Estruturas Algébricas (MAD17) - Objetiva - Individual II

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Estruturas Algébricas (MAD17) 
Avaliação Individual II (Objetiva) - (Cód.:767856) 
 
1 O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica possa ser escrita em função de suas 
raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 1, -2, e 4 e o coeficiente dominante é igual a 1, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0 
( ) x³ - 2x² + 16x - 12 = 0 
( ) x³ - 5x² + 4x + 2 = 0 
( ) x³ - 3x² - 6x + 8 = 0 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A) F - V - F - F. 
B) F - F - V - F. 
C) F - F - F - V. 
D) V - F - F - F. 
 
2 Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto entre as raízes de 
uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que relacionava os coeficientes numéricos de uma equação de 
grau 3 com suas raízes. Baseado nisto, considerando as relações de Girard, analise as sentenças a seguir quanto à 
soma e ao produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0: 
 
I) -2 e 3. 
II) 2 e -3. 
III) -2 e -3. 
IV) 2 e 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
A) Somente a opção III está correta. 
B) Somente a opção I está correta. 
C) Somente a opção II está correta. 
D) Somente a opção IV está correta. 
 
3 Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da álgebra clássica. As primeiras 
contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a 
resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação algébrica nem sempre 
se encontram totalmente dentro do conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da equação 
algébrica x³ + 9x = 0 é: 
 
A) S = {0, -9i, 9i}. 
B) S = {0, -3, 3}. 
C) S = {0, -3i, 3i}. 
D) S = {0, -9, 9}. 
 
 
 
 
 
4 No estudo das estruturas algébricas, para verificar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, 
precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo. 
Quanto às possíveis definições para SUBGRUPO, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
 
A) Somente a sentença II está correta. 
B) Somente a sentença III está correta. 
C) Somente a sentença I está correta. 
D) Somente a sentença IV está correta. 
 
5 Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão 
entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). 
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio P(x) = x
4
 - 10x
3
 + 
24x
2
 + 10x - 24 por D(x) = x
2
 - 4x - 5, analise as opções a seguir que procuram apresentar a solução desta equação, e 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) -1 e 5 
( ) -1 e -5 
( ) 1 e -5 
( ) 1 e 5 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A) F - F - V - F. 
B) F - F - F - V. 
C) V - F - F - F. 
D) F - V - F - F. 
 
6 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n, com n ≥1, admite, pelo menos, uma raiz complexa (real ou não). Esta 
propriedade foi demonstrada pelo matemático Carl Friedrich Gauss, em sua tese de doutorado, em 1799. Como essa 
tese ficou conhecida? 
 
A) Teorema do Valor Médio. 
B) Teorema do Resto. 
C) Teorema Fundamental da Álgebra. 
D) Teorema de D'Alembert. 
 
7 Observe cada uma das relações de equivalência sobre o conjunto F = {a, b, c, d}, a seguir e classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)}. 
( ) R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}. 
( ) R3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}. 
( ) R4 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (a, c)}. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A) F – V – V – V. 
B) V – F – F – F. 
C) V – V – F – F. 
D) V – F – V – F . 
 
8 No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os grupos abelianos são 
assim chamados em honra ao matemático noruego Niels Henrik Abel que trouxe grandes contribuições à Álgebra no 
início do século XIX. Analise as sentenças a seguir sobre a caracterização de um grupo (G, *) como abeliano: 
 
1. Se, não apresentar as propriedades que o caracterizam como grupo, mais sim, verificada em (G, *) a propriedade 
comutativa. 
2. Se (G, *) apresentar a propriedade comutativa, além das propriedades que caracterizam um grupo. 
3. Se (G, *) possuir as características de um grupo e a propriedade da associatividade. 
4. Se a propriedade comutativa for verificada e pelo menos duas propriedade de grupos associadas as combinações 
dos elementos de (G, *). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
A) Somente a sentença I está correta. 
B) Somente a sentença IV está correta. 
C) Somente a sentença II está correta. 
D) Somente a sentença III está correta. 
 
9 O número 2 é uma das raízes do polinômio P (x) = x
3
 + 4x - 16. Sobre as outras duas raízes, assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
A) Não são reais. 
B) São opostas. 
C) São iguais. 
D) São inteiras. 
10 Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceito de 
congruência. Uma congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro chamado módulo de 
congruência, deixam o mesmo resto. Dessa forma, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) 32 ☰ 8 (mod 12) 
( ) 7 ☰ 5 (mod 2) 
( ) 2 ☰ -5 (mod 7) 
( ) 6 ☰ 13 (mod 7) 
( ) 2 ☰ 27 (mod 6) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A) V - F - F - F - F. 
B) V - V - V - V - F. 
C) V - V - F - F - F. 
D) V - V - F - V - F.