Aula 8 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
PROFESSOR(A): JORGE JÚNIOR
ASSUNTO: DETERMINANTES
FRENTE: MATEMÁTICA I
OSG.: 122194/17
AULA 08
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Introdução
Seja A
a b
c d
= 



 matriz de ordem 2 × 2, na qual a, b, c e d ∈ R.
Definimos seu determinante como o número ad – bc e 
denotamos A Det A
a b
c d
ad bc= = 



= −( ) .
Exemplo: Dada A = 



2 1
1 4
, tem-se que:
A = = ⋅ − ⋅ =
2 1
1 4
2 4 1 1 7
Regra de Sarrus
Seja a matriz M =
− −







3 2 3
1 0 1
2 1 2
Para ca l cu la rmos o det M sugere - se o uso da 
Regra de Sarrus apresentada a seguir:
1º método:
2 2
– 33
– 3
– 4
– 3
4
0 0
= – 4 + 0 + (– 3) + 4 + 0 + (– 3) = – 6det M =
3 2 3
1 0 1
2 1 2
− −
2º método:
– 3– 4– 3 40 0
= 0 + (– 3) + 4 + 0 + (– 4) + (– 3) = – 6det M =
3 2 3
1 0 1
2 1 2
3 2
1 0
2 1
− − −
3º método:
– 3 – 3
+ 4
0
– 4
0
= 4 + (– 3) + 0 + (– 4) + 0 + (– 3) = – 6det M =
3 2 3
1 0 1
2 1 2
− −
Teorema de Laplace
Se considerarmos uma matriz de ordem 3 da forma:
A
a a a
a a a
a a a
=








11 12 13
21 22 23
31 32 33
,
defi nimos o determinante (usando a primeira linha) como o número:
A a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a a
= ⋅ − ⋅ + ⋅ =
=
11
22 23
32 33
12
21 23
31 33
13
21 22
31 32
11 112 13
21 22 23
31 32 33
a
a a a
a a a
Det A= ( )
Também pode ser na forma:
Det(A) = a
11
 · A
11
 + a
12
 · A
12 
 + a
13
 · A
13
Se usamos a segunda linha, temos:
A a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
=
21
12 13
32 33
22
11 13
31 33
23
11 22
31 32
11 aa a
a a a
a a a
Det A
12 13
21 22 23
31 32 33
= ( )
ou Det(A) = a
21
 · A
21
 + a
22
 · A
22
 + a
23
 · A
23
Observação:
Para calcular o determinante de uma matriz, podemos 
usar qualquer linha ou coluna.
Caso geral: Consideramos A matriz quadrada de ordem 
n e seja A = [a
ij
]
n×n
 e A
ij
 a submatriz quadrada de ordem
(n – 1), obtida de A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima 
coluna, chamada complemento algébrico do elemento a
ij
.
Defi nimos o determinante da matriz A, segundo a linha 
i, por:
Det A = a
i1 
⋅
 
A
i1 
+ a
i2 
⋅
 
A
i2 
+ a
i3 
⋅
 
A
i3 
+...+ a
in 
⋅
 
A
in
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 122194/17
Propriedades dos determinantes
Matriz com fi la nula
O determinante dessa matriz é nulo.
Ex.: A A= −








→ =
3 0 4
5 0 2000
100 0 3
0det
Matriz triangular
O determinante é igual ao produto dos elementos da sua 
diagonal principal.
Ex.: B B= −








→ = ⋅ − ⋅ = −
3 4 8
0 5 9
0 0 2
3 5 2 30det ( )
C C= − −








→ = ⋅ − ⋅ = −
2 0 0
7 1 0
10 40 8
2 1 8 16det ( )
Multiplicação de uma fi la por um número K real
O determinante da nova matriz é igual ao anterior multiplicado 
pelo número K.
Ex.: D D= −
−








→ =
2 3 1
4 2 1
2 3 2
12det
E = ⋅ ⋅ ⋅ −
−








= −
−








→
2 3 1
5 4 5 2 5 1
2 3 2
2 3 1
20 10 5
2 3 2
( )
→ det E = 5 · det D = 5 · 12 = 60
Troca de fi las paralelas
O determinante da nova matriz é igual ao determinante da 
matriz original com sinal trocado.
Ex.: F F=










→ = ⋅ ⋅ ⋅ =
3 4 9 10
0 1 3 20
0 0 2 17
0 0 0 1
3 1 2 1 6det
G G=










→ = −
0 1 3 20
3 4 9 10
0 0 2 17
0 0 0 1
6det
Filas paralelas iguais
O determinante é nulo.
Ex.: H H=
−
−
−
− −














→ =
5 8 3 5 10
4 7 1 4 5
3 4 2 3 4
2 3 5 2 3
1 2 9 1 3
0det
Filas paralelas proporcionais
O determinante é nulo.
Ex.: J
a b c
d e f
a b c
J=








→ =
α α α
det 0
Matriz transposta
O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de 
sua transposta At.
Ex.: A A=
− −








→ = −
2 3 5
4 8 2
1 3 0
14det
A At t=
−
−








→ = −
2 4 1
3 8 3
5 2 0
14det
Decomposição de uma fi la
Se cada elemento de uma das fi las de um determinante é 
uma soma de duas parcelas, então esse determinante é a soma de 
dois outros determinantes, que se obtêm substituindo essa fi la pela 
primeira e pela segunda parcelas, respectivamente, e conservando 
inalteradas as demais fi las.
Ex.: 
3 5 4
8 9 10
1 2 3
3 5 4
6 8 7
1 2 3
3 5 4
2 1 3
1 2 3
= +
Quando uma das fi las de um determinante é 
uma combinação linear de outras fi las paralelas
O determinante é nulo.
Ex.: Considerando a · b · c ≠ 0, temos que:
 D
a b b c c a
b c c a a b
c a a b b c
=
− − −
− − −
− − −
= 0
Pois, como L
1
 + L
2
 + L
3
 = 0 (a soma das três linhas é zero), uma 
linha é combinação linear das outras, ou seja, L
1
 = –L
2
 – L
3
. Assim, D = 0.
Teorema de Cauchy
Em toda matriz quadrada de ordem n ≥ 2, a soma dos produtos 
dos elementos de uma fi la pelos cofatores dos correspondentes 
elementos de uma fi la paralela é zero.
Teorema de Jacobi
Se adicionarmos a uma das fi las de uma matriz quadrada A de 
ordem n ≥ 2 um múltiplo de outra fi la paralela, obteremos uma matriz 
B tal que det B = det A.
Teorema de Binet
Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então, 
det(A · B) = det A · det B.
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MÓDULO DE ESTUDO
Regra de Chió
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. A regra de Chió 
consiste em:
1º) sendo a
11
 = 1, eliminar a primeira linha e a primeira coluna
de A;
2º) de cada elemento que sobra em A, subtrair o produto dos 
elementos que se situam nas extremidades das perpendiculares, 
à primeira linha e à primeira coluna de A, traçadas a partir do 
elemento considerado.
Ex.: Calcule:
1 2 2 1
3 2 1 0
2 2 2 1
1 2 1 1
−
Solução:
1 2 2 1
3 2 1 0
2 2 2 1
1 2 1 1
2 3 2 1 3 2 0 3 1
2 2 2 2 2 2 1 2 1
2 1
−
=
− ⋅ − ⋅ − ⋅ −
− ⋅ − ⋅ − ⋅ −
− ⋅
( )
( )
22 1 1 2 1 1 1− ⋅ − ⋅ −
=
( )
20
0
2
 3–4
0
+16
+6
12
0
− −
− −
−
= + − − − = −
4 5 3
2 2 3
0 1 2
16 6 20 0 12 10
Determinante de Vandermonde
Seja a matriz quadrada A de ordem n, n ≥ 2, defi nida por:
A
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n n n
n
n
=




− − − −
1 1 1 1
1 2 3
1
2
2
2
3
2 2
1
1
2
1
3
1 1
…
…
…
� � � �
…










Observações:
1) Cada coluna da matriz A (matriz de Vandermonde) forma 
uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.
2) Os elementos da 2ª linha de A denominam-se elementos 
característicos da matriz. Eles representam a razão de 
cada P.G.
O determinante desse tipo de matriz é igual ao produto 
de todas as diferenças possíveis entre os elementos da linha 
de expoente unitário, com a condição de que, nas diferenças,
o minuendo tenha índice maior que o subtraendo. 
det(M) = (a
2
 – a
1
)(a
3
 – a
2
)(a
3
 – a
1
) ... (a
n
 – a
n–1
)
Exercícios
01. O determinante da matriz M = 
1 10 100 1000
1 20 400 8000
1 10 100 1000
1 30 900 27000
− −










vale:
A) –24 ⋅ 106
B) 32 ⋅ 106
C) –36 ⋅ 106
D) 48 ⋅ 106
E) – 32 · 106 
02. Seja A = − −










6 4 2 2
3 2 1 2
1 2 1 2
1 2 3 1
. O valor do det A corresponde a:
A) 24 B) –36
C) 48 D) –60
E) 72
03. Dada a equação:
 
2 1 3
5 4 9
7 8 7
2 1 3
3 4
7 8 7
2 1 3
1 1
7 8 7
2 1 3
2 0
7 8 7
= + +a b c
 Então:
A) b = 2a B) a = 2c
C) c = 4b D) c = 2a
E) b = 3c
04. Sejam A e B matrizes quadradas e inversíveis de mesma ordem n; 
A–1 e B–1 suas inversas, respectivamente. At e Bt suas transpostas, 
respectivamente. Seja também α uma constante. Considere as 
sentenças a seguir:
I. det (A · B) = det A · det B
II. det A–1 = det A
III. det Bt = det B
IV. det (α · A) = αn · det A
 Marque a única opção correta.
A) Somente as afirmações I e III são verdadeiras.
B) Somente as afirmações II e IV são verdadeiras.
C) Somente as afirmações I, II e IV são verdadeiras.
D) Somente as afirmações I, III e IV são verdadeiras.
E) Todas as afirmações são verdadeiras.
05. (Uece – Adaptada) Considere as matrizes M, N e P dadas por 
M N= 



=
−
−








2 1 3
1 1 1
1 1
2 1
1 1
, e P = MN.
 O valordo determinante da matriz inversa de P é: 
A) 3 B) 
1
3
C) – 3 D) – 
1
3
E) 1
4F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 122194/17
06. Se as matrizes A a
b
B e l=
−




=
− −




= 



1
4
1 1
4 5
1 0
0 1
, são tais 
que A·B = I, então, o determinante da matriz A2 é:
A) 1
B) 4
C) 9
D) 16
E) 25
07. (Uece – Adaptada) Se S
n
 representa a soma dos n primeiros 
números naturais positivos (S
n
 = 1 + 2 + · · · · + n), então o valor 
do determinante da matriz M = 
S S S
S S S
S S S
1 1 1
1 2 2
1 2 3








 é igual a:
A) 1!
B) 2!
C) 3!
D) 4!
E) 5!
08. (Uece – Adaptada) Se u, v e w são números reais, o determinante 
da matriz 
u u
v
w w
1
1 1
1








é igual a:
A) 0
B) 1
C) u ⋅ v ⋅ w
D) u + v + w
E) u + v – w
09. Se abc ≠ 0, então o determinante D
a b b c c a
b c c a a b
c a a b b c
=
− − −
− − −
− − −
 vale:
A) a B) b
C) c D) 2a
E) 0
10. (ESPM-SP) A fi gura abaixo é uma representação geométrica 
espacial de uma matriz quadrada A = (a
ij
)
3×3
, na qual cada cubinho 
signifi ca 1 unidade. O determinante dessa matriz vale:
 
j
i
a
ij
A) 26
B) 20
C) 12
D) 8
E) 4
11. Considere as matrizes:
A = 
a b c
d e f
g h i







 B = 
a d g
b e h
c f i








C = 
a b c
g h i
d e f







 D = 
3 3 3
3 3 3
3 3 3
a b c
d e f
g h i








 Se det A = k (k ≠ 0), então, det B + det C + det D é igual a:
A) 0
B) 9k
C) 11k
D) 12k
E) 27k
12. (Ufes) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = 3
e se k é um número real tal que det(kA) = 192, então,
o valor de k é:
A) 4 B) 8
C) 32 D) 64
E) 96
13. O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira linha 
por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do novo 
determinante será:
A) 2 B) 14
C) 18 D) 21
E) 42
14. (UnB) O determinante da matriz 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− −
− −
− −
 é:
A) zero
B) 8
C) –8
D) 16
E) –16
15. Seja a equação: 
 
sen x x
x com x
2 2
2
1
1 0
1 0 1
31
16
0
5
6
sec
cos , , .= − ∈



π
 Tem-se que: o valor de x pertence ao intervalo
A) 0
6
,
π



B) 
π π
6 3
,




C) 
π π
3 2
,




D) 
π π
2
2
3
,




E) 
2
3
5
6
π π
,




5 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
OSG.: 122194/17
MÓDULO DE ESTUDO
Resoluções
01. 
1 10 100 1000
1 20 400 8000
det M
1 10 100 1000
1 30 900 27000
= =
− −
= (20 – 10) · (–10 – 10) · (30 – 10) · (–10 – 20) · (30 – 20) · (30 – (–10))
= 10 · (–20) · 20 · (–30) · 10 · 40 = 48 · 106 
 Resposta: D
02.
det
det
det
A
A
A
= − −
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− −
6 4 2 2
3 2 1 2
1 2 1 2
1 2 3 1
2 3 2 2 2 1 2 1
3 2 1 2
1 2 1 2
1 2 3 1
== ⋅ − −
= − ⋅ − −
= − ⋅
2
3 2 1 1
3 2 1 2
1 2 1 2
1 2 3 1
2
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 1 2
3 2 1 1
2
0 0
det
det
A
A
11
4 2 3
4 8 2
0 0 1
4 2 3
4 8 2
0 0
4 2
4 8
8 32 24
2 24
− − −
− − − − −
= − = −
= − ⋅ −( ) →det detA A == 48
8 0 0 0 0 –32
( ) ( ) ( )
− ⋅ − ⋅ − ⋅
= − ⋅ − − ⋅ − − − ⋅ − − ⋅
− ⋅ − ⋅ − ⋅
2 1 2 3 1 3 2 1 1
det A 2 2 1 2 1 1 3 2 1 1
2 3 2 1 3 3 1 3 1
 Resposta: C
03. Se:
2 1 3
5 4 9
7 8 7
2 1 3
3 4
7 8 7
2 1 3
1 1
7 8 7
2 1 3
2 0
7 8 7
5 1 2 2
4 3
= + +
= + + → =
=
a b c
Então:
a a
++ + → =
= + + → =




=
b b
c c
Tem-se
c a
0 1
9 4 1 4 2
 
 Resposta: D
04.
• Afi rmação I é verdadeira: Teorema de Binet.
• Afi rmação II é falsa: o correto é det
det
det
det det
A
A
ou A
A B
−
−= = =
1
1
1 1 1
 
• Afi rmação III é verdadeira: propriedade.
• Afi rmação IV é verdadeira: propriedade.
 Resposta: D
05. 
I. Cálculo de P:
P = 





−
−








= 





2 1 3
1 1 1
1 1
2 1
1 1
1 2
2 1
.
II. Cálculo do determinante de P:
1 2
2 1
1 1 2 2 3= − = −. .
III. Cálculo do determinante de P–1:
det(P–1) = =
−
= −
1 1
3
1
3det P
 Resposta: D
06. 
1ª Solução:
A · B = I
A– 1 · A · B = A– 1 · I
I · B = A– 1
B = A– 1 ⇒ Conclui-se, portanto, que B e A são matrizes inversas.
Logo: det B = det
det
det
det det
A
A
ou A
A B
−
−= = =
1
1
1 1 1
Assim: det det det det
det
det
A A A A A
A
B
2
2
2
1 1
1 5 1
= ⋅( ) = ⋅ =
= ( ) = 



=
⋅ −( ) − ⋅ − 44
1
1
1
2
2
( )




=
−




=
2ª Solução:
A B I
A B B
I
I B
B
A I
A
B
A B
A
B
⋅ =
⋅ ⋅ = ⋅
⋅ =
=
= ⇒
− −
−
−
−
1 1
1
1
1
1
� �
�
det det
det
det
det AA
A A
A A A
A A
=
⋅ − − ⋅ −
=
−
→ = −
= ⋅
= ⋅
1
1 5 1 4
1
1
1
2
2
( ) ( )
det det
det det( )
det det ddet
det ( ) ( )
A
A2 1 1 1= − ⋅ − =
 Resposta: A
6F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 122194/17
07. Se S
n
 = 1 + 2 + 3 + ... + n, temos que: S
1
 = 1, S
2
 = 1 + 2 = 3 e S
3
 
= 1 + 2 + 3 = 6. Logo, o determinante da matriz M pela regra de 
Sarrus será
1 6
1 1 1
1 3 3
1 3 6
1 1
M =








det M = 3 + 18 + 3 – 6 – 3 – 9 = 6.
Perceba que 6 = 3!
 Resposta: C
08. 
u u
v
w w
1
1 1
1
0= , pois as colunas 1 e 3 são iguais.
 Resposta: A
09.
C C C
D
a b b c c a
b c c a a b
c a a b b c
1 2 3
=
− − −
− − −
− − −
 Note que C
1
 + C
2
 + C
3
 = 0 → C
1
 = –C
2
 – C
3
, ou seja, uma coluna 
é a combinação linear das outras duas. Assim, D = 0.
 Resposta: E
10. Pela fi gura conclui-se que:
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
4 3 4
2 2 3
2 0 1
= = =
= = =
= = =
 Assim:
2 1
34 4
det A 2 2 3 18 8 0 6 16 0
2 10
4 4
= = + + − − +
18
8
00
–6
–16
 
det A = 4
 
 Resposta: E
11. B = At ∴ det B = det A 
det C = – det A — troca de 2 linhas
D
a b c
d e f
g h i
k= ⋅ =3 273
Então:
det B + det C = det D = k – k + 27k = 27k.
 Resposta: E
12. det (kA) = 192
 ordem da matriz
k3 · det A = 192
k3 · 3 = 192 → k3 = 64 → k = 4 
 Resposta: A
13. det
det
A
A
= →
⋅
=
⋅
=42
3
7
42 3
7
18
 Resposta: C
14. Seja det M = − −− −
− −
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
 ⇒ 
⇒ det M =
− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
− − −( ) ⋅ − −( ) ⋅ − −( ) ⋅
− − ⋅ − −
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1⋅⋅ − ⋅1 1 1 1
 ⇒ 
⇒ det M =
− −
− −
−
− −
2 0 2
0 2 2
2 2 0
2 0
0 2
2 2
–8 –8 0 0 0 0
det = –8 –8 → det M = −16
 Resposta: E
15.
sen x x
x
2 2
2
1
1 0
1 0 1
31
16
sec
cos = −
sen2 x · cos2 x – sec2 x · cos2 x – 1 = − 31
16
(sen x · cos x)2 – (sec x · cos x)2 = 1 − 31
16
(sen x cos x)2 – 
1
1
31
16
2
cos
cos
x
x⋅





 = −
sen x
sen x
2
2
2
31
16
2 4
32
16
31
16
2
2




= −
( ) = ⋅ −


sen2(2x) = 
1
4
sen x
x x
ou
x N o conv m
ou
sen x
2
1
2
2
6 12
2
5
6
2
( ) = →
= → =
= ( )







( ) =
π π
π
ã é
−− ( )












1
2
N o conv mã é
 Resposta: A
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Jorge Júnior
DIG.: Cl@udi@: 15/12/17 – REV.: Jarina