Introdução à Lógica Matemática

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CM046 – INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA 
 
NOTAS DE AULA 1 
 
1. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 
 
CÁLCULO PROPOSICIONAL 
George Boole, 1815 – 1864; Análise Matemática da Lógica, 1847; Uma investigação das leis do 
pensamento, 1854. 
 
Proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo. 
 
Exemplo 1: 
Curitiba é a capital do Pará. 
2 é um número primo. 
No conjunto dos números naturais, 2 + 2 = 4. 
 
Não são proposições as seguintes: x é um número par; x2+1=0; Como está você? 
 
As proposições do cálculo proposicional estão sujeitas a dois princípios fundamentais. 
 
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Não há outra 
possibilidade de valor para uma proposição. 
 
Os valores mencionados acima são chamados de valores lógicos de uma proposição, indicados, 
respectivamente, por V e F. 
 
Principio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e 
falsa. 
 
As proposições do exemplo são respectivamente, F, V e V. 
 
No cálculo indicamos variáveis numéricas usando letras: x,y,z,.... No cálculo proposicional usamos 
letras: p,q,r,s,... para designar proposições simples. Essas letras são chamadas variáveis 
proposicionais. 
 
Reescrevendo as proposições do exemplo temos: p: Curitiba é a capital do Pará; q: 2 é um número 
primo e r: No conjunto dos números naturais, 2+2=4. 
 
Notação: V(p)=F, V(q)=V e V(r) = V. 
 
As proposições podem ser combinadas. Geralmente usamos letras maiúsculas para representar 
proposições compostas. Essas combinações são obtidas a partir dos conectivos: negação, 
conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Negação (representada por ~ ou ¬) 
Se p é uma proposição, a negação de p: ~p, é a proposição cujos valores lógicos são apresentados 
na tabela-verdade abaixo. 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
Leitura: não p, não é verdade que p. 
 
Exemplo 2: 
 
(a) p: Curitiba é a capital do Paraná. ~p: Curitiba não é a capital do Paraná ou 
 Não é verdade que Curitiba é a capital do Paraná. 
 
(b) q: A função f(x)=|x| é contínua na origem. ~q: A função f(x)=|x| é descontínua na origem. 
 
Conjunção (representada por ∧ ) 
Dadas duas proposições p e q, a conjunção de p e q: p∧q, que lê-se, p e q, é a proposição cujo 
valor lógico é verdadeiro quando p e q são verdadeiras e falso em qualquer outro caso. Veja a 
tabela-verdade abaixo: 
 
p q p∧q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Exemplo 3: 
 
(a) p: 2 é um número par ; q: 2 é um número primo. Temos V(p)=V e V(q)=V. 
p∧q: 2 é um número par e primo e V(p∧q)=V. 
 
(b) p: 2 é um número par ; q: 3 é um número par. Temos V(p)=V e V(q)=F. 
p∧q: 2 é um número par e 3 é par também e V(p∧q)=F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disjunção ( representada por ∨ ) 
Dadas duas proposições p e q, a disjunção de p e q: p∨q, que lê-se, p ou q, é a proposição cujo 
valor lógico é falso apenas quando ambas, p e q são falsas. Veja a tabela-verdade abaixo: 
 
p q p∨q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplo 3: 
 
(a) p: 2 é um número irracional ; q: A função f(x)=x/|x| é contínua na origem. Temos V(p)=V e 
V(q)=F 
p∨∧q: 2 é um número irracional ou A função f(x)=x/|x| é contínua na origem e V(p∨q)=V. 
 
(b) p: 1 é um número primo; q: Existe um número real tal que x2+1=0. Temos V(p)=V e V(q)=F 
p∨q: 1 é um número primo ou existe um número real tal que x2+1=0 e V(p∨q)=V. 
 
Condicional ( representada por → ) 
O condicional de p e q, indicado por p→q, é a proposição que é falsa apenas quando p é verdadeira 
e q é falsa. Veja a tabela-verdade abaixo: 
 
p q p→q Exemplo de justificativa 
V V V 
V F F Não existe raciocínio lógico partindo de uma proposição verdadeira chegar a 
uma proposição falsa. Logo p→q é falsa 
F V V Seja p: 10 = 5 e q: 15 =15 sabemos que p é falsa e q é verdadeira. Vamos 
partir de p, se 10 = 5 então 5 = 10. Somando membro a membro estas 
igualdades temos 10+5=5+10 e, portanto 15=15 que é a proposição q, logo 
p→q é verdadeira 
F F V Seja p: 10 = 5 e q: 19 =9 sabemos que p é falsa e q é falsa. Vamos partir de p, 
se 10 = 5 subtraindo uma unidade de cada membro obtemos 9= 4 e somando 
membro a membro estas igualdades temos 10+9=5+4 e, portanto 19=9 que é a 
proposição q, logo p→q é verdadeira 
 
No condicional de p e q, p é antecedente ou hipótese e q é conseqüente ou conclusão. Lemos: se p 
então q ou q se p ou p somente se q ou p é condição suficiente para q ou q é condição necessária 
para p. 
 
Exemplo 4 
(a) Se f é uma função derivável num ponto então f é contínua nesse ponto. 
 
 
 
 
 
 
Bicondicional ( representada por ↔) 
O bicondicional de p e q, indicado por p↔q, é a proposição que é verdadeira quando p e q são 
ambas verdadeiras ou falsas , sendo falso em qualquer outra situação.Veja a tabela-verdade abaixo: 
 
p q P↔q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Leituras do bicondicional: p se e somente se q, p é condição suficiente e necessária par q, q é 
condição suficiente e necessária para p. 
 
Exemplo 5 
(a) A função f(x)=|x| é uma função derivável na origem, se, e somente se, Curitiba é capital de 
São Paulo.