JCE023-P3-Gab

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ — UFPR
CAMPUS AVANÇADO EM JANDAIA DO SUL
LICENCIATURA EM CIÊNCIAS EXATAS
Disciplina: JCE023 — Matemática I Professor: Carlos Galvão Nota:
Aluno: GRR
3ª Prova — 02/06/2016 — Pontos: 100 — Peso 06 — GABARITO
Devem estar bem identificadas e justificadas todas as respostas
Em caso de erros de resolução neste Gabarito, por gentileza, informar.
1. (05 cada item) Calcular:
(a) f (x) =
x2
2
− 2x − 6 = 0 R. : Duas formas com a fórmula quadrática:
Resolvendo diretamente temos
x =
−(−2)±
√
(−2)2 − 4 · 1
2
· (−6)
2 · 1
2
=
2±
√
4 + 12
1
= 2±
√
16 = 2± 4 = 6 ou − 2
Pode-se multiplicar tudo por 2 para obter as
raízes, fazendo x2 − 4x − 12 = 0 e
x =
−(−4)±
√
(−4)2 − 4 · 1 · (−12)
2 · 1
=
4±
√
16 + 48
2
=
4±
√
64
2
=
4± 8
2
=
12
2
= 6 ou
−4
2
= −2
�
(b) 3x−1 + 3x+1 + 3x+2 = 3x + 918 R. : Temos 3x · 3−1 + 3x · 31 + 3x · 32 = 3x + 918.
Chamando 3x = t temos
t · 3−1 + t · 31 + t · 32 = t + 918 ⇒ 34
3
t = 918
⇒ t
3
+ 3t + 9t − t = 918 ⇒ t = 918 · 3
34
= 27 · 3 = 81.
⇒ t
(
1
3
+ 3 + 9− 1
)
= 918 Portanto, 3x = 81 = 34 ⇒ x = 4
�
(c) log4 9 · log5 2 · log8 125 · log27(0,125) R. : Mudamos todos para uma base comum.
Usando base 2
log4 9 · log5 2 · log8 125 · log27(0,125) =
log2 9
log2 4
· log2 2
log2 5
· log2 125
log2 8
· log2(0,125)
log2 27
=
log2 3
2
2
· 1
log2 5
· log2 5
3
3
·
log2
(
125/100
)
log2 33
=
2 log2 3
2
· 1
log2 5
· 3 log2 5
3
·
log2
(
1/8
)
3 log2 3
= log2 3 ·
1
log2 5
· log2 5 ·
log2 2
−3
3 log2 3
= log2 3 ·
−3
3 log2 3
= log2 3 ·
−1
log2 3
= −1
Usando base 10
log4 9 · log5 2 · log8 125 · log27(0,125) =
log 9
log 4
· log 2
log 5
· log 125
log 8
· log(0,125)
log 27
=
log 32
log 22
· log 2
log 5
· log 5
3
log 23
·
log
(
125/100
)
log 33
=
2 log 3
2 log 2
· log 2
log 5
· 3 log 5
3 log 2
·
log
(
1/8
)
3 log 3
=
log 3
log 2
· log 2
log 5
· log 5
log 2
· log 2
−3
3 log 3
=
log 3
log 2
· (−3) log 2
3 log 3
=
−3
3
= −1
1
�
(d) Sendo tan x =
sen x
cos x
, calcule tan 105°, deixando raízes indicadas
R. : Precisamos de sen 105° e cos 105°.
Pelo seno da soma
sen 105° = sen (60° + 45°) = sen 60° cos 45° + sen 45° cos 60°
=
√
3
2
√
2
2
+
√
2
2
1
2
=
√
3
√
2
4
+
√
2
4
=
√
3
√
2 +
√
2
4
Pelo cosseno da soma
cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45°− sen 45°sen 60°
=
1
2
√
2
2
−
√
2
2
√
3
2
=
√
2
4
−
√
3
√
2
4
=
√
2−
√
3
√
2
4
Com isso
tan 105° =
sen 105°
cos 105°
=
√
3
√
2 +
√
2
4√
2−
√
3
√
2
4
=
√
3
√
2 +
√
2√
2−
√
3
√
2
=
√
2 +
√
6√
2−
√
6
=
1 +
√
3
1−
√
3
�
2. Um jogador de beisebol rebate uma bola para o alto, sendo a altura (dada em pés) pela equação
h(t) = −16t2 + 64t + 3, com t em segundos. Calcule
(a) (05) Altura máxima (em pés)
R. : É o yV =
−∆
4a
=
4ac − b2
4a
= c − b
2
4a
= 3− 64
2
4 · (−16)
= 3 + 64 = 67 pés.
�
(b) (10) Tempo de queda
R. : Quadrática:
x =
−(64)±
√
(64)2 − 4 · (−16) · 3
2 · (−16)
=
−64±
√
4096 + 192
−32
=
−64± 65,5
−32
= −1,5
32
= −0,0468 ou 129, 5
32
= 4,0468
�
3. (15) Um campo é delimitado no formato de um retângulo, no qual um lado é formado por um rio
de margem retilínea. Se temos disponível 100m de tela para fazer um cercado, quais serão as
dimensões dos lados para cercar a máxima área deste terreno?
R. : O retângulo tem lados m e n, sendo cercado 2m + n = 100⇒ n = 100− 2m.
A área será m · n = m(100 − 2m) = 100m − 2m2. A área máxima terá como lado m = xV e a área
será o yV . xV =
−b
2a
= − 100
2(−2)
=
100
4
= 25m. O outro lado será n = 100− 2 · 25 = 100− 50 = 50m e
a área 25 · 50 = 1250m2.
�
4. (20) A meia-vida de um isótopo radioativo é o tempo em que uma certa quantidade deste isótopo
decai até sua metade. Sendo T a meia-vida, o decaimento ao longo do tempo t de uma quantidade
inicial Q0 é dado pela fórmula Q(t) = Q0 · 2
−t
T . A meia vida do Carbono-14 é de aproximadamente
5730 anos. Em quantos anos 100g de Carbono-14 serão reduzidas a 0,78125g?
R. :
0,78125 = 100 · 2
−t
5730 ⇒ 2−7 = 2
−t
5730
⇒ 78125
100000
· 1
100
= 2
−t
5730 ⇒ −7 = −t
5730
⇒ 5
7
107
= 2
−t
5730 ⇒ t = 7 · 5730 = 40110
2
�
5. (20) As populações de duas cidades A e B crescem segundo as equações PA = 50000(1,035)t e
PB = 250000(1,016)t , com t dado em anos. Em quanto tempo as cidades terão a mesma população?
Usar: log 1,035 = 0,01494, log 1,016 = 0,00689 e log 2 = 0,30103.
R. : Queremos PA = PB.
50000(1,035)t = 250000(1,016)t Dividindo por 50000
1,035t = 5(1,016)t Aplicando log
log 1,035t = log
(
5(1,016)t
)
Propriedades de log
t · log 1,035 = log
(
10
2
)
+ t · log 1,016 Subtraindo t · log 1,016
t · log 1,035− t · log 1,016 = log 10− log 2 Colocando t em evidência
t · (log 1,035− log 1,016) = 1− log 2 Substituindo valores
t · (0,01494− 0,00689) = 1− 0,30103
t · 0,00805 = 0,69897 Dividindo por 0,00805
t =
0,69897
0,00805
≈ 86,82857
Portanto, em cerca de 87 anos as populações serão iguais.
�
6. (20) É dada a barragem da figura abaixo. Sabendo que sen 20° = 0,342 e sen 40° = 0,643, calcule
x . (Obs. A altura é perpendicular à horizontal e forma 2 triângulos retângulos)
R. : A altura h do triângulo é cateto oposto em relação aos dois ângulos, sendo um triângulo de
hipotenusa 100 e ângulo 20° e o outro de hipotenusa x e ângulo 40°.
Temos sen 20° =
h
100
⇒ h = sen 20° · 100 = 34,2.
Aplicando no segundo triângulo, sen 40° =
h
x
⇒ x = 34,2
0,643
≈ 53, 188m
�
7. (10) Mostre que, para qualquer ângulo sen (90°− x) = cos x .
R. : sen (90°− x) = sen 90° cos x + sen x cos 90° = 1 · cos x + sen x · 0 cos x .
�
3