estatistica desvio padrão

Prévia do material em texto

alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
1 
 
SUMÁRIO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO - DESVIO PADRÃO ................................................................................................. 2 
CONCEITOS SOBRE A DETERMINAÇÃO DO DESVIO-PADRÃO .................................................................... 2 
FORMA PRÁTICA DE DETERMINAR O DESVIO-PADRÃO ............................................................................. 3 
FORMAS DE CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO ............................................................................................. 4 
DADOS ISOLADOS ................................................................................................................................ 4 
DADOS REPETIDOS COM FREQUÊNCIA ................................................................................................. 5 
DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE ................................................................................. 5 
PROPRIEDADES DO DESVIO-PADRÃO ....................................................................................................... 5 
PRIMEIRA PROPRIEDADE ...................................................................................................................... 5 
SEGUNDA PROPRIEDADE ...................................................................................................................... 6 
EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................. 6 
 
 
https://www.alfaconcursos.com.br/
alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
2 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO - DESVIO PADRÃO 
CONCEITOS SOBRE A DETERMINAÇÃO DO DESVIO-PADRÃO 
O desvio-padrão é a medida de dispersão mais utilizada e, dependendo da forma de 
apresentação dos dados estatísticos, pode ser calculado de três formas diferentes. 
Como foi visto no estudo da média aritmética, uma de suas propriedades implica que a 
soma dos desvios tomados com relação à própria média é igual a zero. 
Então, para o conceito de dispersão, como podemos “medir” o grau de afastamento ou 
agregação dos dados com relação à média? Uma das respostas foi apresentada na aula anterior, 
através do conceito de Desvio Médio Absoluto (DMA). Entretanto, tal conceito não é totalmente 
adequado. Então, como resolver esta questão? 
Vejamos como calcular o desvio-padrão de uma AMOSTRA, cujos valores são a série de 
dados representada por: {10, 20, 30, 40 e 50}. 
1º Passo – Achar a média aritmética da distribuição 
A média da distribuição é calculado utilizando a fórmula a seguir. 
𝑋𝑋� = 
10 + 20 + 30 + 40 + 50
5 = 
150
5 = 30 
Outra maneira (mais rápida) de se achar o valor médio da distribuição é verificar que a 
sequência de números forma uma PA (Progressão Aritmética) com número ímpar de termos. 
Portanto, o valor central será a média da distribuição. 
 
2º Passo – Determinar os desvios 
A tabela a seguir apresenta os desvios tomados em relação à média aritmética. 
Xi di = Xi - 𝑿𝑿� 
10 10 – 30 = ⎼ 20 
20 20 – 30 = ⎼ 10 
30 30 – 30 = 0 
40 40 – 30 = + 10 
50 50 – 30 = + 20 
Total zero 
 
3º Passo – Determinar os desvios quadrados 
Os desvios quadrados da série de dados estão expressos na tabela a seguir e apresentam 
uma soma total igual a 1.000. 
Xi di = Xi - 𝑿𝑿� di2 
10 10 – 30 = ⎼ 20 + 400 
20 20 – 30 = ⎼ 10 + 100 
30 30 – 30 = 0 0 
40 40 – 30 = + 10 + 100 
50 50 – 30 = + 20 + 400 
Total zero 1.000 
 
https://www.alfaconcursos.com.br/
alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
3 
 
4º Passo – Cálculo do desvio-padrão 
Observe que a forma encontrada, nesta resolução, para eliminar a propriedade da média 
aritmética, a qual estabelece que a SOMA DOS DESVIOS tomados com relação à referida média 
vale ZERO (conforme pode ser visto no quadro do passo anterior), foi calcular o quadrado dos 
desvios (na aula anterior, a forma adotada foi achar os desvios ABSOLUTOS). 
Entretanto, ao adotar os quadrados, a unidade de medida da variável em estudo ficará 
elevada ao quadrado. Isso significa que, se a variável em estudos estiver expressa, por exemplo, 
em metros (unidade de comprimento), então a soma dos desvios quadrados estará expressa 
em metros quadrados (unidade de área). Assim, caímos num problema. Então, como resolver 
isso? 
A solução é fácil, basta extrair a raiz quadrada do resultado da soma dos desvios 
quadrados. Dessa forma, caso a variável em estudo seja expressa em metros, então a raiz 
quadrada dos desvios quadráticos também estará expressa em metros. 
Portanto, para se determinar o desvio-padrão da série de dados apresentada, devemos 
utilizar a fórmula a seguir. 
𝜎𝜎 = �
∑𝑑𝑑𝑖𝑖2
(𝑁𝑁 − 1) 
Onde: 𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋� 
 i = 1, 2, 3 ..., N 
 N = número total de elementos da série 
 
Observe que o denominador do radicando constante da fórmula é o número 
total de elementos da série diminuído de um grau de liberdade (expressão “N – 1”). 
Isso deve ser feito sempre que se deseja calcular o desvio-padrão de uma AMOSTRA. 
Caso o cálculo do desvio-padrão seja para uma POLULAÇÃO, então o denominador 
será o total, N, de elementos da série. 
 
Substituindo os valores na fórmula, obtém-se: 
𝜎𝜎 = �
1000
(5− 1) = 
�1000
4 = √250 = 15,81 
 
FORMA PRÁTICA DE DETERMINAR O DESVIO-PADRÃO 
Outra fórmula amplamente utilizada para o cálculo do desvio-padrão para uma 
POPULAÇÃO é: 
𝜎𝜎 = �
∑𝑋𝑋𝑖𝑖2 − 
(∑𝑋𝑋𝑖𝑖)
𝑁𝑁
2
𝑁𝑁 
 
Onde: 𝑋𝑋𝑖𝑖 são as observações da série de dados 
 i = 1, 2, 3 ..., N 
 N = número total de elementos da série 
https://www.alfaconcursos.com.br/
alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
4 
 
Entretanto, se o cálculo é para uma AMOSTRA, a fórmula a ser utilizada será: 
 
𝜎𝜎 = �
∑𝑋𝑋𝑖𝑖2 − 
(∑𝑋𝑋𝑖𝑖)
𝑁𝑁
2
(𝑁𝑁 − 1) 
 
No caso do exemplo anterior, teríamos: 
Xi Xi2 
10 100 
20 400 
30 900 
40 1.600 
50 2.500 
150 5.500 
 
Portanto, retirando da tabela acima os valores necessários para os cálculos, teremos: 
 
∑ Xi2 = 5.500 e (∑ Xi)2 = 1502 = 22.500 
 
Substituindo esses valores na fórmula aplicada a uma AMOSTRA, teremos: 
𝜎𝜎 = �
5.500− 22.5005
(5− 1) = 
�5.500− 4.500
4 = 
�1.000
4 = √250 = 15,81 
 
FORMAS DE CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO 
DADOS ISOLADOS 
Para dados isolados, conforme exemplo apresentado anteriormente, o desvio-padrão é 
obtido extraindo-se a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios em torno 
da média aritmética. 
𝜎𝜎 = �
∑𝑑𝑑𝑖𝑖2
𝑁𝑁 
Onde: 𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋� 
 i = 1, 2, 3 ..., N 
 N = número total de elementos da série 
 
OBSERVAÇÃO 
Lembrando que, no caso de calcularmos o desvio-padrão para uma AMOSTRA, 
devemos substituir “N” por “N – 1” na fórmula anterior. 
 
https://www.alfaconcursos.com.br/
alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
5 
 
DADOS REPETIDOS COM FREQUÊNCIA 
Quando cada elemento da série de dados estatísticos aparece na distribuição com 
determinada frequência, a fórmula a ser utilizada para se determinar o desvio-padrão para uma 
POPULAÇÃO é dada por: 
𝜎𝜎 = �
∑𝑑𝑑𝑖𝑖2 .𝐹𝐹𝑖𝑖
∑𝐹𝐹𝑖𝑖
 
Onde: 𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋� 
Fi = Frequência simples observada 
 i = 1, 2, 3 ..., N 
OBSERVAÇÃO 
Quando se tratar de uma AMOSTRA, deve-se substituir “∑Fi” por “∑Fi – 1” no 
denominador da fórmula. 
Para dados repetidos com frequência, assim como no caso anterior, também existe uma 
fórmula prática para se determinar o desvio-padrão, a qual é dada, no caso de população, por: 
 
𝜎𝜎 = 
�∑𝑋𝑋𝑖𝑖
2.𝐹𝐹𝑖𝑖 − 
(∑𝑋𝑋𝑖𝑖 .𝐹𝐹𝑖𝑖)
∑𝐹𝐹𝑖𝑖
2
∑𝐹𝐹𝑖𝑖
 
 
Já se os cálculos são relativos a uma amostra, a fórmula prática será expressa por: 
𝜎𝜎 = 
�∑𝑋𝑋𝑖𝑖
2.𝐹𝐹𝑖𝑖 − 
(∑𝑋𝑋𝑖𝑖 .𝐹𝐹𝑖𝑖)
∑𝐹𝐹𝑖𝑖
2
∑𝐹𝐹𝑖𝑖 − 1
 
 
DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE 
Nesse caso, as fórmulas serão idênticas à apresentada no tópico anterior. Porém, deve-se 
considerar como “Xi” o valor do ponto médio (Pm) de cada intervalo declasse. 
 
PROPRIEDADES DO DESVIO-PADRÃO 
PRIMEIRA PROPRIEDADE 
Somando-se ou subtraindo-se uma constante arbitrária a cada elemento de um conjunto 
de dados, o desvio-padrão não se altera. 
Como o desvio-padrão é uma medida de dispersão, o fato de somarmos (ou subtrairmos) 
uma constante não afetará essa dispersão. 
 
Exemplo: 
Seja uma amostra dada por X = {10, 20, 30, 40, 50} 
 
Como já foi visto, o desvio-padrão dessa amostra vale: σx = 15,81. Se somarmos a 
constante 100 a cada elemento desse conjunto, teremos: 
https://www.alfaconcursos.com.br/
alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
6 
 
Y = {110, 120, 130, 140, 150}, cujo desvio-padrão será igual a: σy = σx = 15,81 
 
SEGUNDA PROPRIEDADE 
Multiplicando ou dividindo cada elemento de um conjunto de dados por uma constante 
arbitrária diferente de zero, o desvio-padrão ficará multiplicado ou dividido por essa 
constante. 
 
Exemplo: 
Seja a amostra dada por X = {10, 20, 30, 40, 50}. Sabe-se que seu desvio-padrão vale 
σx = 15,81. Se multiplicarmos por 10 cada elemento desse conjunto, teremos: 
 
Z = {100, 200, 300, 400, 500}, cujo desvio-padrão será: 
σz = 10 . σx  σz = 10 x 15,81  σz = 158,1 
 
EXERCÍCIOS 
Exercício 
Seja σ = 1,9 o desvio padrão da série X = {6; 8; 10; 10}. Calcular o desvio padrão da série 
dada por Y = {106; 108; 110; 110}. 
a) 1,7 b) 1,8 c) 1,9 d) 2,0 e) 2,1 
 
Resolução do exercício 
Comparando as duas séries, observa-se que a série Y foi obtida ao somar o 
valor 100 a cada elemento da série de dados X. Sendo assim, aplica-se a primeira 
propriedade, a qual estabelece que não há alteração no desvio-padrão caso seja 
somado ou subtraído uma constante a cada elemento da série de dados. 
Sendo assim, o desvio-padrão da série Y será 1,9. 
Portanto, a alternativa correta é a opção “C”. 
 
Exercício 
Ainda com relação a série “X” fornecida no exercício anterior, determine o desvio padrão 
da série Z = {60; 80; 100; 100}. 
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 
 
Resolução do exercício 
Comparando as duas séries, observa-se que a série Z foi obtida ao se multiplicar 
por 10 cada elemento da série de dados X. Sendo assim, aplica-se a segunda 
propriedade, a qual estabelece que, “ao se multiplicar ou dividir cada elemento de 
um conjunto de dados por uma constante arbitrária diferente de zero, o desvio-
padrão ficará multiplicado ou dividido por essa constante”. 
Logo, o desvio-padrão da série Z será: 
σz = 10 . σx  σz = 10 x 1,9  σz = 19 
 
Portanto, a alternativa correta é a opção “C”. 
https://www.alfaconcursos.com.br/
alfaconcursos.com.br 
 
MUDE SUA VIDA! 
7 
 
Exercício 
Em certa empresa, o salário médio era de R$ 9.000,00 e o desvio padrão dos salários era 
de R$ 1.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários 
passou a ser de: 
a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.100,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.700,00 e) R$ 1.900,00 
 
Resolução do exercício 
Se todos os salários receberam aumento de 10%, isso significa que cada um 
deles foi multiplicado pelo fator “1,1”. Dessa forma, aplica-se a segunda propriedade 
do desvio-padrão. 
Sendo assim, o novo desvio-padrão será dado por: 
σ Novo = 1,1 x σAntigo  σ Novo = 1,1 x 1000  σ Novo = 1.100,00 
 
Portanto, a alternativa correta é a opção “E”. 
Exercício 
Determinar o desvio padrão do conjunto de dados amostrais apresentados a seguir. 
A = {2, 4, 6, 8, 10} 
 
a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6 
 
Resolução do exercício 
Embora seja simples achar o valor da média aritmética simples dessa 
distribuição, já que se trata de uma progressão aritmética de número ímpar de 
termos, o que implica o valor médio igual a 6, calcular o desvio-padrão através da 
fórmula dos desvios quadrados é extremamente trabalhosa. Sendo assim, para a 
resolução deste exercício, será utilizada a fórmula prática dada a seguir. 
𝜎𝜎 = �
∑𝑋𝑋𝑖𝑖
2 − 
(∑𝑋𝑋𝑖𝑖)
𝑁𝑁
2
(𝑁𝑁−1)
 
Para a obtenção da soma dos quadrados e do quadrado da soma, será utilizada 
a tabela a seguir. 
 
Dessa forma, os componentes da fórmula são: 
∑𝑋𝑋𝑖𝑖2 = 220 (∑𝑋𝑋𝑖𝑖)2 = 302  (∑𝑋𝑋𝑖𝑖)2 = 900 
Substituindo esses valores na fórmula, teremos: 
𝜎𝜎 = �
∑𝑋𝑋𝑖𝑖
2 − 
(∑𝑋𝑋𝑖𝑖)
𝑁𝑁
2
(𝑁𝑁−1)
= �
220− 9005
5−1
= �220−180
4
= �40
4
= √10 = 3,16 ≈ 3,2 
 
Portanto, a alternativa correta é a opção “D”. 
https://www.alfaconcursos.com.br/