Aula 9 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
PROFESSOR(A): JORGE JÚNIOR
ASSUNTO: SISTEMAS LINEARES
FRENTE: MATEMÁTICA I
OSG.: 122195/17
AULA 09
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Defi nição
Sejam A = [a
ij
] uma matriz e b
1
, b
2
, ... , b
n
 números. 
As equações do tipo:
Sistema (S) 
 
 
 
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
+ + + =
+ + + =
...
...
..............................................
.................. ............................
... a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2+ + + =







são conhecidas como um sistema de equações lineares de 
m equações e n incógnitas.
Observações:
1) Uma solução de (S) é uma n-upla de números (x
1
, x
2
, ... x
n
) 
que satisfaça simultaneamente as m equações.
2) Se b
i
 = 0, ∀i = 1, 2, ... m, dizemos que o sistema é 
homogêneo.
Classifi cação
Sistema (S) 
Determinado – possui uma única solução (SPD)
Indeterminado – possui infi nitas soluções (SPI)
Possível
Impossível – não possui solução (SI)
�
�
�
�
�
�
Teorema de Cramer
Se D ≠ 0, então, o sistema é possível e determinado (SPD), no 
qual D é o determinante do sistema com n equações e n incógnitas.
Nesse caso, temos o sistema:
AX = B ⇒ X = A–1B ⇒ X
A
A B= ⋅ ⋅1
det
.
Resolvendo essa equação, obtemos, no caso n = 3,
X
D
D
D
D
ou seja x
D
D
y
D
D
z
D
D
x
y
z
x y z=








= = =
1
, , , , .
Discussão
• D ≠ 0 → SPD
• D = 0 → SPI ou SI
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando possuem 
o mesmo conjunto solução.
Sistemas lineares homogêneos
Defi nição
Um sistema linear é chamado de homogêneo (SLH) quando 
todos os termos independentes são nulos.
SLH
a x a x a x
a x a x a x
a x
n n
n n
m
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1
0
0
+ + + =
+ + + =
...
...
� � � � �
11 2 2 0+ + + =





a x a xm mn n...
Solução trivial de um SLH
A n-upla (0, 0, ... , 0) é sempre solução, chamada trivial.
Ela sempre existe, pois em todas as equações temos a igualdade 
a zero.
Assim, um SLH nunca será impossível.
Discussão de um SLH
SLH
SPD D solução trivial
SPI D
⇒ ≠ ⇒
⇒ = ⇒
0
0 infinitas soluções além da trivial{
Observação:
Solução própria é uma solução não nula de um SLH.
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MÓDULO DE ESTUDO
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Exercícios
01. Se a terna (a, b, c) é solução do sistema
 
2 4 4
2 3 1
3 1 3
10
9
8
−
−
−








⋅








=
−







x
y
z
, então o va lo r numér i co de
a + b + c corresponde a:
A) –2 B) –1
C) 0 D) 1
E) 2
02. (EsPCEx) Para que o sistema linear 
x y az
x y z
x y z b
+ + =
+ + =
+ − =




1
2 2
2 5 3
, em que
a e b são reais, seja possível e indeterminado, o valor de a + b
é igual a
A) 10 B) 11
C) 12 D) 13
E) 14
03. (Uece – Adaptada) Se o sistema linear, em x, y e z:
px y z
x qy z
x y rz
+ + =
+ + =
+ + =
1
2
3
tem solução única, a relação entre p, q e r é:
A) p ⋅ q ⋅ r ≠ p + q + r – 2 B) p ⋅ q ⋅ r ≠ p – q – r + 2
C) p ⋅ q ⋅ r = 1 D) p ⋅ q + q ⋅ r + p ⋅ r = 0
E) p · q · r = 0
04. (UFSJ) Observe o sistema linear de variáveis x, y e z:
x y z
x ky z
x y kz
+ − =
+ − =
+ + =




2 4
2 4 8
3 3 3
 Com base no sistema, é correto afi rmar que se:
A) k = 6, o sistema é impossível.
B) k = – 2, o sistema admite infi nitas soluções.
C) k = – 6, o sistema é homogêneo e admite solução (0, 0, 0).
D) k = 3, o sistema admite solução única.
E) k = 2, o sistema é impossível.
05. Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:
 
x y z
x sen y z
x y z
+ + =
− + + = ∈[ ]
+ − + =




2 0
4 0 0 2
2 1 2 16 0
( ) , ,
( cos )
.θ θ π
θ
 O valor de θ tal que o sistema admita infi nitas soluções pertence 
ao intervalo
A) 0
2
5
,
π



 B) 
2
5
4
5
π π
,




C) 
4
5
6
5
π π
,




 D) 
6
5
8
5
π π
,




E) 
8
5
2
π π,



06. Considere as matrizes M e P= −



= 



1 1
1 1
2
4
. Se a matriz X
x
x
= 



1
2
 
é solução da equação matricial M ⋅ X = P, então, o valor de
 x
1
2 + x
2
2 é:
A) 4 B) 6
C) 8 D) 10
E) 12
07. A solução do sistema 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =




6
4 2 5
3 2 13
 é:
A) (– 2, 7, 1)
B) (4, – 3, 5)
C) (0, 1, 5)
D) (2, 3, 1)
E) (1, 2, 3)
08. (Fuvest) No sistema linear 
ax y
y z
x z m
− =
+ =
+ =




1
1 , nas variáveis x, y e z, 
a e m são constantes reais. É correto afi rmar:
A) No caso em que a =1, o sistema tem solução se, e somente se, 
m = 2.
B) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e 
de m.
C) No caso em que m = 2, o sistema tem solução se, e somente 
se, a = 1.
D) O sistema só tem solução se a = m =1.
E) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 
a e de m.
09. Quanto ao sistema 
k
k
x
y
2
1 1
6
3+




⋅ 



= −



, nas variáveis x e y, 
pode-se afi rmar:
A) É sempre possível.
B) É impossível para k = 1 ou k = –2.
C) É possível e determinado para k = 1 ou k = –2.
D) É possível e indeterminado para k = –2.
E) É possível e determinado para qualquer k real.
10. (Uece – Adaptada) Em relação ao sistema 
x y z
x my z
mx y z
+ + =
− + =
− − =




0
0
0
, 
pode-se afi rmar corretamente que
A) o sistema admite solução não nula apenas quando m = –1.
B) para qualquer valor de m, a solução nula (x = 0, y = 0, z = 0) é a 
única solução do sistema.
C) o sistema admite solução não nula quando m = 2 ou m = –2.
D) o sistema admite solução não nula quando m = 1.
E) não temos dados sufi cientes para concluir que o sistema tem 
solução não nula.
11. (Uece – Adaptada) Considere o sistema de equações 
ax by c
px qy d
+ =
+ ={ , com a, b, c, d, p e q reais, a · b · c · d ≠ 0, 
a + b = m e d = n · c. Sabe-se que o sistema é indeterminado. 
O valor de p + q é:
A) m B) 
m
n
C) m2 – n2 D) mn
E) m2 + n2
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MÓDULO DE ESTUDO
12. Se o sistema linear de equações 
x y z
x y z
x y mz
− + =
− + =
+ + =




3 4
2 3 0
1
 é incompatível, 
então:
A) m = 
9
5
B) m = 
8
5
C) m = 
7
5
D) m = 
6
5
E) m = 1
13. Dado o sistema 
1 1 2
2 1 1
4 3
2
0
4k
x
y
z








⋅








=








, é correto afi rmar que ele:
A) admite infi nitas soluções, se k ≠ 5.
B) admite uma única solução, se k = 5.
C) não admite solução.
D) admite infi nitas soluções, se k = 5.
E) admite única solução, se k = –5.
14. Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z, 
x y z
x y z m
x ky z
+ + =
+ − =
+ + =




2 3 1
2
3 2 4
,
em que k e m são constantes reais, pode-se afi rmar que
A) não admite solução se k = 4.
B) admite infi nitas soluções se k = m = 3.
C) admite infi nitas soluções se k = 3 e m = 5.
D) admite solução única se k = 3 e m é qualquer real.
E) admite solução única se k ≠ 5 e m = 3.
15. O sistema 
p q r
p r
p q
+ + =
+ =
+ =




2 3
2 3 8
6 1
 admite:
A) A solução (1 – α, α, 3 + 2α), com α ∈ R.
B) A solução (α, 3 – α, 2 + α), com α ∈ R.
C) A solução (1 – 6α, α, 2 + 4α), com α ∈ R.
D) A solução (2 – α, 5 + α, α), com α ∈ R.
E) A solução (α, 6 + α, 4 – α), com α ∈ R.
Resoluções
01. O sistema matricial dado equivale ao seguinte sistema:
3x 6y 6z 15
2x 3y 2 9
3x y 3z 8
+ − = − − + =
 − + =
z
Resolvendo por escalonamento, tem-se:
3 6 6 15 3
2 3 9
3 3 8
2 2 5
2 3 9
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
+ − = − ÷( )
− + =
− + =




+ − = −
− + =
33 3 8
2 2 5
0 7 5 19
0 7 9 23
x y z
x y z
x y z
x y z
− + =




+ − = −
− + =
− + =




z = 1
·(–2)
·(–1)
·(–3)
(+)
(+)
(+)
( )
( )
x 2y 2z 5 I
0x 7y 5z 19 II
( )III
0x 0y 4z 4
 + − = −
 − + =
 + + =
 Substituindo (III) em (II), tem-se: –7y + 5 · 1 = 19 → 7y = –14 → 
y IV= − ( )2
 Substituindo (III) e (IV) em (I), tem-se: x + 2 · (–2) – 2 · 1 = –5 → 
x = 1
Logo: (a, b , c) = (1, –2, 1) 
a
b
c
=
= −
=




1
2
1
a + b + c = 1 + (–2) + 1 = 0
 Resposta:C
02.
x y az
x y z b
0x y a z
0x y z
+ + =
+ − =




+ + −( ) =
+ −
x + 2y + z = 2
x + 2y + z = 2
1
2 5 3
1 1
5 == −




+ + =
+ + −( ) =
+ + −( ) = −




b
x y z
0x y a z
0x 0y a z b
4
2 2
1 1
6 5
· (–2)
(–)
(–)
(+)
SPI ⇒ Temos que ter 0 · Z = 0, logo:
a a
e
b b
a b
− = → =
− = → =




→ + =
6 0 6
5 0 5
11
 Resposta: B
4 F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
03. Como o sistema tem uma única solução, ele é possível e 
determinado e, pela Regra de Cramer, devemos ter:
p
≠ 0 ⇒ ≠ 0
1
1
11
1 q
r
1
11
p 11
1 q
r
1
11
p
(–)
(–)
(+)
(+)
(+)
(–)
r
Assim, pqr + 1 + 1 – q – r – p ≠ 0 ⇒ pqr ≠ p + q + r – 2
 Resposta: A
04. 
x y z
x y kz
x ky z
x y z
0x 0y K z
0
+ − =
+ + =
+ − =




⇒
+ − =
+ + +( ) = −
2 4
3 3 3
2 4 8
2 4
6 9
xx K y 0z
x y z
0x K y 0z
0x 0y K z
+ −( ) + =




⇒
+ − =
+ −( ) + =
+ + +( ) = −

2 0
2 4
2 0
6 9



⇒
=
−
+
=
−





z
K
y
0
K
9
6
2
· (–3)
(+)
(+)
· (–2)
Como K = 3 implica em
K ≠ –6 e K ≠ –2 ⇒ SPD
Assim: • se K = –6 ⇒ SI
 • se K = 2 ⇒ SPI
 • se K ≠ –6 e K ≠ 2 ⇒ SPD
 Resposta: D
05. Considerando-se que o sistema apresentado é homogêneo, 
para que o mesmo seja SPI, tem-se que ter valor nulo para o 
determinante da matriz dos coefi cientes.
Assim:
1 1 2
1 4
2 1 2 16
0−
−
=senθ
θcos( )
 → cos(2θ) + 2sen θ + 3 = 0
 Sabe-se que:
I. cos(2θ) = cos2 θ – sen2 θ 
II. sen2 θ + cos2 θ = 1
 cos2 θ = 1 – sen2θ 
III. Substituindo  em  tem-se: cos ( )2 1 2 2θ θ= − sen
Logo: cos(2θ) + 2sen θ + 3 = 0
1 – 2sen2 θ + 2sen θ + 3 = 0
2sen2 θ – 2 sen θ – 4 = 0
sen2 θ – sen θ – 2 = 0
· (–1)
÷(2)
Fazendo-se a = sen θ, tem-se:
a a
a sen
a sen N o conv m
Logo se sen
2 2 0
1 1
2 2
1
− − =
= − → = −
= → = ( )



= −
θ
θ
θ
ã é
, θθ π θ
π
θ
π π∈ [ ] → = → ∈ 



0 2 3
2
6
5
8
5
, ,
 Resposta: D
06. Do enunciado, temos:
1 1
1 1
2
4
1
2
−



⋅ 



= 



x
x
ou seja: 
x x
x x
1 2
1 2
2
4
− =
+ ={
 Resolvendo o sistema acima, obtemos x
1
 = 3 e x
2
 = 1. Daí, x2
1
 + 
x2
2
 = 9 + 1 = 10
 Resposta: D
07. Aplicando Cramer, temos:
I.
 
∆ , ∆ = 8
–8
–2
3
1
1
4
1 1
2
3
1
2
1
1
2
12
4
–1
1
II.
 
∆x , ∆ = 8
–10
–26
18
6
13
5
6 1
2
3
1
2
–1
1
2
15
24
–13
13
III.
 
∆y , ∆y = 16
–48
–5
18
1
1
4
1 6
5
13
1
2
–1
1
2
52
10
–6
1
IV.
 
∆z , ∆z = 24
–52
–12
–13
1
1
4
1 1
2
3
6
13
5
6
13
72
26
5
1
V x
x
y
y
z
z
⋅ = = = = = = = = =
∆
∆
∆
∆
∆
∆
8
8
1
16
8
2
24
8
3; ;
 Resposta: E
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
08.
x 0y z m
0x y z
ax y 0z
x 0y z m
0x y z
0x y az a
+ + =
+ + =
− + =




⇒
+ + =
+ + =
− − = −
1
1
1
1 mm
x 0y z m
0x y z
0x 0y a z am




⇒
+ + =
+ + =
+ + −( ) = −




1
1 2
· (–a)
(+) (+)
⇒
Assim, temos que:
• Se 1 – a ≠ 0 → a ≠ 1 ⇒ SPD
• Se 
1 0 1
2 0 2 2
− = → =
− = → = → =








⇒
a a
e
am am m
SPI
• Se 
1 0 1
2 0 2 2
− = → =
− ≠ → ≠ → ≠








⇒
a a
e
am am m
SI
 Resposta: A
09.
k
k
x
y
D
k
k
k k
2
1 1
6
3
2
1 1
22
+




⋅ 



= −



= + = + −
Fazendo D = 0 ⇒ k2 + k – 2 = 0 ⇒ 
k
ou
k
= −
=




2
1
Para k = 1, temos:
1 2
1 2
6
3
2 6
2 3




⋅ 



= −



⇒ + = −+ ={ ⇒xy x yx y Sistema impossíível
Para k = –2, temos: 
−
−




⋅ 



= −



⇒ − + = −− ={  → ⇒÷ −( )2 21 1 63 2 2 63 2xy x yx y x −− =− ={ yx y 33
Sistema possível indeterminado.
Portanto, concluímos que o item correto é D.
 Resposta: D
10. Para que o sistema admita solução não nula, temos que ter o 
determinante da matriz dos coefi cientes igual a zero. Assim:
1 1 1
1 1
1 1
0 1 1 1 0
2 1 0
1 0
1 0
2
2
2
−
− −
= ⇒ + − + + + =
⇒ + + =
⇒ +( ) =
⇒ + = ⇒ = −
m
m
m m m
m m
m
m m 11
 Resposta: A
11. Para que o sistema acima seja indeterminado os determinantes 
D
x
 e D
y
 deverão ser iguais a zero 
a c
p d
c b
d q
= = 0
 Logo,
ad – pc = cq – bd
d(a + b) = c · (p + q)
d · (a + b)
n.c.m = c · (p + q)
p + q = m · n
 Resposta: D
12. Escalonando, temos:
x y z
x y z
x y mz
− + =
− + =
+ + =




→
3 4
2 3 0
1
x(–1)x(–2)
+
+
x y z
x y z
x y m
→
− + =
+ + = −
+ + −
3 4
0 5 8
0 4 1(( ) ⋅ = −



 z 3 +
4
x
5
 
  
 
⇒
− + =
+ + = −
+ + − −



= − ⇒ −



=
x y z
x y z
x y m z m z
3 4
0 5 8
0 0 1
4
5
32
5
3
9
5
177
5







 Logo, para que o sistema seja incompatível (impossível), devemos 
ter m − =
9
5
0, ou seja, m =
9
5
.
 Resposta: A
13. Passando o sistema da forma matricial para a forma com equações 
e já escalonando:
x y z
x y z
x y k z
+ + =
+ + =
+ + =




⇒
⇒
2 2
2 0
4 3 4
x(–2) x(–4)
+
+
x y z
x y z
x y z
⇒
+ + =
− − = −
− + +
2 2
0 3 4
0 8 kkz = −



 4
x y z
x y z
x y z kz
x y z
⇒
+ + =
− − = −
− − + =




⇒
+ + =2 2
0 3 4
0 0 5 0
2 2
0xx y z
x y k z
− − = −
− + − =




3 4
0 0 5 0( )
x(–1)
+
 Conclusão:
• Se k – 5 = 0 ⇒ k = 5 é SPI
• Se k – 5 ≠ 0 ⇒ k ≠ 5 é SPD
 Resposta: D
14. Escalonado-se o sistema, temos:
x y z
x y z m
x ky z
x y z
x y z m
x k
+ + =
+ − =
+ + =




+ + =
− − = −
+ −
2 3 1
2
3 2 4
2 3 1
0 3 7 2
0 66 7 1
2 3 1
0 3 7 2
0 3 0 3
( ) − =




+ + =
− − = −
+ −( ) + = − +




y z
x y z
x y z m
x k y z m
⇔
+ + =
− − = −
+ + −( ) = −




x z y
x z y m
x z k y m
3 2 1
0 7 3 2
0 0 3 3
·(–2)
·(–1)
·(–3)
+
+
+
6 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
OSG.: 122195/17
MÓDULO DE ESTUDO
Logo:
• Se K –3 ≠ 0 → K ≠ 3 Temos um SPD
• Se
K k
e
m m
Temos um SI
− = → =
− ≠ → ≠




3 0 3
3 0 3
• Se
K k
e
m m
Temos um SPI
− = → =
− = → =




3 0 3
3 0 3
 Resposta: B
15.
p q r
p 0q r
p q 0r
p q r
0p q r
0p q r
+ + =
+ + =
+ + =




+ + =
− + =
+ − = −
2 3
2 3 8
6 1
2 3
4 2
4 22




⇒⇒
2 3
4 2
0
2 3
4 2
⇒ ⇒
+ + =
− + =
+ + =




⇒ + + =− + ={
p q r
0p q r
0p 0q 0r
p q r
q r
(–2) (–1)
(+) (+)
(+)
⇒ Fazendo q = α vem que:
− + = ⇒ = +
↓
+ + = ⇒ + + + =





⇒ = −
4 2 2 4
2 3 2 2 4 3
1 6
α α
α α α
α
r r
e
p r p
p
Logo: S = {(1 – 6α, α, 2 + 4α)}
 Resposta: C
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Jorge Júnior
DIG.: Cl@udi@: 12/12/17 – REV.: LSS