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Molas
©Jaime Tupiassú Pinho de Castro
Departamento de Engenharia Mecânica PUC-Rio
26/10/2012
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Molas
molas são usadas para armazenar energia elástica (em relógios, e.g.), aplicar forças determinadas (válvulas de segurança), facilitar montagem (encaixes elásticos), ou controlar rigidez (como na suspensão de veículos)
molas são elementos elásticos, que podem defletir muito sob carga mas sem deformar plasticamente, e não são amortecedores, pois não são feitas para dissipar energia
molas são feitas de muitos materiais, em geral com alta SE (como ligas metálicas de alta resistência) ou grande eel (como elastômeros) e nas mais diversas formas (vigas, hélices, feixes, anéis, barras de torção, arruelas, etc.)
não se deve confundir a rigidez de uma estrutura (ou sua resistência a defletir sob carga, medida em N/m) com a rigidez do material, dada pelo módulo de elasticidade
um colchão de molas pode ser macio até demais, apesar das suas molas serem feitas de aço, um material rígido
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vários tipos de molas metálicas
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especificações típicas de ligas usuais para molas 
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		material
		especificação
		usos
		(s (oC)
		d (mm)
		custo
		aço C lam. frio
		1066 (.6-.7C), A227
		geral, baixa qualidade
		0-120
		0.8-12
		1.0
		aço C T&R
		1065 (.6-.7C), A229
		geral (exceto choque)
		0-180
		2.5-16
		1.3
		corda de piano
		1085 (.8-.95C), A228
		excelente, d pequenos
		0-120
		0.08-6
		2.6
		aço Cr
		5160 (.7-1.15Cr) 
		geral, d maiores
		
		2.5-13
		
		aço CrV
		6150 (.7-1.1Cr, .1-.15V) A231-232, A878
		geral, d maiores
		< 220
		2.5-13
		
		aço Si
		9254 (1.2-2Si, .5-.8Cr), A877 
		geral, alta resistência (com adição de V)
		< 250
		2.5-13
		4.0
		inox austenítico
		302, A313
		corrosão
		
		1.2-13
		7.6
		inox PH
		17-7PH, 631 (16-18Cr, 7-9Ni, 1Al) A313
		corrosão
		
		1.2-13
		11
		bronze P
		B159
		corrosão, eletricidade
		
		
		8.0
		bronze Be
		B197
		corrosão, eletricidade
		
		
		27
		Inconel X-750
		
		corrosão, alta temp.
		
		
		44
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Tensões em Molas Helicoidais
a tensão cisalhante t numa mola helicoidal de diâmetro da hélice D, arame de seção circular com diâmetro d e índice C = D/d gerada pela força de compressão F e pelo torçor T = FD/2, poderia ser (desprezando a curvatura
	do arame) estimada por
mas ao quantificar os efeitos da curvatura do arame, Wahl obteve uma tensão maior:
a fórmula de Bergsträsser é mais				 simples, e gera t quase iguais:
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o fator de Wahl é praticamente igual ao de Bergsträsser menos 0.002
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usa-se o método SN para projetar as molas helicoidais porque elas não devem trincar nem escoar em serviço, logo se Fa e Fm são as componentes alternada e média da força que atua numa					 mola, pode-se calcular 					 (e.g.) usando Mises
para calcular s por Tresca basta trocar a 3 por 2
se SR e SE são as resistências à ruptura e ao escoamento do material e SL o seu limite de fadiga (corrigido pelos vários fatores como acabamento superficial, etc.), se ele segue a regra sasm elíptica, 				 e se F e E são os fatores 	 			 	 de segurança à fadiga e ao 		 escoamento, então a mola 				 pode ser projetada usando
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pode-se estimar conservativamente o limite à fadiga dos aços (todos temperados, e com dureza HRC > 45) usados nas boas molas por SL = kakb700MPa onde, supondo o acabamento superficial trefilado a frio após o revenido, ka  0.6 e kb = 1 se d < 8mm  SL  420MPa ou kb = 0.9 se 8 < d < 50mm  SL  380MPa, sendo d o diâmetro do arame da mola (isento de tensões residuais)
este valor tende a ser conservativo (exceto nas molas com superfície corroída, onde ka  0.2) porque as boas molas são feitas de aços de boa qualidade, com uma mestrutura limpa e SL  0.5SR > 700MPa
como as molas helicoidais trabalham a torção e sa = 3ta por Mises, pode-se definir o limite de fadiga sob torção por SLt = SL /3 = 0.58SL  SLt  240MPa se d < 8mm, ou SLt  220MPa se 8 < d < 50mm, para poder comparar diretamente as tensões cisalhantes alternadas ta com SLt
,
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de fato, Zimmerli testou molas sem tensões residuais de vários aços (incluindo aços C, cordas de piano e de baixa liga) e achou SLt  240MPa para todos eles 
suas molas foram testadas entre 20 < t < 90kpsi no meio e na temperatura ambiente, e tinham 0.5 < d < 9.5mm
já as molas com tensões residuais compressivas geradas por jateamento de granalhas (shot peening) resistiram a 20 < t < 135kpsi, que corresponde a SLt  400MPa 
na realidade, o símbolo SLt só deveria ser aplicado às cargas totalmente alternadas (i.e., com tm = 0), pois ao usá-lo como acima assume-se implicitamente que o aço da mola seja insensível à carga média de torção 
entretanto esta suposição é conservativa, pelo menos até a tensão média tm dos testes acima (e.g., as molas sem sres resistiram à combinação {ta = 240, tm = 380MPa}, e por Goodman teriam SLt = ta /(1 - tm/SRt) > 240MPa)
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Deflexões em Molas Helicoidais
a energia de deformação U armazenada na mola pelos 
	torçor e cortante é
	onde L = pDNa, sendo Na o no de espiras ativas da mola
usando Castigliano, acha-se a deflexão y causada por F 
logo, a constante da mola k = F/y (em N/m) é dada por
4 < C < 16 é a faixa máxima do índice C, mas em geral se usa 6 < C < 12  0.986 < 2C2/(2C2 + 1) < 0.997, e Na depende da forma da cabeça da mola (de compressão)
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a forma das cabeças influi no número de espiras ativas da mola, Na
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pode-se estimar Na, o no de espiras 			ativas das molas helicoidais por
Ls é o comprimento sólido da mola fechada
pode-se usar a  1 para as molas helicoidais de passo constante com todas as espiras ativas, a  1 a 1.25 para as molas com as cabeças fechadas e aplainadas, e a  3 para as molas com as cabeças só fechadas (com o ângulo da hélice na última volta igual a zero), mas só se pode obter o valor exato de Na medindo a constante k da mola
como deve-se evitar molas muito curtas ou longas demais, deve-se especificar 3 < Na < 15
em geral, as molas helicoidais só 			 são estáveis sob compressão se
assim, as molas de aço não flambam na compressão se o seu comprimento livre L0 < 2.63D/a, onde a depende das condições de contorno da mola (a = 2 se em balanço, 1 se pinado duplo, 2/2 se fixo-pinado, ou 0.5 se fixo-fixo)
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ex.1: para a mola helicoidal abaixo feita de aço, ache o índice C, o passo p, o comprimento sólido Ls, o no de espiras ativas Na, a rigidez (ou constante da mola) k, a força Fs que fecha as espiras e a tensão ts por ela gerada
como o arame faz 12 voltas entre as cabeças da mola, o seu passo é dado por p = (120 - 3.4)/12 = 9.72mm 
as cabeças da mola são // e têm 1/4 de volta fechada mas não retificada (o diâmetro do arame é constante), logo o comprimento sólido é Ls = 3.4 x 12.5 = 42.5mm 
50mm é o diâmetro externo da mola e d = 3.4 é o diâmetro do arame, logo o diâmetro da hélice é D = 50 - 3.4 = 46.6 e o índice da mola é dado por C = D/d = 13.71 
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como só 1/4 de volta em cada extremo é plano, não é óbvio se o no de espiras ativas é dado por Na = Nt - 1 = 11.5 ou por Na = Nt - 0.5 = 12 (ou por outro valor intermediário, e neste caso deve-se testar a mola para obter o valor correto) 
a rigidez da mola é k = d4G/8D3Na = 3.44  8  104/8  46.63  Na (pois G = E/(2 + 2n) = 205000/2.58 = 8104)  k = 1.1N/mm se Na = 12, ou k = 1.15N/mm se Na = 11.5 
a força que a mola toda fechada faz é Fs = k  (120 - Ls) = 89N se Na = 11.5, ou Fs = 85.3N seNa = 12 
e a máxima tensão cisalhante na mola é dada pela fórmula
 se Na = 12 , ou t = 295MPa se
	Na = 11.5 
como L0 < 2.63D/a  a > 2.63.46.6/120 = 1.02 para manter a estabilidade desta mola sob qualquer carga, deve-se pinar ou engastar suas cabeças (ela não deve ser usada em balanço)
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ex. 2: se uma mola helicoidal tem E = 207GPa, SE = 1.7GPa,  = 0.29, cabeças // retificadas, 7.5 espiras ativas, diâmetro interno 70, externo 90 e altura livre 160mm, calcule os seus fatores de segurança à flambagem, ao escoamento e à fadiga
G = E/2(1 + n) = 207/2.58 = 80.2GPa, D = (De + Di)/2 = 80 e d = (De - Di)/2 = 10mm  C = 8, k = dG/8C3Na = 26.1N/mm, Ls = d(Na+ 1) = 85mm e Fmax = k(L0 - Ls) = 1958N
Fl = 2.63D/aL0 = 2.6380/0.5160 = 2.63/2a (logo esta mola não deve ser usada com uma cabeça fixa e a outra livre)
como								 , E = SE/2tmax = 1.82 (por Tresca) ou E = SE/3tmax = 2.02 
	(por Mises)
para					 , só se deve usar a mola jateada que, por Zimmerli, tem Fd = 400/ta = 1.71
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ex.3: projete molas helicoidais para um veículo de 1200kg, supondo uma deflexão sob peso morto de 100mm e o curso máximo de 200mm
assumindo que cada roda suporta 300kg, a constante destas molas deve ser k = 30N/mm (supondo g = 10m/s2), e para projetá-las é boa idéia listar todas as condições que devem ser obedecidas, usando a notação apresentada acima
(prática usual)
(valor proposto por Zimmerli)
(supondo um aço com SR > 1600MPa)
(supondo cabeças presas na suspensão)
(cabeças planas e retificadas)
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supondo que a mola possa oscilar entre seus comprimentos livre L0 e sólido Ls, onde L0 = Ls + 200mm, Fa = 3000N  
como o aço da mola deverá ser jateado, o valor ta < 240MPa embute um fator de segurança F = 400/240 = 1.67, e como 6 < C < 12, pode-se construir a tabela
escolhendo C = 6.6 e d = 16mm ( a = 239MPa ), tem-se D = 105.6mm, Na = dG/8kC3 = 1677200/8306.63 = 17.9, Ls = d(Na + 1) = 302.4mm e L0 = 502.4mm < 5.2D = 549mm
o volume desta mola é (162p/4)105.6p18.9 = 1.26.106mm3 e ela pesa 9.9kg, mas tem espiras ativas demais e é muito alta
para C = 11.2 e d = 20mm, obtém-se D = 224mm, Na = 4.58, Ls = 111.6mm, L0 = 311.6mm e 9.7kg, uma melhor opção 
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C
6
7
8
9
10
11
12
d
15.38
16.35
17.28
18.16
19.01
19.82
20.60
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ex.4: uma máquina de 2t deve ser montada numa base de concreto de 10t suportada por 4 molas para formar um conjunto com 2Hz de freqüência natural: projete as molas com um curso adicional de 25mm e um fator de segurança à fadiga F = 2, supondo que a base possa vibrar com uma amplitude máxima de 20mm
a freqüência natural da base é n = (kb/m) = 2fn  kb = 42fn2m = 42412000 = 1.89106N/m  (supondo a mesma carga nas molas) k = kb/4 = 4.74105N/m
se  = [(4C + 2)/(4C - 3)](8CF/d2), k = (dG)/(8C3Na), C = D/d, G = 80 e SE = 1.4GPa, 6 < C < 12, max < SE/2E (Tresca), E = 1.1, a < 240 ou 400MPa (Zimmerli), L0 = Ls + xmax < 1.3D (mola em balanço), Ls = d(Na + 1) (cabeças retificadas), então Fmax = 12000g/4 + k(0.025) = 4.19104N (com g = 10m/s2), xmax = Fmax/k = 88.4mm  D > L0/1.3 = [d(Na + 1) + 88.4]/1.3
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d > {2.2[(4C + 2)/(4C - 3)](8C4.19104)/1400} = 47.3mm se C = 12, 41.7mm se C = 9, 35.3mm se C = 6
usando C = 6 e sendo a força alternada na mola Fa = kxa = 47420 = 9480N, a amplitude da tensão por ela causada é a = [(4C + 2)/(4C - 3)](8CFa/d2) = 144MPa
logo a mola deve resistir a Fa = 288MPa deve-se usar molas jateadas (ou então conviver com um fator de segurança à fadiga menor F = 240/144 = 1.67 e usar molas comuns mesmo)
assim, k = (dG)/(8C3Na)  Na = (dG)/(8C3k) = 3.45, D = 6d = 212mm > L0/1.3 = 189mm (ok)
portanto, a base anti-vibração pode usar 4 molas com d = 35.3mm, D = 212mm, Na = 3.45 e L0 = 245mm  
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os feixes de molas semi-elípticos, muito usados na prática, podem ser analisados como se fossem duas vigas em balanço de seção triangular, fatiadas em várias lâminas de mesma largura, que são montadas umas sob as outras
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