Aula 3 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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PROFESSOR(A): JORGE JÚNIOR
ASSUNTO: FUNÇÃO/FUNÇÃO INJETORA
FRENTE: MATEMÁTICA I
OSG.: 122188/17
AULA 03 – PARTE I
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Definição de função
Dados os conjuntos A e B, não vazios, uma relação “f” de 
A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida 
em A com imagens em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um 
único y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f.
f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃ | y ∈ B | (x, y) ∈ f)
Em outras palavras, para que a relação f de A em B seja função, 
uma condição deve ser satisfeita.
É preciso que todo x ∈ A participe uma única vez de algum 
par ordenado (x, y) ∈ f.
Representação por meio de diagramas:
f
A B
a
b
c
d
e
Domínio Contradomínio
Imagem de f
f
g
(Df) (CDf)
Nota:
De cada elemento de A, parte uma única seta em direção a B.
Obs.: 1
“Pode sobrar” elemento de B.
Obs.: 2
“Pode chegar” mais de uma seta num mesmo elemento 
de B.
Obs.: 3
“Não pode sobrar” elemento em A.
Obs.: 4
Toda função é uma relação, mas nem toda relação é função.
Representação no 
plano cartesiano
Observe os seguintes gráficos de relações de A em B (R:A → B):
Y
B
A
X
É função
A
B
Y
X
Não é função
Tais relações só representam uma função de A em B 
(f: A → B) quando toda reta vertical que passa por um ponto de A 
(domínio de f) corta o gráfico em um só ponto. Assim, apenas o 
1o gráfico representa uma função.
Domínio de uma função
O domínio de uma função é o conjunto formado por todas as 
abscissas dos pares ordenados da função. Assim, se considerarmos }
f: A → B, temos:
D(f) = {x ∈ A|(x, y) ∈ f} = A
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O domínio (ou condição de existência da função) é o conjunto 
em que se define a função.
a) Em diagramas ⇒ domínio = conjunto de partida das setas.
f
f(x)x
Df CDf
b) Em gráficos ⇒ domínio = conjunto das projeções de f sobre o 
eixo x.
fy
x0
Df
Contradomínio e imagem 
de uma função
Quando definimos uma função f: A → B, identificamos 
o conjunto B como o conjunto que contém os possíveis valores 
numéricos da função. Denominamo-lo de contradomínio da função 
e o representamos por CD(f).
O contradomínio não pode ser identificado no gráfico da 
função, mas é facilmente determinado quando representamos uma 
função no diagrama ou mesmo quando fornecemos a definição da 
função (f: A → B).
f
A B
a
b
c
Figura 1 CDfDf
k
f(a)
f(b)
f(c)
lm
Quando definimos uma função, não é necessário que todos 
os elementos do contradomínio sejam usados. Para identificar os 
elementos do contradomínio que foram efetivamente usados pela 
função, criamos um conjunto formado por estes elementos que recebe 
o nome de Imagem da Função e representamos por Im(f).
A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas 
“y” dos pares ordenados que fazem parte da função.
Note que a imagem de uma função é sempre subconjunto do 
seu contradomínio e que, para identificarmos a imagem, usamos os 
seguintes procedimentos:
a) Em diagramas → é o conjunto de chegada das setas. 
(ver figura 1).
b) Em gráficos → é o conjunto das projeções ortogonais do 
gráfico de f sobre o eixo y.
y
0 x
f
Função injetora
Considere os diagramas:
A B
D
D
DCD
CD
CD
B
B
A
A
(I)
(III)
(II)
x
v
z
y
r
s
t
a
b
c
e
f
g
h
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
Os diagramas (I) e (II) são os únicos que representam funções 
injetoras ou injetivas.
Definição: uma função f de A em B é injetora se: a todo 
x1 ≠ x2 do domínio (D), tivermos f(x1) ≠ f(x2) no contradomínio (CD).
 
Resumindo: não pode haver duas flechas convergindo para 
uma mesma imagem. (cada x do domínio tem seu y exclusivo no 
contradomínio).
Observação: entende-se por imagem o elemento que “recebe” a 
flecha.
Considere os gráficos:
x x
x
y y
y
(I) (II)
(III)
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• Os gráficos (I) e (II) são os únicos que representam uma função 
injetora ou injetiva.
• Para identificarmos graficamente uma função injetora, traçam-se 
retas horizontais. Se as retas tocarem em um único ponto em toda 
a extensão do domínio ou simplesmente não tocá-lo, teremos uma 
função injetora.
• Conclusão: se houver reta horizontal que toque o gráfico em mais 
de um ponto, a função não será injetora.
Exemplos de identificação pela lei de formação
a) Mostrar que a função f: r → r, cuja lei de formação é 
f(x) = 2x, é injetora.
 Solução: x1 ≠ x2 ⇒ 2x1 ≠ 2x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), logo, f é injetora.
b) Mostrar que a função f: r* → r, onde f(x) = 1
x
, é injetora.
 Solução: x1 ≠ x2 ⇒ 
1 1
1 2x x
↑ ≠ f(x1) ≠ f(x2), logo, f é injetora.
c) Mostrar que a função f: r → r, onde f(x) = x2, não é injetora.
 Solução: basta ver que se x1 = 2 e x2 = –2, então:
 
x
x
x
x
f x
f x
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
4
4
4
4
=
= −{ ⇒ ==⎧⎨⎩ ⇒ ( ) =( ) =⎧⎨⎩
 ou seja, existem x1 ≠ x2, tais que f(x1) = f(x2). Logo, f não é injetora.
Exercícios
01. Nesta aula, vimos que, para existir uma função, é necessário e 
suficiente que “a cada x esteja associado um, e apenas um, y”.
 Em cada item seguinte, relacionam-se os elementos de dois 
conjuntos.
I. A cada mãe do planeta Terra, associam-se os (as) seus (suas) 
respectivos (as) filhos(as);
II. A cada candidato de uma eleição, associam-se seus eleitores;
III. A cada pessoa da Terra, associa-se seu pai biológico;
IV. A cada doença, associam-se seus sintomas;
V. A cada planeta do Sistema Solar, associa-se sua Lua.
 Pode-se afirmar corretamente que a ideia de função está presente 
apenas no(s) item(ns)
A) I B) III
C) I e II D) IV e V
E) III e IV
02. Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {0, 1, 2}. Qual das afirmativas 
abaixo é verdadeira?
A) f(x) = 2x é uma função de A em B.
B) f(x) = x + 1 é uma função de A em B.
C) f(x) = x2 – 3x + 2 é uma função de A em B.
D) f(x) = x2 – x é uma função de B em A.
E) f(x) = x – 1 é uma função de B em A.
03. Num teste de esforço físico, o movimento de um indivíduo 
caminhando em uma esteira foi registrado por um computador. 
A partir dos dados coletados, foi gerado o gráfico da distância 
percorrida, em metros, em função do tempo, em minutos, 
mostrado abaixo:
 2
200
600
1000
1400
4 6 8 10
tempo
(minutos)
distância
(metros)
 De acordo com o gráfico, é correto afirmar que
A) durante o teste, a esteira permaneceu parada por 7 minutos.
B) durante o teste, a distância total percorrida foi de 1400 m.
C) a velocidade média nos primeiros quatro minutos foi de 6 km/h.
D) a velocidade média nos dois últimos minutos foi de 10 km/h.
E) a esteira permaneceu em movimento durante o teste por 10 
minutos.
04. (Uece) Se X e Y são conjuntos que possuem 6 e 12 elementos, 
respectivamente, então o número de funções injetivas 
f: X → Y que podem ser construídas é
A) 665.280
B) 685.820
C) 656.820
D) 658.280
05. Assinale a alternativa que apresenta a história que melhor se 
adapta ao gráfico.
distância
de casa
tempo
A) Assim que saí de casa, lembrei que deveria ter enviado um 
documento para um cliente por e-mail. Resolvi voltar e cumprir 
essa tarefa. Aproveitei para responder mais algumas mensagens 
e, quando me dei conta, já havia passado mais de uma hora. 
Saí apressado e tomei um táxi para o escritório.
B) Saí de casa e quando vi o ônibus parado no ponto corri para 
pegá-lo. Infelizmente o motorista não me viu e partiu. Após 
esperar algum tempo no ponto, resolvi voltar para casa e 
chamar um táxi. Passado algum tempo, o táxi me pegou na 
porta de casa e me deixou no escritório.
C) Eu tinha acabado de sair de casa quando tocou o celular e parei 
para atendê-lo. Era meu chefe, dizendo que eu estava atrasado 
para uma reunião. Minha sorte é que nesse momento estava 
passando um táxi. Acenei para ele e poucos minutos depois 
eu já estava no escritório.
D) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Desci do 
carro, troquei o pneu e finalmente pude ir para o trabalho.
E) Saíde casa sem destino – estava apenas com vontade andar. 
Após ter dado umas dez voltas na quadra, cansei e resolvi entrar 
novamente em casa.
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06. Considere a função real f(x) definida por:
f x
x se x
x x se x
x se x
( ) =
− < −
+ − − ≤ ≤
+ >
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 4 2
4 2 2
3 2
2
,
,
,
 Qual o valor numérico de 
f f
f f
3 11 1
0 10
( ) − ( )
( ) + −( )
·
?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
07. Uma pesquisa estima que a demanda de energia vá se acentuar 
nos próximos anos. O gráfico a seguir mostra o crescimento da 
demanda de energia desde 2008, quando essa era de 51,3 GW, 
e apresenta uma previsão para 2014, baseada em crescimento 
linear no período de 2010 a 2014.
CRESCIMENTO DE
22%
68
55,7
5251,3
2008 2009 2010 2012 2014
 De acordo com o gráfico, a demanda de energia, em 2012, 
corresponderá, aproximadamente, a quantos GW médios?
A) 61,85 
B) 60
C) 59,5 
D) 62
E) 57,5
08. O Programa das Nações Unidas para o Ano IDH
1975 0,643
1980 0,678
1985 0,691
1990 0,712
1995 0,738
2001 0,777
 
Desenvolvimento (PNUD), em levantamento 
sobre IDH brasileiro, fez um quadro 
demonstrativo dos últimos anos. Leia o 
quadro com atenção. Assinale a alternativa 
referente ao gráfico que melhor representa 
os dados contidos na tabela.
 
D) 1
0
1970 1980 1990 2000 2010
0,8
0,6
0,4
0,2
E) 1
0
1970 1980 1990 2000 2010
0,8
0,6
0,4
0,2
B) 1
0
1970 1980 1990 2000 2010
0,8
0,6
0,4
0,2
A) 1
0
1970 1980 1990 2000 2010
0,8
0,6
0,4
0,2
C) 1
0
1970 1980 1990 2000 2010
0,8
0,6
0,4
0,2
09. Daniel é gerente de vendas de uma grande loja de varejo e atacado. 
Ele analisa os gráficos ilustrados a seguir, em que cada um deles 
mostra o desempenho das vendas (v) de um determinado produto 
em função do tempo (t). Qual dos gráficos corresponde ao de 
uma função injetora?
C)
E)
D)
t
0
V
t
0
V
t
0
V
t
0
VA) B)
t
0
V
10. Uma pessoa passeia durante 30 minutos. Nesse tempo, ela 
anda, corre e também para por alguns instantes. O gráfico 
representa a posição (espaço) da pessoa em função do tempo de 
passeio (t).
0
0
600
1200
1800
2400
x (m)
t (min)
5
1
α
β
α
2
3
4
10 15 20 25 30
 Pelo gráfico pode-se afirmar que, na sequência do passeio da 
pessoa, ela
A) andou (1), correu (2), parou (3) e correu (4).
B) andou (1), correu (2), parou (3) e andou (4).
C) andou (1), parou (2), correu (3) e andou (4).
D) correu (1), andou (2), parou (3) e correu (4).
E) correu (1), parou (2), andou (3) e correu (4).
11. Analisando os custos e as vendas da produção artesanal de ovos 
de páscoa, Cristina fez a seguinte relação:
• Despesas fixas de R$ 2400,00 e R$ 3,60 por ovo produzido.
• Cada ovo é vendido por R$ 10,00.
 A quantidade de ovos a ser produzida e vendida para que Cristina 
tenha lucro é
A) igual a 275.
B) maior que 375.
C) igual a 375.
D) menor que 275.
E) menor que 380.
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12. Considere três relações binárias f, g e h, tais que:
i f atribui, a cada pessoa do mundo, a sua idade;
i g atribui, a cada brasileiro o número do CPF (Cadastro de Pessoa 
Física);
i h atribui, a cada número real, um ponto de uma reta.
 Podemos afirmar que, das relações apresentadas, são funções 
injetoras
A) f, g e h.
B) f e h.
C) g e h.
D) Apenas h.
E) Nenhuma delas.
13. Uma função f é definida em A e tem imagem em B. Sabe-se 
que o conjunto A possui 2k – 2 elementos e o conjunto B possui 
k + 3 elementos. Se f é injetora, então
A) 1 < k < 5
B) 1 ≤ k < 5
C) 1 ≤ k ≤ 5
D) 1 < k ≤ 5
14. (Unesp) O gráfico representa, em milhares de toneladas, a 
produção no Estado de São Paulo de um determinado produto 
agrícola entre os anos de 1990 e 1998. Analisando o gráfico, 
observa-se que a produção
mil t
70
60
50
40
30
20
10
0
90 91 92 93 94 95 96 97 98
ano
A) foi crescente entre 1992 e 1995.
B) teve média de 40 mil toneladas ao ano.
C) em 1993 teve acréscimo de 30% em relação ao ano anterior.
D) a partir de 1995 foi decrescente.
E) teve média de 50 mil toneladas ao ano.
15. Em uma experiência com camundongos, foi observado que o 
tempo requerido para um camundongo percorrer um labirinto 
era dado pela função f n
n
( ) min,= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
12
 onde n representa 
o número de tentativas feitas pelo camundongo para sair do 
labirinto. Com relação a essa experiência, pode-se afirmar que 
um camundongo
A) consegue percorrer o labirinto em menos de 3 min.
B) gasta 5 min 40 s para percorrer o labirinto na 5ª tentativa.
C) gasta 8 min para percorrer o labirinto na 3ª tentativa.
D) percorre o labirinto em 4 minutos na 10ª tentativa.
E) percorre o labirinto, numa das tentativas, em 3 min 30 s.
Resoluções
01. 
I. Não corresponde à ideia de função, uma vez que cada mãe 
(domínio) pode possuir mais de um filho (imagem).
II. Não corresponde à ideia de função, uma vez que normalmente 
a um candidato estão associados mais de um eleitor, além de, 
possivelmente, não existir eleitor associado a um candidato.
III. Corresponde ao conceito de função. 
IV. Não corresponde ao conceito de função, pois muitas vezes 
temos vários sintomas associados a uma mesma doença.
V. Não corresponde ao conceito de função, uma vez que há 
planetas que não possuem luas e outros possuem mais de uma.
 Resposta: B
02. 
A) f x x
A f B V
A f B F
( ) = ⇒ ∈ ⇒ ( ) = ⋅ = ∈ ( )
∈ ⇒ ( ) = ⋅ = ∉ ( )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
1 1 2 1 2
2 2 2 2 2
B) f x x
A f B V
A f B F
( ) = + ⇒ ∈ ⇒ ( ) = + = ∈ ( )
∈ ⇒ ( ) = + = ∉ ( )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
1 1 1 1 2
2 1 1 2 3
C) f x x x
A f B V
A f B
( ) = − + ⇒ ∈ ⇒ ( ) = − ⋅ + = ∈ ( )
∈ ⇒ ( ) = − ⋅ + = ∈
2
2
2
3 2
1 1 1 3 1 2 0
2 1 1 3 2 2 0 VV( )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
D) f x x x
B f A F( ) = − ⇒ ∈ ⇒ ( ) = − = ∉ ( )2
20 0 0 0 0
desnecess rio conferir o restaná tte
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
E) f x x
B f A F( ) = − ⇒ ∈ ⇒ ( ) = − = − ∉ ( )1 0 0 0 1 1
desnecess rio conferir o restantá ee
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 Resposta: C
03. 
A) Falsa, pois a esteira permanece parada do 6º minuto ao 8º 
minuto.
 Assim 8 – 6 = 2 minutos parada
B) Falsa, pois a distância total percorrida foi de:
 1400 – 200 = 1200 metros
C) Verdadeira, pois
 
v
m m km km km
hora
=
÷
÷
= =
×
×
= = →400
4
4
4
100
1
0 1
1
60
60
6
60
6
1min min
,
min min
 a
→ vv km h= 6 /
D) Falsa, pois 
 
v
m m km km km
hor
=
÷
÷
= =
×
×
= =400
2
2
2
200
1
0 2
1
60
60
12
60
12
1min min
,
min min aa
→ =
 aa
v km h→ = 12 /
E) Falsa, pois, segundo o item A, como a esteira, ao longo de 
todo o teste (que durou 10 minutos), ficou parada por 2 
minutos, conclui-se que ela ficou em movimento por 10 – 2 = 
8 minutos.
 Resposta: C
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04. 
x1
x2
x3
x4
x5
x6
f
domínio = X
FUNÇÃO
contradomínio = Y
y1
y2
y3
y12
 
 Uma função f é dita injetiva quando elementos distintos do 
domínio têm imagens diferentes no contradomínio.
 Assim sendo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 
encontramos:
f(x1)
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 = 665.280
f(x3) f(x5)f(x2) f(x4) f(x6)
!"""#""""$
possibilidades
funções injetivas
 Resposta: A
05. 
d
t
(1) (2) (3) (4) (5)
 Analisando-se as diversas fases do gráfico, tem-se:
(1) Saí de casa e quando vi o ônibus parado no ponto corri para 
pegá-lo.
(2) Esperei algum tempo no ponto de ônibus.
(3) Voltei para casa.
(4) Passou-se algum tempo (estava em casa).
(5) O táxi me pegou na porta de casa e me deixou no escritório.
 Resposta: B
06. 
f(3) = 3 + 3 = 6 (pois x = 3, logo x > 2)
f(1) = 12 + 1 – 4 = –2 (pois x = 1, logo – 2 ≤ x ≤ 2)
f(0) = 02 + 0 – 4 = –4 (pois x = 0, logo – 2 ≤ x ≤ 2)
f(–10) = 2 · (–10) – 4 = –24 (pois x = – 10, logo x < – 2)
Assim:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 11 1
0 10
6 11 2
4 24
28
28
1
− ⋅
+ −
= − ⋅ −
− + −
=
−
= −
 Resposta: B
07.
68
68 55 7
2014 2012
2014 2010
68
12 3
2
4
68
12 3
1
2
136
−
−
= −
−
⇒ − = ⇒
− = ⇒
y y
y
, ,
,
−− = ⇒ − = → =2 12 3 136 12 3 2 61 85y y y, , ,
68
y
55,7
2010 2012 2014
 Resposta: A
08. Observando-se a tabeladada, vemos que os valores do eixo x (anos) 
estão sempre aumentando e que os correspondentes valores de y 
(IDH) também. Portanto, como x e y estão sempre crescentes, 
trata-se de uma função estritamente crescente. 
 Resposta: A
09. O único gráfico que corresponde ao de uma função injetora é 
o da opção E, pois nele temos que a todo x1 ≠ x2 do domínio 
corresponde um f(x1) ≠ f(x2) do contradomínio:
v
t
y4
y3
y2
y1
x1 x2 x3 x4
 Resposta: E
10. No trecho 1, ela caminhou 600 m em 10 min, assim:
 
v
m m km
h
=
×
×
= = =600
10
6
6
3600
60
3 6
1
3 6
min min
,
, km/h
No trecho 2, ela correu 120 m em 5 min, assim:
 
v
m m km
h
=
×
×
= = =1200
10
6
6
7200
60
7 2
1
7 2
min min
,
, km/h
No trecho 3, ela permaneceu parada por 5 min.
 No trecho 4, ela voltou a caminhar com a mesma velocidade que 
no trecho 1.
 Resposta: B
11. Devemos ter venda > custo, logo:
10x > 2400 + 3,6x
6,4x > 2400
x > 375
 Resposta: B
7 F B O N L I N E . C O M . B R
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12.
Pessoas
P1
P2
P3
Idades
f
i1
i2
i3
i4••
•
••
•
Brasileiros CPF
b1
b2
b3
b4
f
n1
n2
n3
?
Podemos ter duas
ou mais pessoas
com uma mesma
idade. Assim, não
é função injetora.
⎫
⎬
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
Nem todo brasileiro 
possui nº de CPF. 
Assim é uma relação 
binária, mas não é 
uma função.
⎫
⎬
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
 Na matemática, é feita uma correspondência biunívoca entre todos os pontos de uma reta (eixo real) e todos os números reais.
 Assim, cada número real está associado a um único ponto da reta, sendo a recíproca verdadeira. Parte dessa correspondência é mostrada 
por meio da função h, que é uma função bijetora e, portanto, injetora.
 Resposta: D
13. 
A
2k – 2
Elementos
k + 3
Elementos
B
2k – 2
Elementos
k + 3
Elementos
A B
 Assim:
I. n(A) > 0 → 2k – 2 > 0 → k > 1
II. n(B) > 0 → k + 3 > 0 → k > –3
III. n(A) ≤ n(B) → 2k – 2 ≤ k + 3 → k ≤ 5
1
I
II
III
I ∩ II ∩ III
1
5
5
–3
Assim: 1 < k ≤ 5
 Resposta: D
14. A média da produção, em toneladas, do produto agrícola é:
x = + + + + + + + + =20 40 50 60 40 60 60 70 50
9
50 mil toneladas ao ano
 Resposta: E
15. 
A) Falsa, pois 3 + 
12
n
 > 3, ∀n ∈ N
B) Falsa, pois f(5) = 3 + 
12
5
 = 5 min 24s.
C) Falsa, pois f(3) = 3 + 
12
3
 = 7 min.
D) Falsa, pois f(10) = 3 + 
12
10
 = 4 min 12s.
E) Verdadeira, pois f(24) = 3 + 
12
24
 = 3 min 30s.
 Resposta: E SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR
DIG.: REJANE – 19/12/17 – REV.: TEREZA
MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
PROFESSOR(A): JORGE JÚNIOR
ASSUNTO: FUNÇÃO SOBREJETORA/FUNÇÃO BIJETORA
FRENTE: MATEMÁTICA I
OSG.: 123019/17
AULA 03 – PARTE II
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Função sobrejetora
Considere os diagramas:
a
b
c
d
e
f(x1)
x1
x2
x3
f(x2)
f(x3)
lm
lm
lm
x
v
z
y
w
s
A A
A
B B
B
D D
D
CD CD
CD
k
(I) (II)
(III)
• Os diagramas (I) e (III) são os únicos que representam funções 
sobrejetoras ou sobrejetivas.
Definição:
Uma função f de A em B é sobrejetora se o contradomínio 
(CD) for igual ao conjunto imagem (Im).
• Resumindo: não podem “sobrar” elementos no contradomínio 
(CD).
Considere os gráficos:
b
a
a
yy y
xxx
(I) (II) (III)
Analisando somente o gráfico de uma função, não podemos 
caracterizá-la como sobrejetora, pois, como já dissemos, o gráfico não 
indica o contradomínio de uma função, mas seu domínio e sua imagem.
Assim, para qualificarmos uma função como sobrejetora, é 
necessário que nos seja fornecido o contradomínio da função.
Se considerarmos que o contradomínio de todas as 
3 funções dadas é o conjunto dos reais (R), então somente o gráfico 
(II) é uma função sobrejetora.
Se considerarmos que o contradomínio da função (I) é o 
intervalo [a, + ∞), que o contradomínio da função (II) é R e que 
o contradomínio da função (III) é R – {a}, então todos os gráficos 
representarão funções sobrejetoras.
Importante:
Note que toda função pode ser sobrejetora, basta que seja 
escolhido um contradomínio conveniente.
Para identificarmos graficamente uma função sobrejetora, 
traça-se uma reta horizontal em cada elemento do contradomínio. Se 
cada uma das retas cortar o gráfico da função em um ou mais pontos, 
então a função é sobrejetora.
Função bijetora
Considere os diagramas:
A
A A
B
B B
D CD
D CD
(III)
(II)
(I)
x2
x1
x3
f(x2)
f(x3)
f(x1)
a
b
c
d
e
i
j
x
v
z
k
m
n
• O diagrama (I) é o único que representa função bijetora.
2F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 123019/17
 
Definição:
Uma função f de A em B é bijetora se for injetora e sobrejetora, 
simultaneamente.
Resumindo:
1) cada x do domínio tem seu y exclusivo no contradomínio.
2) não “sobram” elementos no contradomínio (CD = Im).
Importante:
O diagrama (II) é de uma função que nem é injetora (pois b 
e c possuem a mesma imagem e) nem sobrejetora (pois “sobram” 
os elementos i e j no CD).
Importante:
 O diagrama (III) não representa função por dois motivos:
1o) Está sobrando o elemento v no domínio.
2o) O elemento x possui duas imagens: k e m.
Exercícios
01. Considerando a função f de P em Q, representada pelo diagrama 
abaixo, indique as sentenças verdadeiras (V) e as falsas (F).
P
a m
1
2
3
4
5
f
b n
c o
d p
e q
Q
( ) A função f é sobrejetora.
( ) A função f é injetora.
( ) Retira-se o elemento q, a função torna-se sobrejetora.
( ) Se a flecha 2 ligasse b com q, teríamos uma função bijetora.
( ) Se retirarmos a flecha 2 e o elemento b, teríamos uma função 
injetora.
A) F, V, V, V, V
B) V, F, V, V, V
C) F, F, F, V, V
D) F, F, V, V, F
E) F, F, V, V, V
02. Sejam os conjuntos
P = {2, 4, 6, 8}
Q = {1, 3, 5, 7, 9}
 O número de funções f: P → Q é igual a
A) 24 B) 120
C) 625 D) 1024
E) 3125
03. Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio 
de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam 
a quantidade de professores de cada escola do conjunto E.
 Se f: E → P é a função que a cada escola de E associa seu número 
de professores, então
A) f não pode ser uma função bijetora.
B) f não pode ser uma função injetora.
C) f é uma função sobrejetora.
D) f é necessariamente uma função injetora.
E) f é necessariamente bijetora.
04. Seja f a função de r em r dada pelo gráfico a seguir.
2
0 1 2
y
x–1–2
–2
 É correto afirmar que
A) f é bijetora.
B) o domínio correspondente a r*.
C) f(x) > 0 para todo x real.
D) o conjunto imagem de f é ]– ∞, 2[.
E) f é sobrejetora e não injetora.
05. Uma torneira com vazão constante enche um recipiente esférico 
como indicado na figura abaixo.
 Qual dos gráficos abaixo melhor representa a altura do líquido no 
recipiente, em função do tempo de enchimento?
hA)
t
hB)
t
hC)
t
hD)
t
hE)
t
3 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
OSG.: 123019/17
MÓDULO DE ESTUDO
06. Considere os conjuntos A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, 
e seja a função f: A → B, tal que f(x, y) = x + y. É possível afirmar 
que f é uma função
A) injetora.
B) sobrejetora.
C) bijetora.
D) par.
E) ímpar.
07. (Unifor–Adaptada) Considere a função f de [–1, 6[ em r dada 
pelo gráfico abaixo.
y
x
6
2
1
-1
-1 0 1 2 3 4 5
-2
 É correto afirmar:
A) f(–1) + f(2) + f(4) + f(6) = 0.
B) f é crescente para todo x ∈⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
5
2
9
2
,
C) o conjunto imagem de f é o intervalo [–2, 2].
D) f admite exatamente três raízes reais.
E) o domínio é o conjunto {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 6}.
08. Considere as funções f, g e h, todas definidas no domínio 
que corresponde a [m, n] e contradomínio que corresponde a 
[p, q], representadas através dos gráficos a seguir:
 
y
q
p
m n
f
y
q
p
m n
g
y
q
p
m n
h
 Pode-se afirmar que
A) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva.
B) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva.
C) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva.
D) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva.
E) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva.
09. Na figura a seguir, temos uma circunferênciaλ de diâmetro 
AB = 10 cm.
X
A O B
 Seja f uma função de λ em r, tal que a cada ponto x de λ faz 
corresponder à soma dos quadrados das distâncias de x a A e de 
x a B. Pode-se afirmar que f é uma função
A) injetora. 
B) sobrejetora.
C) bijetora. 
D) constante.
10. (Enem) A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em 
contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície, 
formando uma camada hidratada. A espessura da camada 
hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência 
no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. 
O gráfico a seguir mostra como varia a espessura da camada 
hidratada, em mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro), 
em função da idade da obsidiana.
 
15
10
5
0
20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000
Idade (em anos)
Es
pe
ss
ur
a 
hi
dr
at
ad
a 
(e
m
 m
íc
ro
ns
)
 Com base no gráfico acima, pode-se concluir que a espessura da 
camada hidratada de uma obsidiana
A) é diretamente proporcional à sua idade.
B) dobra a cada 10000 anos.
C) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem.
D) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha.
E) a partir de 100000 anos não aumenta mais.
11. A fábula da lebre e da tartaruga, do escritor grego Esopo, foi 
recontada utilizando-se o gráfico abaixo para descrever os 
deslocamentos dos animais.
5 240
50
100
150
200
Distância
(em metros)
245 Tempo (min.)
4F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 123019/17
 Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam uma corrida 
em uma pista de 200 metros de comprimento. As duas partem do 
mesmo local no mesmo instante. A tartaruga anda sempre com 
velocidade constante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e 
dorme por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com a 
mesma velocidade constante de antes, mas, quando completa o 
percurso, percebe que chegou 5 minutos depois da tartaruga.
 Considerando essas informações, a velocidade média da tartaruga 
durante esse percurso, em metros por hora, é
A) 45 
B) 50
C) 55 
D) 60
E) 65
12. Maria está no topo de um morro, de onde lança uma bola em 
direção a João, conforme figura abaixo. A trajetória da bola 
é descrita por h
d d= − + +
2 10 21
10
, sendo h a altitude da bola, 
e d a posição horizontal de João, ambas medidas em metros. 
João, que tem 1,80 m, pretende interceptar a bola e, para tanto, 
encontra-se inicialmente na posição d = 10 m. Permanecendo João 
em pé na sua posição, para alcançar a bola, ele deverá levantar 
suas mãos acima de sua cabeça a
morro
0
praia
h
d
A) 20 cm 
B) 25 cm
C) 30 cm 
D) 35 cm
E) 40 cm
13. (Enem/2014) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um 
artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato 
foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes 
de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um 
cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.
 No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para 
dentro dela, com vazão constante.
 O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função 
do tempo (t) decorrido é
h
t
h
t
h
t
h
t
h
t
A)
C)
E)
B)
D)
14. Em uma biblioteca, todos os livros são catalogados pelo título, 
além de outros identificadores, e há títulos com mais de um 
exemplar. Considerando R a relação que tem como domínio 
o conjunto de todos os exemplares da biblioteca e como 
contradomínio o conjunto dos títulos dos livros catalogados nessa 
biblioteca, marque a opção correta.
A) R não é função.
B) R é uma função bijetora.
C) R é uma função injetora e não sobrejetora.
D) R é uma função sobrejetora e não injetora.
15. Seja f uma função que tem como domínio o conjunto A = {Ana, 
José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto 
B = {1, 2, 3, 4, 5}. A função f associa a cada elemento x em A 
o número de letras distintas desse elemento x. Com base nessas 
informações, assinale a alternativa correta.
A) f é injetora.
B) f é sobrejetora.
C) f não é uma função.
D) f(Maria) = 5
E) f não se classifica como injetora nem sobrejetora.
Resoluções
01. 
( F ) Pois o elemento q está “sobrando” no contradomínio (CD).
( F ) Pois os elementos a e b estão associados ao mesmo 
elemento m.
( V ) Pois ao retirarmos o elemento q, teremos o contradomínio 
igual à imagem (CD = Im).
( V ) Pois, dessa forma, cada elemento do domínio (Dom) estará 
associado a um único elemento do contradomínio (CD), além 
de não sobrarem elementos no contradomínio (CD = Im).
( V ) Pois, assim, teremos cada elemento do domínio associado 
a um único elemento do contradomínio.
 Resposta: E
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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OSG.: 123019/17
MÓDULO DE ESTUDO
02. 
5
2
5
4
5
6
5
8
5 6254⋅ ⋅ ⋅ = =
PP QQ
f
2
1
3
5
7
9
4
6
8
 Resposta: C
03. Se f: E → P é função, então as condições que desqualificam 
relações binárias como funções estão descartadas.
 Assim, as situações possíveis de ocorrer como função 
correspondem a:
EE PP
e1
e2
e3
en
•
•
•
••
•
p3
pn
p2
p1
1ª)
Esta situação invalida as opções A e B.
EE PP
e1
e2
e3
en
en – 1
(com k < n)
• •
•
•
•
•
p3
pk
p2
p1
2ª)
Esta situação invalida as opções D e E.
EE PP
e1
e2
e3
en
•
•
•
•
•
•
•
•
•
p3
pn
pr
p2
p1
3ª)
 (com r > n)
 Esta situação, na prática, não pode ocorrer, pois foi dito no 
enunciado que P é o conjunto formado pelos números que 
representam a quantidade de professores de cada escola do 
conjunto E. Sendo assim, não podemos ter um certo pr (ver 
diagramas) que não esteja associado a uma escola do domínio.
 
EE PP
e1
e2
e3
en – 1 
en
•
•
•
•
•
•
•
•
•
p3
pk
pr
p2
p1
4º)
 Esta situação, na prática, não pode ocorrer, dado o que foi 
apresentado na 3ª situação.
 Resposta: C
04. Observe que tanto o domínio como o contradomínio são reais, ou 
seja, Dom = CD = R . Não existem elementos do contradomínio 
que não estejam associados a algum elemento do domínio. Isso 
pode ser observado ao projetarmos os pontos do gráfico sobre o 
eixo y. Constatamos que o conjunto dessas projeções (imagem) 
coincide com o contradomínio. Veja a figura a seguir:
y
x
f
0
 Assim, CD = Im = R
 Resposta: E
6F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 123019/17
05. Inicialmente, vale ressaltar que o volume de água é sempre 
crescente, o que descarta os itens B e C. Na medida em que o 
recipiente vai enchendo, a seção transversal correspondente à 
lâmina d’água vai diminuindo até certo ponto (metade), como 
mostra a ilustração a seguir.
h
2
h
Lâmina
d’água
 Significa que, do início do abastecimento até a metade, o aumento 
do nível de água dá-se de forma acelerada. A partir daí, até o final, 
o processo se inverte, ou seja, como a secção transversal aumenta, 
o aumento do nível de água dá-se de forma desacelerada.
 Resposta: E
06. 
A B
(1, 2) •
(1, 3) •
(2, 3) •
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
 
 É uma função injetora. 
 Resposta: A
07. 
A) Falso. Note que f(6) não está definido, uma vez que 6 ∉ [–1, 6[.
B) Falso. Para 4 < x < a função é decrescente.
C) Falso. Imf = ]–2, 2]
D) Verdadeiro. Pois o gráfico toca o eixo x nos pontos (2, 0); 
(3, 0) e em algum ponto cuja abscissa está entre 4 e 5.
E) Falso. Domf = {x ∈ R l –1 ≤ x < 6}.
 Resposta: D
08. 
• f é uma função bijetora, uma vez que satisfaz as condições de 
injeção e sobrejeção de [m, n] em [p, q].
• g é uma função sobrejetora, mas não injetora, uma vez que 
Im = CDom e existem pontos do gráfico que possuem abscissas 
distintas, porém, com uma mesma ordenada (imagem).
• h nem é função injetora nem sobrejetora, uma vez que existem 
pontos do gráfico que possuem abscissas distintas, porém, com 
mesma ordenada (imagem), e além disso, Im ≠ CDom.
 Resposta: A
09. 1º caso: x não coincide com A nem com B, dessa forma o 
ângulo AXB! é inscrito na circunferência e subentende o arco 
AB" de medida 180º. Portanto, AXB! = 90º , e o triângulo AXB é 
pitagórico.
 Vejaa figura a seguir:
a
b
O
A B
X
10
Fazendo AX = b e BX = a, 
temos:
f(x) = a2 + b2 = 102 → f(x) 
= 100
2º caso: X coincide com A. 
(b = 0 e a = 10)
f(x) = a2 + b2 = 102 + 02 = 
100 → f(x) = 100
3º caso: X coincide com B. (a = 0 e b = 10)
f(x) = a2 + b2 = 02 + 102 = 100 → f(x) = 100
Logo, para todo x, f(x) é uma função constante e igual a 100.
 Resposta: D
10. Observe que, pelo gráfico, quanto maior a idade da pedra, mais a 
espessura da camada hidratada aumenta também, estabilizando-
se, aproximadamente, a partir de 120 mil anos. Entretanto, 
verifica-se que o aumento da camada ocorre mais rapidamente 
nos primeiros anos de vida da pedra (até, aproximadamente, os 
80 mil anos, quando a “subida” do gráfico é mais evidente).
 Resposta: C
11.
 
v
m m m
h
=
÷
÷
= = =200
240
4
4
50
60
50
1
50
min min
m/h
 Resposta: B
12. 
h
d d
mas d assim
h m
= − + + =
=
− + ⋅ +
= =
2
2
10 21
10
10
10 10 10 21
10
21
10
2 1
, , :
,
 Assim, deverá levantar as mãos a uma altura de 2,1 m – 1,8 m = 
0,3 m = 30 cm.
 Resposta: C
13.
h
t
Fase 3
Fase 2
Fase 1
7 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
OSG.: 123019/17
MÓDULO DE ESTUDO
• Fase 1:
 Na medida em que o tempo passa, o nível d’água sobe cada 
vez mais rápido, uma vez que a secção transversal que a 
coluna d’água tem que vencer, por unidade de tempo é, a 
cada instante, menor.
• Fase 2:
 Nessa fase, o nível d’água sobe com mesma taxa de crescimento 
(mesmo coeficiente angular), pois a secção transversal se 
mantém a mesma.
• Fase 3:
 Na medida em que o tempo passa, o nível d’água sobe cada 
vez mais devagar, uma vez que a secção transversal que a 
coluna d’água tem que vencer, por unidade de tempo é, a 
cada instante, maior.
 Resposta: D
14. 
Dom C. Dom
R
Livro (1) Título (1)
Título (2)
Título (3)
Título (p)
Livro (2)
Livro (3)
Livro (4)
Livro (n – 1)
Livro (n)
 Observe, pelos diagramas, que existe mais de um livro associado a 
um mesmo título (dado do enunciado). Logicamente, não existem 
livros sem títulos, assim como não podem existir títulos sem livros. 
Assim, R é uma função sobrejetora, mas não é injetora.
Resposta: D
15. Temos, pelo enunciado, que:
f(Ana) = 2 f(Paulo) = 5 
f(José) = 4 f(Pedro) = 5
f(Maria) = 4
 Nos diagramas, temos:
A B
f
Ana •
Maria •
José •
Paulo •
Pedro •
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
Portanto, f não se classifica como injetora nem sobrejetora.
 Resposta: E
Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR
DIG.: REJANE – 18/12/17 – REV.: JARINA