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Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
1a Prova de Cálculo II - 29/01/2021
Prof. André F. Pereira
Nome:
OBS: RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA SERÃO DESCONSIDERADAS.
Exercı́cio 1. Considere as funções
f(x, y) = 1√
16− x2 − y2
e g(x, y) = ln
(
x
y
)
.
(i) (1,5 pt.) Apresente uma parametrização para alguma curva que está no gráfico de f e outra
para alguma curva que está no gráfico de g.
(ii) (2 pt.) Escolha uma constante k 6= 0, então determine e esboce o domı́nio de
h(x, y) = f(x, y) + g(x + k, y).
(iii) (1,5 pt.) Encontre a imagem de f e de g.
(iv) (2 pt.) Esboce pelo menos três curvas de nı́vel de f e de g.
(v) (2 pt.) Escolha um ponto (a, b) no domı́nio de f , então encontre a equação do plano tan-
gente ao gráfico de f no ponto (a, b, f(a, b)).
Exercı́cio 2. (1,5 pt.) Escolha uma constante k 6= 0, então esboce o gráfico da função
f(x, y) = 3
√
1− (y − 2)
2
4 −
(
x− 1
k
)2
.
Exercı́cio 3. Escolha uma constante k ∈ [0,∞) e considere a função:
f(x, y) =
{
xyk
x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(i) (2 pt.) A função f tem derivadas parciais, fx e fy, em todo ponto de R2? Prove sua resposta.
(ii) (2 pt.) A função f é contı́nua em (0, 0)? Prove sua resposta.
(iii) (1 pt.) A função f é diferenciável na origem? Prove sua resposta.
(iv) (2 pt.) Uma função que tem as derivadas parciais em todos os pontos do seu domı́nio é
contı́nua? Prove sua resposta.
Exercı́cio 4. (2 pt.) Seja k = ‘os dois últimos números do seu número de matrı́cula’, calcule o valor
de
∂2u
∂x∂y
,
onde
u(x, y) = x− y
x2 + yk .
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