495697721-16-Curso-Nv17-Semiext07-Mat-a-Em-Baixa (2)

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Logaritmos: 
propriedades operatórias
Matemática
7A13
Aula 
O surgimento dos logaritmos permitiu transformar operações. Assim, uma potência podia ser transformada em 
uma multiplicação, uma multiplicação numa adição e uma divisão numa simples subtração. Com o advento das 
calculadoras, essas transformações perderam um pouco sua importância. Mesmo assim, diversas situações podem ser 
resolvidas utilizando propriedades que transformam operações em outras mais elementares.
Assim, por exemplo, a equação exponencial
2x = 125 → x = ???????
pode ser resolvida com o auxílio das propriedades operatórias dos logaritmos, conforme veremos nesta aula.
Propriedades operatórias 
As propriedades operatórias dos logaritmos podem ser demonstradas a partir da definição de logaritmos e tam-
bém das propriedades da potenciação. Três dessas propriedades serão apresentadas, a seguir, e demonstradas na 
primeira das “situações para resolver“, propostas nesta aula.
Propriedade 1
O logaritmo do produto de dois números positivos é, na mesma base, a soma dos logaritmos desses dois 
números:
loga (A . B) = loga A + loga B
Exemplo:
log 60 = log (2 . 3 . 10) log 60 = log 2 + log 3 + log 10
Propriedade 2
O logaritmo do quociente de dois números positivos é, na mesma base, a diferença dos logaritmos desses 
dois números:
loga 
A
B





 = loga A – loga B
Exemplo:
log log5
10
2
= 




 log 5 = log 10 – log 2
Propriedade 3
O logaritmo da potência de um número positivo é, na mesma base, o produto do expoente pelo logaritmo 
do número correspondente à base da potência:
loga A
n = n . loga A
Exemplo:
log 125 = log 53 log 125 = 3 . log 5
1
Matemática
2 Semiextensivo
01. Sabendo que log x = 5 e log y = –3, obtenha o valor de A = log (x3 · y) 
• Para calcular o que se pede, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos.
A = log (x3 · y)
A = log x3 + log y
A = 3 · log x + log y
A = 3 · 5 + (–3) ⇒ A = 12
02. Numa calculadora, podemos obter os seguintes valores aproximados: log 2 ≅ 0,30 e log 3 ≅ 0,48. A partir desses dois 
valores, calcule o valor numérico para log 15. 
• Devemos, inicialmente, expressar o número 15 em função do número 2 e do número 3, lembrando que precisa-
mos calcular o logaritmo de 15 na base 10. Assim, temos:
log 15 = log
30
2






log 15 = log 30 – log 2
log 15 = log (3 · 10) – log 2
log 15 = log 3 + log 10 – log 2
log 15 ≅ 0,48 + 1 – 0,30 ⇒ log 15 ≅ 1,18
Situações resolvidas
01. Prove as três propriedades operatórias de logaritmos que foram apresentadas nesta aula.
02. Considerando que log 2 ≅ 0,30, obtenha a solução aproximada da equação exponencial 2x = 250. 
Situações para resolver
Aula 13
3Matemática 7A
03. (UFPB) – Sabendo-se que, neste século, o número de habitantes de uma determinada cidade, no ano x, é estimado 
pela função h(x) = 5000 + log2
x − 2000
10
1000





 , pode-se afirmar que o número estimado de habitantes dessa 
cidade, no ano de 2030, estará entre
a) 4 000 e 5 000
b) 5 000 e 6 000
c) 6 000 e 7 000
d) 7 000 e 8 000
e) 8 000 e 9 000
04. Resolva a equação logarítmica (log x)2 – log x3 = 0
Testes
Assimilação
13.01. Considerando que x = −log log2 232 4 e que 
y = 




log2
32
4
, é correto afirmar que:
a) x = y
b) x > y
c) x < y
d) x = 2y
13.02. Utilizando as propriedades operatórias de logaritmos, 
e supondo que A, B e C são números reais positivos, é correto 
afirmar que log
A B
C
3 2⋅




 é igual a:
a) 3log A + 2log B + log C
b) 3log A + 2log B – log C
c) 2log A + 3log B + log C
d) 2log A – 3log B + log C
4 Semiextensivo
13.03. Se x = log155 + log153, então:
a) x = 2
b) x = –1
c) x = 1
d) x = 0
13.04. Assinale a alternativa que contém o valor correto de 
A, sendo A = + + −log ( ) log ( )3 35 2 5 2
a) 1
b) 0
c) 2
d) 3
13.05. Se log x = 0,2 e log y = 0,5, então o logaritmo decimal 
de (x ∙ y)3 é igual a:
a) 1,2
b) 1,8
c) 1,9
d) 2,1
13.06. Determinando-se o valor da expressão E, na igual-
dade log E = 2log 3 + 5log 2, obtém-se:
a) 41
b) 288
c) 47
d) 28
Aperfeiçoamento
13.07. (UFRGS) – Atribuindo para log 2 o valor 0,3, então os 
valores de log 0,2 e log 20 são, respectivamente,
a) –0,7 e 3
b) –0,7 e 1,3
c) 0,3 e 1,3
d) 0,7 e 2,3
e) 0,7 e 3
13.08. (FMABC – SP) – Um comerciante usa a equação 
y = log2 800 – log2 x para estabelecer a relação entre y 
(número de unidades que ele compra de certo produto) e x 
(preço pelo qual deve ser vendida a unidade desse mesmo 
produto). Nessas condições, pela compra de 6 unidades, 
que quantia o comerciante deverá estabelecer para o preço 
unitário de venda de tal produto?
a) R$ 12,00
b) R$ 12,50
c) R$ 14,00
d) R$ 14,50
13.09. (UFRGS) – Aproximando log 2 por 0,301, verificamos 
que o número 1610 está entre:
a) 109 e 1010
b) 1010 e 1011
c) 1011 e 1012
d) 1012 e 1013
e) 1013 e 1014
Aula 13
5Matemática 7A
13.10. (ESPM – SP) – Se log 2 = a e log 3 = b, o valor de x na 
expressão 9x = 5 é igual a:
a) 
1
2
−a
b
 b) 
1−b
a
 c) 
a
b
−2
d) 
a b−
2
 e) 
b
a
−1
2
13.11. (UNIFAP – AP) – Eles têm certeza de que cairá algo 
sobre logaritmos na prova. Então eles treinam um pouco mais 
e, para testar o conhecimento de Marta, ele solicita que ela 
resolva o seguinte cálculo com logaritmos:
2log 2 + 2log 20 – 2log 200 – 2log 2000.
Qual das alternativas Marta deve marcar como resposta 
correta?
a) –8
b) 6
c) 8
d) 2 log 2
e) 2 log 20
13.12. (ESPM – SP) – Se log x + log x2 + log x3 + log x4 = –20, 
o valor de x é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01
e) 1
Aprofundamento
13.13. (FGV – SP) – A, B e C são inteiros positivos, tais que 
A ∙ log200 5 + B ∙ log200 2 = C. Em tais condições, A + B + C 
é igual a:
a) 0 b) C c) 2C d) 4C e) 6C
13.14. (UFAM) – Se log x = 3 + log 3 – log 2 – 2 ∙ log 5, então 
x é igual a:
a) 18 b) 25 c) 30 d) 40 e) 60
13.15. (FGV – SP) – A solução da equação
log 1 + 2log 2 + 3log 3 + 4log 4 + ... + 10log 10 = log x é:
a) 
1
2 3 4 9! ! ! ... !
b) 
10
2 3 4 9! ! ! ... !
c) 
10
2 3 4 9
!
! ! ! ... !
d) 
( !)
! ! ! ... !
10
2 3 4 9
10
e) 
( !)
! ! ! ... !
10
2 3 4 9
11
13.16. (ESPM – SP) – Um móvel percorre uma trajetória no 
plano cartesiano. Suas coordenadas x e y são dadas, respec-
tivamente, por 2t e 2t + 1, onde t é o tempo em segundos. 
Podemos afirmar que a equação cartesiana dessa trajetória, 
para x > 0, é:
a) y = log2 x 
b) y = 2 . log2 x 
c) y = log2 (x
2 + 1) 
d) y = log2 (2x
2)
e) y = 1 + log2 x 
13.17. (ESPM – SP) – Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma 
fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma 
pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade 
tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log2(x – 1996), 
onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. 
Considerando 2 1 4= , , podemos concluir que a popula-
ção dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em 
meados do ano:
a) 2005
b) 2002
c) 2011
d) 2007
e) 2004
13.18. (UFAM) – Com o objetivo de combater a proliferação 
do mosquito transmissor da dengue, estão sendo produzi-
dos em laboratório aedes aegyptis machos geneticamente 
modificados.
Eles possuem dois genes adicionais. Quando são soltos, se 
reproduzem com fêmeas que vivem livres na natureza. De-
pois de cruzar, elas vão produzir ovos, que se transformam 
em larvas e pupas, mas toda a nova geração de mosquitos 
vai morrer antes de se reproduzir. Com o passar do tempo, 
a população de aedes aegypti diminuirá drasticamente. 
Supondo que em um determinado bairro, após a soltura 
destes mosquitos modificados, a diminuição da população 
de aedes aegypti se dá segundo a função N t N e
t
( ) ,= ⋅
−
0 5 
onde N0 indica a população inicial de mosquitos (t = 0) 
e t o tempo medido em meses, o tempo necessário para 
que a população de aedes aegypti, neste bairro, se reduza 
à metade é de: 
Obs.: Considere ln 2 = 0,7
a) 2 meses
b) 2 meses e meio
c) 3 meses
d) 3 meses e meio
e) 4 meses
Discursivos
13.19. Obtenha, em função dos números reais positivos a, b e c, o valor da expressão E, considerando que
log E = 1 + log a + 2 . log b – logc
6 Semiextensivo
Gabarito
13.01. a
13.02. b
13.03. c
13.04. a
13.05. d
13.06. b
13.07. b
13.08. b
13.09. d
13.10. a
13.11. a
13.12. d
13.13. e
13.14. e
13.15. d
13.16. d
13.17. d
13.18. d
13.19. E
ab
c
=
10 2
13.20. a) a = 1,5 e b = 0,5
b) 3 min
13.20. (UFPR) – Suponha que o tempo t (em minutos) necessário para ferver água em um forno de micro-ondas seja dado 
pela função
t(n) = a ∙ nb
sendo a e b constantes e n o número de copos de água que se deseja aquecer.
Número de copos Tempo de aquecimento
1 1 minuto e 30 segundos
2 2 minutos
a) Com base nos dados da tabela, determine os valores de a e b.
 Sugestão: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,45
b) Qual é o tempo necessário para se ferverem 4 copos de água nesse forno de micro-ondas?
Aula 13
7Matemática 7A
8 Semiextensivo
Logaritmos: mudança de base
7A
Matemática
Aula 14
As calculadoras fornecem logaritmos em duas bases: a decimal e a neperiana. Assim, caso seja necessário calcular 
algum logaritmo em base diferente dessas duas, será necessário efetuar uma mudança de base. 
Logaritmo
neperiano
Logaritmo
decimal
Nesta aula, veremos uma propriedade que permite efetuar mudança de base em logaritmos.
Mudança de base
Observe como podemos calcular um logaritmo que não está na base 10, efetuando uma mudança de base:
 log2 7 = x
 Aplicamos a def inição
 2x = 7
 Aplicamos logaritmo na base 10
 log10 2
x = log10 7
 Propriedade da potência
 x ∙ log10 2 = log10 7
 isolando x
 x = 
log10 7
log10 2
W
in
do
w
s
Nesse exemplo, o logaritmo que estava na base 2 
foi transformado para a base 10. Assim, utilizando uma 
calculadora, podemos calcular o logaritmo inicial.
A propriedade da mudança de base pode ser resumi-
da na igualdade a seguir, em que um logaritmo que está 
na base b é transformado para a base a:
Propriedade da mudança de base:
log N =
log N
log bb
a
a
O logaritmo é transformado no quociente de dois 
outros logaritmos na nova base.
Aula 14
Função logarítmica
Define-se como função logarítmica f: *+ →  a função cuja lei de formação é:
y = f(x) = loga x
(a > 0 e a ≠ 1)
Observações:
1. Função logarítmica crescente: a > 1
2. Função logarítmica decrescente: 0 < a < 1 
3. A função logarítmica é a inversa da função exponencial de mesma base, isto é: f(x) = loga x ⇔ f 
–1(x) = ax
4. Para a > 1: loga x1 > loga x2 ⇔ x1 > x2
5. Para 0 < a < 1: loga x1 > loga x2 ⇔ x1 < x2
Aula 14
9Matemática 7A
01. Considerando que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule o valor de log2 3
• Uma maneira de calcular esse logaritmo, sem a memorização da propriedade de mudança de base, é a seguinte:
log2 3 = x
2x = 3
log 2x = log 3
x · log 2 = log 3
x · 0,30 = 0,48 → x = 0 48
0 30
,
,
 ⇒ x = 1,6
• Utilizando a mudança de base:
log2 3 = 
log
log
,
,
3
2
0 48
0 30
= ⇒ log2 3 = 1,6
02. Resolva a equação logarítmica log2 x + log4 x + log8 x = 11
• Como temos três logaritmos em bases diferentes, efetuamos a mudança para uma das bases. Considerando que 
4 e 8 são potências de base 2, deixamos todos os logaritmos nessa base:
log2 x + log4 x + log8 x = 11
log2 x + 
l g
log
l g
log
o x o x2
2
2
24 8
+ = 11
log2 x + 
l g l go x o x2 2
2 3
+ = 11
6 log2 x + 3 log2 x + 2 log2 x = 66
11 log2 x = 66
log2 x = 6 ⇒ x = 2
6 = 64
Situações resolvidas
01. Vamos esboçar, no plano cartesiano, o gráfico da função f: *+ →  definida por f(x) = log2x.
• Atribuímos valores a x e calculamos y em correspondência.
x y
1/8 –3
1/4 –2
1/2 –1
1 0
2 1
4 2
8 3
• Localizamos os pontos correspondentes 
no plano cartesiano.
y
x2 40
3
2
1
8
–1
–2
–3
1
8
1
4
1
2
1
• Ligamos convenientemente os pontos para obter-
mos o gráfico.
y
x2 40
3
2
1
8
–1
–2
–3
1
8
1
4
1
2
1
02. Vamos esboçar, no plano cartesiano, o gráfico da função f: *+ →  definida por f(x) = log .1
2
x
• Atribuímos valores a x e calculamos y em correspondência.
x y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 –1
4 –2
8 –3
• Localizamos os pontos correspondentes 
 no plano cartesiano.
y
x2 40
3
2
1
8
–1
–2
–3
1
8
1
4
1
2 1
• Ligamos convenientemente os pontos para obter-
mos o gráfico.
y
x2 40
3
2
1
8
–1
–2
–3
1
8
1
4
1
2 1
Situações resolvidas
10 Semiextensivo
01. Demonstre a propriedade da mudança de base, isto é, demonstre que logb N
o N
b
a
a
=
l g
log
02. Determine o valor de log3100 5
100, em função de x, sabendo que log35 = x.
03. (UFPR) – Num certo experimento científico, os dados são organizados em forma de tabelas, e a relação entre as gran-
dezas está na forma logarítmica. Por algum motivo, há a necessidade de troca de base logarítmica. O resultado x (x > 0) 
da equação log2 x + log8 x = 8 será igual a:
a) 64 b) 24 c) 32 d) 50 e) 84
04. O gráfico a seguir é da função real definida por f(x) = log x. Calcule a área da região hachurada.
y
x2 4
Situações para resolver
Aula 14
11Matemática 7A
Testes
Assimilação
14.01. Considerando que log2 5 = x, é correto afirmar que 
log8 125 é:
a) x
b) 2x
c) 3x
d) 4x
14.02. Determine o valor da expressão 
( ) ( ) ( )log log log2 3 53 5 2⋅ ⋅
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
14.03. Se A = ⋅log log3 255 81, então:
a) A = 0
b) A = 1
c) A = 2
d) A = 3
14.04. (UFRGS) – O número log2 7 está entre:
a) 0 e 1
b) 1 e 2
c) 2 e 3
d) 3 e 4
e) 4 e 5
14.05. (CEFET – MG) – Se log3 a = x, então log9 a
2 vale:
a) 
x
2
b) x
c) 2x
d) 3x
14.06. Considerando as aproximações para log 2 = 0,30 e 
log 3 = 0,48, o valor de log100 6 é:
a) 0,19
b) 0,29
c) 0,39
d) 0,49
Aperfeiçoamento
14.07. (FGV – SP) – O produto (log9 2) ∙ (log2 5) ∙ (log5 3) é:
a) 0
b) 
1
2
c) 10
d) 30
e) 
1
10
14.08. (MACK – SP) – Para quaisquer reais positivos A e B, 
o resultado da expressão logA B
3 ∙ logB A
2 é:
a) 10
b) 6
c) 8
d) A . B
e) 12
12 Semiextensivo
14.09. (UFRGS) – Na figura abaixo está representado o 
gráfico da função f(x) = logb x:
logb 2
f(x)
x20 0,5
–1
A área da região sombreada é:
a) 2
b) 2,2
c) 2,5
d) 2,8
e) 3
14.10. (UNIFAP – AP) – Ezequiel, olhando as questões que 
envolvem funções logarítmicas, encontra uma que, para 
resolvê-la, é necessário usar as propriedades de logaritmos. 
Então resolve levar a questão para Marta tentar fazê-la. Ao 
chegar lá, ele apresenta a seguinte questão: 
Dada a função cuja lei é f x
x
( ) log ,= 10
10
2000
 qual é o valor 
de f(3)?
O que Marta deve marcar como resposta correta?
a) – log 20
b) – log 2
c) – log 0,2
d) – log 0,02
e) – log 0,002
14.11. (UFPA) – As populações A e B de duas cidades são 
determinadas, em milhares de habitantes, pelas funções 
A(t) = log4 (2 + t)
5 e B(t) = log2 (2t + 4)
2, nas quais a variável t 
representa o tempo em anos. Essas cidades terão o mesmo 
número de habitantes no ano t, que é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
14.12. (FAMECA – SP) – Observe a lista de oito funções reais:
y x
y
y
y x
y
y
y x
y
x
x
x
x
= +
= 





=
=
=
=
=
=
1
1
10
10
10
10
10
log
log
log
log
log
−
llog ( )10x
 
Se fizermos, no mesmo plano cartesiano, o gráfico dessas 
oito funções, para x > 0, obteremos n gráficos diferentes. Na 
situação descrita, n é igual a:
a) 6
b) 4
c) 5
d) 3
e) 7
Aula 14
13Matemática 7A
Aprofundamento
14.13. (PUCPR) – Sabendo que log 20 = 1,3 e log 5 = 0,7, é 
correto afirmar que log5 20 corresponde a:
a) exatamente 2
b) exatamente 0,6
c) maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6
d) um valor entre 1,8 e 1,9
e) nenhuma das alternativas anteriores 
14.14. (ESPM) – Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do 
log9 160 é igual a:
a) 
4
2
a b+
b) 
4 1
2
a
b
+
c) 
2 3
2
a b+
d) 
4 2b
a
+
e) 
a
b
+ 1
3
14.15. (FUVEST – SP) – Use as propriedades do logaritmo 
para simplificar a expressão
S =
⋅
+
⋅
+
⋅
1
2 2016
1
5 2016
1
10 20162 3 7log log log
O valor de S é:
a) 
1
2
b) 
1
3
c) 
1
5
d) 
1
7
e) 
1
10
14.16. (FGV – RJ) – No trapézio ABCD da figura abaixo, os 
ângulos em A e B são retos e os vértices C e D estão sobre ográfico da função y = 1 + log x.
A
D
C
B
0 2 4 6
Utilizando log 2 = 0 ,301 e log 3 = 0,477, a área do trapézio 
ABCD é:
a) 5,857
b) 5,556
c) 5,732
d) 4,823
e) 6,158
14.17. (UNIFOR – CE) – Na figura abaixo têm-se os gráficos 
da função exponencial f e de sua inversa g.
y
x–1 1
1
2
f
g
1
2
O valor de k tal que g(k) = 3 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
14 Semiextensivo
14.18. (UEPG – PR) – Considerando as funções f(x) = log(x2 – 5x + 6) – log(4 – x2) e g(x) = (2 – 2)x + 1, assinale o que for correto. 
01) g(x) é crescente. 
02) A solução da equação f(x) = 0 é 
1
2
.
04) O domínio de f(x) é {x ∈  | 2 < x < 3}.
08) f g −










 =
1
2
1.
16) A solução da equação g x( )=
2
8
 é 
1
4
.
Discursivos
14.19. (VUNESP – SP) – Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente certa 
quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência 
termina quando toda a água se evapora. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litro) é dada 
pela expressão: Q(t) = log ,
10
1
k
t +





 sendo k uma constante positiva e t em horas.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k.
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
14.20. (UNICAMP – SP) – A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa 
pela função h(t) = 0,5 + log3(t + 1), onde o tempo t ≥ 0 é dado em anos.
a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m?
Aula 14
15Matemática 7A
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta 
g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença g(t) – h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.
Gabarito
14.01. a
14.02. b
14.03. c
14.04. c
14.05. b
14.06. c
14.07. b
14.08. b
14.09. a
14.19. a) k = 1; 
b) 9 horas
14.20. a) 2 anos
b) g(t) – h(t) = h(3t + 2) – h(t) 
g(t) – h(t) = (0,5 + log3(3t + 3)) – (0,5 + log3(t + 1)) 
g(t) – h(t) = log3(3t + 3) – log3(t + 1)
g(t) – h(t) = log33 + log3(t + 1) – log3(t + 1) 
g(t) – h(t) = 1 → é uma constante.
14.10. b
14.11. e
14.12. b
14.13. d
14.14. b
14.15. e
14.16. e
14.17. e
14.18. 18 (02, 16)
16 Semiextensivo