Exercícios de Sistemas Lineares em Métodos Numéricos

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CI202 – Métodos Numéricos
2o semestre 2019
Exercícios ]05
Sistemas Lineares∗
1. Dados
A =
12.3 −12.3 20.311.3 −10.3 −11.3
10.3 −11.3 −12.3
 e B =
 2 4−5 6
11 −20

calcule [C] = [A] · [B]
2. Quantas soluções o sistema a seguir possui?
x+ y = 2
6x+ 6y = 12
3. Usando um computador com quatro dígitos significativos com truncamento, calcule a solução do
sistema linear abaixo por eliminação por Gauss com E sem pivoteamento parcial.
0.0030x1 + 55.23x2 = 58.12
6.239x1 − 7.123x2 = 47.23
4. Dada a matriz abaixo, calcule seu determinante:
4.2857× 107 −9.2307× 105 0 0
4.2857× 107 −5.4619× 105 −4.2857× 107 5.4619× 107
−6.5 −0.15384 6.5 0.15384
0 0 4.2857× 107 −3.6057× 105

5. O que deve ser feito no sistema de equações abaixo para garantir que se encontre uma solução pelo
método de Gauss-Seidel
2x1 + 7x2 − 11x3 = 6
x1 + 2x2 + x3 = −5
7x1 + 5x2 + 2x3 = 17
∗Os exercícios desta lista são compilações de materiais gerados por professores do DINF/UFPR para a disciplina de CI202
- Métodos Numéricos.
1
http://www.inf.ufpr.br/nicolui/grad/ci202/geral/index.html#agradecimentos
http://www.inf.ufpr.br/nicolui/grad/ci202/geral/index.html#agradecimentos
6. Usando [x1 x2 x3] = [1 2 1] como valores iniciais para o sistema linear abaixo12 7 31 5 1
2 7 −11
x1x2
x3
 =
227
−2

calcule o valor de [x1 x2 x3] após 5 (cinco) iterações no método de Gauss-Seidel. Mostre os valores
de [x1 x2 x3] ao final de cada iteração. A partir de qual iteração podemos ter confiança em pelo
menos 2 (dois) dígitos significativos?
7. Considere o sistema linear abaixo:
4α+ (1− 2i)β = 1
(1− 2i)α+ 6β = 5 + 9i
onde α = x1 + x2i e β = x3 + x4i. Multiplicando-se e igualando as partes real e imaginária de
cada equação, separadamente, resulta um sistema linear 4x4, cuja solução fornece as partes real e
imagináriada solução do sistema linear original. Resolva pelo método de eliminação de Gauss.
8. Resolva o sistema linear abaixo por eliminação de Gauss, com pivoteamento parcial.2 4 33 2 1
1 3 4
x1x2
x3
 =
 48
−5

Refine a solução encontrada para obter um resíduo com � < 10−3.
9. Usando o método de eliminação de Gauss mostre que o sistema abaixo possui uma única solução
quando α = 0, infinitas soluções quando α = 1, e nenhuma solução quando α = −1.
x1 + 4x2 + αx3 = 6
2x1 − x2 + 2αx3 = 3
αx1 + 3x2 + x3 = 5
10. Considere o sistema linear A · x = B abaixo:1 α 3α 1 4
5 2 1
x1x2
x3
 =
b1b2
b3

A matriz A pode ser decomposta em fatores LU? Quais as condições para isso ser possível?
11. Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss Seidel, verificando antes a convergência.
20x1 + 2x2 + 6x3 = 38
x1 − 20x2 + 9x3 = −23
2x1 − 7x2 − 20x3 = −57
12. Considere o sistema linear abaixo. Dentre os métodos iterativos que você conhece qual você utili-
zaria? Por que? Resolva pelo método escolhido.
10x1 + 2x2 + 6x3 = 28
x1 − 100x2 + 9x3 = 7
2x1 − 7x2 − 10x3 = −17
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13. No sistema linear abaixo, mostre uma reordenação de linhas e colunas em que podemos obter um
sistema equivalente para o qual vale o critério de Sassenfeld mas não o critério das linhas.
x1 + x2 = 2
x1 + 4x2 − x4 = 4
x1 + x3 = 2
x3 + x4 = 2
14. Considere as matrizes abaixo:
a)
A =

2 −1 3 5
4 −1 10 8
6 −3 12 11
0 −2 −5 10
 , B =

−7
4
4
−51

b)
A =
3 −4 11 2 2
4 0 −3
 , B =
 93
−2

Para cada uma faça:
i) Verificar se A satisfaz as condições para fatoração LU ,
ii) Efetuar a fatoração LU de A,
iii) Calcular determinante de A,
iv) Resolver o sistema A · x = B, com B indicado em cada caso.
15. Resolva pelo método de Gauss com pivoteamento parcial e refine a solução até obter a solução
exata.
x1 + 4x2 + 52x3 = 57
27x1 + 110x2 − 3x3 = 134
22x1 + 2x2 + 14x3 = 38
16. Verifique as condições de convergência do sistema linear abaixo e resolva pelo método de Gauss-
Jacobi com � 6 10−2
x1 + 0.25x2 − 0.05x3 = 1.2
0.1x1 + x2 − 0.1x3 = 2.9
−0.2x2 + x3 = 1.6
17. Usar o método de Gauss-Seidel para determinar a solução do sistema abaixo com erro relativo
� 6 10−2 trabalhando com 2 casas decimais. Verificar as condições para convergência e se for
necessário adequar o sistema de equações. Considere x0 = (0, 0, 0)T
30x1 + 3x2 = −24
2x1 + 20x2 + 2x3 = 40
6x1 + 3x2 + 30x3 = 30
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18. Resolva o sistema de equações lineares abaixo usando Eliminação de Gauss. A solução encontrada
é única? Justifique sua resposta
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 + 4x3 = 12
x1 + 5x2 + 25x3 = 87
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