por exemplo, do rompimento de uma das fases de um
circuito perto da torre, com a conseqüente queda ao solo da fase rompida (o condutor do lado
da torre fica preso no isolador e o outro lado cai ao solo);
! abertura de um condutor com uma falta fase-terra na fase aberta em ponto diferente da abertura.
Esta condição pode ser decorrente, por exemplo, da atuação do gap de proteção de um banco
de capacitores série na fase em defeito, ou então, mais raramente, da abertura monopolar de um
disjuntor com falha de abertura na outra extremidade como conseqüência de um curto-circuito
fase-terra;
! faltas fase-terra em fases distintas e pontos distintos do sistema. Esta falta é chamada cross-
country earth-fault e pode ser decorrente, por exemplo, de uma descarga atmosférica ou contato
acidental entre fases-terra de circuitos distintos em uma linha de transmissão em circuito duplo.
Inúmeras outras faltas simultâneas podem ser descritas, podendo ser simétricas (balanceadas) ou
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
158
assimétricas (desbalanceadas).
Será analisada a seguir somente a primeira das faltas simultâneas acima, sendo as demais obtidas
por processos análogos.
Seja uma falta fase-terra ocorrendo na barra (k) de um SEP simultaneamente com a abertura do
condutor correspondente como indica a figura 50.
Figura 50 – Falta simultânea no SEP
Para maior clareza, seja a figura 51.
Figura 51 – Modelo para análise da falta simultânea
As condições de contorno para a falta fase terra são:
Em termos de componentes simétricos as condições acima tornam-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
159
onde os subscritos A0, A1 e A2 referem-se a corrente de seqüência para a terra no ponto de defeito..
As condições de contorno para a abertura monopolar são:
Em termos de componentes simétricos as condições acima tornam-se:
onde os subscritos a0, a1 e a2 referem-se a corrente de seqüência devido à abertura F-G.
Do ponto F para o sistema tem-se:
Do ponto G para o sistema tem-se:
Resolvendo o conjunto de equações acima obtém-se as tensões e correntes de seqüência,
possibilitando obter a partir dai qualquer grandeza do sistema, utilizando das expressões já deduzidas
anteriormente.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
160
Nas expressões acima, , , , , e impedâncias do sistema, vistas dos pontos F e
G, e as tensões e são as tensões pré-falta nos pontos F e G. Os pontos F e G devem ser
desconectados.
10 – Exercício de Aplicação
Seja o SEP apresentado na figura 51.
Figura 51 – SEP para o exercício de aplicação
obter:
a) a corrente total de falta, as tensões pós-falta em todas os barramentos e as contribuições das
linhas e geradores para um curto-circuito trifásico sólido ocorrendo no barramento (4);
b) a corrente total de falta, as tensões pós-falta em todas as barras e as contribuições das linhas e
geradores para um curto-circuito monofásico sólido ocorrendo no barramento (4). O diagrama
unifilar de seqüência zero com os dados em pu está apresentado na Figura 52;
Figura 52 – Diagrama de seqüência zero para o SEP do exercício de aplicação item b
c) para uma abertura monopolar ocorrendo na fase "a" do barramento (3), a tensão através da fase
rompida, as tensões em todas as barras e as correntes nas fases do ramo rompido. Suponha que
antes do defeito o sistema estivesse operando na situação apresentada na Figura 52.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
161
 Figura 53 – Fluxo de potência para o SEP do exercício de aplicação item c
a) O primeiro passo é a montagem da matriz para o sistema acima, obtendo-se:
Para o caso de um curto-circuito trifásico sólido ocorrendo no barramento (4) do sistema, e
supondo nulas todas as correntes pré-falta e as tensões pré-falta iguais a 1 pu, obtém-se:
S Corrente total de falta:
- Tensões nos barramentos após a falta:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
162
S Contribuições nos ramos após a falta:
S Contribuições dos geradores:
Para uma melhor visualização encontra-se plotado na figura 54 os resultados obtidos.
Figura 54 – Resultados do curto-circuito trifásico no barramento(4)
b) A matriz para o sistema pode ser montada com os dados do diagrama unifilar acima e
resulta em:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
163
Para um curto-circuito monofásico sólido no barramento (4) tem-se:
S Corrente total de falta:
S As tensões nos barramentos após a falta serão:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
164
Com as tensões de seqüência positiva, negativa e zero de cada uma das barras podem ser
obtidas as tensões em cada uma das fases através da equação de síntese resultando em:
S As contribuições dos ramos após a falta serão:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
165
Pode-se notar, como era esperado (redes idênticas), que as contribuições de seqüência positiva
e negativa são iguais. Através da equação de síntese pode-se obter as contribuições em cada
uma das fases:
S As contribuições dos geradores são dadas por:
Em valores de fase, tem-se:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
166
Os resultados obtidos podem ser plotados em um diagrama, resultando na figura 55, onde se
nota as sobretensões que aparecem nas fases sãs (b e c) no ponto de defeito.
Figura 55 – Resultados do curto-circuito monofásico no barramento (4)
c) Para a abertura monopolar serão necessários obter a impedância seqüencial série vista entre os
dois pontos de abertura para as seqüência positiva e zero. Desta maneira, as matrizes e
 montadas anteriormente não podem ser utilizadas. 
A impedância correspondente pode ser obtida diretamente no circuito entre os pontos de abertura
através de uma redução de redes. Isto é fácil e prático para pequenos circuitos, tornando-se
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
167
impraticável para grandes sistemas. Neste caso deve-se criar barramentos fictícios, nas redes de
seqüência positiva e zero, representando os dois pontos da abertura em todas as barras nas quais
serão analisadas tal tipo de defeito. Monta-se normalmente as matrizes e (referência
a terra) e através de pequenos cálculos pode-se obter a impedância correspondente. No presente
exercício foi criado o barramento fictício (5) próximo ao barramento (3) onde será realizado a
abertura.
A figura 56 apresenta a rede de seqüência positiva com o barramento fictício no ponto de abertura.
Figura 56 – SEP de seqüência positiva para abertura monopolar
Montando a matriz , tem-se:
A figura 57 apresenta a rede de seqüência zero.
Figura 57 – SEP de seqüência zero para abertura monopolar
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
168
 Montando a matriz , tem-se:
Das matrizes acima, obtém-se:
Cabe lembrar que as impedâncias e também poderiam ser obtidas através de redução
das respectivas redes.
A tensão é a tensão entre os dois pontos onde ocorreu a abertura e deve ser obtido com os
resultados do estudo de fluxo de potência. Para este tipo de abertura não se pode considerar o
sistema operando a vazio, ou seja, com tensão 1.0 pu em todas os barramentos visto que não
circularia corrente no sistema acarretando igual a zero.
Do fluxo de potência apresentado obtém-se:
Daí:
A tensão também poderia ser obtido de um fluxo de potência onde o ramo (3) - (4) deve estar
aberto.
Logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
169
E também:
Utilizando da equação de síntese obtém-se no ponto de abertura:
As tensões de seqüência em quaisquer barramentos do sistema em decorrência da abertura serão
dadas por:
Logo:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
170
Utilizando a equação de síntese obtém-se os valores de fase:
S Barramento (1) :
S Barramento (2):
S Barramento (3):
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
171
S Barramento (4):
S Barramento Fictício (5), extremidade do ramo aberto::
Caso se deseje pode-se obter as correntes de contribuições nos ramos e nos geradores utilizando-
se das tensões seqüenciais acima.
Os resultados em torno do ponto de defeito podem ser plotados em um diagrama unifilar,
resultando na figura 58.
Figura 58 – Fluxo de potência para abertura monopolar do ramo (3) - (4)
11 – Exercícios
Exercício 1
O Sistema de Potência apresentado na figura a seguir possui a seguinte matriz de impedância nodal na base
de 100 [MVA]:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
172
Estando o sistema operando com os seguintes valores:
quando ocorre um curto-circuito trifásico sólido no barramento (2). Nestas condições pede-se calcular:
a) A corrente de falta;
b) As tensões pós-falta em todos os barramentos;
c) A contribuição do gerador e das linhas de transmissão (2)-(4) e (4)-(5).
Exercício 2
Seja o Sistema Elétrico de Potência apresentado na figura a seguir, que apresenta a seguinte matriz de
impedância nodal, para o período transitório, em pu, na base de 100 [MVA], onde todos os ramos indicados na
figura estão incluídos:
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
173
Suponha que por motivos de manutenção a linha de transmissão que liga os barramentos (1) e (5) deva ser
desligada. Após o desligamento desta LT, ocorre um curto-circuito trifásico franco no barramento (1). Adote como
tensão pré-falta 1 pu em todas os barramentos. Nesta situação pede-se obter:
a) A corrente transitória total de falta, em pu e em kA;
b) As tensões transitórias de falta em pu e em kV, nos barramentos adjacentes ao barramento em curto;
c) As correntes transitórias de falta, em pu e em kA, que fluem nos circuitos diretamente ligados ao barramento
em curto;
d) As correntes transitórias de contribuição dos geradores, em pu e em kA.
Exercício 3
Determine a máxima corrente de curto-circuito trifásica que o disjuntor situado em A pode interromper no
Sistema de Potência apresentado na figura a seguir.
Exercício 4
Seja o pequeno Sistema de Potência apresentado na figura a seguir, onde:
S foram desprezados todas as resistências dos ramos dos sistema;
S foram desprezados todos os ramos shunt dos circuitos;
S os dados da rede de seqüência positiva, negativa e zero são idênticos;
S todos os tapes dos transformadores estão na tensão nominal;
S a reatância dos geradores estão na base dos mesmos.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
174
A matriz de impedância nodal do sistema na base de 100 MVA, é a seguinte:
a) Suponha que o sistema esteja operando a vazio e ocorra um curto-circuito monofásico no barramento (3).
Nesta situação, pede-se: 
S A corrente de curto-circuito, em Ampères;
S A tensão, em kV, nos barramentos (1), (2), (3) e (4).
S A contribuição de corrente, em Ampères, que circula na linha de transmissão (1)-(2), sabendo que a
impedância do mesmo é de 14% na base de 100 MVA;
S A contribuição de corrente, em Ampères, fornecida por cada um dos geradores;
b) Suponha agora que o sistema acima esteja operando em uma determinada condição, na qual a tensão no
barramento (4) é de 67 kV. Sabe-se que neste barramento existe um banco de capacitores composto de 3
unidades monofásicas de 1.6 MVAr, ligada em estrela isolada. Este banco de capacitores ao retornar de sua
manutenção e quando dos procedimentos operativos para sua energização, por falha na manutenção do
mesmo, ocorre um curto-circuito fase-terra em sua fase a ( neutro do banco de capacitores e a terra). Calcule
a variação de tensão que ocorre nas fases a, b e c, em kV, do barramento (4), devido a este defeito;
c) Sabe-se que a máxima corrente de curto-circuito que o barramento (4) suporta é de 2.1 [kA].
S Verifique se o barramento (4) suporta esta corrente;
S Em caso de não suportar qual o procedimento que você adotaria para limitar esta corrente no valor máximo
admissível?
Observação: suponha o sistema operando a vazio.
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
175
Exercício 5
No Sistema de Potência do exercício de aplicação suponha a ocorrência de um arco entre as fases (b) e (c) na
linha de transmissão (3) - (4) bem próximo ao barramento (4). A resistência do arco pode ser dada pela fórmula
apresentada por Warrington como:
onde:
L - comprimento do arco no ar em pés;
I - corrente de falta em Ampères rms;
Pede-se, nesta situação, calcular:
a) A correnteatravés do arco;
b) As tensões de falta nas três fases do barramento (4);
Sabe-se que a linha de transmissão (3) - (4) opera em 230 [kV] e apresenta uma distância entre as fases de
5.5 [m]. A potência de base do sistema é 100 [MVA].
Exercício 6
Para o Sistema de Potência do exercício de aplicação obter a variação de tensão que ocorre na barra (4) ao se
ligar uma carga trifásica desequilibrada na barra (3). O valor desta carga é de:
 fase a - 10 [MW] + j20 [Mvar]
 fase b - 10 [MW]
 fase c - j20 [Mvar]
A potência de base do sistema é de 100 [MVA].
12 – Referências
 1 - "Short Circuit Comparison Study",Shipley R.B., Coleman D. e Nason W.L., Transactions AIEE,
vol 81, part III, February 1962, pag. 1162-1166
 2 - "Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Polyphase
Networks",C.L.Fortescue, Transactions AIEE, vol 37/1918, páginas 1027-1140
 3 - “Introdução à Teoria de Sistemas Elétricos de Potência”, Olle I. Elgerd, Mc Graw Hill do Brasil,
1978.
 4 - “Computer Methods in Power System Analysis”, G.W. Stagg, A..H. El-Abiad, Mc Graw Hill, 1968.
 5 - “Grandes Sistemas Elétricos - Métodos Matriciais”, H.E. Brown, LTC/EFEI, 1977.
 6 - “Análise de Sistemas de Potência, J.C.Tibúrcio, EFEI.
 7 - “Electrical Power Systems, vol II”, A.E.Guile, W.Paterson, Pergamon Press Ltd., 1977.
 8 - “Componentes de Sistemas Elétricos - E720/820", A.E.Hermeto, 1988, EFEI.