GAAL_06_Rev1

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Geometria Analítica
e Álgebra Linear 
VI. Espaços Vetoriais
Objetivos
Apresentar o conceito de espaço vetorial e de bases.
Conteúdos
Definição de espaço vetorial.
Combinação e dependência linear.
Base de um espaço vetorial.
Base ortonormal e canônica.
Mudança de base.
Prof. Dalton Vinicius Kozak
•Um espaço vetorial é um conjunto V tal que seus elementos são 
denominados de vetores, sobre os quais estão definidas as seguintes 
operações.
• Adição. Se u ∈ V e v ∈ V, então (u + v) ∈ V.
• Multiplicação por número real. Se u ∈ V e α ∈ R (conjunto dos reais), então αu ∈ 
V.
•Além disso, para qualquer u, v e w ∈ V e α e β ∈ R, tais operações devem 
obedecer a oito axiomas (princípios que não precisam ser demonstrados), 
mostrados a seguir.
Espaço Vetorial
Definição
•Propriedade comutativa.
u + v = v + u.
•Propriedade associativa 1 (adição).
(u + v) + w = u + (v + w).
•Propriedade associativa 2 (multiplicação).
(αβ)u = α(βu)
•Elemento neutro da adição.
Existe um vetor nulo O tal que u + O = O + u = u, para qualquer u ∈ V.
Espaço Vetorial
Definição – Axiomas (1/2)
• Inverso da adição.
Para u ∈ V existe o vetor -u, inverso ou simétrico de u, tal que
u + (-u) = -u + u = O. 
•Propriedade distributiva 1.
 α(u + v) = αu + αv.
•Propriedade distributiva 2.
(α + β)u = αu + βu
•Multiplicação por 1.
1u = u
Espaço Vetorial
Definição – Axiomas (2/2)
•O conjunto dos números reais, R. 
Vetor = {x|x ∈ R}.
•O conjunto dos vetores no plano, R2, e no espaço, R3.
Vetor = {u=(x,y)|x ∈ R e y ∈ R}.
•O conjunto dos vetores no espaço, R3.
Vetor = {u=(x,y,z)|x ∈ R, y ∈ R e z ∈ R}.
•Para todo número natural positivo n, Rn é um espaço vetorial.
Vetor = {u=(x
1
,x
2
,..,x
n
)|x
1
 ∈ R, x
2
 ∈ R,.., x
n
 ∈ R}.
•Matrizes, polinômios e funções (f:R→R) também constituem
espaços vetoriais.
Espaço Vetorial
Exemplos
• Seja o espaço vetorial V, v
1
, v
2
,..., v
n
 ∈ V e α
1
, α
2
,..., α
n
 ∈ R. 
Diz-se que um vetor v ∈ V é uma combinação linear se puder ser escrito 
como
v = α
1
v
1
 + α
2
v
2
 + ... + α
n
v
n
 
•Exemplo no R3.
(5, 8, 1) = 3(2, 3, 0) - (1, 1, 1) + (0, 0, 2)
Espaço Vetorial
Combinação Linear
• Seja o espaço vetorial V e um subconjunto X={v
1
, v
2
,..., v
n
} ⊂ V. Diz-se que X 
é linearmente independente - L.I. - se:
• só tiver um elemento não nulo, ou seja, X={v} e v≠0.
• tiver mais de um elemento, e todo elemento v
i
 ∈ X , i=1,..,n, não for uma 
combinação linear dos demais elementos de X.
• Se X é linearmente independente, então seus elementos são vetores 
linearmente independentes.
•Exemplo.
• No plano (R2), dois vetores são linearmente independentes se não são paralelos.
• No espaço (R3), três vetores são linearmente independentes se não são coplanares.
Espaço Vetorial
Dependência Linear
Espaço Vetorial
Base
• Seja o espaço vetorial V. Um conjunto B ⊂ V, B L.I. (linearmente 
independente), e que gera V (todo vetor de V é combinação linear dos 
vetores de B) é denominado de base. 
Se B={v
1
, v
2
,..., v
n
} e v ∈ V, tem-se que
v = α
1
v
1
 + α
2
v
2
 + ... + α
n
v
n
•Os escalares α
1
, α
2
,..., α
n
 são denominados de coordenadas de v na base B.
•O vetor v pode ser escrito
como uma matriz coluna.
 
Espaço Vetorial
Base Ortonornal
• 
y
z
x
 
 
x
y
 
 
 
 
 
 
 
• 
Espaço Vetorial
Base Canônica
• 
Espaço Vetorial
Mudança de Base
x
y
 
 
 
v
Espaço Vetorial
Mudança de Base no R2
• 
• 
Espaço Vetorial
Mudança de Base no R2 - Exemplo (1/2)
• 
Espaço Vetorial
Mudança de Base no R2 - Exemplo (2/2)
x
y
 
 
 
v = (1, 1)
v' = (1, 0)
REFERÊNCIAS
1. FERNANDES, Luana Fonseca Duarte. Álgebra Linear. 2a ed. Curitiba: 
InterSaberes, 2017.
2. FERNANDES, Luana Fonseca Duarte. Geometria Analítica. Curitiba: 
InterSaberes, 2016.
Bom Estudo!