GA-1-Vetores--Aspectos-GeomA-tricos

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Matemática para Engenharia I 
Profa. Simone 
2016/2 
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 Um vetor pode ser definido, geometricamente, 
como o conjunto de todos segmentos orientados 
que possuem em comum comprimento, direção e 
sentido (equipolentes). 
 
 
2 
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v AB v
 Um conjunto de segmentos orientados 
equipolentes – cada segmento é dito 
representante do vetor. 
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 Dois vetores são iguais se tiverem mesmo 
comprimento, mesma direção e mesmo sentido. 
 
 Denota-se: 
 
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u v
u v
 O comprimento do vetor 
 
 
é a medida da distância entre 
os pontos A e B, . 
 
 Denota-se por: 
 (módulo) 
 ou 
 (norma) 
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( , )d A B
v AB v
( , )v d A B
( , )v d A B
 Vetores paralelos possuem a mesma direção. 
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 O vetor cujos pontos inicial e final coincidem, 
tem comprimento zero é chamado vetor nulo, 
denotado por . 
 
 
 
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00
AB

 A todo vetor v podemos associar o vetor -v, dito 
vetor oposto. 
 
 
 
 
 
 
 
 O vetor -v possui o mesmo comprimento, a 
mesma direção e sentido contrário de v. 
 
 
 
 
9 
 Vetor unitário é o vetor tal que 
 
 
 Versor de um vetor v é um vetor unitário de 
mesma direção e sentido de v, denotado por 
 
 
 
 
 
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1u
1
u v
v
 Dois vetores são ditos coplanares se existir 
algum plano onde os mesmos são representados. 
 
 
 
 
 
 
 Se os vetores não são paralelos entre si, como os 
da figura, então eles determinam a “direção” do 
plano. 
 
 
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v
u
 É o ângulo formado por u e v quando seus 
pontos iniciais são colocados na mesma origem, 
tal que 
 
12 

0 00 180 
0
0
Se 0 ( )
Se 90 ( )
paralelos
ortogonais


 
  
u v
u v
 
 Adição de Vetores 
 
 Multiplicação de vetor por escalar 
 
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 Se u e v são vetores posicionados de forma que a 
origem de v coincide com a extremidade de u, 
então o vetor soma u + v é o vetor representado 
pela seta desde a origem de u até a extremidade 
de v. 
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 Se a origem de u e v coincidem então u e v 
formam lados adjacentes de um paralelogramo e 
o vetor soma u + v é o vetor representado pela 
seta desde a origem comum até o vértice oposto 
do paralelogramo. 
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 Se u, v e w são vetores quaisquer,então: 
 
 u + v = v + u (comutativa) 
 
 u + (v + w) = (u + v) + w (associativa) 
 
 v + 0 = v (elemento neutro) 
 
 v + (-v) = 0 (elemento oposto) 
 
 
 
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 Se v é um vetor e α é um escalar, então o vetor 
αv é um vetor caracterizado por: 
 
 comprimento : 
 
 direção: a mesma de v 
 
 sentido: 
 
 
 
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 v
mesmo de , 0
oposto ao de , 0
se
se





v
v
20 
 Se u, v e w são vetores quaisquer e  e  
escalares,então: 
 
  (u + v) =  v +  u (distributiva – ad. vetores) 
 
 ( +  )v =  v+  v (distributiva – ad. escalares) 
 
 ( ) v = (v) (homogeneidade) 
 
 1v = v (identidade) 
 
 
 
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 Em aula: 
 
 Cap. 1 - p. 14-17 
 
 Exercícios: 2, 3, 5, 12, 14 e 16 
 
 Respostas na p.17 
 
 
 
 
 
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