solucao3-EM

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CCT-Unidade Acadêmica de F́ısica
Solução do 3o Estágio de Eletricidade e Magnetismo 2015.1
Disciplina:1108083 24/11/2015
Prof. Adriano de A. Batista
1)(2.0) Um próton está se movendo em uma dada região onde existe um campo magnético
uniforme dado por ~B = (10ı̂− 20̂ + 30k̂)mT. Em um dado instante o próton tem velocidade
~v = vxı̂ + vy ̂ e a força magnética que age sobre ele é dada por ~FB = (4, 0ı̂ + 2, 0̂) × 10−17N.
Nesse instante quais são os valores de: (a) vx, (b) vy? A carga do próton é 1, 6× 10−19 C.
Solução: Utilizando o fato de que a força magnética é dada por ~FB = e~v × ~B, obtemos
então as seguintes equações, pelo enunciado e pela definição do produto vetorial
FBx = e(vyBz − vzBy) = evyBz,
FBy = e(vzBx − vxBz) = −evxBz,
FBz = e(vxBy − vyBx) = 0,
onde utilizamos, do enunciado, vz = FBz = 0. Logo, obtemos:
(a) vx = −FByeBz = −
104
2,4
m/s≈ −4, 2 km/s. (b) vy = −FBxeBz = −
104
1,2
m/s≈ 8, 3 km/s.
2) (2.0) Um elétron com velocidade ~v = (3, 0ı̂ + 4, 0̂ + 2, 0k̂) km/s está numa região com
campo magnético ~B = 2, 0ı̂ T e com um campo elétrico de tal forma que o elétron se move com
velocidade constante. (a) Quais as componentes do campo elétrico? (b) Qual o ângulo entre a
velocidade do elétron e o campo elétrico?
Solução: (a) Como o elétron se move com velocidade constante, a força total sobre ele é nula
(pela segunda lei de Newton). Essa força total pode ser escrita como ~Ftot = −e( ~E+~v× ~B) =
0. Assim obtemos
~E = −~v × ~B = −(3, 0ı̂+ 4, 0̂+ 2, 0k̂)× 2, 0ı̂ kN/C = (−4, 0̂+ 8, 0k̂)kN/C
(b)
cos(φ) =
~E · ~v
Ev
= −~v ×
~B · ~v
Ev
= 0
Assim o ângulo é dado por φ = π
2
rad.
3)(2.0) Na figura abaixo cada um dos quatro fios retiĺıneos muito longos distam d da origem e
têm uma corrente i nos sentidos indicados na figura. (a) Encontre o vetor campo magnético
gerado pelas correntes elétricas dos fios inferiores na posição do fio superior. (b) Encontre a
força por unidade de comprimento sobre o fio superior devida às correntes elétricas dos outros
fios.
y
x
i
×
dd
d
d
Solução: (a) Utilizando a lei de Ampère e o prinćıpio de superposição, encontramos que o
campo magnétrico na posição do fio superior é dado por
~Bsup =
µ0i
2π
(
1
2d
ı̂− 1
d
√
2
ı̂+ ̂√
2
+
1
d
√
2
(−ı̂+ ̂)√
2
)
=
µ0i
2πd
(
1
2
− 1)̂ı = − µ0i
4πd
ı̂
(b) A força por unidade de comprimento no fio inferior é dada por
~fsup =
i~̀× ~Bsup
`
= ik̂ × ~Bsup = −
µ0i
2
4πd
̂
4) (2.0) Na figura abaixo à esquerda temos a seção transversal de dois fios coaxiais retiĺıneos
muito longos. Ambos os fios transportam uma corrente i uniformemente distribúıda, só que
em sentidos opostos, como indicado na figura. Determine o vetor campo magnético em função
do raio: (a) (0.5) no fio interior (r < a); (b) (1.0) na região com a < r < b; (c) (0.5) no exterior
do fio.
b
c c′ c′′
a
Solução: (a) Pela lei de Ampére ∮
c
~B · d~̀= µ0iin,
em que iin é a corrente que passa pelo interior da curva amperiana C. Logo,
iin = µ0
∫
s<r
~Jin · d ~A = µ0Jinπr2,
pois, como afirmado no enunciado, a corrente i é uniformemente distribúıda no fio interior,
assim a densidade de corrente áı é dada por Jin =
i
πa2
.
Pela simetria ciĺındrica do problema (invariança do campo magnético por rotação em torno
do eixo do fio), obtemos ∮
c
~B · d~̀= 2πBφ(r)r.
Assim obtemos que ~B(~r) = Bϕ(r)φ̂, onde
Bϕ(r) = µ0Jinr/2 =
µ0ir
2πa2
,
ϕ̂ = − sinϕı̂+ cosϕ̂ = (−yı̂+ x̂)/r.
(b) Pela lei de Ampére
∮
c′
~B · d~̀ = µ0
∫
~J · d ~A. Como a corrente é uniformemente
distribúıda na seção transversal do fio, obtemos que a corrente que passa pelo interior da
curva amperiana de raio r (ćırculo tracejado da figura acima) é∫
s<r
~J · d ~A = i(r) = i− ir
2 − a2
b2 − a2
= i
b2 − r2
b2 − a2
,
enquanto que por simetria (invariança do campo magnético por rotação em torno do eixo
do fio) obtemos ∮
c′
~B · d~̀= 2πrBϕ(r),
em que o campo magnético ~B(r) = Bϕ(r)ϕ̂ gira em torno do eixo do fio. Portanto, o campo
magnético nessa região é dado por
Bϕ(r) = µ0
i(r)
2πr
=
µ0i
2πr
b2 − r2
b2 − a2
(c) Na região externa, com r > b obtemos que o campo magnético é nulo, pois∮
c′′
~B · d~̀= 0
e pela simetria ciĺındrica obtemos que ~B(r) = 0.
5) (2.0) Determine o campo magnético no ponto P gerado pela corrente no fio da figura acima
à direita. A distância do ponto P de ambos os fios é a. Os dois trechos retiĺıneos podem ser
considerados semi-infinitos e fazem um ângulo de 90o entre si.
I
P
Solução: Pela lei de Biot-Savart temos que o campo magnético no ponto P é dado por
~BP =
µ0I
4π
∫
fio
d~r′ × (~r − ~r′)
|~r − ~r′|3
,
onde ~r = a(̂ı + ̂) e ~r′ = x′ı̂. Essa integral pode ser dividida em duas partes, que são as
seguintes:
A contribuição ao campo magnético da corrente do fio retiĺıneo horizontal
~B1 =
µ0I
4π
∫ 0
∞
dx′ı̂× (aı̂+ a̂− x′ı̂)
[(x′ − a)2 + a2]3/2
= −µ0Ia
4π
∫ ∞
0
dx′
[(x′ − a)2 + a2]3/2
k̂
= −µ0Ia
4π
∫ ∞
−a
du
[u2 + a2]3/2
k̂ = −µ0Ia
4π
∫ π/2
−π/4
a sec2 θdθ
a3[1 + tan2 θ]3/2
k̂ = −µ0I
4πa
∫ π/2
−π/4
cos θdθ
= −µ0I
4πa
(
1 +
√
2
2
)
k̂
A contribuição ao campo magnético da corrente do fio retiĺıneo vertical é
~B2 = ~B1,
por simetria. O campo total é dado por
~BP = ~B1 + ~B2 = −
µ0I
2πa
(
1 +
√
2
2
)
k̂