TEMA 5 - Vigas em concreto armado

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DESCRIÇÃO
O dimensionamento de vigas em concreto armado exige a determinação de cargas e esforços que são aplicados ao elemento com a finalidade de
obtenção das armaduras longitudinal e transversal para detalhamento e apresentação do projeto.
PROPÓSITO
O dimensionamento das vigas de concreto armado é essencial para os engenheiros civis apresentarem o projeto estrutural de uma edificação de
forma adequada para a execução da estrutura.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar pré-dimensionamento, cargas e esforços em vigas
MÓDULO 2
Demonstrar o dimensionamento da armadura longitudinal para vigas
MÓDULO 3
Demonstrar o dimensionamento da armadura transversal para vigas
MÓDULO 4
Descrever o projeto e suas especificidades
BEM-VINDO AOS ESTUDOS DE DIMENSIONAMENTO DE VIGAS EM
CONCRETO ARMADO

AVISO: orientações sobre unidades de medida.
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA.
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o
Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais
escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Identificar pré-dimensionamento, cargas e esforços em vigas
javascript:void(0)
COMO DETERMINAR AS CARGAS ATUANTES NAS VIGAS
PRÉ-DIMENSIONAMENTO, CARGAS E ESFORÇOS EM VIGAS
As vigas são elementos estruturais sujeitos, basicamente, a cargas transversais. Ou seja, ao realizar um corte em sua seção transversal, obtemos
como ações, geralmente, o esforço cortante
e o momento fletor
como ilustram as imagens a seguir.
IMAGEM 1: VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORME.
(V )
(M),
IMAGEM 2: DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE.
IMAGEM 3: MOMENTO FLETOR.
O carregamento atuante
das vigas é obtido através do cálculo das reações nas lajes transferidas para as vigas de apoio. O procedimento de cálculo apresentado pela NBR
6118: 2014 baseia-se no comportamento em regime plástico, a partir da posição aproximada das linhas de plastificação, também denominadas
charneiras plásticas. Esse procedimento é conhecido como processo das áreas e será descrito nas próximas seções.
O pré-dimensionamento da viga inicia-se pela determinação da altura da viga
, que, normalmente, é adotada como tendo um valor entre:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
o comprimento do vão da viga, que é obtido do projeto de formas (imagem a seguir), medido de eixo a eixo dos apoios (do lado esquerdo V6 e do
lado direito P10), é dado por
Nesse caso, no pré-dimensionamento da viga, seria adotado um valor entre
(q)
(h)
8% ⋅ L ≤ h ≤ 10% ⋅ L
L
3, 14m.
25cm ≤
a critério do engenheiro projetista.
 Imagem 4: Exemplo do vão da viga a partir do projeto de formas.
CARGAS E ESFORÇOS EM VIGAS
A NBR 6118:2014 permite calcular as reações de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribuído, considerando, para
cada apoio, a carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, traçando, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
45° entre dois apoios do mesmo tipo.
60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado.
h ≤ 31, 4cm,
90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre.
A imagem a seguir apresenta de forma esquemática a consideração das áreas descritas anteriormente, sendo:
e
as áreas correspondentes aos apoios considerados.
e
as reações de apoio correspondentes aos apoios considerados.
menor e maior vão teórico da laje (respectivamente).
 Imagem 5: Áreas obtidas utilizando o método das charneiras plásticas determinado pela NBR 6118:2014.
As reações são obtidas por meio das equações:
Ax,
Ay,
A′x
A′y :
vx,
vy,
v′x
v′y :
lx,
ly :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é a carga total uniformemente distribuída na laje.
As reações de apoio também podem ser obtidas com o auxílio dos coeficientes
e
cujos valores são apresentados nas tabelas 1, 2 e 3 . Os valores dos coeficientes estão relacionados com a condição do apoio e de
As equações para determinar as reações de apoio a partir das tabelas são:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
vx =
vy =
v′x =
v′y =
p ⋅ Ax
ly
p ⋅ Ay
lx
p ⋅ A′x
ly
p ⋅ A′y
lx
p
kx,
ky,
k′x
k′y,
λ.
vx = kx
vy = ky
v′x = k′x
v′y = k′y
p ⋅ lx
10
p ⋅ lx
10
p ⋅ lx
10
p ⋅ lx
10
Vejamos a seguir as tabelas dos coeficientes.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 2,50 2,50 1,83 2,32 4,02 2,32 4,02 1,83
1,05 2,62 2,50 1,92 2,37 4,10 2,38 4,13 1,83
1,10 2,73 2,50 2,01 2,41 4,17 2,44 4,23 1,83
1,15 2,83 2,50 2,10 2,44 4,22 2,50 4,32 1,83
1,20 2,92 2,50 2,20 2,46 4,27 2,54 4,41 1,83
1,25 3,00 2,50 2,29 2,48 4,30 2,59 4,48 1,83
1,30 3,08 2,50 2,38 2,49 4,32 2,63 4,55 1,83
1,35 3,15 2,50 2,47 2,50 4,33 2,67 4,62 1,83
1,40 3,21 2,50 2,56 2,50 4,33 2,70 4,68 1,83
1,45 3,28 2,50 2,64 2,50 4,33 2,74 4,74 1,83
1,50 3,33 2,50 2,72 2,50 4,33 2,77 4,79 1,83
1,55 3,39 2,50 2,80 2,50 4,33 2,80 4,84 1,83
1,60 3,44 2,50 2,87 2,50 4,33 2,82 4,89 1,83
1,65 3,48 2,50 2,93 2,50 4,33 2,85 4,93 1,83
1,70 3,53 2,50 2,99 2,50 4,33 2,87 4,97 1,83
1,75 3,57 2,50 3,05 2,50 4,33 2,89 5,01 1,83
1,80 3,61 2,50 3,10 2,50 4,33 2,92 5,05 1,83
1,85 3,65 2,50 3,15 2,50 4,33 2,94 5,09 1,83
1,90 3,68 2,50 3,20 2,50 4,33 2,96 5,12 1,83
λ
kx ky kx ky k
′
y kx k
′
x ky
1,95 3,72 2,50 3,25 2,50 4,33 2,97 5,15 1,83
2,00 3,75 2,50 3,29 2,50 4,33 2,99 5,18 1,83
5,00 2,50 5,00 2,50 4,33 3,66 6,25 1,83
 Tabela 1: Coeficientes
e
para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3).
Extraído de: Carvalho, 2014, p. 333.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Caso 4 Caso 5 Caso 6
1,00 1,83 3,17 1,83 3,17 1,44 3,56 3,56 1,44
1,05 1,92 3,32 1,83 3,17 1,52 3,66 3,63 1,44
1,10 2,00 3,46 1,83 3,17 1,59 3,75 3,69 1,44
1,15 2,07 3,58 1,83 3,17 1,66 3,84 3,74 1,44
1,20 2,14 3,70 1,83 3,17 1,73 3,92 3,80 1,44
1,25 2,20 3,80 1,83 3,17 1,80 3,99 3,85 1,44
1,30 2,25 3,90 1,83 3,17 1,88 4,06 3,89 1,44
1,35 2,30 3,99 1,83 3,17 1,95 4,12 3,93 1,44
1,40 2,35 4,08 1,83 3,17 2,02 4,17 3,97 1,44
1,45 2,40 4,15 1,83 3,17 2,09 4,22 4,00 1,44
1,50 2,44 4,23 1,83 3,17 2,17 4,25 4,04 1,44
∞
kx,
ky,
k′x
k′y
λ
kx k′x ky k
′
y kx k
′
y k′x ky
1,55 2,48 4,29 1,83 3,17 2,24 4,28 4,07 1,44
1,60 2,52 4,36 1,83 3,17 2,31 4,30 4,10 1,44
1,65 2,55 4,42 1,83 3,17 2,38 4,32 4,13 1,44
1,70 2,58 4,48 1,83 3,17 2,45 4,33 4,15 1,44
1,75 2,61 4,53 1,83 3,17 2,53 4,33 4,17 1,44
1,80 2,64 4,58 1,83 3,17 2,59 4,33 4,20 1,44
1,85 2,67 4,63 1,83 3,17 2,66 4,33 4,22 1,44
1,90 2,70 4,67 1,83 3,17 2,72 4,33 4,24 1,44
1,95 2,72 4,71 1,83 3,17 2,78 4,33 4,26 1,44
2,00 2,75 4,75 1,83 3,17 2,84 4,33 4,28 1,44
3,66 6,33 1,83 3,17 5,00 4,33 5,00 1,44
 Tabela 2: Coeficientes
e
para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 4, 5 e 6).
Extraído de: Carvalho, 2014, p. 334.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 1,44 2,50 3,03 3,03 1,44 2,50 2,50 2,50
1,05 1,52 2,63 3,08 3,12 1,44 2,50 2,62 2,50
1,10 1,59 2,75 3,11 3,21 1,44 2,50 2,73 2,50
∞
kx,
ky,
k′x
k′y
λ
kx k
′
x k
′
y k′x ky k
′
y k′x k
′
y
1,15 1,66 2,88 3,14 3,29 1,44 2,50 2,83 2,50
1,20 1,73 3,00 3,16 3,36 1,44 2,50 2,92 2,50
1,25 1,80 3,13 3,17 3,42 1,44 2,50 3,00 2,50
1,30 1,88 3,25 3,17 3,48 1,44 2,50 3,08 2,50
1,35 1,94 3,36 3,17 3,54 1,44 2,50 3,15 2,50
1,40 2,00 3,47 3,17 3,59 1,44 2,50 3,21 2,50
1,45 2,06 3,57 3,17 3,64 1,44 2,50 3,28 2,50
1,50 2,11 3,66 3,17 3,69 1,44 2,50 3,33 2,50
1,55 2,16 3,75 3,17 3,73 1,44 2,50 3,39 2,50
1,60 2,21 3,83 3,17 3,77 1,44 2,50 3,44 2,50
1,65 2,25 3,90 3,17 3,81 1,44 2,50 3,48 2,50
1,702,30 3,98 3,17 3,84 1,44 2,50 3,53 2,50
1,75 2,33 4,04 3,17 3,87 1,44 2,50 3,57 2,50
1,80 2,37 4,11 3,17 3,90 1,44 2,50 3,61 2,50
1,85 2,40 4,17 3,17 3,93 1,44 2,50 3,65 2,50
1,90 2,44 4,21 3,17 3,96 1,44 2,50 3,68 2,50
1,95 2,47 4,28 3,17 3,99 1,44 2,50 3,72 2,50
2,00 2,50 4,33 3,17 4,01 1,44 2,50 3,75 2,50
3,66 6,34 3,17 5,00 1,44 2,50 5,00 2,50
 Tabela 3: Coeficientes
e
∞
kx,
ky,
k′x
para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas (casos 7, 8 e 9).
Extraído de: Carvalho, 2014, p. 335.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Para uma laje do tipo 2, com um carregamento total
e
determine os carregamentos das vigas.
SOLUÇÃO
Cálculo de
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entrando com os valores de
e do tipo de laje na tabela 1:
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 2,50 2,50 1,83 2,32 4,02 2,32 4,02 1,83
1,05 2,62 2,50 1,92 2,37 4,10 2,38 4,13 1,83
1,10 2,73 2,50 2,01 2,41 4,17 2,44 4,23 1,83
1,15 2,83 2,50 2,10 2,44 4,22 2,50 4,32 1,83
1,20 2,92 2,50 2,20 2,46 4,27 2,54 4,41 1,83
k′y
p = 8, 00kN/m2,
lx = 5, 00
ly = 5, 50,
λ
λ = = 1, 10
5, 50
5, 00
λ
λ
kx ky kx ky k
′
y kx k
′
x ky
javascript:void(0)
1,25 3,00 2,50 2,29 2,48 4,30 2,59 4,48 1,83
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Este é o cálculo dos carregamentos das vigas do contorno da laje:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resposta:
 Situações de vinculação das lajes isoladas com a representação com apoios em forma de viga.
vx = 2, 01 = 8, 04kN/m
vy = 2, 41 = 9, 64kN/m
v′y = 4, 17 = 16, 68kN/m
8, 00.5, 00
10
8, 00.5, 00
10
8, 00.5, 00
10
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Como pré dimensionar uma viga
Como determinar a área das charneiras plásticas
VERIFICANDO O APRENDIZADO
EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
MÓDULO 2
 Demonstrar o dimensionamento da armadura longitudinal para vigas
O dimensionamento da armadura longitudinal das vigas é realizado no estado-limite último devido ao momento fletor (ELU-M). Ou seja, é a
armadura responsável por combater os esforços de flexão.
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA T
Além da viga retangular, é comum encontrar vigas com seção transversal em forma de I ou T. Entretanto, a seção de vigas pode ter outros
formatos, como V, U, C, duplo T, entre outras. As vantagens de considerar a contribuição das lajes para formar seções do tipo T estão na
possibilidade de vigas com menores alturas, economia de armadura e de forma, flechas menores etc. As seções transversais diferenciadas são
utilizadas com frequência em elementos pré-moldados. 
É muito comum também a viga de seção T quando se considera a contribuição de lajes maciças apoiadas em viga de seção retangular, como
ilustra a imagem a seguir.
 Imagem 6: Viga T.
A mesa pode estar parcial ou totalmente comprimida pela ação do momento fletor atuante. A seção T é bastante comum nas estruturas moldadas
no local quando as lajes do pavimento são do tipo maciça, onde a seção T é visualmente imperceptível. As tensões normais de compressão
alcançam também as vizinhanças das lajes apoiadas nas vigas. A imagem a seguir ilustra a situação de compressão apenas na mesa e a situação
com compressão na mesa e parte da alma para o momento positivo.
 Imagem 7: Situação de compressão apenas na mesa e na mesa e na alma.
Vale ressaltar que a contribuição das lajes só pode ser considerada quando estão comprimidas pelas tensões normais da flexão. Além disso, é
importante observar que a laje deve estar obrigatoriamente no lado da viga, inferior ou superior, submetida às tensões normais de compressão,
conforme ilustra a imagem a seguir.
 Imagem 8: Consideração de viga de seção T e retangular de acordo com o momento atuante.
Segundo a NBR 6118:2014, a largura colaborante,
deve ser dada pela largura da viga
acrescida de no máximo
da distância "a" entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que haja laje colaborante. A distância "a" pode ser estimada em
função do comprimento do tramo considerado, como se apresenta a seguir.


VIGA SIMPLESMENTE APOIADA:


TRAMO COM MOMENTO EM UMA SÓ EXTREMIDADE:
bf ,
bw
10%
a = 1, 00 ⋅ l


TRAMO COM MOMENTOS NAS DUAS EXTREMIDADES:


TRAMO EM BALANÇO:
A NBR 6118:2014 ainda diz que, alternativamente, o cômputo da distância “a” pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de
momentos fletores na estrutura. E, no caso de vigas contínuas, é possível calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções,
inclusive nos apoios sob momentos negativos – desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos em que a largura
resulte mínima, como ilustra a imagem a seguir.
 Imagem 9: Largura de mesa colaborante.
Sendo:
a = 0, 75 ⋅ l
a = 0, 60 ⋅ l
a = 2, 00 ⋅ l
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é a largura colaborante de lajes em balanço.
O equacionamento da armadura longitudinal para vigas de seção T e concreto de até 50MPa é mostrado de forma esquemática na imagem a
seguir. Observa-se a existência de dois casos, em função da posição da linha neutra (LN) na seção transversal: LN cortando a mesa ou LN
cortando a alma.
 Imagem 10: Esquema para o equacionamento de vigas com seção T.
Para a seção T com armadura simples e LN passando pela alma da seção, tem-se a seguinte equação para o momento resistido pelas abas
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O momento restante
é dado por:
b1 ≤ 0, 5 ⋅ b2; b1 ≤ 0, 1 ⋅ a
b3 ≤ b4; b3 ≤ 0, 1 ⋅ a
b3
(M1)
M1 = Fc1 ⋅ (d − ) = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ hf⋅ (bf − bw) ⋅ (d − )
hf
2
hf
2
(M2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área de aço é calculada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARMADURA DE PELE
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, a mínima armadura lateral deve ser de
, em cada face da alma da viga, e composta por barras de CA-50 ou CA-60, com espaçamento não maior que
e devidamente ancorada nos apoios, não sendo necessária uma armadura superior a
, por face. O esquema do posicionamento da armadura de pele é ilustrado na imagem.
 Imagem 11: Armadura de pele.
Deve-se considerar a armadura de pele em vigas com altura superior a 60cm. Vale ressaltar que as armaduras principais de tração e de
compressão não podem ser computadas no cálculo da armadura de pele.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Neste exemplo, os valores calculados serão confrontados com os valores obtidos na calculadora de vigas do programa de cálculo estrutural TQS-
versão estudante. Vamos então ao exemplo.
Calcule a armadura longitudinal das seções transversais mais solicitadas da viga V12 indicada na planta posterior (primeira imagem), para as
seções mais solicitadas (segunda imagem).
M2 = Md − M1 = Fc2 ⋅ (d − ) = 0, 68 ⋅ bw ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d − 0, 4 ⋅ x)
y
2
As = +
M1
(d − hf/2) ⋅ fyd
M2
(KZ) ⋅ d ⋅ fyd
0, 10%b ⋅ h
20cm
5cm2/m
 Imagem 12: Parte da planta de forma com a viga V12.
 Imagem 13: Indicação das seções mais solicitadas em cada vão da viga V12.
Dados para o dimensionamento:
Aço CA-50
Cobrimento da armadura
(classe II)
Brita 0 (Dmáx = 9,5mm)
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
Peso próprio da viga: 0,14tf/m
Permanente sobre a viga: 0,95tf/m (proveniente das cargas permanentes sobre a laje – peso próprio e cargas permanentes – e alvenaria sobre a
viga)
Acidental sobre a viga: 0,21tf/m (proveniente das cargas acidentais sobre a laje)
Diagrama de momento fletor da viga V12:
bw = 14cm
h = 40cm
fck = 30MPa
= 2, 5cm
Es = 210000MPa
Eci = 31000MPa
Ecs = 27000MPa
 Imagem 14: Momentos fletores da viga V12.
SOLUÇÃO
1º passo: Cálculo dosmomentos fletores de cálculo máximos para cada seção
Para o cálculo do momento fletor de cálculo, será utilizado o coeficiente para majoração da carga:
Para o momento fletor da carga permanente
será somado o momento fletor devido ao peso próprio da estrutura com o momento fletor devido às cargas permanentes, e depois o valor obtido
será multiplicado pelo coeficiente.
Já para obter o valor do momento fletor das cargas acidentais
, o momento acidental característico será multiplicado por 1,4 . Esses valores de momentos foram obtidos na imagem
O momento fletor de cálculo total
foi obtido pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S1:
γ = 1, 4.
(Mgd) ,
(Mqd)
14.
(Md( total ))
Md( total ) = Mgd + Mqd
Mgd = 1, 4 × 0, 57 = 0, 79t.m;
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S3:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S4:
Mqd = 1, 4 × 0, 08 = 0, 112 t. m;
Md( total ) = 0, 9 t.m 
Mgd = 1, 4 × (−0, 78) = −1, 092 t. m; 
Mqd = 1, 4 × (−0, 16) = −0, 224 t. m;
Md( total ) = −1, 32 t. m
Mgd = 1, 4 × 0, 45 = 0, 378 t. m
Mqd = 1, 4 × 0, 13 = 0, 182 t. m
Md( total ) = 0, 632 t. m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2º passo: Obter
e
Cálculo de KMD:
Seção S1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Domínio
0,005 0,07 0,997 0,07 10,00 2
0,010 0,015 0,994 0,15 10,00 2
0,015 0,022 0,991 0,23 10,00 2
Mgd = 1, 4 × (−2, 71) = −3, 794 t. m; 
Mqd = 1, 4 × (−0, 25) = −0, 35 t. m
Md( total ) = −4, 144 t. m
Kx,
Kz
KMD
KMD =
Md
bw ⋅ d2 ⋅ fcd
KMD = = 0, 023
9, 1
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
KMD KX KZ
εc εs
0,020 0,030 0,988 0,31 10,00 2
0,025 0,037 0,985 0,39 10,00 2
0,030 0,045 0,982 0,47 10,00 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Valores adotados:
Seção S2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Domínio
0,025 0,037 0,985 0,39 10,00 2
0,030 0,045 0,982 0,47 10,00 2
0,035 0,053 0,979 0,55 10,00 2
0,040 0,060 0,976 0,64 10,00 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Valores adotados:
Seção S3:
Kx = 0, 034;
Kz = 0, 986
KMD = = 0, 034
13, 2
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
KMD KX KZ
εc εs
Kx = 0, 052;
Kz = 0, 98
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Domínio
0,005 0,07 0,997 0,07 10,00 2
0,010 0,015 0,994 0,15 10,00 2
0,015 0,022 0,991 0,23 10,00 2
0,020 0,030 0,988 0,31 10,00 2
0,025 0,037 0,985 0,39 10,00 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Valores adotados:
Seção S4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Domínio
0,100 0,157 0,937 1,86 10,00 2
0,105 0,165 0,934 1,98 10,00 2
KMD = = 0, 0163
6, 32
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
KMD KX KZ
εc εs
Kx = 0, 023;
Kz = 0, 99;
Ks = 43, 05
KMD = = 0, 107
41, 44
0, 14 ⋅ 0, 362 ⋅ 21, 43 ⋅ 103
KMD KX KZ
εc εs
0,110 0,174 0,930 2,10 10,00 2
0,115 0,182 0,927 2,23 10,00 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Valores adotados:
3º passo: Determinar a posição da linha neutra,
Seção S1:
Seção S2:
Seção S3:
Seção S4:
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
4º passo: Determinar área de aço,
Seção S1:
Adotar
Seção S2:
Seção S3:
Adotar
Kx = 0, 1695;
Kz = 0, 932
x = Kx ⋅ d
x = 0, 034 ⋅ 36 = 1, 224cm
x = 0, 052 ⋅ 36 = 1, 872cm
x = 0, 023 ⋅ 36 = 0, 823cm
x = 0, 1695 ⋅ 36 = 6, 10cm
As =
Md
Ks ⋅ d
As = = 0, 58cm
2 →
8, 96
42, 87 ⋅ 0, 36
As,mín
As = = 0, 861cm
213, 2
42, 6 ⋅ 0, 36
As = = 0, 41cm
2 →
6, 32
43, 05 ⋅ 0, 36
As,min
Seção S4:
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
5º passo: calcular área de aço mínima
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: Adotar
sempre que este for maior que o
calculado no 4º passo!
6º passo: verificar os cálculos realizados com o resultado obtido pela calculadora de vigas do TQS
Seção S1:
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
As = = 2, 84cm
241, 44
40, 53 ⋅ 0, 36
As,min = 0, 15%(b ⋅ h)
As,min = 0, 173%. (b ⋅ h) = 0, 0015 ⋅ 14 ⋅ 40 = 0, 84cm
2
As,min
As
 Print de tela do programa TQS.
Seção S2:
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
Seção S3:
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
Seção S4:
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
 Print de tela do programa TQS.
Os valores calculados convergiram com os valores obtidos na calculadora do software estrutural TQS (versão estudante). O sexto passo é apenas
uma informação a mais que pode ser utilizada pelo aluno caso tenha interesse em comparar seus cálculos manuais com o cálculo realizado por
um software estrutural na versão estudante.
7º passo: determinar a armadura longitudinal
Com a finalidade de facilitar a determinação da armadura longitudinal (quantidade e diâmetro das barras) adotada no dimensionamento, foi
desenvolvida a tabela 4. Para montar a tabela 4, em cada cédula foi multiplicada a quantidade de barras pela área unitária da seção transversal
da barra.
ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE n BARRAS (cm²) - As - VIGA
Número
de barras
Diâmetro da barra (mm)
5 6.3 8 10 12.5 16 20 22 25 32 40.0
20 3.93 6.23 10.05 15.71 24.54 40.21 62.83 76.03 98.17 160.85 251.33
19 3.73 5.92 9.55 14.92 23.32 38.20 59.69 72.23 93.27 152.81 238.76
18 3.53 5.61 9.05 14.14 22.09 36.19 56.55 68.42 88.36 144.76 226.19
17 3.34 5.30 8.55 13.35 20.86 34.18 53.41 64.62 83.45 136.72 213.63
16 3.14 4.99 8.04 12.57 19.63 32.17 50.27 60.82 78.54 128.68 201.06
15 2.95 4.68 7.54 11.78 18.41 30.16 47.12 57.02 73.63 120.64 188.50
14 2.75 4.36 7.04 11.00 17.18 28.15 43.98 53.22 68.72 112.59 175.93
13 2.55 4.05 6.53 10.21 15.95 26.14 40.84 49.42 63.81 104.55 163.36
12 2.36 3.74 6.03 9.42 14.73 24.13 37.70 45.62 58.90 96.51 150.80
11 2.16 3.43 5.53 8.64 13.50 22.12 34.56 41.81 54.00 88.47 138.23
10 1.96 3.12 5.03 7.85 12.27 20.11 31.42 38.01 49.09 80.42 125.66
9 1.77 2.81 4.52 7.07 11.04 18.10 28.27 34.21 44.18 72.38 113.10
8 1.57 2.49 4.02 6.28 9.82 16.08 25.13 30.41 39.27 64.34 100.53
7 1.37 2.18 3.52 5.50 8.59 14.07 21.99 26.61 34.36 56.30 87.96
6 1.18 1.87 3.02 4.71 7.36 12.06 18.85 22.81 29.45 48.25 75.40
5 0.98 1.56 2.51 3.93 6.14 10.05 15.71 19.01 24.54 40.21 62.83
4 0.79 1.25 2.01 3.14 4.91 8.04 12.57 15.21 19.63 32.17 50.27
3 0.59 0.94 1.51 2.36 3.68 6.03 9.42 11.40 14.73 24.13 37.70
2 0.39 0.62 1.01 1.57 2.45 4.02 6.28 7.60 9.82 16.08 25.13
1 0.20 0.31 0.50 0.79 1.23 2.01 3.14 3.80 4.91 8.04 12.57
 Tabela 4: Determinação da quantidade de barras e do diâmetro da armadura longitudinal de acordo com a área de aço calculada.
Elaborada por Larissa Camporez Araújo.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Seção S1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S3:
As,min = 0, 84cm
2 →  Adotado 2 × ϕ8mm = 1, 01cm2
As = 0, 861cm
2 →  Adotado 2 × ϕ8mm = 1, 01cm2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Dimensionamento da armadura longitudinal
Largura colaborante de vigas de seção T
VERIFICANDO O APRENDIZADO
As,min = 0, 84cm
2 →  Adotado 2 × ϕ8mm = 1, 01cm2
As = 2, 84cm
2 →  Adotado 6 × ϕ8mm = 3, 02cm2
MÓDULO 3
 Demonstrar o dimensionamento daarmadura transversal para vigas
EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL
PARA VIGAS
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL
O dimensionamento da armadura transversal das vigas é realizado no estado-limite último devido ao esforço cortante (ELU-V). Ou seja, é a
armadura responsável por combater os esforços de cisalhamento.
ABORDAGEM POR MEIO DE EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Calcule a armadura transversal das seções transversais mais solicitadas da viga V12 (primeira imagem) nas seções mais solicitadas (segunda
imagem).
 Imagem 15: Parte da planta de forma com a viga V12.
 Imagem 16: Indicação das seções mais solicitadas em cada vão da Viga V12.
Dados para o dimensionamento:
Aço CA-50
bw = 14cm
h = 40cm
fck = 30MPa
Cobrimento da armadura
(classe II)
Brita
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
Peso próprio da viga: 0,14tf/m
Permanente sobre a viga: 0,95tf/m (proveniente das cargas permanentes sobre a laje – peso próprio e cargas permanentes – e alvenaria sobre a
viga)
Acidental sobre a viga: 0,21tf/m (proveniente das cargas acidentais sobre a laje)
Diagramas de esforço cortante da viga V12:
 Imagem 17: Diagrama de esforço cortante.
SOLUÇÃO
Para o dimensionamento do ELU-V, será adotado o modelo simplificado com
Para esse dimensionamento será considerada apenas a seção crítica da viga em questão que apresenta os carregamentos mostrados na imagem
1º passo: definição das cargas
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
Esforço cortante máximo devido ao peso próprio da viga: 1,09tf
= 2, 5cm
0 (Dmáx=9,5mm) 
Es = 210000MPa
Eci = 31000MPa
Ecs = 27000MPa
θ = 45∘.
17.
Esforço cortante máximo devido à carga permanente sobre a viga: 1,84tf (proveniente das cargas permanentes sobre a laje – peso próprio e
cargas permanentes – e alvenaria sobre a viga)
Esforço cortante máximo devido à carga acidental sobre a viga: 0,44tf (proveniente das cargas acidentais sobre a laje)
Logo, o esforço cortante solicitante de cálculo adotado será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2º passo: verificação do esmagamento das bielas de concreto
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
3º passo: cálculo da área de aço da seção transversal
A área de aço é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vsd = 1, 4 × 3, 37 = 4, 72tf
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 528
fck
250
30
250
d = 0, 9 ⋅ h
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ d ⋅ v ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 14 ⋅ 0, 9 ⋅ 40 ⋅ 0, 528 ⋅ = 256, 6kN = 25, 66tf
3, 0
1, 4
Vsd ≤ VRd2,
Asw
Asw =
(Vsd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fyd
E temos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E assim temos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4º passo: cálculo da área de aço, mínima, da seção transversal
Temos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
Vc = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
= 0, 3 ⋅ 302/3 = 0, 2896MPa
fctk = 0, 7 ⋅ fctm = 0, 7 ⋅ 0, 2896 = 2, 0272MPa
fctd = = = 1, 448MPa
fctk
1, 4
2, 0272
1, 4
Vc = 0, 6 ⋅ 14 ⋅ 36 ⋅ 0, 1448 = 43, 79kN = 4, 38tf
Asw = = 0, 0241cm
2/m
(4, 72 − 4, 38) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 36( )501,15
Asw,mín 
Asw,min = 0, 2 ⋅  b  ⋅ fctm/fyk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, será adotada
5º passo: determinar a armadura transversal
O espaçamento e o diâmetro das barras a serem utilizadas na determinação da armadura transversal aparecem em detalhes na tabela
Essa tabela apresenta espaçamento e diâmetros para dimensionamento de armaduras transversais com dois ramos.
Os dados da tabela 5 são utilizados na equação a seguir, utilizada para determinar o valor de cada célula da tabela:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
diâmetro da barra em centímetros
espaçamento entre estribos
ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE ESTRIBOS POR METRO (cm²/m) - Asw - VIGA
Espaçamento
(cm)
Diâmetro da barra (mm)
5.0 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 20.0 22.0 25.0 32.0 40.0
7 5.61 8.91 14.36 22.44 35.06 57.45 89.76 108.61 140.25 229.79 359.04
8 4.91 7.79 12.57 19.63 30.68 50.27 78.54 95.03 122.72 201.06 314.16
9 4.36 6.93 11.17 17.45 27.27 44.68 69.81 84.47 109.08 178.72 279.25
10 3.93 6.23 10.05 15.71 24.54 40.21 62.83 76.03 98.17 160.85 251.33
Asw,min = = 1, 865cm
2/m
0, 2 ⋅ 14 ⋅ 100 ⋅ 0, 2896
50
1,15
Asw,min ≥ Asw
Asw,min = 1, 865 cm
2/m
5.
Asw = 2 ⋅ ⋅
π ⋅ ϕ2
4
100
s
ϕ =
s =
11 3.57 5.67 9.14 14.28 22.31 36.56 57.12 69.12 89.25 146.23 228.48
12 3.27 5.20 8.38 13.09 20.45 33.51 52.36 63.36 81.81 134.04 209.44
13 3.02 4.80 7.73 12.08 18.88 30.93 48.33 58.48 75.52 123.73 193.33
14 2.80 4.45 7.18 11.22 17.53 28.72 44.88 54.30 70.12 114.89 179.52
15 2.62 4.16 6.70 10.47 16.36 26.81 41.89 50.68 65.45 107.23 167.55
16 2.45 3.90 6.28 9.82 15.34 25.13 39.27 47.52 61.36 100.53 157.08
17 2.31 3.67 5.91 9.24 14.44 23.65 36.96 44.72 57.75 94.62 147.84
18 2.18 3.46 5.59 8.73 13.64 22.34 34.91 42.24 54.54 89.36 139.63
19 2.07 3.28 5.29 8.27 12.92 21.16 33.07 40.01 51.67 84.66 132.28
20 1.96 3.12 5.03 7.85 12.27 20.11 31.42 38.01 49.09 80.42 125.66
21 1.87 2.97 4.79 7.48 11.69 19.15 29.92 36.20 46.75 76.60 119.68
22 1.78 2.83 4.57 7.14 11.16 18.28 28.56 34.56 44.62 73.11 114.24
23 1.71 2.71 4.37 6.83 10.67 17.48 27.32 33.06 42.68 69.93 109.27
24 1.64 2.60 4.19 6.54 10.23 16.76 26.18 31.68 40.91 67.02 104.72
25 1.57 2.49 4.02 6.28 9.82 16.08 25.13 30.41 39.27 64.34 100.53
26 1.51 2.40 3.87 6.04 9.44 15.47 24.17 29.24 37.76 61.87 96.66
27 1.45 2.31 3.72 5.82 9.09 14.89 23.27 28.16 36.36 59.57 93.08
28 1.40 2.23 3.59 5.61 8.77 14.36 22.44 27.15 35.06 57.45 89.76
29 1.35 2.15 3.47 5.42 8.46 13.87 21.67 26.22 33.85 55.47 86.66
30 1.31 2.08 3.35 5.24 8.18 13.40 20.94 25.34 32.72 53.62 83.78
 Tabela 5: Dimensionamento da armadura transversal com dois ramos para vigas.
Elaborada por Larissa Camporez Araújo.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para armadura transversal, com dois ramos, será adotado o seguinte:
a cada
6º passo: verificação quanto ao espaçamento
Para a verificação quanto ao espaçamento longitudinal e transversal será utilizada a formulação a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A imagem a seguir ilustra, de forma esquemática, a representação de
e
nos cortes da viga longitudinal e transversal, respectivamente.
 Imagem 18: Representação esquemática de
e
Cálculos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∅5, 0
20cm.
smáx  ≤ {
0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
st, máx  ≤ {
d ≤ 800mm,  se VSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 6 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
smáx 
st, máx 
smáx
st,máx
= = 0, 184
Vsd
VRd2
4, 72
25, 65
Sendo assim, o espaçamento longitudinal máximo entre estribos equivale a
Já o espaçamento transversal máximo entre ramos será de
Portanto, a armadura adotada permanecerá
a cada
, visto que essa armadura também atende a bitola mínima para o estribo. Essa armadura corresponde à seguinte área de aço por seção de
estribo de dois ramos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o espaçamento será de 20cm, a cada 1 metro teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a área de aço efetiva de armadura transversal em 1 metro de viga será de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
tudo ok!
0, 6 ⋅ 36 = 21, 6cm.
36cm.
∅5.0
20cm
 Área de aço Asw,1 = 2 ⋅ = 0, 393cm2
π ⋅ (0 ⋅ 52)
4
= 5 estribos 
100
20
Asw,efetivo = 5 ⋅ 0, 393 = 1, 97cm
2/m
Asw, efetivo  = 1, 97 > Asw, calculada  = 1, 87,
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Armadura transversal em uma viga de concreto armado
Dimensionamento da armadura transversal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAL E
TRANSVERSAL DA VIGA
MÓDULO 4
 Descrever o projeto e suas especificidades
DETALHAMENTO E APRESENTAÇÃO DE PROJETO
O detalhamento e a apresentação de projeto consistem em colocar em forma de desenho as armaduras calculadas nos módulos anteriores. Neste
módulo, iremos aprender como apresentar os desenhos da viga de acordo com a as normas da ABNT NBR 6118:2014.
Porém, antes de iniciarmos esse detalhamento, será apresentada, na próxima seção, a verificação quanto ao estado-limite de serviço (ELS-Def).
VERIFICAÇÃO QUANTO AO ESTADO-LIMITE DE SERVIÇO (ELS-
DEF)
Para compreender com clareza a verificação ao estado-limite de serviço de uma viga, vamos observar o exemplo a seguir.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Verifique no estado-limite de serviço quanto à deformação (ELS-Def) a viga V12 indicada na imagem 19, sabendo que se refere a um edifício
residencial.
 Imagem 19: Parte da planta de forma com a viga V12.
 Imagem 20: Indicação das seções mais solicitadas em cada vão da viga V12.
Dados para o dimensionamento:
Aço CA-50
Cobrimento da armadura
bw = 14cm
h = 40cm
fck = 30MPa
= 2, 5cm
(classe II)
Brita 0 (Dmáx
)
Cargas características aplicadas sobre a viga: Vão 1/Vão 2/Vão 3
Peso próprio da viga: 0,14tf/m
Carga permanente sobre a viga: 0,95tf/m (proveniente das cargas permanentes sobre a laje, peso próprio e cargas permanentes – alvenaria sobre
a viga)
Acidental sobre a viga: 0,21tf/m (proveniente das cargas acidentais sobre a laje)
SOLUÇÃO
1º passo: definir o carregamento
Será utilizada a carga quase permanente
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2º passo: verificação do estádio da viga (se estádio 1 ou 2 ) e cálculo do momento de inércia Cálculo do momento fletor de fissuração
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
= 9, 5mm
Es = 210000MPa
Eci = 31000MPa
Ecs = 27000MPa
(Pqp)
Pqp = g + 0, 3 ⋅ q
Pqp = (0, 14 + 0, 95) + 0, 3 ⋅ 0, 21 = 1, 153tf = 11, 53kN
(MR)
MR =
α ⋅ fctm ⋅ Ic
yt
α = 1, 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cálculo dos momentos máximos atuantes
considerando os valores de momento obtidos por meio da isostática e da hiperestática para carregamento uniformemente distribuído (imagem 21):
 Imagem 21: Equações para valores máximos de momento fletor de cada vão da viga V12.
Vão 1:
Estádio ।
Vão 2:
Estádio I
Vão 3:
Estádio ॥
Para os vãos 1 e 2:
Como o momento atuante é menor que o momento resistente de fissuração, a seção encontra-se no estádio I, e, portanto, não fissurada. Por isso,
iremos considerar o momento de inércia
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
= 0, 3 ⋅ 302/3 = 0, 2896MPa
Ic = = = 7, 47 ⋅ 10
−4m4
yt = = = 0, 2m
MR = = 1 ⋅ 622, 02kN ⋅ cm
b ⋅ h3
12
0, 14 ⋅ 0, 43
12
h
2
0, 4
2
1, 5 ⋅ 0, 2896 ⋅ 74666, 67
20
(Ma) ,
Ma = = 523kN . cm →
9.11, 53 ⋅ 103 ⋅ 2, 542
128
Ma = = 536kN . cm →
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 3, 342
24
Ma = = −1.973kN . cm →
−11, 53 ⋅ 103 ⋅ 1, 852
2
(I)
igual ao momento de inércia da seção bruta
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o Vão 3:
Como o momento atuante é maior que o momento resistente de fissuração, a seção encontra-se no estádio II, e, portanto, fissurada. Por isso,
vamos considerar o momento de inércia
igual ao momento de inércia equivalente
para a seção fissurada de Branson:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seção S4 (Vão 3):
(IC) :
I = Ic = = = 74 ⋅ 700cm
4b ⋅ h
3
12
0, 14 ⋅ 0, 43
12
(I)
(Ie)
I = Ie
Ie = ( )
3
⋅ Ic + [1 − ( )
3
] ⋅ I2
I2 = + n ⋅ As(d − x2)
2 + (n − 1) ⋅ A′s ⋅ (x2 − d′)
2
x2 = [−a2 + √a22 − 4 ⋅ a1 ⋅ a3] / (2 ⋅ a1)
a1 = b/2
a2 = n ⋅ As + (n − 1) ⋅ A′s
a3 = −n ⋅ As ⋅ d − (n − 1) ⋅ A′s ⋅ d
′
n =
Mr
Mqp
Mr
Mqp
b ⋅ x32
3
Es
Ecs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3º passo: cálculo da flecha imediata
O cálculo da flecha imediata é realizado utilizando os conhecimentos da resistência dos materiais a partir das equações ilustradas na imagem.
 Imagem 22: Equações para o cálculo da flecha imediata de cada vão da viga V12.
Vão 1:
AS = 2, 84cm
2 →  Adotado: 6 × ϕ8, 0mm = 3, 02cm2
a1 = = 7cm
a2 = 8, 055.3, 02 = 24, 326cm
2
a3 = −8, 055.3, 02.36 = 875, 74cm
3
x2 = = 9, 58cm
I2 = + 8, 055.3, 02 ⋅ (36 − 9, 58)
2 = 4103, 02 + 16980, 01 = 21083, 03cm4
Ie = ( )
3
⋅ 74700 + [1 − ( )
3
] ⋅ 21083, 03 = 41505, 72 + 9368, 62
= 50874, 34cm4
14
2
[−24, 33 + √(24, 33)2 − 4 ⋅ (7) ⋅ (−875, 74)]
2.7
14 ⋅ (9, 58)3
3
1622, 02
1973
1622, 02
1973
fi = = 1, 29 ⋅ 10
−4m
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 2, 544
184, 6 ⋅ 27 ⋅ 109 ⋅ 74700 ⋅ 10−8
Vão 2:
Vão 3:
4º passo: cálculo da flecha diferida
Considerando
mês e
meses, tem-se:
Vão 1:
Vão 2:
Vão 3:
5º passo: cálculo da flecha total
e verificação com a flecha-limite
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vão 1:
fi = = 1, 85 ⋅ 10
−4m
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 3, 344
384 ⋅ 27 ⋅ 109 ⋅ 74700 ⋅ 10−8
fi = = 1, 23 ⋅ 10
−3m
11, 53 ⋅ 103 ⋅ 1, 854
8 ⋅ 27 ⋅ 109 ⋅ 50 ⋅ 874, 34 ⋅ 10−8
(fd)
t0 = 1
t = 70
αf = 2, 0 − 0, 68 = 1, 32
fd = 1, 32 ⋅ 1, 29 ⋅ 10
−4 = 1, 703 ⋅ 10−4m
fd = 1, 32 ⋅ 1, 85 ⋅ 10
−4 = 2, 442 ⋅ 10−4m
fd = 1, 32 ⋅ 1, 23 ⋅ 10
−3 = 1, 624 ⋅ 10−3m
(ft)
(fl)
ftotal  = fimediata  + fdiferida  ≤ flimite 
flimite  = ; (L = 2 ⋅ Lbal ,  no caso de balanço )
L
250
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
tudo ok!
Vão 2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
tudo ok!
Vão 3:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ft = 1, 29 ⋅ 10
−4 + 1, 703 ⋅ 10−4 = 0, 03cm
fl = = 1, 01cm
254
250
flimite  > ftotal ,
ft = 1, 85 ⋅ 10
−4 + 2, 442 ⋅ 10−4 = 0, 043cm
fl = = 1, 34cm
334
250
flimite  > ftotal ,
ft = 1, 23 ⋅ 10
−3 + 1, 624 ⋅ 10−3 = 0, 29cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
tudo ok!
Finalizada a verificação do estado-limite de serviço quanto à deformação da viga, daremos sequência para a elaboração do detalhamento do
projeto.
DETALHAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
Após determinar o dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais e realizar as verificações quanto à flecha, vamos posicionar a
armadura longitudinal na viga seguindo os requisitos da ABNT NBR 6118:2014.
ESPAÇAMENTO ENTRE A ARMADURA LONGITUDINAL
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior
dos seguintes valores:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
distância vertical
distância vertical
Ambas estão ilustradas na imagem a seguir.
fl = = 1, 48cm
2.185
250
flimite  > ftotal ,
ah ≥
⎧⎪
⎨
⎪⎩
20mm
 diâmetro da barra 
1,2⋅ diâmetro máximo do agregado
av ≥
⎧⎪
⎨
⎪⎩
20mm
 diâmetro da barra 
0,5⋅ diâmetro máximo do agregado
av =
ah =
 Imagem 23: Espaçamento vertical e horizontal entre as barras longitudinais.
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por transpasse das barras que será visto mais à frente. O diâmetro do agregado vai
depender da brita adotada para a confecção do concreto, os diâmetros são apresentados naTabela 6.
Tipo de brita Diâmetro [mm]
Brita 0 4,8 a 9,5
Brita 1 9,5 a 19
Brita 2 19 a 25
Brita 3 25 a 38
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 6: Tipo de brita para confecção do concreto e seu diâmetro.
Elaborada por: Larissa Camporez Araújo.
O arranjo das armaduras deve propiciar condições adequadas de execução, como viabilidade para o lançamento e o adensamento do concreto,
bem como a introdução de vibradores.
A seguir, é apresentado o posicionamento da armadura longitudinal nas seções das vigas. Realizou-se a verificação dos espaçamentos horizontal
e vertical. Observe que a armadura em S1 e S3 é positiva e, portanto, está posicionada na parte inferior da viga. Já nas seções S2 e S4, a
armadura é negativa, portanto, posicionada na parte superior da viga.
 Imagem 24: Posicionamento da armadura longitudinal e estribo nas seções 1, 2, 3 e 4 da viga.
Para as seções S1, S2 e S3:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a seção S4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além da armadura longitudinal, é posicionada também de forma longitudinal, uma armadura que auxilia na montagem da viga. Essa armadura é
chamada de porta-estribo e posicionada do lado oposto à armadura de flexão.
O porta-estribo deve apresentar diâmetro maior ou igual ao diâmetro da armadura transversal (estribo). Assim, a seção transversal das seções da
viga V12 passa a ficar conforme ilustra a imagem a seguir. Os porta-estribos da viga V12 terão diâmetro de 5,0mm. Como a viga V12 tem altura
inferior a 60cm, não será necessária a armadura de pele.
 Imagem 25: Detalhamento da viga V12.
ARMADURA LONGITUDINAL AO LONGO DA VIGA
O cálculo da armadura longitudinal, nas seções transversais, é realizado para os momentos fletores máximos, como foi feito no exemplo de
aplicação do módulo 2.
NO DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR, OBTEMOS O DESENVOLVIMENTO DA
ARMADURA AO LONGO DE TODA A VIGA, O QUE É FEITO PARA USAR AS BARRAS
DE AÇO COM O MENOR COMPRIMENTO POSSÍVEL, SEM DEIXAR DE ATENDER A
TODAS AS CONDIÇÕES DE SEGURANÇA DO ESTADO-LIMITE ÚLTIMO.
ah > 2, 0cm,  tudo ok! 
av = 2, 0cm,  tudo ok! 
ah = 14 − = 3, 25cm > 2, 0cm,  tudo ok! 
av = 2, 0cm,  tudo ok! 
(2 ⋅ 2, 5 + 2.0, 5 + 3 ⋅ 0, 8)
2
A quantidade de barras dimensionadas para resistir ao momento fletor negativo atuante no apoio B são necessárias apenas no trecho b (imagem
a seguir). Além disso, conforme se caminha do apoio B para as extremidades A e C, a redução do momento fletor negativo nos diz que a
quantidade de barras necessárias também se reduz.
 Imagem 26: Diagrama de momento fletor com os trechos de influência.
Graficamente, como ilustrado na imagem a seguir, temos a divisão do momento fletor em partes iguais e a redução do número de barras ou grupo
de barras ao longo da viga. Na imagem, o momento seria resistido por quatro barras, e cada uma seria responsável por resistir a uma parcela do
momento
 Imagem 27: Divisão do momento fletor entre as barras da armadura longitudinal.
Para realizar a divisão com a redução do tamanho das barras, devem ser levadas em conta algumas questões práticas.
A necessidade de que um número mínimo de barras seja levado até os apoios extremos para ancorar as bielas de concreto.
A necessidade de empregar pelo menos quatro barras trabalhando para segurar os estribos.
Vale lembrar que os tamanhos mínimos das barras devem ser usados de forma a gerar economia. Entretanto, deve-se analisar a racionalização
do processo de fabricação e montagem na obra.
(k).
ANCORAGEM E ADERÊNCIA
Ao definir os pontos de interrupção das barras, em função da distribuição dos momentos fletores solicitantes de cálculo, há a necessidade de
transferir para o concreto as tensões a que elas estão submetidas. Para isso, as barras devem ser providas de um comprimento adicional.
A TRANSFERÊNCIA DAS TENSÕES DO AÇO PARA O CONCRETO É CHAMADA DE
ANCORAGEM E O COMPRIMENTO ADICIONAL É CHAMADO DE COMPRIMENTO DE
ANCORAGEM RETO
.
A aderência está relacionada com a disposição da armadura longitudinal na viga que pode estar em região de boa ou de má aderência, como
ilustra a imagem a seguir.
 Imagem 28: Ilustração das regiões de boa e má aderência na viga.
Os valores das resistências de aderência de cálculo
entre a armadura e o concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com:
(lb)
(fbd)
fbd = η1 ⋅ η2 ⋅ η3 ⋅ fctd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando a barra se encontra em região de má aderência, a resistência de aderência pode ser dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas, garantindo que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao
concreto. São considerados dois tipos de ancoragens, como veremos a seguir.
Aderência entre o aço e o concreto
Os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho.
Dispositivos mecânicos
Os esforços são transmitidos por meios de dispositivos mecânicos acoplados à barra.
As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de
acordo com as condições a seguir.
Obrigatoriamente com gancho para barras lisas.
Sem gancho nas que tenham alternância de solicitação, de tração e compressão.
η1 =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
1, 0 para barras lisas  → CA − 25/CA − 60
1, 4 para barras entalhadas  → CA − 60
2, 25 para barras nervuradas  → CA − 50
η2 = {
1, 0 para situações de boa aderência 
0, 7 para situações de má aderência 
η3 = {
1, 0 para ϕ < 32mm
,  para ϕ > 32mm
132−ϕ
100
fbd,má = 0, 7. fbd
Com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de
ou para feixes de barras.
As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.
Define-se comprimento de ancoragem básico
como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força-limite
nessa barra, admitindo-se, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a
O comprimento de ancoragem básico é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E o comprimento de ancoragem necessário
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
∅ > 32mm
(lb,bás)
(As ⋅ fyd)
fbd.
lb,bás = ⋅ ≥ 25 ⋅ ∅
∅
4
fyd
fbd
(lb,nec)
lb, nec  = α1 ⋅ lb ⋅ ≥ lb, min 
As, calc 
As, ef 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é a área de armadura calculada para resistir ao esforço solicitante de cálculo,
é a área de armadura utilizada no projeto para resistir aos esforços e:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GANCHOS DA ARMADURA DE TRAÇÃO
Os ganchos possibilitam a redução do comprimento de ancoragem e são previstos nas barras tracionadas e nos estribos. Já as armaduras
comprimidas devem ser ancoradas sem gancho.
Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração estão representados na imagem a seguir e podem ser:
semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a
;
em ângulo de
(interno), com ponta reta de comprimento não inferior a
;
em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a
para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares.
Vamos ver os tipos de ancoragem da armadura longitudinal.
α1
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
1, 0 para barras sem gancho 
0, 7 para barras tracionadas com gancho 
0, 7 quando houver barras transversais soldadas 
0, 5 quando houver barras transversais soldadas e gancho 
As, cal 
As,ef
lb,min >
⎧⎪
⎨
⎪⎩
0, 3 ⋅ lb,bás
10 ⋅ ∅
100mm
2 ⋅ ∅
45∘
4 ⋅ ∅
8 ⋅ ∅; e
Imagem 29: Ancoragemreta.
Imagem 30: Ancoragem com gancho em ângulo reto.
Imagem 31: Ancoragem com gancho em ângulo de 45°.
Imagem 32: Ancoragem com gancho semicircular.
O diâmetro do pino
para realizar o gancho na armadura de tração é dado na tabela
Bitola (mm)
Tipo de aço
CA-25 CA-50 CA-60
(∅p)
7.
-
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 7: Diâmetro do pino de dobramento dos ganchos.
Extraída de ABNT NBR 6118:2014, p.37.
ANCORAGEM DOS ESTRIBOS
A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas. Os ganchos dos estribos
podem ser:
semicirculares ou em ângulo de
(interno), com ponta reta de comprimento igual
porém não inferior a
em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
porém não inferior a
(esse tipo de gancho não pode ser utilizado para barras e fios lisos).
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser no mínimo igual ao valor apresentado na tabela 8.
Bitola(mm)
Tipo de aço
CA-25 CA-50 CA-60
-
-
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 8: Diâmetro do pino de dobramento para estribos.
Extraída de ABNT NBR 6118:2014, p.40.
∅ < 20 4 ⋅ ∅ 5 ⋅ ∅ 6 ⋅ ∅
∅ ≥ 20 5 ⋅ ∅ 8 ⋅ ∅
45∘
a5 ⋅ ϕt,
5cm;
10 ⋅ ϕt,
7cm
≤ 10 3 ⋅ ∅t 3 ⋅ ∅t 3 ⋅ ∅t
10 < ∅ < 20 4 ⋅ ∅t 5 ⋅ ∅t
≥ 20 5 ⋅ ∅t 8 ⋅ ∅t
EMENDAS
Em alguns casos, pode ocorrer de serem necessárias emendas de barras, como quando o comprimento da viga contínua for maior do que o
comprimento da barra de aço. Nesses casos, o engenheiro projetista pode optar por:
Emenda por transpasse (mais usual).
Emenda por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas.
Emenda por solda.
Emenda por outros dispositivos devidamente justificados.
A emenda por transpasse não é permitida para barras de bitola maior que 32mm, e cuidados especiais devem ser tomados na ancoragem e na
armadura de costura dos tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada). No caso de feixes, o diâmetro do
círculo de mesma área, para cada feixe, não pode ser superior a 45mm.
O comprimento de transpasse para barras tracionadas da armadura longitudinal
é dado por:
(l0t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o
é o coeficiente relacionado com o percentual de barras emendadas (veja tabela 9) e o comprimento de transpasse mínimo
é máximo valor entre:
Barras emendadas na mesma seção (%)
1,2 1,4 1,6 1,8 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 9: Valores do coeficiente
Extraída de ABNT NBR 6118:2014, p.43.
Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas
menos de 20% do comprimento do trecho de transpasse, como na imagem a seguir. Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento
de transpasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro.
 Imagem 33: Emendas supostas como na mesma seção transversal.
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção.
Para mais informações sobre transpasse e emendas em barras, consulte a ABNT NBR 6118:2014, item 9.5.
lot = α0t ⋅ lb, nec  ≥ l0t, min 
α0t
(l0t)
0, 3 ⋅ α0t ⋅ lb.bás
15 ⋅ ∅
20cm
< 20
> 20
≤ 25
> 25
≤ 35
> 35
≤ 50
> 50
α0t
α0t
DETALHAMENTO DO PROJETO DA VIGA
A imagem a seguir ilustra como deve ser apresentado o detalhamento do projeto de uma viga. Todas as barras precisam estar acompanhadas da
numeração que apresenta sua posição (N1, N2, N3, etc.), do seu comprimento total e do comprimento de cada parte reta da barra. Além disso, é
preciso indicar o diâmetro e a quantidade de barras.
 Imagem 34: Detalhamento do projeto da viga V4.
Para os estribos, deve ser informado no comprimento longitudinal da viga qual o seu diâmetro e a ocorrência. No exemplo ilustrado, temos
estribos com diâmetro de 5mm espaçados em 22cm. Estão na posição N5 e, além da indicação na viga longitudinal, é preciso representá-los em
cortes esquemáticos, como o corte A e o corte B, que indicam o comprimento de cada parte reta do estribo e seu comprimento total. Embora não
esteja representada nessa imagem, é comum acrescentar a quantidade de estribos na viga.
Na armadura longitudinal, é possível identificar os ganchos de ancoragem nos apoios e as emendas de transpasse no encontro das barras.
Também é preciso indicar a posição da barra (N1, N2, N3 e N4) e informar o diâmetro, o comprimento de cada parte reta e o comprimento total da
barra.
No projeto estrutural das vigas, também é comum apresentar uma tabela de resumo de cada posição das armaduras utilizadas para o
dimensionamento informando posição, bitola, quantidade de barras e o comprimento unitário e total. Veja a imagem a seguir.
 Imagem 35: Tabela resumo da armação da viga V4.
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Comprimento de ancoragem das barras tracionadas
Utilização de ganchos
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aqui você desenvolveu habilidades para a elaboração do detalhamento das vigas do seu projeto em concreto armado. Agora você já é capaz de
dimensionar, realizar verificações de deslocamento e detalhar o projeto de uma viga. O detalhamento da viga vai indicar ao engenheiro de
execução como deve ser construída a viga por você dimensionada.
Os engenheiros calculistas trabalham cotidianamente com os exemplos de aplicação que vimos: pré-dimensionamento, determinação de esforços
em estruturas, verificação de flechas, cálculo das armaduras longitudinal e transversal e o detalhamento do projeto final. Você verá como os
assuntos tratados aqui estarão presentes no seu dia a dia de engenheiro calculista. 
 PODCAST
Agora, a especialista Larissa Camporez Araújo fará um resumo sobre o conteúdo abordado.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6118: projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro, RJ:
ABNT, 2014. 
CARVALHO, R. C. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos, SP:
EdUFSCar, 2014. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall, 2010. 
PARIZOTTO, L. Concreto armado. Porto Alegre, RS: SAGAH, 2017.
EXPLORE+
CONCLUSÃO
Pesquise a dissertação de mestrado Arranjos de armaduras para estruturas de concreto armado e veja como Eliane Fiorin aborda a
importância do arranjo dos detalhamentos em estruturas de concreto armado.
CONTEUDISTA
Larissa Camporez Araújo