Módulo 05 - Matrizes e Determinantes

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Álgebra II
	
	
	MÓDULO 05
 Prof. Carlos
MATRIZES
Definição:
Matrizes são tabelas retangulares cujos elementos estão dispostos em linhas e colunas.
Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A=, onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa, .
Observações:
· Uma matriz é do tipo m por n (indica-se m n), quando possui m linhas e n colunas.
· Um elemento é o elemento aij, quando ocupa a linha i e a coluna j.
Exemplo: Seja a matriz A=, onde :
Genericamente, temos: . Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, temos:
	
	
	Assim, A=.
MATRIZES ESPECIAIS
Matriz coluna
É toda matriz que possui apenas uma coluna, isto é, é do tipo m 1.
Exemplo: .
Matriz linha
É toda matriz que possui apenas uma linha, isto é, é do tipo 1 n.
Exemplo: .
Matriz nula
É toda matriz que possui todos os elementos iguais a zero.
Exemplo: 
Matriz quadrada
É toda matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. Diremos que é uma matriz do tipo 
n n, ou simplesmente de ordem n.
Exemplo:
A = 	B = 
Observações:
· Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm os dois índices iguais.
· Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1.
Exemplo:
A = é uma matriz de ordem 4.
Sua diagonal principal é {52, 3, 32, 6} e sua diagonal secundária é {–3, 1, –8, 17}. 
Matriz triangular
É toda matriz quadrada cujos elementos que se localizam acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A = 	 B = 
triangular inferior	 triangular superior
 aij = 0, se i < j	 aij = 0, se i > j
Matriz diagonal
É toda matriz quadrada cujos elementos que se localizam acima e abaixo da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
	A =
	
	B=
	
aij = 0, se i j
Matriz identidade ou matriz unidade
É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Exemplos:
I2 = I3 = 
Igualdade de matrizes
Duas matrizes são iguais quando são do mesmo tipo e apresentam todos os elementos correspondentes iguais.
Exemplo: 
Se e A = B, então c = 0 e b = 3
Matriz oposta
Chama-se oposta de uma matriz A à matriz –A, na qual cada elemento é o oposto do correspondente em A.
Exemplo: Se então =
Matriz transposta
Chama-se transposta de uma matriz A a matriz At, obtida trocando-se, ordenadamente, na matriz A, as linhas por colunas ou as colunas por linhas.
Exemplo: 
Se então =
Observações:
· Se uma matriz quadrada A é tal que At = A, então A é uma matriz simétrica.
Exemplo: Se 
aij = aji
· Se uma matriz quadrada A é tal que At = –A, então A é uma matriz anti-simétrica.
aij = –aji
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
A soma de duas matrizes A e B, ambas do tipo 
m n, é uma matriz desse mesmo tipo em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
PRODUTO DE NÚMERO POR MATRIZ
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x.
Notação: B = x.A 
Exemplo: 
pRODUTO DE MATRIZES
· A definição dada garante a existência do produto AB somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
· Sendo possível, o produto AB é uma matriz que tem o mesmo número de linhas de A e de colunas de B. 
· O produto de matrizes não é uma operação comutativa, pois em geral AB BA.
· 
Atenção: Não valem as seguintes propriedades:
1) 
Comutativa, pois, em geral, A.B B.A
2) 
Sendo uma matriz nula, A.B = não implica, necessariamente, que A = ou B = .
Exemplos:
1) Sendo A= e B=, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados
Solução: 
A.B = .
= 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11
= 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16
= 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7
= 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12
Assim:
A.B = .
AB = 
DETERMINANTES
A toda matriz quadrada podemos associar um número ou um polinômio. A esse número ou polinômio damos o nome de determinante.
CÁLCULO DE DETERMINANTES
· Matriz de ordem um: o determinante de uma matriz quadrada 1  1 é igual ao seu próprio elemento.
· Matriz de ordem dois: o determinante de uma matriz quadrada 2  2 é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
· Matriz de ordem três – Regra de Sarrus: o determinante de uma matriz quadrada 3  3 pode ser obtido pela regra seguinte:
1º)	repetem-se as duas primeiras colunas ao lado da terceira (ou as duas primeiras linhas abaixo da terceira);
2º)	obtêm-se os produtos dos elementos da diagonal principal e das duas diagonais paralelas a ela, que possuem três elementos, conservando-se os sinais obtidos;
3º)	repete-se o processo para a diagonal secundária e suas paralelas, invertendo-se os sinais obtidos;
4º)	a soma desses seis valores obtidos é o determinante da matriz.
INVERSA DE UMA MATRIZ
Dada a matriz A quadrada chamamos de inversa de A à matriz A –1, tal que A . A –1= A –1 . A = In.
MACETE PARA ACHAR A INVERSA (2 X 2)
1º) Inverter os elementos da diagonal principal
2º) Trocar os sinais dos elementos da diagonal secundária
3º) Dividir todos os elementos pelo determinante da original
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Algumas propriedades podem facilitar bastante o cálculo de determinantes. As principais são:
1ª propriedade 
Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
2ª propriedade 
Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.
3ª propriedade 
Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.
4ª propriedade 
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 * det P 
5ª propriedade 
Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn. 
det (k*A) = kn * det A 
6ª propriedade 
O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
det R = ps -- qr 
det = ps – rq 
7ª propriedade 
Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior. 
8ª propriedade 
O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. 
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
9ª propriedade 
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet. 
10ª propriedade 
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi. 
SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES
Sistemas lineares são aqueles em que todas as equações são do 1o. grau
SISTEMA DO 1º GRAU COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS
· Método da substituição
Exemplo: 
1ª PARTE
a) Isolamos o valor de uma das incógnitas de qualquer das equações. Na equação (1ª): y = 5 – x (3ª)
b) Substituímos (daí o nome do método) tal valor na outra equação. Com (3ª) na equação (2ª):
x – (5 – x) = 1 → resolvendo:
x – 5 + x = 1 → 2x = 1 + 5 → 2x = 6 → x = 3
2ª PARTE
Levamos este valor a uma das equações do sistema e encontramos a outra incógnita.
	Na equação (1ª)
3 + y = 5 → y = 5 – 3 → y = 2
	Ou na equação (2ª)
3 – y = 1 → -y = 1 – 3 → y = 2
· Método da adição
Exemplo:1ª PARTE
Cortamos as incógnitas y, pois são simétricas. Temos então: 2x = 6 → x = 3
2ª PARTE
Levamos este valor a uma das equações do sistema e encontramos a outra incógnita.
	Na equação (1ª)
3 + y = 5 → y = 5 – 3 → y = 2
	Ou na equação (2ª)
3 – y = 1 → -y = 1 – 3 → y=2
A relação existente entre um sistema linear e uma matriz consiste na resolução de sistemas pelo método de Cramer. 
RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR
Vamos aplicar a regra de Cramer na resolução do seguinte sistema:
 . 
Aplicamos a regra de Cramer utilizando a matriz incompleta do sistema linear. Nessa regra utilizamos Sarrus no cálculo do determinante das matrizes estabelecidas. Observe o determinante da matriz dos sistemas:
Regra de Sarrus: soma dos produtos da diagonal principal subtraída da soma dos produtos da diagonal secundária. 
Substituir a 1ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.
Substituir a 2ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.
Substituir a 3ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.
 
De acordo com regra de Cramer, temos:
Portanto, o conjunto solução do sistema de equações é: x = 1, y = 2 e z = 3. 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
· Matriz incompleta ou principal (MI): é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas, quando o sistema está ordenado.
· Matriz completa(MC): é a matriz anterior acrescida da coluna de termos independentes mo lugar da coluna da incógnita que deseja encontrar.
Conclusão
· Sistema possível e determinado: Sistema que possui apenas uma solução → det (MI) ≠ 0
· Sistema possível e indeterminado: Sistema que possui infinitas soluções → det (MI) = 0 e det(MC) = 0
· Sistema impossível: Sistema que não possui solução → det (MI) = 0 e det(MC) ) ≠ 0
Propriedade:
Sistemas equivalentes possuem conjuntos soluções iguais.
QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES
01) (EEAR 1/2019) Dadas as matrizes e , o produto A.B é a matriz
a) 
b) 
c) 
d) 
02) (EEAR 2/2018) Considere a matriz . Os termos x-1, 2x, 4x-1,são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética. Dessa forma, det(A) é igual a
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
03) (EEAR 1/2018) Se e , então x² y² é igual a
a) 24
b) 12
c) 6
d) 3
04) (EEAR 2/2017) Considere as matrizes reais e . Se , então y + z é igual a
a) 3
b) 2
c) 1
d) -1
05) (EEAR 2/2016)Se e são matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são respectivamente
a) 1, -1, 1, 1
b) 1, 1, -1, -1
c) 1, -1, 1, -1
d) -1, -1, -2, -2
06) (EEAR 2/2016) Para que o determinante da matriz seja 3, o valor de b deve ser igual a
a) 2
b) 0
c) -1
d) -2
07) (EEAR 2015) O valor do determinante é:
a) -2
b) 0
c) 1
d) 2
08) (EEAR 2014) Seja a matriz . A matriz tem como soma dos seus elementos o valor:
a) 7
b) 5
c) 4
d) 1
09) (EEAR 2013) O valor de x que é solução do sistema é um número:
a) par primo
b) ímpar primo
c) par não primo
d) ímpar não primo
10) (EEAR 2013) Sejam as matrizes e . A soma dos elementos de A.B
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
11) (EEAR BCT 2013) O número real x, tal que ,é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
12) (EEAR 2012) Na matriz faltam 2 elementos. Se nessa matriz aij = 2i – j, a soma dos elementos que faltam é
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
13) (EEAR 1/2011) Sejam as matrizes e . O valor de (det A) : (det B) é
a) 4.
b) 3.
c) –1.
d) –2.
14) (EEAR 2/2011) Seja e a matriz transposta de P. A matriz é:
a) 
b) 
c) 
d) 
15) (EEAR 1/2010) Para que o sistema seja possível e determinado, deve-se ter
a) k 9/8.
b) k 2/5.
c) k = 7/6.
d) k = 1/3.
16) (EEAR 2/2010) Seja a matriz tal que . A soma dos elementos de A é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
17) (EEAR 1/2009) Se , então o valor de x + y é:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
18) (EEAR 2/2009) Seja a matriz inversa de .Sabendo que , o valor de x é
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0. 
 19) (EEAR 2/2009) Seja a matriz . Se 
det M = ax² + bx + c, então o valor de a é
a) 12.
b) 10.
c) –5.
d) –7.
20) (EEAR 1/2008) Se e são sistemas equivalentes, então o valor de a + b é
a) 11.
b) 9.
c) –5.
d) –7.
21) (EEAR 1/2008) Sejam as matrizes e . Se A . B é uma matriz nula 2 x 1, então a + b é
a) –1.
b) 0.
c) 1.
d) 2
22) (EEAR 2/2008) A soma dos elementos da diagonal principal da matriz , tal que , é um número
a) múltiplo de 3.
b) múltiplo de 5.
c) divisor de 16.
d) divisor de 121.
23) (EEAR 1/2007)A tabela mostra os pedidos de 4 clientes em uma lanchonete.
Se os clientes 1, 2 e 3 pagaram, respectivamente, R$ 11,10, R$ 10,00 e R$ 11,90 por seus pedidos, então o cliente 4 pagou R$
a) 5,00.
b) 5,10.
c) 5,40.
d) 5,50.
24) (EEAR 2/2007) Sejam as matrizes e . Se e são as matrizes transpostas de A e de B, respectivamente, então + é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
25) (EEAR 2/2007) Se as matrizes e têm determinantes respectivamente iguais a x e y, e ad≠ bc, então o valor de é:
a) 2.
b) 3.
c) – 6.
d) – 4.
26) (EEAR 2/2007) Seja sistema de equações do 1º grau nas incógnitas x e y . Ele será impossível se o valor de m for
a) 
b) 
c) 
d) 2
27) (EEAR 1/2006) O sistema é possível e indeterminado para
a) m = 2.
b) m ≠2.
c) m = -2.
d) m ≠-2.
28) (EEAR 1/2006) Se é a matriz inversa de , então
x – y é
a) 2.
b) 1.
c) –1.
d) 0.
29) (EEAR 2/2006) Sendo e , a soma dos
elementos da 1.ª linha de “A . B” é
a) 22.
b) 30.
c) 46.
d) 58.
30) (EEAR 2/2006) Sendo e , a soma dos elementos da 2.ª linha de é igual a:
a) –4.
b) –2.
c) 2.
d) 4.
31) (EEAR 1/2005) Seja A uma matriz de ordem 2, cujo determinante é – 6. Se det (2A) = x – 87, então o valor de x é múltiplo de
a) 13. 
b) 11. 
c) 7. 
d) 5.
32) (EEAR 1/2005) Sabendo-se que e , a matriz N é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
33) (EEAR 1/2005) Se a solução do sistema é {(a, b, c)}, então o valor de "a . b . c" é
a) – 12.
b) – 18. 
c) – 24. 
d) – 30.
34) (EEAR 2/2005) Se é a matriz quadrada de ordem 2 em que , então o determinante da matriz A é
a) – 10 . 
b) 10. 
c) – 6 
d) 6.
35) (EEAR 2004) Considere as matrizes , e . Então AB + C é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
36) (EEAR 2004) Seja uma matriz M do tipo 2 X 2. Se det M = 2, então det (10M) é
a) 20. 
b) 80. 
c) 100. 
d) 200.
GABARITO
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	C
	C
	D
	A
	C
	B
	B
	D
	B
	B
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	B
	D
	D
	B
	A
	C
	A
	C
	C
	B
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	A
	A
	D
	A
	C
	A
	C
	C
	A
	D
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	C
	C
	D
	D
	B
	D
	
	- 6 -
	
	
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