Aula04_AMIII_Feng

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ANÁLISE MATEMÁTICA III
Elementos de Análise Complexa
Licenciatura em Engenharias
Universidade Eduardo Mondlane
Faculdade de Ciências
Departamento de Matemática e Informática
*** 22 de Junho de 2021 ***
LE (UEM-FC-DMI) Página 1 Alex Marime, Msc 1 / 18
Contéudo
1 Séries de números complexos
Série de Taylor
Série de Laurent
Singularidades
Método de obtenção de singularidade remov́ıvel ou pôlos
2 Reśıduos
Cálculo de reśıduos
Cálculo de reśıduos em integrais
LE (UEM-FC-DMI) Página 2 Alex Marime, Msc 2 / 18
Teorema (Teorema de Taylor)
Toda função f(z) anaĺıtica num disco z : |z − z0| < R, com 0 < R ≤ ∞, pode ser
desenvolvida neste disco de um único modo em série de potências de (z − z0) :
f(z) =
∞∑
n=0
f (n)(z0)
n!
(z − z0)n, |z − z0| < R, (1)
A série (1) chama-se Série de Taylor da função f(z) com centro no ponto z0. Caso
particular z0 = 0 obtem-se a série de Mac-Laurin:
f(z) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
zn, |z| < R.
LE (UEM-FC-DMI) Página 3 Alex Marime, Msc 3 / 18
Teorema (Teorema de Taylor)
Toda função f(z) anaĺıtica num disco z : |z − z0| < R, com 0 < R ≤ ∞, pode ser
desenvolvida neste disco de um único modo em série de potências de (z − z0) :
f(z) =
∞∑
n=0
f (n)(z0)
n!
(z − z0)n, |z − z0| < R, (1)
A série (1) chama-se Série de Taylor da função f(z) com centro no ponto z0. Caso
particular z0 = 0 obtem-se a série de Mac-Laurin:
f(z) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
zn, |z| < R.
LE (UEM-FC-DMI) Página 4 Alex Marime, Msc 3 / 18
Exemplo
Seja f(z) =
1
1− z . A função f é anaĺıtica e f
(n)(z) =
n!
(1− z)n+1 . Logo f
(n)(0) = n!.
Então a série de Taylor é
1
1− z = 1 + z + z
2 + z3 + · · · =
∞∑
n=0
zn, (2)
para |z| < 1.
LE (UEM-FC-DMI) Página 5 Alex Marime, Msc 4 / 18
Desenvolvimentos notáveis, com z0 = 0 :
ez = 1 + z +
z2
2!
+
z3
3!
+ · · · =
∞∑
n=0
zn
n!
, z ∈ C; (3)
sin(z) = z − z
3
3!
+
z5
5!
− · · · =
∞∑
n=1
(−1)n−1z2n−1
(2n− 1)! , z ∈ C; (4)
cos(z) = 1− z
2
2!
+
z4
4!
− · · · =
∞∑
n=0
(−1)nz2n
(2n)!
, z ∈ C; (5)
sh(z) = z +
z3
3!
+
z5
5!
+ · · · =
∞∑
n=1
z2n−1
(2n− 1)! , z ∈ C; (6)
ch(z) = 1 +
z2
2!
+
z4
4!
+ · · · =
∞∑
n=0
z2n
(2n)!
, z ∈ C; (7)
ln(z + 1) = z − z
2
2
+
z3
3
− · · · =
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
zn, |z| < 1; (8)
1
1 + z
= 1− z + z2 − z3 + · · · =
∞∑
n=1
(−1)nzn, |z| < 1; (9)
1
1− z = 1 + z + z
2 + z3 + · · · =
∞∑
n=1
zn, |z| < 1; (10)
LE (UEM-FC-DMI) Página 6 Alex Marime, Msc 5 / 18
Teorema (Teorema de Laurent)
Toda função f(z) anaĺıtica no interior de uma coroa circular z : r < |z − z0| < R pode
ser desenvolvida de um único modo em série de potências de (z − z0) da forma seguinte
f(z) =
∞∑
n=−∞
cn(z − z0)n, r < |z − z0| < R, (11)
onde os coeficientes cn calculam-se pelas fórmulas
cn =
1
2πi
∮
Γ+
f(τ)dτ
(τ − z0)n+1
,
sendo Γ um contorno fechado simples todo contido na coroa circular e que envolve o
ponto z0 uma vez no sentido positivo.
A esta série (11) denomina-se Série de Laurent da função f(z) com centro no ponto z0.
LE (UEM-FC-DMI) Página 7 Alex Marime, Msc 6 / 18
A série de Laurent representa uma generalização da série de Taylor e pode ser escrita na
forma da soma de uma série de potências de (z − z0) com expoentes positivos e de uma
série de potências de (z − z0) com expoentes negativos, que são chamadas,
respectivamente, parte regular1 (ou anaĺıtica) e parte singular (ou principal) da série de
Laurent, a saber:
∞∑
n=−∞
cn(z − z0)n =
∞∑
n=0
cn(z − z0)n +
∞∑
n=1
c−n(z − z0)−n
=
∞∑
n=0
cn(z − z0)n +
∞∑
n=1
c−n
(z − z0)n
1Série de Taylor
LE (UEM-FC-DMI) Página 8 Alex Marime, Msc 7 / 18
Exemplo de expanção da série de Laurent
Expanda f(z) =
1
z(z − 1)
em séries de Laurent válida para (a) 0 < |z| < 1 e (b) 1 < |z|.
Resolução:
(a) Podemos reescrever a função f(z) como f(z) = −
1
z
·
1
1− z
, aplicando o desenvolvimento
obtido em (2) temos, f(z) = −
1
z
[
1 + z + z2 + z3 + · · ·
]
. A série converge para |z| < 1. Porém,
após a multiplicação deste desenvolvimento por
1
z
, a série resultante é
f(z) = −
1
z
− 1− z − z2 − · · ·
converge para 0 < |z| < 1.
(b) Seja 1 < |z|, construindo a série que seja convergente para |1/z| < 1. Assim reescrevemos a
função, como f(z) =
1
z2
·
1
1− 1
z
usando a (2) substitúındo z por 1/z :
f(z) =
1
z2
[
1 +
1
z
+
1
z2
+
1
z3
+ · · ·
]
. A série converge para
∣∣∣∣1z
∣∣∣∣ < 1, ou de modo equivalente,
para 1 < |z|. Logo, a série de Laurent é
f(z) =
1
z2
+
1
z3
+
1
z4
+
1
z5
+ · · ·
LE (UEM-FC-DMI) Página 9 Alex Marime, Msc 8 / 18
Exemplo de expanção da série de Laurent
Expanda f(z) =
1
z(z − 1)
em séries de Laurent válida para (a) 0 < |z| < 1 e (b) 1 < |z|.
Resolução:
(a) Podemos reescrever a função f(z) como f(z) = −
1
z
·
1
1− z
, aplicando o desenvolvimento
obtido em (2) temos, f(z) = −
1
z
[
1 + z + z2 + z3 + · · ·
]
. A série converge para |z| < 1. Porém,
após a multiplicação deste desenvolvimento por
1
z
, a série resultante é
f(z) = −
1
z
− 1− z − z2 − · · ·
converge para 0 < |z| < 1.
(b) Seja 1 < |z|, construindo a série que seja convergente para |1/z| < 1. Assim reescrevemos a
função, como f(z) =
1
z2
·
1
1− 1
z
usando a (2) substitúındo z por 1/z :
f(z) =
1
z2
[
1 +
1
z
+
1
z2
+
1
z3
+ · · ·
]
. A série converge para
∣∣∣∣1z
∣∣∣∣ < 1, ou de modo equivalente,
para 1 < |z|. Logo, a série de Laurent é
f(z) =
1
z2
+
1
z3
+
1
z4
+
1
z5
+ · · ·
LE (UEM-FC-DMI) Página 10 Alex Marime, Msc 8 / 18
Singularidades e classificação de singularidades
Definição
Seja f uma função complexa de variável complexa. Diz-se que z0 é um ponto singular de
f (ou que f tem no ponto z0 uma singularidade) se f não é anaĺıtica em z0 (podendo
existir em qualquer vizinhança de z0 pontos onde a função é anaĺıtica).
Se existe uma vizinhança de z0 onde f é anaĺıtica, excepto no ponto z0, então o ponto
singular z0 diz-se um ponto singular isolado (ou uma singularidade isolada).
Exemplo
A função f(z) =
1
z(z2 + 4)
tem pontos singulares isolados em z = 0, z = 2i e z = −2i.
LE (UEM-FC-DMI) Página 11 Alex Marime, Msc 9 / 18
Singularidades e classificação de singularidades
Definição
Seja f uma função complexa de variável complexa. Diz-se que z0 é um ponto singular de
f (ou que f tem no ponto z0 uma singularidade) se f não é anaĺıtica em z0 (podendo
existir em qualquer vizinhança de z0 pontos onde a função é anaĺıtica).
Se existe uma vizinhança de z0 onde f é anaĺıtica, excepto no ponto z0, então o ponto
singular z0 diz-se um ponto singular isolado (ou uma singularidade isolada).
Exemplo
A função f(z) =
1
z(z2 + 4)
tem pontos singulares isolados em z = 0, z = 2i e z = −2i.
LE (UEM-FC-DMI) Página 12 Alex Marime, Msc 9 / 18
Singularidades e classificação de singularidades
Definição
Seja f uma função complexa de variável complexa. Diz-se que z0 é um ponto singular de
f (ou que f tem no ponto z0 uma singularidade) se f não é anaĺıtica em z0 (podendo
existir em qualquer vizinhança de z0 pontos onde a função é anaĺıtica).
Se existe uma vizinhança de z0 onde f é anaĺıtica, excepto no ponto z0, então o ponto
singular z0 diz-se um ponto singular isolado (ou uma singularidade isolada).
Exemplo
A função f(z) =
1
z(z2 + 4)
tem pontos singulares isolados em z = 0, z = 2i e z = −2i.
LE (UEM-FC-DMI) Página 13 Alex Marime, Msc 9 / 18
10 método de classificar pontos singulares
1 Se todos os coeficientes c−n da parte singular são nulos, quer dizer, se a série de
Laurent tem só a parte regular, então, o ponto z0 diz-se sigularidade remov́ıvel da
função f(z). Neste caso tem-se:
lim
z→z0
f(z) = L 6=∞.
2 Se a parte singular da série de Laurent contém um número finito k de termos, então
o ponto singular z0 é denominado pôlo de ordem k da função f(z). A função f(z)
neste caso pode ser apresentada na forma
f(z) =
ϕ(z)
(z − z0)k
, sendo lim
z→z0
ϕ(z) = L 6= 0;∞
e verifica a condiçãolim
z→z0
(z − z0)k · f(z) = L 6= 0;∞.
Um pôlo de primeira ordem k = 1 chama-se pôlo simples.
3 Se na parte singular da série de Laurent há número infinito de termos, então, diz-se
que z0 é singularidade essencial da função f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 14 Alex Marime, Msc 10 / 18
10 método de classificar pontos singulares
1 Se todos os coeficientes c−n da parte singular são nulos, quer dizer, se a série de
Laurent tem só a parte regular, então, o ponto z0 diz-se sigularidade remov́ıvel da
função f(z). Neste caso tem-se:
lim
z→z0
f(z) = L 6=∞.
2 Se a parte singular da série de Laurent contém um número finito k de termos, então
o ponto singular z0 é denominado pôlo de ordem k da função f(z). A função f(z)
neste caso pode ser apresentada na forma
f(z) =
ϕ(z)
(z − z0)k
, sendo lim
z→z0
ϕ(z) = L 6= 0;∞
e verifica a condição
lim
z→z0
(z − z0)k · f(z) = L 6= 0;∞.
Um pôlo de primeira ordem k = 1 chama-se pôlo simples.
3 Se na parte singular da série de Laurent há número infinito de termos, então, diz-se
que z0 é singularidade essencial da função f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 15 Alex Marime, Msc 10 / 18
10 método de classificar pontos singulares
1 Se todos os coeficientes c−n da parte singular são nulos, quer dizer, se a série de
Laurent tem só a parte regular, então, o ponto z0 diz-se sigularidade remov́ıvel da
função f(z). Neste caso tem-se:
lim
z→z0
f(z) = L 6=∞.
2 Se a parte singular da série de Laurent contém um número finito k de termos, então
o ponto singular z0 é denominado pôlo de ordem k da função f(z). A função f(z)
neste caso pode ser apresentada na forma
f(z) =
ϕ(z)
(z − z0)k
, sendo lim
z→z0
ϕ(z) = L 6= 0;∞
e verifica a condição
lim
z→z0
(z − z0)k · f(z) = L 6= 0;∞.
Um pôlo de primeira ordem k = 1 chama-se pôlo simples.
3 Se na parte singular da série de Laurent há número infinito de termos, então, diz-se
que z0 é singularidade essencial da função f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 16 Alex Marime, Msc 10 / 18
10 método de classificar pontos singulares
1 Se todos os coeficientes c−n da parte singular são nulos, quer dizer, se a série de
Laurent tem só a parte regular, então, o ponto z0 diz-se sigularidade remov́ıvel da
função f(z). Neste caso tem-se:
lim
z→z0
f(z) = L 6=∞.
2 Se a parte singular da série de Laurent contém um número finito k de termos, então
o ponto singular z0 é denominado pôlo de ordem k da função f(z). A função f(z)
neste caso pode ser apresentada na forma
f(z) =
ϕ(z)
(z − z0)k
, sendo lim
z→z0
ϕ(z) = L 6= 0;∞
e verifica a condição
lim
z→z0
(z − z0)k · f(z) = L 6= 0;∞.
Um pôlo de primeira ordem k = 1 chama-se pôlo simples.
3 Se na parte singular da série de Laurent há número infinito de termos, então, diz-se
que z0 é singularidade essencial da função f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 17 Alex Marime, Msc 10 / 18
20 método de classificar pontos singulares
Para identificar uma singularidade remov́ıvel ou um pôlo de uma função f(z) pode se,
também, utilizar o seguinte critério. Seja
f(z) =
h(z)
ϕ(z)
.
Suponha-se que um ponto z0 representa “zero
2” de ordem k do numerador h(z) e “zero”
de ordem m do denominador ϕ(z). Então,
1 Caso k ≥ m o ponto z0 é uma singularidade remov́ıvel de f(z);
2 Caso k < m o ponto z0 é pôlo de ordem (m− k) de f(z).
Definição
Diz-se que um ponto z0 é “zero” de ordem n de uma função f(z) se
f(z0) = 0, f
′(z0) = 0, f
′′(z0) = 0, . . . , f
(n−1)(z0) = 0, mas f
(n)(z0) 6= 0.
2Zero da função
LE (UEM-FC-DMI) Página 18 Alex Marime, Msc 11 / 18
20 método de classificar pontos singulares
Para identificar uma singularidade remov́ıvel ou um pôlo de uma função f(z) pode se,
também, utilizar o seguinte critério. Seja
f(z) =
h(z)
ϕ(z)
.
Suponha-se que um ponto z0 representa “zero
2” de ordem k do numerador h(z) e “zero”
de ordem m do denominador ϕ(z). Então,
1 Caso k ≥ m o ponto z0 é uma singularidade remov́ıvel de f(z);
2 Caso k < m o ponto z0 é pôlo de ordem (m− k) de f(z).
Definição
Diz-se que um ponto z0 é “zero” de ordem n de uma função f(z) se
f(z0) = 0, f
′(z0) = 0, f
′′(z0) = 0, . . . , f
(n−1)(z0) = 0, mas f
(n)(z0) 6= 0.
2Zero da função
LE (UEM-FC-DMI) Página 19 Alex Marime, Msc 11 / 18
20 método de classificar pontos singulares
Para identificar uma singularidade remov́ıvel ou um pôlo de uma função f(z) pode se,
também, utilizar o seguinte critério. Seja
f(z) =
h(z)
ϕ(z)
.
Suponha-se que um ponto z0 representa “zero
2” de ordem k do numerador h(z) e “zero”
de ordem m do denominador ϕ(z). Então,
1 Caso k ≥ m o ponto z0 é uma singularidade remov́ıvel de f(z);
2 Caso k < m o ponto z0 é pôlo de ordem (m− k) de f(z).
Definição
Diz-se que um ponto z0 é “zero” de ordem n de uma função f(z) se
f(z0) = 0, f
′(z0) = 0, f
′′(z0) = 0, . . . , f
(n−1)(z0) = 0, mas f
(n)(z0) 6= 0.
2Zero da função
LE (UEM-FC-DMI) Página 20 Alex Marime, Msc 11 / 18
20 método de classificar pontos singulares
Para identificar uma singularidade remov́ıvel ou um pôlo de uma função f(z) pode se,
também, utilizar o seguinte critério. Seja
f(z) =
h(z)
ϕ(z)
.
Suponha-se que um ponto z0 representa “zero
2” de ordem k do numerador h(z) e “zero”
de ordem m do denominador ϕ(z). Então,
1 Caso k ≥ m o ponto z0 é uma singularidade remov́ıvel de f(z);
2 Caso k < m o ponto z0 é pôlo de ordem (m− k) de f(z).
Definição
Diz-se que um ponto z0 é “zero” de ordem n de uma função f(z) se
f(z0) = 0, f
′(z0) = 0, f
′′(z0) = 0, . . . , f
(n−1)(z0) = 0, mas f
(n)(z0) 6= 0.
2Zero da função
LE (UEM-FC-DMI) Página 21 Alex Marime, Msc 11 / 18
20 método de classificar pontos singulares
Para identificar uma singularidade remov́ıvel ou um pôlo de uma função f(z) pode se,
também, utilizar o seguinte critério. Seja
f(z) =
h(z)
ϕ(z)
.
Suponha-se que um ponto z0 representa “zero
2” de ordem k do numerador h(z) e “zero”
de ordem m do denominador ϕ(z). Então,
1 Caso k ≥ m o ponto z0 é uma singularidade remov́ıvel de f(z);
2 Caso k < m o ponto z0 é pôlo de ordem (m− k) de f(z).
Definição
Diz-se que um ponto z0 é “zero” de ordem n de uma função f(z) se
f(z0) = 0, f
′(z0) = 0, f
′′(z0) = 0, . . . , f
(n−1)(z0) = 0, mas f
(n)(z0) 6= 0.
2Zero da função
LE (UEM-FC-DMI) Página 22 Alex Marime, Msc 11 / 18
Exemplo
Ache os pontos singulares finitos de f(z) =
ln(1 + z)
(z − i)z4 e caracterize-os.
Resolução:
A função tem dois pontos singulares isolados z1 = i e z2 = 0.
A singularidade z1 = i é pôlo de primeira ordem, ou seja, pôlo simples de f(z), pois
lim
z→z1
(z − z1)f(z) = lim
z→i
(z − i) ln(1 + z)
(z − i)z4 = limz→i
ln(1 + z)
z4
= ln(1 + i) 6= 0;∞.
E no ponto singular z2 = 0 cumpre-se:
lim
z→z2
(z − z2)3f(z) = lim
z→0
z3
ln(1 + z)
(z − i)z4 = i limz→0
ln(1 + z)
z
= i 6= 0;∞.
Logo, o ponto z2 = 0 é pôlo tripo de f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 23 Alex Marime, Msc 12 / 18
Exemplo
Ache os pontos singulares finitos de f(z) =
ln(1 + z)
(z − i)z4 e caracterize-os.
Resolução:
A função tem dois pontos singulares isolados z1 = i e z2 = 0.
A singularidade z1 = i é pôlo de primeira ordem, ou seja, pôlo simples de f(z), pois
lim
z→z1
(z − z1)f(z) = lim
z→i
(z − i) ln(1 + z)
(z − i)z4 = limz→i
ln(1 + z)
z4
= ln(1 + i) 6= 0;∞.
E no ponto singular z2 = 0 cumpre-se:
lim
z→z2
(z − z2)3f(z) = lim
z→0
z3
ln(1 + z)
(z − i)z4 = i limz→0
ln(1 + z)
z
= i 6= 0;∞.
Logo, o ponto z2 = 0 é pôlo tripo de f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 24 Alex Marime, Msc 12 / 18
Exemplo
Ache os pontos singulares finitos de f(z) =
ln(1 + z)
(z − i)z4 e caracterize-os.
Resolução:
A função tem dois pontos singulares isolados z1 = i e z2 = 0.
A singularidade z1 = i é pôlo de primeira ordem, ou seja, pôlo simples de f(z), pois
lim
z→z1
(z − z1)f(z) = lim
z→i
(z − i) ln(1 + z)
(z − i)z4 = limz→i
ln(1 + z)
z4
= ln(1 + i) 6= 0;∞.
E no ponto singular z2 = 0 cumpre-se:
lim
z→z2
(z − z2)3f(z) = lim
z→0
z3
ln(1 + z)
(z −i)z4 = i limz→0
ln(1 + z)
z
= i 6= 0;∞.
Logo, o ponto z2 = 0 é pôlo tripo de f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 25 Alex Marime, Msc 12 / 18
Exemplo
Ache os pontos singulares finitos de f(z) =
ln(1 + z)
(z − i)z4 e caracterize-os.
Resolução:
A função tem dois pontos singulares isolados z1 = i e z2 = 0.
A singularidade z1 = i é pôlo de primeira ordem, ou seja, pôlo simples de f(z), pois
lim
z→z1
(z − z1)f(z) = lim
z→i
(z − i) ln(1 + z)
(z − i)z4 = limz→i
ln(1 + z)
z4
= ln(1 + i) 6= 0;∞.
E no ponto singular z2 = 0 cumpre-se:
lim
z→z2
(z − z2)3f(z) = lim
z→0
z3
ln(1 + z)
(z − i)z4 = i limz→0
ln(1 + z)
z
= i 6= 0;∞.
Logo, o ponto z2 = 0 é pôlo tripo de f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 26 Alex Marime, Msc 12 / 18
Exemplo
Ache os pontos singulares finitos de f(z) =
ln(1 + z)
(z − i)z4 e caracterize-os.
Resolução:
A função tem dois pontos singulares isolados z1 = i e z2 = 0.
A singularidade z1 = i é pôlo de primeira ordem, ou seja, pôlo simples de f(z), pois
lim
z→z1
(z − z1)f(z) = lim
z→i
(z − i) ln(1 + z)
(z − i)z4 = limz→i
ln(1 + z)
z4
= ln(1 + i) 6= 0;∞.
E no ponto singular z2 = 0 cumpre-se:
lim
z→z2
(z − z2)3f(z) = lim
z→0
z3
ln(1 + z)
(z − i)z4 = i limz→0
ln(1 + z)
z
= i 6= 0;∞.
Logo, o ponto z2 = 0 é pôlo tripo de f(z).
LE (UEM-FC-DMI) Página 27 Alex Marime, Msc 12 / 18
Reśıduos
Seja f(z) uma função anaĺıtica no interior de um disco D com o centro num ponto z0, excluindo
o próprio z0. Suponhamos que z0 seja um ponto singular isolado de f(z). Chama-se reśıduo da
função f(z) em z0 ao número Res f(z0) onde
Res f(z0) =
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz,
onde Γ+ é um contorno fechado simples todo contido em D e que envolve o ponto z0 uma vez
no sentido positivo. Desta definição resulta que o reśıduo de uma função f(z) num ponto
singular isolado é igual ao coeficiente c−1 da série de Laurent de f(z) na vizinhança de z0, isto é,
Res f(z0) = c−1.
O reśıduo de uma função f(z) no ponto no infinito é dado por
Res f(∞) =
1
2πi
∮
Γ−
f(z)dz,
onde Γ− é um contorno fechado simples envolvendo todos os pontos singulares finitos de f(z)
uma vez no sentido negativo. Desta definição resulta que
Res f(∞) = −
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz = −c−1,
sendo que c−1 é coeficiente da série de Laurent da função f(z) na vizinhança do ponto z =∞.
LE (UEM-FC-DMI) Página 28 Alex Marime, Msc 13 / 18
Reśıduos
Seja f(z) uma função anaĺıtica no interior de um disco D com o centro num ponto z0, excluindo
o próprio z0. Suponhamos que z0 seja um ponto singular isolado de f(z). Chama-se reśıduo da
função f(z) em z0 ao número Res f(z0) onde
Res f(z0) =
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz,
onde Γ+ é um contorno fechado simples todo contido em D e que envolve o ponto z0 uma vez
no sentido positivo. Desta definição resulta que o reśıduo de uma função f(z) num ponto
singular isolado é igual ao coeficiente c−1 da série de Laurent de f(z) na vizinhança de z0, isto é,
Res f(z0) = c−1.
O reśıduo de uma função f(z) no ponto no infinito é dado por
Res f(∞) =
1
2πi
∮
Γ−
f(z)dz,
onde Γ− é um contorno fechado simples envolvendo todos os pontos singulares finitos de f(z)
uma vez no sentido negativo. Desta definição resulta que
Res f(∞) = −
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz = −c−1,
sendo que c−1 é coeficiente da série de Laurent da função f(z) na vizinhança do ponto z =∞.
LE (UEM-FC-DMI) Página 29 Alex Marime, Msc 13 / 18
Reśıduos
Seja f(z) uma função anaĺıtica no interior de um disco D com o centro num ponto z0, excluindo
o próprio z0. Suponhamos que z0 seja um ponto singular isolado de f(z). Chama-se reśıduo da
função f(z) em z0 ao número Res f(z0) onde
Res f(z0) =
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz,
onde Γ+ é um contorno fechado simples todo contido em D e que envolve o ponto z0 uma vez
no sentido positivo. Desta definição resulta que o reśıduo de uma função f(z) num ponto
singular isolado é igual ao coeficiente c−1 da série de Laurent de f(z) na vizinhança de z0, isto é,
Res f(z0) = c−1.
O reśıduo de uma função f(z) no ponto no infinito é dado por
Res f(∞) =
1
2πi
∮
Γ−
f(z)dz,
onde Γ− é um contorno fechado simples envolvendo todos os pontos singulares finitos de f(z)
uma vez no sentido negativo. Desta definição resulta que
Res f(∞) = −
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz = −c−1,
sendo que c−1 é coeficiente da série de Laurent da função f(z) na vizinhança do ponto z =∞.
LE (UEM-FC-DMI) Página 30 Alex Marime, Msc 13 / 18
Reśıduos
Seja f(z) uma função anaĺıtica no interior de um disco D com o centro num ponto z0, excluindo
o próprio z0. Suponhamos que z0 seja um ponto singular isolado de f(z). Chama-se reśıduo da
função f(z) em z0 ao número Res f(z0) onde
Res f(z0) =
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz,
onde Γ+ é um contorno fechado simples todo contido em D e que envolve o ponto z0 uma vez
no sentido positivo. Desta definição resulta que o reśıduo de uma função f(z) num ponto
singular isolado é igual ao coeficiente c−1 da série de Laurent de f(z) na vizinhança de z0, isto é,
Res f(z0) = c−1.
O reśıduo de uma função f(z) no ponto no infinito é dado por
Res f(∞) =
1
2πi
∮
Γ−
f(z)dz,
onde Γ− é um contorno fechado simples envolvendo todos os pontos singulares finitos de f(z)
uma vez no sentido negativo. Desta definição resulta que
Res f(∞) = −
1
2πi
∮
Γ+
f(z)dz = −c−1,
sendo que c−1 é coeficiente da série de Laurent da função f(z) na vizinhança do ponto z =∞.
LE (UEM-FC-DMI) Página 31 Alex Marime, Msc 13 / 18
Exemplo de cálculo de reśıduos
Classifique a sigularidade e calcule o reśıduo no ponto singular encontrado f(z) =
sin 2z
z4
.
Resolução:
LE (UEM-FC-DMI) Página 32 Alex Marime, Msc 14 / 18
Cálculo de reśıduos em integrais
1 Suponhamos que z0 seja singularidade remov́ıvel de f(z). Então, Res f(z0) = 0;
2 Seja z0 pôlo simples de f(z). Então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) = lim
z→z0
[(z − z0)f(z)] ;
3 Seja z0 pôlo múltiplo de ordem k, então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) =
1
(k − 1)!
lim
z→z0
dk−1
dzk−1
[
(z − z0)kf(z)
]
;
4 Suponhamos que z0 seja uma singularidade essencial de f(z). Para achar Res f(z0) neste
caso é preciso determinar o coeficiente c−1 no desenvolvimento da série de Laurent de f(z)
na vizinhança do ponto z0. Então,
Res f(z) = c−1;
5 Para encontrar o reśıduo da função f(z) no ponto infinito é necessário desenvolver f(z) em
série de Laurent na vizinhança do ponto z =∞ e determinar o coeficiente c−1. Então,
Res f(∞) = −c−1.
LE (UEM-FC-DMI) Página 33 Alex Marime, Msc 15 / 18
Cálculo de reśıduos em integrais
1 Suponhamos que z0 seja singularidade remov́ıvel de f(z). Então, Res f(z0) = 0;
2 Seja z0 pôlo simples de f(z). Então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) = lim
z→z0
[(z − z0)f(z)] ;
3 Seja z0 pôlo múltiplo de ordem k, então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) =
1
(k − 1)!
lim
z→z0
dk−1
dzk−1
[
(z − z0)kf(z)
]
;
4 Suponhamos que z0 seja uma singularidade essencial de f(z). Para achar Res f(z0) neste
caso é preciso determinar o coeficiente c−1 no desenvolvimento da série de Laurent de f(z)
na vizinhança do ponto z0. Então,
Res f(z) = c−1;
5 Para encontrar o reśıduo da função f(z) no ponto infinito é necessário desenvolver f(z) em
série de Laurent na vizinhança do ponto z =∞ e determinar o coeficiente c−1. Então,
Res f(∞) = −c−1.
LE (UEM-FC-DMI) Página 34 Alex Marime, Msc 15 / 18
Cálculo de reśıduos em integrais
1 Suponhamos que z0 seja singularidade remov́ıvel de f(z). Então, Res f(z0) = 0;
2 Seja z0 pôlo simples de f(z). Então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) = lim
z→z0
[(z − z0)f(z)] ;
3 Seja z0 pôlo múltiplo de ordem k, então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) =
1
(k − 1)!
lim
z→z0
dk−1
dzk−1
[
(z − z0)kf(z)
]
;
4 Suponhamos que z0 seja uma singularidade essencial de f(z). Para achar Res f(z0) neste
caso é preciso determinar o coeficiente c−1 no desenvolvimento da série de Laurent def(z)
na vizinhança do ponto z0. Então,
Res f(z) = c−1;
5 Para encontrar o reśıduo da função f(z) no ponto infinito é necessário desenvolver f(z) em
série de Laurent na vizinhança do ponto z =∞ e determinar o coeficiente c−1. Então,
Res f(∞) = −c−1.
LE (UEM-FC-DMI) Página 35 Alex Marime, Msc 15 / 18
Cálculo de reśıduos em integrais
1 Suponhamos que z0 seja singularidade remov́ıvel de f(z). Então, Res f(z0) = 0;
2 Seja z0 pôlo simples de f(z). Então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) = lim
z→z0
[(z − z0)f(z)] ;
3 Seja z0 pôlo múltiplo de ordem k, então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) =
1
(k − 1)!
lim
z→z0
dk−1
dzk−1
[
(z − z0)kf(z)
]
;
4 Suponhamos que z0 seja uma singularidade essencial de f(z). Para achar Res f(z0) neste
caso é preciso determinar o coeficiente c−1 no desenvolvimento da série de Laurent de f(z)
na vizinhança do ponto z0. Então,
Res f(z) = c−1;
5 Para encontrar o reśıduo da função f(z) no ponto infinito é necessário desenvolver f(z) em
série de Laurent na vizinhança do ponto z =∞ e determinar o coeficiente c−1. Então,
Res f(∞) = −c−1.
LE (UEM-FC-DMI) Página 36 Alex Marime, Msc 15 / 18
Cálculo de reśıduos em integrais
1 Suponhamos que z0 seja singularidade remov́ıvel de f(z). Então, Res f(z0) = 0;
2 Seja z0 pôlo simples de f(z). Então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) = lim
z→z0
[(z − z0)f(z)] ;
3 Seja z0 pôlo múltiplo de ordem k, então, o reśıduo calcula-se pela fórmula:
Res f(z0) =
1
(k − 1)!
lim
z→z0
dk−1
dzk−1
[
(z − z0)kf(z)
]
;
4 Suponhamos que z0 seja uma singularidade essencial de f(z). Para achar Res f(z0) neste
caso é preciso determinar o coeficiente c−1 no desenvolvimento da série de Laurent de f(z)
na vizinhança do ponto z0. Então,
Res f(z) = c−1;
5 Para encontrar o reśıduo da função f(z) no ponto infinito é necessário desenvolver f(z) em
série de Laurent na vizinhança do ponto z =∞ e determinar o coeficiente c−1. Então,
Res f(∞) = −c−1.
LE (UEM-FC-DMI) Página 37 Alex Marime, Msc 15 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz,Γ: |z − i| = 1.
Resolução: A função subintegral f(z) =
sin(2z)
(z − i)3 é anaĺıtica em todos pontos, situados
no interior e sobre o contorno Γ, excepto no ponto singular z0 = i, assim
I =
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz = 2πiRes f(i)
Atendendo a que z0 = i é pôlo triplo de f(z), achamos
Res f(i) =
1
2!
lim
z→i
d2
dz2
[
(z − i)3f(z)
]
=
1
2
lim
z→i
d2
dz2
[sin(2z)]
=
1
2
lim
z→i
[−4 sin(2z)]
= −2i sh(2).
Assim,
I = 2πi[−2i sh(2)] = 4π sh(2)
LE (UEM-FC-DMI) Página 38 Alex Marime, Msc 16 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz,Γ: |z − i| = 1.
Resolução: A função subintegral f(z) =
sin(2z)
(z − i)3 é anaĺıtica em todos pontos, situados
no interior e sobre o contorno Γ, excepto no ponto singular z0 = i, assim
I =
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz = 2πiRes f(i)
Atendendo a que z0 = i é pôlo triplo de f(z), achamos
Res f(i) =
1
2!
lim
z→i
d2
dz2
[
(z − i)3f(z)
]
=
1
2
lim
z→i
d2
dz2
[sin(2z)]
=
1
2
lim
z→i
[−4 sin(2z)]
= −2i sh(2).
Assim,
I = 2πi[−2i sh(2)] = 4π sh(2)
LE (UEM-FC-DMI) Página 39 Alex Marime, Msc 16 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz,Γ: |z − i| = 1.
Resolução: A função subintegral f(z) =
sin(2z)
(z − i)3 é anaĺıtica em todos pontos, situados
no interior e sobre o contorno Γ, excepto no ponto singular z0 = i, assim
I =
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz = 2πiRes f(i)
Atendendo a que z0 = i é pôlo triplo de f(z), achamos
Res f(i) =
1
2!
lim
z→i
d2
dz2
[
(z − i)3f(z)
]
=
1
2
lim
z→i
d2
dz2
[sin(2z)]
=
1
2
lim
z→i
[−4 sin(2z)]
= −2i sh(2).
Assim,
I = 2πi[−2i sh(2)] = 4π sh(2)
LE (UEM-FC-DMI) Página 40 Alex Marime, Msc 16 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz,Γ: |z − i| = 1.
Resolução: A função subintegral f(z) =
sin(2z)
(z − i)3 é anaĺıtica em todos pontos, situados
no interior e sobre o contorno Γ, excepto no ponto singular z0 = i, assim
I =
∮
Γ+
sin(2z)
(z − i)3 dz = 2πiRes f(i)
Atendendo a que z0 = i é pôlo triplo de f(z), achamos
Res f(i) =
1
2!
lim
z→i
d2
dz2
[
(z − i)3f(z)
]
=
1
2
lim
z→i
d2
dz2
[sin(2z)]
=
1
2
lim
z→i
[−4 sin(2z)]
= −2i sh(2).
Assim,
I = 2πi[−2i sh(2)] = 4π sh(2)
LE (UEM-FC-DMI) Página 41 Alex Marime, Msc 16 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz,Γ: |z − 3| = 4.
Resolução: A função subintegral f(z) =
cos(z)
z2(eiz + 1)
é anaĺıtica em todos pontos, situados no
interior e sobre o contorno Γ, excepto em dois pontos singulares z1 = 0 e z2 = π, logo
I =
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz = 2πi [Res f(0) + Res f(π)]
As singularidades z1 = 0 é pôlo duplo, enquanto que, z2 = π é pôlo simples de f(z).
Res f(0) =
1
1!
lim
z→0
d
dz
[
(z2f(z)
]
= lim
z→0
d
dz
[
cos(z)
eiz + 1
]
= lim
z→0
− sin(z) · (eiz + 1)− i cos(z) · eiz
(eiz + 1)2
= −
i
4
;
Res f(π) = lim
z→π
[(z − π)f(z)]
= lim
z→π
(z − π) cos(z)
z2(eiz + 1)
= −
1
π2
;
Assim,
I = 2πi
(
−
i
4
−
1
π2
)
=
π
2
+
2
π
i
LE (UEM-FC-DMI) Página 42 Alex Marime, Msc 17 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz,Γ: |z − 3| = 4.
Resolução: A função subintegral f(z) =
cos(z)
z2(eiz + 1)
é anaĺıtica em todos pontos, situados no
interior e sobre o contorno Γ, excepto em dois pontos singulares z1 = 0 e z2 = π, logo
I =
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz = 2πi [Res f(0) + Res f(π)]
As singularidades z1 = 0 é pôlo duplo, enquanto que, z2 = π é pôlo simples de f(z).
Res f(0) =
1
1!
lim
z→0
d
dz
[
(z2f(z)
]
= lim
z→0
d
dz
[
cos(z)
eiz + 1
]
= lim
z→0
− sin(z) · (eiz + 1)− i cos(z) · eiz
(eiz + 1)2
= −
i
4
;
Res f(π) = lim
z→π
[(z − π)f(z)]
= lim
z→π
(z − π) cos(z)
z2(eiz + 1)
= −
1
π2
;
Assim,
I = 2πi
(
−
i
4
−
1
π2
)
=
π
2
+
2
π
i
LE (UEM-FC-DMI) Página 43 Alex Marime, Msc 17 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz,Γ: |z − 3| = 4.
Resolução: A função subintegral f(z) =
cos(z)
z2(eiz + 1)
é anaĺıtica em todos pontos, situados no
interior e sobre o contorno Γ, excepto em dois pontos singulares z1 = 0 e z2 = π, logo
I =
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz = 2πi [Res f(0) + Res f(π)]
As singularidades z1 = 0 é pôlo duplo, enquanto que, z2 = π é pôlo simples de f(z).
Res f(0) =
1
1!
lim
z→0
d
dz
[
(z2f(z)
]
= lim
z→0
d
dz
[
cos(z)
eiz + 1
]
= lim
z→0
− sin(z) · (eiz + 1)− i cos(z) · eiz
(eiz + 1)2
= −
i
4
;
Res f(π) = lim
z→π
[(z − π)f(z)]
= lim
z→π
(z − π) cos(z)
z2(eiz + 1)
= −
1
π2
;
Assim,
I = 2πi
(
−
i
4
−
1
π2
)
=
π
2
+
2
π
i
LE (UEM-FC-DMI) Página 44 Alex Marime, Msc 17 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz,Γ: |z − 3| = 4.
Resolução: A função subintegral f(z) =
cos(z)
z2(eiz + 1)
é anaĺıtica em todos pontos, situados no
interior e sobre o contorno Γ, excepto em dois pontos singulares z1 = 0 e z2 = π, logo
I =
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz = 2πi [Res f(0) + Res f(π)]
As singularidades z1 = 0 é pôlo duplo, enquanto que, z2 = π é pôlo simples de f(z).
Res f(0) =
1
1!
lim
z→0
d
dz
[
(z2f(z)
]
= lim
z→0
d
dz
[
cos(z)
eiz + 1
]
= lim
z→0
− sin(z) · (eiz + 1)− i cos(z) · eiz
(eiz + 1)2
= −
i
4
;
Res f(π) = lim
z→π
[(z − π)f(z)]
= lim
z→π
(z − π) cos(z)
z2(eiz + 1)
= −
1
π2
;
Assim,
I = 2πi
(
−
i
4
−
1
π2
)
=
π
2
+
2
π
i
LE (UEM-FC-DMI) Página 45 Alex Marime, Msc 17 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz,Γ: |z − 3| = 4.
Resolução: A função subintegral f(z) =
cos(z)
z2(eiz + 1)
é anaĺıtica em todos pontos, situados no
interior e sobre ocontorno Γ, excepto em dois pontos singulares z1 = 0 e z2 = π, logo
I =
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz = 2πi [Res f(0) + Res f(π)]
As singularidades z1 = 0 é pôlo duplo, enquanto que, z2 = π é pôlo simples de f(z).
Res f(0) =
1
1!
lim
z→0
d
dz
[
(z2f(z)
]
= lim
z→0
d
dz
[
cos(z)
eiz + 1
]
= lim
z→0
− sin(z) · (eiz + 1)− i cos(z) · eiz
(eiz + 1)2
= −
i
4
;
Res f(π) = lim
z→π
[(z − π)f(z)]
= lim
z→π
(z − π) cos(z)
z2(eiz + 1)
= −
1
π2
;
Assim,
I = 2πi
(
−
i
4
−
1
π2
)
=
π
2
+
2
π
i
LE (UEM-FC-DMI) Página 46 Alex Marime, Msc 17 / 18
Exemplo
Calcule o integral, aplicando o teorema sobre reśıduos
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz,Γ: |z − 3| = 4.
Resolução: A função subintegral f(z) =
cos(z)
z2(eiz + 1)
é anaĺıtica em todos pontos, situados no
interior e sobre o contorno Γ, excepto em dois pontos singulares z1 = 0 e z2 = π, logo
I =
∮
Γ+
cos(z)
z2(eiz + 1)
dz = 2πi [Res f(0) + Res f(π)]
As singularidades z1 = 0 é pôlo duplo, enquanto que, z2 = π é pôlo simples de f(z).
Res f(0) =
1
1!
lim
z→0
d
dz
[
(z2f(z)
]
= lim
z→0
d
dz
[
cos(z)
eiz + 1
]
= lim
z→0
− sin(z) · (eiz + 1)− i cos(z) · eiz
(eiz + 1)2
= −
i
4
;
Res f(π) = lim
z→π
[(z − π)f(z)]
= lim
z→π
(z − π) cos(z)
z2(eiz + 1)
= −
1
π2
;
Assim,
I = 2πi
(
−
i
4
−
1
π2
)
=
π
2
+
2
π
i
LE (UEM-FC-DMI) Página 47 Alex Marime, Msc 17 / 18
FIM
Muito Obrigado!!!
Previna-se da Covid-19.3
3Fica em casa, lave frequentemente as mãos.
LE (UEM-FC-DMI) Página 48 Alex Marime, Msc 18 / 18
	Séries de números complexos
	Série de Taylor
	Série de Laurent
	Singularidades
	Resíduos
	Cálculo de resíduos
	Cálculo de resíduos em integrais