UNIDADE 5 CÁLCULO: LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS

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CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS 
Cristiane da Silva
Continuidade
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir continuidade de uma função por limites.
 � Resolver situações matemáticas que envolvem funções contínuas e 
descontínuas.
 � Justificar a continuidade de uma função.
Introdução
A definição de continuidade por limites será subsequente à compreensão 
de funções descontínuas – aquelas em que há uma interrupção, repre-
sentada, em alguns casos, por uma bolinha aberta na curva do gráfico. 
Veremos que uma função pode ser contínua em alguns pontos e descon-
tínua em outros. Além disso, observaremos a aplicação de continuidade 
e descontinuidade em exemplos práticos. 
Ao longo do capítulo, serão apresentadas interpretações gráficas e 
exemplos de resolução de situações matemáticas por meio de limites. 
Assim, para justificar a continuidade de uma função, como das funções 
polinomiais, das funções racionais, de composições de funções, de fun-
ções trigonométricas e inversas, conheceremos algumas propriedades 
de continuidade discutidas por meio de teoremas e exemplificações. 
Continuidade de uma função por limites
Nesta seção, você verá o que caracteriza uma função como contínua, sendo as 
representações gráficas os elementos que contribuirão para esse entendimento. 
A palavra “contínua” supõe não ter quebras ou interrupções. Graficamente, 
podemos ilustrar uma função em uma curva inteira como contínua, conforme 
mostrado na Figura 1, a seguir. 
Figura 1. Curva inteira contínua: f(x) é contínua em x = c.
Fonte: Rogawski (2008, p. 63–64).
Por outro lado, uma quebra nessa curva é denominada uma descontinuidade, 
como mostra a Figura 2.
Continuidade2
Figura 2. g(x) tem uma descontinuidade em x = c.
Fonte: Rogawski (2008, p. 63–64).
Rogawski (2008, p. 64) define continuidade em um ponto da seguinte 
forma: “[...] suponha que f(x) esteja definida num intervalo aberto contendo 
x = c. Então, f é contínua em x = c se . Se o limite não existir, 
ou se existir, mas for diferente de f(c), dizemos que tem uma descontinuidade 
(ou que é descontínua) em x = c”.
É importante destacar que uma função pode ser contínua em alguns pontos 
e descontínua em outros. A seguir, veremos exemplos de uma função contínua 
em todos os pontos de um intervalo e todos os pontos do seu domínio.
Se f(x) for contínua em todos os pontos do intervalo I, então dizemos que f(x) é contínua 
em I. Supondo I um intervalo [a, b] ou [a, b) que inclua a como extremidade esquerda, 
exigimos que . Analogamente, postulamos que se 
I incluir b como extremidade direita. Se f(x) for contínua em todos os pontos do seu 
domínio, dizemos apenas que f(x) é contínua.
Exemplo: 
Mostre que as seguintes funções são contínuas.
3Continuidade
a) f(x) = k sendo k qualquer constante.
 Como f(x) = k para qualquer 
 O limite existe e é igual ao valor da função, portanto f(x) é contínua em x = c para 
todo c. Observe a Figura 3.
Figura 3. Gráfico de f(x) = k.
Fonte: Rogawski (2008, p. 64).
b) g(x) = x para qualquer x.
 O limite existe e é igual ao valor da função, portanto g(x) é contínua em c para todo 
c. Observe a Figura 4.
Figura 4. Gráfico de g(x) = x.
Fonte: Rogawski (2008, p. 64)
Continuidade4
Além de conhecer a definição de continuidade, é interessante saber que 
existem aplicações práticas. As descontinuidades, por exemplo, podem sinalizar 
a ocorrência de fenômenos físicos. 
A Figura 5a traz um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que 
é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0. A voltagem 
caiu para zero quando a linha foi cortada. A Figura 5b mostra o gráfico de unidades 
em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y1 
unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos 
momentos em que acontece o reabastecimento.
Figura 5. Exemplo de interrupção de cabo subterrâneo.
Uma conexão malfeita num cabo de transmissão pode causar uma descontinuidade 
no sinal elétrico transmitido.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 111).
Anton, Bivens e Davis (2014) definem continuidade em um intervalo por 
meio da explicação de que, se uma função for contínua em cada ponto de um 
intervalo aberto (a, b), dizemos que ela é contínua em (a, b). O mesmo ocorre 
para intervalos abertos infinitos (a, +∞), (–∞, b) e (–∞,+∞). Sendo que, quando 
a função for contínua em (–∞, +∞), dizemos que ela é contínua em toda parte.
Além disso, Anton, Bivens e Davis (2014) argumentam que uma função 
será contínua em uma extremidade de um intervalo se o valor ali for igual ao 
limite lateral adequado naquele ponto. 
5Continuidade
Figura 6. Função y = f(x)
Observe que a função da Figura 6 é contínua na extremidade direita do intervalo 
[a, b] porque:
Mas não é contínua na extremidade esquerda porque:
Em geral, dizemos que uma função é contínua à esquerda no ponto c se:
E é contínua à direita no ponto c se: 
Fonte: Anton, Bivens, Davis (2014, p. 112).
Dessa forma, uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a, b] 
se as seguintes condições são satisfeitas: 
 � f é contínua em (a, b); 
 � f é contínua à direita em a; 
 � f é contínua à esquerda em b.
Continuidade6
Funções contínuas e descontínuas
Nesta seção, acompanharemos exemplos de resolução de funções contínuas 
e descontínuas. Abordaremos interpretações gráficas, bem como funções 
definidas por partes na resolução de situações matemáticas.
Exemplo 1
O que pode ser dito sobre a continuidade da função ?
Solução: como o domínio natural dessa função é o intervalo fechado [–3, 3], 
precisamos investigar a continuidade de f no intervalo aberto (–3, 3) e nas 
duas extremidades. Se c for um ponto qualquer do intervalo (–3, 3), então 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):
provando que f é contínua em cada ponto do intervalo (–3, 3). A função f 
é também contínua nas extremidades, uma vez que:
Logo, f é contínua no intervalo fechado [–3, 3]. Observe a Figura 7.
7Continuidade
Figura 7. .
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 112).
Exemplo 2
Mostre que o polinômio p(x) =3x3 – x + 5 é contínuo no ponto x = 1 (HOFF-
MANN et al., 2018).
Solução: precisamos verificar se os três critérios de continuidade são satisfeitos. 
É evidente que p(1) é definida, já que p(1) = 7. Além disso, existe e 
. Assim:
como necessário para que p(x) seja contínua em x = 1.
Exemplo 3
Discuta a continuidade das seguintes funções (HOFFMANN et al., 2018):
a) 
b) 
c) 
Continuidade8
Solução:
a) Essa é uma função racional, portanto é contínua em todos os pontos 
em que está definida, ou seja, em todos os pontos nos quais o deno- 
minador é diferente de zero. é definida em todos os pontos, 
exceto x = 0, portanto é contínua para qualquer valor de x ≠ 0, como 
mostra a Figura 8.
Figura 8. Contínua para x ≠ 0.
Fonte: Hoffmann et al. (2018, p. 71–72).
b) Essa é uma função racional, portanto é contínua em todos os pontos em 
que está definida, ou seja, em todos os pontos nos quais o denominador 
é diferente de zero. Como x = –1 é o único valor de x para o qual g(x) 
não é definida, g(x) é contínua para qualquer valor de x ≠ –1, como 
mostra a Figura 9.
9Continuidade
Figura 9. Contínua para x ≠ –1.
Fonte: Hoffmann et al. (2018, p. 71–72). 
c) Essa função é definida em duas partes. Começamos verificando a conti-
nuidade em x = 1, sendo o valor de x comum às duas partes. Verificamos 
que não existe, já que h(x) tende a 2 pela esquerda e a 1 pela 
direita. Assim, h(x) não é contínua em x = 1, como mostra a Figura 10. 
Como os polinômios x + 1 e 2 – x são contínuos para qualquer valor 
de x, h(x) é contínua para qualquer valor de x ≠ 1.
Figura 10. Contínua para x ≠ 1.
Fonte: Hoffmann et al. (2018, p. 71–72).
Continuidade10
Os exemplos desta seção tiveram como propósito analisar a continuidade 
de algumas funções e resolver, por meio de limites, situações matemáticas 
envolvendo continuidade.
Continuidadede uma função
Nesta seção você estudará a continuidade dos polinômios, das funções ra-
cionais, de composições de funções, de funções trigonométricas e inversas. 
Algumas propriedades de continuidade das funções trigonométricas e inversas 
serão discutidas.
Anton, Bivens e Davis (2014) abordam um procedimento para mostrar que 
uma função é contínua em toda parte a partir da verificação da continuidade 
em um ponto arbitrário. Se considerarmos p(x) um polinômio e a um número 
real qualquer, então . Isso mostra que os polinômios são con-
tínuos em toda parte. Cabe destacar que as funções racionais são quocientes 
de polinômios, e, portanto, as funções racionais são contínuas nos pontos em 
que o denominador não se anula, e que nesses zeros há descontinuidades. 
Ainda segundo os autores, outra análise importante dá-se por meio do 
entendimento do cálculo do limite da composição de funções. Pode-se afirmar 
que um símbolo de limite pode passar pelo sinal de função desde que o limite da 
expressão dentro desse sinal exista e que a função seja contínua. Podemos eluci-
dar essa explicação pelo teorema a seguir: “[...] se e a função f for 
contínua em L, então , ou seja, . 
Essa igualdade permanece válida se todos os forem trocados por um dos 
limites , , , ” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 114).
Considera-se, também, o caso especial do teorema em que f(x) = |x|. Como 
|x| é contínua em toda parte, temos que sempre que 
existir .
11Continuidade
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 114).
Agora, veremos a continuidade da composição de funções em um ponto 
específico e em toda parte, de acordo com o teorema.
 � Se a função g for contínua em um ponto c, e a função f for contínua no ponto g(c), 
então a composição f ∘ g será contínua em c.
 � Se a função g for contínua em toda parte, e a função f for contínua em toda parte, 
então a composição f ∘ g será contínua em toda parte.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 115).
Observe que, para provar que a composição f ∘ g é contínua em c, é preciso 
mostrar que os valores de f ∘ g e de seu limite são os iguais em x = c. 
Continuidade12
Vimos que |x| é contínua em toda parte, assim, se g(x) for contínua no 
ponto c, a função |g(x)| deverá ser contínua no ponto c. Sendo assim, podemos 
dizer que o valor absoluto de uma função contínua é uma função contínua 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
O polinômio g(x) = 4 – x2 é contínuo em toda parte, assim, podemos concluir que a 
função |4 – x2| também é contínua em toda parte, como mostra a Figura 11.
Figura 11. Função y = |4 – x2|.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 115).
Veremos que as funções sen x e cos x são contínuas. Para tanto, vamos 
considerar c um ângulo fixo e x um ângulo variável, medidos em radianos. 
Como mostra a Figura 12, quando o ângulo x tende ao ângulo c, o ponto P(cos x, 
sem x) move-se no círculo unitário em direção ao ponto Q(cos c, sen c), e as 
coordenadas de P tendem às correspondentes coordenadas de Q (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014). 
e
13Continuidade
Figura 12. Quando x tende a c, o ponto P tende ao ponto 
Q.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 121).
Anton, Bivens e Davis (2014) mostram, portanto, que: sen x e cos x são 
contínuos em um ponto arbitrário c, e essas funções são contínuas em toda 
parte. Além disso, as seis funções trigonométricas básicas são contínuas em 
seus domínios, como pode ser visto no teorema a seguir: se c for qualquer 
número no domínio natural da função trigonométrica enunciada, então:
Continuidade14
Em quais pontos a função é contínua?
Solução: o quociente será uma função contínua em todos os pontos em que o 
numerador e o denominador forem ambos funções contínuas, e o denominador 
não for zero. Como arc tg x é contínua em toda parte, e ln x é contínua com x > 0, o 
numerador é contínuo se x > 0. O denominador, sendo um polinômio, é contínuo 
em toda parte, de modo que o quociente é contínuo em todos os pontos, tais que 
x > 0 e o denominador for não nulo. Assim, f é contínua nos intervalos (0, 2) e (2, +∞). 
No que diz respeito à continuidade de funções inversas, cabe lembrar-se 
de que os gráficos de uma função injetora f e sua inversa f–1 são uma reflexão 
do outro pela reta y = x. Assim, se o gráfico de f não tem quebras ou buracos, 
tampouco o gráfico de f–1 terá. Como a imagem de f é o domínio de sua inversa 
f–1, permite-se chegar ao seguinte teorema: “[...] se f for uma função injetora 
que é contínua em cada ponto de seu domínio, então f–1 será contínua em cada 
ponto de seu domínio, ou seja, f–1 será contínua em cada ponto da imagem de 
f” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 122).
Prove que arc sen x é contínua no intervalo .
Solução: lembre-se de que arc sen x é a função inversa da função seno restrita, cujo 
domínio é o intervalo e cuja imagem é o intervalo [-1, 1]. Como sen x é contínua 
 
no intervalo , isso implica que arc sen x é contínua no intervalo [–1, 1].
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014).
15Continuidade
ANTON, H.; BRIVES, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2008. v. 1.
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