Cap-12a3-Alunos1

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MECÂNICA - DINÂMICA
Cinemática de uma 
Partícula
Cap. 12
Prof Dr. Cláudio Curotto
Adaptado por:
Prof Dr. Ronaldo Medeiros-Junior TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 2
Objetivos
�Introduzir os conceitos de posição, deslocamento, 
velocidade e aceleração
�Estudar o movimento de um ponto material ao longo
de uma reta e representar graficamente esse
movimento
�Investigar o movimento de um ponto material ao
longo de uma trajetória curva usando diferentes
sistemas de coordenadas
�Apresentar uma análise do movimento
interdependente de dois pontos materiais
�Examinar os princípios do movimento relativo de dois
pontos materiais usando eixos em translação
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 3
Movimento de um ponto material irregular �
Dificuldade em obter uma função matemática contínua
para descrever o movimento (posição, velocidade ou
aceleração).
O movimento é então descrito graficamente (série de curvas
geradas experimentalmente).
12.3 Cinemática do Movimento Retilíneo: Movimento Irregular
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 4
12.3 Cinemática do Movimento Retilíneo: Movimento Irregular
 inclinação do gráfico ( ) = velocidade
ds
v s t
dt
= ⇒
Dado o gráfico s-t, construir o gráfico v-t
S
1
S
2
S
3
v
2
= ds/dt
t
2
v
3
= ds/dt
t
3
v
1
= ds/dt
t
1
v
0
= ds/dt
t
0
tt3t2t1
O
S
tO
v
v
1
v
2
v
3
v
0
t
3
t
2t1
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 5
12.3 Cinemática do Movimento Retilíneo: Movimento Irregular
 inclinação do gráfico ( ) = aceleração
dv
a v t
dt
= ⇒
Dado o gráfico v-t, construir o gráfico a-t
v
1
v
2
v
3
a
2
= dv/dt
t
2
a
3
= dv/dt
t
3
a
1
= dv/dt
t
1
a
0
= dv/dt
t
0
tt
3
t
2
t
1
O
v
tO
a
a
1 a
2
a
3
a
0
=0
t
3
t
2t1
v
0
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 6
Exemplo 12.6
Uma bicicleta move-se de acordo com o
gráfico da figura. Construa os gráficos de
( ) e ( ) para 0 30 s.v t a t t≤ ≤
2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 7
2
2
0 < 10 s: pés
10 s 30 s: 
2 pés/s
2 pés/s
20 1
20 pés/s
0 p
0
0 és
t s t
ds
v
dt
dv
a
dt
t s t
ds
v
d
v t
a
v
t
d
a
dt
a
v
≤ =
= ∴
= ∴
≤ ≤ = −
= =∴
=
∴
=
==
Exemplo 12.6 - solução
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 8
Exercício 50
�Um objeto não identificado percorre uma curva 
definida pela equação s = (t3 – 3t2 + 2t) m, onde t está 
em segundos. Desenhe os gráficos s-t, v-t, e a-t para 
essa partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3 s.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 9
Problema 12.12
( )4 2
 Quando um trem está se deslocando a 2 m/s num trecho retilíneo 
da estrada, ele começa a acelerar segundo a expressão 60 m/s , 
onde é dado em m/s. Determine sua velocidade 3 s após o início
a v
v
−
=
 
da aceleração.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 10
Objetivos
�Introduzir os conceitos de posição, deslocamento, 
velocidade e aceleração
�Estudar o movimento de um ponto material ao longo
de uma reta e representar graficamente esse
movimento
�Investigar o movimento de um ponto material ao
longo de uma trajetória curva usando diferentes
sistemas de coordenadas
�Apresentar uma análise do movimento
interdependente de dois pontos materiais
�Examinar os princípios do movimento relativo de dois
pontos materiais usando eixos em translação
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 11
12.4 Movimento Curvilíneo Geral (trajetória = curva)
rr = = VetorVetor de de posiçãoposição r'r' = = rr ++ ∆∆ss
∆∆s s = = r'r' –– rr
VelocidadeVelocidade
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2.2 Operações com Vetores
Adição Vetorial:
�Dois vetores adicionados formam o vetor resultante R
�⇒ A + B = B + A = R (comutativo)
Lei do paralelogramo
Regra do triângulo
3
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 13
2.2 Operações com Vetores
Adição Vetorial:
Regra do triângulo (extremidade-para-origem)
Conectar a extremidade de A à origem de B. O R resultante se estende da
origem de A à extremidade de B.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 14
12.4 Movimento Curvilíneo Geral (trajetória = curva)
rr = = VetorVetor de de posiçãoposição r'r' = = rr ++ ∆∆ss
∆∆s s = = r'r' –– rr
0lim t
t
∆ →
∆ 
=  
∆ 
r
v
d
dt
=
r
vméd
t
∆
=
∆
r
v
VelocidadeVelocidade
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12.4 Movimento Curvilíneo Geral (trajetória = curva)
rr = = VetorVetor de de posiçãoposição r'r' = = rr ++ ∆∆ss
∆∆s s = = r'r' –– rr
d
dt
=
r
v
VelocidadeVelocidade
∆∆r r aproximaaproxima--se do se do comprimentocomprimento do do 
arcoarco ∆∆s s no no limitelimite de de ∆∆tt �� 0, logo:0, logo:
ds
v
dt
=
VelocidadeVelocidade escalarescalar
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 16
12.4 Movimento Curvilíneo Geral
méd
t
∆
=
∆
v
a
d
dt
=
v
a
AceleraçãoAceleração
CurvaCurva geradagerada pelaspelas extremidadesextremidades do do vetorvetor velocidadevelocidade
0lim t
t
∆ →
∆ 
=  
∆ 
v
a
∆∆vv se se aproximaaproxima dada tangentetangente aoao hodógrafohodógrafo
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12.4 Movimento Curvilíneo Geral
d
dt
=
v
a
2
2
d
dt
=
r
a
CurvaCurva geradagerada pelaspelas extremidadesextremidades do do vetorvetor velocidadevelocidade
d
dt
=
r
vEE
Obs.: v é tangente à trajetória, enquanto a é tangente ao hodógrafo