Aula 3 - Circuitos Elétricos I

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GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA 
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
2.4. NÓS, RAMOS E LAÇOS 
Conhecemos anteriormente que um circuito elétrico é caracterizado pela inter-
conexão entre elementos, porém veremos que estes elementos podem ser conecta-
dos de diversas maneiras. Por isso, em análises de circuitos é muito importante estu-
darmos as propriedades relacionadas à colocação dos elementos nos circuitos e a 
sua configuração geométrica. 
Um ramo é qualquer elemento de dois terminais, podendo ser, portanto, um 
componente simples como um resistor ou uma fonte ou um grupo de componentes 
percorrido pela mesma corrente. 
 
Em um circuito, um nó é indicado por um ponto. Este ponto interliga dois ou 
mais ramos. Se um curto-circuito conecta dois nós, estes constituem, portanto, um 
único nó. Em um circuito real, os nós podem ser o ponto de solda, incluindo todos os 
condutores conectados a esse ponto. 
 
Um laço é um caminho fechado, iniciando-se em um nó, passando por uma 
série de nós e retornando ao nó inicial sem passar por qualquer outro mais de uma 
vez. Podemos dizer que um laço é independente se ele contiver pelo menos um ramo 
que não faça parte de outro laço independente. Em um circuito, podemos formar um 
conjunto de laços independentes que resultam em um conjunto de equações indepen-
dentes. Uma malha é um laço que não possui caminhos fechado em seu interior. 
AULA 3 
Ramo representa um elemento único ou conjunto de elementos percorridos pela 
mesma corrente. 
Observação: 
O teorema fundamental da topologia de rede determina que em uma 
rede com b ramos, n nós e l laços independentes, deve satisfazer a condição: 
𝒃 = 𝒍 + 𝒏 − 𝟏 
 
Nó é o ponto de conexão entre dois ou mais ramos. 
Laço é qualquer caminho fechado em um circuito. 
 
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No exemplo de circuito a seguir, podemos classificar cada fonte e cada resistor 
como um ramo, portanto temos 5 ramos. Podemos visualizar três nós, representados 
pelas letras a, b e c. Vale ressaltar que os nós interligados por curtos-circuitos, fazem 
parte de um único nó. Além disso, neste circuito é possível formar até três laços inde-
pendentes, como por exemplo, o caminho fechado entre a fonte de tensão, o resistor 
de 5 Ω, o resistor de 2 Ω e o retorno até a fonte de tensão seria um laço, representado 
pela seta azul. Da mesma forma ocorrem os laços representados pelas setas verme-
lha e verde. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras duas definições importan-
tes em topologia de circuitos, que são de 
grande valia para os estudos de tensões 
e correntes, são as definições de cone-
xão em série e conexão em paralelo. 
Os elementos estão em série 
quando estiverem conectados em se-
quência, de ponta a ponta, comparti-
lhando um nó em comum e que nenhum 
outro elemento estiver conectado a esse 
nó. 
Os elementos estão conectados 
em paralelo quando são conectados ao 
mesmo par de terminais e estiverem 
submetidos a mesma tensão. 
Figura 16: Representação de nós, ramos e laços. 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SADIKU, MATTHEW N. O. Funda-
mentos de Circuitos Elétricos 5ª Edição. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 
2013. Pág. 32. 
 Figura 17: Representação de ligação em série. 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SADIKU, 
MATTHEW N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos 
5ª Edição. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2013. Pág. 39. 
 Figura 18: Representação de ligação em paralelo. 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SADIKU, 
MATTHEW N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos 
5ª Edição. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2013. Pág. 40. 
 
 
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2.5. LEIS DE KIRCHHOFF 
As leis de Kirchhoff juntamente com a lei de Ohm, formam um conjunto de fer-
ramentas poderoso e suficiente para análise de circuitos elétricos. As análises, teore-
mas e técnicas mais complexas que veremos nas próximas aulas, são basicamente a 
aplicação destas leis juntamente com a utilização de recursos matemáticos. 
A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) determina que a soma das correntes 
que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. Esta lei é 
baseada na lei da conservação da carga, a qual diz que cargas não podem ser criadas 
nem destruídas e, portanto, como o conceito de corrente elétrica está intimamente 
ligado as cargas elétricas, o mesmo se aplica para as correntes em um nó. 
 
Matematicamente, a LKC implica o seguinte: 
∑ 𝑖𝑛
𝑁
𝑛=1
= 0 
Onde N é o número de ramos conectado ao nó e in é a enésima corrente que 
entra (ou sai) do nó. 
 
𝑖1 + 𝑖3 + 𝑖4 = 𝑖2 + 𝑖5 
𝑖1 + 𝑖3 + 𝑖4 − 𝑖2 − 𝑖5 = 0 
Componentes estão em série se são percorridos pela mesma corrente. 
Componentes estão em paralelo se são submetidos à mesma tensão. 
 
A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) diz que a soma algébrica das correntes 
que entram em um nó em qualquer instante (ou limite fechado) é zero. 
 
Observação: 
É importante ressaltar que quando 
dizemos “soma algébrica” significa que os 
sinais das correntes devem ser considera-
dos na soma, portanto, consideramos as 
correntes que entram no nó como positivas 
e as correntes que saem como negativas. 
 
Figura 19: Correntes em um nó e LKC 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SA-
DIKU, MATTHEW N. O. Fundamentos de 
Circuitos Elétricos 5ª Edição. Porto Ale-
gre: Mc Graw Hill, 2013. Pág. 34. 
 
 
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Uma aplicação simples da LKC é a 
associação de fontes de corrente em para-
lelo. A associação pode ser substituída por 
uma fonte equivalente cujo valor de corrente 
é a resultante da soma algébrica das corren-
tes fornecidas pelas fontes individuais. Por 
exemplo, as fontes da figura 20a podem ser 
combinadas, como mostra a figura 20b. 
 
A lei de Kirchhoff para tensão (LKT) ou lei das malhas, determina que a soma 
das quedas de tensão é igual a soma das elevações de tensão em um laço fechado. 
Esta lei se baseia no princípio da conservação de energia, a qual diz que energia não 
pode ser criada nem destruída e, portanto, como o conceito de tensão está intima-
mente ligado ao conceito de trabalho e energia, o mesmo se aplica para as tensões 
em um laço fechado. 
 
Matematicamente, a LKT implica o seguinte: 
∑ 𝑣𝑚
𝑀
𝑚=1
= 0 
Onde M é o número de tensões no laço e vm é a enésima tensão presente no 
laço. 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SADIKU, 
MATTHEW N. O. Fundamentos de Circuitos Elé-
tricos 5ª Edição. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2013. 
Pág. 35. 
 
Figura 20: Associação de fontes de corrente em 
paralelo. 
Observação: 
Um circuito não pode conter 
duas fontes de corrente ideais dife-
rentes em série, a menos que I1 = I2, 
caso contrário a LKC seria violada. 
 
A lei de Kirchhoff para tensão (LKT) diz que a soma algébrica de todas as 
tensões em torno de um caminho fechado (ou laço) é zero. 
 
 
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O circuito da figura 21 ilustra a 
aplicação da LKT. 
 
𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣5 = 𝑣1 + 𝑣4 
𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣5 − 𝑣1 − 𝑣4 = 0 
 
Para analisarmos a LKT em um laço, como foi feito na figura 21, é fato que as 
fontes de tensão já possuem suas polaridades definidas, no entanto a polaridade dos 
elementos passivos depende do sentido da corrente que flui por eles e eventualmente 
essa polaridade não é indicada nem conhecida. Uma dica importante é não se prender 
em descobrir o sentido da corrente neste momento. O que pode ser feito inicialmente 
é definir uma corrente fictícia no sentido horário ou anti-horário e determinar as pola-
ridades dos elementos passivos de acordo com o sentido dessa corrente. O sentido 
desta corrente também servirá de referência para montarmos a equação de LKT, onde 
consideraremos algebricamente positivas as tensões no qual a corrente entra pelo 
polo positivo e negativas as tensões no qual a corrente entra pelo polo negativo. Se 
após a análise inicial obtivermos tensão negativa em algum elemento passivo, isso 
significa que a sua polaridade de fato é oposta a referência utilizada e isso significa 
também que a corrente imaginada inicialmente percorrendo esse elemento é negativa, 
ou seja, na realidade a corrente flui em sentido contrário ao utilizado como referência. 
Uma aplicação simples da LKT é a associação de fontes de tensão em série. A 
associação pode ser substituída por uma fonte equivalente cujo valor de tensão é a 
resultante da soma algébrica das tensões fornecidas pelas fontes individuais. Por 
exemplo, as fontes da figura 22a podem ser combinadas, como mostra a figura 22b. 
 
Observação: 
A LKT pode ser aplicada per-
correndo o laço no sentido horário 
ou no sentido anti-horário. Inde-
pendente do sentido adotado, a soma 
algébrica das tensões em torno do 
laço é zero. 
 
Figura 21: Tensões em um laço e LKT 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SADIKU, 
MATTHEW N. O. Fundamentos de Circuitos Elé-
tricos 5ª Edição. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 
2013. Pág. 36. 
 
 
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2.6. PROBLEMAS RESOLVIDOS 
1) Encontre as correntes desconhecidas para o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
R: 
Podemos encontrar a corrente I1 analisando o nó onde ela chega. A escolha de 
analisar este nó e não o outro, deve-se ao fato de se conhecer todos os valores das 
demais correntes. Utilizando a LKC, considerando positiva as correntes que entram e 
negativas as que saem, temos: 
𝐼1 + 5 − 3 − 4 = 0 
𝐼1 = −5 + 3 + 4 = 𝟐 𝑨 
Conhecendo a corrente I1, podemos agora aplicar a LKC no outro nó e encon-
trar a corrente I2: 
−𝐼2 − 2 + 3 − 7 = 0 
𝐼2 = −2 + 3 − 7 = −𝟔 𝑨 
 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SADIKU, 
MATTHEW N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos 
5ª Edição. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2013. Pág. 36. 
 
Figura 22: Associação de fontes de tensão em série. 
Observação: 
Um circuito não pode 
conter duas fontes ideais de 
tensão com valores diferentes 
em paralelo, a menos que V1 = 
V2, caso contrário a LKT seria 
violada. 
 
 
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2) Encontre a corrente i0 para o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
R: 
Para encontrarmos a corrente i0 devemos aplicar a LKC no nó a. Devemos ficar 
atento pois a fonte de corrente a esquerda é uma fonte dependente, ou seja, o seu 
valor de corrente depende do próprio valor de i0. Aplicando a LKC teremos a seguinte 
equação: 
0,5𝑖0 − 𝑖0 + 3 = 0 
−0,5𝑖0 = −3 
𝑖0 =
−3
−0,5
= 𝟔 𝑨 
3) Encontre a tensão de circuito aberto V para o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
R: 
Para encontrarmos a tensão V devemos aplicar a LKT ao laço. Devemos res-
peitar a polaridade dos elementos que já estão determinadas e seguir apenas um 
sentido de análise. Adotaremos a análise no sentido horário, dessa forma temos: 
−10 + 20 + 60 − 40 + 𝑉 = 0 
𝑉 = +10 − 20 − 60 + 40 = −𝟑𝟎 𝑽 
 
O resultado negativo significa que a tensão V possui polaridade oposta à pola-
ridade dada como referência no circuito. 
 
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4) Encontre as tensões v1 e v2 para o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
R: 
Para encontrarmos as tensões v1 e v2 devemos aplicar a LKT ao laço. Devemos 
respeitar a polaridade dos elementos que já estão determinadas e seguir apenas um 
sentido de análise. Adotaremos a análise no sentido horário, dessa forma temos: 
−32 + 𝑣1 − (−8) − 𝑣2 = 0 
 
Nos deparamos com uma equação com duas incógnitas: v1 e v2. Para resolver 
esta questão, sabendo a resistência dos elementos e que a corrente que circula sobre 
eles é a mesma, utilizaremos a lei de Ohm para representar v1 e v2, lembrando que 
o terminal positivo do elemento passivo é onde a corrente entra e como adotamos 
para análise uma corrente no sentido horário, temos: 
𝑣1 = 4𝑖 e 𝑣2 = −2𝑖 
−32 + 4𝑖 − (−8) − (−2𝑖) = 0 
4𝑖 + 2𝑖 = 32 − 8 
6𝑖 = 24 
𝑖 =
24
6
= 4 𝐴 
Conhecendo o valor da corrente i, podemos obter a tensão v1 da seguinte 
forma: 
𝑣1 = 4𝑖 = 4 × 4 = 𝟏𝟔 𝑽 
Conhecendo o valor da corrente i, podemos obter a tensão v2 da seguinte 
forma: 
𝑣2 = −2𝑖 = −2 × 4 = −𝟖 𝑽 
O resultado negativo mostra que a tensão v2 possui polaridade oposta à pola-
ridade dada como referência no circuito. 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
O’ MALLEY, JOHN. Análise de Circuitos, 2. Ed. São Paulo: MAKRON Books, 1993. 
ALEXANDER, CHARLES K.; SADIKU, MATTHEW N. O. Fundamentos de Circuitos, 
5. Ed. Porto Alegre: Mc Graw Hill, 2013. 
IRWIN, J. DAVID ; NELMS, R. MARK. Análise básica de Circuitos para Engenharia, 
10. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
NILSSON, JAMES W. Circuitos Elétricos, 10. Ed. São Paulo: Pearson, 2016. 
BOYLESTAD, ROBERT. Introdução à análise de Circuitos, 13. Ed. São Paulo: Pe-
arson, 2019. 
MARKUS, OTAVIO. Circuitos Elétricos. Érica, 2004.