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| Matemática II
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Aula 5 - Matemática II
Turma: EEAR
Professor: Robson Miranda
Assunto: Sistemas Lineares
Sistemas Lineares
· Equações Lineares: Chamamos de equação linear toda equação do tipo:
onde são os coeficientes, são as incógnitas e é o termo independente.
Ex1.: Ex.:
Ex2.: Descubra o valor de para que a quádrupla seja solução da equação linear .
Obs.: A equação , por exemplo, não é uma equação linear pois possui um termo de grau dois ().
· Equações Homogêneas ()
Ex.: 
· Equações Não Homogêneas ()
Ex.: 
· Sistemas de Equações Lineares
 
Chamamos de sistema de equações lineares todo conjunto de equações lineares, que possuem as mesmas incógnitas, ou seja:
onde , com e , são os coeficientes, são as incógnitas e são os termos independentes. Um sistema é dito homogêneo quando é composto apenas de equações homogêneas e não homogêneo quando possui pelo menos uma equação não homogênea. 
Ex.: Ex.:
· Solução de um Sistema Linear 
Dado um sistema linear de equações e incógnitas o conjunto ordenado é chamado de solução do sistema se quando substituímos o conjunto pelas incógnitas o sistema satisfaz as igualdades.
Ex.: O sistema tem como solução o par ordenado .
Obs.: Todo sistema linear homogêneo possui como solução a n-upla , chamada solução trivial, assim temos que um sistema homogêneo sempre terá solução.
Sistema de Equação 2 x 2
De forma geral, temos que é um sistema do 1°grau com duas incógnitas () e duas equações, onde: são os coeficientes das equações ; e são os termos independes. Nesse tipo de sistema é possível classificar o mesmo através da relação de seus coeficientes como mostra o quadro abaixo, determinando assim o número de soluções.
	
Sistema
Possível e
Determinado
(Uma Solução)
	
	
	
Sistema
Possível e
Indeterminado
(Infinitas Soluções)
	
	
	
Sistema 
Impossível
(Não Possui Solução)
	
	
· Resolução de Sistemas Lineares 2x2
1) Método da Comparação
2) Método da Substituição
3) Método da Adição
· Sistemas Equivalentes
Chamamos dois ou mais sistemas de equivalentes se possuem o mesmo conjunto solução.
Os sistemas e são equivalentes; então vale:
· Matrizes Associadas a Sistemas Lineares
Podemos associar a qualquer sistema linear uma matriz formada pelos coeficientes das incógnitas, chamada de matriz incompleta e outra, gerada pelo acréscimo na matiz incompleta da coluna de termos independentes, chamada de matriz completa. 
· Resolução e Discussão
Resolução por escalonamento:
Permutando entre si duas ou mais equações de um sistema linear A, obtém- se um novo sistema A’ equivalente a A.
Ex: 
Multiplicando (ou Dividindo) uma equação do sistema linear A por uma constante k, k, obtém-se um novo sistema A’ equivalente a A.
Ex: 
Substituindo uma equação de um sistema linear A pela soma dela com outra equação desse sistema, obtém-se um novo sistema A’ equivalente a A.
Ex: 
(Substituímos a segunda equação do sistema A pela soma dela com a primeira, obtendo o sistema A’)
 Se é a solução do sistema , calcule .
Regra de Crammer:
A. Para calcular o determinante principal, é necessário formar uma matriz com os coeficientes das variáveis do sistema apresentado; (D)
B. Para calcular os determinantes secundários, faça a substituição das colunas das variáveis pela coluna do termo independente; (
C. Obtemos as soluções para o sistema pela fórmula.
· Discussão de um Sistema 3x3
Depois de escalonado o sistema pode ser classificado segundo sua solução.
· Sistema Possível e Determinado (SPD): se o número de incógnitas for igual ao número de equações;
· Sistema Possível e Indeterminado (SPI): se o número de incógnitas for maior do que o de equações;
· Sistema Impossível (SI): se o sistema possuir uma equação com coeficientes iguais a zero e termo independente diferente de zero. 
(a) Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado (SPD)
(b) Se D = 0 e Dx = 0, Dy = 0, o sistema é possível e indeterminado (SPI)
(c) Se D = 0 e ao menos um dentre os determinantes Dx , Dy for diferente de zero, o sistema será impossível (SI)
OBS: Um método de verificar se um Sistema é Possível e Determinado (SPD) é verificando o determinante dos coeficientes das incógnitas, caso , o sistema será SPD.
Exercícios
· Classifique os sistemas em determinado, indeterminado ou impossível:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
· Resolva os sistemas abaixo, pelo método que achar mais conveniente:
6) 
 
7) 
8)
9) 
 
10) 
· Escalone e classifique os sistemas abaixo:
11) Encontre a solução do sistema a seguir:
 
12) Se a, b, e c são as soluções do sistema, então a.b.c vale:
 
13) (EEAR-2005) O sistema é possível e indeterminado para:
a) 
b) 
c) 
d) 
14) (EEAR-2006) Seja um sistema de equações do 1° grau mas incógnitas x e y. Ele será impossível se o valor de m for;
a) 
 b) 
c) 
d)
15) (EEAR-2012) O valor de x que é solução do sistema é um número:
a) par primo 
b) ímpar primo
c) par não primo 
d) ímpar não primo
16) (EEAR-2007) Se e são sistemas equivalentes, então o valor de é:
a) 
b) 
c) 
d)
17) (EsSA-2010) O valor de real , para que o sistema 
Seja possível e determinado é:
a) 
b) 
c)
d) 
e) 
18) (EEAR-2008) Para que o sistema seja possível e determinado, deve-se ter:
 
b) 
c) 
d) 
19) (EEAR/2002) O sistema linear é indeterminado para:
a) nenhum real. 
b) todo real. 
c) . 
d) 
20) (EEAR-2003) Sendo , para que o sistema seja indeterminado, é necessário que e sejam respectivamente iguais a:
 e 
b) e 
c) e 
d) e 
21) (EEAR-2005) Se então x + y + z é igual a: 
a) 2 
b) 10 
c) 5 
d) -1
22) (EsSA-2012) Em um programa de TV, o participante começa com R$ 500,00. Para cada pergunta respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, quantas questões ele acertou?
a) 14 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12
23) (ESSA-2018) Dadas as matrizes e . Considerando que a equação matricial tem solução única, podemos afirmar que:
24) (EEAR-2013) O valor de x que é solução do sistema é um número:
a) par primo 
b) ímpar primo 
c) par não primo 
d) ímpar não primo
25) (EEAR-2010) Para que o sistema seja possível e determinado, deve-se ter:
a) 
b) 
c) 
d)
26) (ESSA-2010) Uma pessoa deseja totalizar a quantia de R$ 600,00 utilizando cédulas de um, dez e vinte reais, num total de 49 cédulas, de modo que a diferença entre as quantidades de cédulas de dez e de um real seja igual a nove unidades. Nesse caso, a quantidade de cédulas de vinte reais de que a pessoa precisará será igual a: 
a) 10 
b) 19 
c) 20 
d) 21 
e) 29
27) (ESSA-2011) Três amigos, Abel, Bruno e Carlos, juntos possuem um total de 555 figurinhas. Sabe-se que Abel possui o triplo de Bruno menos 25 figurinhas, e que Bruno possui o dobro de Carlos mais 10 figurinhas. Desses amigos, o que possui mais tem:
a) 250 figurinhas. 
b) 365 figurinhas. 
c) 275 figurinhas. 
d) 325 figurinhas. 
e) 300 figurinhas.
28) (ESSA-2012) Em um programa de TV, o participante começa com R$ 500,00. Para cada pergunta respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, quantas questões ele acertou? 
a) 14 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12
29) (EEAR-2020) Para que o sistema seja possível e determinado,deve-se ter ________ . 
a) −2
b) −1
c) 1 
d) 2
30) (EEAR-2020) – Sejam as matrizes e .Se X é uma matriz tal que , então a soma dos elementos da matriz X é:
a) −4 
b) −2 
c) 2 
d) 4
Gabarito: 1-Impossível/2-Determinado/3-Indeterminado/4-Impossível/5-Determinado/6-/7-/8-/9-/10-/11-/12-60/13-c/14-a/15-b/16-b/17-d/18-a/19-d/20-a/21-a/22-d/23-/24-b/25-a/26-c/27-b/28-d/29-b/30-a
	Você Pode Tudo!
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+
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2
3
5
2
4
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y
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2
15
2
16
2
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x
z
y
x
z
y
x
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-
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-
-
=
+
1
8
3
7
4
z
y
y
x
z
x