RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS MECÂNICOS

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS MECÂNICOS
6º PERÍODO
TEMA 1: PROPRIEDADES GEOMETRICAS DE ÁREA 
A aplicação das equações matemáticas no estudo das principais propriedades geométricas de uma seção reta de área A. Compreender as propriedades geométricas de uma seção de área A como requisito fundamental na formação do engenheiro, pois tais propriedades geram uma importante ferramenta no aprendizado de efeitos comuns, como: torção, flexão e cisalhamento, em estruturas.
MÓDULO 1: CALCULAR O CENTROIDE DE UMA ÁREA.
INTRODUÇÃO
No estudo das propriedades geométricas de uma área A, é fundamental reconhecer o ponto denominado centroide, uma vez que várias expressões matemáticas dos fenômenos ocorridos em uma estrutura o utilizam como referencial (eixos que passem por esse ponto). Além disso, é importante calcular as coordenadas desse ponto em relação a um dado conjunto de eixos.
A figura mostra uma área A, no plano xy, e o seu centroide C cujas coordenadas são dadas por e .
Centroide
CENTROIDE VERSUS CENTRO DE MASSA
O centroide de uma área e centro de massa são identificados pelas coordenadas de um ponto. Seus conceitos são distintos, mas sob determinadas condições, esses pontos podem ser coincidentes, apresentando a mesma localização em relação a um par de eixos.
Supondo uma placa no plano xy de espessura constante t e massa específica uniforme, os pontos que definem o centro de massa e o centroide coincidem. A figura a seguir apresenta uma área A cujo material possui massa específica não constante. Nesse caso, o centroide e o centro de massa não coincidem.
No caso de uma superfície geométrica com massa específica constante, os pontos associados ao centroide e ao centro de massa são coincidentes, isto é, apresentam as mesmas coordenadas para um mesmo par de eixos.
Atenção: O centroide está associado exclusivamente à geometria da área. Assim, dois retângulos congruentes, sendo um constituído de alumínio e o outro, de madeira, apresentarão o mesmo centroide para o mesmo par de eixos.
Exemplo 1: Considere dois retângulos com dimensões b e h (em centímetros) e um mesmo par de eixos xy. O primeiro dos retângulos é constituído de aço 1020 e o segundo de alumínio 7012. A respeito das coordenadas dos centroides (em centímetros) dessas duas seções geométricas, qual é a opção que pode apresentar corretamente as coordenadas do centroide de cada retângulo?
a) (1, 2) e (2 e 1)
b) (1, 2) e (5 e 6)
c) (4, 1) e (4 e 1)
d) (0, 0) e (1 e 1)
e) (2, 1) e (6 e 5)
Resolução: O centroide independe do tipo de material que compõe a área. É função apenas da área. Considere as figuras a seguir que representam os dois retângulos descritos no exemplo para o eixo xy.
Como as dimensões são iguais e os eixos de referências são idênticos, os centroides apresentarão mesmas coordenadas (a, b). Assim, a alternativa C é a única possível.
DETERMINAÇÃO DO CENTROIDE
No item anterior, foi feita uma análise qualitativa sobre o centroide de uma área A. Agora, o objetivo é a determinação do centroide, ou seja, encontrar suas coordenadas .
Na figura abaixo tem-se uma representação esquemática de uma área A, o ponto centroide e as coordenadas para o par xy considerado.
As coordenadas do centroide são determinadas a partir das equações 1 e 2, a seguir:
Exemplo 2
Determinar as coordenadas do centroide de um retângulo de base b e altura h em relação aos eixos x e y.
RESOLUÇÃO: Inicialmente, deve-se individualizar um elemento infinitesimal de área dA. Nesse exemplo, o elemento de área é um retângulo vertical de base dx e altura h. A abscissa do centroide desse elemento é x.
Exemplo 2.1 - Aplicação
Determine o centroide de uma placa retangular de base 20cm e altura 8cm em relação ao par de eixos x e y, de tal forma que x passe pela base do retângulo e y, pela altura, à esquerda.
RESOLUÇÃO: A partir das expressões encontradas no exemplo anterior, basta fazer a substituição dos valores da base e da altura. Assim:
Logo, C (10, 4) cm.
O centroide de uma área pode ser um ponto pertencente ou não à área A.
A figura 6 representa as duas possibilidades.
Figura 6 - Centroide de uma área pertencente e não pertencente à área
TEOREMA DA SIMETRIA
Muitas seções que são utilizadas na Engenharia apresentam simetria, como os perfis mostrados abaixo.
Figura 7 - Seções com simetrias (eixos representados).
Havendo a simetria na área em que se deseja determinar o centroide, o teorema da simetria é uma ferramenta que auxilia na determinação de suas coordenadas. O centroide C estará sobre o eixo de simetria. No caso de existirem dois eixos de simetria, o centroide C estará na interseção desses eixos.
A partir do teorema da simetria, é fácil localizar o centroide de uma placa retangular de dimensões b (base) e h (altura). A figura a seguir, ilustra a utilização do teorema para o caso de um retângulo.
Figura 8 - Centroide de um retângulo a partir do teorema da simetria
EXEMPLO: Suponha um retângulo de área 72cm² e tal que sua base seja o dobro de sua altura. Determine as coordenadas do centroide em relação ao par de eixos indicados na figura.
RESOLUÇÃO: 
Utilizando o teorema da simetria é possível localizar o centroide da área retangular. Veja:
Da figura anterior, é possível determinar (por inspeção) as coordenadas do centroide em relação aos eixos considerados. Assim, a abscissa do centroide é igual a 10cm e a ordenada é igual a 5cm.
CENTROIDE DE FIGURAS COMPOSTAS
Muitas seções podem ser decompostas em figuras geométricas mais simples, cuja localização do centroide é conhecida. Dessa forma, a partir de uma média ponderada, é possível determinar o centroide da figura composta. As relações matemáticas são apresentadas nas equações 3 e 4.
Em que e são as coordenadas do centroide do elemento i que forma a peça composta e Ai sua área. A tabela mostra algumas figuras geométricas simples e as coordenadas de seus centroides em relação ao par xy adotado.
Tabela 1 – Centroides de figuras geométricas.
Conhecendo as expressões simples da tabela 1, é possível determinar o centroide de peças compostas a partir dessas figuras geométricas, utilizando as equações 3 e 4.
EXEMPLO 3: Considere um perfil T cujas dimensões são apresentadas na figura. Determine as coordenadas de seu centroide em relação ao par de eixos apresentado.
RESOLUÇÃO: A partir do teorema da simetria, o centroide do perfil T encontra-se no eixo de simetria. Logo, a abscissa do centroide do perfil T é 10cm.
Para a determinação da ordenada do centroide, será feita a decomposição da figura, conforme esquema a seguir:
Considerando os retângulos 1 e 2, tem-se:
MÃO NA MASSA
1. Considere uma área na forma de um retângulo de dimensões 100mm (base) e 50mm (altura). Em relação ao par de eixos xy mostrado na figura, as coordenadas do centroide da área estão corretamente expressas na opção:
A) C (50,25) mm
B) C (25,50) mm
C) C (0,0) mm
D) C (50,50) mm
E) C (25,25) mm
RESOLUÇÃO: A alternativa "A" está correta. O retângulo apresenta dois eixos de simetria (passando pelos pontos médios da base e da altura). Assim, o seu centroide encontra-se na metade da base e na metade da altura, ou seja, 50mm e 25mm. Considerando o par de eixos adotado, C (50,25)mm.
2. Seja uma seção retangular de dimensões 80mm (base) e 40mm (altura). Em relação ao par de eixos xy (passando nos pontos médios da base e da altura) mostrado na figura, quais as coordenadas do centroide da área?
A) C (40,20) mm
B) C (20,40) mm
C) C (20,20) mm
D) C (0,0) mm
E) C (40,40) mm
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta. O retângulo apresenta dois eixos de simetria. Assim, o seu centroide encontra-se no encontro desses eixos. Os eixos x e y adotados são os de simetria. Logo, o centroide está na origem, isto é, C(0,0)mm. 
3. Um estagiário de Engenharia necessita determinar o centroide da área (quarto de círculo de raio R) da figura a seguir, tomando-se os eixos x e y como referência.
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta. O quarto de círculo possui um eixo de simetria que é a reta bissetriz dos eixos. Assim, o centroide está sobre essa bissetriz.Como o ângulo é de 45º, o centroide é equidistante dos eixos x e y (triângulo isósceles – ver figura). Uma vez que, para o semicírculo, o centroide está a uma distância de  do diâmetro, é possível concluir que  . Observe a figura a seguir:
4. Considere um perfil na forma de um T, conforme a ilustração a seguir. As abas superior e inferior têm, respectivamente, 20cm e 10cm e estão simetricamente dispostas em relação à alma do perfil de espessura 2cm. A ordenada do centroide dessa área é:
A) 10cm
B) 12cm
C) 8,5cm
D) 7,5cm
E) 7cm
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "C". Fazendo a decomposição do perfil em três retângulos: superior, base e vertical, e determinando a ordenada dos seus centroides em relação ao par xy e suas áreas, tem-se:
· Retângulo horizontal base: e 
· Retângulo aba superior: e 
· Retângulo vertical: e 
A partir da equação 4:
5. Considere as afirmativas a seguir:
I. O centro de massa e o centroide de uma superfície sempre coincidem.
II. O centroide de uma superfície sempre pertencerá à superfície.
III. Quando uma superfície apresenta um eixo de simetria, o centroide sempre estará sobre esse eixo.
IV. As coordenadas do centroide de uma área independem dos eixos adotados como referências.
São corretas:
A) Apenas a afirmativa II
B) Apenas a afirmativa III
C) Apenas as afirmativas II e III
D) Apenas as afirmativas I, II e III
E) Apenas as afirmativas I, II e IV
RESOLUÇÃO: A alternativa "B" está correta.
I – O centro de massa e o centroide coincidem quando a superfície é constituída de material cuja massa específica é constante.
II – O centroide pode estar ou não na superfície, dependendo da distribuição da área.
IV – As coordenadas do centroide dependem do referencial adotado. O ponto físico não muda de posição, mas suas coordenadas podem variar para cada par de eixos xy adotado.
6. Considere uma seção reta de uma viga, representada pela figura. A expressão matemática associada é dada por , .
Determinando a abscissa do centroide da seção, o valor encontrado é:
A) 150mm
B) 180mm
C) 250mm
D) 300mm
E) 320mm
RESOLUÇÃO:
TEORIA NA PRÁTICA
Um engenheiro faz parte de uma equipe que deverá dimensionar uma estrutura. Uma das etapas desse dimensionamento é a determinação do centroide de uma seção representada pela figura. A expressão matemática associada é dada por , .
RESOLUÇÃO:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBFC ‒ EBSERH ‒ 2020 ‒ Engenheiro Mecânico) O uso de integrais no desenvolvimento de componentes mecânicos permite que o engenheiro possa obter diversos parâmetros utilizados nos cálculos de resistência de uma peça. A respeito do cálculo do centroide, assinale a alternativa correta:
A) O centroide sempre terá o mesmo valor, em módulo, do centro de massa de uma mesma peça.
B) Só é possível obter o centroide de uma área caso a secção seja simétrica em um dos eixos.
C) Para cálculo do centroide, é necessário saber o material da peça em questão.
D) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro geométrico dela.
E) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro de massa de uma peça.
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta. O centroide de uma área independe do material. É função exclusiva da forma. O centro de massa é dependente da massa específica do material. Centroide e centro de massa coincidem quando a massa específica do material que constitui a área é constante.
2. Uma estrutura tem uma viga em perfil I tal que as abas superior e inferior apresentam o mesmo comprimento, e a alma está simetricamente disposta em relação as essas abas. Observe a seção reta dessa viga:
As dimensões são as seguintes: as abas (retângulos horizontais) têm 100mm de comprimento e 10mm de espessura, e a alma (retângulo vertical) tem 120mm de comprimento e espessura de 10mm. Com relação aos eixos x e y adotados (de simetria), as coordenadas do centroide são:
A) (50,60) mm
B) (60,50) mm
C) (0,70) mm
D) (0,0) mm
E) (50,70) mm
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta. Uma vez que os eixos x e y considerados são simétricos, o teorema da simetria afirma que o centroide se localiza em sua interseção. Como a interseção é a origem do par, o centroide tem coordenadas (0,0) mm.
MÓDULO 2: CALCULAR O MOMENTO ESTÁTICO DE UMA ÁREA
INTRODUÇÃO
O momento estático de uma área A também é denominado momento de primeira ordem. Matematicamente, sua determinação é realizada pela resolução de uma integral. Uma aplicação para o momento estático é a determinação das coordenadas do centroide de uma área, visto no módulo anterior.
CONCEITOS DE MOMENTO ESTÁTICO DE UMA ÁREA
Considere uma área A e dois eixos x e y de referência.
Figura 9 - Área A e par xy de referência.
Considerando um elemento infinitesimal de área dA, os momentos estáticos dessa área são definidos em relação aos eixos x e y, de acordo com as equações 5 e 6.
Em que y e x são, respectivamente, as distâncias da área infinitesimal aos eixos x e y.
Integrando-se as equações 5 e 6, tem-se os momentos estáticos da área A em relação aos eixos x e y. Observe as equações 7 e 8:
As unidades de momento estático são unidades de comprimento elevadas à terceira potência, ou seja, cm³, m³, mm³etc.
EXEMPLO 4: Seja uma seção retangular de base b, altura h e o par xy, conforme figura. Determine os momentos estáticos da seção em relação aos eixos.
Inicialmente, deve-se individualizar um elemento infinitesimal de área dA. Nesse exemplo, o elemento de área é um retângulo vertical de base dx e altura h, sendo a distância desse elemento ao eixo y igual a x.
SINAIS DO MOMENTO ESTÁTICO
Considere o par de eixos xy e seus quatro quadrantes. Em cada um desse quadrantes, existe uma área .
Figura 10 - Áreas  nos quatro quadrantes.
As áreas e sempre apresentam valores positivos e as coordenadas x e y em cada quadrante podem ter valores positivos ou negativos. 
MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE
No módulo 1, as equações 1 e 2 determinam as coordenadas do centroide de uma área. A partir dessas equações, é possível escrever que:
ATENÇÃO: A partir das expressões anteriores, é possível afirmar que quando o eixo considerado para o cálculo do momento estático for centroidal (passar pelo centroide), o momento de primeira ordem (ou momento estático da área) é nulo.
EXEMPLO 5: Considere a seção retangular da figura a seguir, em que a base (b) é igual a 200mm e a altura (h), 80mm. Determine o momento estático em relação aos eixos x e y.
RESOLUÇÃO: 
EXEMPLO 6: Determine a expressão para o momento estático em relação ao eixo x de uma placa com o formato de um semicírculo de raio R.
RESOLUÇÃO: 
MÃO NA MASSA
1. Considere que o eixo de transmissão de potência de um motor seja circular maciço de 100mm de raio. Suponha uma seção reta do eixo circular e dois eixos, horizontal e vertical, que passam pelo centro do círculo. Determine os momentos estáticos da seção reta em relação aos eixos x e y.
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "D". O centroide do círculo coincide com o seu centro, devido ao fato de dois eixos de simetria concorrerem nesse centro. Assim, os momentos estáticos do círculo em relação aos eixos x e y que passam pelo centro, serão nulos. Observe que:
 2. A figura a seguir apresenta uma região retangular cujas dimensões são: base 12cm e altura 6cm. Considerando o eixo x da figura, determine o momento estático da área retangular em relação ao eixo x considerado.
RESOLUÇÃO: A alternativa "C " está correta. Considere o centroide do retângulo, mostrado na figura.
3. Suponha uma seção reta com a forma de um quadrado de lado L. O momento estático da área em relação ao eixo horizontal x que passa pela base do quadrado é dado pela seguinte expressão:
RESOLUÇÃO: A alternativa “A” está correta.
4. Uma viga tem comprimento de 2m e seção reta um semicírculo de diâmetro 300mm. O momento estático da seção em relação ao eixo que coincide com o diâmetro, em mm³, é igual a:
RESOLUÇÃO: A alternativa "E " está correta.
5. Considere a seção reta de uma estrutura, conforme a figura. Supondo que o raio do quarto de círculo vale 300mm, determine o momento estáticoem relação ao eixo e, que passa pelo centroide da área.
RESOLUÇÃO: A alternativa "A " está correta. Como o eixo considerado para o cálculo do momento estático da seção (ou de primeira ordem) passa pelo centroide dessa área (eixo centroidal), o momento estático é nulo.
6. Uma estrutura mecânica é construída utilizando-se o aço ASTM A36. Uma das partes dessa estrutura é uma viga, cuja seção reta é um quarto de círculo de raio 3,0 dm. Um dos cálculos a ser realizado pelo engenheiro é o do momento estático da seção reta. Considerando o eixo que coincide com o raio, o valor do momento estático da seção reta vale:
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "C".
TEORIA NA PRÁTICA
O engenheiro utilizará o perfil em U em umas das vigas de uma estrutura. Ele deverá fazer uma série de cálculos que envolvem a geometria da seção reta. Dentre os cálculos, ele necessita conhecer o momento estático ou de primeira ordem da seção em relação ao eixo horizontal, conforme figura.
RESOLUÇÃO: Cálculo do momento estático de uma seção composta:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Considere o par de eixos xy, tal que x seja horizontal para a direita e y, vertical para cima, dividindo o plano em quatro quadrantes. Uma área retangular encontra-se inteiramente no terceiro quadrante. A respeito do momento estático dessa área em relação ao eixo x, pode-se afirmar que:
RESOLUÇÃO: A alternativa “B” está correta. 
2. Considere um eixo circular maciço cujo diâmetro é dado por D. Determine o momento estático ou de primeira ordem do círculo em relação ao eixo x.
RESOLUÇÃO: A alternativa “C” está correta.
MÓDULO 3: CALCULAR O MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA.
INTRODUÇÃO
Na Engenharia, a determinação das propriedades geométricas de uma área é importante, por exemplo, no dimensionamento de pequenas estruturas. A propriedade geométrica denominada momento de inércia da área A (em relação a um dado eixo) ou momento de área de segunda ordem será apresentada neste módulo.
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y
Considere a figura a seguir em que uma área A é representada. Um elemento infinitesimal dessa área (dA) está destacado. O momento de inércia desse elemento de área em relação ao eixo x, ou momento de área de segunda ordem, é dado pelo produto do momento estático da área dA pela distância ao eixo x (representado por y).
Figura 11 - Seção reta e elemento de área dA individualizado.
Na figura a seguir a situação é similar, contudo, o momento de área refere-se ao eixo y, por isso a distância do elemento infinitesimal até o eixo y é denominada x.
Figura 12 - Seção reta e elemento de área dA individualizado
Assim, tem-se que:
Integrando para toda a região A, o momento de inércia em relação ao eixo x será dado pela equação 9:
Analogamente, é possível determinar o momento de inércia da área em relação ao eixo y por meio da equação 10.
EXEMPLO 7: Considere que a seção reta de um componente mecânico é um retângulo de base b e altura h.
RESOLUÇÃO: 
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA DE UMA ÁREA ()
De maneira similar ao apresentado no item anterior, o momento polar de inércia () de uma área A é o cálculo de uma integral. A diferença básica é que esta propriedade geométrica é determinada em relação a um polo 0 e, em consequência, a distância utilizada é entre o elemento infinitesimal e o polo, denominada . A equação 13 apresenta a relação matemática.
A figura a seguir representa uma área genérica no plano xy, o elemento infinitesimal para estudo (dA) e sua distância r ao polo 0.
Figura 13 - Seção reta e elemento de área dA individualizado.
A partir da figura, é fácil perceber que as coordenadas do elemento de área dA são x e y. Assim, pelo teorema de Pitágoras, pode-se escrever que . A partir da equação 13 e da expressão anterior, é possível escrever que:
Entretanto, de acordo com as equações 9 e 10, tem-se que:
Uma seção muito comum na Engenharia é a circular de raio R. Dessa forma, será feita a demonstração para o seu momento polar de inércia. Observe na figura abaixo um elemento de área dA (um anel infinitesimal) de raio interno r e espessura dr.
Figura 14 - Seção reta de um círculo área dA.
As unidades de momento polar de inércia são , , etc. Seus valores são sempre quantidades positivas.
EXEMPLO 8: Determine o momento polar de inércia de uma seção tubular circular de raios externo e interno iguais a 100mm e 80mm.
RESOLUÇÃO:
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CÍRCULO EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y
A partir das propriedades de simetria e do fato de que os momentos de inércia de uma área em relação aos eixos x e y (que passam pelo centro do círculo) somados levam ao valor do momento polar de inércia (equação 14), é possível, sem a utilização da definição formal (apresentada nas equações 9, 10 e 13), determinar e para o círculo.
EXEMPLO 9: Considere um eixo maciço circular utilizado em um motor elétrico. Sendo seu diâmetro igual a 4cm, determine os momentos de inércia em relação aos eixos x e y e o momento polar de inércia. Os eixos x e y são, respectivamente, os eixos horizontal e vertical, passando pelo centro do círculo.
RESOLUÇÃO: 
TEOREMA DE STEINER OU DOS EIXOS PARALELOS
Em muitas situações na Engenharia, conhece-se o momento de inércia de uma área em relação a um eixo (tabela), e deseja-se o momento de inércia dessa mesma área em relação a outro eixo. Sob dadas condições, é possível resolver essa situação sem ter que utilizar a definição de momento de inércia de uma área (integral).
Quando os dois eixos envolvidos são paralelos e um deles é centroidal, ou seja, passa pelo centroide, é possível utilizar o teorema de Steiner ou dos eixos paralelos.
Figura 15 - Área A e dois eixos paralelos
Para a Figura 15, o teorema de Steiner é dado pela equação 16.
De maneira análoga, o teorema de Steiner (ou dos eixos paralelos) é aplicável para o momento de inércia da área em relação ao eixo y e para o momento polar de inércia, desde que as duas condições sejam satisfeitas, ou seja, eixos paralelos, sendo um deles centroidal.
EXEMPLO 10: Seja uma área retangular de base b e altura h. Determinar o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal .
RESOLUÇÃO: 
RAIO DE GIRRAÇÃO
Considere uma área que possui momento de inércia em relação a dado eixo, por exemplo, . Uma faixa de área paralela a esse mesmo eixo apresentará o mesmo momento de inércia se estiver a uma distância do eixo, em que é denominado raio de giração.
Analogamente, para o momento de inércia e para o momento polar de inércia :
EXEMPLO 11: considere uma área de e momento de inércia . Determine o raio de giração dessa área. 
MÃO NA MASSA
1. Sendo uma seção reta na forma de um quadrado com áreas de 36 cm², determine seu momento de inércia em relação ao eixo horizontal x, que passa pela base do quadrado.
RESOLUÇÃO: A alternativa “C” está correta. 
2. Uma seção tem a forma de um retângulo de dimensões 3m de base e 1m de altura. Considerando o eixo que passa pela base desse retângulo, determine o momento de inércia desse retângulo.
RESOLUÇÃO: A alternativa “A” está correta.
3. Seja um retângulo de base 20cm e altura 10cm, em que sua base repousa sobre um eixo horizontal x. A aresta esquerda do retângulo coincide com o eixo vertical y. Determinando os momentos de inércia e , quanto vale a razão ?
 
RESOLUÇÃO: A alternativa “E” está correta.
4. (FCC ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil ‒ Adaptada) Uma viga de seção retangular foi projetada buscando-se o momento de inércia igual a (em relação ao eixo x’ que passa pelo centroide e é paralelo à base). Como a altura da viga é igual a 0,3m, a largura da viga, em cm, deve ser igual a:
RESOLUÇÃO: A alternativa “C” está correta.
5. Considere uma seção reta, conforme a figura a seguir, cuja área A é igual a 400 cm² e os eixos 1 e 2 são paralelos. O momento de inércia da área A em relação ao eixo 1, vale . A distância entre os eixos 1 e 2 é de 2cm, e o centroide está a uma distância de 3cm do eixo 2. Qual é o momento de inércia da área em relação ao eixo 2?
 
RESOLUÇÃO:A alternativa “E” está correta.
6. Considere uma viga cujo perfil seja um T. A figura representa a seção reta dessa viga com as suas dimensões. Determine o momento de inércia do perfil em relação ao eixo horizontal que passa por seu centroide.
RESOLUÇÃO: A alternativa “A” está correta.
TEORIA NA PRÁTICA
Nos projetos de Engenharia, várias são as fases até a concepção final de um produto. Um estagiário recebe a incumbência de determinar o momento de inércia de uma seção reta na forma de um semicírculo em relação ao eixo centroidal (paralelo ao diâmetro). A seção reta descrita, pertence a um elemento estrutural metálico de aço ASTM 1045 com diâmetro de 1.000mm.
RESOLUÇÃO: 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Seja uma seção reta quadrangular de lado 12cm. Os eixos x e y são tais que x (horizontal) coincide com a base do quadrado e y (vertical), com a aresta à esquerda. Dessa forma, o momento polar do quadrado, sendo o polo o encontro desses eixos em um dos vértices do quadrado vale:
RESOLUÇÃO: A alternativa “D” está correta.
2. A viga estrutural de um componente mecânico (seção retangular) apresenta as seguintes dimensões: base 200mm e altura 300mm. Deseja-se conhecer o raio de giração , sendo x o eixo que passa pela base do retângulo. Assim, qual das alternativas apresenta a solução?
RESOLUÇÃO: A alternativa “B” está correta.
MÓDULO 4: EMPREGAR O PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA.
INTRODUÇÃO
Finalizando o estudo das propriedades geométricas, deve-se compreender o produto de inércia de uma área. Diferentemente do momento de inércia e do momento estático, o produto de inércia não se refere a um eixo, mas a um par de eixos, por exemplo, x e y.
PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A
Suponha uma área A e o par de eixos xy, conforme ilustrado na figura. Um elemento infinitesimal de área dA está destacado com coordenadas (x,y).
Figura 16 - Elemento de área dA para cálculo do produto de inércia
O produto de inércia dessa pequena área dA é dado por . Fazendo a integração, o produto de inércia para a área A será dado pela equação 17.
O produto de inércia pode ser nulo, apresentar valores positivos ou negativos, e ter as mesmas unidades do momento de inércia de uma área, ou seja, , , etc.
ANÁLISE DO PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A EM RELAÇÃO AO QUADRANTE
Sempre que um par de eixos xy é desenhado em um plano, há uma divisão em quatro quadrantes. Para cada quadrante, abcissa (x) e ordenada (y) apresentam valores positivos/negativos.
Dessa forma, uma vez que a área é sempre positiva, dependendo do posicionamento da peça em relação aos quadrantes, o produto de inércia poderá ter valor positivo ou negativo.
A partir da figura abaixo, é fácil perceber algumas situações em que os valores do produto de inércia têm sinal negativo ou positivo.
Figura 17 - Análise do sinal do produto de inércia
Análise das áreas 1, 2, 3 e 4 ‒ Note que cada área A é sempre positiva. A partir da expressão , é possível concluir que:
ATENÇÃO: Note que a análise foi feita considerando a área A inteiramente em um dos quadrantes.
Quando um dos eixos x ou y é também um eixo de simetria da área, é fácil mostrar que o produto de inércia é nulo (teorema da simetria).
A figura abaixo revela essa propriedade.
Figura 18 - Teorema da simetria para o produto de inércia.
Como o x é um eixo simétrico, as áreas  e  / e  são iguais. Além disso, é sempre possível ter nas áreas 1 e 4 pontos que tenham o mesmo x e y simétricos, isto é, um é y e outro – y. Analogamente, esse raciocínio se estende para as áreas  e  . Ao somar-se o produto de inércia de cada uma dessas quatro áreas, o valor total será zero.
TEOREMA DE STEINER PARA O PRODUTO DE INÉRCIA 
O teorema dos eixos paralelos, ou teorema de Steiner, pode ser aplicado para o caso da determinação do produto de inércia de uma área A.
As premissas para sua utilização são que:
• Os dois pares de eixos considerados sejam paralelos (xy e x’y’).
• Um dos pares tenha a origem no centroide da área A.
A figura abaixo representa, esquematicamente, as premissas citadas anteriormente.
Figura 19 -Teorema de Steiner para o produto de inércia de uma área.
ATENÇÃO: Note que existe um par de eixos xy e o par de eixos que passa pelo centroide C. Além disso, os dois pares são paralelos, ou seja, x paralelo a e y paralelo a .
A expressão do teorema de Steiner para o produto de inércia é apresentada na equação 18.
EXEMPLO 11: Considere o retângulo de base 180mm e altura 100mm disposto em relação ao eixo xy, conforme a figura. Suponha que o eixo y seja um eixo de simetria e determine o produto de inércia em relação ao par de eixos xy.
RESOLUÇÃO: Pelo teorema da simetria, o produto de inércia do retângulo descrito em relação ao par de eixos xy é nulo.
EXEMPLO 12: Considere um retângulo de base 200mm e altura 100mm disposto em relação ao eixo xy, conforme a figura. Determine o produto de inércia do retângulo em relação ao par de eixos xy.
RESOLUÇÃO: Inicialmente, será traçado um par de eixos paralelos a x e y e que passe pelo centroide do retângulo.
MOMENTOS DE INÉRCIA PARA UMA ÁREA EM TORNO DE EIXOS X´ E Y´ INCLINADOS
Em sua obra, Hibbeler (2010) afirma que, em muitas situações na Engenharia, existe a necessidade de determinar as propriedades geométricas em relação a um par de eixos diferente de xy. Genericamente, pode-se arbitrar um par x’y’ rotacionado de um ângulo .
Figura 20 - Rotação de eixos.
Esquematicamente, a figura a seguir mostra a entrada e saída de dados para determinar as propriedades geométricas relacionadas ao par x’y’.
O processamento esquematizado na figura anterior representa uma série de equações listadas a seguir:
A partir das equações de ou é possível determinar o valor do ângulo que leva aos valores extremos dos momentos de inércia, ou seja, máximo e mínimo (momentos principais). Para isso, basta derivar uma das expressões em relação a e igualar a zero.
Assim, serão determinados dois valores de (defasados de 90º) para os quais ocorrem os valores máximo e mínimo do momento de inércia. A expressão para determinar esses ângulos é dada pela equação 19.
Os valores dos momentos de inércia principais são apresentados na equação 20.
Os valores dos produtos de inércia, máximo e mínimo, são determinados a partir da equação 21.
O produto de inércia em relação aos eixos principais x´ e y´ é zero, ou seja, .
MÃO NA MASSA
1. Sejam as afirmativas a seguir a respeito do produto de inércia de uma área A em relação a um par de eixos xy considerado.
I. O produto de inércia da área inteiramente localizada no 2⁰ quadrante é sempre negativo.
II. A área estando distribuída nos quatro quadrantes terá produto de inércia nulo, de acordo com o teorema da simetria.
III. O teorema de Steiner não é aplicável para a determinação do produto de inércia de uma área A.
São corretas as afirmativas:
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "A".
I. Uma seção reta, inteiramente localizada no 2⁰ quadrante, apresenta abscissa negativa e ordenada positiva. Como a área é sempre positiva, o produto de inércia da área em relação ao par de eixos será negativo.
II. Para que o produto de inércia seja nulo, um dos eixos dever ser de simetria. O fato de a área estar nos quatro quadrantes não garante que um dos eixos (x ou y) seja de simetria.
III. É possível utilizar o teorema de Steiner para o produto inércia de uma área A, desde que os dois pares de eixos sejam paralelos e um deles passe pelo centroide da área.
2. Seja uma viga de 2m de comprimento e seção reta retangular tal que a base 0,3m e a altura 0,2m. Considerando o par de eixos xy da figura, determine o produto de inércia do retângulo.
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "E". Traçando-se um par de eixos que passe pelo centroide do retângulo, é possível aplicar o teorema da simetria e de Steiner.
A área do retângulo vale e as distâncias entre os eixos paralelos valem 0,15m e 0,10m. Substituindo os valores de A, as distâncias e o produto de inércia em relação aos eixos centroidais na equação 18, tem-se que:
3. Considere uma área A de 100cm² e o par de eixos principais x’e y’. O produto de inércia dessa área A em relação ao par de eixos x’y’ vale, em cm²:
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "A". Quando os momentos inércia são os principais, ou seja, os valores máximo e mínimo, o produto de inércia para esses eixos, ditos principais, é sempre igual a zero.
4. Seja a figura a seguir que representa o croqui da seção reta (triângulo retângulo de catetos b e h) de uma viga a ser utilizada em um projeto. Considerando o produto de inércia da área da figura em relação aos eixos centroidais e igual a , determine a expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos xy.
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "D". O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas . Considerando os pares de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da área), é possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia:
5. Considere a seção reta de uma viga como sendo um semicírculo de raio R. Determine a expressão do produto de inércia da área semicircular em relação aos eixos xy, conforme a figura. Considere que os pares de eixos são paralelos.
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "D". O centroide da área semicircular apresentada em relação aos eixos x e y tem as coordenadas . Considerando os pares de eixos paralelos (sendo um centroidal), é possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia. Ademais, o eixo é simétrico. Assim, pelo teorema da simetria, :
6. Considere uma seção circular de raio 20mm. As coordenadas de seu centroide em relação ao par xy são (25, - 30) mm. Determine o produto de inércia da seção em relação ao par xy.
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "A". 
TEORIA NA PRÁTICA
O engenheiro deseja determinar a rotação que os eixos x e y devem apresentar para determinar os momentos de inércia principais da seção reta de uma viga. Para tanto, determinou os momentos de inércia Ix e Iy da área. A expressão que determina o ângulo dos eixos em que os momentos de inércia são principais é  . Dessa forma, ainda há a necessidade de calcular o produto de inércia da área em relação aos eixos xy, ou seja, Ixy. Considere a seção reta da viga dada pela figura a seguir.
Considerando que a variação de x encontra-se no intervalo 0 ≤ x ≤ 1m, qual é o valor do produto de inércia da área em relação ao par xy?
RESOLUÇÃO: 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Considere um semicírculo e dois eixos x e y, conforme a figura abaixo. O produto de inércia em relação ao par considerado é determinado pela expressão . Suponha que um semicírculo, cujo raio vale 12mm, tenha produto de inércia P (em relação ao par xy). Ao se multiplicar por dois o raio desse semicírculo, o novo produto de inércia P’ (em relação ao mesmo par xy) valerá:
RESOLUÇÃO: A alternativa "E" está correta. O produto de inércia apresentado depende do raio elevado à quarta potência. Assim, ao se multiplicar o raio por 2, tem-se:
Assim:
2. A figura a seguir é a seção reta de uma viga. Considerando o produto de inércia da área da figura em relação aos eixos centroidais e igual a , determine a expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos x, y. 
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta. O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas em relação aos eixos x e y. Considerando os pares de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da área), é possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia:
CONCLUSÃO
Neste conteúdo falamos sobre as principais propriedades geométricas de uma área. Inicialmente foi feita uma abordagem a respeito do centroide de uma seção, apresentando as relações matemáticas e o teorema da simetria. Vimos a determinação do centroide por integração e de figuras compostas com geometria conhecida. A partir da definição das coordenadas do centroide, definimos o momento estático ou de primeira ordem. Na sequência, estudamos o conceito de momento de inércia e as relações matemáticas associadas, e determinamos o momento de inércia para algumas geometrias particulares. Apresentamos o teorema de Steiner para possibilitar a translação do eixo em relação ao qual se determina o momento de inércia. Por fim, mostramos o produto de inércia e os momentos de inércia principais.
TEMA 2: TORÇÃO
MÓDULO 1: RECONHECER AS DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO PARA SEÇÕES CIRCULARES OU TUBULARES.
INTRODUÇÃO
A primeira parte do estudo da torção tomará duas premissas:
As estruturas são circulares (maciças ou tubulares).
O carregamento sobre a estrutura é tal que as deformações são elásticas, ou seja, temporárias.
A partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais expressões matemáticas aplicáveis.
TORQUE SOBRE EIXOS CIRCULARES
O torque é o momento que tende a fazer um elemento estrutural rotacionar em torno de seu eixo longitudinal.
A figura 1 apresenta um eixo circular maciço em que um par de torques (de mesmo módulo e sentidos opostos) atua em suas extremidades.
Figura 1 – Par de torques aplicado em eixo circular.
A atuação dos torques no eixo da figura 1 provoca o deslizamento entre as seções vizinhas.
DICA: Esse efeito, denominado de cisalhamento, está associado à deformação de cisalhamento .
Supondo uma malha desenhada sobre o eixo, com linhas longitudinais e circulares, quando o par de torques atua sobre a estrutura, há uma deformação dessas linhas.
Observe a figura 2:
Figura 2 – Deformação de um eixo sob torção.
A deformação por cisalhamento em cada seção reta do eixo varia linearmente ao longo do raio, sendo seu valor máximo na periferia da seção. Matematicamente, a expressão da deformação cisalhante a uma distância  do centro do círculo de raio c é dada pela equação 1.
ATENÇÃO: A equação 1 é válida para eixos circulares maciços ou tubulares. Para os tubos, a partir da parede interna, ou seja,  ≥ raio interno.
EXEMPLO: Seja um tubo maciço de seção circular e diâmetro 100mm. Suponha que esse eixo esteja engastado e, na extremidade livre, atue um torque de intensidade 200kN.m. Considere que, em consequência do torque, a deformação cisalhante máxima seja de 0,002rad. Em uma seção reta do eixo, a um ponto situado a 20mm do centro, determine a deformação cisalhante.
SOLUÇÃO:
A deformação ao longo do raio tem variação linear, ou ainda, é proporcional à distância ao centro, conforme a equação 1:
O diâmetro é de 100mm. Logo, o raio c vale 50mm. A distância  vale 20mm. Substituindo na equação, tem-se:
TENSÃO DE CISALHAMENTO ASSOCIADA AO TORQUE APLICADO
Um eixo circular, maciço ou tubular, está submetido a uma série de torques externos e em equilíbrio estático.
Adotando a hipótese que as deformações sejam elásticas, a lei de Hooke para o cisalhamento é válida, ou seja, a equação 2 pode ser aplicada:
Onde:
Por meio de manipulações algébricas entre as equações 1 e 2, é possível escrever a equação 3, que mostra como a tensão cisalhante varia ao longo do raio, em uma dada seção interna do eixo.
Onde:
A partir da análise da equação 3, é possível inferir que a tensão cisalhante varia ao longo do raio linearmente, sendo nula no centro da seção reta circular.
DICA: A figura 3 mostra, esquematicamente, a atuação das tensões cisalhantes nas seções retas de um eixo circular maciço e de um eixo tubular.
Figura 3 - Distribuição da tensão cisalhante ao longo do raio.
Analisando a figura 3, é fato que:
Assim, para o eixo tubular, as equações 2 e 3 são aplicáveis a partir do raio interno. Também é possível observar na figura 3 a coincidência no sentido do torque (T) atuante na seção e no sentido da representação das tensões cisalhantes.
ATENÇÃO: Para a seção tubular de raio interno (c interno) e raio externo (c externo), a tensão cisalhante atuante na seção de estudo varia segundo a função a seguir:
EXEMPLO: Considere um eixo circular maciço de raio 80mm, em equilíbrio sob a ação de torques externos. Em uma dada seção de estudo, o torque atuante apresenta intensidade de 15kN.m. A tensão cisalhante máxima na seção é de 48MPa. Determine as tensões de cisalhamento no centro da seção circular e em um ponto afastado 30mm do centro.SOLUÇÃO: 
EXEMPLO: Um eixo tubular é utilizado para transmitir potência de um motor para um sistema mecânico. Considere que o eixo apresente raios interno e externo iguais a 50mm e 90mm. Na condição de potência igual a 60kW, em uma dada seção, a tensão cisalhante máxima na seção é de 45MPa. Determine as tensões de cisalhamento:
a) No centro da seção tubular.
b) A 40mm do centro.
c) Na parede interna do tubo.
d) Na parede externa do tubo.
SOLUÇÃO: 
MÃO NA MASSA
1. Um eixo tubular de raios 90 e 120mm está submetido à torção. Em uma dada seção, o torque atuante é de 20kN.m. Considere que o fenômeno ocorra inteiramente no regime elástico. A respeito das tensões cisalhantes atuantes na seção, são feitas as seguintes afirmações:
I – A relação á  sempre é válida ao longo do raio;
II – A relação á   é válida ao longo do raio, na parede do tubo;
III – A variação da tensão cisalhante segue uma relação quadrática, na parede do tubo.
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa I e II.
D) Apenas a afirmativa I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "B". Considerando o regime elástico, a tensão cisalhante em um tubo devido à torção apresenta variação linear a partir da parede interna. Na região “vazia”, a tensão cisalhante é nula. Assim, as afirmativas I e III estão incorretas.
2. A figura representa a seção circular de um eixo maciço de diâmetro 240mm, sob a ação de um torque. A tensão de cisalhamento atuante a 40mm é de 150MPa. A tensão cisalhante máxima é igual a:
A) 50Mpa
B) 150Mpa
C) 200Mpa
D) 300Mpa
E) 450MPa
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "E". O diâmetro é de 240mm. Logo, o raio vale 120mm. A figura mostra uma variação linear da tensão ao longo do raio. Assim, é possível utilizar a expressão da equação 3:
3. Um eixo tubular é parte de uma estrutura. O principal efeito atuante no eixo é a torção. Suponha que o raio externo seja igual a 100mm e a parede do tubo igual a 60mm. Se a tensão de cisalhamento máxima atuante em uma dada seção é 80MPa, determine a tensão atuante a 20mm do centro.
A) 16Mpa
B) 12Mpa
C) 8MPa
D) 4Mpa
E) 0Mpa
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "E". Para um tubo sujeito à torção, a relação á  é válida na parede do tubo, ou seja, para distâncias  . Para distância menores que o raio interno, a tensão cisalhante é nula. Sendo o raio externo igual a 100mm e a parede do tubo de 60mm, o raio interno vale 40mm. Logo, a tensão cisalhante a 20 mm do centro será igual a 0.
4. Considere uma estrutura na forma tubular sujeita à torção, trabalhando exclusivamente no regime elástico. Supondo que a relação entre a parede do tubo e seu raio interno valha 4, determine a razão entre as deformações cisalhantes nas paredes externa e interna do tubo.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) Faltam informações
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "D". A deformação cisalhante (no regime elástico), ao longo do raio de uma seção tubular, tem variação linear quando sob ação de um torque, conforme a equação 1.
Lembrando-se que essa relação é válida para toda a parede do tubo.
O problema apresenta que:
Além disso, . Denominado de x e t = 4x, 
Substituindo na equação 1 e, lembrando-se de que a deformação máxima ocorre na parede externa, tem-se que:
5. Um eixo maciço apresenta algumas informações, dentre as quais um gráfico que relaciona a deformação cisalhante, quando ação de um torque T, com a distância ao centro do eixo. A partir do gráfico a seguir, qual é a deformação máxima em uma dada seção de estudo, sabendo que o diâmetro desse eixo é de 120mm?
A) 4·rad
B) 6·rad
C) 8·rad
D) 9·rad
E) 12·rad
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "E". O diâmetro apresentado é de 120mm. Logo, o raio c vale 60mm. O gráfico mostra que e são grandezas diretamente proporcionais. A partir da equação 1, pode-se escrever que:
No gráfico, a uma distância = 20mm a deformação cisalhante vale 4·10-3rad. Substituindo os valores na expressão anterior:
6. O gráfico a seguir mostra a variação da tensão cisalhante na seção reta de um tubo circular ao longo do raio, quando sob ação de um torque T. Supondo que o tubo esteja em equilíbrio sob torção e no regime elástico, determine a espessura do tubo em estudo.
A) 10mm
B) 12mm
C) 15mm
D) 20mm
E) 30mm
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "C". 
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de engenharia, um projeto prevê que um eixo tubular será utilizado como elemento estrutural submetido à torção de um torque T. Um estagiário ficou designado a determinar uma função matemática para estabelecer a tensão de cisalhamento atuante na parede do tubo, ao longo de OA, considerando o eixo x mostrado no croqui da seção reta do tubo. Os valores de projeto são a tensão máxima atuante , os raios interno (r) e externo (R).
RESOLUÇÃO:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Seja um eixo maciço, cuja seção reta é representada na figura. Considere que o regime é elástico e que o eixo se encontra sob torção. A variação da tensão ao longo do raio é crescente linear. Supondo dois pontos da seção, afastados do centro do círculo, 40mm e 70mm. A razão entre as tensões cisalhantes atuantes nos pontos é:
A) 
B) 
C) 
D) 1
E) 
F) 
RESOLUÇÃO: A alternativa "A" está correta. A figura mostra que a variação da tensão cisalhante ao longo do raio é linear. A partir da equação 3:
Dividindo as duas equações anteriores:
2. Considere um tubo em equilíbrio, no regime elástico, submetido a um conjunto de torques. Uma dada seção é estudada. O torque interno atuante tem módulo . Considerando que as tensões máxima e mínima valem 60MPa e 20MPa, determine a razão entre o raio interno e a espessura da parede.
A) 
B) 
C) 1
D) 
E) 
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta. Sejam r e R os raios interno e externo do tubo e t a espessura da parede (t = R – r). Considerando a equação 3, pode-se escrever que:
É possível escrever que r = x e R = 3x. Assim, a espessura t será 3x – x = 2x. Portanto, a razão pedida é .
MÓDULO 2: Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção.
INTRODUÇÃO
Uma das vertentes do engenheiro é o dimensionamento de projetos. Neste módulo, será apresentado o dimensionamento de pequenas estruturas sujeitas à torção. Em particular, será considerado o regime elástico e as seções circulares maciças ou tubulares.
TENSÃO MÁXIMA EM EIXOS CIRCULARES NO REGIME ELÁSTICO
Considere um eixo maciço de raio c submetido a um carregamento externo de torques, tal que se encontre em equilíbrio no regime elástico. Seccionando-se o eixo, uma área A circular fica “exposta” e nela atua um torque de intensidade T, conforme a figura 4:
Figura 4 – Deformação de um eixo sob torção.
Na seção reta da figura 4, é possível identificar um pequeno elemento de área  na qual atua a tensão cisalhamento . A partir da definição de tensão cisalhante média, é possível escrever a equação 4:
Adequando a equação 4 para a situação da figura 4, tem-se que:
A força infinitesimal provoca um torque , dado pela multiplicação . Assim, . Mas, . Manipulando-se algebricamente as relações matemáticas anteriores, tem-se a equação 5:
Mas a equação 3 afirma que:. Substituindo a expressão de  na equação 5, temos que , ou seja, o torque infinitesimal provocado por  associada à tensão na área infinitesimal . Considerando toda seção reta, deve-se integrar:
DICA: Como a tensão cisalhante e o raio c da seção são valores constantes para uma dada situação, podem ser retirados do integrando.
Além disso, o momento polar de inércia da região circular, em relação ao centro (polo), é definido por . Assim, tem-se a equação 6:
A partir da equação 6, é possível determinar a tensão cisalhante máxima em uma dada seção circular de raio c submetida a um torque T. Observe que e á são inversamente proporcionais.
Atenção
A partir das equações 3:  e 6, é possível escrever a equação 7, que determina a tensão cisalhante em qualquer ponto da seção circular.
EXEMPLO: A peça de uma estrutura é um eixo maciço de seção circular. Supondo que, na seção de estudo, o torque aplicado tenha intensidade 900kN.mm, determine a tensão decisalhamento máxima atuante nessa seção, considerando o raio c = 80mm.
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente as unidades serão apresentadas no S.I:
Assim:
Utilizando a equação 6, tem-se:
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS CIRCULARES SOB TORÇÃO
Considerando um eixo maciço ou tubular em regime elástico e equilíbrio, é possível escrever expressões matemáticas para a determinação da tensão máxima como função exclusiva do torque atuante na seção e dos parâmetros geométricos (raios interno e externo).
EXEMPLO: É possível dimensionar seções circulares a partir do conhecimento do torque atuante e do material utilizado (tensão cisalhante admissível).
Para seções tubulares, também há necessidade de algum parâmetro geométrico. Dado o raio interno, determina-se o raio externo e vice-versa.
Inicialmente, serão escritas as relações que determinam o momento polar de inércia de seções circulares e tubulares. O círculo será caracterizado apenas pelo seu raio (c) enquanto o tubo, pelos seus raios externo e interno. Observe as expressões a seguir:
Para a seção circular, utilizando a equação 6, demonstra-se a equação 8:
Já para a seção tubular, tem-se a equação 9:
Portanto, as equações 8 e 9 auxiliarão no dimensionamento de eixos circulares/tubulares.
EXEMPLO: Considere um eixo circular maciço engastado em uma das extremidades e, na extremidade livre um torque, no sentido horário. Supondo que o material que constitui o eixo tenha tensão cisalhante admissível de 120MPa e a intensidade do torque seja de 3kN.m, determine o diâmetro mínimo, em mm, a ser utilizado no eixo.
RESOLUÇÃO: Inicialmente, será feita uma adequação das unidades: 120MPa = 120·106 Pa e 3kN.m = 3.000N.m. A partir da equação 8, tem-se que:
Assim, o diâmetro será dado por 2 · (0,02516) = 0,05032 m = 50,32mm
EXEMPLO: Em determinado projeto, um eixo apresenta uma série de engrenagens com torques aplicados. Suponha que o regime elástico seja mantido, que a seção reta apresente raio constante de 20mm e o eixo se encontre em equilíbrio. Um engenheiro precisa saber qual é a tensão de cisalhamento máxima que ocorre no eixo. A figura a seguir representa o eixo em estudo.
RESOLUÇÃO: A partir da análise da figura, o eixo encontra-se em equilíbrio. Fazendo-se cortes no eixo, a partir da extremidade esquerda, tem-se:
1º CORTE:
2º CORTE:
3º CORTE:
4º CORTE:
A partir da equação 8, tem-se que:
Como c é constante, o maior valor de T implicará em maior tensão cisalhante. Da análise anterior, o maior valor de T é 400N.m. Substituindo os valores, tem-se:
MÃO NA MASSA
1. Seja o eixo de transmissão de um motor circular maciço de 50mm de raio. Supondo que em dada seção o torque tenha intensidade de 20kN.m, determine o a tensão máxima cisalhante.
A) 80MPa
B) 90MPa
C) 102MPa
D) 110MPa
E) 120Mpa
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "C". Inicialmente, as unidades apresentadas serão adequadas ao Sistema Internacional. Dessa forma, o raio de 50mm será 0,05m e o torque de 20kN.m será 20.000N.m. Substituindo os valores na equação 8, tem-se que:
2. Um eixo tubular apresenta raio externo igual a 80mm e parede de 50mm. Em dada seção, o torque interno apresenta módulo de 2000kN.mm. Determine a tensão de cisalhamento atuante a 10mm do centro.
A) 0
B) 0,157MPa
C) 0,528MPa
D) 0,872MPa
E) 1,256Mpa
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "A". Ajuste das unidades ao S.I.
· Torque: 2.000N.m
· Raio externo: 0,08m
· Raio interno: 0,03m
A partir da equação 9:
Na parede do tubo, a variação da tensão cisalhante é linear. Como a distância do centro (10mm) está na região “vazia” do tubo, a tensão cisalhante é nula.
3. Um estagiário deseja fazer o dimensionamento de um pequeno eixo maciço que utilizará em um sistema mecânico. Inicialmente, ele seleciona um aço, cuja tensão cisalhante admissível é de 90MPa. O torque máximo nas seções internas a que o eixo ficará submetido é de 0,4kN.m. Determine o diâmetro mínimo do eixo.
A) 18,7mm
B) 21,8mm
C) 25,4mm
D) 28,3mm
E) 30,4mm
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "D". Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
· Torque: 400N.m;
· 
· O raio pode ser determinado a partir da equação 8:
Logo, o diâmetro mínimo será 2.(14,15) = 28,3mm.
4. Uma estrutura é construída com elementos metálicos maciços e circulares. Uma dessas peças está submetida à torção, respeitado o regime elástico do material. O engenheiro quer fazer uma modelagem do sistema e, para isso, precisa escrever uma função que determine a tensão de cisalhamento  em uma dada seção, a partir apenas da distância  do centro. Considere que, na seção de estudo, o torque aplicado seja de 900N.m e raio 50mm. Determine a função , sendo ρ apresentado em e  em . Utilize .
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
RESOLUÇÃO: A alternativa "B" está correta. Inicialmente, será determinada a tensão de cisalhamento máxima atuante na seção, a partir da equação 8:
Substituindo na equação 3, tem-se:
5. Considere que um eixo tubular de diâmetro externo igual a 150mm e raio interno 10mm esteja sendo utilizado para transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico de pás. Uma seção do eixo é escolhida para estudo. Considere que o torque interno apresenta módulo de 5 kN.m. Determine a tensão de cisalhamento na parede interna do tubo, nessa seção.
A) 1,00MPa
B) 1,57MPa
C) 1,92MPa
D) 6,25MPa
E) 7,55Mpa
RESOLUÇÃO:
6. (Ano: 2015 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: CESGRANRIO ‒ 2015 ‒ Petrobras ‒ Técnico de Manutenção Júnior ‒ Mecânica) Na torção de um eixo de seção transversal circular, a tensão cisalhante máxima vale . Se o diâmetro desse eixo é duplicado, o valor dessa tensão cisalhante máxima é:
A) Multiplicado por dois.
B) Multiplicado por quatro.
C) Multiplicado por oito.
D) Dividido por quatro.
E) Dividido por oito.
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "E". Escrevendo a tensão de cisalhamento em função do diâmetro, tem-se:
Logo, se o diâmetro for multiplicado por 2, a tensão máxima ficará:
(oito vezes menor)
TEORIA NA PRÁTICA
Em um pequeno projeto de sistema mecânico, um engenheiro deverá dimensionar um eixo para compor a estrutura. O eixo deverá ser tubular de um aço cuja tensão admissível é 60MPa e resistir, sob torção, a um torque de 800N.m. A razão entre os raios externo e interno deve ser igual a 1,10. Ele deve determinar as características geométricas do eixo, ou seja, seus raios e sua parede. A figura a seguir mostra o tubo sob ação de um par de torques.
RESOLUÇÃO: 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Considere que o eixo tubular de diâmetro externo igual a 200mm e parede de 80mm esteja sendo utilizado para transmissão de 20kW de potência de um motor. Em dada seção, o torque interno apresenta módulo de 400N.m. Determine a tensão de cisalhamento máxima.
A) 0,112MPa
B) 0,157MPa
C) 0,180MPa
D) 0,255MPa
E) 0,347Mpa
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta. Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
· Torque: 400N.m
· Potência: 20.000W
· Diâmetro externo: 0,2m. Logo, raio externo 0,1m
Parede: 0,08m. Assim, raio interno igual a 0,1 – 0,08 = 0,02m
A tensão cisalhante máxima pode ser determinada a partir da equação 9.
2. (Ano: 2014 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: CESGRANRIO ‒ 2014 ‒ LIQUIGÁS ‒ Engenheiro Júnior ‒ Mecânica) Ao se aplicar um torque a um eixo de seção circular maciça, o valor da tensão cisalhante máxima que atua nos pontos da superfície do eixo:
A) Independe do diâmetro do eixo.
B) Aumenta se o comprimento do eixo aumentar.
C) Diminui se o diâmetro do eixo aumentar.
D) Diminui se o diâmetro do eixo diminuir.
E) Diminui se o comprimento do eixo diminuir.
RESOLUÇÃO: A alternativa "C" está correta. A tensão cisalhante na seção reta de um eixo circular maciço é dada pela expressão . Escrevendo em função do diâmetro, tem-se:
Assim, para T constante, a tensão cisalhante máxima aumenta com a diminuição do diâmetro e vice-versa.
MÓDULO 3: CALCULAR A TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
INTRODUÇÃO
Os elementos circulares metálicos podem ser utilizados com a função estrutural e, sob a ação de torção, em suas seções internas ocorre o fenômeno do cisalhamento. Outra possibilidade é a utilizaçãodos eixos circulares (maciços ou tubulares) para a transmissão da potência de um motor para um sistema mecânico.
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
Considere um motor elétrico e um sistema mecânico, por exemplo, e um conjunto de pás que devem girar em determinada frequência. A “união” desses dois elementos pode ser feita por meio de um eixo circular, seja ele maciço ou tubular. Assim, será feita a transmissão do movimento de rotação do motor às pás ou, de outra forma, será transmitida a potência do motor ao conjunto mecânico.
A figura 5 mostra o acoplamento de um motor M a um sistema mecânico por meio de um eixo AB, uma polia e sua correia.
Figura 5 – Transmissão de potência.
Qualitativamente, na transmissão de potência por meio de eixos, estes ficam submetidos a torques que dependem de dois parâmetros:
COMENTÁRIO: A seguir, demonstraremos a relação entre as grandezas potência, torque e velocidade angular.
Considere um caso particular em que um sistema tenha velocidade v (módulo) e uma força F (módulo) atuante, tal que as grandezas vetoriais envolvidas apresentam mesma direção e mesmo sentido. A potência , em dado instante, é dada por:
Contudo, a velocidade linear v pode ser apresentada pelo produto da velocidade angular pelo raio R da trajetória circular. Substituindo na equação anterior, tem-se que:
Mas, . Logo, a potência transmitida  será apresentada na equação a seguir.
 (10)
Onde, no Sistema Internacional (S.I.):
Exemplo: Um eixo circular está sendo utilizado para transmitir potência de um motor M para um sistema mecânico. Considere que a potência do motor seja de 4kW e a frequência do motor, de 180rpm. Determine:
a) A velocidade angular do eixo.
b) O torque aplicado ao eixo.
RESOLUÇÃO: 
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
O dimensionamento de eixos utilizados para transmissão de potência avalia alguns parâmetros, como potência, torque, material utilizado etc. E, utilizando as equações adequadas, é possível chegar a parâmetros geométricos dos eixos.
EXEMPLO: O diâmetro mínimo em um eixo circular ou a espessura mínima da parede de um eixo tubular.
Suponha uma situação em que um eixo circular maciço deva ter seu diâmetro dimensionado. A potência a ser transmitida e a frequência de rotação são apresentadas. Assim, esquematicamente, tem-se:
Ademais, escolhe-se o material a ser utilizado na fabricação do eixo circular maciço, ou seja, o valor de tensão cisalhante admissível é conhecido, pois é tabelado (valor máximo).
Portanto, a partir do conhecimento da intensidade (T) do torque chega-se ao raio mínimo, ou ao diâmetro mínimo . Veja o esquema a seguir:
ATENÇÃO: O esquema apresentado foi para um eixo maciço. Para a situação de um eixo tubular, algum parâmetro geométrico deve ser conhecido. Ou, então, a saída será uma relação matemática entre os raios interno e externo que flexibiliza uma série de escolhas que satisfazem à relação.
Agora, será vista a expressão que processa os dados do último esquema. Considere as equações 8, 9 e 11:
Para o eixo circular maciço, será feita a manipulação algébrica entre as equações 8 e 11. Assim:
Substituindo na equação 8:
Para o eixo circular tubular, será feita a manipulação algébrica entre as equações 9 e 11. Assim:
Substituindo na equação 9:
COMENTÁRIO: Reafirmando o que já foi descrito, para o eixo tubular, uma relação matemática (equação 13) entre os raios interno e externo será apresentada.
Conhecendo um parâmetro geométrico do tubo (raio interno, por exemplo), o raio externo pode ser calculado. Ou, no dimensionamento do eixo, pode-se arbitrar um valor para c interno e determinar o c externo. Da última maneira, há um rol de possibilidades.
EXEMPLO: Um eixo maciço é utilizado para transmitir 4,5kW de potência a um conjunto de pás que devem girar à frequência de 120rpm. O material a ser utilizado apresenta tensão cisalhante admissível de 90MPa. Determine o raio mínimo a ser utilizado para o eixo, considerando o regime elástico.
SOLUÇÃO: Adequação das unidades: Potência igual a 4.500W, frequência igual a 2Hz e tensão admissível 90.106 Pa. A partir da equação 12, temos que:
EXEMPLO: Um projeto acoplará um sistema mecânico a um motor por meio de um eixo tubular. A potência transmitida é de 150kW e o material utilizado tem tensão cisalhante admissível de 30MPa. O eixo deverá girar a uma frequência de 25Hz e seu diâmetro externo será igual a 60mm. Determine a parede mínima para esse tubo.
SOLUÇÃO: Homogeneização das unidades: potência igual a 150.103W, tensão admissível 30.106Pa e raio externo igual a 0,03m. A partir da equação 13, temos que:
Assim, a parede do tubo será t = 30mm – 21mm = 9mm
MÃO NA MASSA
1. Considere a figura a seguir em que um motor de potência 3kW é acoplado a um eixo circular maciço de aço. A frequência de rotação é 1800rpm e o aço utilizado tem tensão cisalhante admissível de 60MPa. Qual é o raio mínimo da seção do eixo?
A) 4,73 mm
B) 5,12 mm
C) 5,53 mm
D) 6,82 mm
E) 7,91 mm
RESOLUÇÃO: A alternativa "C" está correta. Sendo o eixo maciço, pode-se utilizar a equação 12, ou seja,
Ajustando as unidades, Pot = 3.000W, f = 30 Hz e tensão cisalhante = 60.106.
2. Um projeto de um eixo maciço foi dimensionado para os parâmetros potência, frequência de rotação e o tipo de material. Com isso, chegou-se ao raio mínimo de 15mm. Para um novo projeto em que apenas a potência é modificada (passa a ter valor 8 vezes maior), qual é o novo raio mínimo?
A) 30mm
B) 25mm
C) 20mm
D) 15mm
E) 7,5mm
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "A".
3. Um tubo será utilizado como eixo de transmissão de potência de um motor. A geometria do tubo apresenta os valores para raio externo de 50mm e parede igual a 10mm. A frequência de rotação é de 1800rpm e a potência a transmitir de 120kW. Qual é a tensão de cisalhamento máxima que atua no eixo?
A) 2,8Mpa
B) 3,7Mpa
C) 4,5Mpa
D) 5,5Mpa
E) 6,4MPa
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "D".
4. Um eixo maciço transmite potência de um motor elétrico para um sistema de engrenagens. A potência é de 4.000W e a frequência de rotação 40Hz. A tensão cisalhante máxima atuante em uma dada seção do eixo é de 20MPa. Qual é a tensão cisalhante atuante a 5mm do centro do círculo?
A) 4,00Mpa
B) 10,86Mpa
C) 12,53Mpa
D) 15,50Mpa
E) 18,30Mpa
RESOLUÇÃO: A alternativa "C" está correta. Inicialmente será determinado o raio do eixo, utilizando a equação 12:
Como a variação da tensão cisalhante é linear, ao longo do raio, temos que:
Assim, = 12,53MPa
5. Um motor de um exaustor tem potência de 1000W. Mantendo constante a potência e variando a frequência de rotação de = 1800rpm para = 1200rpm, qual é a razão dos torques (em intensidade) que atuam no eixo nos instantes em que as frequências são, respectivamente, = 1800rpm para = 1200rpm?
A) 4/9
B) 8/27
C) 1
D) 1/3
E) 2/3
RESOLUÇÃO: A alternativa correta é "E".
Substituindo os valores:
6. Seja um motor M1, cuja potência é igual a Pot. Suponha dois eixos 1 e 2, circulares maciços de mesmo material, cujos raios sejam, respectivamente, C1 = 100mm e C2 = 200mm. O motor será acoplado em cada um dos eixos, alternadamente. Quando conectado ao primeiro, a frequência de rotação f1 é 2400rpm. Qual é a frequência de rotação f2, supondo que o regime seja elástico e a tensão cisalhante atuante seja a admissível para o material?
A) 
B) 300rpm
C) 1000rpm
D) 1200rpm
E) 2400rpm
F) 4800rpm
RESOLÇÃO: A alternativa correta é "A".
TEORIA NA PRÁTICA
Um estagiário de Engenharia foi incumbido de auxiliar no dimensionamento de um eixo tubular para um projeto que transmitirá potência de um motor para um sistema mecânico, por meio desse eixo. A empresa possui em seu estoque o aço X, cuja tensão de cisalhamento admissível é de 20MPa. Durante a transmissão de potência, o eixo fica submetido a um torque de 680N.m e a frequência de rotação do eixo de 360rpm. Por questões de projeto, o diâmetro externo deve ser de 60mm. Qual é a espessura mínima da parede?
RESOLUÇÃO:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Um motor transmite potência de 2.000W por meio de um eixo que tem frequência de rotação de 3Hz. O torque a que fica submetidoé igual a:
A) 66,67N.m
B) 92,10N.m
C) 100,45N.m
D) 106,16N.m
E) 125,12N.m
RESOLUÇÃO: A alternativa "D" está correta.
2. A transmissão de potência de um motor por meio de um eixo maciço se relaciona com a frequência (f) de rotação e o torque atuante (T). Desse modo, são feitas as seguintes afirmativas:
I – Para um valor constante de T, a potência depende do quadrado da frequência de rotação;
II – Para um valor constante de f, a potência varia inversamente com o módulo de T;
III – Para potência constante, o torque atuante e a frequência de rotação são grandezas inversamente proporcionais.
São corretas:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas a afirmativa II e III.
RESOLUÇÃO: A alternativa "C" está correta. A potência (Pot), o torque atuante no eixo (T) e a frequência de rotação (f) são relacionadas matematicamente por:
A partir da expressão anterior, podemos inferir que:
I – Quando T é constante, a potência depende diretamente da frequência;
II – Quando f é constante, a potência depende diretamente de T;
III – Para potência constante, T e f são inversamente proporcionais.
MÓDULO 4: CALCULAR A TORÇÃO DE TUBOS DE SEÇÃO FECHADA NÃO CIRCULAR E PAREDE FINA. 
INTRODUÇÃO
Como nos ensina Hibbeler (2010), tubos com paredes finas e seção reta não circular têm grande utilização em estruturas leves.
COMENTÁRIO: Neste módulo, será abordado o efeito da torção sobre tubos de paredes finas e seção fechada.
Observe a figura 6, em que um torque T é aplicado a um elemento (com as características descritas anteriormente) de uma estrutura.
Figura 6 – Tubo de paredes finas.
FLUXO DE CISALHAMENTO
Considere uma seção reta de um tubo fechado não circular de paredes finas, conforme ilustrado na figura 7:
Figura 7 – Seção reta de um tubo não circular de paredes finas.
ATENÇÃO: Para o entendimento da tensão cisalhante atuante nas paredes finas, será abordada uma nova grandeza denominada fluxo de cisalhamento (q).
Alguns autores, como Hibbeler (2010) e Beer & Johnston (1995), fazem analogia com o fluxo de água em um canal de profundidade constante, mas de largura variável.
SAIBA MAIS: A água apresenta velocidades diferentes para larguras distintas, contudo, o seu fluxo não varia.
Observe a figura 8:
Figura 8 – Fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas.
Do exposto anteriormente, é possível escrever a equação 14:
Onde:
Da análise da equação 14, percebe-se que o produto da espessura pela tensão cisalhante é constante ao longo de uma seção reta do tubo. Esse produto é denominado fluxo de cisalhamento (q), expresso pela equação 15:
A partir da equação 15, como o fluxo q é constante, as grandezas tensão cisalhante média e espessura são inversamente proporcionais.
RESUMINDO: Quando uma aumenta, a outra diminui.
Logo, a maior tensão de cisalhamento média ocorre para a menor espessura e, a menor, para a maior espessura.
ATENÇÃO: Em termos de unidades, perceba que o fluxo q “mede” a força aplicada por unidade de comprimento ao longo da área da seção reta do tubo.
SOLUÇÃO: 
TENSÃO CISALHANTE MÉDIA 
Nesse ponto, a pergunta a ser feita é: como o torque aplicado a um tubo de seção reta de paredes finas se relaciona com a tensão cisalhante média?
RESPOSTA: A partir do conceito de momento de uma força, é possível chegar-se a uma expressão que responde à indagação.
Um pequeno elemento da seção reta em estudo é individualizado e determina-se o elemento infinitesimal do torque . Integrando-se, chega-se à expressão do T dada pela equação 16:
Onde:
A área média que aparece na equação 16 é definida conforme a figura 9.
Figura 9 – Área média num tubo de paredes finas.
Portanto, é é a área da seção limitada pela linha tracejada na figura 9.
EXEMPLO: Seja um tubo retangular engastado em uma estrutura e livre na outra extremidade. As dimensões externas do tubo são 30mm e 60mm e as paredes têm espessura constante e igual a 4mm. Quando na extremidade livre do tubo é aplicado um torque de 40N.m, determine:
a) A tensão média nas paredes;
b) O fluxo de cisalhamento na seção em estudo.
SOLUÇÃO: Inicialmente, será feita uma representação esquemática da seção reta do tubo.
MÃO NA MASSA
1. Considere um tubo de seção quadrangular que esteja submetido a um par de torques (intensidade 144N.m). A área média da seção do tubo é igual a 3.600mm2 e a espessura do tubo é constante, e bem menor que as dimensões externa e interna. Nessas condições, a tensão cisalhante média atuante na parede do tubo é 2MPa. Determine a espessura do tubo.
A) 8mm.
B) 10mm.
C) 11mm.
D) 12mm.
E) 15mm
RESOLUÇÃO:
2. Um tubo de seção fechada e paredes finas não constantes sob torção apresenta fluxo de cisalhamento . Em uma dada seção de estudo, as espessuras máxima e mínima valem 5mm e 4mm. Determine as tensões cisalhantes médias nesta seção do tubo.
A) 80MPa e 100MPa.
B) 20MPa e 100MPa.
C) 9MPa e 100MPa.
D) 2MPa e 2,5MPa.
E) 4MPa e 5MPa.
RESOLUÇÃO:
3. Um tubo de paredes finas e espessura variável encontra-se sob torção, em um regime elástico. As seguintes afirmativas são feitas:
I – O fluxo de cisalhamento é variável, aumentando à medida que a espessura da parede aumenta.
II – A tensão cisalhante média, ao longo da parede, varia de maneira diretamente proporcional à espessura.
III – A tensão cisalhante média máxima ocorre na região com menor espessura da parede.
São corretas:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas a afirmativa III.
D) Apenas as afirmativas I e II.
E) Apenas as afirmativas I e III.
RESOLUÇÃO:
4. Considere um tubo retangular submetido à torção. Uma seção reta desse tubo é representada na figura. Suponha que a espessura em AB seja o dobro da espessura em BC e que o fluxo de cisalhamento seja q. A razão entre as tensões de cisalhamento (média) nos ramos AB e BC é:
RESOLUÇÃO:
5. Um tubo de seção quadrangular está em equilíbrio sob a ação de três torques. As dimensões da seção reta são: lado externo do quadrado 30mm e parede 5mm. Considerando o regime elástico, qual é a tensão de cisalhamento que atua na parede da seção entre os pontos A e B?
A) 4MPa
B) 8MPa
C) 16MPa
D) 32MPa
E) 64Mpa
RESOLUÇÃO:
6. Considere um tubo de seção reta triangular (triângulo equilátero), conforme figura. Suponha que o tubo esteja em equilíbrio no regime elástico. A seção em estudo apresenta torque interno de módulo 1,5kN.m e a parede do tubo tem 5mm de espessura. Determine a tensão cisalhante média que age nas paredes do tubo. Desconsidere o fator de concentração dos vértices.
A) 17,42 Mpa
B) 34,68 Mpa
C) 8,25 Mpa
D) 42,58 Mpa
E) 64,02 MPa
RESOLUÇÃO:
TEORIA NA PRÁTICA
(Questão 3.128 do livro Fonte: Resistência dos Materiais, BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.J., 1995, p. 298/299)
Um eixo cilíndrico vazado foi projetado com a seção transversal mostrada na figura (1) para resistir a um torque máximo . Um defeito na fabricação, no entanto, resultou em uma pequena excentricidade e, entre as superfícies cilíndricas, interna e externa, como mostrado na figura (2). Expressar o torque máximo que pode ser aplicado com segurança ao eixo defeituoso, em termos de , e .
RESOLUÇÃO: 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Um tubo é utilizado para transmitir potência de um motor. Em dado instante, fica submetido a um torque de intensidade T. Considere o regime elástico e as paredes do tubo finas. As paredes variam sua espessura ao longo da “volta” da seção, de acordo com o gráfico a seguir.
A razão entre as tensões cisalhantes média mínima e máxima é:
A) 0,500
B) 0,850
C) 0,900
D) 0,947
E) 0,9502 
RESOLUÇÃO:
2. Para um tubo de paredes finas sujeito ao esforço de torção, são feitas as seguintes afirmativas:
I – A tensão cisalhante média depende diretamente da área média da seção.
II – A tensão de cisalhamento aumenta com a espessura da parede.
III – A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque T atuante na seção.
IV – O fluxo de cisalhamento é constante, independentemente da espessura da parede.
São corretas:
A) Apenas as afirmativas I e II.
B) Apenas as afirmativasII e III.
C) Apenas as afirmativas III e IV.
D) Apenas as afirmativas II, III e IV.
E) Apenas as afirmativas I, II e III.
RESOLUÇÃO:
CONCLUSÃO
Neste conteúdo, foram abordados os principais aspectos da torção em elementos estruturais. Inicialmente, foi feita uma abordagem geométrica da deformação cisalhante devido à torção, em eixos circulares maciços ou tubulares, concluindo com a expressão para a determinação da deformação. Posteriormente, foi feito o estudo do cálculo da tensão cisalhante a partir do torque interno atuante na seção. Outro aspecto abordado foi a transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico, utilizando-se eixos circulares maciços ou tubulares. A partir dos aspectos estudados, foi possível apresentar o dimensionamento de eixos circulares. No último tópico, o estudo ampliou a determinação da tensão cisalhante para estruturas não circulares de paredes finas.