SLIDES EEN_601_CC_FP_RR_2018 Sistema Elétrico de Potência

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ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
FUNDAMENTOS SOBRE CIRCUITOS
ESTUDOS DE CURTOS- CIRCUITOS
PARTE III
ROSSI, R. - ASP -2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
IMPORTÂNCIA DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE CE´s
COMPONENTES ATIVOS – FONTES DE V e I
COMPONENTES PASSIVOS – RLC
IMPEDÂNCIA (Z) E ADMITÂNCIA (Y) COMPLEXA
ROSSI, R. - ASP -2018
Nó A Ramos: AB, AC... Nó B Nó C
Gerador 1 ZAB AB + j XL Carga C
Z´AB´AB ZBD BD
Gerador 2 
Motor
R +j XL ZDE DE
Nó D Nó E Nó F
- j Xc Gerador 3
Nó T (terra)
COMPONENTES DE UMA REDE OU UM CIRCUITO ELETRICO
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
LEIS FUNDAMENTAIS – RELAÇÕES “V x I”:
LEI DE OHM E KIRCHHOFF
TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON
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LEI DE OHM: 
V = Z . I e I = Y . V (fasorial)
V Z I
I Y V
  
  
     
    

V 
I 


LEIS BÁSICAS
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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LEIS DE KIRCHHOFF:
Tensões: Σ ( + VMALHA = 0 ) (fasorial)
Correntes: Σ ( + I NO = 0 ) (fasorial)
LEIS BÁSICAS
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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ASSOCIAÇÕES SÉRIE E PARALELA 
Leis de KIRCHHOFF e de OHM:
ASSOCIAÇÃO SÉRIE: “ divisor de tensão”
ASSOCIAÇÃO PARALELA: “ divisor de corrente”
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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 POTÊNCIA COMPLEXA OU APARENTE:
CONCEITOS & UNIDADES
   
 
**
( )
( )
. .
cos
j
RMS true
RMS true
S P jQ V I V I
S VI VI VIe
Ppower factor S

 
  
 
     
     
  
V 
I 
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 POTÊNCIAS: P - ativa ( watt – kW – MW – GW ) 
Q - reativa ( VAR – kVAR – MVAR )
S - aparente ( VA - kVA - MVA - GVA )
 Valores RMS: P = V.I. cos  = R.I2 [W/f]
Q = V.I. sen = X.I2 [VAR/f]
S = P + jQ = V.I* = Z.I2 = Y*.V2 [VA/f]
ENERGIA: (kW-h, MW-h,...J, kJ, cal, kcal).... (kVAR-h, Mvar-h.....! )
POTÊNCIA E ENERGIA - CONCEITOS & UNIDADES
( ). ( ). ( ).s t dt v t i t dt   
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TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIA E DE POTÊNCIAS
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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Z2 = R2 + X2 = R + j XS
Z Q Z = ( R2 + X2 ) ½X = j (XL - XC)
R P FP = cos 
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SISTEMAS TRIFÁSICOS
1. TENSÕES INDUZIDAS EM ENROLAMENTOS
2. RELAÇÕES FASORIAIS - DEFASAMENTO 120º.
3. POTÊNCIA TRIFÁSICA
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SISTEMAS TRIFÁSICOS
1. GERAÇÃO TRIFÁSICA
2. CONEXÕES: ESTRELA e TRIÂNGULO
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ANALISE DE SISTEMAS POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
Relações entre “V e I” - Fase e Linha nas conexões D - Y
VL
I L
VL
VFI F
I L
I F
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
Relações entre “V e I” - Fase e Linha nas conexões D - Y
Conexão Estrela (Y):
I LINHA = I FASE
V LINHA = ¯3 . V FASE  α + 30o. 
Conexão Triângulo (Δ):
V LINHA = V FASE
I LINHA = ¯3 . IFASE   - 30o. 
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
POTÊNCIA TRIFÁSICA
ATIVA: P = 3. Vf. If. cos  P =  3. VL. IL. cos 
REATIVA: Q = 3. Vf. If.sen  Q =  3. VL. IL. sen 
APARENTE: S = 3. Vf. If S =  3. VL. IL
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• TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
• TEOREMAS DE THEVENIN & NORTON 
• RESTRIÇÕES - LINEARIDADE
TEOREMAS BÁSICOS NAS ANÁLISES DE CIRCUITOS
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TEOREMA DE THÈVENIN:
.

a
b. .
ZTH
VTH
a
b
.
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ZTH = Z KK IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE DE CIRCUITO 
ABERTO; (impedance vista da rede dada 
a partir dos pontos ab abertos).
VTH = VOC TENSÃO DE CIRCUITO ABERTO. ( tensão medida 
sobre a rede dada a partir dos pontos a 
b abertos).
ZTH
VTH
Barra k
a
b
TEOREMA DE THÈVENIN:
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3. FUNDAMENTOS DE ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA - (FASP)
Representações dos Componentes
Valores Percentuais, Por Unidade e Absolutos
Diagrama de impedâncias ( % - pu – Ω )
Equivalente de Thèvenin / Norton
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VALORES POR UNIDADE E PERCENTUAIS
[ : ][ ] / [ : ]
valor real da grandeza unidade Uv pu valor base escolhido p grandeza unidade U  
% 100 [%]puV v x   
.real pu baseV v V 
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VALORES POR UNIDADE
   .realpu real pu basebase
ZZ Z Z ZZ
   
real realpu pu
base base
R XR andZ Z    
real realpu pu
base base
P QP and QS S    
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Se fixar Sb e Vb, consequentemente, Ibase e Zbaseestarão definidos ! 
VALORES BASES – FUNDAMENTOS
Sbase = Vbase x Ibase (valores por fase)
Sbase - trifásico = 3 x Vbase-linha x Ibase-linha
Vbase = Zbase x Ibase (valores por fase)
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MUDANÇAS DE BASESMUDANÇAS DE BASES
 2. . [% ]NOVO ANTNOVO ANT
ANT NOVO
S VZ Z or puS V
              
 2base basebase
base base
V kVZ I MVA   
  21 1 2 2 ireal PU base PU base PU i
i
kVZ Z x Z Z x Z Z x MVA       
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MODELAGENS DE COMPONENTES
ESTUDOS DE CURTOS-CIRCUITOS
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CONCESSIONÁRIAS (UTILITIES) :
REPRESENTAÇÃO DE COMPONENTES EM PU
e se (VSIST = VBASE ) então :
 2
3
BASE SYSSYS
Short Circ BASE
S VZ puS V 
    
1.0 1.0 1.0base baseSYS pu shcshc shc shc pu shc pu
base
S IZ SS I S I
S

 
    
Zsys
UTILITIES
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REPRESENTAÇÃO DE COMPONENTES
% % % [%]scZ R jX Z     
TRANSFORMADORES
IS’
VP
IP
ZT = R + j X (%)
VS’
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LINHAS DE TRANSMISSÃO E CABOS (até 250 km)
( Admitancias Shunt são desprezadas...! ).
REPRESENTAÇÃO DE COMPONENTES
LINHAS DE TRANSMISSÃO LONGAS ( lab 250 km)
(“pi” - Circuito equivalente pi nominal )
(% ) (% ) (% ) [% ]L L L L LTZ R jX Z     

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REPRESENTAÇÃO DE COMPONENTES
 0, 746 1.0 1[ ]MIT MIT
starting
rating
HPxS kVA X pumx pf I
I

         
MOTORES
MOTORES INDUÇÃO: KVA = HP (Regime Subtransitório)
MOTORES SÍNCRONOS: KVA = 1,1 HP para COS = 0,8
KVA = 0,8 HP para COS  = 1,0
MOTOR
ZM
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REPRESENTAÇÃO DE COMPONENTES
E se (VCARGA = VBASE ) então:
 2BASE CARGADinamico
Contribuicao CC BASE
S VZ puS V
    
1.0
( )
baseDIN pu
contribuicao CC M PU
IZ I I   
ZDIN
CARGA
( )MI
GRUPO DE MOTORES – (EQUIVALENTE DINÂMICO SUB-TRANSITÓRIO)
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ANÁLISES DE FALTAS 
CORRENTES DE CURTOS – CIRCUITOS
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TÓPICOS SOBRE LT´s– “FLASH-OVER” 
3123/09/2018 ROSSI, R. - ASP -2018
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FUNDAMENTOS – TEORIA DE ANÁLISE
TIPOS DE CURTOS – CIRCUITOS
RELAÇÕES « TENSÃO x CORRENTE »
IMPORTÂNCIA NA ESPECIFICAÇÃODE EQUIPAMENTOS.
NORMAS TÉCNICAS – ABNT / ANSI / IEC
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CORRENTES DE CURTOS- CIRCUITOS
• DIAGRAMAS DE IMPEDÂNCIAS – Z THEVENIN
• CORRENTE SIMÉTRICA DE CURTO-CIRCUITO
• CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO (EQUILIBRADO)
• FALTAS DESEQUILIBRADAS 
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CORRENTES DE CURTOS- CIRCUITOS
• FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
• LEIS DE OHM E LEIS DE KIRCHHOFF
• ASSOCIAÇÕES DE COMPONENTES
• TEOREMAS DE THEVENIN E DE NORTON
• MODELAGENS DE COMPONENTES
• VALORES POR UNIDADE (« pu ») e ( % )
• ROSSI, R. - ASP -2018
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DIAGRAMAS DE IMPEDÂNCIAS – Z THEVENIN
CONCESSIONÁRIA
CARGAS
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• DIAGRAMAS DE IMPEDÂNCIAS – Z THEVENIN
Z ST
Z CG
ZTH = Z ST // Z CG
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• DIAGRAMA EQUIVALENTE NA BARRA « K » 
ZTH
VTH
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•DIAGRAMA EQUIVALENTE 
• GERADOR DE NORTON NA BARRA « K » 
IN ZN 
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FONTES DE CONTRIBUIÇAO PARA
A CORRENTE DE CURTO- CIRCUITO
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FONTES DE CONTRIBUIÇAO PARA
A CORRENTE DE CURTO- CIRCUITO
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• DIAGRAMA EQUIVALENTE NA BARRA « K » 
ZTH
VTH
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MSMIT 1
Concessionária
P MEC =200 HP IP =4 I NS = 3%
Fp = 0,88 = 92%V N = 440 [V]
P eq M =500 HP Z eq = 25%  90ºS = 3% = 92%Fp = 0,88indVn= 440[V]
P MEC =500 HP  p= 0,8 ind. =94 %I P =5 I NVn = 440 [V]X´s = j 40 %
V N =138  kV I CC 3f =2,8  - 75º  kA F = 60 [Hz]
Barra 01-AT
# 3 x 2 x
500 MCM
L=1  km 
Z´ ~ 32  75 m  /km/ cond 
S1 =S 2 = 20/25 MVA
( ONAN/ ONAF )Z1 = Z 2 = 12  80º %
52T
Cargas
Elétricas
de MT
Cargas
Elétricas
de MT
TG
MIT E
outras
cargas
V N = 13,8[ kV]
46/4748/4950/
51
Trafos
T 1 = T 2
T 1 T 2 P N = 12 [MW]V N = 13,8 [ Kv]Fp = 0,8 INDF = 60[Hz]X” s = j 10%X s = j100 %
Trafo T 3S N = 1500 [ kVA]Z = 5,5  80 º %
~
=
RTF
Trafo T 4 = T 3
Vn =440[V]
L1 L2
Barra 02-MT
Barra 03 - BT
R AterrR Aterr
Cargas Especiais MT
DIAGRAMA UNIFILAR TÍPICO / SE- INDUSTRIAL
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BARRA 
k
Zkk
DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS 
ANALISES DE CONTINGENCIAS
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Zkk = Impedancia de Thèvenin 
referida à barra k.
Barra k
Zkk
01.0 0 [ ]kk
kk k
I puZ 
 
CORRENTE DE CURTO CIRCUITO – EQUIVALENTE DE THEVENIN
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BARRA 
k
Zkk
TEOREMA DE THEVENIN – BARRA K

[ ]3.
k basebase rms
base
SI AV 
     
 03 1.0 0 . [ ]k kbase rms
kk k
I I AZ  
  
ONDE
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3. Equivalente de Thèvenin
ZTH
VTH
Barra k
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Corrente de Curto-circuito – Dominio da Frequência
Curto-circuito Trifásico
VTH = 100 %00
ZTH
VTH IShC
Barra k
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Curto-circuito Trifásico – Dominio do Tempo
Curto-circuito trifásico
i (t) = ?
R
v(t) i (t)
Barra k
L
( ) . s in ( )MAXv t V t  
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A Corrente de Curto-circuito – valor instantâneo
  m a x 12 2 2
1
. s i n ( ) . s i n ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
k k k
k A C D C k
Vi t t
R w L
w L Li t i t i t f o r t g a n dR R
     
 


          
     
max
( )" " . ( ) . . ( )kTH k TH di tKVL R i t L V sen wtdt        
A solução dessa equação diferencial nos fornece:
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Valores Simétrico (RMS) e Assimétrico da Icc
IASSIM = x I SIM
Valor instantâneo da Icc – dominio do tempo
   m a x m a x. s in ( ) . s in ( )
( ) ( ) ( )
t
k k k
k A C D C
V Vi t tZ Z
i t i t i t
              
  
( )t
assym factor 
I assim
Corrente Total asimétrica
Período Sub-transitório 
i(t)
Componente Simétrica AC – (RMS)
Componente Exponencial DC
Corrente de Interrupção - Disjuntor
tempo
Período transitório 
I din
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A corrente de curto-circuito no domínio do tempo
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A CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO EM GERADORES
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3. Assimetria da Corrente de Curto-Circuito
Atenuação da Componente DC - ABNT/NBR-7118/1996
0
20
40
60
80
100
120
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0
Tempo a partir do início da falta 
[ms]
Pe
rce
ntu
al 
da
 co
mp
on
en
te 
DC
 [%
]
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Fator de Assimetria – ANSI / IEEE
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
0.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Tempo Total Após a Ocorrência da Falta [ms ou ciclos]
[ms]
X”/R = 50
X”/R = 20
X”/R = 10X”/R = 5
X”/R = 100
FATOR DE ASSIMETRIA - ANSI
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
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Valores Instantâneos e RMS da Icc
00 [ ]
. 1, 6
2 1,8 2,5
TH k
RMS BASE
TH PU
t
ASSIM assim RMS RMS
DIN surge RMS RMS
VI x I AZ
I f I x I
I I x I x I

     
 
  
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Tipo de Análise Geradores
Pólos Lisos
e Salientes
Motores
Síncronos
Motores
de Indução
P>250 HP P< 50 HP
MT / BT BT
Concessionári
as
“Utilities”
Esforço
momentâneo
(subtransitório)
X”s ou X”d X”s ou X”d X”m
(1,2 – 1,6).X”m
Z1 = ZTHEVENIN
Capacidade de
interrupção X”s ou X”d 1,5 . X”s 1,5.X”m
desprezados
Z1 = ZTHEVENIN
PARAMETROS DE MÁQUINAS – ESTUDOS DE CURTOS
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EXEMPLOS DE CALCULOS DE CORRENTES DE 
CURTO-CIRCUITOS EM REDES DE AT.
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DIAGRAMA EQUIVALENTE DE UM SEP – Barra k 
C
R,LV (t) K
I (t)
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TURBO GERADOR
POTÊNCIA: Sn = 20 MVA
Tensão: Vn = 13,8 kV
Reatância : X”s = j 10%
Corrente In = 836 A
Corrte. CC = 836 / 0,1 = 8360 A
Potcia. CC = 20 / 0,1 = 200 MVA
EXEMPLO – FALTA EM TERMINAL DE FONTE
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO NO PONTO K:
ICC-3F = Vf / ( ZG + ZT + ZC )
K
EXEMPLO – SISTEMA RADIAL
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EXEMPLO – SISTEMA INTERLIGADO
K
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
EX. 01 – CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO EM UM SEP
DADOS: Tensão Nominal na barra k = Vb = 138 [kV]Potência base: Sb = 100 [MVA].
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
Sist A A CE B CE C CE D j 36% G1
j2% j8% j10% j8% j 36% G2
j8% j 36% G3
j12% j10% j10% j 6%
Ponto da faltaLT-AbertaSist B j4% j 15% j 4% 
E F K
DIAGRAMADE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
Sist A A CE N B CE C CE D G1/2/3
j2% j 3,2% j2,7% j5% j4% j 12% 
j 4%
j 6%
Ponto da falta
Sist B j4% j 4% 
E K
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
Sist A //B N B C D G1/2/3
j3,15% j2,7% j5% j4% j 12% 
j 6%
Ponto da falta j 4% K
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
Sist A //B C G1//G2//G3
j 10,85% j16% 
j 6%
‘ Ponto da falta
j 4% K
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
Sists : A // B //G123 
j 6,46%
j 6%
Ponto da falta
j 4% K
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
ZTh = j 16,46% 
FIcc
VTh = 100%
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA
Gerador de Thevenin Equivalente no ponto da falta 
Corrente de Curto-circuito 3F:
Icc(pu) = VTh / ZTh = 100% / 16,46% = 6,07 [pu]
Ibase(k) = Sb/R3xVb = 100.000 / R3 x 138 = 418,38 [A]
Icc -3F = Icc(pu) x Ibase = 6,07 x 418,38 = 2.540 [A]
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
ZTh = j 16,46% 
FIcc
VTh = 100%
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA
Gerador de Thevenin Equivalente no ponto da falta 
Verificação:Icc = VTh / ZTh (valores absolutos)
VTh = 100% Vnom/fase = 138.000/R3 = 79.676,7 [V]
Zbase = Vb/Ib = (138000/R3)/418,38 = 190,44 []
ZTh = Zpu x Zbase = 0,1646 x 190,44 = 31,35 []
Icc = VTh/ZTh = 79.676,7 / 31,35 = 2.541,5 [A] ...cqv!!!
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP -2018
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP -2018 73
Barra k
Local da 
Falta.
Geração #1 Interconexão
Load Bus 4 Load Bus k
Load Bus 2 Control V Bus j - PV
G #2
V 3 V i4 Vk
V1 V2 V j
Pnk + j Q nk
P 12 + j Q 12
P jk + j Q jk
Load Bus n
TRANSFORMER
Sistema de Transmissão sob Falta – barra k
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 74
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
DADOS GERAIS E PARAMETROS ADMITIDOS PARA O 
SISTEMA DE TRANSMISSÃO
Geração G1: 400 MW – 138 kV – pf = 0.8 ind. – Ssh-c = 800 MVA
Geração G2: 100 MVA – 138 kV – Ssh-c = 500 MVA
Interconexão G3: 138 kV – Ssh-c = 1000 MVA
Para todas as fontes a Impedancia de sequencia Zero (admitido): Z0 = 10% . Z1
Equivalentes Dinamicos das Cargas : E3 = E j = EK = 210 [A] 
Linhas de Transmissão:
Z12 = Z34 = Zjk = j 20 (ohm) 
Z13 = Z4k = j 30 (ohm) 
Z2k = Z24 = j 40 (ohm)
Zo/Z1 = 3 and Z1 = Z2
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DIAGRAMA PERCENTUAL DE IMPEDANCIAS – BASE 100 MVA
VALORES BASES: Sbase = 100 MVA - Vbase = 138 kV e consequentemente:
Zbase = kV2/MVA = 190,4 (ohm) e Ibase = 418,4 A.
Geração G1: Zg1 = (Sbase / Ssh-c) .100 = j 12,5 %
Geração G2: Zg2 = (Sbase / Ssh-c) .100 = j 20,0 %
Geração G3: Zg3 = (Sbase / Ssh-c) .100 = j 10,0 %
Equivalente Dinamico: Zdj = Zd3 = Zdk = (Ibase / Icontrib) .100 = 200 [ % ] 
Linhas de Transmission:
Z12 = Z34 = Zjk = 10,5 % 
Z13 = Z4k = 15,75 % 
Z2k = Z24 = Z2j = 21 % 90o
90o
90o
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS – PARÂMETROS DOS COMPONENTES
CURTO TRIFÁSICO – CÁLCULO DO ESFORÇO MOMENTÂNEO
Geradores Sincronos: reatância sub-transitória sincrona: X’’d = X’’s = Z1G
Motores Sincronos: reatancia sub-transitória sincrona: X’’s = Z1MS
Motores de Inducão: reatancia sub-transitoria do motor: X’’m = Z1MIT
Linhas deTransmissão: Impedancia de Sequencia Positiva Z1 .
Transformadores: Impedancia de sequencia Positiva Z1 .
Cargas Estáticas: Desprezadas …!
(Iluminação Publica, cargas comerciais e residenciais,
e outras cargas não rotativas…!)
88
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DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS PERCENTUAIS
Barra 
k
Zkk
G #1
G #2
V3 Vi4 Vk
V1 Vj
G #3
Dinamic 
LoadDinamic Load
Dinamic 
Load
V2
Static
Load
Static
Load
Z4k
Z12 Z2j
Z34 TRANSFORMERStatic Load
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DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS – (Cargas Estaticas Eliminadas)
Barra 
k
Zkk
G #1
G #2
V3 V4 Vk
V1 V j
G #3
Dinamic 
Load
Dinamic 
Load
Dinamic 
Load
V2
Z4k
Z12 Z2j
Z34
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Barra 
k
Zkk
G #1
G #2
V3 V4 Vk
V1 V jV2
Z4k
Z12 Z2j
Z34
Ed # 3
G # 1
Ed # j
Ed # 3Ed # k
G # 3
Z1g
Z2g
Z3g
Zd3 Zdk
Zdj
Combinações Série-Paralela das Impedâncias Percentuais - Reduções
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Barra 
k
Zkk
G #1
G #2
V3 V4 Vk
V1 V jV2
15,8
5,3
5,3
Ed # 3
G # 1
Ed # j
Ed # 3Ed # k
G # 3
12,5
20
10
200 200
200
Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’ 
21
21
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’
Barra 
k
Zkk
G #1
E-G 2
Vk
15,8
5,3
5,3
G # 1
Ed # 3Ed # k
E-G 312,5
18,2
9,52
200
21
21
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’
Barra 
k
Zkk
G #1
E-G 2
Vk
15,8
5,3
5,3
G # 1
Ed # 3Ed # k
E-G 312,5
18,2
200
8,4 4,2
4,2
9,52
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’
Barra 
k
Zkk
G #1
E-G 2
Vk
5,3G # 1
Ed # 3Ed # k
E-G 312,5
18,2
200
13,72
4,2
8,4
99,4
25,1
33,3
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’
Barra 
k
Zkk
G #1
E-G 2
Vk
G # 1
Ed # 3Ed # k
E-G 3
18,2
200
13,7214,04 3,25
9,68
33,3
8,4
4,2
99,4
25,1
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’
Barra 
k
Zkk
G #1
E-G 2
Vk
G # 1
Ed # 3Ed # k
E-G 3
18,2
200
0,32
3,73
7,46 13,72
14,04
0,69 2,37
6,98
25,1
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’
Barra 
k
Zkk
G #1
E-G 2
Vk
G # 1
Ed # 
3
E-G 3
18,2 200a
bTHEVENIN
25,1
9,83 14,0414,73
6,98 3,73
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’
Barra 
k
Zkk
Vk
G # 1,2
Ed # 3
E-G 3
18,2 200a
bTHEVENIN
25,1
9,83 14,0414,73
6,98 3,73
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’ 
Impedância de Thevenin vistaa partir dos pontos ‘‘a-b’’ - ( ZTH ):
Barra 
k
Zkk
Vk
G # 1,2
Ed # 3
E-G 3
200a
b
25,1
9,83 14,04
3,73
6,71 2,57
3,18
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’ 
Impedância de Thevenin vista a partir dos pontos ‘‘a-b’’ - ( ZTH ):
Barra 
k
Zkk
Vk
G # 1,2
Ed # 3
E-G 3
200a
b
28,28
12,04 14,04
3,73
6,71
7,73
1,02
2,39
THEVENIN
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Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’ 
Impedância de Thevenin vista a partir dos pontos ‘‘a-b’’ - ( ZTH ):
Barra 
k
Zkk
Vk
G # 1,2
Ed # 3200a
b
E-G 3
14,44 15,06
2,39
THEVENIN
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ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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Barra 
k
Zkk
Vk
200
a
THEVENIN
Ed # 3
G # 1,2,3
b
14,44
15,06
2,39
// 7,37
Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’ 
Impedância de Thevenin vista a partir dos pontos ‘‘a-b’’ - ( ZTH ):
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 92
Diagrama de Impedancias Percentais –Local da Falta: Barra ‘‘ k ’’ 
Impedância de Thevenin vista a partir dos pontos ‘‘a-b’’ - ( ZTH ):
Impedância de Thevenin referida 
à barra K:ZTH
VTH
IShC
Barra k
a
b
Zkk = 9,31 % 90o
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Valor da Corrente Simetrica de curto-circuito: 
Valor da corrente Assimetrica de curto-circuito:
Valor da Corrente Dinâmica de curto-circuito:
CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO - BARRA K
 01,0 0. 418,38 4495,9 900,0931 90
ok k
RMS PU baseI I I x A      
 . 1,6 4622,5 7193,5assym assym RMSI I x A  F
 1,8 2 2,5 11239,8dynam RMS RMSI x x I x I A  
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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MÉTODO NODAL LCK (1a.)
MÉTODO DAS MALHAS LVK (2a.) 
MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISES DE CIRCUITOS
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
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MÉTODO DAS MALHAS – (MM)
E1 E5
EnE2
1 3 5
2 4 n
  


ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
... ....
... ....
...
... ... ...
... ....
................................
... ....
k n
k n
n
MESH
k k kk kn
n n nk nn
Z Z
Z Z Z
Z Z
Z Z Z Z
Z Z
   
   
  
 
 
                  
MM – MATRIZ DE IMPEDÂNCIAS
Zkk = soma das impedânciasconectadas na malha k.
= soma das impedânciasconectadas entre asmalhas e (“interface impedances”)
Z
 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
... ....
... ....
...
... ... ......
... ....
... ................................
... ....
k n
k n
n
k k kk kn
n n nk nn
Z Z
Z Z Z
Z Z
Z Z Z
Z Z
   
   
  
 
  
                           

E
E
E
E
...
...
I
I
x I
I




                     
MM - MATRIZ “E = Z x I”
= soma algébrica das fontes de tensão conectadas na malha 
E = Z . I
= corrente na malhaI 
E
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b
Z IIS
a

Z V
E
a
b

EQUIVALÊNCIA ENTRE FONTES “V & I”
IS = E / ZV e ZV = Z I

a
b..
E1
E2
IK
I J
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MÉTODO NODAL - MN
I1 I5
InI2
1 3 5
2 4 n
I1
I2
I5
IN
i13 i35
i24 in4
i21 i34 i5ni14
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
MÉTODO NODAL – Distribuição de Correntes & Tensões
I1 I5
InI2
1 3 5
2 4 n
I1
I2
I5
IN
i13 i35
i24 in4
i21 i34 i5nV1
V2
V5
VN
V4
i14
Nó de Referência: VR = 0
V3
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MÉTODO NODAL – CORRENTES NOS NÓS (1ª. LCK)
Nó 1: I1 = iS1 + i13 + i14 – i21I1 = YS1.(V1- 0) + Y13.(V1 – V3) + Y14.(V1 – V4) – Y21.(V2 – V1)I1 = [YS1 + Y12 + Y13 + Y14].(V1) – Y12.(V2) – Y13.(V3) – Y14.(V4)
Nó 2: I2 = iS2 + i21 + i24I2 = YS2.(V2-0) + Y12.(V2 – V1) + Y24.(V2 – V4) I2 = [ YS2 + Y12 + Y24].(V2 ) – Y12.( V1) – Y24.(V4)
Nó 5: I5 = - i35 + i5n + iS5I5 = - Y35.(V3 – V5) + Y5n.(V5 – Vn) + YS5.(V5-0) I5 = [ YS5 + Y35 + Y5n].(V5 ) – Y35.( V3) – Y5n.(Vn)
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MÉTODO NODAL – MATRIZ ADMITÂNCIA
S1 12 13 14 12 13 14
21 S2 12 24 24
31
1
2
3
(Y +Y +Y +Y ) -Y -Y - Y 0 0
 -Y (Y + Y +Y ) 0 - Y 0 0
-Y 
...
...
k
n
          


I
I
I
I
I
13 34 35 34 35
41 42 34 14 24 34 4N 13
 0 (Y +Y +Y ) - Y -Y 0
-Y -Y -Y (Y +Y +Y +Y ) 0 -Y
 ---- ---- ---- ---- ---- 
N4 N5 N
3
1
2
 ----
 0 0 0 -Y -Y ( Y )
...
...
k
n
V
x
V
V
V
V
                   
          
 


ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3
1 2
1 2
... ....
... ....
...
... ... ...
... ....
................................
... ....
k n
k n
n
BUS
k k kk kn
n n nk nn
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y Y Y
Y Y Y Y
                  
Geralmente a Matriz Ybarras é simétrica
Ykk = self-admittance ou driving-point admittance da barra k.Ykk = soma das admitancias conectadas na barra K

Yij = mutual-admittance ou transfer admittance entre as barras i e j. ( i j ) Yij = (-) soma das admitancias conectadas às barras i e j.

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MÉTODO NODAL – MATRIZ ADMITÂNCIA
11 12 1 1
1 21 22 2 2
31 32 32
1 2
1 2
... ....
... ....
...
... ... ......
... ....
...................................
... ....
k n
k n
n
k k kk knk
n n nk nnn
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
                           
I
I
I
I
1
2
...
...
k
n
V
V
x V
V
                    
Ik = soma algébrica das correntes injetadas nó k.
Vk = tensão de fase para o neutro da barra k (Vkn)
I = Y . V
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MÉTODO NODAL – MATRIZ ADMITÂNCIA
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
DRIVING - POINT IMPEDANCE MATRIX – Z Barras
1 1 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1
1 2
1 2
.. ...
.. ....
...
... .... ....
... .....
...
... .....
k n
k n
k n
BUS BUS
k k kk kn
n n nk nn
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Y Z Z Z Z
Z Z

               

ZBarra = Y-1Barra
Zkk
ZBarra = ZMalhas
I = YBarra x V
V = Y-1Barra x IV = Z Barra x I
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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 B Y
SISTEMA A:
Vn = 230 kV
Z0 / Z1 = 3
Scc = 1000 MVA
X / R >>> 10
A
BASES SISTEMA:
Sbase = 100 MVA
Vbase = Vsys
RN
EXEMPLO No. 2 – APLICAÇÃO EM SISTS. TRANSMISSÃO
ZLT- AB = j 20 [ ]; Z0 / Z1 = 3Y -
A
TRFM: A
200 MVA
ZT = 14%
Z0 = 12%
230 / 138 kV
Yd30
Y
C
D
 Y
GERADOR B:
VN = 13,8 kV
PN = 120 MW
Pf = 0,8 ind
Xs = 12% 
X0 = 5%
RN = 400 ohm
T = 1min 

B
TRFM: B
150 MVA
ZT = 12%
Z0 = 10%
13,8 / 138 kV
Dy30
Y
23/09/2018 106
DIAGRAMA DE SEQUENCIA POSITIVA - DSP
BA
C
j 10 j 7 j 8 j 10,5 j 8
j 8,4 j 7,6
ANÁLISES DE FALTAS NA BARRA “C”:
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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23/09/2018 107ROSSI,R. - ASP - UNIFEI_2018
DIAGRAMA DE SEQUENCIA POSITIVA - DSP
BA
C
j 17 j 16j 10
j 7,6j 8,4
j 3,23 j 2,92
j 2,45
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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23/09/2018 108ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
DIAGRAMA DE SEQUENCIA POSITIVA - DSP
BA
C
j 3,23 j 2,92
j 2,45
j 17 j 16
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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23/09/2018 109ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
DIAGRAMA DE SEQUENCIA POSITIVA- PSD
A // B
C
j 3,23 j 2,92
j 2,45
j 17 j 16
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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23/09/2018 110
DIAGRAMA SEQUENCIA POSITIVA - PSD
C
A // B
Z1 = ZTH
C
j 2,45
j 9,78
j 12,23 %
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23/09/2018 111ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO EM “C” 
DIAGRAMA SEQUENCIA POSITIVA - DSP
   
3
1
3
3
3
0
100 0 100 .000
12, 23 90 3 . 138
8,176 418, 34
3420, 6 [ ]
k
BASE
PU
RM S
VI x IZ
I x
I x
I A





    
    

C
A // B
Z1 = j 12,23 %
PSD
VTH = 100%
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
23/09/2018 112
CURTO-CIRCUITO FASE – FASE (BC)
 
     
2 2
1 2 1
1 2
3
1 2 1
03 .
3 . 0 3 0 3. .2 2
3 1 0 0 0 1 0 0 .0 0 0
2 1 2 , 2 3 9 0 3 . 1 3 8
0 , 8 6 6 8 ,1 8 4 1 8 , 3 4
2 9 6 2 , 2 [ ]
B C A A A
P U
RM S
VI I I a I a I I a a j Z Z
V VI IZ Z Z
I x
I x x
I A
 
  
 
 
 
            
   
           


ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
23/09/2018 113ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
CURTO-CIRCUITO FASE- TERRA EM “C”
DIAGRS. SEQUENCIAIS: POSITIVA, NEGATIVA E ZERO 
j 12,23 % j 12,23 % j 22,7 %
PSD NSD ZSD
VTH = 100% Ia2 Ia0Ia1
0 1 2
0
1 2 0
0 1 2
0
0
3 .
G A A A
A
A A A
G
I I I I
VI Z Z Z
I I I
I I


  
  
 

ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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23/09/2018 114
CURTO-CIRCUITO FASE- TERRA EM “C”
     
0
1 2 0 1 0
3 . 0 3. 0 3.2.
3 100 0 100.000
2 12, 23 22, 7 3 . 138
3 2,12 418,34
2661, 2 [ ]
G
PU
G
G
G RMS
V VI IZ Z Z Z Z
xI xx j j
I x x
I A




        
    


j 12,23 % j 12,23 % j 22,7 %
PSD NSD ZSD
VTH = 100% Ia2 Ia0Ia1
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
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23/09/2018 115
FALTAS BIFÁSICAS A TERRA BC-N
     
20 1
1 2
2
1 2 0 1 2
3 . 3 .
03 . ./ /
1 0 0 0 1 2 , 2 3 1 0 0 .0 0 03 . 1 2 , 2 3 ( 1 2 , 2 3 / / 2 2 , 7 3 4 , 9 3 3 . 1 3 8
3 1, 7 4 4 1 8 , 3 4 5 , 2 1 4 1 8 , 3 4
2 1 7 7 , 8 [ ]
n
n
n
n
n R M S
ZI I I x Z Z
V ZI Z Z Z Z Z
I x xj j j
I x x x
I A
 
 
 
 
 
     
           
         
 

ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
23/09/2018 116
Sist A A CE B CE C CE D j 36% G1
j2% j8% j10% j8% j 36% G2
j8% j 36% G3j12% j10% j10% j 6%
Ponto da faltaLT-Aberta
Sist B j4% j 15% j 4% F
E G K
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS DO SISTEMA 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
Matriz de Admitâncias (Ybarra)/100 em “pu” do Sistema dado:
A B C D E G K F
A (1/2+1/8+1/12) -(1/10) 0 0 -(1/12) 0 0 0
B -(1/10) (1/8+1/10+1/10) -(1/10+1/10) 0 -(1/10) 0 0 0
C 0 -(1/10 + 1/10) (2/10+2/8+1/6) -(1/4) 0 0 -(1/6) 0
D 0 0 -(1/4) (3/36+2/8) 0 0 0 0
E -(1/12) -(1/10) 0 0 (1/4+1/12+1/10+1/15
)
-(1/15) 0 0
G 0 0 0 0 -(1/15) (1/15) 0 0
K 0 0 -(1/6) 0 0 0 (1/6+1/4) -
(1/4)
F 0 0 0 0 0 0 0 (1/4
)ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
A B C D E G K F
A 70,83 -12,5 0 0 -8,33 0 0 0
B -12,5 32,5 -20 0 -10 0 0 0
C 0 -20 61,7 -25 0 0 -16,7 0
D 0 0 -25 33,3 0 0 0 0
E -8,33 -10 0 0 50 -6,7 0 0
G 0 0 0 0 -6,7 6,7 0 0
K 0 0 -16,7 0 0 0 42,7 -25
F 0 0 0 0 0 0 -25 25
Matriz de Admitâncias (Ybarra) em “pu” do Sistema dado:
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
A B C D E G K F
A 1,79 1,67 1,23 0,92 0,73 0,73 1,16 1,16
B 8,02 5,90 4,43 2,17 2,17 5,57 5,57
C 8,02 6,02 1,60 1,60 7,57 7,57
D 7,52 1,20 1,20 5,70 5,70
E 2,95 2,95 1,51 1,51
G 17,87 1,51 1,51
K 12,79 12,79
F 16,79
Matriz de Impedâncias (Zbarra) em “ % ” do Sistema dado:
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
3. Equivalente de Thèvenin
ZTH
VTH
Barra k
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
Corrente de Curto-circuito – Dominio da Frequência
Curto-circuito Trifásico
VTH = 100 %00
ZTH
VTH IShC
Barra k
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
Curto-circuito Trifásico – Dominio do Tempo
Curto-circuito trifásico
i (t) = ?
R
v(t) i (t)
Barra k
L
( ) . s in ( )MAXv t V t  
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
Valores Simétrico (RMS) e Assimétrico da Icc
IASSIM = x I SIM
Valor instantâneo da Icc – dominio do tempo
   m a x m a x. s in ( ) . s in ( )
( ) ( ) ( )
t
k k k
k A C D C
V Vi t tZ Z
i t i t i t
              
  
( )t
assym factor 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
I assim
Corrente Total asimétrica
Período Sub-transitório 
i(t)
Componente Simétrica AC – (RMS)
Componente Exponencial DC
Corrente de Interrupção - Disjuntor
tempo
Período transitório 
I din
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DISJUNTORES DE AT
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
CC´s – TRIFÁSICOS – Sistema Industrial – “Radial”
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
MS
EXEMPLO:
T1
S1
Z1
T2
S2
Z2
TG
SG
Z”
SCC - Zo / Z1Eq. 
Din
MIT´s
S base [MVA] - V bases AT/MT [kV]
CC´s – TRIFÁSICOS – Sistemas Industriais - Geração
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
MS
EXEMPLO: “Corrente Momentânea”
Z1 = j10% Z2 = j 8%
Z”=j10%
Zs = j 2 %
Eq.Din = - j 500 A
MIT´s
S base [MVA] - V bases AT/MT [kV]
Zc = j 1 %
Zmit =j200%
Zms=j180%
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
S base [MVA] - V bases AT/MT [kV]
Z1 = j10% Z gmt = j 17,05%
Zs = j 2 %
Ie = -j 500 A
EXEMPLO: “Corrente Momentânea”
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
S base [MVA] - V bases AT/MT [kV]
Sb = 20 MVA - Vat = 138 kV
Vmt = 13,8 kV
EXEMPLO:
Z1 = j 11,79%
Ieq =-j 500A
I = 100/j11,79=-j 8,48 pu
I base MT = 836 A
I sist = -j 7090 A
Icc = I sist + Ieq 
Icc = -j 7590 A
S”cc = 3.VI = 181,5 MVA
EXEMPLO: “Corrente Momentânea”
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
DISJUNTORES DE MT - ABB – SF6
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
5. DISJUNTORES DE MT - ABB – VACUO
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
DISJUNTORES DE BT – MERLIN GERIN
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
FALTAS DESEQUILIBRADAS
Análises das Correntes de “Curtos – Circuitos”
Curtos: 2Φ; 2Φ-T; ΦT ( Faltas ‘shunt” )
Abertura de Condutores: 1Φ; 2Φ ( Faltas Série )
Relações: “Tensões x Correntes” 
Componentes Simétricas
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
0
2 0
2 0
2 0
0
2 0
1 120
1 240
1 60
1 3 30
1 3 30
3 90
a
a
a
a
a
a a
 
 
  
  
   
   
1
a
a2
-a2
-1
-a
1-a2a -1
a2--a
a2 -1 1-a
OPERADOR: a = 1 1200
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
 Componentes Simétricas– Fortescue
VC
Sist. Desequilibrado Seq. Positiva Seq. Negativa Seq. Zero
VA Va1 Vb2 Vao=Vbo=Vco
VB Vb1 Vc1 Va2 Vc2
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
DSP DSN DSZ
V1 V2 V0
Z1
E1=VTH
I1 Z2
E2 ~ 0
I2 Zo
E0 ~ 0
I0
DIAGRAMAS SEQUENCIAIS
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
DIAGRAMAS SEQUENCIAIS DE TENSÕES
P.S.D.
Va2
Z2..
Ia2
Negativa
Va0
Z0..
Ia0
Zero
Va1
Z1Ia1
Ea1
Positiva
Va1 = Ea1 - Z1.Ia1 Va2 = 0 - Z2.Ia2 Va0 = 0 - Z0.Ia0
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
 Componentes Simétricas – Fortescue
 
 
  






































































C
B
A
A
A
A
CBAA
CBAA
CBAA
A
A
A
C
B
A
CCCC
BBBB
AAAA
V
V
V
aa
aa
V
V
V
ou
aVVaVV
VaaVVV
VVVV
Análise
V
V
V
aa
aa
V
V
V
ou
VVVV
VVVV
VVVV
Síntese
*
1
1
111
3
1
3
1
3
1
3
1
*
1
1
111
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
2
1
0
2
2
021
021
021
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
 Diagramas Sequenciais– CC – Fase Terra
 
 
 
FAAA
C
B
A
A
A
A
CBAA
CBAA
CBAA
IIIIdonde
I
I
I
aa
aa
I
I
I
ou
aIIaII
IaaIII
IIII
Análise











































3
1
0
0*
1
1
111
3
1
3
1
3
1
3
1
021
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
 Diagramas Sequenciais– CC – Fase Terra
DSP DSN DSZ
RaZZZ
xEaIF .3
3
021 
 
3Ra
ZoZ1
EA1 = VTH
Z2
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
 Diagramas Sequenciais– CC – F/F- Terra
 
 
 
AAAA
C
B
A
A
A
A
CBAA
CBAA
CBAA
VVVVdonde
V
V
V
aa
aa
V
V
V
ou
aVVaVV
VaaVVV
VVVV
Análise











































3
1
0
0*
1
1
111
3
1
3
1
3
1
3
1
021
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
 Diagramas Sequenciais– CC – F/F- Terra
DSP DSN DSZ
3Ra
ZoZ1
EA1 = VTH
Z2
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
Falta Trifásica: DSP
Falta Bifásica: DSP – DSN em paralelo
Falta Bifásica à terra DSP-DSN-DSZ em paralelo
Falta Monofásica: DSP-DSN-DSZ em série
Abertura de 01 condutor: DSP-DSN-DSZ em paralelo*
Abertura de 02 condutores: DSP-DSN-DSZ em série*
* (impedância série)
DIAGRAMAS SEQUENCIAIS - CONEXÕES
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
EXEMPLO: Dados de entrada: Valores Bases: Pot. Base = Sb = 100 [MVA] e Vb = Vnom-barras
Sistema de Transmissão: Z1 = Z2 = j 15% e Zo = j 45% (Relação Zo/Z1 = 3
Transformador: Z1 = Z2 = j50% e Zo = j 40% Rat = 0 [ohm] = SSA 
SIST. TRANSMISSÃO TRANSFORMADOR FALTA F-T
fonte
 - Y
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
CORRENTES DE “CC” ASSIMÉTRICAS
0
3
1 1
2 3
1 2 1
20
1 2 0 2 0
0
1 2 0 1 0
0 [ ]
3 3 0 , 8 6 62
3 3 / /
3 3 .3 2 .
T H
T H T H
T HT
T H T HT
VI AZ
V VI x x IZ Z Z
V ZI x I x xZ Z Z Z Z
x V VI x I Z Z Z Z Z

 
 


 
  
           
    
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
EXEMPLO
3
1
3
3
3
.[ ] (29)
1.0 0 100,000.[ ] (30)(0.15 0.5) 3 13.8
6,436.5 [ ] ( ) (31)
1.6 6, 436.5 10, 298.3 [ ] (32)
FCC base
eq
o
CC
CC
CC Assim assim MT CC RMS
VI IZ
I j x
I A valor RMS
I F x I x A








   

 

  
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
EXEMPLO
Corrente de curto-circuito fase-terra na barra de BT do transformador.
1 0
1 0
1
0
1
1 0
0
3 . 0 3 . (3 3 )2 .
3 1 .0 0 1 0 0 .0 0 0( ) 1 .7 6 5 4 1 8 3 .8 (3 4 )[ 2 ( 0 .1 5 0 .5 ) 0 .4 ] 3 1 3 .8
7 , 3 8 4 .2 9 0 [ ] (3 5 )
1 .7 6 5 0 .5 8 8 9 0 (3 6 )3 3
o
F p u
C C b a s e
p u p u
C C
C C
C C
A
VI x I IZ Z
xI xx j j x
I A
II p u






 



 
  
  
    
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
EXEMPLO: Cálculo das Tensões na Barra de BT do transformador
0 0
1 1 1
22 2
0 0 0
0 0 (39)
0 00
a ao
a F a
a a
V IZ
V V Z x I
ZV I
                              
0
1
2
0
0
1
2
0 0.4 0 0 0.588
1.0 . 0 0.65 0 0.588 90 (40)
0 0 0 0.65 0.588
,
0.235
0.617 0 [ ] (41)
0.382
a
a
a
a
a
a
V
V j x
V
donc
V
V pu
V
                                 
                
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
EXEMPLO: Cálculo das Tensões na Barra de BT do TF
Vb
Vc
V’b
V’c
'
' 2
2'
'
'
'
1 1 1 0.235 0
1 0.617 0.934 112.2 [ ] (43)
1 0.934 112.20.382
, ,
0 0
7.44 112.2 7.44
7.44 112.2 7.44
a
b
c
a
b
c
V
V a a pu
a aV
ou em valores reais
V
V
V
                                       
                      
[ ] (44)kV
  
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
EXEMPLO - Relação de transferencia de correntes entre os lados de AT e BT de um TF- Dy
A
B
C
a
b
c
1.0 pu
1/3 = 0.58 pu
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIAProf. Ronaldo Rossi
PERFIL DE TENSÃO NA PRESENÇA DA FALTA
Resistência de Arco Voltaico
SISTEMA
VRV s
R
ICC
ZS Z1 = Z2
ZO
VFALTA = RARCO x ICC
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23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 154
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
FLUXOS DE POTÊNCIA 
Metodologias clássicas de soluções:
 Método de Gauss-Seidel
 Método de Newton-Raphson
 Método Desacoplado Rápido
 Método DC
 Outros....!!!
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 155
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
FLUXOS DE POTÊNCIA 
Classificação das Barras:
1- Barra “swing” ou “slack” ou “referência”.
Tensão conhecida em módulo e ângulo: Vs = 10o pu
2- Barra de Tensão controlada ou Barra P-V.
Módulo da tensão V e da Potência P conhecidos.
3- Barra de Carga ou Barra P-Q.
Potências Ativa (Pc) e Reativa (Qc) conhecidas.
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 156
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
TRANSFERÊNCIAS DE POTÊNCIAS ENTRE BARRAS
BALANÇOS DE POTÊNCIAS:
(POTs. INJETADAS: P e Q)
(POTs. EJETADAS: P e Q)
P, Q: (+)
P, Q: (- )
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 157
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
TRANSFERÊNCIAS DE POTÊNCIAS ENTRE BARRAS
CONVENÇÕES DE SINAIS:
POTs. INJETADAS: ( + ) 
POTs. EJETADAS: ( - )
P, Q: (+)
P, Q: (- )
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 158
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
TRANSFERÊNCIAS DE POTÊNCIAS ENTRE BARRAS
SG = PG + j QG
Sc = Pc + j Qc
SL = PL + j Q L
I
Z L = R + j X
Barra 2
Tensão: V2 2Barra 1Tensão: V1 1
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2017 159
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
TRANSFERÊNCIAS DE POTÊNCIAS ENTRE BARRAS
Pot. Complexa: S12 = V1. I12* = P12 + j Q12 [MVA/ fase]
Corrente: Lei de Ohm > I12 = (V1 – V2) / (R + j.X)
Corrente conjugada: I12* = (P12 + j Q12 ) / V1
Pot. Complexa: S12 = V1. [(V1-V2)* / (R+jX)*] .......
....... desenvolvendo essa relação, resulta : 
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 160
ANÁLISE DE SISTEMASDE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
TRANSFERÊNCIAS DE POTÊNCIAS ENTRE BARRAS
SG = PG + j QG
Sc = Pc + j Qc
SL = PL + j Q L
Z L = R + j X
Barra 2
Tensão: V2 2
Barra 1
Tensão: V1 1
Yc/2Yc/2
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2017 161
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
TRANSFERÊNCIAS DE POTÊNCIAS ENTRE BARRAS
Com a presença da admitância shunt, tem-se:
P12 = G.V21 – G.V1V2 . COS(δ12) + B.V1V2.sen (δ12)
Q12 = (-Bc/2. V21) +(B.V21 - B.V1V2 . COSδ12 - G.V1V2 . senδ12)
onde: Qc =(- Bc/2. V21) = V1.Ic*= V1(V1.Yc/2)* - potência na 
admitância shunt (Yc/2).
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2017 162
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
PERDAS DE POTENCIAS NAS TRANSFERÊNCIAS
PERDAS DE POTENCIA ATIVA:
Pp = P12 + P21 = G12. ( V1 – V2 )2 
PERDAS DE POTENCIA REATIVA:
Qp = Q12 + Q21 = - Bc/2.( V1 + V2 )2 - B.(V1 - V2 )2
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 163
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel:
O MÉTODO CONSISTE EM SE DETERMINAR TODAS AS
TENSÕES DAS BARRAS DE UM SISTEMA ELÉTRICO, A
PARTIR DO CONHECIMENTO DE UM CONJUNTO DE
VALORES E CARACTERÍSTICAS DESSAS BARRAS.
O PROCESSO SE BASEIA NO USO DA 1ª. LEI DE
KIRCHHOFF, TRABALHADA NA FORMA MATRICIAL.
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 164
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel: Exemplo
Carga 2
Barra 1 (SWING) V1=1 0 pu Barra 2 (PQ)
Carga 1
Barra 3 (PQ) Barra 4 (PV)
Carga 3 Carga 4
G1
G2
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 165
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel: Matriz Y barras













































4
3
2
1
)43422(43420
34)3431(031
240)2421(21
01312)13121(
33
22
11
*
*
3
*
12
*
1
V
V
V
V
x
yyyGyy
yyyy
yyyy
yyyyyG
V
jQnPn
V
jQP
V
jQP
V
jQP
n
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2017 166
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel:
Considere a equação matricial: [ I nós ] = [Ybarras]. [Vnós]
e seja a linha “k” dessa equação, isto é:
Ik = Yk1.V1 + Yk2V2 + Yk3 .V3 + ..... + Ykk.Vk + Ykn.Vn
ou também, resolvendo para Vk :
Vk = (1/Ykk ).{ Ik - N (Ykn .Vn) }
n = 1
n ≠ k
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 167
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel:
e ainda,
Vk = (1/Ykk ).{ Ik -  (Ykn .Vn) }
n = 1
n ≠ k
onde: Ik = ( Pk – j Qk ) / Vk* 
assim calculadas para as N barras do sistema dado.
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 168
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel:
e também que:
Ik = ( Pk – j Qk ) / Vk* 
onde: Pk = PG - PC
-j.Qk = - j. ( QG - QC )
assim calculadas para as N barras do sistema dado.
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2017 169
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel:
Processo Iterativo:
V(i+1)k = (1/Ykk ).{ I(i)k -  (Ykn .V(i)n) }
n = 1
n ≠ k
onde: I(i)k = ( Pk – j Qk ) / V(i)k* 
assim calculadas para as N barras do sistema dado.
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 170
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel: Exemplo
Carga 2: S2=1,7 +j.1 pu
Barra 1 (SWING) V1=1 0 pu Barra 2 (PQ)
Carga 1: S1= 0,5 +j.0,3 pu
Barra 3 (PQ) Barra 4 (PV) V4 = 1,02 4
Carga 3: S3 = 2 +j. 1,2 pu Carga 4: S4 = 3,2 +j. Qg
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 171
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel: 
Matriz de ADMITÂNCIAS do sistema dado:
pu
jjj
jjj
jjj
jjj
Ybarras













4015250
1540025
2504520
0252045
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 172
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Método de Gauss-Seidel: 
Processo Iterativo:
 
 
 















QdemandaQgeradaQk
PdemandaPgeradaPk
QdQgjPdPgSkonde
VYknV
QkjPk
YV
kk
i
n
N
knn
i
kkk
i
k
).()(
..1
1)*(
1
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 173
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Processo Iterativo: 1ª. Iteração >> i = 1
puV
jjjjjV
VYVYVYV
jQP
YV
Barra
QeP
puV
referenciadeBarra
0)1(
2
*
)1(
2
)0(
424
)0(
323
)0(
121)0(
222
)1(
2
19,29897,0
)02,11).(25()01).(0()01).(20[()01(
)0,10()7,10(
45
1
...(221
:2
?11
011
:



 




 


23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 174
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Processo Iterativo: 1ª. Iteração >> i = 1
puV
jjjQjV
amenteanae
puV
jjjjV
VYVYVYV
jQP
YV
Barra
5,002,1
)01).(15()01).(25()002,1).(0[()002,1(
4)8,02,3(
40
1
,log
93,29788,0
)002,1).(15()0()01).(25[()01(
)2,10()0,20(
40
1
...(331
:3
)1(
4
*
)1(
4
0)1(
3
*
)1(
3
)0(
434
)0(
332
)0(
131)0(
333
)1(
3



 





 




 
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 175
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Processo Iterativo: 2ª. Iteração >> i = 2
9,0021,1
78,19858,0
,log
198,09967,0
)5,002,1)(25()00,1)(20[(*)19,29897,0(
0,17,1
45
1
)(tan01
:,logPr
)2(
4
)2(
3
)2(
2
)2(
2
)2(
1





 



V
V
amenteana
V
jjjjV
swingbarrateconsV
vemanteriorcasoaoaanaformadeocedendo
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 176
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Processo Iterativo: 5ª. Iteração >> i = 5
puV
puV
puV
swingbarrateconsV
iteraçãoanaseobtemaanaformadeocedendo
02,20201,1
15,29746,0
47,39921,0
)(tan01
:.5logPr
)2(
4
)5(
3
)5(
2
)5(
1





23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 177
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
FLUXOS NAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
 
 
puQpuPLinha
puQpuPLinha
puQpuPLinha
puQpuPLinha
seobtemlinhasasparavaloresosdosubstituin
senVVRVVXVXXRQ
senVVXVVRVRXRP
QPPOTENCIASDEFLUXOSDOSEQUAÇÕES
ijjiijjiiij
ijjiijjiiij
5477,0084,1)43(
806,0498,0)42(
6522,0916,0)31(
194,0202,1)21(
:04
)(..)cos(...)(
1
)(..)cos(...)(
1
3434
2424
1313
1212
2
22
2
22










23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 178
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo RossiSolução
Carga 2: S2=1,7 +j 1 pu
Barra 1 (SWING) V1=1 0 pu Barra 2 (PQ)
Carga 1:
S1= 0,5 +j.0,3 pu
Barra 3 (PQ) Barra 4 (PV) V4 = 1,02  4
Carga 3: S3 = 2 +j. 1,2 pu Carga 4: S4 = 3,2 +j. Qg
P=1,202 pu
Q=0,194 pu
P=0,498 pu
Q=0,806 pu
P=1,084 pu
Q=0,5477 pu
P=0,916 pu
Q=0,6522 pu
P= 2,618 
Q= 0,9705
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 179
Seja uma função não linear f(x)=0
A expansão pela Série de Taylor é:
.....
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
PRINCÍPIO BÁSICO – SERIE DE TAYLOR
       xxx xffxf 000 ' 
  xxx ffx 0
0
0
'
Solução aproximada
   ,...1,0'1  iff xxxx i
i
ii
Xo X1 X2 X3 Xn
F(x)
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 180
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
MÉTODO NEWTON-RAPHSON:
Sejam as matrizes X = [x] e F(X) = [f(x)]. 
Então: Xk+1 = Xk - F´( Xk )-1 . F( Xk ) 
ou seja:
XK+1 = XK + XK 
Portanto, o incremento matricial vale:
Xk = XK+1 – XK = J-1. F(Xk) 
Onde J-1 é a matriz Jacobiana de F(X).
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 181
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
MÉTODO NEWTON-RAPHSON –Matriz Jacobiana de F(X)
J = [J] = [ J[F(X) ] = H N 
M L 
O Jacobiano, por definição, é uma matriz tal que:
Jij = i / xj para i e j variando de 1....N
Jii = i / xi para i e j variando de 1....N
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 182
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
EXEMPLO “N-R”:
Seja o sistema de equações abaixo, cujas raízes são: X1=+ 1 e X2=+ 2
f1 (X1,X2) = X12 + X22 – 5 = 0 
f2 (X1,X2) = X12 – X22 + 3 = 0
Passo: #1 Admitir as aproximações iniciais (1): X1=0,5 e X2= 1,5
Processar a matriz [X(1)] = 0,5 
1,5 
Passo: #2 Cálculo da matriz [F(X(1)] = -2,5
1,0
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 183
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Passo # 3: Montagem da matriz Jacobiana [J]:
Calcular as diferenciais parciais em X1 e X2 de F(x1,X2):
f1/ x1 = 2X1 = 1 para X1 = 0,5
f1/ x2 = 2X2 = 3 para X2 = 1,5
f2/ x1 = 2X1 = 1 para X1 = 0,5
f2/ x2 = -2X2 = -3 para X2 = 1,5
Portanto o Jacobiano será: J = [J] = 1 3
1 -3 
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 184
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Passo # 4: Inversão da matriz Jacobiana [J]:
Matriz Jacobiana inversa: J-1 = [J]-1 = 1/2 1/2
1/6 -1/6 
Passo # 5: Determinação do incremento: X(1) 
X(1) = (-) [J]-1 .[F(X(1)] = (-) ½ ½ . -2,5 = 0,75
1/6 -1/6 1,0 0,58
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 185
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
Passo # 6: Determinar o valor do novo passo de X(2):
X(2) = X(1) + X(1) = 0,5 + 0,75 = 1,25
1,5 0,58 2,08
Observar que esses valores encontrados X(2) são melhores que 
os adotados inicialmente X(1) . 
Processando novamente os passos de # 1 a # 6 serão
encontradas novas soluções para X(3), X(4) .....X(n) até que a última
solução processada satisfaça a precisão desejada.
Em geral, quando se conseguir: X(n) < 
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 186
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
FLUXO DE CARGA – MÉTDO “N-R”
Equações do Fluxo de Carga ( P/ i e j variando de 1 a N ):
Fi(P) = Pi(G) – Pi(c) – Vi . Vj (Gik. cosij + Bij. sen ij) = 0 
Fi(Q) = Qi(G) – Qi(c) – Vi . Vj (Gij. senij - Bij. cos ij) = 0 
Então, tem-se o vetor: F(Vi, Vj, ) onde, p/ as barras:
 Barra SWING: Vs e s já são conhecidos. 
 Barras P-Q: Vi e i são desconhecidos >>> portanto, 
necessita-se das eqs. Fi(P) e Fi(Q)
 Barras P-V: Vi é conhecido e i é incógnita. Portanto,
necessita-se das eqs. Fi(P).
TOTAL DE EQUAÇÕES: N barras(P-V) + 2N barras(P-Q) 
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 187
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
FLUXO DE CARGA – MÉTDO “N-R” – Matriz JACOBIANA
Hij = Fi(P)/ j =  / j [Pi(G) – Pi(c) – Vi . Vj (Gij. cosij + Bij. sen ij) ]
Hij = Fi(P)/ i =  / i [Pi(G) – Pi(c) – Vi . Vj (Gij. cosij + Bij. sen ij) ]
Nij = Fi(P)/ Vj =  / j [Pi(G) – Pi(c) – Vi . Vj (Gij. cosij + Bij. sen ij) ]
Nii = Fi(P)/ Vi=  / i [Pi(G) – Pi(c) – Vi . Vj (Gij. cosij + Bij. sen ij) ]
Mij = Fi(Q)/ j =  / j [Qi(G) – Qi(c) – Vi . Vj (Gij.senij + Bij. cos ij) ]
Mii = Fi(Q)/ i =  / i [Qi(G) – Qi(c) – Vi . Vj (Gij.senij + Bij. cos ij) ]
Lij = Fi(Q)/ Vj =  / j [Qi(G) – Qi(c) – Vi . Vj (Gij.senij + Bij. cos ij) ]Lii = Fi(Q)/ Vi =  / i [Qi(G) – Qi(c) – Vi . Vj (Gij.senij + Bij. cos ij) ]
23/09/2018 ROSSI, R. - ASP - UNIFEI_2018 188
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Ronaldo Rossi
FLUXO DE CARGA – Derivadas da Matriz JACOBIANA 
Hij = Fi(P)/ j = - Vi Vj .(Gij. sen ij - Bij. cos ij )
Hij = Fi(P)/ i = Vi2.Bii +(Vi . Vj (Gik. senij - Bij. cos ij)
Nij = Fi(P)/ Vj = -Vi.Vj (Gij. cos ij + Bij. sen ij)
Nii = Fi(P)/ Vi= -Vi2. Gii - Vi . Vj (Gij. cosij + Bij. sen ij) ]
Mij = Fi(Q)/ j = - Vi.Vj. (Gij cos ij + Bij. sen ij) ]
Mii = Fi(Q)/ i = Vi2Gii – Vi . Vj (Gij. cosij + Bij. sen ij) .
Lij = Fi(Q)/ Vj = - Vi.Vj.(Gij. sen ij - Bij. cos ij)Lii = Fi(Q)/ Vi = Vi2.Bii - Vi . Vj (Gij. senij - Bij. cos ij)
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FLUXO DE CARGA – Derivadas da Matriz JACOBIANA 
Obsevações IMPORTANTES sobre o Jacobiano:
Sobre as matrizes parciais: Hij = Lij
Nij = - Mij
Nij = Fi(P)/ Vj >>>> são desprezíveis tais variações...! 
Nii = Fi(P)/ Vi idem
Mij = Fi(Q)/ j >>>> são desprezíveis tais variações...! 
Mii = Fi(Q)/ i idem
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O problema do FLUXO DE CARGA será considerado como
resolvido, quando se dispuser de valores de tensões Vi e Vj para
as várias barras k do sistema, de tal forma que ao serem
substituídas nas expressões anteriores conduzam a valores de
potências ativa Pcalculada e reativa Qcalculada iguais (ou dentro das
tolerâncias adotadas) aos valores especificados (Pespecificado e
Qespecificado ) em cada uma dessas N barras do sistema dado.
Assim sendo, define-se para cada uma dessas barras as
seguintes equações de fechamento do cálculo:
 
 
..!desejadas. precisão deou a tolerâncidegrau o é 
, 
Q



onde
PQbarras
PVPQbarras
QQQ
PPP
cal
i
esp
ii
P
cal
i
esp
ii


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Finalmente, as equações do FC-NR podem ser agrupadas:
 PVPQpkespkk kVgPP ,0),(














VVV i
i
i
i
i
i 
1
1

























VLM
NH
Q
P
i
i
ii
ii
i
i 
 PVPQqkespkk kVgQQ ,0),(
 
  


























VVLM
NH
Q
P
ii
i
ii
ii
i
i 
'
'
BVQH kkkkkk 2  VGVPN kkkkkkk 2 GVPM kkkkkk 2   VBVQL kkkkkkk 2
Com as seguintes relações incrementais:
Onde as sub-matrizes do Jacobiano são dadas por:
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O Método consiste numa simplificação das equações 
apresentadas para o Método de Newton-Raphson.
Nij = Fi(P)/ Vj >>>> são desprezíveis tais variações...! 
Nii = Fi(P)/ Vi idem
Mij = Fi(Q)/ j >>>> são desprezíveis tais variações...! 
Mii = Fi(Q)/ i idem
Isto resulta em:
MÉTODO DO DESACOPLADO RÁPIDO
 HP
V
VLQ  '
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Lembrar ainda, que para as simplificações, tem-se também:
MÉTODO DO DESACOPLADO RÁPIDO
ijsen ij   
BG ijijij sen 
0.121
2


VV
VBQ kkkk
0 pois, 0.1cos  ijij 
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3. FUNDAMENTOS DE ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA - (FASP)
Fluxos de Carga
Análises de Contingências
Estabilidade e Limites Operacionais
“Softwares” - ETAP, EMTP, ATP, SKM, µTRAN,
POWERWORLD, ANAREDE, etc...
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Muito obrigado !!!
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Ronaldo Rossi
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI
ISEE – Instituto de Sistemas Elétricos e Energia
e-mail: ronaldo_rossi@unifei.edu.br
CV – http:// lattes.cnpq.br/8640374980559895
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