Apostila Estatistica - modulo 1 2019

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Técnico em Química 
 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
1. COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS ................................................................................... 3 
1.1. Introdução ................................................................................................................................. 3 
1.2. Conceituação ............................................................................................................................ 3 
1.3. Método estatístico ..................................................................................................................... 3 
1.4. Variáveis.................................................................................................................................... 4 
1.5. População e amostra ................................................................................................................. 5 
1.6. Amostragem .............................................................................................................................. 6 
1.7. Apresentação de resultados ...................................................................................................... 7 
2. MEDIDAS ................................................................................................................................... 17 
2.1. Algarismos significativos .......................................................................................................... 17 
2.2. Regras para arredondamento .................................................................................................. 18 
2.3. Notação científica (notação exponencial) ................................................................................ 19 
2.4. Ordem de grandeza ................................................................................................................. 20 
2.5. Operações com calculadoras científicas .................................................................................. 20 
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO ............................................................................................................ 22 
3.1. Média aritmética ...................................................................................................................... 22 
3.2. Média geométrica simples ....................................................................................................... 25 
3.3. Média harmônica simples ........................................................................................................ 25 
3.4. Média quadrática ..................................................................................................................... 25 
3.5. Moda ....................................................................................................................................... 25 
3.6. Mediana .................................................................................................................................. 26 
4. MEDIDAS DE DISPERSÃO ........................................................................................................ 29 
4.1. Amplitude total ......................................................................................................................... 29 
4.2. Variância populacional............................................................................................................. 29 
4.3. Desvio padrão populacional .................................................................................................... 29 
4.4. Propriedades da média e do desvio padrão ............................................................................. 30 
4.5. Desvio padrão populacional (dados agrupados sem intervalos de classe) .............................. 30 
4.6. Variância amostral e desvio padrão amostral .......................................................................... 31 
4.7. Coeficiente de variação ........................................................................................................... 31 
4.8. Escore padronizado ................................................................................................................. 32 
4.9. Desvio padrão da média .......................................................................................................... 33 
5. DEFINIÇÕES BÁSICAS DE PROBABILIDADE .......................................................................... 33 
DEFINIÇÃO ........................................................................................................................................... 33 
PROBABILIDADE É O ESTUDO DAS CHANCES DE OBTENÇÃO DE CADA RESULTADO DE 
UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO. A ESSAS CHANCES SÃO ATRIBUÍDOS OS NÚMEROS REAIS DO 
INTERVALO ENTRE 0 E 1. RESULTADOS MAIS PRÓXIMOS DE 1 TÊM MAIS CHANCES DE 
OCORRER. ALÉM DISSO, A PROBABILIDADE TAMBÉM PODE SER APRESENTADA NA 
FORMA PERCENTUAL. ........................................................................................................................ 33 
5.1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO E PONTO AMOSTRAL ................................................................... 33 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................................... 37 
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
1. COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS 
1.1. Introdução 
O Vocábulo Estatística é originado do latim Status (Estado). Foi empregado pela primeira vez por 
Godofredo Achenwall, em meados do século XVIII. 
A Estatística é historicamente relacionada às coisas do Estado, do Governo e da Administração. Na 
mão dos estadistas, constituiu-se de verdadeira ferramenta administrativa. A própria Bíblia nos leva a 
essa recuperação histórica: Maria e José viajaram de Nazaré para Belém, na época do nascimento de 
Jesus Cristo, para que fossem recenseados. Naquele tempo, por imposição do imperador César 
Augusto, toda a população do império romano deveria se alistar em suas cidades de origem (a palavra 
“censo” deriva de censere, que em latim significa “taxar”). 
1.2. Conceituação 
A Estatística possui alguns conceitos antigos. Ela ainda é usada como simples contagem aritmética; 
como sinônimo de dados publicados oficialmente ou como transformações matemáticas. Assim, é 
comum ouvir alguém dizer: “Aqui estão as estatísticas sobre o jogo realizado ontem!”. 
 Eis alguns conceitos modernos para a Estatística: 
“É a parte da matemática aplicada que se ocupa em obter conclusões a partir de dados observados”. 
“É a estimativa de um parâmetro a partir de uma amostra” (parâmetro é o elemento numérico usado 
para caracterizar todo o conjunto). 
1.3. Método estatístico 
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. 
Podemos distinguir no método estatístico as seguintes fases: 
1.3.1. Coleta de informações 
Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características mensuráveis do 
fenômeno que se quer pesquisar, damos início à coleta de informações (ou dados). A coleta pode ser 
direta ou indireta. 
A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (nascimentos, 
casamentos e óbitos, importação e exportação de mercadorias), elementos pertinentes aos prontuários 
dos pacientes de um hospital ou, ainda, quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador 
através de inquéritos e questionários. 
A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do 
conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como exemplo, podemos 
citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos por uma coleta direta. 
1.3.2. Crítica dos dados 
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e 
imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto,que possam influir 
sensivelmente nos resultados. A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do infor-
mante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; é interna quando visa 
observar os elementos originais dos dados da coleta. 
1.3.3. Apuração dos dados 
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios 
de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. 
1.3.4. Exposição ou apresentação dos dados 
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser a representados 
sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto 
de tratamento estatístico. 
 4 
1.3.5. Análise dos resultados 
O objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações 
fornecidas por parte representativa do todo (amostra). Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística 
Descritiva), fazemos uma análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva 
ou Inferencial, que tem por base a indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e 
previsões. 
1.4. Variáveis 
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Exemplos: 
Ex.1: para o fenômeno "sexo" são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino; 
Ex.2: para o fenômeno "número de filhos" há um número de resultados possíveis expresso através 
dos números naturais: 0, 1, 2, 3, ..., n; 
Ex.3: para o fenômeno "estatura" temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um 
número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo. 
Variável: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Podem ser classificadas como 
qualitativas ou quantitativas. 
1.4.1. Variável qualitativa 
Quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino); religião (católica, 
protestante,...); escolaridade (fundamental, médio, superior), etc. Podem ser classificadas como 
nominais ou ordinais. 
Variáveis qualitativas ordinais 
Quando apresentam alguma ordenação ou hierarquia. Exemplos: 
Escolaridade: 1ºgrau, 2ºgrau, 3ºgrau; 
Funcionários de uma escola: diretor, chefe de departamento, coordenador, professor, etc. 
Variáveis qualitativas nominais 
Quando não representam ordenação ou hierarquia. Exemplos: 
Sexo (masculino; feminino); 
Religião (católica, protestante, espírita...); 
Município de origem: Campos dos Goytacazes, São Fidélis, São João da Barra, etc. 
1.4.2. Variável quantitativa 
Quando seus valores são expressos em números. Exemplo: os salários dos operários, a idade dos 
alunos de uma escola, etc. 
Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe 
o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável recebe o nome de variável discreta. 
Assim, o número de clientes de um banco pode assumir qualquer um dos valores do conjunto N = { 
1, 2, 3, ..., 188, ...}, mas nunca valores como 2,5 ou 3,78 ou 4,325. Logo, o número de clientes é uma 
variável discreta. Já o saldo da conta desses clientes é uma variável contínua, pois pode assumir um 
conjunto não enumerável de valores, como R$172,54 ou R$172,5402, etc. Outro exemplo de variável 
contínua é o peso de atletas de uma determinada equipe: um atleta pode pesar 72 kg, como 72,5 kg ou 
ainda 72,520 kg. A medida depende da precisão do equipamento utilizado, no caso, uma balança. De 
um modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações dão 
origem a variáveis discretas. 
Designamos as variáveis por letras latinas, em geral, as últimas: X, Y, Z. 
Por exemplo, sejam 2, 3, 5 e 8 todos os resultados possíveis de um determinado fenômeno. Usando 
a letra X para indicar a variável relativa ao fenômeno considerado, temos: X  {2, 3, 5, 8}. 
1º. Exercício Proposto 
Classifique as variáveis em qualitativas (nominal ou ordinal) ou quantitativas (discreta ou contínua): 
Universo: alunos de uma escola. 
 5 
Variável 1: Cor dos cabelos. ......................................................................................... 
 Variável 2: Série ........................................................................................................... 
 Variável 3: Estatura ...................................................................................................... 
 Variável 4: Número de irmãos ...................................................................................... 
Universo: casais residentes em uma cidade. 
Variável 1: Número de filhos ........................................................................................ 
Variável 2: Renda familiar .............................................................................................. 
Variável 3: Classe social .............................................................................................. 
Variável 4: Saldo bancário ........................................................................................... 
1.5. População e amostra 
1.5.1. População 
População Estatística ou Universo Estatístico é o conjunto de entes portadores de pelo menos uma 
característica comum. Os estudantes, por exemplo, constituem uma população, pois apresentam pelo 
menos uma característica comum: são os que estudam. 
Em qualquer estudo estatístico, as características dos elementos que constituem a população devem 
estar perfeitamente definidas a priori. Isso se dá quando, considerado um elemento qualquer, podemos 
afirmar, sem ambiguidade, se esse elemento pertence ou não à população. É necessário, pois, existir 
um critério de constituição da população que seja válido para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. 
Por isso, quando pretendemos fazer uma pesquisa entre os alunos das escolas de 1° grau, 
precisamos definir quais são os alunos que formam o universo: os que atualmente ocupam as carteiras 
das escolas, ou devemos incluir também os que já passaram pela escola? É claro que a solução do 
problema vai depender de cada caso em particular. 
Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal, limitamos as 
observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da população. A essa parte 
proveniente da população em estudo denominamos amostra. 
1.5.2. Amostra 
É um subconjunto finito de uma população. 
Como vimos a Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base 
em resultados verificados em amostras retiradas dessa população. 
Mas, para as inferências serem corretas, é necessário garantir que a amostra seja representativa da 
população, isto é, a amostra deve possuir as mesmas características básicas da população, no que diz 
respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. E preciso, pois, que a amostra ou as amostras que 
vão ser usadas sejam obtidas por processos adequados. Há casos, como o de pesquisas sociais, 
econômicas e de opinião, em que os problemas de amostragem são de extrema complexidade. Mas 
existem também casos em que os problemas de amostragem são bem mais fáceis. Como exemplo, 
podemos citar a retirada de amostras para controle de qualidade dos produtos ou materiais de 
determinada indústria. 
2º. Exercício Proposto 
Nem sempre é possível coletar todos os dados da população para a análise desejada (censo). Faz-
se então uma amostragem representativa dessa população. Tanto a amostragem quanto o censo 
apresentam vantagens e desvantagens em relação ao outro. Cite duas vantagens de cada tipo de coleta 
de dados. 
 
 
 
Vantagens do censo: ___________________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________ 
Vantagens da amostragem: ______________________________________________________ 
_____________________________________________________________________________6 
1.6. Amostragem 
A amostragem é uma técnica especial para recolher amostras que garante, tanto quanto possível, o 
acaso na escolha. Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser 
escolhido, o que garante à amostra o caráter de representatividade. 
1.6.1. Amostragem casual ou aleatória simples 
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser feita numerando-se a 
população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k números 
dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. 
Exemplo: Para obter uma amostra representativa para uma pesquisa sobre estatura de uma turma 
de noventa alunos de uma escola, seguimos os seguintes passos: 
1º passo: numeramos os alunos de 01 a 90. 
2º passo: escrevemos os números, de 01 a 90, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-
os dentro de uma caixa. Agitamos sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retiramos, 
um a um, nove números que formarão a amostra. Nesse caso, 10% da população. Quando o número 
de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. A fim de facilitá-lo, 
foi elaborada uma tabela (Tabela de Números Aleatórios), construída de modo que os dez algarismos 
(0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. 
Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismo qualquer da 
mesma, a partir do qual iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa 
necessidade. Os números assim obtidos irão indicar os elementos da amostra. 
A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente (da direita para a esquerda ou vice-versa), 
verticalmente (de cima para baixo ou vice-versa), diagonalmente (no sentido ascendente ou 
descendente) ou formando o desenho de uma letra qualquer. A opção, porém, deve ser feita antes de 
iniciado o processo. 
1.6.2. Amostragem proporcional estratificada 
Muitas vezes a população se divide em subpopulações (estratos). Como é provável que a variável 
em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, 
um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração 
tais estratos. 
É exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem proporcional estratificada, que, 
além de considerar a existência dos estratos, obtém os elementos da amostra proporcional ao número 
de elementos dos mesmos. 
Exemplo: Suponhamos que no exemplo anterior, dentre os noventa alunos, 54 sejam meninos e 36 
sejam meninas, vamos obter a amostra proporcional estratificada. 
São, portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos uma amostra de 10% da 
população. Logo, temos: 
a) Definição dos estratos: 
Sexo População Amostra 
M 54 5 
F 36 4 
Total 90 9 
Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem meninos e de 55 a 90, 
meninas. A amostra é obtida usando-se uma Tabela de Números Aleatórios ou simplesmente por sorteio 
dos números. 
1.6.3. Amostragem sistemática 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o 
sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, as 
linhas de produção etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser 
feita por um sistema imposto pelo pesquisador. 
Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para 
pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando o tamanho da amostra 
em 10% da população. 
 7 
 Exemplo: Suponhamos uma rua contendo novecentas casas, das quais desejamos ter uma amostra 
formada de cinquenta casas. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/50 = 18, 
escolhemos por sorteio casual um número de 1 a 18 (inclusive), o qual indicaria o primeiro elemento 
sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. 
Assim, se o número sorteado fosse o 4, tomaríamos, pelo lado direito da rua, a 4a casa, a 22a, a 40a e 
assim sucessivamente, até voltarmos ao início da rua, pelo lado esquerdo. 
3º. Exercício proposto 
Dentre os 3 tipos de amostragem estudados, qual seria o mais indicado para se obter uma amostra 
de 10% dos fregueses que almoçam num restaurante self service? Justifique. 
__ ____________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________ 
1.7. Apresentação de resultados 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma determinada variável pode assumir, 
de forma que tenhamos uma visão global da sua variabilidade. Isso se consegue, inicialmente, 
apresentando os dados em tabelas e gráficos, que fornecem informações rápidas e seguras aos 
tomadores de decisão. 
1.7.1. Tabelas estatísticas 
Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura: cabeçalho, corpo e rodapé. 
Cabeçalho 
Conjunto de informações localizado no topo da tabela que responde às perguntas: O que? (fato); 
Onde? (local) e Quando? (tempo). 
Corpo 
Conjunto de linhas, colunas e subcolunas que contém informações sobre a variável em estudo. O 
corpo da tabela é formado por uma coluna indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das 
linhas; por linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se 
inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; e por casas ou células: interseções entre linhas e 
colunas que comportam somente um dado numérico. 
Rodapé 
Espaço abaixo do corpo da tabela reservado para observações pertinentes a tabela, bem como o 
registro e identificação da fonte dos dados. 
Os seguintes pontos devem ser observados na preparação das tabelas: 
 Organizar as tabelas, de tal forma que o leitor possa entendê-las sem que seja necessário recorrer ao 
texto para a sua compreensão; 
 Delimitar a estrutura da tabela na parte superior e na parte inferior por traços paralelos; 
 Recomenda-se não fechar por traços verticais os lados externos da tabela, tanto à direita como à 
esquerda; 
 Quando for necessário deitar a tabela numa página, fazendo a rotação no sentido anti-horário. 
Exemplo geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produção de café - Brasil - 1991-1995 
Anos Produção (1.000t) 
1991 2.535 
1992 2.666 
1993 2.122 
1994 3.750 
1995 2.007 
 Fonte: IBGE 
 
cabeçalho 
corpo 
 8 
1.7.2. Séries 
São tabelas estatísticas. Conforme critério de agrupamento, as tabelas são classificadas em série 
cronológica, temporal, evolutiva ou histórica, série geográfica ou de localização e série específica. 
Série cronológica 
É uma série estatística em que os dados são representados segundo a época de ocorrência. 
Exemplo dado acima. 
Série geográfica ou de localização 
Ë uma série estatística em que os dados são observados segundo a localidade de ocorrência. 
Série específica 
É uma série estatística em que os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência. 
Exemplo 
Matrículas no Ensino de Terceiro Graus no Brasil em 1973 (ciclo básico) 
Áreas de ensino Matrículas 
Ciências biológicas 32.109 
Ciências exatas e 
tecnológicas 
65.949 
Ciências agrárias 2.419 
Ciências humanas 148.842 
Letras 9.883 
Artes 7.464 
Duas ou mais áreas 16.323 
Fonte: Serviço de Estatística da Educação e Cultura 
1.7.3. Gráficos 
O gráfico é uma forma de comunicação do fenômeno em termos visuais. Portanto, representa um 
relato matemático-geométrico de um problema, o que facilita sobremaneira a compreensão do 
fenômeno estudado. Os relatos científicos, os relatórios técnicos, os relatórios administrativos, os 
estudos realizados por professores ou mesmo alunos fazem uso extensivo de gráficos. 
Um gráfico, da mesma forma que a tabela, deve ser estruturado com: cabeçalho, corpo e rodapé. 
Recomenda-se que o gráfico mantenha uma proporção entre alturae largura entre 3/4 a 2/3 e que 
contenha essencialmente, as seguintes características: 
Simplicidade: o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de 
traços desnecessários que possam levar a uma análise morosa ou com erros; 
Clareza: o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do 
fenômeno em estudo; 
Veracidade: o gráfico deve expressar a veracidade sobre o fenômeno em estudo. 
Os principais tipos de gráficos são: diagramas, cartogramas e pictogramas. Os pictogramas são 
representações pictóricas sobre o fenômeno representado. Os cartogramas apresentam os dados em 
cartas geográficas. Nessa apostila apresentaremos somente os principais tipos de diagramas. 
Diagramas 
São gráficos geométricos de no máximo duas dimensões, e para a sua construção, em geral, faz-se 
uso do sistema cartesiano. Nesse sistema, faz-se uso de duas retas perpendiculares; as retas são os 
eixos coordenados e o ponto de interseção, a origem. O eixo horizontal é denominado eixo das 
abscissas (ou eixo x) e o vertical, eixo das ordenadas (ou eixo dos Y). Exemplo: 
 
 
 
 
 
 9 
Potencial de ionização dos primeiros vinte elementos da tabela periódica 
Element
o 
Número 
atômico 
(Z) 
Potencial de 
 ionização 
(kJ/mol) 
 
Element
o 
Número 
atômico 
(Z) 
Potencial de 
 ionização 
(kJ/mol) 
H 1 1312 Na 11 495,8 
He 2 2371 Mg 12 737,6 
Li 3 520 Al 13 577,4 
Be 4 900 Si 14 786,4 
B 5 800 P 15 1021 
C 6 1086 S 16 999,6 
N 7 1402 Cl 17 1255 
O 8 1314 Ar 18 1520 
F 9 1681 K 19 418,8 
Ne 10 2080 Ca 20 589,5 
Fonte: BRADY - Química Geral - volume 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas triangulares 
Usam-se os gráficos triangulares, quando se pretende representar três variáveis ao mesmo tempo. 
Essas variáveis deverão estar relacionadas entre si, e suas intensidades podem ser representadas em 
termos percentuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Diagrama ternário de uma liga hipotética formada pelos elementos A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º. Exercício proposto 
Determine a composição da liga no ponto marcado no diagrama. Localize no diagrama a liga com 
40% de B, 30% de A e 30% de C. 
5º. Exercício proposto 
No diagrama ternário a seguir, têm-se as composições em massa de nitrogênio (N2), metano (CH4) 
e oxigênio (O2) numa mistura gasosa a uma dada temperatura. As composições do triângulo de linhas 
em negrito indicam que a mistura é explosiva. Com base no diagrama apresentado, responda às 
seguintes questões. 
a) A mistura de 30% de N2, 50% de O2 e 20% de CH4 em massa, num reator, é explosiva? Justifique 
sua resposta. 
b) A partir de que percentagem em massa de N2, a condição do item anterior será modificada, caso 
seja mantida a percentagem de CH4 na mistura? Justifique sua resposta. 
 0 20 40 60 80 100 % B
 % de B 
 
100% 
 C 
% C 
% A 
100% 
 A 
100%A 
 
90 
 
80 
 
70 
 
60 
 
50 
 
40 
 
30 
 
20 
 
10 
 
 0 
%m/m 
 A 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem de gráficos 
Não existe fórmula pronta para a montagem de um bom gráfico. Existem alguns aspectos que devem 
ser observados para não comprometer a qualidade dos dados coletados e algumas dicas que quando 
seguidas levam a produção de um bom gráfico, além, é claro de um bom senso crítico. 
1o - A escolha do papel deve ser feita de forma que permita a leitura no gráfico do mesmo número 
de algarismos significativos que aparecem nos dados; 
2o - Para melhor organização do gráfico deve-se deixar uma margem de no mínimo 1cm de cada 
lado e na margem inferior e de 3 a 5 cm na margem superior para indicar o que será representado no 
gráfico; 
3o - Sempre que for possível, utilize todo o papel a fim de não de não comprometer a precisão dos 
dados. 
Escalas 
Aqui reside a maior dificuldade de construção de gráficos. Quando se vence esta etapa, o restante 
fica fácil. Algumas dicas: 
1o - Determine o comprimento útil do eixo em unidades do papel (mm ou cm) - L, conforme o caso; 
2o - Determine a amplitude da grandeza a ser representada sobre o eixo (G); 
3o - Calcule a razão (escala) 
L
G
E


 
4o - Procure fazer com que cada unidade de divisão do papel corresponda a um intervalo igual a 1, 
2 ou 5 unidades da grandeza representada ou, então 1.10n , 2.10n ou 5.10n , onde n é um número inteiro. 
Algumas vezes é tolerável fazer corresponder a cada unidade do papel 4.10n ou 8.10n. 
Exemplo 
Supondo que se disponha de um papel milimetrado com espaço útil de 150mm, construir uma escala 
para representar num eixo os seguintes valores de massa: 5,50; 10,7; 22,4; 45,6; 95,3g. 
6º. Exercício proposto 
Numa prática de determinação de densidade no laboratório, foram obtidas experimentalmente as 
seguintes massas para corpos de provas em forma de cubos um metal dado pelo professor. 
 
 
 0 20 40 60 80 100 % 
 % de N2 N2
 
100% 
 CH4 
% CH4 
% O2 
100% 
 O2 
 Misturas 
explosivas 
 12 
Amostra Aresta do cubo 
(cm) 
Volume (cm3) Massa (g) 
1 1,00 2,86 
2 2,00 22,72 
3 3,00 74,52 
4 4,00 176,67 
5 5,00 345,43 
Com base no que foi discutido até agora, determine numa folha de papel milimetrado, a porção útil 
do papel e proponha uma escala para cada grandeza acima (massa versus volume). Plote os pontos e 
responda as seguintes perguntas: 
Existe proporcionalidade entre volume e massa? 
Existe a possibilidade de descrever a relação entre o volume e a massa por uma relação linear? 
Caso exista, ajuste uma reta que represente tal relação. 
Determine o coeficiente de inclinação da reta. Interprete esse resultado. 
 
Gráfico em colunas ou em barras 
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou 
horizontalmente (em barras). 
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos 
dados. 
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos 
respectivos dados. 
Estas condições asseguram a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados 
estatísticos. 
Exemplos de gráficos em colunas: 
Histogramas 
São representações gráficas da distribuição de frequência em forma de gráficos em colunas 
justapostas. 
Considere a distribuição de frequências abaixo, resultante da apuração das alturas de uma turma de 
alunos. 
 
I 
Altura ( 
cm ) 
xj fi fir fi% fiAC 
1 
154 
159 
156,5 3 3/50 6 3 
2 
159 
164 
161,5 6 6/50 12 9 
3 
164 
169 
166,5 9 9/50 18 18 
4 
169 
174 
171,5 14 14/50 28 32 
5 
174 
179 
176,5 11 11/50 22 43 
6 
179 
184 
181,5 4 4/50 8 47 
7 
184 
189 
186,5 3 3/50 6 50 
 TOTAL - 50 1 100 - 
 
 13 
 
7º. Exercício proposto 
Construa esse mesmo histograma no Excel. 
Gráfico de Barras de uma distribuição ocupacional. 
Seja o quadro de distribuição de frequências abaixo, referente a uma pesquisa que tem por objetivo 
categorizar a ocupação (profissão) de 180 pessoas entrevistadas. 
 
Ocupação (Profissão) Frequências (fi) 
Artesanato 52 
Trabalho não qualificado 65 
Gerencial 29 
Serviços burocráticos 34 
Total 180 
 
Como se vê, esta é outra forma de se apresentar o gráfico de colunas. Aqui não se trata de contagem, 
mas ao se categorizar os dados em 4 classes de ocupação que não são mensurados continuamente, o 
que se faz é revestir esses dados de um nível categórico ou nominal e, portanto, destacar a natureza 
discreta dos mesmos. A utilização de retângulos neste exemplo (não é obrigatória) objetiva apenas 
destacar as classes de profissão, que são efetivamente classes (categorias) e não pontos. Entretanto,observar que os retângulos não estão unidos; caso contrário, existe um hiato entre as bases 
representativas das classes, de modo a ressaltar o caráter discreto dos dados. 
 
 
 
 
Histograma da distribuição 
de frequência para a variável 
altura dos alunos. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
Artesanato Trabalho não qualificado Gerencial Serviços burocráticos
F
re
q
u
ê
n
c
ia
Profissão
 14 
Exemplo de gráfico em barras 
 
 
 Produção de cebola - Brasil -1982 
Estados Quantidades 
(t) 
São Paulo 255.620 
R. G. do Sul 168.555 
S. Catarina 113.602 
Pernambuc
o 
54.091 
Minas 
Gerais 
46.903 
Paraná 21.903 
 Fonte: IBGE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígonos de frequências 
Um polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe, ou quando 
for o caso, pelos valores constantes no eixo horizontal. Exemplo: 
 
 
 
Polígono de 
frequência 
 154 159 164 169 174 179 184 189 
 15 
8º. Exercício proposto 
 Construa esse mesmo polígono de frequência no Excel. 
As distribuições de frequências assumem uma variedade de formatos. As classificações mais 
importantes são: distribuições simétricas e distribuições assimétricas. 
As distribuições simétricas são aquelas caracterizadas por apresentar o valor máximo no ponto 
central e os pontos equidistante desse ponto terem a mesma frequência - distribuição normal ou 
distribuição gaussiana (distribuição de Gauss). 
 A figura abaixo mostra uma curva simétrica. 
 
 Exemplo 
 Os erros indeterminados seguem uma distribuição normal 
Na prática, as observações obtidas de medições reais são mais ou menos assimétricas em relação 
à frequência máxima. 
 Curva assimétrica negativa Curva assimétrica positiva 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, as variações nas formas das distribuições (entender como curvas de frequência) podem 
ser caracterizar em termos de simetria ou, conforme haja um acúmulo de dados extremos na cauda 
esquerda ou na cauda direita da curva, em termos de assimetria negativa ou positiva. 
1.7.4. Ogivas 
 São gráficos que apresentam a distribuição de frequência acumulada abaixo de qualquer limite 
superior de classe, locado (plotado) em relação a esse limite. 
Exemplo: Distribuição das alturas de uma turma de alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Gráficos setoriais 
O gráfico setorial é um dos mais simples recursos gráficos, pois consiste em um círculo cujos setores 
ou partes do mesmo círculo totalizam 100%. Eles são especialmente úteis quando se deseja ressaltar 
a participação do dado no total. 
O total é representado pelo círculo que fica dividido em tantos setores quantas forem às partes. As 
áreas dos setores circulares são respectivamente proporcionais aos dados da série. 
Obtêm-se as áreas proporcionais a cada setor por regra de três simples e direta, lembrando que o 
total corresponde a 360o. 
Exemplo: 
A turma de Licenciatura do IFF apresenta a seguinte distribuição de frequência com relação a opção 
de especialização: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O correspondente gráfico setorial está representado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
Opção de especialização Frequência (fi) % 
Biologia 16 32 
Física 15 30 
Indeciso 3 6 
Química 16 32 
Total 50 100 
 17 
9º. Exercício proposto 
Construa um gráfico setorial do meio de transporte usado pelos estudantes da turma de licenciatura 
do TEFEC/2008. 
 
Meio de transporte (fi) (fi%) Angulo 
(0) 
A pé 4 
Bicicleta 3 
Carro 8 
Moto 6 
Ônibus 29 
Total 
 
2. MEDIDAS 
Conforme visto, medir uma variável constitui o primeiro passo no exame de um determinado 
fenômeno. Medir é o ato de expressar numericamente a intensidade de uma determinada grandeza, em 
termos de uma unidade. Uma unidade de medida se constitui numa quantidade precisamente definida 
da grandeza que se quer medir. 
Exemplo: 
Grandeza: largura de uma sala; 
Unidade: metro 
Medida da largura da sala: 3m = 3xm = 3x1m (três vezes a unidade metro). 
2.1. Algarismos significativos 
Considere a medida de volume feita nas seguintes buretas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que na leitura do volume gasto na 1a bureta, há uma incerteza em estimar valor (interpolação) 
do número de décimos de mL, enquanto que na 2a bureta, a incerteza está em estimar o valor do número 
de centésimos de mL gastos (bureta mais precisa). 
Os algarismos necessários para expressar o resultado de uma medida com a mesma precisão do 
instrumento usado são chamados algarismos significativos. Portanto, faz-se necessário aprender a 
representar uma medida com a precisão do instrumento usado. 
A determinação dos algarismos significativos em um número pode ser feita mediante o emprego das 
seguintes regras: 
1o) Todos os algarismos não nulos em um número, são significativos. 
2o) Todos os zeros entre dois algarismos significativos não nulos, são significativos. 
 
Exemplo: 
 18 
100,122 120,012 110,101 11,0011 
todos com 6 algarismos significativos 
3o) Todos os zeros tanto à direita da vírgula decimal, como à direita de um dígito não nulo, são 
significativos. 
 Exemplos: 
12,00 0,1200 1,200 120,0 
todos com 4 algarismos significativos 
4o) Todos os zeros à esquerda de um algarismo não nulo, mas à direita de uma vírgula decimal não 
são significativos, se não houver algarismos não nulo à sua esquerda. 
 Exemplos: 
0,0123 0,000123 0,00000321 0,123 
todos com 3 algarismos significativos 
 5o)  = 3,1415926... O valor de  é conhecido com um número de algarismos significativos maior 
do que você jamais usará num cálculo. Conhece-se  com 1.011.196.691 algarismos significativos. 
2.1.1. Adição e subtração 
Será mantido na resposta, somente o número de algarismos significativos correspondentes a 
quantidade (parcela) com menor número de algarismos significativos à direita da vírgula. 
 
Massa 1 104,65 g (balança de 
precisão) 
Massa 2 0,2248 g (balança analítica) 
Massa total 104,87 g 
2.1.2. Multiplicação e divisão 
As regras são mais complicadas, porém para as pretensões pode-se adotar para a resposta, o 
mesmo número de algarismos significativos da medida menos precisa: 
Exemplo: 6,3 x 2,14 = 13,482 = 13 
9,29439252,2
14,2
3,6
 
Observação: 
Em determinadas situações faz-se necessário expressar a resposta em notação científica: 
 50,3 x 20,7 = 1041,21 = 1,04.103 
 Os números resultantes de enumerações ou de contagens, ao contrário das medições, são 
naturalmente exatos, e assim, têm uma quantidade ilimitada de algarismos significativos. 
2.2. Regras para arredondamento 
Um número é arredondado para outro com o número desejado de algarismo significativos, pelo 
cancelamento de um ou mais algarismos à direita. A regra é a seguinte: 
 1o) Se o dígito a ser suprimido é menor que 5 (cinco), o algarismo precedente não é alterado. 
 2o) Se o dígito a ser suprimido é exatamente 5 (cinco), o algarismo precedente é acrescido de 1 
caso seja ímpar, e mantido caso seja par. 
 3o) Se o dígito a ser suprimido é maior que cinco ou cinco sucedido de algum algarismo não nulo, 
o algarismo precedente é acrescido de 1. 
 Ao resolver problemas com calculadoras portáteis, os cálculos se fazem com todos os algarismos 
admitidos pelas calculadoras, e o arredondamento deve ser feito no final dos cálculos. O 
arredondamento no meio dos cálculos pode introduzir erros. 
 19 
2.3. Notação científica (notação exponencial) 
Em química e física principalmente, trabalha-se muitas vezes com números extremamente grandes 
ou extremamente pequenos. 
Exemplos: 
1o) massa de um átomo de carbono = 0,000 000 000 000 000 000 000 019 94 g 
2o) 1 mol de átomos = 602 204 500 000 000 000 000 000 átomos 
Ao escrever esses números, especialmente àquele que comportam muitos zeros, antes ou depois 
da vírgula,é conveniente empregar a notação científica, que utiliza as potências de dez (10), para 
simplificar a escrita destes números. 
Um número escrito em notação científica consiste de duas partes multiplicadas (um coeficiente e 
uma potência decimal): C x 10n 
onde: 
C = coeficiente, um número entre 1 (inclusive) e 10 (exclusive): 1  C <10 
10n = potência decimal onde n é um número inteiro qualquer. 
Exemplos: 
a) Números maiores que 1 
 321 = 3,21 x 102 veja que 1  3,21 < 10 
 376000 = 3,76 x 105 veja que 1  3,76 < 10 
b) Número menor que 1 
 0,001 = 1 x 10-3 veja que 1  1 < 10 
 0,0000431 = 4,31 x 10-5 veja que 1  4,31 < 10 
2.3.1. Adição e subtração 
Para adicionar ou subtrair números escritos em notação científica, primeiro cada número deve ser 
escrito com a mesma potência de 10. Em seguida, os coeficientes são adicionados ou subtraídos, 
conforme o caso, e o resultado é multiplicado pela potência de 10 comum. 
Exemplo: 
 2,17x105 + 0,30x105 = (2,17 + 0,30)x105 = 2,47x105 
(2,17x105) + ( 3,0x104) = ou 
 21,7x104 + 3,0x104 = 24,7x104 = 2,47x10
5 
2.3.2. Multiplicação e divisão 
Para multiplicar números escritos em notação exponencial, primeiro multiplicam-se os coeficientes e 
em seguida repete-se (multiplica-se) a base 10 e somam-se os expoentes: 
Exemplo: 
(5,00 x 104) x (1,60 x 102) = (5,00 x 1,60) x 10 4 + 2 = 8,00 x 106 
Para dividir números escritos em notação exponencial, primeiro dividem-se os coeficientes e em 
seguida repete-se (multiplica-se) a base 10 e subtraem-se os expoentes: 
Exemplo: 
(6,01 x 10-3) / (5,23 x 10-6) = (6,01 / 5,23) x 10-3-(-6) = 1.149, 14 
 
2.3.3. Potenciação e radiciação 
Para elevar um número em notação exponencial a uma potência ou extrair uma raiz utiliza-se as 
seguintes regras: 
Potenciação: (Cx10n)a = Cax10nxa 
Radiciação: 1010 .. a
n
aa
n
cc  
Exemplo: 
 20 
      632332 10x0,810x0,210x0,2   
2,010x0,210x0,410x0,4 12
2
2  


 
46,63210x0,210x0,410x0,4 2
5
2
5
5  
 
2.4. Ordem de grandeza 
Para encontrarmos a ordem de grandeza de um número, procedemos da seguinte forma: 
1 – Escreva-o em notação cientifica: C x 10n 
2 – Se C  3,16, a ordem de grandeza será 10n+1 
3 – Se C  3,16, a ordem de grandeza será 10 n 
Exemplos: 
 6,0x107 OG = 108 
 3,0x103 OG = 103 
 4,51  OG = 101 
2.5. Operações com calculadoras científicas 
Estas operações ficam extremamente facilitadas quando são utilizadas calculadoras científicas. Daí, 
que se recomenda aprender a realizar as principais operações matemáticas mencionadas abaixo. 
Use uma calculadora científica para fazer as seguintes operações, anotando a seqüência de 
operações: 
Operação matemática Tecla Exemplo Operação Resultado 
Raiz quadrada 25 5 
Raiz enésima yx
1
 
3 125 5 
Potência yx 5
3 125 
Quadrado 2x 2,5
2 6.25 = 6,25 
Expoente e x p
 
6,02x1023 
6.02x1023 = 
6,02x1023 
Logaritmo decimal log Log1,25x10-3 
-2.90309 = 
-2,90309 
Logaritmo neperiano ln Ln1,25x10-3 
-6.6846117 
= 
-6,6846117 
Antilogaritmo decimal x10 Antilog 1 10 
Antilogaritmo 
neperiano 
xe Antiln 1 
2,71828182
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
 
Notação Científica (Exercício avaliativo) 
 
 
1) Efetue as operações: 
 
a) 3,2.10-19 x 1,9.10-7 
 
 
b) 9.109 x 6.1023 
 
 
c) 6,96.1011 / 5,8.10-14 
 
 
d)1,794.10-6 / 2,3.10-8 
 
 
e) 9,3.10-3 + 1,11.10-3 
 
 
f) 5,9.108 - 1,6.108 
 
 
g) 4,6.10-6 + 3,3.10-4 
 
 
h) 7,5.1014 - 2,2.1012 
 
 
i) (2.10-22)3 
 
 
j) (3.109)4 
 
 
k) 
38,1.10 
 
 
l) 
94,9.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
Uma medida de posição é um valor calculado para um grupo de dados que, de alguma forma, é 
utilizado para descrevê-los. Tipicamente o que se deseja é que o valor seja representativo de todos os 
valores do grupo. As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central e as 
separatrizes. 
As medidas de tendência central recebem esta denominação pelo fato de os dados observados 
tenderem, geralmente, a se agrupar em torno dos valores centrais. As principais medidas de tendência 
central são: Média aritmética (simples e ponderada); Moda e Mediana. 
As separatrizes são medidas de posição que dividem uma série de dados em duas partes quaisquer. 
Não tendem, portanto a um valor central. São elas a própria mediana, o quartil; o decil e o percentil. 
3.1. Média aritmética 
3.1.1. Média aritmética simples (dados não-agrupados ou isolados) 
É a soma de todos os valores observados dividida pelo número total de observações. 
 


n
X
X
n
1i
i
n
x...xx n21  
onde: X = média aritmética ou simplesmente média; 
 n = número de total de observações (tamanho da amostra); 
 Xi , i = 1, 2, ..., n = observações individuais. 
 Exemplo: Determinar a média aritmética da série: A = 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6. 
 


n
X
X
n
1i
i
0,4
7
6563143


 
A média aritmética simples é uma medida de posição que procura representar o centro da distribuição 
e é utilizada quando os dados não são agrupados ou se apresentam em estado bruto (dados isolados). 
1º. Exercício resolvido 
Dadas as alturas, em cm, de 6 jogadores de vôlei da seleção brasileira: 194, 198, 189, 201, 180, 190, 
determinar a altura média do time. 
Resolução: 



n
X
X
n
1i
i
6
190180201189198194 
 = 192,0 cm 
2) Dado as notas de uma avaliação de 7alunos: 3, 5, 1, 2, 6, 5, 6, determinar a nota média. 



n
X
X
n
1i
i
7
6562153 
 = 4,0 
Observe que a média aritmética é um parâmetro de medida de existência nem sempre concreta, ou 
seja, não existe jogador com 192 cm no primeiro exemplo, nem nota igual a 4,0 no segundo. A média 
aritmética significa que o conjunto se comporta como se cada um de seus elementos fosse igual à 
média. 
Em estatística, convencionou-se representar uma medida descritiva de uma população (parâmetro 
populacional) por uma letra grega, enquanto que uma medida descritiva de uma amostra (estatística 
amostral) é representada por uma letra romana. 
Desse modo, a média aritmética x representa a média de uma amostra de tamanho n. A média 
aritmética populacional, , é definida de modo semelhante: 
 
N
x i
 , i = 1, 2, . . . , N 
 23 
onde  é a média aritmética populacional, Xi é o valor da variável e N é o número de itens da 
população. 
Operacionalmente, as duas fórmulas são idênticas: em ambos os casos são somados todos os 
valores, e então o resultado da soma é dividido pelo número de valores da amostra (n) ou da população 
(N). 
3.1.2. Média aritmética ponderada (dados agrupados sem intervalos de classe) 
Nestes casos, em que os dados se revestem de caráter nominal (quase sempre são contagens), as 
frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável e funcionam como pesos 
ou fatores de ponderação. Assim, a média aritmética é dada pela fórmula, 
n
nn
i
ii
fff
fxfxfx
f
fx
X





...
...
21
2211 
onde X é a média aritmética (ponderada), Xi é o valor da variável e f i é a frequência observada do 
valor xi. Veja os exemplos a seguir: 
2º. Exercício resolvido 
Considere a distribuição abaixo, relativa a 34 famílias de quatro filhos. Tomando como variável o 
número de filhos do sexo masculino, calcule o número médio de meninos. 
Número de 
meninos (Xi) 
Frequência 
(fi) 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Total 34 
Resolução: 
Vê-se que se trata de uma média aritmética “ponderada” pelas frequências. 
Portanto, aplica-se a fórmula: 



i
ii
f
fx
X . Logo, 
3,2
34
78
4121062
)4x4()3x12()2x10()1x6()0x2(
X 


 meninos 
Obs.: Um modo mais prático de se obter a média ponderada, é abrir na tabela uma coluna 
correspondente aos produtos xifi : 
 
 
Número de meninos (xi) Frequência (fi) xi fi 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 416 
 34 78 
3,2
34
78
f
fx
X
i
ii



 meninos 
Obs.: Se x, o número de meninos numa família, é uma variável discreta (inteira), a interpretação do 
resultado obtido (2 meninos e 3 décimos de menino) pode ser dita como: o maior número de famílias 
 24 
tem 2 meninos e 2 meninas, sendo que a tendência geral aponta para uma leve superioridade numérica 
em relação ao número de meninos. 
3º. Exercício resolvido 
Determine a média aritmética da série: 
Xi 3 4 7 8 12 
fi 2 5 8 4 3 
Resolução: 
Tem-se que Xi são os valores da variável X e fi corresponde a frequência simples (repetição) de cada 
valor Xi. Determina-se a média da seguinte forma: 
 
i Xi f i Xi f I 
1 3 2 6 
2 4 5 20 
3 7 8 56 
4 8 4 32 
5 12 3 36 
 - 22 150 
Observe que a média aritmética simples se iguala à média aritmética ponderada quando os pesos 
(frequências) são exatamente iguais. 
 
 
3.1.3 Média aritmética (Dados agrupados com intervalo de classe) 
 
Em algumas situações estatísticas, os dados são apresentados em intervalos agrupados. Dessa forma, 
o cálculo da média aritmética é realizado de forma mais complexa. Nesse caso, temos que determinar 
primeiramente a média de cada intervalo multiplicando o resultado pela frequência absoluta do intervalo. 
O somatório desses produtos deverá ser dividido pelo somatório da frequência absoluta, constituindo a 
média dos valores agrupados em intervalos. Observe o seguinte exemplo: 
 
A tabela a seguir mostra a massa (em quilograma) de um grupo de pessoas. Os dados foram informados 
em intervalos. Veja: 
 



i
ii
f
fx
X 
 
 
Classe fi xi Xi . fi 
41 ˫ 45 13 43 559 
45 ˫ 49 6 47 282 
49 ˫ 53 8 51 408 
53 ˫ 57 2 55 110 
57 ˫ 61 10 59 590 
61 ˫ 65 1 63 63 
 40 2012 
 Ẋ = 2012/40= 50,3 



i
ii
f
fx
X 
 
 8,6
22
150
X  
 
 25 
3.2. Média geométrica simples 
A média geométrica de um conjunto n de valores X1, X2, X3,...,Xn é a raiz de ordem n do produto 
desses números. 
n
n
n
i
n
i
XXXXXG ...... 321
1
 

 
10º. Exercício Proposto 
Calcule a média aritmética simples e a média geométrica simples dos seguintes conjuntos de valores 
A = {2, 4 e 8} e B = {2, 2 e 2}. Compare os valores. 
Na prática, quando o número de fatores é muito grande, a média geométrica pode ser calculada 
usando logaritmo. Assim: 














i
n
1i
n
1
i
n
1i
n
i
n
1i
xlog
n
1
GlogxxG 
3.3. Média harmônica simples 
É o inverso da média aritmética simples dos inversos. 
Dado o conjunto de n valores X1, X2, X3,...,Xn, a média harmônica simples dos n valores é; 
i
n
1i
n21i
n
1i x
1
n
n
x
1
...
x
1
x
1
1
n
x
1
1
H






 
11º. Exercício Proposto 
Calcule a média harmônica dos seguintes conjuntos de valores A = {2, 4 e 8} e B = {2, 2 e 2}. Compare 
com os valores da proposta anterior. 
3.4. Média quadrática 
A média quadrática de um conjunto de valores X1, X2, X3,...,Xn é a raiz quadrada da média aritmética 
dos quadrados dos n valores. 
       
n
X
n
X...XXX
MQ
22
n
2
3
2
2
2
1 

 
12º. Exercício Proposto 
Calcule a média quadrática dos seguintes conjuntos de valores A = {2, 4 e 8} e B = {2, 2 e 2}. Compare 
com os valores. 
Comente comparativamente as várias médias. 
3.5. Moda 
É o valor que ocorre com maior frequência dentre os dados observados. Numa amostragem pode 
não haver moda (repetição de valores) ou pode haver mais de uma moda. 
3.5.1. Moda (dados não-agrupados ou isolados) 
A moda de dados não-agrupados corresponde ao (s) valor (es) da série que mais se repete (m). 
4º. Exercício resolvido 
Determine a moda das séries: 
a) A = 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 Mo1 = 3 e Mo2 = 6 (duas modas) 
b) B = 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90, 180 Série amodal (não apresenta moda) 
 26 
3.5.2. Moda (dados agrupados sem intervalos de classe) 
A moda de dados agrupados sem intervalos de classe também corresponde ao (s) valor(es) da série 
que mais se repete(m), ou seja, ela é determinada pelo valor da variável de maior frequência simples 
(fi). 
5º. Exercício resolvido 
Determine a moda da série agrupada: 
Xi 3 4 7 8 12 
fi 2 9 8 4 3 
Resolução: 
A maior frequência simples é o 9, que corresponde ao valor 4 da variável. Logo, Mo = 4. 
3.6. Mediana 
 É o valor que divide os dados ordenados em duas partes iguais. Se o número de observações é 
par, a mediana corresponde à média dos dois valores centrais. 
3.6.1. Mediana (dados não-agrupados ou isolados) 
6º. Exercício resolvido 
Determine a mediana das séries: 
a) A = 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 A = 1, 3, 3, 4, 5, 6, 6 Md = 4 
b) B = 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90, 180 81
2
8280


Md 
3.6.2. Mediana (dados agrupados sem intervalos de classe) 
Somar as frequências simples e dividir por 2 → 








2
fi ; 
Abrir uma coluna para as frequências acumuladas (FiAC); 
Identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências; 
A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada. 
7º. Exercício resolvido 
Determine a mediana da série agrupada: 
Xi 3 4 7 8 12 
fi 2 5 8 4 3 
Resolução: 
i X i f i FiAC 
1 3 2 2 
2 4 5 7 
3 7 8 15 
4 8 4 19 
5 12 3 22 
Total - 22 - 
13º. Exercício proposto 
Dado a distribuição: A = -2; -1; -4; 0; -5; -3; 0; 4; 5; 2; determine: 
a) A média aritmética ( X ) 
b) A moda ( Mo ) 
11
2
22
2
fi

 
Frequência acumulada imediatamente 
superior a 11. Logo, Md = 7 
 27 
c) A mediana (Md) 
14º. Exercício proposto 
Dado o comportamento da bolsa de valores do Rio de Janeiro na primeira semana de janeiro de 
2002, determine: 
2a feira 3a feira 4a feira 5a feira 6a feira 
+1,4% +2,4% +2,0% -3,9% -1,9% 
a) a variação média é igual a: _____________ 
b) a variação mediana é igual a: _____________ 
15º. Exercício proposto 
Qual medida de posição é mais influenciada pelos valores extremos? 
a) ( ) média b) ( ) moda c) ( ) mediana 
d) ( ) variância e) ( ) desvio padrão 
16º. Exercício proposto 
Uma amostra é formada pelas massas de 82 ratos de laboratório. A massa mediana amostral é 
determinada pela: 
a) soma de todas as massas, dividida por 82 
b) média das massas do 41o e 42o valor ordenado 
c) massa que mais se repete 
d) massa do 41o valor ordenado 
e) massa do 42o valor ordenado 
17º. Exercício proposto 
Num teste aplicado numa turma de estatística foram obtidas as seguintes notas: 
Notas 2 4 6 8 10 
Alunos 4 5 7 8 5 
Determine: 
a) A nota média do agrupamento. 
b) A nota que mais se evidencia na turma. 
c) A nota que limita as 50% maiores notas. 
18º. Exercício proposto 
Em uma pesquisa realizada para se estudar o efeito de um anorexígeno a ser lançado no mercado, 
foram constatadas as seguintes idades (anos) dos indivíduos entrevistados: 
20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 
22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 
24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 
25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 27 28 
Pede-se agrupar os dados e em seguida determinar: 
a) A idade média ( X ) 
b) A idade modal ( Mo ) 
c) A idade mediana ( Md ) 
 
 
 
 
 
 28 
3.6.3. Mediana (dados agrupados com intervalo de classe) 
 
Devemos seguir os seguintes passos: 
1º) Determinamos as frequências acumuladas ; 
2º) Calculamos ; 
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à 
. Tal classe será a classe mediana; 
 
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula: M Md = li + (n/2 - fac. Ant.) x h 
 fi 
li = é o limite inferior da classe mediana. 
fac. Ant. = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
fi = é a frequência simples daclasse mediana. 
h = é a amplitude do intervalo da classe mediana 
n = somatório da frequência 
 
Classe fi fac. 
41 ˫ 45 13 13 
45 ˫ 49 6 19 
49 ˫ 53 8 27 
53 ˫ 57 2 29 
57 ˫ 61 10 39 
61 ˫ 65 1 40 
 40 
 
= 40/2 = 20 devemos pegar um valor acima de 20, que é 27. 
Aplicando a equação: 
Med = 49 + (40/2 – 19) . 4 = 49,5 
 8 
 
Média (Exercício Avaliativo) 
 
1) No segundo bimestre, João alcançou as seguintes médias: 
Matemática: 
Português: 
História: 
Geografia: 
Inglês: 
Espanhol: 
Física: 
Química: 
Biologia: 
Educação 
Física: 
8,5 
7,3 
7,0 
7,5 
9,2 
8,4 
9,0 
7,2 
8,0 
9,5 
Determine a média aritmética bimestral de João. 
 
2) Um grupo de pessoas apresenta as idades de 10, 13, 15 e 17 anos. Se uma pessoa de 12 anos 
se juntar ao grupo, o que acontecerá com a média de idade do grupo? 
3) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências dos salários de um grupo de 50 
empregados de uma empresa, em certo mês. Determine o salário médio dos empregados nesse 
mês. 
 29 
 
4. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
4.1. Amplitude total 
É a diferença entre o maior e o menor valor observado, ou seja: 
R = xmáx - xmín 
4.1.1. Amplitude total (dados não-agrupados) 
A amplitude total é determinada conforme a definição. 
8º. Exercício resolvido 
8) Determine a amplitude total das séries: 
a) A = 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 R = 6 – 1 = 5 
b) B = 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90, 180 R = 180 – 70 = 110 
c) C = 70, 70, 70, 70, 70 R = 0 (dispersão nula) 
4.1.2. Amplitude total (dados agrupados sem intervalos de classe) 
Mesmo procedimento anterior. 
9º. Exercício resolvido 
9) Determine a amplitude total da série agrupada: 
Xi 3 4 7 8 12 
fi 2 5 8 4 2 
Resolução: 
R = 12 – 3 = 9 
4.2. Variância populacional 
É a média aritmética dos quadrados dos desvios tomados em relação à média populacional (μ). 
 
N
x
2
i2   
4.3. Desvio padrão populacional 
É a raiz quadrada da variância: 
 
N
x
2
i2   
Obs.: 
O desvio padrão populacional (σ ) pode ser obtido com maior rapidez e precisão quando calculado 
pela seguinte expressão: 
22










N
x
N
x ii ou ainda: 
 











N
x
x
N
1
2
i2
i 
 
 
 30 
19º. Exercício proposto 
Calcule para as séries (X, Y e Z) abaixo, a média aritmética e o desvio padrão populacional: 
 
Xi Xi2 Yi Yi2 Zi Zi2 
2 12 1 
4 14 2 
6 16 3 
8 18 4 
10 20 5 
 
4.4. Propriedades da média e do desvio padrão 
Obs.: Observe que no exercício anterior: Yi = Xi + 10 e Zi = Xi / 2. 
A partir dos resultados obtidos é possível fazer as seguintes afirmações sobre as propriedades da 
média e do desvio padrão: 
Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante de cada um dos valores de uma variável, a nova 
média fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. Para o exemplo, 10XY  . 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por um valor constante, a nova 
média fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. Para o exemplo, 2/XZ  . 
Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante de cada um dos valores de uma variável, o novo 
desvio padrão não será afetado. Para o exemplo, σy = σx. 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por um valor constante, o novo 
desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante. Para o exemplo, σz = σx / 2. 
20º. Exercício proposto 
Dado as séries X, Y e Z, marque a alternativa correta: 
X = 2, 4, 6, 8, 10 Y = 20, 40, 60, 80, 100 Z = 12, 14, 16, 18, 20 
a) ( ) Todas as séries apresentam a mesma amplitude total. 
b) ( ) As séries X e Y apresentam a mesma média aritmética. 
c) ( ) A série X apresenta o menor desvio padrão. 
d) ( ) As séries X e Y apresentam o mesmo desvio padrão. 
e) ( ) As séries X e Z apresentam o mesmo desvio padrão. 
21º. Exercício proposto 
Determine o desvio padrão populacional da série abaixo: 
A = 0,0022; 0,0023; 0,0023; 0,0020; 0,0025; 0,0019; 0,0021 
4.5. Desvio padrão populacional (dados agrupados sem intervalos de classe) 
Incluem-se as frequências na fórmula anterior, obtendo-se: 
2
i
ii
i
2
ii
f
xf
f
xf












 
10º. Exercício resolvido 
10) Determine o desvio padrão da série agrupada: 
Xi 3 4 7 8 12 
fi 2 5 8 4 3 
 
 31 
Resolução: 
I x i f i fi x i fi xi2 
1 3 2 6 18 
2 4 5 20 80 
3 7 8 56 392 
4 8 4 32 256 
5 12 3 36 432 
Total - 22 150 1178 
 
4.6. Variância amostral e desvio padrão amostral 
Normalmente não conseguimos determinar os parâmetros média e variância da população que 
estamos estudando. Retiramos então uma amostra de tamanho n e estimamos o parâmetro desejado. 
A média μ da população é estimada pelo estimador:   

 XEe
n
x
X
n
1i
i
, ou seja, o estimador da 
média é não tendencioso ou não viciado. Entretanto, a variância 2 da população é estimada por 
 
1n
xx
S
2
i2




 que é o estimador não viciado da variância. O estimador 
 
n
xx
S
2
i2   é um 
estimador tendencioso ou viciado, pois se demonstra que 
22 )S(E  . 
Assim, o desvio padrão amostral (S) será calculado por:  
1n
xx
SS
2
i2


 . O desenvolvimento 
desta equação fornece uma fórmula operacionalmente mais simples de ser aplicada: 
 













n
x
x
1n
1
S
2
i2
i
 
 
Resumo de fórmulas das 2 principais medidas estatísticas (dados isolados) 
 População (parâmetro) Amostra (estatística) 
Média 
N
x i
 
n
x
X
i
 
Desvio padrão 
 











N
x
x
N
1
2
i2
i
 
 













n
x
x
1n
1
S
2
i2
i
 
 
4.7. Coeficiente de variação 
É uma medida relativa de variabilidade, expressa em porcentagem, que compara o desvio padrão 
com a média. 
100x
X
S
CV  
A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação das variabilidades de 
diferentes conjuntos de dados quando as médias dos conjuntos são diferentes. 
S = 
22













i
ii
i
ii
f
xf
f
xf
 
 
S = 
2
22
150
22
1178






 = 06,7 = 2,66 
 32 
11º. Exercício resolvido 
11) Determine qual dos conjuntos de dados apresenta maior variabilidade: 
 A = {1, 5, 10, 4} e B = {101, 105, 110, 104}. 
Resolução: 
5
4
41051


AX 105
4
104110105101


BX 
       
14
3
545105551
2222
2 

AS 74,314
2  AA SS 
14
3
)105104()105110()105105()105101( 22222 

BS 
74,3142  BB SS 
Neste exemplo tem-se que 1055  BA XX e SA = SB = 3,7 
Qual conjunto é mais heterogêneo (apresenta maior variabilidade)? 
 A resposta só pode ser obtida através da comparação entre os coeficientes de variação. Assim: 
%8,74100
5
74,3
100  xx
X
S
CV
A
A
A
 
%6,3100
105
74,3
100  xx
X
S
CV
B
B
B
 
Conclusão: Como CVB < CVA, pode-se afirmar que existe maior variabilidade entre os valores do 
conjunto A (o conjunto A é mais heterogêneo). 
Notar que o coeficiente de variação não tem dimensão. É expresso em porcentagem. 
4.8. Escore padronizado 
É uma medida de afastamento de um elemento (X i) em relação ao conjunto (média). 
500100 

 x
S
XX
Z ii 
O escore padronizado normalmente varia entre 200 e 800. Se o valor do elemento a ser comparado 
(Xi) é igual à média, o escore padronizado será a igual a 500. Se Z i é maior que 500, é porque o elemento 
se encontra acima da média do conjunto. Caso contrário, se Zi é menor que 500, é porque o elemento 
se encontra abaixo da média do conjunto. 
12º. Exercício resolvido 
12) Determine em que medida (peso ou idade) o aluno de ordem 3 encontra-se mais afastado em 
relação à turma: 
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Peso (kg) 58 65 71 66 72 84 68 59 74 64 
Idade 
(anos) 
19 21 25 21 32 24 22 18 25 27 
Resolução: 
Determina-seo escore de cada medida: peso (ZP) e idade (ZI) 
 
kgXP 1,68
10
681
10
64 7459 68847266176558


 
 
 33 
22 54,58 kgSP  (faça os cálculos) kgSS PP 65,754,58
2  
9,537500100
65,7
1,6871
500100 



 xx
S
XX
Z
P
PP
P
 
 
anosXIdade 4,23 
22 15,17 anosSI  (faça os cálculos) 
anosSS II 14,415,17
2  
6,538500100x
14,4
4,2325
500100x
S
XX
Z
I
II
I 



 
Conclusão: 
O aluno em questão encontra-se (ligeiramente) mais afastado da turma na variável idade, pois seu 
escore padronizado para essa medida (ZI = 538,6) foi maior que o escore determinado para a variável 
peso (ZP = 537,9). 
4.9. Desvio padrão da média 
Se ao invés de uma amostra, tivermos várias amostras provenientes da mesma população, 
obteríamos também diversas médias, tantas quantas fossem as amostras e provavelmente todas 
diferentes entre si. Considerando o desvio de todas as médias em relação à média das médias, pode-
se calcular o desvio padrão da média. Pode-se demonstrar que a partir de uma única média chega-se 
o desvio padrão da média, através da seguinte fórmula: 
n
S
S
X
 
O desvio padrão da média dá uma ideia da qualidade da média. Pode ser considerado como índice 
de precisão da média. Veja que ele diminui à medida que aumenta o número de observações. O 
resultado da média deve ser expresso por: 
X
SvalorX 
 
 
5. Definições básicas de probabilidade 
Definição 
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. 
A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos 
de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na 
forma percentual. 
5.1. Experimento aleatório e ponto amostral 
Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, 
mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado 
de ponto amostral. São exemplos de experimentos aleatórios: 
 
a) Cara ou coroa 
Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo 
de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, 
poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa. 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/chances-um-evento-acontecer.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm
 34 
b) Lançamento de um dado 
Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse 
número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. 
Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele. 
Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores. 
c) Retirar uma carta aleatória de um baralho 
Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse 
é também um experimento aleatório. 
 
 
5.2. Espaço amostral 
 
O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de 
um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de 
um experimento. Veja exemplos: 
 
a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. 
Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto. 
 
b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
 
O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações 
usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços 
amostrais. 
O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou 
número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω). 
 
 
5.3. Evento 
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento 
(conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é 
representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão. 
São exemplos de eventos: 
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda 
O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com 
notações de conjuntos: 
E = {cara} 
O seu número de elementos é n(E) = 1. 
b) Sair um número par no lançamento de um dado. 
O evento é sair um número par: 
E = {2, 4, 6} 
O seu número de elementos é n(E) = 3. 
 
Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. 
Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de 
ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento 
impossível e possui 0% de chances de ocorrência. 
 
5.4. Cálculo da probabilidade 
 
Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a 
razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, 
é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele 
pertence. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/operacoes-entre-conjuntos.htm
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 35 
 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
Observações: 
 O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos 
do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no 
intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1; 
 Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar 
regra de três; 
 A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por: 
P(A-1) = 1 – P(A) 
 
Exemplos: 
 
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara? 
Solução: 
Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui 
apenas um elemento. 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
P(E) = 1 
 2 
P(E) = 0,5 = 50% 
 
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais? 
Solução: 
Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis: 
(C, K); (C, C); (K, C); (K, K) 
O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis: 
(C, C); (K, K) 
Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número 
de elementos do evento), logo: 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
P(E) = 2 
 4 
P(E) = 0,5 = 50% 
 
→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3? 
Solução: 
Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois 
elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
P(E) = n(E) 
 n(Ω) 
P(E) = 2 
 6 
P(E) = 0,33... = 33,3% 
 
→ Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado? 
Solução: 
Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair 
qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui 
cinco elementos. 
A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer: 
 36 
P(A-1) = 1 – P(E) 
O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo: 
P(A-1) = 1 – P(E) 
P(A-1) = 1 – n(E) 
 n(Ω) 
P(A-1) = 1 – 1 
 6 
P(A-1) = 1 – 0,166.. 
P(A-1) = 0,8333… = 83,3% 
 37 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Érica, 1998. 
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DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1998. 
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Rio de Janeiro: LTC, 1998. 
FONSECA, Jairo S., MARTINS, Gilberto de A. Curso de Estatística. 6ª edição. São Paulo: Atlas, 1996. 
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora 
Ltda, 1997. 
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de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2000. 
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RIBEIRO JÚNIOR, José Ivo. Análises estatísticas no Excel: guia prático. Viçosa: UFV, 2004. 
SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1994. 
VIEIRA, Sonia; WADA, Ronaldo. Estatística: introdução ilustrada. São Paulo: Atlas, 1986.